高中数学对数的运算
人教版高中数学必修一对数与对数运算对数及对数的性质课件PPT
讲授新课
1.对数的定义： 一般地，如果ax=N ( a > 0 , 且a ≠ 1 )
那么数x叫做以a为底N的对数，记作: 其中a叫做对数的底数, N叫做真数.
注意：限制条件是a > 0 , 且a ≠ 1
填写学案，题1
讲授新课
练习1：将下列指数式写成对数式：
① 52 = 25
（2）log
1 a
=
0
即：1的．对数是0
（3）log
a a
=
1
即：底数的对数是1
（4）对数恒等式：aloga N = N
（5）对数恒等式：loga an = n
巩固练习
1、指数式b2 = a(b 0,且b 1)相应的对数式是（D）
A log2a = b B log2 b = a
C logab=2
解：(1)64
-
2 3
=
(43
)
-
2 3
= 4-2 =
1
(4) ln e2 = -x
16
1
1
1
e-x = e2
(2)x6 = 8所以x = 86 = (23 )6 = 22 = 2 - x = 2
(3)10 x = 100所以x = 2
x = -2
讲授新课 4.对数的性质 探究活动 1、试求下列各式的值：
。
简记作
。如 loge 9 简记为 ln 9.
填写学案，题4
例题分析
例1．将下列指数式写成对数式：
(1) 54 = 625
(2)
e-6
=
1
b
(3) 10 a = 27 (4) ( 1 )m = 5.73
高中数学课件：2.2.1对数与对数运算
专题三 坚持科教 兴国 推进自主创
新
热点一 科教兴国 时事❶ 第三届深圳国际智能装备产业博览会
第三届深圳国际智能装备产业博览会暨第六届深圳国 际电子装备产业博览会于2017年7月27日至29日在深圳会 展中心举办。本届博览会以“智能改变未来，产业促进发 展”为主题，定位于创新型、专业性和国际化，展会将突
1．我国科技取得成就的原因有哪些？ ①我国经济实力不断增强，为科技创新提供了坚实的 物质基础。 ②我国实施科教兴国战略和人才强国战略，为科技创 新提供了强有力的政策支持。 ③我国大力弘扬创新精神，尊重劳动、尊重知识、尊 重人才、尊重创造。
④社会主义制度具有集中力量办大事的优越性。 ⑤广大科研工作者发扬了艰苦奋斗、开拓创新、团结 协作的精神等。
2．我国为什么要实施创新驱动发展战略，坚持走中国特 色自主创新道路？ ①我国正处在社会主义初级阶段，教育科学技术水平比 较落后，科技水平和民族创新能力不足。 ②创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的 不竭动力。 ③我国是一个发展中国家，要想真正地缩小与发达国家 之间的差距，关键靠创新。
④只有把科技进步的基点放在增强自主创新能力和持续创 新能力上，才能实现我国科学技术的跨越式发展，真正掌 握发展的主动权。 ⑤没有创新，就要受制于人，没有创新，就不可能赶超发 达国家。 ⑥科学技术是第一生产力，科技创新能力已越来越成为综 合国力竞争的决定性因素。 ⑦增强自主创新能力，有利于全面建成小康社会、实现中 华民族的伟大复兴。
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#高中数学-对数及对数运算
理论迁移
例1 用logax，logay，logaz表示下列 各式：
(1) l o g a
xy z
;
(2)l o g a
x2
3
y z
.
例2 求下列各式的值：
(1) log2（47×25）；
(2) lg5 100
；
31 log3 2
(3) log318 -log32 ；
3 (4) 1 log 3 2
(3) lg0.01=-2
(4) ln10=2.303.
解 （1）(1/2)-4=16
（2）27=128
（3）10-2=0.01
（4）e2.303=10
练习
求下列各式的值：
(1)log2 4; (3)log5125; (5)10lg105 ;
(2)log3 27; (4)lg1000; (6)5log51125.
logaN=b 其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
负数和零没有对数. loga1=0 logaa=1
对数恒等式
aloga N N
证明： 设ab=N 则 b=logaN 所以
alogaN=N
常用对数与自然对数的定义
(1)以10为底的对数叫做常用对数. 为了方便,N的常用对数log10N简记为:lgN. (2)以e为底的对数叫做自然对数. 为了方便,N的自然对数logeN简记为:lnN.
