浙江省诸暨中学2018-2019学年高二上学期10月阶段性考试数学平行班答案及评分标准

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浙江省诸暨中学2018-2019学年高二上学期10月阶段性考试(平行班)数学试题及答案解析

浙江省诸暨中学2018-2019学年高二上学期10月阶段性考试（平行班）选择题部分（共30分）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（ ▲ ） A ．圆柱 B ．圆锥C ．球体D ．圆柱、圆锥、球体的组合体 2．如果0,10a b <-<<，那么下列不等式中正确的是（ ▲ ） A ．2a ab ab << B ．2ab a ab << C ．2a ab ab << D ．2ab ab a <<3．设α表示平面， ,a b 表示直线，给出下列四个命题：①//,//a a b b αα⊥⇒； ②//,a b a b αα⊥⇒⊥； ③,a a b b αα⊥⊥⇒⊂； ④,//a b a b αα⊥⊥⇒，其中正确命题的序号是（ ▲ ）A ． ①②B ． ②④C ． ③④D ． ①③4．如图，正三角形ABC 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形面积是（ ▲ ）A ．32 B ．3 C ．62 D ． 645．在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边 BC 、CD 上的点，且23CF CG CB CD ==，则（ ▲ ） A ．EF 与GH 互相平行B ．EF 与GH 异面C ．EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上D ．EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上 6．若0,0>>b a ，且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是（ ▲ ） A ．112ab > B ． 822≥+b a C ． 2≥ab D ．111a b+≤7．<九章算术>中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑, PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===,三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上, 则球O 的表面积为（ ▲ ）A ．8π B. 12π C ． 20π D ． 24π8．如果2b -和2b +的等比中项是242a ab +，则2a b +的最大值是（ ▲ ） A ．433 B ．233C ．22D ．32 9．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时， a b +有最小值，无最大值； ③221a b +>；④当0a >且1a ≠时， 11b a +-的取值范围是),43()49,(+∞⋃--∞. 正确的个数是（ ▲ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 410．在棱长为2的正方体AC 1中，点M 为1DD 中点，点P 在侧面11BCC B 及其边界上移动，并且总是保持AP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（ ▲ ）A. 2B. 22C.5 D. 3非选择题部分（共90分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共34分。

2018-2019学年浙江省绍兴市诸暨中学高二(实验班)上学期10月阶段性考试数学试题(解析版)

2018-2019学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（实验班）上学期10月阶段性考试数学试题一、单选题1．设复数z 满足32z i i +=-，则z =( )A ．BC ．13D ．【答案】D【解析】先求出z ，然后求出z 的模即可. 【详解】∵复数z 满足32z i i +=-，∴33z i =-，则z = 故选：D . 【点睛】本题主要考查了复数求模问题，考查复数的基本运算，属于基础题. 2．下列导数运算正确的是（） A ．211'x x⎛⎫=⎪⎝⎭ B ．(sin )cos x 'x =-C ．(3)'3x x =D ．1(ln )x '=x【答案】D【解析】根据导数的运算法则和特殊函数的导数，逐一判断. 【详解】∵根据函数的求导公式可得，∵'211x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴A 错；∵'(sin )cos x x =，∴B 错；∵'(3)3ln 3x x =，C 错；D 正确. 【点睛】本题考查了导数的运算法则以及特殊函数的导数. 3．设ϕ∈R ，则“2ϕπ=”是“()sin()()f x x x R ϕ=+∈为偶函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据函数奇偶性的定义以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【详解】若()sin()()f x x x R ϕ=+∈为偶函数，则2k πϕπ=+，k Z ∈；故“2ϕπ=”是“()sin()()f x x x R ϕ=+∈”为偶函数的充分不必要条件，故选：A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数的性质是解决本题的关键，属于基础题.4．设,,(0,)a b c ∈+∞则111,,a b c b c a+++（） A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2【答案】C【解析】由基本不等式2a b ab +≥，a ，b 都是正数可解得．【详解】由题a ，b ，c 都是正数，根据基本不等式可得1112226a b c b c a+++++≥++=，若1a b +，1b c +，1c a +都小于2，则与不等式矛盾，因此，至少有一个不小于2；当1a b +，1b c +，1c a+都等于2时，选项A ，B 错误，都等于3时，选项D 错误．选C.【点睛】本题考查了基本不等式，此类题干中有多个互为倒数的项，一般都可以先用不等式求式子范围，再根据题目要求解题．5．已知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中，()y f x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据图象：分1x <-，10x -<<，01x <<，1x >，四种情况讨论()f x 的单调性. 【详解】根据图象：当()1,0x f x '<->，所以()f x 递增，当()10,0x f x '-<<<，所以()f x 递减，当()01,0x f x '<<<，所以()f x 递减，当()1,0x f x '>>，所以()f x 递增，故选：C 【点睛】本题主要考查导数与函数的图象间的关系，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于常考题.6．已知()()2739nf n n =+⋅+,存在自然数m ,使得对任意*n N ∈,都能使m 整除()f n ,则最大的m 的值为( )A ．30B ．9C ．36D ．6【答案】C【解析】依题意，可求得(1)f 、(2)f 、(3)f 、(4)f 的值，从而可猜得最大的m 的值为36，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】由()(27)39nf n n =+⋅+，得(1)36f =，(2)336f =⨯，(3)1036f =⨯， (4)3436f =⨯，由此猜想36m =.下面用数学归纳法证明： (1)当1n =时，显然成立。

2018-2019学年浙江省绍兴市诸暨中学高一(平行班)上学期10月月考数学试题(解析版)

