4.3 相似多边形上课课件
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北师大版九年级上册数学课件：4.3相似多边形1(共40张PPT)
相似比为: AB 2
EF 1
LOGO
LOGO
E
H
∠C =∠G = 90°，∠D =∠H = 90°
F
∴ 它们的对应角相等.
B
G
C
∵ EH:AD=300:(300+2×7.5)=20/21.
EF:AB =150:(150+2×7.5)=10/11.
∴ EH:AD≠EF:AB.
∴ 它们的对应边不成比例.
∴ 矩形ABCD和矩形EFGH不相似.
LOGO
3 你能找出其中的相似多边形吗？ C 相似多边形对应对角线的比等于相似比。
D
H
5
I
五边形ABCDE相似于五边形A′B′C′D′E′，它们的相似比为1 : 3，（1）若∠D＝135°，则∠D′= ______。
解:（1）相似比=CD : HI=3 : 5 相似多边形面积的比等于相似比的平方。
（1）任意两个矩形都是相似图形（ ） 一块长 3m，宽1.
（7）两个相似多边形，对应边成比例（ ） ∴ 它们的对应边不成比例. 各对应角相等、各对应边成比例的多边形叫做相似多边形. 解得FG =10/3 cm, BC =18/5cm, 两个图形的形状 ________，但图形的大小位置 __________，这样的图形叫做相似图形。
两个图形相似，其中一个图形可以看 （5）两个全等三角形是相似多边形（ ）
（°2）若A′B′=15cm，则AB= ___5___。
3. 一个多边形的边长分别是2、 3、4、5、6，另一个和它相似的多边 形的最短边长为6，则这个多边形的最 长边为__1_8___ 。
LOGO
4. 如图所示的两个矩形相似吗？为什么？ 如果相似，相似比是多少？
4.3《相似多边形》课件
A 21 D
18
β
78° 83°
B
C
所以它们的对应边成比例，由此可得
x
H
E
EH EF ，即 x 24 .
AD AB
21 18
118° 24
α
解得 x=28.
F
G
23
1．相似多边形及其相关概念 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做 相似多边形． 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． 相似多边形对应边的比叫做相似比．
7
想一想 下图中的两个多边形分别是计算机显示
屏上的多边形ABCDEF和投射到银幕上的多边形
A1B1C1D1E1F1，它们的形状相同吗？ （1）在这两个多边形中，是否有
A F
B C
ED
对应相等的内角？设法验证你的猜想．
A1
B1
（2）在这两个多边形中，夹相等 F1
C1
内角的两边是否成比例？
E1
D1
8
不规则四边形
例如，五边形ABCDE∽五边形A1B1C1D1E1，对应
边的比 AB BC CD DE EA 4 ，因此五边形
A1B1 B1C1 C1D1 D1E1 E1 A1 5
ABCDE与五边形A1B1C1D1E1的相似比为
k1
4 5
，五边
形A1B1C1D1E1与五边形ABCDE的相似比为
k2
5 4
．
（3）
（4）
很明显，上面两组中的两个图形也不是全等图形，但每
组中的两个图形的形状相同，满足这种关系的两个图形是什么
关系呢？可以用什么名词来表达呢?与全等图形有怎样的联系
？
6
2．生活中同学们还会看到这样的图片．
4.3 相似多边形 课件 (共19张PPT) 数学北师版九年级上册
【例4】已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB∶BC∶CD∶DA＝20∶15∶9∶8，四边形A′B′C′D′的周长为26，求四边形A′B′C′D′各边的长．
应用二：应用多边形相似的性质解决问题
1.两个多边形相似的条件是（ ）A．对应角相等 B．对应边成比例C．对应角相等或对应边成比例 D．对应角相等且对应边成比例
思考：正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的相似比是多少？
3.相似多边形的性质：
相似多边形的_______________，__________________.
对应角相等
对应边的比相等
作用：常用来求相似多边形中未知的边的长度和角的度数．利用相似多边形的性质求边长或角度，关键扣住“对应”二字，找准对应边和对应角是解决问题的关键．需要注意的是对应边是比相等，而对应角是直接相等．
解 ：(1)相似比k＝
(2)∵梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，且由(1)知相似比k＝ ∴ ∵AB＝6，B′C′＝12，∴A′B′＝9，BC＝8.
【例2】已知：如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′，AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12，∠C＝60°. (1)求梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k的值；(2)求A′B′和BC的长；(3)求∠D′的大小．
【例3】如图所示，一块长为2米，宽为1米的矩形玻璃，为了保护玻璃需要镶上宽10厘米的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
解：不相似. 由条件知， ，，所以.所以两个矩形不相似．
应用一：判定两个多边形相似
应用二：应用多边形相似的性质解决问题
【例4】已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB∶BC∶CD∶DA＝20∶15∶9∶8，四边形A′B′C′D′的周长为26，求四边形A′B′C′D′各边的长．
应用二：应用多边形相似的性质解决问题
1.两个多边形相似的条件是（ ）A．对应角相等 B．对应边成比例C．对应角相等或对应边成比例 D．对应角相等且对应边成比例
思考：正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的相似比是多少？
3.相似多边形的性质：
相似多边形的_______________，__________________.
对应角相等
对应边的比相等
作用：常用来求相似多边形中未知的边的长度和角的度数．利用相似多边形的性质求边长或角度，关键扣住“对应”二字，找准对应边和对应角是解决问题的关键．需要注意的是对应边是比相等，而对应角是直接相等．
解 ：(1)相似比k＝
(2)∵梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，且由(1)知相似比k＝ ∴ ∵AB＝6，B′C′＝12，∴A′B′＝9，BC＝8.