2.3 对数与对数函数
对数 对数函数
• 问题
• 把一张纸对折剪开，再合起来对折剪开， 再一次合起来对折剪开，…依次下去的次 数与纸的张数关系为： y=2 x
• 问：纸的张数若为128，
• ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ对折多少次？
•
高中数学对数的知识点总结
高中数学对数的知识点总结一、对数的定义1. 对数的概念对数是指数的逆运算。
设a为正实数且a≠1，a的正实数b的对数写作logₐb，读作“以a为底b的对数”。
其中a称为底数，b称为真数。
即logₐb=c,是等价的关系式a^c=b。
例如，log₂8=3，即等式2^3=8成立。
2. 对数的性质（1）底数为1时，b=1,a=1,log₁1=0;即logₐa=0。
（2）底数为正数时，即a>0,且a≠1时⒈对于任意正数b,1≠b,底数相等时，对数相等，即a>0,a≠1时，logₐb=logₐc，当且仅当b=c。
即对于任意正数b,0<a≠1,等式a^x=b的解是唯一的。
⒉对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b*c)=loga(b)+loga(c)。
⒊对于任意正数a，b，c，当a>0，a≠1时，loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。
⒋对于任意正数a，b，当a>0，a≠1时，loga(b^c)=c*loga(b)，其中c是常数。
3. 对数的求值对数的求值即是用对数的性质，把对数的计算用其它运算替代。
4. 对数的应用对数是一个非常重要和常见的概念，在数学中有着广泛的应用。
在科学、工程、经济和社会等领域中，对数都有着重要的作用。
例如在地震、声音、强度、音乐、语言学和政治领域等，都用到对数。
二、对数的基本概念1. 对数方程的解法对数方程的解法是通过对数的性质来解对数方程。
分为以下几种类型：（1）把一个对数方程转化为同底数的对数方程，通过对数的定义和性质，解方程找到x的值。
（2）两个底数不同的对数方程，通过换底公式进行计算，转换成相同底数的对数方程。
2. 对数不等式的解法对数不等式的解法是把对数引入不等式组成的方程中，然后进一步思考分析，解不等式。
对数不等式常见的类型有以下几种：（1）把对数不等式分解为多个对数方程，然后再求解。
3. 对数方程组的解法对数方程组的解法是将多个对数方程组合成一个方程，然后根据对数的性质和方程组的解法，求解出方程组的解集。
高中数学知识点：对数的运算法则
第 1 页 共 1 页 高中数学知识点：对数的运算法则
已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、
(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；
()log log log a a a MN M N =+
推
广：()()121
l o g a k a N N N =+、、、 (2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；
log log log a a a M M N N
=- (3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
log log a a M M αα=
要点诠释：
（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即
等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log 2(-3)(-5)=log 2(-3)+log 2(-5)是不成立的，因为虽然log 2(-3)(-5)
是存在的，但log 2(-3)与log 2(-5)是不存在的.
（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、
商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：
log a (M ±N)=log a M ±log a N ，
log a (M·N)=log a M·log a N ，
log a N
M N M a a log log =.。
高中数学第四章4.3.2对数的运算讲义新人教A版必修第一册
4.3.2 对数的运算知识点一 对数的运算性质若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， (2)log a M N＝log a M －log a N ， (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )．状元随笔 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的．知识点二 对数换底公式log a b ＝log c blog c a (a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0)．特别地：log a b ·log b a ＝1(a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1)． 状元随笔 对数换底公式常见的两种变形 (1)log a b·log b a ＝1，即1log a b＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与原对数值互为倒数 .(2)log N n M m＝m n log N M ，此公式表示底数变为原来的n 次方，真数变为原来的m 次方，所得的对数值等于原来对数值的mn倍．[教材解难]换底公式的推导设x ＝log a b ，化为指数式为a x＝b ，两边取以c 为底的对数，得log c a x＝log c b ，即x log c a ＝log c b .所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c b log c a.[基础自测]1．下列等式成立的是( ) A ．log 2(8－4)＝log 28－log 24B.log 28log 24＝log 284C ．log 28＝3log 22D ．log 2(8＋4)＝log 28＋log 24解析：由对数的运算性质易知C 正确． 答案：C 2.log 49log 43的值为( ) A.12 B ．2 C.32 D.92解析：原式＝log 39＝2. 答案：B3．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4解析：原式＝log 5102＋log 50.25 ＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. 答案：C4．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为________． 解析：log 32＝ln 2ln 3＝a b .答案：a b题型一 对数运算性质的应用[教材P 124例3] 例1 求下列各式的值： (1)lg 5100； (2)log 2(47×25)．【解析】 (1)lg 5100＝lg 10015＝15lg 100＝25； (2)log 2(47×25)＝log 247＋log 225＝7log 24＋5log 22＝7×2＋5×1 ＝19.利用对数运算性质计算． 教材反思1．对于同底的对数的化简，常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练1 (1)计算：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.(2)求下列各式的值． ①log 53＋log 513②(lg 5)2＋lg 2·lg 50③l g 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.解析：(1)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.(2)①log 53＋log 513＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13＝log 51＝0.②(lg 5)2＋lg 2·lg 50 ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.③原式＝lg 25＋lg 823＋lg 102·lg(10×2)＋(lg 2)2＝lg 25＋lg 4＋(lg 10－lg 2)(lg 10＋lg 2)＋(lg 2)2＝lg 100＋(lg 10)2－(lg 2)2＋(lg 2)2＝2＋1＝3. 答案：(1)－1 (2)见解析 利用对数运算性质化简求值．题型二 对数换底公式的应用[经典例题]例2 (1)已知2x ＝3y＝a ，1x ＋1y＝2，则a 的值为( )A ．36B ．6C ．2 6 D. 6 (2)计算下列各式： ①log 89·log 2732.②2lg 4＋lg 5－lg 8－⎝ ⎛⎭⎪⎫3382-3.③6413＋lg 4＋2lg 5.【解析】 (1)因为2x ＝3y＝a ， 所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，所以1x ＋1y ＝1log 2a ＋1log 3a ＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝2，所以a 2＝6，解得a ＝± 6. 又a ＞0，所以a ＝ 6.(2)①log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝lg 32lg 23·lg 25lg 33＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109. ②2lg 4＋lg 5－lg 8－⎝ ⎛⎭⎪⎫3382-3＝lg 16＋lg 5－lg 8－1⎝⎛⎭⎪⎫32782＝lg 16×58－1⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1－49＝59. ③6413＋lg 4＋2lg 5＝4＋lg(4×52)＝4＋2＝6.【答案】 (1)D (2)见解析状元随笔 1.先把指数式化为对数式，再用换底公式，把所求式化为同底对数式，最后用对数的运算性质求值．2．先用换底公式将式子变为同底的形式，再用对数的运算性质计算并约分． 方法归纳(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a 为底．(2)换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ；log an b m＝mnlog a b . 