导数及其应用总复习习文科单元检测卷

第1页，总27页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________X X ：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前高中数学导数及其应用总复习习文科单元检测卷导数及其应用总复习考试X 围：数列；考试时间：100分钟；命题人：段奎学校:___________XX ：___________班级：___________考号：___________题号 一 二 三 总分 得分注意事项：1．答题前填写好自己的XX 、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人 得分一、选择题（本题共10道小题，每小题0分，共0分）1.定义：如果函数f （x ）在[a ，b]上存在x 1，x 2（a ＜x 1＜x 2＜b ），满足f ′（x 1）=，f ′（x 2）=，则称数x 1，x 2为[a ，b]上的“对望数”，函数f （x ）为[a ，b]上的“对望函数”．已知函数f （x ）=x 3﹣x 2+m 是[0．m]上的“对望函数”，则实数m 的取值X 围是( )A ．（1，）B ．（，3）C ．（1，2）∪（2，3）D ．（1，）∪（，3）2.数列{}为等比数列，其中c1=2，c8=4，f（x）=x（x﹣c1）（x﹣c2）…（x﹣c8），f′（x）为函数f（x）的导函数，则f′（0）=( )A．0B．26C．29D．2123.函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值()4.曲线y=e x在点A（0，1）处的切线斜率为( )A．1B．2C．eD ．5.设二次函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R）的导函数为f′（x），关于x的方程f（x）=f′（x）有两个相等实根，则的最大值为( )A．2﹣2B．2+2C ．D．16.若函数f（x）满足f（x）=elnx+x2f（1）+x，则f（1）的值为( )A．﹣2e﹣1B．﹣e﹣1C．﹣1D．e+17.函数y=2esinx在点x=0处的瞬时变化率为( )答案第2页，总27页第3页，总27页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________X X ：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A ．2B ．﹣2C ．2eD ．﹣2e 8.已知函数y=xf ′（x ）的图象如图所示（其中f ′（x ）是函数f （x ）的导函数）．下面四个图象中，y=f （x ）的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．9.函数f （x ）=x 3﹣3x 2+2015在区间[，3]上的最小值为( )A ．1997B ．1999C ．2012D ．2016 10.已知f ′（x ）是函数f （x ）=（x 2﹣3）e x 的导函数，在区间[﹣2，3]任取一个数x ，则f ′（x ）＞0的概率是( ) A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题（本题共5道小题，每小题0分，共0分）11.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是．12.我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前5﹣6世纪）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．设：由曲线x2=4y和直线x=4，y=0所围成的平面图形，绕y轴旋转一周所得到的旋转体为Γ1；由同时满足x≥0，x2+y2≤16，x2+（y﹣2）2≥4，x2+（y+2）2≥4的点（x，y）构成的平面图形，绕y轴旋转一周所得到的旋转体为Γ2．根据祖暅原理等知识，通过考察Γ2可以得到Γ1的体积为．13.已知函数f（x）=mlnx+nx（m、，n∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x﹣2y﹣2=0．（1）m+n=；（2）若x＞1时，f（x）+＜0恒成立，则实数k的取值X围是．14.若函数f（x）=2lnx+ae x在区间[1，+∞）上是减函数，则a的取值X围是．15.已知曲线y=2x2及点P（1，2），则在点P处的曲线y=2x2的切线方程为．评卷人得分三、解答题（本题共6道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,第4题0分,第5题0分,第6题0分,共0分）16.函数f（x）=﹣x3+ax2（a∈R）．（1）当a＞0时，求函数y=f（x）的极值；（2）若x∈时，函数y=f（x）图象上任意一点处的切线倾斜角为θ，求当0≤θ≤时a的取值X围．答案第4页，总27页第5页，总27页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________X X ：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………17.已知函数f （x ）=﹣x 2+2lnx ． （Ⅰ）求函数f （x ）的最大值；（Ⅱ）若函数f （x ）与g （x ）=x+有相同极值点，（i ）XX 数a 的值；（ii ）若对于“x 1，x 2∈，不等式≤1恒成立，XX 数k 的取值X 围．18.某中学为了解学生“掷实心球”项目的整体情况，随机抽取男、女生各20名进行测试，记录的数据如下：男生投掷距离（单位：米）女生投掷距离（单位：米） 9 7 754 6 8 7 664 5 5 6 6 6 9 6 670 0 2 4 4 5 5 5 5 8 8 5 5 3 081 7 3 1 19 2 2 010已知该项目评分标准为：男生投掷距离（米）（t ＞0）上的最小值；（3）对一切x ∈（0，+∞），2f （x ）≥g （x ）恒成立，XX 数a 的取值X 围． 