【例2】已知：如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′，AD＝4，A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12，∠C＝60°. (1)求梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k的值；(2)求A′B′和BC的长；(3)求∠D′的大小．
【例3】如图所示，一块长为2米，宽为1米的矩形玻璃，为了保护玻璃需要镶上宽10厘米的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
解：不相似. 由条件知， ，，所以.所以两个矩形不相似．
应用一：判定两个多边形相似
应用二：应用多边形相似的性质解决问题
【例4】已知四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，且AB∶BC∶CD∶DA＝20∶15∶9∶8，四边形A′B′C′D′的周长为26，求四边形A′B′C′D′各边的长．
《相似多边形》相似图形PPT(上课用)
（ ）
（ ）
．︰≠．︰．
直观有时是不可靠的
1、五边形ABCDE∽五边形 A´B´C´D´E´，则 80° ,∠ A´＝＿＿ 118° ∠ E＝＿＿ , C´D´＝＿＿ 4
B C
3
A
118
°
A´
E
D
2
B´ C´
6
80
°
E´
五边形A´B´C´D´E´与五边形 2:1 ABCDE的相似比为＿＿
D´ E
60°
2、如图：下面的两个菱形相似吗？为什么？ 满足什么条件的两个菱形一定相似？ A
120
°
H
B
F
D C
G
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
15、如果没有人为你遮风挡雨，那就学会自己披荆斩棘，面对一切，用倔强的骄傲，活出无人能及的精彩。 16、成功的秘诀在于永不改变既定的目标。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。幸福不会遗漏任何人，迟早有一天它会找到你。 17、一个人只要强烈地坚持不懈地追求，他就能达到目的。你在希望中享受到的乐趣，比将来实际享受的乐趣要大得多。 18、无论是对事还是对人，我们只需要做好自己的本分，不与过多人建立亲密的关系，也不要因为关系亲密便掏心掏肺，切莫交浅言深，应适可而止。 19、大家常说一句话，认真你就输了，可是不认真的话，这辈子你就废了，自己的人生都不认真面对的话，那谁要认真对待你。 20、没有收拾残局的能力，就别放纵善变的情绪。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠，其实都是祝愿。 5、心情就像衣服，脏了就拿去洗洗，晒晒，阳光自然就会蔓延开来。阳光那么好，何必自寻烦恼，过好每一个当下，一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。 6、无论你正遭遇着什么，你都要从落魄中站起来重振旗鼓，要继续保持热忱，要继续保持微笑，就像从未受伤过一样。 7、生命的美丽，永远展现在她的进取之中 ;就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中;像雄鹰的美丽，是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中;像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。 8、有些事，不可避免地发生，阴晴圆缺皆有规律，我们只能坦然地接受;有些事，只要你愿意努力，矢志不渝地付出，就能慢慢改变它的轨迹。 9、与其埋怨世界，不如改变自己。管好自己的心，做好自己的事，比什么都强。人生无完美，曲折亦风景。别把失去看得过重，放弃是另一种拥有 ;不要经常艳羡他人，人做到了，心悟到了，相信属于你的风景就在下一个拐弯处。 10、有些事想开了，你就会明白，在世上，你就是你，你痛痛你自己，你累累你自己，就算有人同情你，那又怎样，最后收拾残局的还是要靠你自己。 11、人生的某些障碍，你是逃不掉的。与其费尽周折绕过去，不如勇敢地攀登，或许这会铸就你人生的高点。 12、有些压力总是得自己扛过去，说出来就成了充满负能量的抱怨。寻求安慰也无济于事，还徒增了别人的烦恼。 13、认识到我们的所见所闻都是假象，认识到此生都是虚幻，我们才能真正认识到佛法的真相。钱多了会压死你，你承受得了吗?带，带不走，放，放不下。时时刻刻发悲心，饶益众生为他人。 14、梦想总是跑在我的前面。努力追寻它们，为了那一瞬间的同步，这就是动人的生命奇迹。 15、懒惰不会让你一下子跌倒，但会在不知不觉中减少你的收获 ;勤奋也不会让你一夜成功，但会在不知不觉中积累你的成果。人生需要挑战，更需要坚持和勤奋!
九级数学(北师大版)上册课件：4.3相似多边形精品
6.5 mm AB= —— 5.5 mm BC= —— 6 mm CD= —— 5 mm DE= —— 7.5 mm EF= —— 4.5 mm FG= ——
A’= 150 —— B’= 120 —— C’=105 —— D’=135 —— E’= 120 —— 90 F’= ——
学习是件很充实的事！
直观有时候是不可靠的.
它们不相似，因为对应边不成比例.
2019
最新中小学课件
14
小结
• 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做 相似多边形
相似多边形对应边的比叫做相似比 相似比与叙述的顺序有关.
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
如果两个多边形不相似，那么它们的各角可 能对应相等，它们的各边可能对应成比例.
2019
最新中小学课件
10
• 相似多边形对应边的比叫做相似比
如：六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1
A1
B1
六边形ABCDEF与六边形 A1B1C1D1E1F1的相似比 为k1=4／5.
A
B C F1 E1 D1 （1） 图4-11
F E D
C1
（1）
六边形A1B1C1D1E1F1与六边形ABCDEF的相似比为k2=5／4.
你注意到没有，相似比与叙述的顺序的关系？
2019 最新中小学课件 11
议一议——反过来会怎样？
• 如果两个多边形相似，那么它们的对应角有什么 关系？对应边呢？
相似多边形的对应角 相等，对应边成比例.
2019 最新中小学课件 12
看一看，议一议
（1）观察下面两组图形，图4-12（1）中的 两个图形相似吗？为什么？图4-12（2）中的 两个图形呢？与同桌交流.