跟踪训练2 (1)式子log 916·log 881的值为( ) A.18 B.118C.83D.38(2)(log 43＋log 83)(log 32＋log 98)等于( ) A.56 B.2512C.94D ．以上都不对 解析：(1)原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 33log 34＋log 33log 38·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 38log 39＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 32＋13log 32·⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋3log 322 ＝56log 32×52log 32＝2512. 答案：(1)C (2)B 利用换底公式化简求值． 题型三 用已知对数表示其他对数例3 已知log 189＝a,18b＝5，用a ，b 表示log 3645. 解析：方法一 因为log 189＝a ，所以9＝18a. 又5＝18b，所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818a ＋b＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18(18×2)＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b 2－a.方法二 ∵18b＝5，∴log 185＝b . ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(4×9)＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b2log 18189＋log 189＝a ＋b2－2log 189＋log 189＝a ＋b 2－a.状元随笔 方法一 对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值． 方法二 先求出a 、b ，再利用换底公式化简求值. 方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； (2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用．跟踪训练3 (1)已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg 5＝________；(用p ，q 表示) (2)①已知log 147＝a,14b＝5，用a ，b 表示log 3528. ②设3x ＝4y＝36，求2x ＋1y的值．解析：(1)lg 5＝log 65log 610＝q log 62＋log 65＝qp ＋q .(2)①∵log 147＝a,14b＝5， ∴b ＝log 145.∴log 3528＝log 1428log 1435＝log 141427log 14(5×7)＝log 14142－log 147log 145＋log 147＝2－a a ＋b . ②∵3x＝36,4y＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436， ∴1x ＝1log 336＝1log 3636log 363＝log 363， 1y＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(9×4)＝1.答案：(1)qp ＋q (2)①2－aa ＋b②1 (1)利用换底公式化简．(2)利用对数运算性质化简求值．课时作业 22一、选择题1．若a ＞0，a ≠1，x ＞y ＞0，下列式子：①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：根据对数的性质知4个式子均不正确． 答案：A2．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．6 2B ．12 2C ．log 6 3 D.12解析：12log 612－2log 62＝12(1＋log 62)－log 62＝12(1－log 62)＝12log 63＝log 6 3.答案：C3．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 5＝( )A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b1＋a C.2a ＋b 1－a D.a ＋2b1－a解析：lg 12lg 5＝lg 3＋lg 4lg 5＝lg 3＋2lg 21－lg 2＝2a ＋b 1－a .答案：C4．若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于( ) A ．3 B ．9 C ．18 D ．27解析：原式可化为log 8m ＝2log 34，lg m 3lg 2＝2lg 4lg 3，即lg m ＝6lg 2·lg 32lg 2，lg m ＝lg 27，m ＝27.故选D. 答案：D 二、填空题5．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10.答案：4 －36．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于________．解析：由换底公式， 得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg xlg 6＝2， lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125.答案：1257.lg 2＋lg 5－lg 12lg 12＋lg 8·(lg 32－lg 2)＝________.解析：原式＝lg (2×5)－0lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122×8×lg 322＝1lg 2·lg 24＝4.答案：4 三、解答题8．化简：(1)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27；(2)(lg 5)2＋lg 2lg 50＋211+log252.解析：(1)方法一 (正用公式)： 原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45＋910－12lg 3lg 3＝115. 方法二 (逆用公式)：原式＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫3×925×2712×35×3－12lg 8127＝lg 3115lg 3＝115. (2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＋21·22log ＝lg 5·(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋25＝1＋2 5.9．计算：(1)log 1627log 8132； (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)． 解析：(1)log 1627log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81＝lg 33lg 24×lg 25lg 34＝3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516. (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 32log 39⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋12log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23 ＝32log 32×56log 23＝54×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝54. [尖子生题库]10．已知2x ＝3y ＝6z≠1，求证：1x ＋1y ＝1z.证明：设2x ＝3y ＝6z＝k (k ≠1)， ∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ，∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z＝log k 6＝log k 2＋log k 3，∴1z ＝1x ＋1y.。
人教版高中数学必修第一册4.3对数的概念 第2课时 对数的运算【课件】
初探新知
【活动1】 探究对数运算性质
【问题1】我们学过的对数的性质有哪些？
【问题2】我们知道了对数和指数间的关系，你打算怎么研究对数运算性质？
【问题3】计算log24,log216,log264的值，你有什么发现？
【问题4】对于logaM,logaN,loga(MN),你有何猜想？
【问题5】上述猜想是否具有一般性？如何证明？
【解】
(1) 原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3＝log3(22×32×2－5×23)－3＝log332－3＝ 2－3＝－1.
(2)
原式＝12
lg
25 72
－43
3
lg 2 2 ＋ lg 5 72
1 2
＝1
2
×(5lg 2－2lg 7)－43
×32
lg 2＋12
(lg 5＋
那么1a
＋1b
＝1 log 2 10
1 log5 10
＝lg 2＋lg 5＝1.
【方法规律】 当底数不同时，考虑使用换底公式将不同底的对数化成 同底，然后使用同底对数的运算性质解决问题．在数学 运算中，常将底数转换为以e为底的自然对数或以10为底 的常用对数，方便计算．
【变式训练2】
(1) 设 lg 2＝a，lg 3＝b，则 log512 等于( C )
学科核心素养
运用类比和联想的方法,根据对 数的定义推导出对数的基本性质 和运算性质
在运用对数的定义推导对数的基 本性质的过程中,培养数学抽象素 养
能根据对数的运算性质推导出换 底公式,并理解对数的运算性质 与换底公式
在根据对数的运算性质推导对数 的换底公式的过程中,培养逻辑推 理素养
学会运用对数的基本性质、运算 性质和换底公式进行对数式的恒 等变形
高中数学必修一(人教版)《4.3.2 对数的运算》课件
法二：原式
＝lglg1225＋llgg245＋lglg1825
＝3llgg25＋22llgg
52＋3llgg52llgg
25＋22llgg
25＋33llgg
2 5
＝133llgg253llgg52＝13.