2018-2019学年浙江省绍兴市诸暨中学高一（平行班）上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}{|06,},1,3,6,1,4,5U x x x Z A B =≤≤∈==，则()U A C B ⋂=（） A ．{1} B ．{3，6}C ．{4，5}D ．{1，3，4，5，6} 【答案】B 【解析】解：{}{}(){}1,3,6,0,3,2,63,6U U A C B C B A ==∴⋂=选B2） A ．2 B ．-2C ．2±D ．-4【答案】B【解析】先化根式为分数指数幂，再求值．【详解】=13(8)=-()13322=-=-，故选：B ．【点睛】本题主要考查根式与分数指数幂的互化，考查分数指数幂的运算性质，属于基础题． 3．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x －1，2()=1x g x x-B ．f (x )＝|x |，2(g xC ．f (x )＝x，(g x D ．f (x )＝2x，(g x 【答案】C【解析】对于A ，()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{}|0x x ≠，则()f x 与()g x 不表示同一函数；对于B ，()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为{}|0x x ≥，则()f x 与()g x 不表示同一函数；对于C ，()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为R ，且()()g x x f x ==，则()f x 与()g x 表示同一函数；对于D ，()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为R ，()2g x x =，则()f x 与()g x 不表示同一函数. 故选C点睛：本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数，属于基础题；函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系均相同时才是同一函数，值得注意的是判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于定义域内任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同. 4．下列函数中，在区间()0,+∞上单调递增的是 A ．1xy x =+ B ．1y x =- C ．2y x x =- D ．21y x =-【答案】A【解析】试题分析：,B D 中的函数在()0,+∞上单调递减，C 中函数图像的对称轴为12x =，它在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.应选A . 【考点】1.函数的单调性；2.一次函数、二次函数及反比例函数的性质.5．已知()f x 是奇函数，且当0x >时，()(1)f x x x =-，则当0x <时，()f x 为（） A ．(1)x x -- B ．(1)x x -C ．(1)x x +D ．(1)x x -+【答案】C【解析】设0x <，则0x ->，因为已知0x >时函数的解析式，所以可求出()f x -，再根据函数的奇偶性来求()f x 与()f x -之间的关系即可求出答案．【详解】解：设0x <，则0x ->，Q 当0x >时，()(1)f x x x =-，()(1)f x x x ∴-=-+，又()f x Q 是定义在R 上的奇函数， ()()(1)f x f x x x ∴=--=+，故选：C ．【点睛】本题主要考查根据函数奇偶性求解析式，属于基础题．6．已知集合{}1,2A =，{}3,4B =，则从A 到B 的函数共有（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】分析：根据函数的定义，结合题中数据通过枚举法列出，即可得到答案. 详解：根据函数的定义，集合A 中的元素在集合B 中都有唯一的元素和其对应，从A 到B 的函数情况如下：（1）(1)(2)3f f ==；（2）(1)(2)4f f ==；（3）(1)3f =，(2)4f =；（4）(1)4f =，(2)3f = 因此，从A 到B 的函数共有4个. 故选D.点睛：本题考查函数的概念及其构成要素，归纳问题后可知，若集合A 的元素为m 个，集合B 的元素为n 个，则从A 到B 的函数有m n 个.7．已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}1,2,3，其定义如下表：则方程()()g f x x =的解集是（） A ．{}3B ．{}2C ．{}1D ．∅【答案】A【解析】【详解】试题分析：根据题意，通过逐一排查，可有()31f =，则()()()313g f g ==满足题意.故选A【考点】1.函数表示法；2.复合函数. 8．函数()mf x x x=-（其中m R ∈）的图象不可能．．．是（） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】由(),0,0m x x m xf x x m x x x x ⎧->⎪⎪=-=⎨⎪--<⎪⎩，再分类讨论当0m >时，当0m =时，当0m <时，函数对应的单调性，再逐一判断即可得解. 【详解】解：由(),0,0m x x m xf x x m x x x x ⎧->⎪⎪=-=⎨⎪--<⎪⎩，则当0m >时，函数()f x 在()0,∞+为增函数，在(,m -∞-为减函数，在(),0m -为增函数，即选项D 满足题意；当0m =时，函数()f x 在()0,∞+为增函数，在(),0-∞为减函数，即选项A 满足题意；当0m <时，函数()f x 在(),0-∞为减函数，在(m -为减函数，在(),m -+∞为增函数，即选项B 满足题意，即函数()mf x x x=-（其中m R ∈）的图像不可能是选项C ，故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数的图像，重点考查了分段函数的单调性，属基础题.9．若函数223,1()1,1x ax x f x ax x ⎧++≤=⎨+>⎩是一个单调递减函数，则实数a 的取值范围（）A ．[]1,0-B ．(],1-∞-C ．[]0,1D ．[]3,1--【答案】D【解析】由单调性可知0a <，二次函数的对称轴与1的关系，列出不等式组求解即可．【详解】解：Q 函数223,1()1,1x ax x f x ax x ⎧++≤=⎨+>⎩是减函数，∴011231a a a a <⎧⎪-≥⎨⎪++≥+⎩，解得31a -≤≤-，实数a 的取值范围是[]3,1--，故选：D ．【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，注意单调性的本质，属于中档题． 10．函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（） A ．52B．522+C ．32D ．2【答案】B【解析】根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x 的取值，然后利用数形结合即可得到结论．【详解】当x≥0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=x 2﹣x=（x ﹣12）2﹣1144≥-，当x ＜0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=﹣x 2﹣x=﹣（x+12）2+14，作出函数f （x ）的图象如图：当x≥0时，由f （x ）=x 2﹣x=2，解得x=2．当x=12时，f （12）=14-．当x ＜0时，由f （x ）=）=﹣x 2﹣x=14-．即4x 2+4x ﹣1=0，解得x=24444432248-±+⨯-±=⨯=4421282-±-±=，∴此时x=122--， ∵[m ，n]上的最小值为14-，最大值为2， ∴n=2，12122m --≤≤， ∴n ﹣m 的最大值为2﹣12--=522+，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．二、填空题11．已知201,()02,x x f x x x ≤⎧+=⎨>⎩，((1))f f -=________；若()10f x =，则x =_____________.【答案】4 -3或5【解析】求出(1)f -，从内到外即可求出((1))f f -；若()10f x =，则当0x ≤时，2()110f x x =+=，当0x >时，()210f x x ==，由此能求出结果．【详解】解：∵201,()02,x x f x x x ≤⎧+=⎨>⎩，2(1)(1)12f ∴-=-+=， ()((1))24f f f -==；若()10f x =，则当0x ≤时，2()110f x x =+=，解得3x =（舍)或3x =-；当0x >时，()210f x x ==，解得5x =；综上，3x =-或5x =；故答案为：4；3-或5．【点睛】本题主要考查分段函数求函数值和自变量，属于基础题．12．若函数2(21)2f x x x +=-，则(3)f =________，()f x =_____________.【答案】1-235424x x -+ 【解析】令213x +=，得1x =，从而可求出(3)f ，令21x t +=，求出12t x -=，从而可求出．【详解】解：令213x +=，得1x =，则()31f =-，设21x t +=，则12t x -=， ∴22135()()(1)2424t t f t t t -=--=-+，∴235()424x f x x =-+，故答案为：1-，235424x x -+．【点睛】本题主要考查换元法求函数解析式，属于基础题．13．函数2y =_______，单调递增区间是___________. 【答案】4 []0,2【解析】由配方法和二次函数的最值求法，可得函数y 的最大值；可设24t x x =-+，2y =【详解】解：函数2y =2=，可得2x =时，函数y 取得最大值224+=；由240x x -≥，可得04x ≤≤，由24t x x =-+在[0,2]为增函数，2y =+在[0,)+∞为增函数，可得函数2y =[0,2]，故答案为：4，[0,2]．【点睛】本题考查函数的最值求法和单调区间求法，注意运用二次函数的最值求法和单调区间，属于基础题．14．若集合{}2(2)210A x k x kx =+++=有且仅有2个子集，则满足条件的实数k 的个数是______. 【答案】3【解析】通过讨论k 的范围，结合一元二次方程根的判别式求出k 的个数即可．【详解】解：若集合A 有且只有2个子集，则方程2(2)210k x kx +++=有且只有1个实数根，20k +=即2k =-时，方程化为410x -+=，14x =，符合题意， 20k +≠即2k ≠-时，只需△244(2)0k k =-+=，解得：1k =-或2k =，故满足条件的k 的值有3个，故答案为：3．【点睛】本题主要考查集合的子集的个数，考查方程的根的情况，属于基础题． 15．若函数()f x =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是_______.【答案】04a ≤< 【解析】【详解】210ax ax ++> 对于x ∈R 恒成立，当0a = 时，10> 恒成立；当0a ≠ 时，20440a a a a >⎧⇒<<⎨∆=-<⎩，综上04a ≤< . 16．设函数f(x)(x ∈R)为奇函数，f(1)＝12，f(x ＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝________. 【答案】52【解析】令x ＝－1，得f (1)＝f (－1)＋f (2)＝－f (1)＋f (2)．故12＝－12＋f (2)，则f (2)＝1. 令x ＝1，得f (3)＝f (1)＋f (2)＝12＋1＝32.令x ＝3，得f (5)＝f (3)＋f (2)＝32＋1＝52.17．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+ ，且()f x 在[)1,+∞为递增函数，若不等式(1)()f m f m -<成立，则m 的取值范围是________. 【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，可得函数()f x 关于直线1x =对称，()f x 在[)1,+∞为递增函数，则()f x 在(],1-∞为递减函数，不等式(1)()f m f m -<成立，即(1)()f m f m +<，对m 分类讨论即可得出．【详解】解：∵函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，∴函数()f x 关于直线1x =对称，∵()f x 在[)1,+∞为递增函数， ∴()f x 在(],1-∞为递减函数，不等式(1)()f m f m -<成立，即(1)()f m f m +<， 1m m +>Q ，则当m 1≥时，()f x 在[)1,+∞为递增函数，(1)()f m f m +<不成立，舍去；当11m +≤，即0m ≤时，()f x 在(],1-∞为递减函数，则(1)()f m f m +<恒成立，因此0m ≤满足条件；当11m m <<+时，即01m <<．要使()(1)f m f m >+恒成立，必须点(),()M m f m 到直线1x =的距离大于点()1,(1)N m f m ++到直线1x =的距离，即111m m ->+-，解得12m <，∴102m <<；综上，实数m 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故答案为：1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性、对称性解不等式，考查分类讨论的数学方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题 18．已知函数()f x=的定义域为集合A ，集合{}|10,0B x ax a =-<>，集合21|02C x x x ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭．（1）求A C U ；（2）若A C B I Ü，求a 的取值范围．【答案】（1）[)0,A C =+∞U （2）()0,2【解析】（1）首先求出集合A 、C ，然后根据并集定义求即可；（2）由A C B I Ü得112a >，解出即可．【详解】解：由题意解得，()0,A =+∞，1,B a ⎛⎫=-∞ ⎪⎝⎭，10,2C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，（1）[)0,A C =+∞U ；（2）10,2A C ⎛⎤= ⎥⎝⎦I ，∵A C B I Ü，∴112a >， 02a ∴<<，a ∴的取值范围为()0,2．【点睛】本题主要考查集合间的基本关系及运算，属于基础题．19．已知二次函数()f x 满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)4f =. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]0,3上的最大值和最小值；（3）当0x >时，()0f x a x+>恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）2()24f x x x =-+；（2）最小值为3，最大值为7；（3）(,2)-∞-．【解析】（1）待定系数法求解析式，可设函数的解析式为2()4f x ax bx =++，又由(1)()21f x f x x +-=-，即2[(1)(1)4]a x b x ++++2[4]21ax bx x -++=-，分析可得a 、b 的值，将a 、b 的值代入函数的解析式，即可得答案；（2）根据题意，分析可得22()24(1)3f x x x x =-+=-+，结合x 的范围分析可得答案；（3）根据题意，由()f x 的解析式可得()42f x a x a x x+=+-+，由基本不等式的性质分析可得422x a a x+-+≥+，据此分析可得答案．【详解】解：（1）根据题意，二次函数()f x 满足(0)4f =，设其解析式为2()4f x ax bx =++，又由(1)()21f x f x x +-=-，∴2[(1)(1)4]a x b x ++++2[4]ax bx -++22ax a b =++21x =-，∴2221a ab =⎧⎨+=-⎩，解得1a =，2b =-，则2()24f x x x =-+；（2）由（1）的结论，22()24(1)3f x x x x =-+=-+，又[0,3]x ∈，当1x =时，()f x 取得最小值，且其最小值()13f =，当3x =时，()f x 取得最大值，且其最大值()37f =；故()f x 在[]0,3上的最小值为3，最大值为7；（3）由（1）的结论，2()24f x x x =-+，则()42fx a x a x x+=+-+，又由0x >，则442222x a x a a x x+-+≥⋅-+=+，当且仅当x=2等号成立若()0f x a x+>恒成立，必有20a +>，解可得2a <-，即a 的取值范围为(,2)-∞-．【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，考查函数的恒成立和最值问题，考查基本不等式及其应用，属于中档题． 20．如图，已知底角为的等腰梯形ABCD ,底边BC 长为7cm ，腰长为22cm ，当一条垂直于底边BC 垂足为F 的直线l 由B 从左至右向C 移动（与梯形ABCD 有公共点）时，直线l 把梯形分成两部分，令BF x =()0x ≠，记左边部分的面积为y ．（1）试求x =1，x =3时的y 值；（2）写出y 关于x 的函数关系式．【答案】（1）1,42；（2）(](](]221,0,2222,2,51(7)10,5,72x x y x x x x ⎧∈⎪⎪=-∈⎨⎪⎪-+∈⎩ 【解析】【详解】试题分析：（1）结合梯形可求得当1x =时，12y =；当3x =时，4y =；（2）直线l 从左至右移动，分别于线段BG 、GH 、HC 相交，与线段BG 相交时，直线l 左边的图形为三角形，与线段GH 相交时，直线l 左边的图形为三角形ABG 与矩形AEFG ，与线段HC 相交时，直线l 左边的图形的图形不规则，所以观察其右侧图形为三角形CEF ，各段利用面积公式可求得y 试题解析：（1）当1x =时，12y =；当3x =时，4y =．（2）过点,A D 分别作,AG BC DH BC ⊥⊥，垂足分别是,G H ．ABCD Q 是等腰梯形，底角为4π，22AB =，2BG AG DH HC ∴====,又7BC =cm ， 3AD GH ∴==（i ）当点F 在BG 上时，即(]0,2x ∈时，212y x =（ii ）当点F 在GH 上时，即(]2,5x ∈时，2(2)222y x x =+-⨯=- （iii ）当点F 在HC 上时，即(]5,7x ∈时，21(7)102Rt CEF ABFED ABCD y S S S x ∆==-=--+五边形梯形．所以，函数的解析式为(](](]221,0,2222,2,51(7)10,5,72x x y x x x x ⎧∈⎪⎪=-∈⎨⎪⎪-+∈⎩ 【考点】分段函数求解析式 21．已知2()1x af x x bx +=++是定义在[]1,1-上奇函数. （1）求实数,a b 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）解不等式: (1)(2)0f t f t ++<.【答案】（1）0,0a b ==；（2）增函数，证明见解析；（3）11,23⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得(0)0f =且(1)(1)f f -=-，计算即可得出答案；（2）设[]12,1,1x x ∀∈-，且12x x <，由作差法分析可得答案；（3）根据题意，由函数的奇偶性可得(1)(2)f t f t +<-，再根据单调性得12111112t t t t -≤≤⎧⎪-≤+≤⎨⎪+<-⎩，解出即可．【详解】解：（1）根据题意，2()1x af x x bx +=++是定义在[]1,1-上的奇函数，则(0)01af ==，则0a =，又由(1)(1)f f -=-，即1122b b-=-+-，解可得0b =，则0a =，0b =；（2）由（1）的结论，2()1xf x x =+，()f x 在[]1,1-上是增函数，设[]12,1,1x x ∀∈-，且12x x <，则12122212()()11x x f x f x x x -=-++12122212(1)()(1)(1)x x x x x x --=++；又由1211x x -??，则12())0(f x f x -<，则函数()f x 在[]1,1-上是增函数；（3）∵(1)(2)0f t f t ++<， ∴(1)(2)f t f t +<-， ∴(1)(2)f t f t +<-，∴12111112t t t t -≤≤⎧⎪-≤+≤⎨⎪+<-⎩，解得：1123t -≤<-，即不等式的解集为11,23⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查根据奇偶性求函数解析式，属于难题．22．已知函数()22f x x x a =--.（1）若函数()y f x =为偶函数，求a 的值；（2）若12a =，求函数()y f x =的单调递增区间；（3）当0a >时，若对任意的[)0,x ∈+∞，不等式()()12f x f x -≤恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）0a =；（2）函数的单调递增区间为11,,[1,)2⎛⎤-+∞ ⎥⎝⎦;（3122a ≤≤. 【解析】【详解】试题分析：（1）由偶函数的定义可得0a =；（2）将函数写成分段函数的形式，由函数图象可得单调递增区间；（3）由不等式()()12f x f x -≤可得()242121x a x a x x ---+≤+-，再对a 进行分类讨论，目的是去掉绝对值，再根据单调性可得a 的取值范围.试题解析：（1）任取x ∈R ，则有()()f x f x -=恒成立，即22()22x x a x x a ----=--恒成立x a x a ∴+=-恒成立，22ax ax ∴=-平方得：恒成立0a ∴=（2）当12a =时，222121()12()2{1221()2x x x f x x x x x x -+≥=--=+-< 由函数的图像可知，函数的单调递增区间为11,,[1,)2⎛⎤-+∞ ⎥⎝⎦．（3）不等式()()12-≤f x x 化为()2212124x x a x x a ----≤--即：()242121x a x a x x ---+≤+-（）对任意的[)0,x ∈+∞恒成立因为0a >，所以分如下情况讨论：①0x a ≤≤时，不等式（）化为24()2[(1)]21--+-+≤+-x a x a x x 恒成立即24120[0,]x x a x a ++-≥∀∈对恒成立2()4120[0,]g x x x a a =++-≥Q 在上单调递增只需min ()(0)120==-≥g x g a 102∴<≤a ②当1a x a <≤+时，不等式（）化为24()2[(1)]21-+-+≤+-x a x a x x 恒成立即24160(,1]x x a x a a -++≥∀∈+对恒成立由①知102a <≤，2()416(,1]h x x x a a a ∴=-+++在上单调递减 2662a a ∴≤--≥或11626222a <≤≤Q ③当1x a >+时，不等式（）化为24()2[(1)]21x a x a x x ---+≤+-恒成立即2230(1,)x a x a +-≥∀∈++∞对恒成立，2()230=+-≥x x a ϕ在(1,)a ++∞上单调递增，只需2min ()(1)420=+=+-≥x a a a ϕϕ，2662a a∴≤--≥-或由②得:1 622a-≤≤综上所述，a的取值范围是：.【考点】函数的奇偶性、分段函数的图象、分类讨论思想.。