19.（16分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，XX数b的取值X围；（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2．问：是否存在常数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20.已知函数f（x）=x3+ax2+4（a∈R是常数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为5．（1）求a的值；（2）k≤0，讨论直线y=kx与曲线y=f（x）的公共点的个数．21.设函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（1）若a=1，试求函数f（x）的单调区间；（2）令g（x）=，若函数g（x）在区间（0，1]上是减函数，求a的取值X围．试卷答案1.B考点：导数的运算；二次函数的性质．专题：导数的综合应用．答案第6页，总27页第7页，总27页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________X X ：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………分析：由新定义可知f ′（x 1）=f ′（x 2）=m 2﹣m ，即方程x 2﹣2x=m 2﹣m 在区间[0，m]有两个解，利用二次函数的性质可知实数m 的取值X 围 解答：解：由题意可知，在区间[0，m]存在x 1，x 2（0＜x 1＜x 2＜a ）， 满足f ′（x 1）==m 2﹣m ，∵f （x ）=x 3﹣x 2+a ， ∴f ′（x ）=x 2﹣2x ，∴方程x 2﹣2x=m 2﹣m 在区间[0，m]有两个解．令g （x ）=x 2﹣2x ﹣m 2+m ，（0＜x ＜m ）．则，解得＜a ＜3，∴实数a 的取值X 围是（，3）．故选：B ．点评：本题是一道新定义函数问题，考查对函数性质的理解和应用．解题时首先求出函数f （x ）的导函数，再将新定义函数的性质转化为导函数的性质，进而结合函数的零点情况确定参数m 所满足的条件，解之即得所求．属于中档题． 2.D考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用；等差数列与等比数列．分析：由已知求出数列{}的通项公式，对函数f（x）求导，求出f′（x），令x=0求值．解答：解：因为数列{}为等比数列，其中c1=2，c8=4，所以公比q=，由f（x）=x（x﹣c1）（x﹣c2）…（x﹣c8），得f′（x）=（x﹣c1）（x﹣c2）…（x﹣c8）+x[（x﹣c1）（x ﹣c2）…（x﹣c8）]'，所以f′（0）=（﹣c1）（﹣c2）…（﹣c8）=c1c2…c8==212；故选D．点评：本题考查了等比数列的通项求法以及导数的运算；解答本题求出等比数列的通项公式以及函数的导数是关键．3.B考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：如图所示，由导函数f′（x）在（a，b）内的图象和极值的定义可知：函数f（x）只有在点B 处取得极小值．解答：解：如图所示，由导函数f′（x）在（a，b）内的图象可知：函数f（x）只有在点B处取得极小值，∵在点B的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，且f′（x B）=0．∴函数f（x）在点B处取得极小值．答案第8页，总27页第9页，总27页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________X X ：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………故选：B ．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力，属于基础题． 4.A考点：直线的斜率；导数的几何意义． 专题：计算题．分析：由曲线的解析式，求出导函数，然后把切点的横坐标x=0代入，求出对应的导函数的函数值即为切线方程的斜率．解答：解：由y=e x ，得到y ′=e x ， 把x=0代入得：y ′（0）=e 0=1，则曲线y=e x 在点A （0，1）处的切线斜率为1． 故选A ．点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题． 5.A考点：导数的运算． 专题：导数的综合应用．分析：由f（x）=f′（x）化为：x2+（b﹣2）x+c﹣b=0，由于关于x的方程f（x）=f′（x）有两个相等实数根，可得△=0，可得，代入，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：f′（x）=2x+b，f（x）=f′（x）化为：x2+（b﹣2）x+c﹣b=0，∵关于x的方程f（x）=f′（x）有两个相等实数根，∴△=（b﹣2）2﹣4（c﹣b）=0，化为，∴==≤=2﹣2，当且仅当b2=4，c=+1时取等号．∴的最大值为﹣2．故选：A．点评：本题考查了导数的运算法则、一元二次方程有实数根与判别式的关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.B考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：求出函数的导数，代入x=1，化简求解即可．解答：解：函数f（x）满足f（x）=e x lnx+x2f′（1）+x，可得f′（x）=e x lnx++2xf′（1）+1，∴x=1时，f′（1）=0+e+2f′（1）+1，答案第10页，总27页解得f′（1）=﹣e﹣1．