法三：原式＝(log253＋log2252＋log2351)·(log52＋log5222＋log5323)
＝3log25＋log25＋13log25(log52＋log52＋log52)
＝3×3＋1＋13log25·log52＝3×133＝13.
(2)法一：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b. 于是 log3645＝lloogg11884356＝lloogg1188198××52＝log11＋89＋loglo18g2185 ＝1＋al＋ogb18198＝a2＋ －ba. 法二：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b. 于是 log3645＝lolgo1g81981×9825＝2lloogg1188918＋－lolgog181589＝a2＋－ba.
明确目标
4．3.2 对数的运算
发展素养
1.理解对数的运算性质． 1.借助对数的运算性质化简、求值，
2.能用换底公式将一般对数转 培养数学运算素养．
化成自然对数或常用对数． 2.通过学习换底公式，培养逻辑推
3.会运用运算性质进行一些简 理素养.
单的化简与证明.
知识点一 对数的运算性质 (一)教材梳理填空
2·lglcg＋a b·lglcg－a b，即证 lg(c－b)＋lg(c＋b)＝2lg a，即证 lg(c2－b2)＝
lg a2 (*)．
而在以 c 为斜边的直角三角形中，c2－b2＝a2，(*)式显然成立，即原等
高中数学-对数的运算
2．换底公式常用推论 loganbn＝logab(a>0，a≠1，b>0，n≠0)； logambn＝mn logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)； logab·logba＝1(a>0，b>0，a≠1，b≠1)； logab·logbc·logcd＝logad(a>0，a≠1，b>0，b≠1，c>0， c≠1，d>0)．
[类题通法] 解对数方程的方法
根据目前的知识我们只能求解两种简单的对数方程： (1)等号两边为底数相同的对数式，则真数相等； (2)化简后得到关于简单对数式(形如lg x)的一元二次方程， 再由对数式与指数式的互化解得x. [注意] 在解方程时，需检验得到的x是否满足所有真数都 大于零．
[活学活用]
对数运算性质的应用
[例1] (1)若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N*，则下列各式： ①logax·logay＝loga(x＋y)； ②logax－logay＝loga(x－y)； ③loga(xy)＝logax·logay；④llooggaaxy＝logaxy； ⑤(logax)n＝logaxn；⑥logax＝－loga1x； ⑦longax＝logan x；⑧logaxx－＋yy＝－logaxx＋ －yy.
＝
a＋a2＋logb14174＝a＋2a1＋－blog147＝a＋a2＋1－b a＝2a－＋ab.
对数方程的求解
[例3] 解下列关于x的方程： (1)log2(2x＋1)＝log2(3x)； (2)log5(2x＋1)＝log5(x2－2)； (3)(lg x)2＋lg x3－10＝0. [解] (1)由 log2(2x＋1)＝log2(3x)，得 2x＋1＝3x，解得 x＝1. 检验：当 x＝1 时，2x＋1>0,3x>0.故 x＝1. (2)由 log5(2x＋1)＝log5(x2－2)，得 2x＋1＝x2－2，即 x2－2x－3 ＝0，解得 x＝－1 或 x＝3.
【新教材】高中数学课件4.3.2对数的运算法则
3.任何对数均可用常用对数表示,即
lg
logab=lg .
4.任何对数均可用自然对数表示,即
ln
logab= .
ln
微拓展
几个常用推论:
(1)log bn=logab(a>0 且 a≠1,b>0,n≠0);
(2)log
(1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;
(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).
对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应
用公式的习惯.lg 2+lg 5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变
形要化到最简形式.
变式训练1计算下列各式的值:
有利于化简.
2.对于每一条运算法则,都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时,等
式才成立.如log2[(-2)×(-3)]是存在的,但log2(-2)与log2(-3)均不存在,不能写
成log2[(-2)×(-3)]=log2(-2)+log2(-3).
3.法则(1)可以推广到真数为无限多个正因数相乘的情况,即
lg 9.125≈0.960 2)
解 设经过x年,这台机器的价值为8万元,则
8=20(1-0.087 5)x,即0.912 5x=0.4,
两边取以 10 为底的对数,得
lg0 .4
x=
lg0 .912 5
=
lg4 -1
lg9 .125-1
所以约经过 10 年这台机器的价值为 8 万元.
=
2lg2 -1
分析利用对数的运算法则进行计算.
