上海财经大学经济学院《高级微观经济学》题库10

作业五
1、求出下面策略式博弈的全部纯策略和混合策略纳什均衡：
(1)
(2)
(3)
答：(1) 无纯策略纳什均衡，混合策略纳什均衡为：321
13344((,),(,))。

(2) 纯策略纳什均衡为：(,)T R 和(,)B L ，混合策略纳什均衡为：3411
5544((,),(0,,))。

(3) 纯策略纳什均衡为：(,)D R ，无混合策略纳什均衡。

2、考虑如下N 个参与人的博弈：每一个参与人i 从集合{1,2,,}K …中选择一个数字i x ，令
11n
i n
i x x ==
∑为所有参与人选择的数字的平均值，所选数字最接近
23x
的参与人将会得到一笔价值1万元的奖金(如果两个或更多参与人的数字都同样离23
x
最近，那么他们平
分奖金)。

证明每个参与人都有唯一的可理性化策略并找出这个策略。

答：首先，对任意的2K ≥，有
223
3(1)K K K K −−<−。

定义(0){
1,2,,}i i R S K ==…，对任意0m ≥，
定义{}
(1)():(),i i i i i i i R m s R m s R m s s −−−+=∈∃∈使得是的最优反应，则参与人i 的可理性化策略为0
()i i
m R R m ∞
==∩。

注意参与人可以选择的最大的数字为K ，
因此
23x 不会大于23
K
，故可推得选择K 不是任何策略的最优反应：对于任意一个参与人i ，如果其他参与人都选择K ，那么他可以选择1K −并以1的概率赢得奖金，而如果他选K ，他只能以1/n 的概率赢得奖金；如果其他参与人都选择比K 小的数，那么他若选择K 将不可能赢得奖金，而通过选择其它某个更小的数的话会使他至少以正的概率赢得奖金。

因此，(1){1,2,,1}i R K =−…。

重复这个过程我们得到
(1){1}i R K −=，故唯一的可理性化策略为选择1。

L R T 2,1 0,2 B 1,2 3,0
L C R T 0,4 5,6 8,7 B 2,9 6,5 5,1
L C R U 1,-2 -2,1 0,0 M -2,1 1,-2 0,0 D 0,0 0,0 1,1
3、说明下列扩展式博弈是否满足“完美回忆”的性质。

如果满足的话将其写成策略式博弈，并找出纯策略纳什均衡和子博弈完美纳什均衡。

(1)
(2)
答：题目中的两个扩展式博弈均满足“完美回忆”性质。

(1) 此博弈的策略形式为：
纯策略纳什均衡为：(,)C BE ，(,)C BF 。

子博弈完美纳什均衡为：(,)C BF 。

(2) 此博弈的策略形式为：
纯策略纳什均衡为：(,,)BE C JH ，(,,)BF C JH ，(,,)AF D JG ,(,,)AF D JH 。

子博弈完
美纳什均衡为：(,,)BF C JH ，(,,)AF D JH 。

AE AF BE BF C 2, 1 2, 1 3, 4 3, 4
D 2, 1 2, 1 4, 2 1 ,3 IG IH JG JH
AE 2,1,6 2,1,6 2,1,6 2,1,6AF 5,3,1 5,3,1 5,3,1 5,3,1BE 3,1,6 3,1,6 4,4,0 4,4,0BF 3,1,6 3,1,6 4,4,0 4,4,0
IG IH JG JH AE 4,6,04,6,0 2,0,8 2,0,8AF 4,6,0
4,6,0 2,0,8 2,0,8
BE 6,2,22,5,3 6,2,2 2,5,3BF 6,2,22,5,3 6,2,2 2,5,3
Player 1
Player 2 Player 1 Player 3 Player 1 Player 3 Player 2 chooses C Player 2 chooses D
4、(1) 假设一个家长和他的孩子进行如下博弈：首先，孩子选择行动A ，可使孩子获得收
入()C I A ，并使家长得到收入()P I A ；其次，家长观察到双方的收入C I 和P I ，然后选
择给孩子奖励或者惩罚B 。

孩子的收益为()C U I B +，家长的收益为
()()P C V I B k I B −++，其中0k >表示家长关心孩子的福利。

假设0A ≥，()C I A 和()P I A 严格凹，且分别在0C A >和0P A >达到最大值，效用函数U 和V 递增并严格凹，证明在均衡中，孩子选择使全家收入()()C P I A I A +最大化的行为。

(2) 现假设家长和孩子进行一个不同的博弈，令收入C I 和P I 为外生给定的，首先，由孩子决定C I 中的多少用于储蓄S ，其他部分C I S −用于消费；其次，家长观察到孩子的储蓄S 并决定赠与孩子数量为B 的收入。

孩子的收益为12()()C U I S U S B −++，家长的收益为12()[()()]P C V I B k U I S U S B −+−++。

假设1U ，2U 和V 递增并严格凹，证
明在均衡中，孩子的储蓄低于最优储蓄，家长赠与孩子的收入高于最优赠与。

答：(1) 用逆向归纳法求解，首先给定A ，最大化家长的收益(())(())P C V I A B k I A B −++，
由一阶条件得'1()()()P B A I A V k −=+。

给定()B A ，最大化孩子的收益
(()())C U I A B A +，一阶条件为'''()[()()]0C C P U I B I A I A ++=，故
''()()0C P I A I A +=，即孩子的行动与最大化全家收入的行动相同。

(2) 由逆向归纳法，给定S ，最大化家长的收益12()[()()]P C V I B k U I S U S B −+−++，一阶条件为''2()()P V I B kU S B −=+，故反
应函数满足''2''''
210kU dB
dS kU V
−<=<−−，即孩子储蓄减少，家长给予更多的赠与。

给定()B S ，最大化孩子的收益12()()C U I S U S B −++，由一阶条件得'1'2()011()C U I S dB U S B dS −<=+<+。

故当S 增加时，1()C U I S −减小，同时由于
()
0d B S dS
+>，B S +增加，2()U S B +会增加，且2()U S B +增加的幅度大于1()C U I S −减小的幅度，即''12()()0C U I S U S B −++>，因此S 增加会提高孩子的福
利，同时家长的福利也会提高。