2021学年高中数学2.3二次函数与一元二次方程不等式课件人教A版必修一.pptx
新教材高中数学2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)一元二次不等式及其解法课件人教版必修第一册
2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？ 提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知 不是一元二次不等式．
＋1＞0的解集为R.]
B.x13＜x＜1
C．∅
D．R
3．不等式x2－2x－5>2x的解集
{x|x>5 或 x<－1} [由 x2－2x－
是________．
5>2x，得 x2－4x－5>0，因为 x2－4x
－5＝0 的两根为－1,5，
故 x2－4x－5>0 的解集为{x|x<－
为( )
A.xx＞3或x＜－12
－12.]
B.x－12≤x≤3
C.xx≥3或x≤－12
D．R
2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集
D [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4
为( )
－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x
A.x－1＜x＜13
.
含参数的一元二次不等式的解法 【例2】 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. [思路点拨] ①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行 讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？ [解] 当a＝0时，原不等式可化为x>1. 当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0. 当a<0时，不等式可化为x－1a(x－1)>0， ∵1a<1，∴x<1a或x>1.
人教版高中数学必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)【课件】
B．{x|x≥－1} D．{x|x≤－1或x>0}
(2)若p：x2－－5x≥0，q：x2－7x＋10<0，则p是q的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件 【解析】 由x2－－5x≥0得xx－ －52≤0，
D．既不充分也不必要条件
∴2<x≤5，即p：2<x≤5.
又由x2－7x＋10<0得(x－5)(x－2)<0，
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(第1课时)
要点1 一元二次不等式 (1)一般地，我们把只含有___一_个____未知数，并且未知数的最高次数是 __2___的不等式，称为一元二次不等式． (2)一元二次不等式的一般形式是___a_x_2＋__bx_＋_c_>_0____或____a_x2_＋_b_x_＋_c_<_0_____， 其中a，b，c均为常数，a≠0. (3)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的_实__数_x__ 叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
形如
f（x） g（x）
≥0(≤0)的不等式可等价转化为
f（x）·g（x）≥0（≤0）， g（x）≠0
来解
决．
(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分
母)，使之转化为不等号右边为零的不等式，然后再用上述方法求解．
思考题3 (1)不等式x－x 1≥2的解集为( A )
A．{x|－1≤x<0} C．{x|x≤－1}
∴x－1＝0或3xx－＋15<0，
∴x－1＝0或(3x＋5)(x－1)<0，
∴x＝1或－53<x<1，即－53<x≤1.
2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)课件(人教版)
(3)-x2-3x+4<0.
1
答案：(1){x｜x<- ，或
2
x>2}
(3){x｜x<-4,或x>1}
(2){x｜x =2}
特别的，若一元二次不等式情势如下，则可直接写相
应解集：
1)(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2)解集为 {x｜x<x1 ,或 x>x2} ;
2)(x-a)2<b (b>0)解集为 {x｜a- <x<a+ } .
数据分析
逻辑推理
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
例3. 求不等式-x2+2x-3 > 0 的解集 .
解：原不等式可化为x2-2x+3 < 0
因为判别式△=-8<0,
方程x2-2x+3 =0无实根.
原不等式的解集为.
方法总结：二次系数为负，先要化为正，再由判别式及函数
图像情况作出判断.
一元二次不等式求解流程图
练一练
求下列不等式的解集：
(1)2x2-3x>2;
a2-4<0,且判别式△=(a+2)2+4(a2-4)<0.
6
解得：-2≤a<
5
方
法
总
结
当二次系数含参变量时，要考虑它是否为零，
故需要分类讨论.
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程不等
解析
∵x⊗(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＜0， ∴ x2＋x－2＜0 ，即(x－1)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜1，故选B.
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
刷能力
8．已知2a＋1＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是( A ) A．{x|x＜5a或x＞－a} B．{x|x＞5a或x＜－a} C．{x|－a＜x＜5a} D．{x|5a＜x＜－a}
刷能力
5．[陕西延安2020高二期中]关于x的不等式ax－b＞0的解集是{x|x>－1}， 则关于x的不等式(bx＋a)(x－3)>0的解集是( C )
A．{x|x<－1或x>3} B．{x|－1<x<3} C．{x|1<x<3} D．{x|x<1或x>3}
解析
由关于x的不等式ax－b＞0的解集是{x|x>－1}，可得a＞0且
价销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400 元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是( B )
A．{x|10＜x＜20}
B．{x|15≤x＜20}
C．{x|15＜x＜20}
D．{x|10≤x＜20}
解析
由题意可知x[30－2(x－15)]＞400，则－2x2＋60x－400＞0，即x2－30x＋200＜0，∴(x－10)(x－20)＜
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
刷基础
题型4 已知不等式的解集求参数值
高考数学高中复习2.3《二次函数与一元二次方程、不等式》知识点讲解PPT课件
类题通法 解分式不等式的基本方法就是利用符号法则，将分式不等式转化 为两个整式不等式组或转化为与其同解的整式不等式(组).