浙江省诸暨中学2018-2019学年高二上学期期中考数学试题 (解析版)

2018-2019学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知点（-3，-1）和（4，-6）在直线3x -2y -a =0的两侧，则实数a 的取值范围为（）A. B. (‒24,7)(‒∞,‒24)∪(7,+∞)C. D. (‒7,24)(‒∞,‒7)∪(24,+∞)2.已知椭圆的标准方程为=1，则椭圆的焦点坐标为（）x 29+y 210A. ， B. ，(1,0)(‒1,0)(0,1)(0,‒1)C. ， D. ，(19,0)(‒19,0)(0,19)(0,‒19)3.已知x ＞0，y ＞0，且x +y =10，则xy 有（）A. 最大值25B. 最大值50C. 最小值25D. 最小值504.如图，△A 'B 'C '是△ABC 的直观图，其中A ′B ′=A ′C ′，A ′B ′∥x ′轴，A ′C ′∥y ′轴，那么△ABC 是（）A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形5.设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z =4x +2y 的最大值为（）{x +y ≤3x ‒y ≥‒1y ≥1A. 12B. 10C. 8D. 26.过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 的中点E 、F 作一个截面，使截面与底面ABCD 所成二面角为45°，则此截面的形状为（）A. 三角形或五边形B. 三角形或四边形C. 正六边形D. 三角形或六边形7.已知a 、b 为不同直线，α、β为不同平面，则下列说法正确的是（）A. 若，，，则a ⊂αb ⊂βα⊥βa ⊥bB. 若，，则a ⊥b b ⊥αa//αC. 若，，、不平行，则a 、b 为异面直线a ⊂αb ⊂βαβD. 若，，，则a//αb ⊥βα//βa ⊥b8.异面直线l 与m 成60°，异面直线l 与n 成45°，则异面直线m 与n 成角范围是（）A. B. C. D. [15∘,90∘][60∘,90∘][15∘,105∘][30∘,105∘]9.已知椭圆，过椭圆右焦点F 的直线L 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴于P 点．设，x 225+y 29=1⃗PA =λ1⃗AF ，⃗PB =λ2⃗BF 则λ1+λ2等于（）A. B. C. D. ‒925‒50950992510.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P -ABCD 中，E ，F 分别是棱AD ，BP 上的动点，且满足AE =2BF ，则线段EF 中点的轨迹是（）A. 一条线段B. 一段圆弧C. 抛物线的一部分D. 一个平行四边形二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的表面积为________，体积为________.12.双曲线的实轴长为______，渐近线方程是______．x 24‒y 23=113.与圆C 1：（x +3）2+y 2=1外切，且与圆C 2：（x -3）2+y 2=81内切的动圆圆心的轨迹方程为______．14.双曲线=1的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=2，则△PF 1F 2的周长为x 23‒y 25______，面积为______．15.若x ，y ∈R +，且2x +8y -xy =0，当且仅当______时，x +y 取得最小值______．16.已知S ,A ,B ,C 是球O 表面上的点，平面ABC ，，，，则球O 的体积等于SA ⊥AB ⊥BC SA =AB =1BC =2________.17.已知函数f （x ）=x |x -a |-a ，a ∈R ，若对任意x ∈[3，5]，f （x ）≥0恒成立，则实数a 的取值范围______．三、解答题（本大题共5小题，共54.0分）18.（1）若双曲线的一条渐近线方程为2x +3y =0，且两顶点间的距离为6，求该双曲线方程．（2）一组平行直线y =2x +b 与椭圆相交，求弦的中点的轨迹方程．x 212+y 29=119.如图，四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =2，E 为CD 的中点，∠ABC =60°．（I ）求证：直线AE ⊥平面PAB ；（II ）求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值．20.已知函数f （x ）=|x +1|+2|x -a |，a ∈R ，（1）当a =1时，解不等式f （x ）＞5；（2）当a ＞0时，若不等式f （x ）＞3恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当a ＜0时，若关于x 的方程2x [f （x ）-1]=a 在（1，+∞）上的解集为空集，求实数a 的取值范围．21.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，P 、Q 分别是AA 1、A 1C 1的中点．（1）设棱BB 1的中点为D ，证明：C 1D ∥平面PQB 1；（2）若AB =2，AC =AA 1=AC 1=4，∠AA 1B 1=60°，且平面AA 1C 1C ⊥平面AA 1B 1B ，求二面角Q -PB 1-A 1的余弦值．22.已知椭圆C ：=1（a ＞0，b ＞0）的两个顶点分别为A （-a ，0），B （a ，0），点P 为椭圆上异于A ，Bx 2a 2+y 2b 2的点，设直线PA 的斜率为k 1，直线PB 的斜率为k 2，k 1k 2=-．12（1）求椭圆C 的离心率；（2）若b =1，设直线l 与x 轴交于点D （-1，0），与椭圆交于M ，N 两点，求△OMN 的面积的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵点（-3，-1）和（4，-6）在直线3x-2y-a=0的两侧，∴（-9+2-a）（12+12-a）＜0，化为（a+7）（a-24）＜0，解得-7＜a＜24．故选：C．根据点（-3，-1）和（4，-6）在直线3x-2y-a=0的两侧，可得（-9+2-a）（12+12-a）＜0，解出即可．本题考查了线性规划的有关问题、一元二次不等式的解法，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：根据题意，椭圆的标准方程为=1，则其焦点在y轴上，且c==1，则椭圆的焦点坐标为（0，1）和（0，-1），故选：B．根据题意，由椭圆标准方程分析可得该椭圆的焦点在y轴上，进而可得c的值，由椭圆的焦点坐标公式可得答案．本题考查椭圆的简单几何性质，解题时注意该椭圆的焦点在y轴上．3.【答案】A【解析】解：∵x＞0，y＞0，x+y=10；∴；∴，当x=y=5时取“=“；∴xy有最大值25．故选：A．根据x＞0，y＞0即可得出，从而得出，带入x+y=10即可得出xy≤25，即xy 有最大值25．考查基本不等式及基本不等式的变形应用．4.【答案】D【解析】解：根据斜二测画法中平行与坐标轴的直线，平行关系不变，且平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，∴直观图△A'B'C'的原来图形△ABC是直角三角形，且AC=2AB，不是等腰直角三角形．故选：D．根据斜二测画法中平行与坐标轴的直线，平行关系不变，且平行于x轴的线段，长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半，即可判断出结果．本题考查了斜二测画法与应用问题，是基础题．5.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=4x+2y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时，直线y=-2x+的截距最大，此时z最大．由，解得，即C（2，1），代入目标函数z=4x+2y得z=4×2+2×1=10．即目标函数z=4x+2y的最大值为10．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解6.【答案】D【解析】解：过棱AB、BC的中点E、F作正方体AC1的截面，∵二面角D1-EF-D，二面角B1-EF-B都大于450，∴当截面为EFHJIG时，如下图所示时，为六边形，当截面为EFM时，如下图所示时，为三边形，故选：D．画出过棱AB、BC的中点E、F作正方体AC1的截面的所有情况，分析截面的形状，最后综合讨论结果，可得答案．本题考查了正方体的几何特征，二面角问题，属于基础题型．7.【答案】D【解析】解：对于A，若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥b不一定成立，a、b可能平行，也可能相交，也可能异面，A错误；对于B，若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α，∴B错误；对于C，若a⊂α，b⊂β，α、β不平行，则a、b可能为异面直线，也可能为相交或平行，∴C错误；对于D，当b⊥β，α∥β时，b⊥α，又a∥α，∴b⊥a，即a⊥b，D正确．故选：D．根据空间中直线与直线、直线与平面，以及平面与平面的位置关系，对选项中的命题真假性判断即可．本题考查了空间中直线与直线、直线与平面，以及平面与平面的位置关系应用问题，是基础题．8.【答案】A【解析】解：如图，在直线l任取一点O，过O作m′∥m，作n′∥n，当m′、n′、l三线共面时，m′与n′所成角最小为15°，即异面直线m与n成角最小为15°；当n′不在l与m′所确定的平面α内时，过O作平面β，使m′⊥β，则l为平面β的一条斜线，在β内存在与l成45°角的直线n′，∴m′与n′所成角最大为90°，即异面直线m与n成角最小为15°．故选：A．由题意画出图形，通过直线的平移，可得过直线l上的任意一点作m，n的平行线，若m，n的平行线与l共面，可得异面直线m与n成角最小为15°；否则，可得到m，n能够构成两条异面直线所成的最大角90°．本题考查异面直线所成的角，考查学生的空间想象能力和思维能力，属中档题．9.【答案】B【解析】解：由题意a=5，b=3，c=4，所以F点坐标为（4，0）设直线l方程为：y=k（x-4），A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），得P点坐标（0，-4k），因为，所以（x1，y1+4k）=λ1（4-x1，-y1）因为，所以（x2，y2+4k）=λ2（4-x2，-y2）．得λ1=，λ2=．直线l方程，代入椭圆，消去y可得（9+25k2）x2-200k2x+400k2-225=0．所以x1+x2=，x1x2=．所以λ1+λ2====故选：B．设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量条件，即可得到结论．本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：设EF的中点为O，取AB中点M，作EG平行于AB交BC于G，连结FG，取GF中点N，则OMBN为平行四边形，从而MO∥BN．作CH∥GF于H，取CH中点K．因为AE=2BF，所以BG=2BF，而∠CBP是确定的角，故△BGF与△BCH 相似，从而N在BK上．所以O在平行于直线BK的一条直线上，E，F分别是棱AD，BP上的动点，则线段EF中点的轨迹是一条线段；故选：A．根据题意，设EF的中点是O，取AB中点M，作EG平行于AB交BC于G，连结FG，取GF中点N，根据AE=2BF ，判断中点O 满足的关系式，即可得到结论．本题主要考查空间直线的位置关系的判断，根据AE=2BF ，利用辅助线，建立中点满足的关系是解决本题的关键．11.【答案】4+6π 83+415+433π【解析】解：根据三视图得知：该几何体是由一个三棱锥和一个半圆锥构成，正视图是边长为4的正三角形，该几何体的高为：2，圆锥的底面半径为：2，三棱锥的底面边长为4的正三角形，AB=AD=BD=BC=CD=4，AC=2，几何体的表面积为：×+2×××=4+6π．几何体的体积为：=8，故答案为：4+6π；8．直接利用三视图的复原图求出几何体的体积以及表面积即可．本题考查的知识要点：三视图的应用．几何体的表面积以及体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12.