故选：B．点评：本题考查函数的导数的运算，考查计算能力．7.C考点：变化的快慢与变化率．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：函数y=2esinx在点x=0处的瞬时变化率为函数y=2esinx在点x=0处的导数，所以求出函数y=2esinx 在点x=0处的导数即可．解答：解：y′|x=0=2ecosx|x=0=2e故选：C．点评：让学生理解导数的物理意义，会求函数在某一点的导数．8.B考点：函数的图象；导数的运算．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数y=xf′（x）的图象，依次判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性即可解答：解：由函数y=xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，∴f′（x）＞0，此时f（x）增当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，∴f′（x）＜0，此时f（x）减当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，∴f′（x）＜0，此时f（x）减当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．故选：B．点评：本题间接利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题以及导数与函数的关系．9.A考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：求出函数的导数，判断函数在区间[，3]上的单调性，即可得到最小值．解答：解：函数f（x）=x3﹣3x2+2015的导数f′（x）=x2﹣6x=x（x﹣6），当x∈[，3]时，f′（x）＜0，即有f（x）在区间[，3]上递减，可得f（3）取得最小值，且为9﹣27+2015=1997．故选A．点评：本题考查导数的运用：求单调性和最值，主要考查单调性的运用，属于基础题．10.A考点：几何概型；导数的运算．专题：概率与统计．分析：由题意，首先求出使f′（x）＞0的x的X围，然后由几何概型的公式求之．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________X X：___________班级：___________考号：___________ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 解答：解：由已知f ′（x ）=e x （x 2+2x ﹣3）＞0，解得x ＜﹣3或者x ＞1， 由几何概型的公式可得f ′（x ）＞0的概率是； 故选：A ． 点评：本题考查了函数求导以及几何概型的运用；正确求出函数的导数，正确解不等式是关键；属于基础题．11.﹣1 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：计算题；导数的概念及应用． 分析：设出曲线上的一个切点为（x ，y ），利用导数的几何意义求切线的坐标，可得b=alna ﹣a ，再求导，求最值即可． 解答：解：设出曲线上的一个切点为（x ，y ）， 由y=alnx ，得y ′=， ∵直线y=x+b 是曲线y=alnx 的切线， ∴y ′==1， ∴x=a ， ∴切点为（a ，alna ）， 代入y=x+b ，可得b=alna ﹣a ， ∴b ′=lna+1﹣a=0，可得a=1， ∴函数b=alna ﹣a 在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， ∴a=1时，b 取得最小值﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数的运算求出切线斜率，根据切线斜率和导数之间的关系建立方程进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力．12.32π考点：定积分在求面积中的应用．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等．解答：解：如图，两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，所得截面面积S1=π（42﹣4|y|），S2=π（42﹣y2）﹣π[4﹣（2﹣|y|）2]=π（42﹣4|y|）∴S1=S2，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，∵由同时满足x≥0，x2+y2≤16，x2+（y﹣2）2≥4，x2+（y+2）2≥4的点（x，y）构成的平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体，它应该为一个大的球体减去两个球半径一样的小的球体，体积为•43﹣2••23=64π，∴Γ1的体积为32π．故答案为：32π．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________X X：___________班级：___________考号：___________ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 点评：本题主要考查祖暅原理的应用，求旋转体的体积的方法，体现了等价转化、数形结合的数学思想，属于基础题． 13. 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用． 