相似多边形 公开课精品课件
2cm，那么它们的相似比是( ) 6 9 3 3 A. B. C. D. 5 4 4 2 2 已知正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别是2
3
cm和4cm，则正方形ABCD与正方形DEFG的相似比 是_______．
（来自《典中点》）
知识总结 知识方 法要点 关键总结 注意事项
相 似 多 边 形
（来自《典中点》）
知3－导
知识点
3 相似比
两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个 图形放大或缩小得到.例如，放映电影时，投在屏幕上 的画面就是胶片上图形的放大；用复印机把一个图形 放大或缩小后所得的图形，都与原来的图形相似.下图 中有2对图形，每对图形中的两个图形相似.其中较大 (小)的图形可以看成是由较小 (大)的图形放大(缩小)得 到的.
知3－讲
例3 如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩
形ABCD相似，已知AB＝4.
(1) 求AD的长； (2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比. 相似多边形的对应边的比相等， 导引： A 其比值就是相似比.
M
D
B
E
C
知3－讲
x 解： (1)设AD＝x，则 DM . 2 ∵矩形DMNC与矩形ABCD相似， AD CD ∴ . DC DM x 4 ∴ ，∴x 2 32. 4 x 2 ∴x 4 2或x 4 2 舍去，即AD的长为4 2. 4 2 . (2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为 2 4 2
第二十五章
图形的相似
25.7
相似多边形和图形的位似
第1课时
相似多边形
1
课堂讲解
相似多边形的定义 相似多边形的性质 相似比
2
《相似多边形》相似图形PPT精品教学课件
做相似多边形。
相似比概念： 相似多边形对应边的比叫做相似比。
如：六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似， 记作六边形ABCDEF 六边形A1B1C1D1E1F1,其中 AB:A1B1的值就是相似比.
注:1、相似符号“∽ ”读作“相似于” 2、在记两个多边形相似时，要把表示对应角顶点 的字母写在对应的位置上。
六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1 是形状相同的图形；其中∠A与∠A1, ∠B与∠B1, ∠C与∠C1, ∠D与∠D1, ∠E 与∠E1, ∠F与∠F1对应相等,称为对应 角;AB与A1B1,BC与B1C1,CD与C1D1, DE与 D1E1,EF与E1F1,FA与F1A1的比都相等, 称 为对应边.
10 正方形
8 矩形
10
（2）
12
答：不相似。因为虽然它们对应角相等， 但它们对应边不成比例。
2. 如果两个多边形不相似，那么它们的对应 角可能都相等吗？ 对应边可能都成比例 吗？
答：如果两个多边形不相似，它们的对应角 可能都相等;如果两个多边形不相似,对应边 也可能成比例。
但如果两个多边形不相似,那么它们不可 能各角对应相等且各边对应成比例.
身边的友人渐渐地脱单，越来越多的走进婚姻的殿堂，而我依然在殿堂外独自行走，关心自己的人，都在为自己着急，挑选各种各样认为好的女孩，而我却总是无动于衷。我不知道是因为自己对爱情的惧怕，还是对婚姻的恐惧，还是已无力与一个陌生人去从相识开始，也以无心去接受这一切，所以独自逃离的远远地，不提不问不想不念。 我不知道，未来，谁与我并肩看人间烟火。只是，在内心深处，有一股浓浓的思念萦绕心尖，剪不断，理还乱，或许，是一年，或许，是两年，或许，一辈子。刚刚结束了班夫的自驾游，去之前一点没做攻略，除了传说中对美景的盛赞，对那里几乎一无所知。 头一次毫无准备地上路，得益于同行的友人一家，他们已是三顾班夫了，轻车熟路，所以我放心地当了甩手掌柜，从装备到路线、酒店、景点、美食，统统不必操心，乐得轻松自在。 这是一片广袤的天地，无一处不风景，无一眼不风情。 最喜欢峡谷里的瀑布，清凉的冰水摧枯拉朽般从高耸的岩壁奔流而下，无止无休，千年万年，冲刷出今日的残岩断壁。伫立在水边，俯仰之间，山水交融，仿佛看到了久远的一幕，子在川上曰：逝者如斯夫。 而友人一家之所以乐此不疲地到此三游，则是为了一座岛——精灵岛，位于嘉士伯国家公园的马琳湖。 精灵岛已经成了他们心中的一份执念。 第一次慕名而至，临近冬季，一场大雪扑灭了他们通往精灵岛的梦幻之旅。 第二次避开了雪季，却不想又被大雾遮望眼，再一次与精灵岛失之交臂。 此行已是第三次了，虽然沿途的景致百看不厌，却比不上心系精灵岛的一眼。 遗憾的是，又一次天公不作美，明明之前连日的晴空万里，偏偏这一日阴雨绵绵云雾缭绕，注定又要错失梦想中的小岛了。 我的心情还好，因为没有过多的期待，入目皆是美景，撑起雨伞欣赏了一圈雨中湖景朦胧岛影，后来在湖边的礼品店里看到了清晰的精灵岛图片，权当完成了心愿。 友人静静地站在湖边，望着面前的雨幕，一言不发。 