【答案】4 y =±32x 【解析】解：双曲线，可得a=2，b=，双曲线的实轴长为：2a=4；渐近线方程是：y=±x ．故答案为：4；y=±x ．利用双曲线方程求解实轴长以及渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．13.【答案】x 225+y 216=1【解析】解：由题意，设动圆的半径为r，圆心为（x，y），与圆C1：（x+3）2+y2=1外切，可得圆心距=r+1；即（x+3）2+y2=（r+1）2，……①动圆与圆C2：（x-3）2+y2=81内切，可得圆心距=9-r，（x-3）2+y2=（9-r）2，……②由①②消去r，可得：即动圆圆心的轨迹方程；；故答案为：．由题意，设动圆的半径为r，圆心为（x，y），与圆C1：（x+3）2+y2=1外切，可得圆心距=r+1；与圆C2：（x-3）2+y2=81内切，可得圆心距=9-r，消去r，可得动圆圆心的轨迹方程；本题考查了轨迹方程的求法，考查了圆与圆的位置关系，是中档题．514.【答案】2+4 1【解析】解：双曲线=1的a=，b=1，c=2，|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的周长为：2+2c=+4；可设P在右支上，由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2，又|PF1|+|PF2|=2，两式平方相加可得，|PF1|2+|PF2|2=16，而|F1F2|2=4c2=16，则有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即有△PF1F2为直角三角形，即有△PF1F2的面积为|PF1|•|PF2|=×（+）×（-）=1．故答案为：2+4；1．求出双曲线的a，b，c，可设P在右支上，由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2，由条件可得|PF1|，|PF2|，结合勾股定理的逆定理和直角三角形的面积公式，计算即可得到．本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是双曲线的定义，同时考查勾股定理的逆定理和三角形的面积公式，属于基本知识的考查．15.【答案】x=12，y=6 18【解析】解：∵x，y∈R+，且2x+8y-xy=0，∴2x+8y=xy即，∴x+y=（x+y）（）=10+=18，当且仅当且时取等号，此时x=12，y=6时x+y取得最小值18．故答案为：x=12，y=6；18由已知可得，，从而x+y=（x+y）（），展开后利用基本不等式可求本题主要考查了利用1的代换，配凑积为定值，利用基本不等式求解最值，属于基础试题16.【答案】4 3π【解析】【分析】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．由题意画出图形，判断SC为球O的直径，由已知求得SC=2，球O的半径R=1，代入球的体积公式得答案．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，又AB⊥BC，∴BC⊥面SAB，∵BS⊂面SAB，∴SB⊥BC，取AC的中点O，∴OS=OA=OB=OC，∴SC为球O的直径，由SA=AB=1，BC=，可得SC=2，∴球O 的半径R=1，则体积V=．故答案为：．17.【答案】（-]∪[）∞，94254，+∞【解析】解：f （x ）=x|x-a|-a ；∴①若a ＜3，则x=3时，f （x ）在[3，5]上取得最小值f （3）=3（3-a ）-a=9-4a ；∴9-4a≥0，a≤；∴a≤；②若3≤a≤5，则x=a 时，f （x ）取得最小值f （a ）=-a ；-a ＜0，不满足f （x ）≥0；即这种情况不存在；③若a ＞5，则x=5时，f （x ）取得最小值f （5）=5（a-5）-a=4a-25；∴4a-25≥0，a≥；∴a≥；综上得a 的取值范围为：（-∞，]∪[，+∞），故答案为：（-∞，]∪[，+∞），讨论a 的取值：a ＜3，3≤a≤5，a ＞5，三种情况，求出每种情况下的f （x ）的最小值，让最小值大于等于0从而求出a 的取值范围本题考查了函数恒成立问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．18.【答案】解：（1）若焦点在x 轴上，易得双曲线的标准方程为…2x 29‒y 24=1若焦点在y 轴上，双曲线的标准方程为…4y 29‒y 2814=1（2）设y =2x +b 与椭圆的两交点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）的中点为M （x ，y ），x 212+y 29=1则，{x 2112+y 219=1x 2212+y 229=1两式相减得：(x 1+x 2)(x 1‒x 2)12=‒(y 1+y 2)(y 1‒y 2)9即-=即3x +8y =0 (8)9122⋅y x 又，消去y 得x =± (9){x 212+y 29=13x +8y =085719所以弦的中点M 的轨迹方程为3x +8y =0（-＜x ＜+ (10)8571985719【解析】（1）讨论焦点位置，再由顶点间的距离，即可得到双曲线方程（2）设y=2x+b 与椭圆的两交点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）的中点为M （x ，y ），利用点差法，可得M 的轨迹方程．本题考查双曲线方程和性质，直线与椭圆的综合应用，考查分类讨论的思想方法和运算能力，属于基础题和易错题19.【答案】证明：（I ）∵∠ADE =∠ABC =60°，ED =1，AD =2，∴AE ⊥CD ，又∵AB ∥CD ，∴AE ⊥AB又∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AE ，PA ∩AB =A ，∴直线AE ⊥平面PAB ．解：（II ）（方法一）连接PE ，过A 点作AH ⊥PE 于H 点．∵CD ⊥EA ，CD ⊥PA ，EA ∩PA =A ，∴CD ⊥平面PAE ，∴CD ⊥AH ．又∵AH ⊥PE ，∴AH ⊥平面PCD ．∴∠AEP 为直线AE 与平面PCD 所成的角．在Rt △PAE 中，，∴，PA =2，AE =3sin∠AEP =PA PE =27=277∴直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为．277（方法二）如图建立所示的空间直角坐标系A -xyz ，．P(0，0，2)，E(0，3，0)，C(1，3，0)，D(‒1，3，0)设平面PCD 的法向量，⃗n =(x ，y ，z)，{⃗PC ⋅⃗n=0⃗DC ⋅⃗n =0⇒{x +3y ‒2z =02x =0⇒⃗n =(0，1，32)．cos ＜⃗AE ，⃗n ＞=⃗AE ⋅⃗n⃗|AE|⋅|⃗n |=277直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为．277【解析】（I ）推导出AE ⊥CD ，AE ⊥AB ，从而PA ⊥AE ，由此能证明直线AE ⊥平面PAB ．（II ）（方法一）连接PE ，过A 点作AH ⊥PE 于H 点，推导出∠AEP 为直线AE 与平面PCD 所成的角，推导出直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值．（方法二）建立所示的空间直角坐标系A-xyz ，由此利用向量法能求出直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．20.【答案】解：（1）f （x ）=|x +1|+2|x -1|=，{1‒3x ，x ≤‒13‒x ，‒1＜x ＜13x ‒1，x ≥1由解得，x ＜-；由解得，x ∈∅；{1‒3x >5x ≤‒143{‒1<x <13‒x >5由解得，x ＞2．{3x ‒1>5x ≥1则不等式的解集为（2，+∞）∪（-∞，-）；43（2）当a ＞0时，f （x ）=，{‒3x +2a ‒1，x ≤‒12a +1‒x ，‒1＜x ＜a3x +1‒2a ，x ≥a 当x ≤-1时，f （x ）≥2a +2，当-1＜x ＜a 时，1+a ＜f （x ）＜2+2a ；当x ≥a 时，f （x ）≥1+a ．即有f （x ）的值域为[1+a ，+∞）．当a ＞0时，若不等式f （x ）＞3恒成立，即有3＜1+a ，解得，a ＞2；（3）当a ＜0且x ＞1时，关于x 的方程2x [f （x ）-1]=a ，即为2x （x +1+2x -2a -1）=a ，即为2x （3x -2a ）=a ，上式左边大于0，右边小于0，显然方程无解．则a ＜0．【解析】（1）通过绝对值的含义，去绝对值符号，得到f （x ），再解f （x ）＞5，最后求并集即可；（2）通过去绝对值，求得f （x ）的值域，得到最小值，由最小值大于3，即可；（3）通过a ＜0，x ＞1去掉绝对值，化简方程，分析方程左右两边，即可得到a 的范围．本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．21.【答案】证明：（1）连接AD ，∵D 是BB 1的中点，P 是AA 1的中点，可由棱柱的性质知AP ∥DB 1，且AP =DB 1，∴四边形ADB 1P 是平行四边形，∴AD ∥PB 1，∵P 、Q 分别是AA 1、A 1C 1的中点，∴AC 1∥PQ ，∴平面AC 1D ∥平面PQB 1，∴C 1D ∥平面PQB 1．解：（2）以P 为原点，在平面ABB 1A 1内过P 作AA 1的垂线为x 轴，以PA 1为y 轴，PC 1为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系面A 1B 1P 的一个法向量为=（0，0，1），⃗n P （0，0，0），Q （0，1，），B 1（，0），33，1=（0，1，），=（），⃗PQ 3⃗PB 13，1，0设平面PQB 1的法向量=（x ，y ，z ），⃗m 则，取x =1，得=（1，-，1），{⃗m ⋅⃗PQ =y +3z =0⃗m ⋅⃗PB 1=3x +y =0⃗m 3设二面角Q -PB 1-A 1的平面角为θ，则cosθ==．|⃗m ⋅⃗n ||⃗m |⋅|⃗n |55故二面角Q -PB 1-A 1的余弦值为．55【解析】（1）连接AD ，推导出四边形ADB 1P 是平行四边形，从而AD ∥PB 1，再求出AC 1∥PQ ，从而平面AC 1D ∥平面PQB 1，由此能证明C 1D ∥平面PQB 1．（2）以P 为原点，在平面ABB 1A 1内过P 作AA 1的垂线为x 轴，以PA 1为y 轴，PC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角Q-PB 1-A 1的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22.【答案】解：（1）设P （x 0，y 0）代入椭圆方程，则，x 20a 2+y 20b 2=1整理得：y 02=（x 02-a 2），b 2a 2又k 1=，k 2=，所以k 1k 2==-，y 0x 0+a y 0x 0‒a y 20x 20‒a 212联立两个方程则k 1k 2=-=-，解得：e ===．b 2a 212ca 1‒b 2a 222（2）由（Ⅰ）知a 2=2b 2，又b =1，∴椭圆C 的方程为．x 22+y 2=1设直线l 的方程为：x =my -1，代入椭圆的方程有：（m 2+2）y 2-2my -1=0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则y 1+y 2=，y 1y 2=-，2m m 2+21m 2+2则△OMN 的面积S =丨OD 丨丨y 1-y 2丨===，1212(y 1+y 2)2‒4y 1y 2128m 2+8丨m 2+2丨2m 2+1丨m 2+2丨令=t ，（t ≥1），则有m 2=t 2-1，m 2+1代入上式有S ===≤2m 2+1丨m 2+2丨2t 丨t 2+1丨2t +1t 22当且仅当t =1，即m =0时等号成立，所以△OMN 的面积的最大值为．22【解析】（1）设P 点坐标，代入椭圆方程，根据直线的斜率公式，即可求得=，根据椭圆的离心率公式，即可求得椭圆的离心率．（2）由（1）求得椭圆方程，设直线l 的方程，代入椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式求得△OMN 的面积，利用基本不等式的性质即可求得△OMN 的面积的最大值．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．。

浙江省诸暨中学实验班2018-2019学年高二上学期期中考试题数学(含精品解析)