分析：求出原函数的导函数，由f ′（1）=得到m+n 的值；利用函数在点（1，f （1））处的切线方程为x ﹣2y ﹣2=0求得m ，n 的值，得到函数f （x ）的解析式，代入f （x ）+＜0并整理，构造函数g （x ）=（x ＞1），利用导数求得g （x ）＞得答案． 解答：解：由f （x ）=mlnx+nx （m 、，n ∈R ）， 得，∴f ′（1）=m+n ， ∵曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x ﹣2y ﹣2=0， ∴m+n=； 由f ′（1）=，f （1）=n ， ∴曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y ﹣n=（x ﹣1）， 即x ﹣2y+2n ﹣1=0． ∴2n ﹣1=﹣2，解得n=﹣． ∴m=1． 则f （x ）=lnx ﹣，f（x）+＜0等价于lnx﹣+，即，令g（x）=（x＞1），g′（x）=x﹣lnx﹣1，再令h（x）=x﹣lnx﹣1，，当x＞1时h′（x）＞0，h（x）为增函数，又h（1）=0，∴当x＞1时，g′（x）＞0，即g（x）在（1，+∞）上为增函数，∴g（x）＞g（1）=．则k．故答案为：；（﹣∞，]．点评：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中高档题．14.（﹣∞，﹣]考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，使导函数在[1，+∞）上恒小于等于0，列式求解a的X围．解答：解：由函数f（x）=2lnx+ae x，（x＞0）则f′（x）=+ae x=，○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________X X：___________班级：___________考号：___________ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 令g （x ）=axe x +2，因为f （x ）在[1，+∞）上是减函数， 所以，f ′（x ）在[1，+∞）上小于等于0恒成立， 则g （x ）=axe x +2在[e ，+∞）上小于等于0恒成立， 即 axe x +2≤0，所以a ≤﹣．因为y=﹣在x ∈[1，+∞）是增函数，所以a ≤﹣．故答案为：（﹣∞，﹣]． 点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．考查了在某一区间内不等式恒成立的问题，此题属中档题． 15.y=4x ﹣2 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：导数的综合应用． 分析：欲求在点（﹣1，3）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=﹣1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 解答：解：∵y=2x 2，∴y ′=4x ， ∴x=1时，y ′=4， ∴曲线y=2x 2在点P （1，2）处的切线方程为：y ﹣2=4×（x ﹣1），即y=4x ﹣2， 故答案为：y=4x ﹣2． 点评：本题主要考查直线的斜率、直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题． 16.考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）由f′（x）=﹣3x2+2ax，令f′（x）=0，得x=0，或x=a．a＞0．利用导数与单调性的关系列出表格即可得出．（2）当x∈时，tanθ=f′（x）=﹣3x2+2ax，由θ∈，得0≤f′（x）≤1，即x∈时，0≤﹣3x2+2ax≤1恒成立．对x分类讨论，分离参数，利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）由f′（x）=﹣3x2+2ax，令f′（x）=0，得x=0，或x=a．a＞0．∴当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，0）0（0，）（，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减∴y极小值=f（0）=0．y极大值==﹣a3+a3=．（2）当x∈时，tanθ=f′（x）=﹣3x2+2ax，由θ∈，得0≤f′（x）≤1，即x∈时，0≤﹣3x2+2ax≤1恒成立．当x=0时，a∈R．当x∈（0，1]时，由﹣3x2+2ax≥0恒成立，可知a．由﹣3x2+2ax≤1恒成立，得a≤（3x+），∴a≤（等号在x=时取得）．综上：≤a≤．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、几何意义、基本不等式的性质，考查了分类讨论、分离参数方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17.○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________X X：___________班级：___________考号：___________ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题． 专题：综合题；压轴题；导数的综合应用． 分析：（Ⅰ）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数f （x ）的最大值；（Ⅱ）（ⅰ）求导函数，利用函数f （x ）与g （x ）=x+有相同极值点，可得x=1是函数g （x ）的极值点，从而可求a 的值； （ⅱ）先求出x 1∈时，f （x 1）min =f （3）=﹣9+2ln3，f （x 1）max =f （1）=﹣1；x 2∈时，g （x 2）min =g （1）=2，g （x 2）max =g （3）=，再将对于“x 1，x 2∈，不等式≤1恒成立，等价变形，分类讨论，即可求得实数k 的取值X 围． 