我向她提议，“不如我们多呆一天，或许明天就放晴了。” “天气预报说今天下午才有雨，本以为早上赶过来还能来得及看一眼的。”她失落地说。 “那明天呢？”我暗自惭愧，自己连天气预报都没看。 “明天也有雨。”她皱眉道。 “那--”我不知该说什么安慰好了。 “走吧，这就是人生，总要有点遗憾的，就让它永远留在我的心里，偶尔想念一下，作为求而不得的最美风景吧！”她甩甩头，最后看了一眼她的梦想，然后潇洒地往回走了。 她的一番话似乎把所有的不悦都带走了，突然觉得这样的遗憾竟比睛天还美。 风景自在人心，有时候不完美也是一种完美。 于是想起另一个故事。 一次聚会，有个朋友刚从张家界旅游回来，大赞那里风景绝美，堪称人间仙境。 在看过她晒出的自拍后，所有人都开始兴致勃勃地憧憬起来，相约什么时侯有假期可以同行。 只有闺蜜沉默不语。 我后知后觉地记起来，她和初恋男友分手的那年暑假，正是她男友从张家界回来之后不久。 她曾经说过，此生都不会去那个地方，因为在她心里，那是世界上最美的地方，是他曾经承诺要带她一起去看的风景，因为少了他，再美的风景都是泡影。 难道这么多年过去了，她还没能放下？ 她看出我的疑惑，淡淡地笑了，“不是因为他，纯粹是不想去。我相信它是最美的，就因为相信，所以不想破坏了它在我心里的那份完美，一旦真正去了，总会有遗憾，现实永远没有想象的完美。” 她把初恋放下了，却放不下他为她描绘的那片风景。还是因为太在意啊，没有期盼，何来遗憾？ 人生需要遗憾，因为遗憾，所以真实；因为遗憾，所以美丽。 就象张家界之于闺蜜，精灵岛之于友人一家，每个人的遗憾都源于心中所念。 心有所系，故有所憾。引导语：傻孩子，你记住，可以哭，可以恨，但是不可以不坚强。心若在，梦就在，你必须非常努力，因为后面还有一群人在等着看你的笑话。即便是躺着中枪，也要姿势漂亮！ 傻孩子，你记住：我们有许多的梦想，不一定都能实现，有些梦想甚至要摒弃。不要把自己太当回事，也不要把自己太不当回事。好好地呵护自己，对自己好点，就要有好的心态，有了好的心态就会心胸宽广，就会豁达，就会有好的心境。 傻孩子，你记住：爱一个人不容易，忘记一个人更难。是啊，爱一个人是很苦的很苦的事，想一个人是很累的很累的事，等一个人是很傻的很傻的事，为什么我们却不能拒绝这样的相思？为什么我们心甘情愿无怨无悔？为什么我们却如此依然痴迷不悟？
相似比概念： 相似多边形对应边的比叫做相似比。
如：六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似， 记作六边形ABCDEF 六边形A1B1C1D1E1F1,其中 AB:A1B1的值就是相似比.
注:1、相似符号“∽ ”读作“相似于” 2、在记两个多边形相似时，要把表示对应角顶点 的字母写在对应的位置上。
六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1 是形状相同的图形；其中∠A与∠A1, ∠B与∠B1, ∠C与∠C1, ∠D与∠D1, ∠E 与∠E1, ∠F与∠F1对应相等,称为对应 角;AB与A1B1,BC与B1C1,CD与C1D1, DE与 D1E1,EF与E1F1,FA与F1A1的比都相等, 称 为对应边.
10 正方形
8 矩形
10
（2）
12
答：不相似。因为虽然它们对应角相等， 但它们对应边不成比例。
2. 如果两个多边形不相似，那么它们的对应 角可能都相等吗？ 对应边可能都成比例 吗？
答：如果两个多边形不相似，它们的对应角 可能都相等;如果两个多边形不相似,对应边 也可能成比例。
但如果两个多边形不相似,那么它们不可 能各角对应相等且各边对应成比例.
身边的友人渐渐地脱单，越来越多的走进婚姻的殿堂，而我依然在殿堂外独自行走，关心自己的人，都在为自己着急，挑选各种各样认为好的女孩，而我却总是无动于衷。我不知道是因为自己对爱情的惧怕，还是对婚姻的恐惧，还是已无力与一个陌生人去从相识开始，也以无心去接受这一切，所以独自逃离的远远地，不提不问不想不念。 我不知道，未来，谁与我并肩看人间烟火。只是，在内心深处，有一股浓浓的思念萦绕心尖，剪不断，理还乱，或许，是一年，或许，是两年，或许，一辈子。刚刚结束了班夫的自驾游，去之前一点没做攻略，除了传说中对美景的盛赞，对那里几乎一无所知。 头一次毫无准备地上路，得益于同行的友人一家，他们已是三顾班夫了，轻车熟路，所以我放心地当了甩手掌柜，从装备到路线、酒店、景点、美食，统统不必操心，乐得轻松自在。 这是一片广袤的天地，无一处不风景，无一眼不风情。 最喜欢峡谷里的瀑布，清凉的冰水摧枯拉朽般从高耸的岩壁奔流而下，无止无休，千年万年，冲刷出今日的残岩断壁。伫立在水边，俯仰之间，山水交融，仿佛看到了久远的一幕，子在川上曰：逝者如斯夫。 而友人一家之所以乐此不疲地到此三游，则是为了一座岛——精灵岛，位于嘉士伯国家公园的马琳湖。 精灵岛已经成了他们心中的一份执念。 第一次慕名而至，临近冬季，一场大雪扑灭了他们通往精灵岛的梦幻之旅。 第二次避开了雪季，却不想又被大雾遮望眼，再一次与精灵岛失之交臂。 此行已是第三次了，虽然沿途的景致百看不厌，却比不上心系精灵岛的一眼。 遗憾的是，又一次天公不作美，明明之前连日的晴空万里，偏偏这一日阴雨绵绵云雾缭绕，注定又要错失梦想中的小岛了。 我的心情还好，因为没有过多的期待，入目皆是美景，撑起雨伞欣赏了一圈雨中湖景朦胧岛影，后来在湖边的礼品店里看到了清晰的精灵岛图片，权当完成了心愿。 