解 (1)(方法
高中数学_对数及其运算
对数及其运算知识图谱对数及其运算知识精讲一.对数的定义在指数函数(0,1)x y a a a =>≠且中，对于实数集R 内的每一个值x ，在正实数集内部都有唯一确定的y 和它对应；反之，对于正实数集内的每一个确定的值y ，在R 内部有唯一确定的x 和它对应，幂指数x ，又叫做以a 为底y 的对数．一般的，对于指数式b a N =，我们把“以a 为底N 的对数b ”，记作log a N ，即()log 01a b N a a =>≠且.其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”．二．对数的性质对数()log 01a N a a >≠且有以下性质：1.负数和0没有对数，即0N >；2.1的对数等于0，即log 1=0a ()01a a >≠且；3.底数的对数等于1，即log =1a a ()01a a >≠且三．对数恒等式1.对数恒等式()log 01x a a x a a =>≠且()log =01,0a N a N a a N >≠>且2.指数式与对数式的互化根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系.即，当01a a >≠且时，log x a a N x N =⇔=.三．常用对数与自然对数1.常用对数以10为底的对数叫做常用对数.为了简便，通常把底10略去不写，并把“log ”写成“lg ”，即把10log N 记作lg N .2.自然对数以常数e 为底的对数叫做自然对数，简记作ln N ，e 是无理数， 2.71828e ≈.四.对数的运算法则已知log a M ，log a N （00M N >>，），设log =,log a a M p N q =，则=,p qM a N a =则有：1.积的对数：()log log log a a a MN M N =+()01a a >≠且．证明：=p q p q MN a a a += ()log log log a a a MN p q M N∴=+=+2.商的对数：log log log a a a M M N N=-()01a a >≠且．证明：pp q q M a a N a-== log =log -log a a M p q M N N ∴=-3.幂的对数：log log n a a M n M =．（00M N >>，，0a >，1a ≠）证明：()=log log nn p pn n a a M a a M np n M=∴== 五．对数换底公式及其推论1.换底公式log log log b a b N N a=( 0 , 1a a >≠；0,1m m >≠)证明：设log a N x =，则x a N =，两边取以a 为底的对数，得log log x b b a N =，即log log b b x a N =，所以log log b b N x a=，即log log log b a b N N a=2.常用推论（1）log log 1a b b a ⋅=（,0a b >且均不为1）log log log 1a b c b c a ⋅⋅=（,,0a b c >且均不为1）（2）log log m m a a b b =（,0a b >且均不为1）log log m n a a n b b m=（,0a b >且均不为1）1log log 1n m N N N a a a m n n m==log c b () 0 , 1a a >≠．（3）log log log log a a b b m n n m ⋅=⋅（,0a b >且均不为1，,0m n >）（4）log log c c b a a b =()0 c 1,,0c a b >≠>且三点剖析一.注意事项对数log (0,1)a y N a a =>≠且，定义中规定0a >且1a ≠的原因：1.若0a <且y 为某些数值时，x 不存在，如方程(2)3x -=没有实数解，所以2log 3-不存在，因此规定a 不能小于0.2.若0a =，且0y ≠时，log a y 不存在；0y =时，log 0a 有无数个值，不能确定，因此规定0a ≠；3.若1a =，且y 不为1时，x 不存在；1log 2不存在；而1a =且1y =时，x 可以为任何实数，不能确定，因此规定0a ≠．一.方法点拨1.对数式的化简与求值（1）同底数的对数式的化简、求值①一是“拆”，将积、商的对数拆成对数的和差.如3333339log log 5log 9log 5log 5log 925+=-+==②二是“合”，将同底的对数和、差合成积、商的对数.如333399log log 5log 5log 9255⎛⎫+=⨯== ⎪⎝⎭③三是“拆”与“合”结合（2）不同底数的对数式的化简、求值常用方法①先分别换底，化简后将底数统一，再计算.如22232323log 9log 4log 3log 2=2log 32log 2=4=⋅⋅ ②统一将不同底的对数换为常用对数，在进行化简、求值如23lg9lg 42lg32lg 2log 9log 44lg 2lg3lg 2lg3=⋅=⋅= 2.利用已知对数表示其他对数用对数log a x 和log b x 等表示其他对数时，解决此类问题，通常用到对数的运算法则和换底公式：①首先，观察a b 、和所要表示的对数底数的关系；②利用换底公式所要表示的对数底数换为a b 、.如：已知18log 9=,185b a =，求36log 45.()()1818181836181818log 59log 5log 9185log 5,log 45log 218log 2log 182b a b b a⨯++=∴=∴===⨯+- ，对数及指对互化例题1、552100.252log log --+=（）A.0B.-1C.-2D.-4例题2、下列计算正确的是（）A.（a 3）2＝a 9B.log 26－log 23＝1C.11220a a -= D.log 3（－4）2＝2log 3（－4）例题3、1（）11120lg9lg 2322170.027()(2)(1)10079π--+--+--+；2（）已知2log 3a =，3log 7b =，试用,a b 表示14log 56．例题4、1（）已知3log 21x = ，求42x x -+的值；2（）化简求值：2log 53948(log 2log 2)(log 3log 3)2+++．随练1、已知2a ＝5b ＝M ，且212a b +=，则M 的值是（）A.20 B.5 C.25± D.400随练2、2log (21)2log (32_______--=．对数的运算例题1、8log 23612432lg 8100- 的值为________．例题2、（1）计算41320.753440.0081(4)(8)16---++-的值．（2）计算211log 522lg 5lg 2lg502+++的值．{提示lg 25＝（lg5）2，log a N a N =}．例题3、不用计算器求下列各式的值（1）112032710(2)0.1(2)3π927-++-．（2） 2.51log 6.25lg 100e ++．例题4、设函数⎩⎨⎧≥<-+=-1,21),2(log 1)(12x x x x f x ，则=+-)12(log )2(2f f （）A.3B.6C.9D.12随练1、log 0.50.125+log 2[log 3（log 464）]等于（）A.-3 B.3C.4D.-4随练2、计算：（1）52log 20332715(2017)()log 83--+（2）（log 32＋log 92）（log 43＋log 83）随练3、计算：（11144432(3)(0.008)(0.25))2---π+-⨯；（2）21log 31324lg 824522493+-++．对数式之间的相互转化例题1、已知log 73＝a ，log 74＝b ，用a ，b 表示log 4948为________．例题2、（I ）321231102lg (2)10027-+-+；（II ）已知2.5x ＝1000，0.25y ＝1000，求311log ()x y -的值．例题3、若lg lg x y a -=，则33lg lg 22y x -=（）（）．随练1、若3log 41a =，则2______2a a -+=．拓展1、（2014四川雅安重点中学高一上期末模拟）已知2a =5b =M ，且2a +1b =2，则M 的值是（）A.20B.25C.