解答：解：（Ⅰ）求导函数可得：f ′（x ）=﹣2x+=﹣（x ＞0） 由f ′（x ）＞0且x ＞0得，0＜x ＜1；由f ′（x ）＜0且x ＞0得，x ＞1． ∴f （x ）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数． ∴函数f （x ）的最大值为f （1）=﹣1． （Ⅱ）∵g （x ）=x+，∴g ′（x ）=1﹣． （ⅰ）由（Ⅰ）知，x=1是函数f （x ）的极值点， 又∵函数f （x ）与g （x ）=x+有相同极值点， ∴x=1是函数g （x ）的极值点， ∴g ′（1）=1﹣a=0，解得a=1． （ⅱ）∵f （）=﹣﹣2，f （1）=﹣1，f （3）=﹣9+2ln3，∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即f（3）＜f（）＜f（1），∴x1∈时，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1由（ⅰ）知g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．当x∈时，g′（x）＞0．故g（x）在上为增函数．∵，g（1）=2，g（3）=，而2＜＜，∴g（1）＜g（）＜g（3）∴x2∈时，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=①当k﹣1＞0，即k＞1时，对于“x1，x2∈，不等式≤1恒成立，等价于k≥max+1 ∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣1﹣2=﹣3，∴k≥﹣2，又∵k＞1，∴k＞1．②当k﹣1＜0，即k＜1时，对于“x1，x2∈，不等式≤1恒成立，等价于k≤min+1 ∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣，∴k≤．又∵k＜1，∴k≤．综上，所求的实数k的取值X围为（﹣∞，]∪（1，+∞）．○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________X X：___________班级：___________考号：___________ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 18. 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值． 专题：导数的综合应用． 分析：（1）利用1是h （x ）的极值点，可得h ′（1）=﹣2+a+3a=0，解得a ．再验证a 的值是否满足h （x ）取得的极值的条件即可． （2）利用导数的运算法则即可得到f ′（x ），分与讨论，利用单调性即可得f （x ）的最小值； （3）由2xlnx ≥﹣x 2+ax ﹣3，则a ，设h （x ）=（x ＞0）．对一切x ∈（0，+∞），2f （x ）≥g （x ）恒成立⇔a ≤h （x ）min ，利用导数求出h （x ）的最小值即可． 解答：解：（1）∵h （x ）=﹣x 2+ax ﹣3+ax 3，∴h ′（x ）=﹣2x+a+3ax 2， ∵1是h （x ）的极值点，∴h ′（1）=﹣2+a+3a=0，解得a=． 经验证满足h （x ）取得的极值的条件． （2）∵f （x ）=xlnx ，∴f ′（x ）=lnx+1， 令f ′（x ）=0，解得．当时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减； 当x 时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增． ①无解； ②，即，．③，即时，f（x）在上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt；∴f（x）min=．（3）2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，则a，设h（x）=（x＞0），则，令h′（x）＜0，解得0＜x＜1，∴h（x）在（0，1）上单调递减；令h′（x）＞0，解得1＜x，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）在x=1时取得极小值，也即最小值．∴h（x）≥h（1）=4．∵对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，∴a≤h（x）min=4．点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、等价转化为等基础知识于基本技能，需要较强的推理能力和计算能力．19.考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：（1）先求原函数的导数，根据f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________X X：___________班级：___________考号：___________ ○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… （2）由于存在唯一的实数x 0，使得f （x 0）=x 0与f ′（x 0）=0同时成立，则存在唯一的实数根x 0，即b=2x 3+x 2+x 存在唯一的实数根x 0，就把问题转化为求函数最值问题； （3）假设存在常数λ，依据曲线C 在点A 处的切线l 1与曲线C 交于另一点B ，曲线C 在点B 处的切线l 2，得到关于λ的方程，有解则存在，无解则不存在．