友人静静地站在湖边，望着面前的雨幕，一言不发。 我向她提议，“不如我们多呆一天，或许明天就放晴了。” “天气预报说今天下午才有雨，本以为早上赶过来还能来得及看一眼的。”她失落地说。 “那明天呢？”我暗自惭愧，自己连天气预报都没看。 “明天也有雨。”她皱眉道。 “那--”我不知该说什么安慰好了。 “走吧，这就是人生，总要有点遗憾的，就让它永远留在我的心里，偶尔想念一下，作为求而不得的最美风景吧！”她甩甩头，最后看了一眼她的梦想，然后潇洒地往回走了。 她的一番话似乎把所有的不悦都带走了，突然觉得这样的遗憾竟比睛天还美。 风景自在人心，有时候不完美也是一种完美。 于是想起另一个故事。 一次聚会，有个朋友刚从张家界旅游回来，大赞那里风景绝美，堪称人间仙境。 在看过她晒出的自拍后，所有人都开始兴致勃勃地憧憬起来，相约什么时侯有假期可以同行。 只有闺蜜沉默不语。 我后知后觉地记起来，她和初恋男友分手的那年暑假，正是她男友从张家界回来之后不久。 她曾经说过，此生都不会去那个地方，因为在她心里，那是世界上最美的地方，是他曾经承诺要带她一起去看的风景，因为少了他，再美的风景都是泡影。 难道这么多年过去了，她还没能放下？ 她看出我的疑惑，淡淡地笑了，“不是因为他，纯粹是不想去。我相信它是最美的，就因为相信，所以不想破坏了它在我心里的那份完美，一旦真正去了，总会有遗憾，现实永远没有想象的完美。” 她把初恋放下了，却放不下他为她描绘的那片风景。还是因为太在意啊，没有期盼，何来遗憾？ 人生需要遗憾，因为遗憾，所以真实；因为遗憾，所以美丽。 就象张家界之于闺蜜，精灵岛之于友人一家，每个人的遗憾都源于心中所念。 心有所系，故有所憾。引导语：傻孩子，你记住，可以哭，可以恨，但是不可以不坚强。心若在，梦就在，你必须非常努力，因为后面还有一群人在等着看你的笑话。即便是躺着中枪，也要姿势漂亮！ 傻孩子，你记住：我们有许多的梦想，不一定都能实现，有些梦想甚至要摒弃。不要把自己太当回事，也不要把自己太不当回事。好好地呵护自己，对自己好点，就要有好的心态，有了好的心态就会心胸宽广，就会豁达，就会有好的心境。 傻孩子，你记住：爱一个人不容易，忘记一个人更难。是啊，爱一个人是很苦的很苦的事，想一个人是很累的很累的事，等一个人是很傻的很傻的事，为什么我们却不能拒绝这样的相思？为什么我们心甘情愿无怨无悔？为什么我们却如此依然痴迷不悟？
《相似多边形》相似图形PPT精选教学课件
07 产品经理看到你登陆都要哭了，你 是海军 陆战队 吗？是 登录啦 。 08 “唉”和“哎”是完全不同的两个字，如 果当话 头的话 可以用 “诶”。
09 “优惠券”打成“优惠卷”的商家我是不 会买的 。 10 娱乐新闻也是要严谨的，“曝光”写成 “暴光” 就勉勉 强强了 ，“爆 光”是什 么啦。
11 你们真的是一群很有品位的读者， 一定不 会分不 清品位 和品味 的。 04 语言习惯
06 同理还有能把确凿读成 quezuo 而不是 quezao 的。 07 太多流行歌手唱“在午夜徘回……”， 以至于 听到哪 个歌手 唱对“ 徘徊”都 很让人 感动。
08 除了周杰伦以外，很难接受任何人 念出“瓜 牛”这两 个字。 03 文字
#3 typo 01 分不清“哪”和“那”，会真的造成语意 理解上 的困惑 。
如：六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似， 记作六边形ABCDEF 六边形A1B1C1D1E1F1,其中 AB:A1B1的值就是相似比.
注:1、相似符号“∽ ”读作“相似于” 2、在记两个多边形相似时，要把表示对应角顶点 的字母写在对应的位置上。
S
如果两个多边形相似，那 么它们的对应角有什么关系？ 对应边呢?
02 读音
#2 pronouncation 01 想邀请把弹幕(danmu)读成 tanmu 的朋友，当场给我弹弹看。 02 阈 Yù值，这个词很难读，当然最简单的办 法就是 ……不 用这个 词。 03 接电话时请用“唯”，用“胃”我勉强能 忍，但 用“ why”的是 不是过 分了。 04 一旦把“崩溃”说成“奔溃”，就会给人 一种在 大雨里 含泪嚎 叫奔跑 的即视 感。 05 给予现在也可以读作 gei yu 了，但我听到有人读 ji yu，我还是会忍不住投去赞赏的 目光。
09 “优惠券”打成“优惠卷”的商家我是不 会买的 。 10 娱乐新闻也是要严谨的，“曝光”写成 “暴光” 就勉勉 强强了 ，“爆 光”是什 么啦。
11 你们真的是一群很有品位的读者， 一定不 会分不 清品位 和品味 的。 04 语言习惯
06 同理还有能把确凿读成 quezuo 而不是 quezao 的。 07 太多流行歌手唱“在午夜徘回……”， 以至于 听到哪 个歌手 唱对“ 徘徊”都 很让人 感动。
08 除了周杰伦以外，很难接受任何人 念出“瓜 牛”这两 个字。 03 文字
#3 typo 01 分不清“哪”和“那”，会真的造成语意 理解上 的困惑 。
如：六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似， 记作六边形ABCDEF 六边形A1B1C1D1E1F1,其中 AB:A1B1的值就是相似比.
