巧构几何图形 证明代数问题

巧构几何图形证明代数问题

——兼谈构造法

习题已知a,b,c,d为正数，a^2+b^2=c^2+d^2，ac=bd，求证a=d，b=c. 分析注意到条件a^2+b^2=c^2+d^2，如果把a，b；c，d分别看成两个直角三角形的直角边，那么a^2+b^2，c^2+d^2分别表示这两个直角三角形的斜边的平方。故可构造如下图形1。

ac=bd，即

BC*AD=AB*CD

∴BC/AB=CD/AD

又∠B=∠D=90 ֯֯

∴Rt⊿ABC 相似于Rt⊿ADC

但为公共斜边，故

Rt⊿ABC≅Rt⊿ADC

∴AB=AD,BC=CD,即b=c,a=d.

评注把正数与线段的长联系起来，给代数等式附以几何意义，从而利用图形的特点巧妙地解决了上述习题。其证法十分简捷，独具风格，耐人寻味！其高明之处就在于选择了恰当的图形！这种思考方法的关键是把数和形结合起来以互相利用！对代数等式可以这样做，对不等式也可以。

应用

【例1】已知a，b是两个不相等的正实数，求证（a+b）/2 >ab

[证明] 以a+b为边长作正方形，然后过a,b的连接点作正方形各边的垂线（如图2），于是大正方形的面积为（a+b)^2,四个矩形的面积都是ab,这样得

（a+b）^2>4ab

ab>0

∴a+b>2ab

即（a+b)/2>ab

【例2】已知0<θ<∏/2，求证1

[证明]作圆使其直径为单位长1，如图3，由于0<θ<∏/2,故θ可如图作出。

BC+AC>AB

∴sinθ+cosθ>1(三角形两边之和大于第三边)

又⊿ABC的面积=(1/2)BC*AC≤(1/2)AB*CO=(1/4)AB^2(三角形面积不大于一边与这边上中线积的一半)

∴2BC*AC≤AB^2

又BC^2+AC^2≤AB^2

∴(BC+AC)^2≤2AB^2，BC+AC≤2AB,即sinθ+cosθ≤2

【例3】设a,b 为小于1的正数，求证2)^1(2)^1(2)^1(2^2^2)^1(2^2^b a b a b a b a -+-+-+++-++22≥

[证明]如图4作边长为1的正方形ABCD,分别在AB,AD 上取AE=a,AG=b( a 、b<1),并过E,G 分别作AD,AB 的平行线，分别交DC,BC 于F ，H,设EF,GH 的交点为O ，则 OA=2^2^b a +, OB=2^2^a -1b +）（, OC=2)^1(2^-1b a -+）（, OD=2)^1(2^a b -+,

OA+OC ≥AC, OB+OD ≥BD.

∴OA+OB+OC+OD ≥AC+BD,即

2)^1(2)^1(2)^1(2^2^2)^1(2^2^b a b a b a b a -+-+-+++-++22≥

【例4】设a/b=c/d,且a,b,c,d 均为正数，求证(a+b)/(c+d)=2^2^/2^2^a d c b ++

[证明] 不妨设a ≥c ，作直角⊿ABC,使∠C=90֯(如图5)，BC=a ，AC=b.在BC 上取点D,使BD=c;过D 作DE ⊥BC 交AB 于E ，故 BC/AC=BD/ED

又a/b=c/d,所以ED=d.在BC 直线上取点F,G ,使CF=AC,DG=ED,连EG ,AF,易知EG//AF,故

BF/BG=BA/BE

即(a+b)/(c+d)=2^2^/2^2^a d c b ++

【例5】设a>0，b>0，2c>a+d. 求证c^2>ab 且 c-ab -2^c

[证明] 如图6，作半圆O ，直径AB=2c,在AB 上顺次取

AC=a,CD=b( 2c>a+b)以AD 为直径作半圆，过C 作CE ⊥AD 交圆于E,则两圆相切，且CE

由相交弦定理知CE^2=ab.

∴c^2>ab.

又CO^2+CE^2=OE^2，

∴(a-c)^2+ab

｜a-c ｜

亦即 c-ab -2^c

【例6】在锐角三角形ABC 中求证

cos A+cos B+cos C

[证明]如图7，作⊿ABC 三边上的高AE,BF,CD,则A,B,E,F 四点共圆。

同圆中所对的圆周角大的弦也大（圆周角为锐角使时）。由于∠ABF<∠ABC,所以AF

cos A=AF/AB

同理os c B

∴cos A+cos B+cos C

【例7】求证

1/2(2^s in α+2^s in β)+2cos^α+2cos^β≤2βαcos cos +βαsin s in +4.

[证明]原不等式经整理即为

1/2(αin s -βsin )^2+(βαcos cos -)^2≤4.

根据此三角函数的特点可设 x=θcos

y=2/2θsin (椭圆的参数方程)，如图8，A(αcos ，2αsin /2), B(βcos ,βsin 2/2)为椭圆上两点。 ｜AB ｜≤｜CD ｜=2(椭圆长轴等于2，长轴是椭圆中最大的弦)

∴2)^cos (cos 2)^sin (sin 2/1βαβα-+-2≤.

即2/1(βαsin sin -)2^+(βαcos c -os )2^4≤.

【例8】当m 为何值时，方程 mx-y+5m+3=0 有唯一解。 x^2+y^2-6y=0

解：方程mx-y+5m+3=0表示一条过点（-5,3）且斜率为m 的直线，而方程x^2+y^2-6y=0表示一个圆心在（0,3），半径为3的圆。要使原方程组有唯一解，要求这直线与圆相切。如图9，设切点为P,P ’.

Rt ⊿ABP,Rt ⊿ABP ’的三条边的长度分别为3,4,5.

∴AP,AP ’的斜率是±(3/4)即当m=±(3/4)时原方程组有唯一解。 拓广 用几何法证代数题构思精巧，利于锻炼思维能力。代数等式或不等式反映出来的是线段间等量与不等量关系，最常见的有以下一些基本图形：

代数结构 几何定理 图形