高考数学一轮复习课时跟踪检测(六十三)离散型随机变量的均值与方差、正态分布理(重点高中)

课时跟踪检测（六十三） 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做)(＝<2)X (0<P ，则0.9＝<4)X (P ，且)2σ，(2N 服从正态分布X ．已知随机变量1 A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4D ．0.6 ，)2σ，(2N 服从正态分布X 随机变量∵ C 解析：选 且P (X <4)＝0.9，∴P (2<X <4)＝0.9－0.5＝0.4，∴P (0<X <2)＝P (2<X <4)＝0.4，故选C.2．(2018·合肥一模)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中每个白球计1分，每个红球计2分，记X 为取出3个球的总分值，则E (X )＝( )185A.215B. 4．C245D. ＝4)＝X (P ，110＝C33C35＝3)＝X (P ，且3,4,5的所有可能取值为X 由题意知， B 解析：选.215＝3105×＋354×＋1103×＝)X (E ，所以310＝C13·C22C35＝5)＝X (P ，35＝C23·C12C353．(2018·江西六校联考)若随机变量ξ的分布列如表所示，E (ξ)＝1.6，则a －b ＝( )ξ 0 1 2 3P 0.1 a b 0.1A.0.2C ．0.8D ．－0.8 解析：选B 易知a ，b ∈[0,1]，由0.1＋a ＋b ＋0.1＝1，得a ＋b ＝0.8，又由E (ξ)＝0×0.1＋1×a ＋2×b ＋3×0.1＝1.6，得a ＋2b ＝1.3，解得a ＝0.3，b ＝0.5，则a －b ＝－0.2.4.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )126125A.65B. 168125C.75D.解析：选B 由题意X 可取0,1,2,3，，27125＝33125＝0)＝X (P 且 ，54125＝9×6125＝1)＝X (P ，36125＝3×12125＝2)＝X (P .8125＝3)＝X (P .65＝81253×＋361252×＋54125＝)X (E 故 5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一，乙在每局中获胜的概率23局时停止．设甲在每局中获胜的概率为6分或打满2人比对方多)(为)X (E 的期望X ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数13为 24181A.26681B. 27481C.670243D. 解析：选B 依题意，知X 的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各.59＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫23时比赛停止的概率为＝X (P ，59＝2)＝X (P 得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有.26681＝16816×＋20814×＋592×＝)X (E ，故1681＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫49＝6)＝X (P ，2081＝59×49＝4) 代以(的分布列中部分数据的个别数字丢失ξ．由于电脑故障，使得随机变量6替)，其表如下，则随机变量ξ的数学期望为________．解析：∵随机变量分布列中各概率之和恒为 1.∴P (ξ＝5)＝0.15，进而P (ξ＝3)＝0.25.∴E (ξ)＝1×0.20＋2×0.10＋3×0.25＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.20＝3.5.答案：3.57．一位篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为的最小值为13b＋2a ，则2＝)X (E ，已知他投篮一次得分的数学期望(0,1))∈c ，b ，a (c ________．解析：由题意可得，3a ＋2b ＋0·c ＝2，则3a ＋2b ＝2.又a ，b ，c ∈(0,1)，＝a ，当且仅当163＝⎝ ⎛⎭⎪⎫203＋2 4b a ·a b 12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫203＋4b a ＋a b 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋13b )b 2＋a (312＝13b ＋2a ∴.163的最小值为13b ＋2a 时取等号，故12＝b 2 163答案：8．(2017·北京高考)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；(2)从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．(只需写出结论)解：(1)由图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，＝1550＝P 的概率60的值小于y 名患者中随机选出一人，此人指标50所以从服药的0.3.(2)由图知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C.所以ξ的所有可能取值为0,1,2.，23＝C12C12C24＝1)＝ξ(P ，16＝C22C24＝0)＝ξ(P .16＝C22C24＝2)＝ξ(P 所以ξ的分布列为ξ 0 1 21.＝162×＋231×＋160×＝)ξ(E 的数学期望ξ故 (3)在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差． 9．(2018·洛阳第一次统考)雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格指标考核．