注:1、相似符号“∽ ”读作“相似于” 2、在记两个多边形相似时，要把表示对应角顶点 的字母写在对应的位置上。
S
如果两个多边形相似，那 么它们的对应角有什么关系？ 对应边呢?
02 读音
#2 pronouncation 01 想邀请把弹幕(danmu)读成 tanmu 的朋友，当场给我弹弹看。 02 阈 Yù值，这个词很难读，当然最简单的办 法就是 ……不 用这个 词。 03 接电话时请用“唯”，用“胃”我勉强能 忍，但 用“ why”的是 不是过 分了。 04 一旦把“崩溃”说成“奔溃”，就会给人 一种在 大雨里 含泪嚎 叫奔跑 的即视 感。 05 给予现在也可以读作 gei yu 了，但我听到有人读 ji yu，我还是会忍不住投去赞赏的 目光。
4.3 相似多边形2课件下载
对应边 AB：A1B1= 2 : 1 。
A1
F1
AF
B1
E1
B
E
CD
C1
D1
六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1的
相似比为 k2= 1 : 2，
对应边 AB：A1B1= 1 : 2 。
相似比与叙述的顺序有关。
例 下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎样的关系？对 应边呢？
（1）正三角形ABC与正三角形DEF A D
其中∠A与∠A1, ∠B与∠B1, ∠C与∠C1, ∠D与∠D1, ∠E与∠E1, ∠F与∠F1 对应相等,称为对应角; AB与A1B1,BC与B1C1,CD与C1D1, DE与D1E1,EF与E1F1,FA与F1A1 的比都相等, 称为对应边.
相似多边形概念： 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多
E´
80°
五边形A´B´C´D´E´与五边形 ． ABCDE的相似比为＿2:＿1
C´
D´
E
2、如图：下面的两个菱形相似吗？为什么？ 满足什么条件的两个菱形一定相似？
6°0
A H
F
D
1°20 B
C
G
随堂练习
判断：
（1）任意两个矩形都是相似图形（×多边形（ ×） （4）两个正五边形是相似多边形（ √ ） （5）两个全等三角形是相似多边形（√ ） （6）两菱形是相似多边形（× ） （7）两个相似多边形，对应边成比例（√ ）
但如果两个多边形不相似,那么它们不可能各角对 应相等且各边对应成比例.
题型1 判断两个多边形是否相似
例题
3 正方形 4 菱形
3
4
解: ∵ 正方形，菱形的四条边都相等.
相似多边形PPT教学课件
不相似.因为对应边不成比例.
及时总结经验，要养成积累方法和经验的良好习惯！
把标准纸（长与宽之比为 2）一次又一
次对开如右图叠起来，你发现了什么有
1
趣的现象？你能给出数学解释吗？
可以发现，这些叠放起
来的矩形的右上顶点同 1
在一直线上，这是因为
这些小矩形都是相似的， 2
1
41
1 16 81
1
1 16
1 8
相似多边形的对应 角相等，对应边成比例.
华师大版九年级上24.3《命题与定理》
定义、命题与定理
试一试
观察下列图形，找出其中的平行 四边形、梯形
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
是平行四边形的有： （2）、（3）、（5）
是梯形的有： （1）、（6）
一地,能明确指出概念含义或特征的句子,称 为定义.
(4)3＜2
（假）
(5)三角形的内角和等于1800
（真）
(6)x＞2
（不是命题）
1、错误的命题也是命 题如。：“3〈 2”是一个命题
2、命题必须是对某种事情作 出判断，如问句，几何的作 法等就不是命题。
小考卷1（每题分）
指出下列命题哪些是真命题，哪些是假命题？ （1）同位角相等 （2）两直线平行，同旁内角互补 （3）在同圆或等圆中，圆心角的度数等于圆周 角的度数的一半。 （4）过圆心的线段是直径 （5）若a＜b，则a+c＜b+c 解：真命题有（2）、（5） 假命题有（1）、（3）、（4）
1 4
2
32
（２）
所以它们的长与宽对应 成比例，
32
（１）
数学 4.3 相似多边形-课件
知1－讲
2.要点精析：判定相似多边形的条件： (1)所有的角分别相等； (2)所有的边成比例．
以上的角分别相等，边成比例这两个条件是判定相 似多边形必备的条件，缺一不可．
知1－讲
知1－练
1 放大镜中的多边形与原多边形的关系是( ) A．形状不同，大小不同 B．形状相同，大小相同 C．形状相同，大小不同 D．形状不同，大小相同
2 一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与 它形状相同的四边形最短边长为6，则另一个四 边形的周长是________．
（来自《典中点》）
知识点 2 相似比
相似比又名相似系数，如果两个边数相同的多 边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形 叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似 比. △ABC∽△A'B'C' ， 若AB:A'B'=k, 则相似比为 k; △A'B'C'∽△ABC ，则相似比为 1 .
知2－讲
导引：(1)相似比就是对应边的比，根据图形可知AD与A′D′
是对应边； (2)由相似多边形的性质可知对应边的比相等，都等
于相似比．已知对应边中的一条边的长度就能求 出另一条边的长度． (3)根据相似多边形的性质，可知对应角相等，要求 ∠D′的度数，可求其对应角∠D的度数．
（来自《点拨》）
解：(1)相似比k＝
相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比;面 积的比等于相似比的平方.