条件，则实数 m 的取值范围为______． 14. 将标号为 1，2，…，10 的 10 个球放入标号为 1，2，…，10 的 10 个盒子内，每
个盒内放一个球，则恰好有 3 个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有______种．（以数字作答） 15. 甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数 a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把 a1 乘以 2 后再减去 12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把 a1 除以 2 后再加上 12，这样就可得到一个新的实数 a2，对 a2 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数 a3，当 a3＞a1 时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜
∴（x- ）（x+ ）6，
又（x+ ）6 的展开式通项公式为
Tr+1= •x6-r•
= •x6-2r，
由 6-2r=2，解得 r=2，
∴（x+ ）6 展开式中含 x2 的系数为 =15；令 6-2r=4，解得 r=1， ∴（x+ ）6 展开式中含 x4 的系数为 =6； ∴（x- ）（x+ ）6 展开式中 x3 项的系数为 1×15- ×6= ．故选：D．
个命题同真同假的性质应用，属于中档题． 3.【答案】D
【解析】
解：根据题意，函数 f（x）=ex，有 f（0）=e0=1，即切点的坐标为（0，1）， f（x）=ex，则 f′（x）=ex，有 f′（0）=e0=1，即切线的斜率为 1，则函数 f（x）=ex 在点（0，f（0））处的切线为 y-1=x，即 y=x+1，
19. 设函数 f（x）=ln（x+1）-x．（1）求函数 f（x）的单调区间；

2018-2019高二下学期数学期中试卷(平行班含答案浙江诸暨中学)

诸暨中学2018学年第二学期高二期中考试数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.已知x e x f xln )(-=，则=')1(f （ ▲ ）e A . 1.-e B 0.C 11.-eD2.若复数iiz +-=11，则=2z （ ▲ ）i A . i B -. 1.C 1.-D3.将5个相同名额分给3个不同的班级，每班至少得到一个名额的不同分法种数是（ ▲ ）60.A 50.B 10.C 6.D4.已知正数y x ,满足441=+yx ，则y x +的最小值是（ ▲ ） .A 9 .B 6 49.C .D 255.已知函数a x x x x f +--=23)(，若曲线)(x f y =与x 轴有三个不同交点，则实数a 的取值范围为（ ▲ ）)2711,.(--∞A ),1.(+∞B )1,275.(-C )1,2711.(-D 6.用数学归纳法证明不等式n n <-++++121...31211,2(≥n 且)*N n ∈时，在证明从k n =到1+=k n 时，左边增加的项数是（ ▲ ）k A 2. 12.-k B 12.-k C k D .7.从9...4,3,2,1这9个整数中同时取出4个不同的数，其和为奇数，则不同取法种数有（ ▲ ）A ．60B ．66C ．72D ．1268.已知xxx f ln )(=,则下列结论中错误的是（ ▲ ） .A )(x f 在),0(e 上单调递增 )4()2(.f f B = .C 当10<<<b a 时，a b b a < 201920202020log .2019>D 9.已知x x x f cos 41)(2+=，)(x f '为)(x f 的导函数，则)(x f '的图像是（ ▲ ） A ．B ．C ．D ．10.已知定义在R 上的可导函数)(x f ，对于任意实数x ，都有2)()(x x f x f =+-成立，且当),0(+∞∈x 时，都有x x f >')(成立，若a a f a f -+≥-21)()1(，则实数a 的取值范围为（ ▲ ）A ．]21,(-∞B ．),21[+∞ C ．]2,(-∞D ．),2[+∞二、填空题（本大题7个小题，单空题每题3分，多空题每题4分，共25分）11.杨辉在《详解九章算法》中给出了三角垛垛积公式：)2)(1(612)1(...631++=+++++n n n n n （其中n 为正整数）。

浙江诸暨中学2018-2019学年高二期中考试数学答案

又底面是菱形， ,得为正三角形，为的中点，易得，所以 , ,故平面 ...........................5
连接，易证 . 平面 ,又平面 ,得面面，且交线为，在平面内，过作 ,则面，故为在平面上的射影，即为所求线面角。.............8
易证为正，又为中点，也为正。面面 ,且交线为 ,过作交于点，则平面...9
易求 , ， , ...............12
22.解：设为椭圆上的点
则， ........................................2
若焦点在轴上，双曲线的标准方程为。....................4
设与椭圆的两交点其中点
则 .........8
又，消去得。.....................9
所以弦的中点的轨迹方程为 ………....10
19.证明：平面 ,又平面，所以 ..........2
要使在上的解集为空集，即在上无实根。记，为开口向上的抛物线。
当时，须满足解得。
综上 ...................10
21.证明：为上的中点，易证四边形为平行四边形，连接交于点则为的中点。连接 ,由中位线知 ,又面面 ,故平面 ................5
又
.............................................5
由知且 ..............................6
设直线，代入椭圆方程有
设由韦达定理 .........................................8

诸暨中学2019学年高二上学期10月阶段性考试数学(实验班) 试题

诸暨中学2019学年高二阶段性考试数学试卷（实验班） 2019.10注：考试时间120分钟，请考生将试题答案统一做在答题纸上。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的。

1.准线方程为y ＝2的抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝16y B ．x 2＝8y C ．x 2＝－16y D ．x 2＝－8y2. 若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示.则该几何体的正视图是( )13. 已知a,b 是平面内的两条直线.则“直线⊥且l ⊥b ”是“⊥”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4．设x 为实数，命题p ：x ∀∈R ，20x ≥.则命题p 的否定是 ( )A ．p ⌝：x ∀∈R,20x ≤ B.p ⌝：∈∃0x R, 020≤xC.p ⌝：x ∀∈R,20x < D.p ⌝：∈∃0x R,020<x5.直线与抛物线交点的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 0或16. 设,,αβγ是三个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线.则下列说法正确的是（）A.若,αββγ⊥⊥，则//αγB. 若,//m αββ⊥，则m α⊥C. 若,m n αα⊥⊥，则//m nD. 若//,//m n αα，则//m nESACB7．如图，在三棱锥ABC S -中，E 为棱SC 的中点.若2,32======BC AB SC SB SA AC .则异面直线AC 与BE 所成的角为（）A. 030B. 045C. 060D. 0908．设21F F ，分别为椭圆的左、右焦点.椭圆上存在一点P 使得则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.9. 在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，已知四棱锥S-ABCD 为阳马，且AB=AD ， SD ⊥底面ABCD.若E 是线段AB 上的点含端点，设SE 与AD 所成的角为，与底面所成的角为，二面角S-AE-D 的平面角为.则A.B.C.D.10.已知双曲线:的一个焦点为.点是的一条渐近线上关于原点对称的两点，以为直径的圆过且交的左支于两点。

诸暨市第二中学校20182019学年上学期高二数学月考试题含解析

）
A
．若l
，
，则
l
．若l
//
，
//
，则
lBC．若l，//，则lD．若l
//
，
，则l
．已知命题
p:f(x)a
x
(a0
且
a1)
是单一增函数；命题
5
)
，sinx
cosx
.
4
q:x(,
4
4
则以下命题为真命题的是（
）
A．pq
B．p
q
C.
p
q
D．pq
5．以下知足“?
x∈R，f（x）+f（﹣x）=0且f′（x）≤0”的函数是（
优选高中模拟试卷
诸暨市第二中学校
2018-2019学年上学期高二数学
12月月考试题含分析
班级__________
姓名__________
分数__________
一、选择题
1．直线x+y﹣1=0与2x+2y+3=0
的距离是（
）
A．
B．
C．
D．
2．椭圆
=1的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
3．设
,是两个不一样的平面，是一条直线，以下命题正确的选项是（
13．数列{an}是等差数列，a4=7，S7=．
14．设会合
A
x|2x2
7x
15
0,B
x|x2
axb0,知足
AB
,AB
x|
5x
2
,务实数a
__________.
x2x,x0,
15．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数

诸暨中学2019学年高二上学期10月阶段性考试数学试题

诸暨中学2019学年高二阶段性考试数学试卷2019.10参考公式:柱体的体积公式 VSh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式 13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 台体的体积公式 11221()3V S S S S h =++ 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高球的表面积公式24πS R = 其中R 表示球的半径球的体积公式 34π3VR = 其中R 表示球的半径一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在直角坐标系中，直线330x y +-=的倾斜角是（） A ．6π B ．3π C ．65π D ．32π 2.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（）A ．5B ．3C ．10D ．53.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是 ( )4.与直线0632=-+y x 关于点)1,1(-对称的直线方程是（）A ．0832=++y xB ．0732=++y xC ．01223=--y xD ．0223=+-y x5.已知ABC ∆的平面直观图∆C B A '''是边长为a 的正三角形，那么原ABC ∆的面积为( )A. 223aB. 243aC. 226a D. 26a 6.已知点(,)(0)M a b ab ≠是圆C:222x y r +=内一点，直线m 是以M 为中点的弦所在的直线，直线l 方程为2ax by r += ，则（）A. l m ⊥且l 与圆相交B.l m ⊥且 l 与圆相离C.l ∥m l 且与圆相交D. l ∥m l 且与圆相离7.过点A （11，2）作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有( )A ．16条B ．17条C ．32条D ．34条 8.已知实数x ，y 满足27025>0,x y x y x y +-≥⎧⎪+-⎪⎨∈⎪⎪∈⎩N N ，，，则34x y +的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．199.若一个正四面体的表面积为1S ，其内切球的表面积为2S ，则12S S =( )10.已知直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，|OA →＋OB →|≥|AB →|，那么实数m 的取值范围是 ( )A ．(－2，－2]∪[2，2)B ．(－2,2)C ．[－2，2]D ．(－2，2]二.填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11.设直线1:(1)320l a x y a +++-=，直线2:2(2)+10l x a y ++=.若1l ∥2l ，则实数a 的值为 ;12.已知一条直线过M )23,3(--且被圆2522=+y x 截得的弦长为8，则这条直线的方程是 ;13.已知点A ()1,2-,B ()4,4,若点C 在圆()()96322=++-y x 上运动，则△ABC 的重心G 的轨迹方程是 ;14.已知实数x ，y 满足条件1,4,20,-≥-⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩x y x y x y 若存在实数a 使得目标函数)0(<+=a y ax z 取到最大值的最优解有无数个，则a = ;15.若关于x 的方程(2)3k x =-+有两个不等的实根，则实数k 的取值范围是 ;16.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 ;17.已知圆221:(3)(2)1C x y -+-=,圆222:(6)(5)4C x y -+-=,,M N 分别是圆12,C C 上的动点,P 为y 轴上的动点,则PM PN +的最小值为 .三.解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)18.（本小题满分10分）已知直线:320l kx y k -+-=（1）证明：直线恒过一定点，并求出该定点P 的坐标;（2）若直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A,B,求△ABO 面积的最小值及此时直线l 的方程.19.（本小题满分12分）过点(1,2)P 作圆224x y +=的两条切线,切点分别为,A B(1)求切线,PA PB 的方程;(2)求PAB ∆的外接圆方程;(3)求直线AB 的方程.20.（本小题满分10分）如图，在平面四边形ABCD中，3,52,4,224ADC AB CD ADπ∠====求四边形ABCD绕直线AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.21.（本小题满分10分）已知变量,x y满足条件0,0,0,x-y+2x y-42x-y-5≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩求（1）221026z x y y=+-+的最小值；（2）321yzx+=+的取值范围.22.（本小题满分10分）已知圆C：22630x y x y++-+=,是否存在斜率为1-2的直线l，使得直线l被圆截得的弦为AB,且以AB为直径的圆经过原点O?若存在，写出直线l的方程，若不存在，请说明理由.诸暨中学2019学年高二阶段性考试数学参考答案一．选择题DBCAC DCBBA二．填空题11.-4 12.334+150x x y =-+=或 13.22(2)1x y -+= 14.-1 15.53,124⎛⎤⎥⎝⎦ 16.1519+3103三．解答题（3）(1)(2,3)P 直线恒过定点 4分(2)min ()12ABC S ∆=此时直线方程:32120x y +-= 10分19.(1)切线方程:23100y x y =+-=或4 4分(2)2220x y x y +--= 8分(3):240AB x y +-= 12分20.解：3,2,4,2242,2,52ADC AB CD AD EC r DE BC π∠====∴====Q 所得几何体是一个圆台挖去一个圆锥 22222=++=R ()(52)(2252)52224(12082)1-33S S S S R r l rl V V V r h πππππππππ∴'+++=+⨯⨯=+'==表圆台下底圆台侧圆锥侧圆台圆锥（R +r +Rr ）h-5分2221[(52)(22)22]22)3323ππ=++⨯= 10分21.（1）作出可行域22(5)1z x y =+-+ 2min 911(11222z =+=+=（2）2331y z x +=⨯+表示连2(,)--3M x y 与N(1，）连线的斜率的3倍2153,3112NA k +==+23113,116NB k +==+32511[,]142y z x +=∈+ 22.假设存在，设直线方程为12y x b =-+ ，设1122(,),(,)A x y B x y 由2212630y x b x y x y ⎧=-+⎪⎨⎪+--+=⎩消去y 得225(164)424120x b x b b +-+-+=124165b x x -∴+=， 212424125b b x x -+= 以AB 为直径的圆经过原点O ，12120OA OB OA OB x x y y ∴⊥∴⋅=+=u u u r u u u r121211()()022x x x b x b ∴+-+-+= 2121251()042x x b x x b ∴-++= 22542412141604525b b b b -+-∴⨯-⨯+= 2822150b b ∴-+= 5342b ∴==或代入得>0∆ ∴所求直线方程为1524y x =-+或1322y x =-+。