二、易错易混 3．当 x∈{x|1<x<2}时，不等式 x2＋mx＋4<0 恒成立，则实数 m 的 取值范围是( ) A．{m|－5≤m≤－4} B．{m|m≤－4} C．{m|m≤－5} D．{m|m<－5}
答案：C 解析：令 y＝x2＋mx＋4，由题意知 x＝1 与 x＝2 时，y 的值恒小 于等于 0，即 1＋m＋4≤0 且 4＋2m＋4≤0，所以 m≤－5 且 m≤－4. 所以 m≤－5.故选 C.
3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＝b2－4a0
y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝ 0(a>0)的根
ax2＋bx＋ c>0(a>0)的解集
ax2＋bx＋ c<0(a>0)的解集
有 两 个 _不__相__等___ 有 两 个相__等__ 的 实
答案：{x|x<2 或 x≥5} 解析：移项得xx－＋21－2≤0，整理得xx－ －52≥0， 不等式等价于(x－5)(x－2)≥0 且 x－2≠0， 解得 x<2 或 x≥5， 故原不等式的解集是{x|x<2 或 x≥5}．
(2)不等式x2＋x＋x＋2 1>1 的解集为________．
答案：{x|－1<x<1} 解析：∵x2＋x＋1＝(x＋12)2＋34>0 ∴原不等式化为 x＋2>x2＋x＋1 即 x2－1<0，解得－1<x<1 故原不等式的解集为{x|－1<x<1}.
答案：C 解析：M＝{x|4x2－4x－15>0}＝{x|x>52或 x<－32} N＝{x|x2－5x－6>0}＝{x|x>6 或 x<－1} ∴M∩N＝{x|x>6 或 x<－32}．
高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程不等式教学案新人教A版必修第一册
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(教师独具内容)课程标准：1.理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念.2.理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系.3.熟练掌握一元二次不等式的两种解法.4.能从实际情境中抽象出一元二次不等式，并通过解一元二次不等式解决实际问题．教学重点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.一元二次不等式的解法.3.利用一元二次不等式解决实际问题．教学难点：1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.【知识导学】知识点一一元二次不等式的概念01一个未知数，并且未知数的□02最高次数是2的不等式，称为一一般地，我们把只含有□元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a，b，c均为常数，a≠0)的不等式都是一元二次不等式．知识点二二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的□01零点．知识点三一元二次不等式的解集的概念02解使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的□01集合叫做这个一元二次不等式的□集．知识点四二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系知识点五利用不等式解决实际问题的一般步骤(1)选取合适的□01字母表示题中的□02未知数；(2)由题中给出的不等关系，列出□03关于未知数的不等式(组)；04求解所列出的不等式(组)；(3)□(4)结合题目的□05实际意义确定答案．【新知拓展】1．解一元二次不等式的方法与步骤(1)解一元二次不等式的常用方法①图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：(ⅰ)化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；(ⅱ)求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；(ⅲ)由图象得出不等式的解集．②代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解．当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n.有口诀如下：大于取两边，小于取中间．(2)含有参数的一元二次型的不等式在解含有参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：①关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0.②关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2.2．利用不等式解决实际问题需注意以下四点(1)阅读理解材料：应用题所用语言多为文字语言，而且不少应用题文字叙述篇幅较长．阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向．(2)建立数学模型：根据(1)中的分析，把实际问题用“符号语言”“图形语言”抽象成数学模型，并且，建立所得数学模型与已知数学模型的对应关系，以便确立下一步的努力方向．(3)讨论不等关系：根据(2)中建立起来的数学模型和题目要求，讨论与结论有关的不等关系，得到有关理论参数的值．(4)作出问题结论：根据(3)中得到的理论参数的值，结合题目要求作出问题的结论．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一元二次方程的根就是相应函数的图象与x轴的交点．( )(2)(x＋a)(x＋a＋1)<0是一元二次不等式．( )(3)设二次方程ax2＋bx＋c＝0的两解为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集不可能为{x|x1<x<x2}．( )(4)用不等式解决实际问题最后要结合题目的实际意义确定答案．( )答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)不等式x2－2x＋3>0的解集为________．(2)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(3)当a>0时，若ax2＋bx＋c>0的解集为R，则Δ应满足的条件为________．(4)已知不等式ax 2－bx ＋2<0的解集为{x |1<x <2}，则a ＋b ＝________.(5)有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的纯农药液不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________．答案 (1)R (2){x |－4<x <1} (3)Δ<0 (4)4 (5)大于8小于等于403题型一 不含参数的一元二次不等式的解法 例1 求下列不等式的解集：(1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)－x 2＋8x －3>0； (3)x 2－4x －5≤0；(4)－4x 2＋18x －814≥0；(5)－12x 2＋3x －5>0；(6)－2x 2＋3x －2<0.