±25D.4002、函数51f x ax bx =+-（），若5105f lg log =（（）），求5f lg lg （（））的值（）A.-3 B.5C.-5D.-93、92427log log =（）（）（）A.1B.12 C.2 D.34、已知log 2log 3a a m n ==，，则2m n a +=（）A.6B.7C.11D.125、化简或求值1（）121511336622123a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；2（）lg 92lg 2941243310ln lo 931g 68log e -+⎛⎫- ⎪⎝⎭+ 6、（1）（245）0+22-×（214）12--（827）13；（2）（2516）0.5+（278）13--2π0+44log 5-ln e 5+lg200-lg2．7、lg 1002(4)π-=．8、已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m ＞0，且log x m =24，log y m =40，log xyz m =12，则log z m 的值为．9、（1-+--0；（2）（log 43+log 83）•（log 32+log 92）．10、已知3log 2a =，那么用a 表示33log 8log 34-是（）A.a -2B.51a -C.231a a -+（） D.231a a --。
高中数学第3章3.2.1对数第2课时对数的运算性质讲义必修
第2课时 对数的运算性质学 习 目 标核 心素 养1.掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行对数的有关运算．(重点)2.了解换底公式.3.能用换底公式将一般对数化成自然对数或常用对数解题．(难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和数学建模的数学核心素养.1．符号表示如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M n＝n log a M (n ∈R )； (3)log a M N＝log a M －log a N . 2．文字表述(1)两正数的积的对数等于这两个正数的对数的和； (2)两正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； (3)一个正数的n 次幂的对数等于n 倍的该数的对数． 3．换底公式一般地，我们有log a N ＝log c Nlog c a ，(其中a >0，a ≠1，N >0，c >0，c ≠1)，这个公式称为对数的换底公式．4．与换底公式有关的几个结论(1)log a b ·log b a ＝1(a ，b >0且a ，b ≠1)； (2)log am b n ＝n mlog a b (a ，b >0且a ，b ≠1，m ≠0)．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以直接化为对数的和、差． ( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )． ( ) (3)log a (－2)4＝4log a (－2)． ( )『答案』 (1)× (2)× (3)×『提示』根据对数的运算性质，只有正数积、商的对数才可以直接化为对数的和、差，(1)错误，(2)错误，(3)中－2不能作真数．2．(1)log2 25－log2254＝________；(2)log2 8＝________.(1)2(2)3『(1)log2 25－log2254＝log225×425＝log2 4＝log2 22＝2log2 2＝2.(2)log2 8＝log2 23＝3log2 2＝3.』3．若lg 5＝a，lg 7＝b，用a，b表示log75＝________.ab『log75＝lg 5lg 7＝ab.』对数运算性质的应用(1)lg 2＋lg 5；(2)log535＋2log122－log5150－log514；(3)『(1－log63)2＋log62·log6 18』÷log6 4.思路点拨：根据对数的运算性质，先将式子转化为只含有一种或几种真数的形式再进行计算．『解』(1)lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝lg 10＝1.(2)原式＝log535×5014＋2log12212＝log5 53－1＝2.(3)原式＝『(log6 6－log6 3)2＋log62·log6(2·32)』÷log6 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫log6632＋log6 2(log6 2＋log6 32)÷log6 22＝『(log6 2)2＋(log6 2)2＋2log62·log6 3』÷2log6 2＝log6 2＋log6 3＝log6(2·3)＝1.1．对于同底的对数的化简要用的方法(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．注意对数的性质的应用，如log a 1＝0，log a a＝1，a log a N＝N.3．化简的式子中有多重对数符号时，应自内向外逐层化简求值．1．计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2；(3)2log 3 2－log 3 329＋log 3 8－5log 5 3.『解』 (1)法一：原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 法二：原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5＝lg 42×757×4＝lg (2·5)＝lg 10＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.(3)原式＝2log 3 2－(log 3 32－log 3 9)＋3log 3 2－3＝2log 3 2－5log 3 2＋2＋3log 3 2－3＝－1.『例2』 化简：(1)log 2(28×82)；(2)用lg 2和lg 3表示lg 24； (3)用log a x ，log a y ，log a z 表示log a (xy 2z －12)．思路点拨：将需表示式子中的真数用已知的式子中的真数表示出来． 『解』 (1)log 2(28×82)＝log 2『28×(23)2』＝log 2(28＋3×2)＝log 2 214＝14.(2)lg 24＝lg (3×8)＝lg 3＋lg 8＝lg 3＋3lg 2.(3)log a (xy 2z －12)＝log a x ＋log a y 2＋log a z －12＝log a x ＋2log a y －12log a z .这类问题一般有两种处理方法一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．要特别注意log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log aN.2．化简：(1)log 2(45×82)；(2)log 1327－log 139；(3)用lg x ，lg y ，lg z 表示lgx 2y3z.『解』 (1)log 2(45×82)＝log 2 (210×26)＝log 2 216＝16log 2 2＝16×2＝32. (2)log 1327－log 139＝log 13279＝log 133＝－1.(3)lgx 2y3z＝lg x 2＋lg y －lg 3z ＝2lg x ＋12lg y －13lg z .换底公式及其应用『例3』 (1)已知3a ＝5b＝c ，且a ＋b＝2，则c 的值为________． (2)已知x ，y ，z 为正数，3x＝4y＝6z,2x ＝py . ①求p ；②证明：1z －1x ＝12y.思路点拨：用换底公式统一底数再求解．(1)15 『由3a ＝5b＝c ，得a ＝log 3c ，b ＝log 5c ，所以1a ＝log c 3，1b ＝log c 5.又1a ＋1b＝2，所以log c 3＋log c 5＝2，即log c 15＝2，c ＝15.』