诸暨市高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

诸暨市高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．如果双曲线经过点P （2，），且它的一条渐近线方程为y=x ，那么该双曲线的方程是（）A ．x 2﹣=1 B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=12． △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，已知a =b =6A π∠=，则B ∠=（）111]A ．4π B ．4π或34π C ．3π或23π D ．3π3．如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角是30°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的离心率是（）A ．B ．C ．D ．4．已知角α的终边经过点(sin15,cos15)- ，则2cos α的值为（）A ．124+ B ．124- C. 34 D ．05．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=6．已知f （x ）为偶函数，且f （x+2）=﹣f （x ），当﹣2≤x ≤0时，f （x ）=2x ；若n ∈N *，a n =f （n ），则a 2017等于（）A ．2017B ．﹣8C ．D ．7．直线的倾斜角是（）A ．B ．C ．D ．8．若定义在R 上的函数f （x ）满足f （0）=﹣1，其导函数f ′（x ）满足f ′（x ）＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是（） A． B．C．D．9．已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩……… 内的概率为（）A.34B.38C.14D.18【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力. 10．已知点F 1，F 2为椭圆的左右焦点，若椭圆上存在点P使得，则此椭圆的离心率的取值范围是（）A ．（0，） B ．（0，] C．（，] D ．[，1）11．若函数f （x ）=2sin （ωx+φ）对任意x 都有f（+x ）=f （﹣x ），则f（）=（）A ．2或0B ．0C ．﹣2或0D ．﹣2或212．若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假13．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过2个小时，这种细菌由1个可繁殖成（）A ．512个B ．256个C ．128个D ．64个 14．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别是a 、b 、c ．若sinC+sin （B ﹣A ）=sin2A ，则△ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形15．设定义域为（0，+∞）的单调函数f （x ），对任意的x ∈（0，+∞），都有f[f （x ）﹣lnx]=e+1，若x 0是方程f （x ）﹣f ′（x ）=e 的一个解，则x 0可能存在的区间是（） A ．（0，1） B ．（e ﹣1，1） C ．（0，e ﹣1）D ．（1，e ）二、填空题16．下列命题：①集合{},,,a b c d 的子集个数有16个； ②定义在R 上的奇函数()f x 必满足(0)0f =；③2()(21)2(21)f x x x =+--既不是奇函数又不是偶函数； ④A R =，B R =，1:||f x x →，从集合A 到集合B 的对应关系f 是映射； ⑤1()f x x=在定义域上是减函数．其中真命题的序号是． 17．若复数34sin (cos )i 55z αα=-+-是纯虚数，则tan α的值为 . 【命题意图】本题考查复数的相关概念，同角三角函数间的关系，意在考查基本运算能力．18．设全集U=R ，集合M={x|2a ﹣1＜x ＜4a ，a ∈R}，N={x|1＜x ＜2}，若N ⊆M ，则实数a 的取值范围是． 19．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为．三、解答题20．已知数列{a n }的首项a 1=2，且满足a n+1=2a n +3•2n+1，（n ∈N *）．（1）设b n =，证明数列{b n }是等差数列；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．21．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数()()()3244f x x a x a b x c =+--++(),,R a b c ∈有一个零点为4，且满足()01f =.（1）求实数b 和c 的值；（2）试问：是否存在这样的定值0x ，使得当a 变化时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线互相平行？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由；（3）讨论函数()()g x f x a =+在()0,4上的零点个数.22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E为PA的中点，M在PD上．（I）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若，则当λ为何值时，平面BEM⊥平面PAB？（Ⅲ）在（II）的条件下，求证：PC∥平面BEM．23．如图，在四棱锥中，等边所在的平面与正方形所在的平面互相垂直,为的中点，为的中点，且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使线段与所在平面成角．若存在，求出的长,若不存在，请说明理由．24．如图，A 地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

浙江省诸暨市2018-2019学年高二上学期期末考数学试题(解析版)