[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12，又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3. (2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不等实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13，又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}．(3)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ≤5}．(4)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94. (5)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，因为Δ＝62－40＝－4<0，所以原不等式的解集为∅. (6)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以原不等式的解集为R .金版点睛解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)根据图象写出不等式的解集．[跟踪训练1] 求下列不等式的解集： (1)x 2－3x ＋1≤0；(2)3x 2＋5x －2>0； (3)－9x 2＋6x －1<0；(4)x 2－4x ＋5>0； (5)2x 2＋x ＋1<0.解 (1)因为Δ＝9－4＝5>0，所以方程x 2－3x ＋1＝0有两个不等实数根x 1＝3－52，x 2＝3＋52，所以原不等式的解集为{|x 3－52≤x ≤3＋52. (2)原不等式可化为(3x －1)(x ＋2)>0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >13或x <－2. (3)原不等式可化为(3x －1)2>0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠13，x ∈R .(4)因为Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0，所以原不等式的解集为R . (5)因为Δ＝12－4×2＝－7<0，所以原不等式的解集为∅. 题型二 含参数的一元二次不等式的解法 例2 解关于x 的不等式(a ∈R )： (1)2x 2＋ax ＋2>0； (2)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.[解] (1)Δ＝a 2－16，下面分情况讨论：①当Δ<0，即－4<a <4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R . ②当Δ≥0，即a ≥4或a ≤－4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两个根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．当a ＝－4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}；当a >4或a <－4时，原不等式的解集为{|x x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16)；当a ＝4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠－1}． (2)若a ＝0，原不等式为－x ＋1<0，解得x >1；若a <0，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1；若a >0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0，(*)其解的情况应由1a与1的大小关系决定，故①当a ＝1时，由(*)式可得x ∈∅；②当a >1时，由(*)式可得1a<x <1；③当0<a <1时，由(*)式可得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a<x <1. 金版点睛解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数：二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程根的个数：讨论判别式Δ与0的关系．(3)写出解集：确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[跟踪训练2] 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0. 解 原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.方程x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2. 由a 2－a ＝a (a －1)可知： ①当a <0或a >1时，a 2>a . 解原不等式得x >a 2或x <a . ②当0<a <1时，a 2<a ， 解原不等式得x >a 或x <a 2.③当a ＝0时，原不等式为x 2>0，∴x ≠0. ④当a ＝1时，原不等式为(x －1)2>0，∴x ≠1. 综上可知：当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1}. 题型三 “三个二次”之间的转化关系例3 若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，求不等式bx 2＋2ax －c －3b <0的解集．[解] 因为ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，所以a <0且－3和4是方程ax 2＋bx ＋c＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋4＝－ba ，－3×4＝c a，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a .所以不等式bx 2＋2ax －c －3b <0，即为－ax 2＋2ax ＋15a <0，即x 2－2x －15<0， 故所求的不等式的解集为{x |－3<x <5}．[条件探究] 本例中把{x |－3<x <4}改为{x |x <－3或x >4}，其他条件不变，则不等式的解集又如何？解 因为ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－3或x >4}，所以a >0且－3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋4＝－b a ，－3×4＝c a，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－12a ，所以不等式bx 2＋2ax －c －3b <0，即为－ax 2＋2ax ＋15a <0，即x 2－2x －15>0，解得x <－3或x >5，故所求不等式的解集为{x |x <－3或x >5}． 