(2)『解』 ①设3x＝4y＝6z＝k (k ＞1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ，由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ，解得p ＝2log 34＝4log 32.②证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3＝log k 2， 而12y ＝12log 4k ＝12log k 4＝log k 2. 故1z －1x ＝12y.1．换底公式即将底数不同的对数转化成底数相同的对数，从而进行化简、计算或证明．换底公式应用时，一般换成以10为底的常用对数，或以e 为底的自然对数，但也应该结合已知条件来确定．2．换底公式推导出的两个恒等式： (1)log am N n＝nmlog a N ；(2)log a b ·log b a ＝1，要注意熟练应用．3．计算：(log 2 125＋log 4 25＋log 8 5)(log 5 2＋log 25 4＋log 125 8)．对数运算在实际问题中的应用我国国民生产总值是2015年的2倍？(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)思路点拨：认真分析题意，找出其中各量之间的关系，列出式子，并利用对数运算求解． 『解』 设经过x 年，我国国民生产总值是2015年的2倍． 经过1年，总产值为a (1＋8%)， 经过2年，总产值为a (1＋8%)2， ……经过x 年，总产值为a (1＋8%)x. 由题意得a (1＋8%)x＝2a ，即1.08x ＝2， 两边取常用对数，得lg 1.08x＝lg 2， 则x ＝lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9(年)．答：约经过9年，国民生产总值是2015年的2倍．解对数应用题的步骤4．2000年我国国内生产总值(GDP)为89 442亿元，如果我国的GDP 年均增长7.8%左右，按照这个增长速度，在2000年的基础上，经过多少年后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标？(lg 2≈0.301 0，lg 1.078≈0.032 6，结果保留整数)．『解』 假设经过x 年实现GDP 比2000年翻两番的目标，根据题意，得89 442×(1＋7.8%)x＝89 442×4，即1.078x＝4，故x ＝log 1.078 4＝lg 4lg 1.078≈18.5.答：约经过19年以后，我国GDP 才能实现比2000年翻两番的目标．含对数式的方程的解法1．对数的运算性质有哪些？『提示』 log a (MN )＝log a M ＋log a N ，log a M N ＝log a M －log a N ，log a b ＝log c blog c a，log a Mn＝n log a M ，log am b n＝nmlog a b .2．解对数方程log a M ＝log a N ，应注意什么？『提示』 ⎩⎪⎨⎪⎧M ＝N ，M >0，N >0.『例5』 已知lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x y的值．思路点拨：根据对数的运算性质得到x ，y 的关系式，解方程即可． 『解』 lg x ＋lg y ＝lg (xy )＝2lg (x －2y )＝lg (x －2y )2， 由题知，xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－5⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋4＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x y －4＝0，故xy ＝1或4.又当x ＝y 时，x －2y ＝－y <0，故舍去，∴xy＝4. ∴log 12 xy ＝log 124＝－2.解含对数式的方程应注意两点 (1)对数的运算性质；(2)对数中底数和真数的范围限制．5．解方程：1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n＝(log a N )n；②log a (MN )＝log a M ·log a N ；③log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．1．如a >0，a ≠1，x >0，y >0，则下列式子正确的是( ) A ．log a x ＋log a y ＝log a (x ＋y ) B ．log a x －log a y ＝log a (x －y ) C ．log a xy＝log a x ÷log a y D ．log a (xy )＝log a x ＋log a yD 『由对数的运算性质知D 正确．』2．已知lg 2＝a ，lg 7＝b ，那么用a ，b 表示log 8 98＝________.a ＋2b 3a 『log 8 98＝lg 98lg 8＝2lg 7＋lg 23lg 2＝a ＋2b3a.』 3．已知2m ＝5n＝10，则1m ＋1n＝________.1 『因为m ＝log2 10，n ＝log 5 10，所以1m ＋1n＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.』4．已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg 2＋lg x ＋lg y ，求x y的值．『解』 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y >0，x －y >0，x >0，y>0，(x ＋2y )(x －y )＝2xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，(x ＋2y )(x －y )＝2xy ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x >y ，y >0，(x －2y )(x ＋y )＝0，∴x －2y ＝0，∴xy＝2.。
4.3.2 对数的运算 高中数学人教A版必修一
式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
训练 3 已知 3a＝5b＝c，且a1＋b1＝2，求 c 的值.
解 ∵3a＝5b＝c，∴c>0，
∴a＝log3c，b＝log5c，
∴1a＝logc3，1b＝logc5， ∴1a＋b1＝logc15. 由 logc15＝2 得 c2＝15，
二、换底公式 1.问题 假设lloogg2253＝x，则 log25＝xlog23，即 log25＝log23x，从而有 3x＝5，再将此 式化为对数式可得到什么结论？ 提示 x＝log35，从而 x＝lloogg2253＝log35.
logcb
2. 填 空 对 数 换 底 公 式 ： logabl＝og_ca_______ (a>0 ， 且 a≠1 ； b>0 ； c>0 ， 且
什么结论？ 提示 (1)lg 10＋lg 100＝lg 1 000＝3， (2)log39＋log327＝log3243＝5， (3)log1241＋log128＝log122＝－1. 每组中两式子的值均相等，两个正数的乘积的对数等于每个正数对数的和.
2.问题 计算下列各组式子的值： (1)lg 10－lg 100，lg 110；
y－loga3 z
z
＝2loga|x|＋12logay－13logaz.
角度2 用代数式表示对数
例3 已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645.
解 法一 ∵log189＝a，18b＝5，
∴log185＝b，
于是 log3645＝lloogg11884356＝lloogg1188（（198××52）） ＝log11＋89＋loglo18g2185＝1＋al＋ogb18198＝1＋1a－＋lbog189＝a2＋ －ba.
高中数学同步教学课件 对数运算
探究四 利用对数恒等式化简求值
例 4 计算：
(1)71－log75；(2)100(12 lg9-lg2) ；
(3)alogab·logbc(a，b 为不等于 1 的正数，c＞0)．
解 (1)原式＝7×7－log75＝7lo7g75＝75.