知3－讲
知2.要识点点精析：
(1)相似比的值与两个多边形的前后顺序有关； (2)相似比为1的两个相似多边形为全等多边形． 3.想一想 (1)任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形
呢？任意两个正n边形呢？ (2)任意两个菱形相似吗？
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由于正三角形三边相等， 所以
AB BC CA DE EF FD
（2）正方形ABCD与正方形EFGH
A B
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
E
F
D
C
H
G
解： （2）由于正方形的每个角都是直角， 所以 A E 90, B F 90,
C G 90, D H 90
注:1、相似符号“∽ ”读作“相似于”
2、在记两个多边形相似时，要把表示对应角顶点 的字母写在对应的位置上。
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
如果两个多边形相似，那 么它们的对应角有什么关系？ 对应边呢? 答：如果两个多边形相似，它们 的对应角都相等, 对应边成比例。
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
1.观察下面两组图形，图（1）中的两个 图形相似吗？为什么？
10
正方形 （1） 对应边是成比例 的，但它们的对应角不相等。
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
图（2）中的两个图形相似吗？为什么？
正方形
10
8
矩形
10
（2）
12
答：不相似。因为虽然它们对应角相等， 但它们对应边不成比例。
相似多边形的判别
例1 如图4－3－2，已知矩形ABCD的长为8 m，宽为6 m
，又知矩形ABEF的面积为21 m2，试问：矩形ABCD与矩形 ECDF相似吗？并说明理由． [解析] 因为两个四边形都是矩形，所 以只要判断对应边的比是不是成比例即
可． [归纳总结] 判断多边形相似，要从两个方面进行判断：(1)对
第四章
图形的相似
第3 节
相似多边形
B a c A C1 O C b A
B
C
观看动画
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
A1
B1
A F E D
B
F1
C
E1 D1
C1
(1)在上图两个多边形中,是否有相等的内角?
∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1,∠E=∠E1,∠F=∠F1
(2)在上图两个多边形中,相等内角的两边是否成比例? AB BC CD DE EF FA A1 B1 B1C1 C1 D1 D1 E1 E1 F1 F1 A1
3 相似多边形
探究问题二
求相似比
例2 把一个矩形剪去一个正方形，所剩下的矩形与原矩形
相似，求原矩形与新矩形的相似比．
[解析] 如图4－3－3，原矩形ABCD剪去正方形ABEF后 AB 剩下矩形CDFE，由矩形ABCD∽矩形ECDF可得比例式 EC BC ＝ ，即可求出相似比． CD
3 相似多边形
60°
2、如图：下面的两个菱形相似吗？为什么？ 满足什么条件的两个菱形一定相似？
A
120
°
H
B
F
D
C
G
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
各角对应相等，各边对应成比例的两个 多边形叫做相似多边形． 相似多边形对应边的比叫做相似比。 相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
3 相似多边形
探究问题一
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
一块长3m、宽1.5m的矩形黑板如下图所 示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm。边框的 内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
E A 3m B F
1.5m
（1.5+0.075 2）m
D H （3+0.075 2）m
直观有时是不可靠的 C
G
1．5︰3≠1．65︰3．15
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
1、五边形ABCDE∽五边形 A´B´C´D´E´，则 118°, 80° ,∠ A´＝＿＿ ∠ E＝＿＿ 4 C´D´＝＿＿
B
C
3
A
118°
A´
E D
2
B´ C´
6
80
°
E´
五边形A´B´C´D´E´与五边形 2:1 ABCDE的相似比为＿＿
．
D´ E
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
例 下列每组图形形状相同，它们的对应 角有怎样的关系？对应边呢？ （1）正三角形ABC与正三角形DEF
A D
B
C
E
F
解： （1）由于正三角形每个角等于 60 ， 所以
A D 60, B E 60, C F 60
应边成比例；(2)对应角相等．两者缺一不可．
3 相似多边形
解：因为矩形ABEF的面积为21 m2， 7 所以AB· BE＝21，所以BE＝ ， 2 7 9 所以EC＝BC－BE＝8－ ＝ . 2 2 9 EC 2 3 CD 3 因为 ＝ ＝ ， ＝ ， AB 6 4 BC 4 EC CD 所以 ＝ . AB BC 又因为矩形的四个角都是直角，所以矩形ABCD与矩形 ECDF的四个角都对应相等，所以矩形ABCD∽矩形ECDF.
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1 是形状相同的图形；其中∠A与∠A1, ∠B与∠B1, ∠C与∠C1, ∠D与∠D1, ∠E与∠E1, ∠F与∠F1对应相等,称为 对应角;AB与A1B1,BC与B1C1,CD与C1D1, DE与D1E1,EF与E1F1,FA与F1A1的比都相等, 称为对应边.
由于正方形四边相等， 所以
AB BC CD DA EF FG GH HE
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
相似多边形概念： 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫 做相似多边形。
相似比概念： 相似多边形对应边的比叫做相似比。
如：六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似， 记作六边形ABCDEF 六边形A1B1C1D1E1F1,其中 AB:A1B1的值就是相似比. S
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
2. 如果两个多边形不相似，那么它们的对应 角可能都相等吗？ 对应边可能都成比例 吗？ 答：如果两个多边形不相似，它们的对应角 可能都相等;如果两个多边形不相似,对应边 也可能成比例。 但如果两个多边形不相似,那么它们不可 能各角对应相等且各边对应成比例.