金版点睛三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，一元二次函数是主体，讨论一元二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的一元二次函数相联系，通过一元二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：[跟踪训练3] (1)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－2或x >－12，则ax 2－bx ＋c >0的解集为________；(2)已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，则不等式ax 2＋bx －1>0的解集为________．答案 (1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <1解析 (1)由题意－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且a <0，故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－b a ，(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝c a ，解得a ＝c ，b ＝52c ，所以不等式ax 2－bx ＋c >0即为2x 2－5x ＋2<0，解得12<x <2.(2)∵方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a ，－12×2＝2a ，∴a ＝－2，b ＝3，ax 2＋bx －1>0可变为－2x 2＋3x －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.题型四 利用一元二次不等式判断车速例4 某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m 和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝120x ＋1180x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？(精确到0.01 km/h ，28521≈168.88)[解] 设这辆汽车刹车前的车速为x km/h ， 根据题意，得120x ＋1180x 2＞39.5.移项整理，得x 2＋9x －7110＞0.显然Δ＞0，x 2＋9x －7110＝0有两个实数根， 即x 1≈－88.94，x 2≈79.94.然后，根据二次函数y ＝x 2＋9x －7110的图象， 得不等式的解集为{x |x ＜－88.94或x ＞79.94}．在这个实际问题中，x ＞0，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h. 金版点睛一元二次不等式的应用题常以二次函数为模型，解题时要审清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.[跟踪训练4] 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s乙＝0.05x ＋0.005x 2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？解 由题意知，对于甲车，有0.1x ＋0.01x 2>12，即x 2＋10x －1200>0， 解得x >30或x <－40(不符合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m ，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车，有0.05x ＋0.005x 2>10，即x 2＋10x －2000>0， 解得x >40或x <－50(不符合实际意义，舍去)， 这表明乙车的车速超过40 km/h ，即超过规定限速， 所以乙应负主要责任.题型五 利用一元二次不等式解决利润问题例5 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .设年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ [解] (1)依题意，得y ＝[1.2(1＋0.75x )－(1＋x )]×1000×(1＋0.6x )＝1000(－0.06x 2＋0.02x ＋0.2)．∴所求关系式为y ＝1000(－0.06x 2＋0.02x ＋0.2)(0＜x ＜1)． (2)依题意，得1000(－0.06x 2＋0.02x ＋0.2)＞(1.2－1)×1000. 化简，得3x 2－x ＜0.解得0＜x ＜13.∴投入成本增加的比例x 的范围是0<x <13.金版点睛解不等式应用题，一般可按四步进行：①审题，找出关键量和不等关系；②引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；③解不等式(或求函数最值)；④回归到实际问题.[跟踪训练5] 将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个．问为了使赚得的利润不少于8000元，售价应定在多少范围？这时应进货又在什么范围？解 如果按单价50元售出，每个利润是10元，卖出500个，只能赚得5000元．为了使赚得的利润不少于8000元，只能涨价，但要适度，否则销售量就少得太多．设该商品涨价x 元，则该商品销售时的单价是(50＋x )元，每个商品的利润是[(50＋x )－40]元，销售量是(500－10x )个．由题意可列不等式为[(50＋x )－40](500－10x )≥8000.整理，得x 2－40x ＋300≤0.解这个一元二次不等式，得10≤x ≤30.故该商品销售时的单价应定在大于等于60小于等于80之间． 因为销售量和该商品涨价x 元之间是一次函数关系，且当该商品销售时的单价为60元时，其销售量是500－10×10＝400(个)； 当该商品销售时的单价为80元时，其销售量是500－10×30＝200(个)． 故这时应进货的范围为大于等于200小于等于400.1．在下列不等式中，解集是∅的是( ) A ．x 2－3x ＋5>0 B ．x 2＋4x ＋4≤0 C ．4－4x －x 2<0 D ．－2＋3x －2x 2>0 答案 D解析 A 的解集为R ；B 的解集是{x |x ＝－2}；C 的解集为{x |x >－2＋22或x <－2－22}，用排除法应选D.2．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．0<x <2B ．－2<x <1C ．x <－2或x >1D ．－1<x <2答案 B解析 ∵x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0， ∴x 2＋x －2<0即(x －1)(x ＋2)<0， 解得－2<x <1.∴选B.3．若t >2，则关于x 的不等式(x －t )⎝⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1t<x <t B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1t或x <t- 11 - C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <1t 或x >t D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ t <x <1t 答案 A解析 ∵t >2，∴t >1t， ∴(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t <0，解得1t<x <t . 4．在一幅长60 cm ，宽40 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积不大于2816 cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的不等式是( )A ．