解答：解：（1）当a=﹣2时，函数f （x ）=x 3+x 2﹣2x+b 则f ′（x ）=3x 2+5x ﹣2=（3x ﹣1）（x+2） 令f ′（x ）＜0，解得﹣2＜x ＜， 所以f （x ）的单调递减区间为（﹣2，）； （2）函数f （x ）的导函数为由于存在唯一的实数x 0，使得f （x 0）=x 0与f ′（x 0）=0同时成立， 则即x 3+x 2+（﹣3x 2﹣5x ﹣1）x+b=0存在唯一的实数根x 0， 故b=2x 3+x 2+x 存在唯一的实数根x 0， 令y=2x 3+x 2+x ，则y ′=6x 2+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=﹣或x=﹣， 则函数y=2x 3+x 2+x 在（﹣∞，），（﹣，+∞）上是增函数，在（，﹣）上是减函数， 由于x=﹣时，y=﹣；x=﹣时，y=﹣； 故实数b 的取值X 围为：（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞）； （3）设点A （x 0，f （x 0）），则在点A 处的切线l 1的切线方程为y ﹣f （x 0）=f ′（x 0）（x ﹣x 0）， 与曲线C 联立得到f （x ）﹣f （x 0）=f ′（x 0）（x ﹣x 0），即（x3+x2+ax+b）﹣（x03+x02+ax0+b）=（3x02+5x0+a）（x﹣x0），整理得到（x﹣x0）2=0，故点B的横坐标为x B=﹣（2x0+）由题意知，切线l1的斜率为k1=f′（x0）=3x02+5x0+a，l2的斜率为k2=f′（﹣（2x0+））=12x02+20x0++a，若存在常数λ，使得k2=λk1，则12x02+20x0++a=λ（3x02+5x0+a），即存在常数λ，使得（4﹣λ）（3x02+5x0）=（λ﹣1）a﹣，故，解得λ=4，a=，故a=时，存在常数λ=4，使得k2=4k1；a≠时，不存在常数，使得k2=4k1．点评：本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时还考查了方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决．20.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数，再求出f（1），由直线方程的点斜式求得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程，求出直线在y轴上的截距，由截距为5求得a的值；（2）把（1）中求出的a值代入函数解析式，求导得到函数的极值点与极值，根据x=0为极大值点，且极大值大于0，x=2为极小值点，且极小值等于0，可得k≤0时，直线y=kx与曲线y=f（x）的公共点的个数为1个．解答：解：（1）∵f（x）=x3+ax2+4，∴f′（x）=3x2+2ax，则f′（1）=3+2a，又f（1）=5+a，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣5﹣a=（3+2a）（x﹣1），取x=0得：y=2﹣a，由2﹣a=5，得a=﹣3；（2）f（x）=x3﹣3x2+4，f′（x）=3x2﹣6x，当x∈（﹣∞，0），（2，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0．∴当x=0时函数f（x）取得极大值为f（0）=4；当x=2时函数f（x）取得极小值为f（2）=0．由当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞．∴k≤0，直线y=kx与曲线y=f（x）只有1个公共点．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了根的存在性及根的个数的判断，是中高档题．21.考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出函数f（x）的导数，利用导数的正负性判断单调性，从而求函数的极值；（2）求出g（x）的导数，化简构造函数h（x），求出h（x）的导数，讨论函数h′（x）正负性，判断h（x）的单调性，根据h（x）的正负性，判断g（x）的单调性，从而求出参数a的取值X围．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x2+x﹣lnx，定义域为（0，+∞），∴f′（x）=2x+1﹣==，∴当0＜x＜，时f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，（2）g（x）==，定义域为（0，+∞），g′（x）=，令h（x）=，则h′（x）=﹣2x++2﹣a，h″（x）=﹣2﹣﹣＜0，故h′（x）在区间（0，1]上单调递减，从而对（0，1]，h′（x）≥h′（1）=2﹣a①当2﹣a≥0，即a≤2时，h′（x）≥0，∴y=h（x）在区间（0，1]上单调递增，∴h（x）≤h（1）=0，即F′（x）≤0，∴y=F（x）在区间（0，1]上是减函数，a≤2满足题意；②当2﹣a＜0，即a＞2时，由h′（1）＜0，h′（）=﹣+a2+2＞0，0＜＜1，且y=h′（x）在区间（0，1]的图象是一条连续不断的曲线，∴y=h′（x）在区间（0，1]有唯一零点，设为x0，∴h（x）在区间（0，x0）上单调递增，在（x0，1]上单调递减，∴h（x0）＞h（1）=0，而h（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣e a+lne﹣a＜0，且y=h（x）在区间（0，1]的图象是一条连续不断的曲线，y=h（x）在区间（0，1）有唯一零点，设为x′，即y=F′（x）在区间（0，1）有唯一零点，设为x′，又F（x）在区间（0，x′）上单调递减，在（x′，1）上单调递增，矛盾，a＞2不合题意；综上所得：a的取值X围为（﹣∞，2]．点评：本题考查的是利用导数求函数的单调区间，同时考查了利用导数解决参数问题，利运用了二次求导，是一道导数的综合性问题．属于难题．。