解：如图4－3－3，将矩形ABCD剪去正方形ABEF后， 即得矩形CDFE， 依题意，矩形ABCD∽矩形ECDF， AB BC 所以 ＝ .又因为AB＝CD＝BE， EC CD BE BC 所以 ＝ .设BE＝x，DF＝y， EC BE x x＋y 所以 ＝ ，整理，得x2－xy－y2＝0， y x x2 x x 1± 5 所以( ) － －1＝0，解得 ＝ (负值舍去)． y y y 2 5＋1 x 所以 ＝ ， y 2 5＋1 5＋1 BE AB 即 ＝ ，故 ＝ . CE 2 EC 2
AB BC CA DE EF FD
（2）正方形ABCD与正方形EFGH
A B
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
E
F
D
C
H
G
解： （2）由于正方形的每个角都是直角， 所以 A E 90, B F 90,
C G 90, D H 90
注:1、相似符号“∽ ”读作“相似于”
2、在记两个多边形相似时，要把表示对应角顶点 的字母写在对应的位置上。
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
如果两个多边形相似，那 么它们的对应角有什么关系？ 对应边呢? 答：如果两个多边形相似，它们 的对应角都相等, 对应边成比例。
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
1.观察下面两组图形，图（1）中的两个 图形相似吗？为什么？
10
正方形 （1） 对应边是成比例 的，但它们的对应角不相等。
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
图（2）中的两个图形相似吗？为什么？
正方形
10
8
矩形
10
（2）
12
答：不相似。因为虽然它们对应角相等， 但它们对应边不成比例。
相似多边形的判别
例1 如图4－3－2，已知矩形ABCD的长为8 m，宽为6 m
，又知矩形ABEF的面积为21 m2，试问：矩形ABCD与矩形 ECDF相似吗？并说明理由． [解析] 因为两个四边形都是矩形，所 以只要判断对应边的比是不是成比例即
可． [归纳总结] 判断多边形相似，要从两个方面进行判断：(1)对
第四章
图形的相似
第3 节
相似多边形
B a c A C1 O C b A
B
C
观看动画
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
A1
B1
A F E D
B
F1
C
E1 D1
C1
(1)在上图两个多边形中,是否有相等的内角?
∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1,∠E=∠E1,∠F=∠F1
(2)在上图两个多边形中,相等内角的两边是否成比例? AB BC CD DE EF FA A1 B1 B1C1 C1 D1 D1 E1 E1 F1 F1 A1
3 相似多边形
探究问题二
求相似比
例2 把一个矩形剪去一个正方形，所剩下的矩形与原矩形
相似，求原矩形与新矩形的相似比．
[解析] 如图4－3－3，原矩形ABCD剪去正方形ABEF后 AB 剩下矩形CDFE，由矩形ABCD∽矩形ECDF可得比例式 EC BC ＝ ，即可求出相似比． CD
3 相似多边形
60°
2、如图：下面的两个菱形相似吗？为什么？ 满足什么条件的两个菱形一定相似？
A
120
°
H
B
F
D
C
G
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
各角对应相等，各边对应成比例的两个 多边形叫做相似多边形． 相似多边形对应边的比叫做相似比。 相似多边形的对应角相等，对应边成比例．
3 相似多边形
探究问题一
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
一块长3m、宽1.5m的矩形黑板如下图所 示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm。边框的 内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？
E A 3m B F
1.5m
（1.5+0.075 2）m
D H （3+0.075 2）m
直观有时是不可靠的 C
G
1．5︰3≠1．65︰3．15
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
1、五边形ABCDE∽五边形 A´B´C´D´E´，则 118°, 80° ,∠ A´＝＿＿ ∠ E＝＿＿ 4 C´D´＝＿＿
B
C
3
A
118°
A´
E D
2
B´ C´
6
80
°
E´
五边形A´B´C´D´E´与五边形 2:1 ABCDE的相似比为＿＿
．
D´ E
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
例 下列每组图形形状相同，它们的对应 角有怎样的关系？对应边呢？ （1）正三角形ABC与正三角形DEF
A D
B
C
E
F
解： （1）由于正三角形每个角等于 60 ， 所以
A D 60, B E 60, C F 60
应边成比例；(2)对应角相等．两者缺一不可．
3 相似多边形
解：因为矩形ABEF的面积为21 m2， 7 所以AB· BE＝21，所以BE＝ ， 2 7 9 所以EC＝BC－BE＝8－ ＝ . 2 2 9 EC 2 3 CD 3 因为 ＝ ＝ ， ＝ ， AB 6 4 BC 4 EC CD 所以 ＝ . AB BC 又因为矩形的四个角都是直角，所以矩形ABCD与矩形 ECDF的四个角都对应相等，所以矩形ABCD∽矩形ECDF.
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1 是形状相同的图形；其中∠A与∠A1, ∠B与∠B1, ∠C与∠C1, ∠D与∠D1, ∠E与∠E1, ∠F与∠F1对应相等,称为 对应角;AB与A1B1,BC与B1C1,CD与C1D1, DE与D1E1,EF与E1F1,FA与F1A1的比都相等, 称为对应边.
由于正方形四边相等， 所以
AB BC CD DA EF FG GH HE
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
相似多边形概念： 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫 做相似多边形。
相似比概念： 相似多边形对应边的比叫做相似比。
如：六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似， 记作六边形ABCDEF 六边形A1B1C1D1E1F1,其中 AB:A1B1的值就是相似比. S
数学的学习方法是严格、 严肃、严密——苏步青
2. 如果两个多边形不相似，那么它们的对应 角可能都相等吗？ 对应边可能都成比例 吗？ 答：如果两个多边形不相似，它们的对应角 可能都相等;如果两个多边形不相似,对应边 也可能成比例。 但如果两个多边形不相似,那么它们不可 能各角对应相等且各边对应成比例.
解：如图4－3－3，将矩形ABCD剪去正方形ABEF后， 即得矩形CDFE， 依题意，矩形ABCD∽矩形ECDF， AB BC 所以 ＝ .又因为AB＝CD＝BE， EC CD BE BC 所以 ＝ .设BE＝x，DF＝y， EC BE x x＋y 所以 ＝ ，整理，得x2－xy－y2＝0， y x x2 x x 1± 5 所以( ) － －1＝0，解得 ＝ (负值舍去)． y y y 2 5＋1 x 所以 ＝ ， y 2 5＋1 5＋1 BE AB 即 ＝ ，故 ＝ . CE 2 EC 2