(60＋2x )(40＋2x )≤2816B ．(60＋x )(40＋x )≥2816C ．(60＋2x )(40＋x )＞2816D ．(60＋x )(40＋2x )＜2816答案 A解析 “不大于”就是“≤”，所以根据题意可列出不等式为(60＋2x )(40＋2x )≤2816.5．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x 件与单价p 元/件之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件这种风衣所需成本为c ＝500＋30x 元，假设所生产的这种风衣能够全部售出，问：该厂日产量多大时，可使该厂日获利不少于1300元？解 设该厂日产量为x 件时，日获利为y 元，则y ＝(160－2x )x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500，由题意可得－2x 2＋130x －500≥1300.解得20≤x ≤45.∴当该厂日产量x 满足20≤x ≤45时，可使该厂日获利不少于1300元．。
2.3.2 一元二次不等式的应用-(新教材人教版必修第一册)(45张PPT)
一元二次不等式的应用
【例2】 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按 规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分 点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律， 税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税 率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
[解] 法一：∵不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R， ∴函数y＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方， ∴Δ＝4－4(a2－3)<0， 解得a>2或a<－2. 法二：令y＝x2＋2x＋a2－3，要使x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，则a 满足ymin＝a2－4>0，解得a>2或a<－2.
法三：由 x2＋2x＋a2－3>0，得 a2>－x2－2x＋3， 即 a2>－(x＋1)2＋4，要使该不等式在 R 上恒成立，必须使 a2 大于－ (x＋1)2＋4 的最大值，即 a2>4，故 a>2 或 a<－2.
1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为 一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．
2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因 为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当 然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简 单结论：
3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集 不是空集，则实数a的取值范围是 ________．
a＞4或a＜－4 [∵x2＋ax＋4＜ 0的解集不是空集，即不等式x2＋ax ＋4＜0有解，∴Δ＝a2－4×1×4＞0，
解得，a＞4或a＜－4.]
2021年新教材人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式 教学课件
B
)
3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(
A.6
B.4 2
C.2 6
D.8
解析 ∵a＋b＝3，
＋
∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a b＝2 8＝4 2，
3
当且仅当 a＝b＝2时，“＝”成立.
答案 B
)
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形
的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费
C.a2－b2<0
D.a＋b<0
解析
)
本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，
排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(
A.M＞N
B.M＝N
C.M＜N
D.与x有关
12 3
解析 M－N＝x ＋x＋1＝(x＋ ) ＋ ＞0.
知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建
应用基本不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求
最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的
p
结果往往是错误的，这时通常可以借助函数 y＝x＋x(p>0)的单
调性求得函数的最值.
4.求解应用题的方法与步骤：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
2.2基本不等式 P24
2.3二次函数与一元二次方程、不等式 P53
学习目标
1.理解不等式的概念.
2.了解不等式（组）的实际背景.
3.掌握不等式的性质.
《二次函数与一元二次方程、不等式》PPT课件高中数学人教版
• (1)若y在定义域内存在最大值m，则y<a(或y≤a)恒成立⇔a>m(或a≥m)；
• (2)若y在定义域内存在最小值m，则y>a(或y≥a)恒成立⇔a<m(或 a≤m)．
• 【对点练习】❶ 若关于x的不等式ax2＋(a－2)x－2≤0恒成立，求实数 a的取值范围．
[解析] 若 a＝0 时，原不等式为－2x－2≤0 不恒成立，所以 a≠0. 当 a≠0 时，则应有aΔ<≤0，0， 即aa<－0，22－4a－2≤0， 整理得aa<＋0，22≤0， 解得 a＝－2. 所以实数 a 的值为－2.
2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等 式的应 用-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等 式的应 用-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
误区警示
2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等 式的应 用-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
[解析] 设桶的容积为 x 升，显然 x>8. 依题意，得(x－8)－4x－x 8≤28%·x. 由于 x>8，因而原不等式化简为 9x2－150x＋400≤0， 即(3x－10)(3x－40)≤0. 因此130≤x≤430，从而 8<x≤430. 故桶的容积最大为430升．
当 m≠0 时，由二次函数的图象可知有mΔ＝<04，－4mm－2<0， 解得 m<1－ 2.