某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A ，B ，C 三个城市进行治霾落实情况抽查． (1)若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；(2)每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评，若四个专家组均评价为优则检查通过12价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为不用复检，否则需进行复检．设需进行复检的城市的个数为X ，求X 的分布列和数学期望．种不同方法，81＝43随机选取，共有(1)解： 种不同方法，42＝)24C ＋2A 14(C 13C 选取的有恰有一个城市没有专家组 .1427＝4281故恰有一个城市没有专家组选取的概率为 (2)设事件A ：“一个城市需复检”，，1516＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝)A (P 则 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，1516B ～X ，且0,1,2,3的所有可能取值为X ，14 096＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫116·03C ＝0)＝X (P ，454 096＝1516·2⎝ ⎛⎭⎪⎫116·13C ＝1)＝X (P ，6754 096＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1516·116·23C ＝2)＝X (P .3 3754 096＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1516·3C ＝3)＝X (P 所以X 的分布列为.4516＝15163×＝)X (E 故数学期望 10．(2018·长沙模拟)张老师开车上班，有路线①与路线②两条路线可供选择． ，12两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为B ，A ：沿途有①路线处遇红灯或黄灯，则导致延误时间B 分钟；若2处遇红灯或黄灯，则导致延误时间A ，若233分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为20分钟．，34信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为两处独立运行的交通b ，a ：沿途有②路线处遇红灯或黄灯，则导致延误时间b 分钟；若8处遇红灯或黄灯，则导致延误时间a ，若255分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为15分钟． (1)若张老师选择路线①，求他20分钟能到校的概率；(2)为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？并说明理由．解：(1)走路线①，20分钟能到校意味着张老师在A ，B 两处均遇到绿灯，记该事件发生的概率为P ， .13＝23×12＝P 则 (2)设选择路线①的延误时间为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值为0,2,3,5.，13＝23×12＝2)＝ξ(P ，13＝23×12＝0)＝ξ(P 则 .16＝13×12＝5)＝ξ(P ，16＝13×12＝3)＝ξ(P 2.＝165×＋163×＋132×＋130×＝)ξ(E 的数学期望ξ故 设选择路线②的延误时间为随机变量η，则η的所有可能取值为0,5,8,13.，920＝35×34＝5)＝η(P ，620＝25×34＝0)＝η(P 则 .320＝35×14＝13)＝η(P ，220＝25×14＝8)＝η(P 5.＝32013×＋2208×＋9205×＋6200×＝)η(E 的数学期望η故 因此选择路线①平均所花时间为20＋2＝22分钟，选择路线②平均所花时间为15＋5＝20分钟，所以为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线②.B 级——拔高题目稳做准做1．已知一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当成功次数的标准差的值最大时，p 及标准差的最大值分别为( ) 5，12A.25，45B. 5，45C.25，12D. 解析：选A 记ξ为成功次数，由独立重复试验的方差公式可以得到D (ξ)＝np (1－，25＝12×12100×＝max)ξ(D 时等号成立，所以12＝p －1＝p ，当且仅当n 4＝2⎝⎛⎭⎪⎫p ＋1－p 2n )≤p 5.＝25＝Dξmax2．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是( )⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D. 解析：选C 根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为P (X ＝1)＝p ，发球次数为2即两次发球成功的概率为P (X ＝2)＝p (1－p )，发球次数为3的概率为P (X ＝3)，即1.75＞)X (E 依题意有3.＋p 3－2p ＝2)p －3(1＋)p －(1p 2＋p ＝)X (E ，则期望2)p －(1＝.12＜p ＜0的实际意义，可得p ，结合12＜p 或52＞p ，解得1.75＞3＋p 3－2p )x (2f ，x ＝)x (1f 的函数：R 个定义域为6张卡片，上面分别写着6．一个盒子里装有3现从盒子中逐一抽取卡片，且2.＝)x (6f ，x cos ＝)x (5f ，x sin ＝)x (4f ，3x ＝)x (3f ，2x ＝每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为( )74A.54B. 2．C7740D. sin＝)x (4f ，3x ＝)x (3f ，2x ＝)x (2f ，x ＝)x (1f 的函数R 个定义域为6∵ A 解析：选∴个，3，共2＝)x (6f ，x cos ＝)x (5f ，2x ＝)x (2f 中偶函数有2＝)x (6f ，x cos ＝)x (5f ，x ＝34×25×36＝3)＝ξ(P ，310＝35×36＝2)＝ξ(P ，12＝36＝1)＝ξ(P ，1,2,3,4的可能取值为ξ，120＝14×25×36＝4)＝ξ(P ，320∴ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 P12310320120.74＝1204×＋3203×＋3102×＋121×＝)ξ(E 数学期望 4．