诸暨市2018-2019学年第一学期期末考试试题高二数学一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据抛物线方程可直接写出准线方程.【详解】因为抛物线的方程为，所以，所以其准线方程为.故选A【点睛】本题主要考查抛物线的准线，属于基础题型.2.已知，，，，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由不等式性质，即可判断出结果.【详解】因为，由不等式性质易得：.故选B.【点睛】本题主要考查不等式性质，也可用特殊值法逐项排除，属于基础题型.3.不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由含绝对值不等式的解法求解即可.【详解】因为，所以，所以，因此.故选A【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法，求解时通常去绝对值得到不等式组；也可两边同时平方进而转化为一元二次不等式求解，属于基础题型.4.直线，在平面内射影也是两条直线，分别是，，下列说法正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】根据空间中直线与直线的位置关系逐项判断即可.【详解】A.如果直线，都与平面相交，且直线，异面，则其投影可能互相平行，所以A错；B.在正方体中与垂直，但与不垂直，即投影垂直，但原直线不一定垂直，所以B 错；C.当空间中的两条直线互相平行时，它们在同一投影面上的投影都是相互平行或重合的，又因为直线，在平面内射影也是两条直线，分别是，，说明，不重合，所以，只能平行，所以C正确；D.时，与可能是异面，故D错；故选C【点睛】本题主要考查空间中直线与直线的位置关系，以及直线在面上的投影问题，结合空间几何体分析即可，属于基础题型.5.已知函数，函数的最小值等于（）A. B. C. 5 D. 9【答案】C【解析】【分析】先将化为，由基本不等式即可求出最小值.【详解】因为，当且仅当，即时，取等号.故选C【点睛】本题主要考查利用基本不等式求函数的最值问题，需要先将函数化为能用基本不等式的形式，即可利用基本不等式求解，属于基础题型.6.某几何体的正视图如图所示，这个几何体不可能是（）A. 圆锥与圆柱的组合B. 棱锥与棱柱的组合C. 棱柱与棱柱的组合D. 棱锥与棱锥的组合【答案】D【解析】【分析】直接从正视图判断即可.【详解】正视图由一个三角形和一个矩形拼接而成，因此上方可能是一个棱锥、圆锥、或三棱柱；下方可能是一个棱柱或圆柱；故这个几何体不可能是棱锥与棱锥的组合.故选D.【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由三视图还原几何体是常考题型，熟记简单几何体的三视图即可，难度不大.7.如图，正三棱柱中，，是的中点，则与平面所成角的正弦值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】记分别为直线的中点，取中点，连结，，只需证平面，即可得是与平面所成的角，进而可求出结果.【详解】记分别为直线的中点，取中点，连结，，所以在正三棱柱中，平面；又是的中点，所以,所以平面，故即是与平面所成的角；设，则，，所以.故选C.【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，只需在几何体中作出线面角，即可求解，属于基础题型.8.如图，双曲线的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，与圆相切于点，是的中点，则（）A. 1B. 2C.D.【答案】A【解析】【分析】先由是的中点，是的中点,可得,；再由勾股定理求出，进而表示出，再由双曲线的定义即可求出结果.【详解】因为是的中点，是的中点，所以；又，所以有，所以，所以，由双曲线的定义知：，所以.故选A【点睛】本题主要考查双曲线的定义，熟记双曲线定义结合题意即可求解，属于常考题型.9.过双曲线的右焦点作斜率为的直线，交两条渐近线于，两点，若，则此双曲线的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由题意求出直线的方程，再与双曲线的渐近线方程联立求出A,B两点的横坐标，根据，即可求出结果.【详解】设双曲线右焦点为，则过该点斜率为的直线方程为：；又双曲线的渐近线的方程为：，所以由题意，联立可得；联立可得；因为，所以,解得，所以离心率.故选A【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，只需要直线与双曲线渐近线方程联立，求出交点坐标，根据题中条件，即可求解，属于常考题型.10.正四面体的棱与平面所成角为，其中，点在平面内，则当四面体转动时（）A. 存在某个位置使得，也存在某个位置使得B. 存在某个位置使得，但不存在某个位置使得C. 不存在某个位置使得，但存在某个位置使得D. 既不存在某个位置使得，也不存在某个位置使得【答案】B【解析】【分析】由线面垂直与线面平行的判定，结合反证法，即可得出结果.【详解】当正四面体过点的高与平面垂直时，平面平面，所以平面；若平面，因为正四面体中，所以平面，或平面，此时与平面所成角为0，与条件矛盾，所以不可能垂直平面；故选B【点睛】本题主要考查直线与平面平行与垂直的判定，在验证与平面是否垂直时，可借助反证的思想来解决，属于中档试题.二、填空题（本题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.已知，则_______，______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】由向量运算的坐标表示求出的坐标，再由向量模的坐标运算即可求出.【详解】因为，，所以，所以.故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查向量的坐标表示，以及向量模的坐标运算，熟记公式即可求解，属于基础题型.12.南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数表示近似值的方法，理论依据是：若，则.例如，，使用一次“调日法”得到分数，范围就缩小到.若我们要求近似值与的误差小于0.1，则至少还要使用“调日法”________次，相应得到的的近似分数是______.【答案】(1). 二(2).【解析】【分析】依题意按顺序使用调日法，得到的近似数，判断与的大小关系，直到误差小于0.1即可.【详解】第二次使用调日法可得：，所以，此时，所以需要再次使用调日法，可得：，所以，此时，满足题意，所以又使用了2次调日法，且此时的近似分数是.故答案为(1). 二(2).【点睛】本题主要考查归纳推理，依题意合理递推即可，属于基础题型.13.若抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程是_______.【答案】或【解析】【分析】先求出直线与轴以及轴交点，即抛物线的焦点，从而可写出抛物线方程.【详解】因为直线与轴交点为，与轴交点为，所以当抛物线焦点为时，抛物线方程为；当抛物线焦点为时，抛物线方程为.故答案为或【点睛】本题主要考查求抛物线的标准方程，熟记抛物线标准方程的几种形式即可求出结果，属于基础题型.14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为________，表面积为______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】先由几何体的三视图判断该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，由公式计算表面积和体积即可.【详解】由几何体的三视图可知：该几何体是由一个球和一个三棱柱组合而成，且球的半径为1，三棱柱的底面是直角三角形，直角边为1，三棱柱的高为1，所以体积为；表面积为；故答案为(1). (2).【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求几何体的表面积和体积，先根据三视图确定几何体的形状，再由面积公式和体积公式求解即可，属于常考题型.15.正方体的棱长为4，点是棱上一点，若异面直线与所成角的余弦值为，则_______.【答案】1【解析】【分析】由空间向量的方法，根据异面直线与所成角的余弦值为，即可求出的长.【详解】以为坐标原点，以方向为轴，方向为轴,方向为轴，建立空间直角坐标系，设，则，所以，设异面直线与所成的角为，则，解得，即.故答案为1【点睛】本题主要考查由异面直线所成的角确定点的位置的问题，由空间向量的方法建系求解即可，属于基础题型.16.已知.若，则当取最大值时，________；若，则的最小值______.【答案】(1). (2). 9【解析】【分析】先将化为，即可求出的最大值，以及此时的；由化为，结合题意求出此时的范围，再由用表示出，代入，结合基本不等式即可求解.【详解】由可得，即，又，当且仅当即时，取等号；所以，整理得：，因为，所以，即最大值为，联立得；由得，由得，所以，又由得，所以，当且仅当，即时，取等号.故答案为(1)；（2）【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求最值的问题是比较常见的一种题型，有时需要借助基本不等式的变形，所以需要考生灵活运用基本不等式来处理，属于中档试题.17.已知椭圆的离心率大于，是椭圆的上顶点，是椭圆上的点，则的最大值_______.【答案】【解析】【分析】由椭圆的参数方程设点，再由椭圆标准方程写出点坐标，由两点间距离公式，即可表示出，求解即可.【详解】因为椭圆的上顶点为，由椭圆的参数方程设，所以，所以当时，取最大值为.故答案为【点睛】本题主要考查椭圆的参数方程的应用，由参数方程设出点的坐标，由两点间距离公式表示出，即可求其最值，属于中档试题.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间80分钟，其中广告时间1分钟，收视观众60万；连续剧乙每次播放时间40分钟，其中广告时间1分钟，收视观众20万.现在企业要求每周至少播放广告6分钟，而电视台每周至多提供320分钟节目时间.（1）设每周安排连续剧甲次，连续剧乙次，列出，所应该满足的条件；（2）应该每周安排两套电视剧各多少次，收视观众最多？【答案】（1）（2）每周应安排甲、乙连续剧2套、4套【解析】【分析】（1）依题意确定等量关系即可列出，所应该满足的条件；（2）由题意得出目标函数，结合(1)中约束条件作出可行域，结合可行域即可求出最值.【详解】（1）由题意可得：；（2）收视观众数为万，则，所以，因此直线在y轴截距最大时，取最大值；画出可行域易知当，时，有最大值，最大值是200，收视观众200万.每周应安排甲、乙连续剧2套、4套【点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，根据题意列出约束条件和目标函数，作出可行域，即可求解，属于基础题型.19.如图，三棱锥中，，分别是，的中点.（1）求证平面；（2）若，平面平面，，求证：.【答案】(1)见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明平面；（2）先由线面垂直的判定定理证明平面，即可证明，从而可得.【详解】（1）由、分别是、的中点得，又在平面外，所以平面（2）由，是中点得由平面平面得点在平面内的射影在上.平面∴【点睛】本题主要考查线面平行与线面垂直，熟记判定定理和性质定理，即可判断出结果.20.已知椭圆上的点（不包括横轴上点）满足：与，两点连线的斜率之积等于，，两点也在曲线上.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点作斜率为1的直线交椭圆于，两点，求；（3）求椭圆上的点到直线距离的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由题中与，两点连线的斜率之积等于列出等量关系，化简整理即可求出结果；（2）先求出过椭圆的右焦点且斜率为1的直线方程，代入椭圆方程，求出交点横坐标，再由弦长公式即可求出结果；（3）设出与直线平行、且与椭圆相切的直线方程，代入椭圆方程，由判别式等于0，求出切线方程，再由两条平行线间的距离公式求解即可.【详解】（1）因为与，两点连线的斜率之积等于所以，，整理得：即为所求;（2）由题意可得过椭圆的右焦点且斜率为1的直线为，代入椭圆方程得，化简整理得，所以，或∴（3）设是椭圆的切线，代入椭圆方程得：则，即由得.直线与距离为，所以当时，距离最小为.【点睛】本题第一问考查椭圆的方程，由题意列出方程化简即可求出结果；第二问求弦长，通常需要联立直线与曲线方程，结合弦长公式求解；第三问求椭圆上的点到定直线上的距离的问题，可转化为求与定直线平行切与椭圆相切的直线方程，再由两平行线间的距离公式求解即可，属于常考题型.21.如图，四棱锥中，是边长等于2的等边三角形，四边形是菱形，，，是棱上的点，.，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）由直线与平面平行的判定定理，即可证明平面；（2）先证明、、两两垂直，然后以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，由向量夹角余弦值即可确定线面角的正弦值.【详解】（1）取中点，连结，，因为，是的中点，所以，，又，不在平面内，在平面内，所以平面，平面，又交于点；所以平面平面，∴平面.（2）∵，，故.又，，，从而.从，可得平面平面平面，，平面以、、为、、轴建系得，，，，, 则，,,设平面的法向量为，则，即，令，则，记直线与平面所成角为，所以有，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查直线与平面平行的判定，以及空间向量的方法求线面角，需要考生熟记判定定理即可证明线面平行；对于线面角的求法，常用向量的方法，建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，由向量夹角即可确定线面角，属于常考题型.22.过斜率为的直线交抛物线于，两点.（1）若点是的中点，求直线的方程；（2）设是抛物线上的定点，，不与点重合.①证明恒成立；②设，交直线于，两点，求的取值范围.【答案】（1）（2）①详见解析②【解析】【分析】（1）由点差法求出直线的斜率，再由点斜式即可写出直线方程；（2）①依题意联立直线与抛物线方程，由韦达定理，直接求，的斜率之积即可；②由①分别设出直线，的斜率，由直线与直线联立求出横坐标，进而求出的横坐标，再由即可求出结果.【详解】（1）由题意可得：∴方程为，即（2）①联立直线与抛物线方程并整理得：∴，.所以，②设，的斜率分别为，.则由得：，所以所以或∴.的取值范围是.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合，求直线的方程通常只需要求出斜率和定点即可；判断直线垂直，通常只需两直线斜率之积为-1，在处理此类问题时，也会用到联立直线与曲线方程，结合韦达定理求解，属于常考题型.。

绍兴市诸暨市诸暨中学高二数学上学期10月月考试题含解析

10.已知双曲线的一个焦点为 ,点是的一条渐近线上关于原点对称的两点，以为直径的圆过且交的左支于两点,若，的面积为8，则的渐近线方程为（）
A。 B。
C。 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由双曲线的对称性可得即，又 ,从而可得的渐近线方程。
【详解】设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的对称性，四边形是矩形，所以，即，由 ,得：，所以 ,所以，所以，，所以 , 的渐近线方程为 .
【点睛】本题主要考查了命题的否命题和真假判断，其中解答中熟记四种命题的概念，正确书写命题的否命题是解答的关键，着重考查了判断能力和推理能力，是一道基础题．
12.已知椭圆中心在原点,一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍。则该椭圆的长轴长为______；其标准方程是________．
【答案】（1）. 8 （2).
即为，
化为，
可得 ,
,
则该椭圆的离心率为．
故选：B．
【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义和方程思想,考查运算能力，属于中档题．
9。在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，已知四棱锥为阳马，且，底面若E是线段AB上的点含端点，设SE与AD所成的角为 ,SE与底面ABCD所成的角为，二面角的平面角为，则
【答案】2
【解析】
设直线与轴交于H点，设，则，而，所以，化简得，解得，则双曲线的离心率的最小值为2。
点睛：本题主要考查双曲线的方程和性质，两角差的正切公式,离心率的求法，基本不等式的应用，考查运算能力，属于中档题。
17。在正方体中边长AB为2，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点,O为底面正方形ABCD的中心，Q为正方形ABCD内一点，M,N分别为AB，BC上靠近A和C的三等分点，若线段与OP相交且互相平分,则点Q的轨迹与线段MN形成的封闭图形的面积为____．