综上可知，m 的取值范围是{m|m<1－ 2}．
[归纳提升] 求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法
2.3二次函数与一元二次方程不等式说课课件高一上学期数学人教A版
六、 教学过程
例题解析
【例1】求不等式 x2 5x 6 0的解集. 【例2】求不等式 9x2 6x 1 0的解集. 【例3】求不等式 x2 2x 3 0的解集.
设计意图：学生通过探究会发现当二次项系数小于零时，可以先化为 正再求解，而且这三道例题也分别体现了判别式大于0，等于0，小于0 对不等式解集的影响，具有典型性、层次性和学生的可接受性.通过例 题，使学生初步运用结论来解决具体的一元二次不等式.利用对比加深 印象，提高效果，进而总结出解不等式的步骤，提升逻辑推理、数学 运算等素养.
2.3二次函数与一元 二次方程、不等式
一、教材分析
教材分析 学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过程 板书设计 教学反思
选自2019人教 版A版普通高 中数学必修第 一册第二章第 三节
教材分析 学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过程 板书设计 教学反思
教材的地位和作用
二、学情分析
2
10
x
结论：
方程x2 12x 20 0的根为___x1___2_, x_2___1_0____二. 次函数的零点
不等式x2 12 x 20 0的解集为 ___x_2___x__1_0______.
不等式x2 12 x 20 0的解集为 ___x_x___2或 __x___1_0___.
一元二次不等式的解集
（1）将二次项系数化为正数 (a>0);
（2）计算判别式，判断方程是否有根;
（3）如果有根，求出方程的根； （4）画出相应二次函数的图象；
（5）画出相应二次函数的图象写出不等式的解集， 大于取两边、小于取中间。
3.数学思想方法： 数形结合
七、 板书设计
学情分析 教学目标
二次函数与一元二次方程-【新教材】人教A版高中数学必修第一册优秀课件
解：(1)原不等式可化为x2－7x＋6<0. 解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6. 结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原 不等式的解集为{x|1<x<6}． (2)原不等式可化为(x－2)(x＋3)>0. 方程(x－2)(x＋3)＝0两根为2和－3. 结合二次函数y＝(x－2)(x＋3)的图象知， 原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}．
Δ>0
二次函数与一元二次方程-【新教材】 人教A 版高中 数学必 修第一 册优秀 课件
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ=b2-4ac
Δ>0
二次函数 y=ax2+bx+c(a >0)的图象
ax2+bx+c=0(a >0)的根
ax2+bx+c>0(a >0)的解集
ax2+bx+c<0(a >0)的解集
2
10
二次函数与一元二次方程-【新教材】 人教A 版高中 数学必 修第一 册优秀 课件
二次函数与一元二次方程-【新教材】 人教A 版高中 数学必 修第一 册优秀 课件
思考：二次函数图象与x轴的位置关系
动
Δ<0
画
演
示
Δ=0
二次函数与一元二次方程-【新教材】 人教A 版高中 数学必 修第一 册优秀 课件
（12－x）ｍ．由题意，
得（12－x）x＞20， 其中x∈｛x｜0＜x＜12｝． 整理得
一元二次 不等式
x²－12x＋20＜0，
x∈｛x｜0＜x＜12｝． ①
求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．
“一元二次不等式”概念
新教材人教A2.3二次函数与一元二次方程不等式课件(41张)
的正负.
(4)抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的相关位置有哪些情况?如何用
一元二次方程来说明这些位置关系?
提示:抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴可能有两个交点(相交),一个交
点(相切),没有交点(相离).可以通过对应一元二次方程的判别式Δ与
图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是⌀.
(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的
图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|3<x<7}.
(3)不等式-3x2+5x-4<0可化为3x2-5x+4>0,由于判别式Δ=25-48=23<0,函数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以不等式的解集是R.
(2)转化为标准形式的一元二次不等式(即二次项系数大于0,不等式
右边为0)后,再以判别式与零的大小关系作为分类标准进行分类讨论;
(3)如果判别式大于0,但两根的大小还不能确定,此时再以两根的大
小关系作为分类标准进行分类讨论.
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课前篇自主预习
二次函数与一元二次方程、不等式
激趣诱思
课堂篇探究学习
知识点拨
激趣诱思
课前篇自主预习
课堂篇探究学习
知识点拨
知识点一、一元二次不等式的概念
一元二次不等式的概念及形式
(1)概念:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不
等式,称为一元二次不等式.
(2)形式:
①ax2+bx+c>0(a≠0);②ax2+bx+c≥0(a≠0);