现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率，且三个人是否应聘成功是相互独立的．记应2)＜t ＜(0t2，乙、丙应聘成功的概率均为12为聘成功的人数为ξ，当且仅当ξ为2时概率最大，则E (ξ)的取值范围为________．＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝0)＝ξ(P 0,1,2,3.的所有可能取值为ξ解析：由题意知，；2－t 28；4－t28＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2×t 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122×＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2×12＝1)＝ξ(P ；4t －t28＝t 2×t 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2×t 2×122×＝2)＝ξ(P .t28＝t 2×t 2×12＝3)＝ξ(P 故ξ的分布列为ξ 0 12 3 P错误!4－t284t －t28t28，12＋t ＝t283×＋4t －t282×＋4－t281×＋2－t 280×＝)ξ(E ∴ ，0＞t －12＝1)＝ξ(P －2)＝ξ(P 由题意知 ，0＞－t2＋4t －24＝0)＝ξ(P －2)＝ξ(P，0＞2t －t24＝3)＝ξ(P －2)＝ξ(P 又0＜t ＜2，∴1＜t ＜2，.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52的取值范围为)ξ(E ，即52＜)ξ(E ＜32∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52答案： 5．某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛，规定每人回答一个问人3，乙队中34分．假设甲队中每人答对的概率均为0分，答错得10题，答对为本队赢得表示乙队的总ξ，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用23，34，45答对的概率分别为得分．(1)求ξ的分布列和数学期望；(2)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．解：(1)由题意知，ξ的所有可能取值为0,10,20,30.，160＝13×14×15＝0)＝ξ(P ，320＝960＝23×14×15＋13×34×15＋13×14×45＝10)＝ξ(P ，1330＝2660＝23×34×15＋23×14×45＋13×34×45＝20)＝ξ(P ，25＝23×34×45＝30)＝ξ(P 故ξ的分布列为.1336＝2530×＋133020×＋32010×＋1600×＝)ξ(E 所以 (2)记“甲队得30分，乙队得0分”为事件A ，“甲队得20分，乙队得10分”为事件B ，则A ，B 互斥．，91 280＝160×3⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝)A (P 又 ，811 280＝320×14×2⎝ ⎛⎭⎪⎫3423C ＝)B (P故甲、乙两队总得分之和为30分且甲队获胜的概率为.9128＝901 280＝)B (P ＋)A (P ＝)B ＋A (P 6．某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标，现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知6个招标问题中，，甲、乙两23道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为4甲公司可正确回答其中的家公司对每道题目的回答都是相互独立、互不影响的． (1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？解：(1)由题意可知，所求概率.115＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×C24C12C36＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－231⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×C C14C22C36＝P (2)设甲公司正确完成面试的题数为X ，则X 的可能取值分别为1,2,3，，15＝C34C02C36＝3)＝X (P ，35＝C24C12C36＝2)＝X (P ，15＝C14C22C36＝1)＝X (P 则X 的分布列为，2＝153×＋352×＋151×＝)X (E 所以 .25＝15×22)－(3＋35×22)－(2＋15×22)－(1＝)X (D 设乙公司正确完成面试的题数为Y ， 则Y 的可能取值分别为0,1,2,3，，127＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝0)＝Y (P ，29＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23×13C ＝1)＝Y (P ，49＝13×2⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23C ＝2)＝Y (P ，827＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫23×3C ＝3)＝Y (P则Y 的分布列为＝233×＝)Y (E ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23B ～Y 或因为2＝8273×＋492×＋291×＋1270×＝)Y (E 所以2，，23＝827×22)－(3＋49×22)－(2＋29×22)－(1＋127×22)－(0＝)Y (D 因为E (X )＝E (Y )，D (X )<D (Y )， 所以甲公司成功的可能性更大．。