诸暨市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

诸暨市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．设为虚数单位，则（）A ．B ．C ．D ．2．若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则（）A ．()()()213f f f -<<B ．()()()123f f f <-<C ．()()()312f f f <<D ．()()()321f f f <-<3．若直线l 的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（） A ．l ∥α B ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交但不垂直4．从1、2、3、4、5中任取3个不同的数、则这3个数能构成一个三角形三边长的概率为（） A.110 B.15 C.310 D.255．在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为1,BC BB 的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（）A ．直线1AAB ．直线11A B C. 直线11A D D ．直线11BC 6．设()f x 是偶函数，且在(0,)+∞上是增函数，又(5)0f =，则使()0f x >的的取值范围是（） A ．50x -<<或5x > B ．5x <-或5x > C ．55x -<<D ．5x <-或05x <<7．如果双曲线经过点P （2，），且它的一条渐近线方程为y=x ，那么该双曲线的方程是（）A ．x 2﹣=1 B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=18．设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（）A ．p 或qB ．p 且qC ．￢p 或qD ．p 且￢q9．三个数60.5，0.56，log 0.56的大小顺序为（） A ．log 0.56＜0.56＜60.5 B ．log 0.56＜60.5＜0.56 C ．0.56＜60.5＜log 0.56 D ．0.56＜log 0.56＜60.510．已知集合{| lg 0}A x x =≤，1={|3}2B x x ≤≤，则A B =（） A ．(0,3] B ．(1,2]C ．(1,3]D ．1[,1]2【命题意图】本题考查对数不等式解法和集合的运算等基础知识，意在考查基本运算能力． 11．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=，且f （x ）=f （x+2），g （x ）=，则方程g （x ）=f （x ）﹣g （x ）在区间[﹣3，7]上的所有零点之和为（）A ．12B ．11C ．10D ．912．偶函数f （x ）的定义域为R ，若f （x+2）为奇函数，且f （1）=1，则f （89）+f （90）为（） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．0 D ．1二、填空题13．设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，集合B={2，3}，则（∁U A ）∪B= ．14．从等边三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC=3+，则这两个正方形的面积之和的最小值为．15．如图，E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是．16．（本小题满分12分）点M （2pt ，2pt 2）（t 为常数，且t ≠0）是拋物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上一点，过M 作倾斜角互补的两直线l 1与l 2与C 的另外交点分别为P 、Q .（1）求证：直线PQ 的斜率为－2t ；（2）记拋物线的准线与y 轴的交点为T ，若拋物线在M 处的切线过点T ，求t 的值．17．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前项和n S 取得最大值的自然数是________. 18．曲线在点（3，3）处的切线与轴x 的交点的坐标为．三、解答题19．（本题满分15分）若数列{}n x 满足：111n nd x x +-=（d 为常数， *n N ∈），则称{}n x 为调和数列，已知数列{}n a 为调和数列，且11a =，123451111115a a a a a ++++=.（1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）数列2{}nna 的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得2015n S ≥？若存在，求出n 的取值集合；若不存在，请说明理由.【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力.20．已知函数f （x ）=2x 2﹣4x+a ，g （x ）=log a x （a ＞0且a ≠1）．（1）若函数f （x ）在[﹣1，3m]上不具有单调性，求实数m 的取值范围；（2）若f （1）=g （1） ①求实数a 的值；②设t 1=f （x ），t 2=g （x ），t 3=2x ，当x ∈（0，1）时，试比较t 1，t 2，t 3的大小．21．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =．（1）求{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ；（2）设(){}1nn n b a --是等比数列，且257,71b b ==，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前n 项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用．22．（本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，直线⊥AF 平面ABCD ，AB EF //，12,2====EF AF AB AD ，点P 在棱DF 上.（1）求证：BF AD ⊥；（2）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（3）若FD FP 31=，求二面角C AP D --的余弦值.23．武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．24．如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点．（1）求BD长；（2）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．诸暨市高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】【知识点】复数乘除和乘方【试题解析】故答案为：C 2．【答案】D 3．【答案】B【解析】解：∵ =（1，0，2），=（﹣2，0，4），∴=﹣2，∴∥，因此l ⊥α．故选：B ．4．【答案】【解析】解析：选C.从1、2、3、4、5中任取3个不同的数有下面10个不同结果：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），能构成一个三角形三边的数为（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5），故概率P ＝310.5．【答案】D 【解析】试题分析：根据已满治安的概念可得直线11111,,AA A B A D 都和直线EF 为异面直线，11B C 和EF 在同一个平面内，且这两条直线不平行；所以直线11B C 和EF 相交，故选D. 考点：异面直线的概念与判断. 6．【答案】B考点：函数的奇偶性与单调性．【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y 轴对称，单调性在y 轴两侧相反，即在0x >时单调递增，当0x <时，函数单调递减.结合(5)0f =和对称性，可知(5)0f ±=，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.17．【答案】B【解析】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．8．【答案】C【解析】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足α∥β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p不正确；﹣p正确；命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足l∥α，m⊥l，m⊂β，而α∥β，故命题q不正确；﹣q正确；故选C．【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．9．【答案】A【解析】解：∵60.5＞60=1，0＜0.56＜0.50=1，log0.56＜log0.51=0．∴log0.56＜0.56＜60.5．故选：A【点评】本题考查了不等关系与不等式，考查了指数函数和对数函数的性质，对于此类大小比较问题，有时借助于0和1为媒介，能起到事半功倍的效果，是基础题．10．【答案】D【解析】由已知得{}=01A x x<?，故A B1[,1]2，故选D．11．【答案】B【解析】解：∵f（x）=f（x+2），∴函数f（x）为周期为2的周期函数，函数g（x）=，其图象关于点（2，3）对称，如图，函数f（x）的图象也关于点（2，3）对称，函数f（x）与g（x）在[﹣3，7]上的交点也关于（2，3）对称，设A，B，C，D的横坐标分别为a，b，c，d，则a+d=4，b+c=4，由图象知另一交点横坐标为3，故两图象在[﹣3，7]上的交点的横坐标之和为4+4+3=11，即函数y=f（x）﹣g（x）在[﹣3，7]上的所有零点之和为11．故选：B．【点评】本题考查函数的周期性，函数的零点的概念，以及数形结合的思想方法．属于中档题．12．【答案】D【解析】解：∵f（x+2）为奇函数，∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2），∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2）=f（x﹣2），即﹣f（x+4）=f（x），则f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=﹣f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为8的周期函数，则f（89）=f（88+1）=f（1）=1，f（90）=f（88+2）=f（2），由﹣f（x+4）=f（x），得当x=﹣2时，﹣f（2）=f（﹣2）=f（2），则f（2）=0，故f（89）+f（90）=0+1=1，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．二、填空题13．【答案】{2，3，4}．【解析】解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2}，∴C U A={3，4}，又B={2，3}，∴（C U A）∪B={2，3，4}，故答案为：{2，3，4}14．【答案】．【解析】解：设大小正方形的边长分别为x，y，（x，y＞0）．则+x+y+=3+，化为：x+y=3．则x2+y2=，当且仅当x=y=时取等号．∴这两个正方形的面积之和的最小值为．故答案为：．15．【答案】．【解析】解：由题意图形折叠为三棱锥，底面为△EFC ，高为AC ，所以三棱柱的体积：××1×1×2=，故答案为：．【点评】本题是基础题，考查几何体的体积的求法，注意折叠问题的处理方法，考查计算能力．16．【答案】【解析】解：（1）证明：l 1的斜率显然存在，设为k ，其方程为y －2pt 2＝k （x －2pt ）．① 将①与拋物线x 2＝2py 联立得， x 2－2pkx ＋4p 2t （k －t ）＝0，解得x 1＝2pt ，x 2＝2p （k －t ），将x 2＝2p （k －t ）代入x 2＝2py 得y 2＝2p （k －t ）2，∴P 点的坐标为（2p （k －t ），2p （k －t ）2）．由于l 1与l 2的倾斜角互补，∴点Q 的坐标为（2p （－k －t ），2p （－k －t ）2）， ∴k PQ ＝2p （－k －t ）2－2p （k －t ）22p （－k －t ）－2p （k －t ）＝－2t ，即直线PQ 的斜率为－2t .（2）由y ＝x 22p 得y ′＝xp，∴拋物线C 在M （2pt ，2pt 2）处的切线斜率为k ＝2ptp ＝2t .其切线方程为y －2pt 2＝2t （x －2pt ），又C 的准线与y 轴的交点T 的坐标为（0，－p2）． ∴－p2－2pt 2＝2t （－2pt ）．解得t ＝±12，即t 的值为±12.17．【答案】或【解析】试题分析：因为0d <，且39||||a a =，所以39a a =-，所以1128a d a d +=--，所以150a d +=，所以60a =，所以0n a >()15n ≤≤，所以n S 取得最大值时的自然数是或．考点：等差数列的性质．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的性质，其中解答中涉及到等差数列的通项公式以及数列的单调性等知识点的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据数列的单调性，得出150a d +=，所以60a =是解答的关键，同时结论中自然数是或是结论的一个易错点．18．【答案】（，0）．【解析】解：y ′=﹣，∴斜率k=y ′|x=3=﹣2，∴切线方程是：y ﹣3=﹣2（x ﹣3），整理得：y=﹣2x+9，令y=0，解得：x=，故答案为：．【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题．三、解答题19．【答案】（1）1n a n=，（2）详见解析.当8n =时911872222015S =⨯+>>，…………13分∴存在正整数n ，使得2015n S ≥的取值集合为{}*|8,n n n N ≥∈，…………15分20．【答案】【解析】解：（1）因为抛物线y=2x 2﹣4x+a 开口向上，对称轴为x=1，所以函数f （x ）在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，因为函数f （x ）在[﹣1，3m]上不单调，所以3m ＞1，…（2分）得，…（3分）（2）①因为f （1）=g （1），所以﹣2+a=0，…（4分）所以实数a 的值为2．…②因为t 1=f （x ）=x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2， t 2=g （x ）=log 2x ， t 3=2x ，所以当x ∈（0，1）时，t 1∈（0，1），…（7分） t 2∈（﹣∞，0），…（9分） t 3∈（1，2），…（11分）所以t 2＜t 1＜t 3．…（12分）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． 21．【答案】【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由990S =，15240S =，得119369015105240a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12a d ==，……………3分所以2(n 1)22n a n =+-⨯=，即2n a n =，(1)22(1)2n n n S n n n -=+⨯=+，即1n S n n =+（）．……………5分22．【答案】【解析】【命题意图】本题考查了线面垂直、线线垂直等位置关系及线线角、二面角的度量，突出考查逻辑推理能力及利用坐标系解决空间角问题，属中等难度.（3）因为⊥AB 平面ADF ，所以平面ADF 的一个法向量)0,0,1(1=n .由31=知P 为FD 的三等分点且此时)32,32,0(P .在平面APC 中，)32,32,0(=，)0,2,1(=AC .所以平面APC 的一个法向量)1,1,2(2--=n .……………………10分所以36|||||,cos |212121==><n n n n ，又因为二面角C AP D --的大小为锐角，所以该二面角的余弦值为36.……………………………………………………………………12分 23．【答案】【解析】解：（1）由题意可知第3组的频率为0.06×5=0.3，第4组的频率为0.04×5=0.2，第5组的频率为0.02×5=0.1；（2）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10；因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组=3；第4组=2；第5组=1；应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．（3）记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6；在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）；共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽中共有9种，所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力．24．【答案】【解析】解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB．∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．…（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO．∴AD=AO …【点评】本题考查三角形相似，角的求法，考查推理与证明，距离的求法．。

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浙江省诸暨中学2018-2019学年高二上学期10月阶段性考试
数学参考答案及评分标准（平行班）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
题号
1
2
3
4
5
答案
C
A
B
C
C
题号
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
B
C
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共34分。
11．____ _____ _____ ____
又 ∥ ，所以平面，
又平面 ……4分
(3) 是与平面所成的角，
∥ ，
与平面所成的角等于与平面所成的角
在中，，，
在中，
在中，
即直线DE与平面CBE所成角的正切值为 ……4分
21.【解析（Ⅰ）取CF的中点为H，连EH，BH，EH//AF
(或其补角)即为与所成角
由已知得，，
①……2分
对 , 恒成立.
把看作关于的函数 ,则①式等价于
②
由于 ,则 ,从而②式转化为
3,
即 ③……2分
对恒成立
我们又可以把③式的左边看作的函数.记 = .
若 ,③式显然不成立;
若 , 是的一次函数,这样,要使对恒成立,只要及同时成立即可.解不等式组
得或 .
所以存在实数 ,使不等式对任意 , 恒成立.,其取值范围是 .……2分
②当a＜0时，由（ax﹣ ）（x+4）≤0，得B=（﹣∞，﹣4]∪[ ，+∞）．……2分
∵ ，∴ ≥2，解得﹣ ≤a≤ห้องสมุดไป่ตู้．
综上所述，a的取值范围是：﹣ ≤a＜0．……3分
20.【解析】试题解析：（1）如图，在BE上取点F，使得
理由如下：
是中位线， ∥ ∥ ，
平面， ∥平面．……4分
(2)连接，因为平面，
所以利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.……3分
(2)由条件得约束条件为
，即，……3分
目标函数为ω＝2x＋3y＋300，
作出不等式组表示的平面区域（如图所示），
作初始直线l0：2x＋3y＝0，平移l0，由图形知当l0经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时ω有最大值，……2分
，
直线和所成角的余弦值为 6分
（Ⅱ）取BD的中点为O，连AO，CO，则，
，，从而平面BCD
9分
连DE交AF于M，则M为的重心，且
平面， BE//GM，
= .12分
22.【解析】1) ……4分
2)关于的方程可以化为 .
由于 ,所以方程有两个非零实根 .
下面计算 ,由得
= = .
本题等价于是否存在 ,使不等式
12．____7____ ______ _____
13．___ _______ ____ _____
14．____ ______
15．_____ _____
16．____ _____
17．______2____
三、解答题：本大题共5小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.【解析】(1)依题意每天生产的茶杯个数为100－x－y，
由，解得
∴最优解为A(50,50)，
∴ 元．……2分
故每天生产汤碗50个，花瓶50个，茶杯0个时利润最大，且最大利润为550元．
19.【解析】1）A={x|x≤﹣4或x≥2}；……3分
（2）由 ≤0即（ax﹣ ）（x+4）≤0知，a≠0．……2分
①当a＞0时，由（ax﹣ ）（x+4）≤0，得B=[﹣4， ]．不满足；……2分