1 (2)原式＝1002 lg9
lg 9×100－lg 2＝10lg 9×1001lg 2＝9×101lg 22＝94.
[微体验]
1．ln3 e的值是________.
【答案】13
【解析】设
3 ln
e＝x，则
ex＝3
1
e，∴ex＝e3
1
，∴x＝3
.
2．方程 log5(1－2x)＝1 的解 x＝________. 【答案】－2 【解析】由 1－2x＝5，解得 x＝－2.
【课堂探究】
探究一 指数式与对数式的互化
例 1 (1)将下列指数式化成对数式：
[方法总结] 涉及两个以上对数，方法由外向里，逐层解决，其中将 1或0化成同底对数，有利于去掉log，从而最终解出x.
[跟踪训练3] 求值： (1)ln(lg x)＝1；(2)log2(log5x)＝0.
解 (1)∵ln(lg x)＝1，∴lg x＝e，∴x＝10e. (2)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝5.
[微体验]
1．lg 7与ln 8的底数分别是( )
A．10,10
B．e，e
C．10，e
D．e,10
【答案】C 2．lg 100＝________.
【答案】2 【解析】lg 100＝lg 102＝2.
知识点3 对数的基本性质
1 ． 负 数 和 0 _ _ _没_有_ _ _ _ _ _ 对 数 ； 2 ． 1 的 对 数 是 0 ， 即 l o g a 1 ＝ _ _ _0_ _ _ _ _ _ _ ( a ＞ 0 且 a ≠ 1 ) ； 3 ． 底 数 的 对 数 是 1 ， 即 l o g a a ＝ _ _1_ _ _ _ _ _ _ _ ( a ＞ 0 且 a ≠ 1 ) ； 4．对数恒等式：alogaN＝N.
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对数函数专题对数及对数运算【要点梳理】要点一、对数概念 1．对数的概念如果()01b a N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b ．其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．要点诠释：对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R ． 2．对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即0N >； （2）1的对数为0，即log 10a =； （3）底的对数等于1，即log 1a a =．3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作．以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作． 4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 要点二、对数的运算法则 已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； ()log log log a a a MN M N =+ 推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；log log log a a a M M N N=-（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； log log a a M M αα=要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log 2（-3）（-5）=log 2（-3）+log 2（-5）是不成立的，因为虽然log 2（-3）（-5）是存在的，但log 2（-3）与log 2（-5）是不存在的．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：log a （M ±N ）=log a M ±log a N ， log a （M ·N ）=log a M ·log a N ，log a N M N M a a log log =． 要点三、对数公式 1．对数恒等式：log log a b Na a N a N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有:（1）)(log log R n M M n a a n ∈=令 log a M=b ， 则有a b =M ， （a b ）n =M n ，即n b n M a =)(， 即n a M b n log =，即:n a a M M n log log =．（2）)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a ，令log a M=b ， 则有a b =M ， 则有)1,0(log log ≠>=c c M a c b c即M a b c c log log =⋅， 即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a ．【典型例题】类型一、对数的概念例1．求下列各式中x 的取值范围： （1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2(1)log (1)x x +-． 【答案】（1）5x >；（2）1,2x x >≠且；（3）1x >-且0,1x x ≠≠ 【解析】（1）由题意50x ->，5x ∴>，即为所求．（2）由题意20,10,11,x x x +>⎧⎨->-≠⎩且即2,1,2,x x x >-⎧⎨>≠⎩且1,2x x ∴>≠且． （3）由题意2(1)0,10,11,x x x ⎧->⎨+>+≠⎩且解得1x >-且0,1x x ≠≠．【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．举一反三：【变式1】函数21log (2)x y x -=+的定义域为 ．【答案】1|12x x x ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且类型二、指数式与对数式互化及其应用 例2．将下列指数式与对数式互化： （1）2log 164=；（2）13log 273=-；（3）3x =；（4）35125=；（5）1122-=；（6）2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭．【解析】运用对数的定义进行互化．（1）4216=；（2）31273-⎛⎫= ⎪⎝⎭；（33x =；（4）5log 1253=；（5）21log 12=-；（6）13log 92=-．【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段．举一反三：【变式1】求下列各式中x 的值：（1）161log 2x =- （2）log 86x = （3）lg1000=x （4）2-2ln e x =【答案】（1）14；（2；（3）3；（4）-4．【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x ．（1）1112()212221(16)(4)444x --⋅--=====；（2）111166366628()(8)(2)2x x x ======，所以 （3）10x =1000=103，于是x=3；（4）由22222ln ln 42x x e x e e e x --=-===-，得，即所以．例3．（2014 广东湛江期中）不用计算器计算：7log 203log lg25lg47(9.8)+++- 【答案】132【解析】原式323log 3lg(254)21=+⨯++23lg1032=++3132322=++=【总结升华】对数恒等式log a N a N =中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数．举一反三：【变式1】求log log log a b c b c N a ⋅⋅的值（a ，b ，c ∈R +，且不等于1，N>0） 【答案】N【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算．log log log log log log log log log ()()c a b c a b b c c Nb c N b cc N N a a b c N ⋅⋅⎡⎤====⎣⎦类型四、积、商、幂的对数例4． z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式35(1)log ;(2)log ();(3)log a a a a xy x y z 【解析】（1）log log log log aa a a xyx y z z=+-； （2）3535log ()log log 3log 5log a a a a a x y x y x y =+=+；（3）1log log log ()log log log 2a a a a a a yz x y z yz ==--；（4）log a211log ()log 2log log log 23a a a a a x y x y z -=+-．(有错误） 【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．举一反三： 【变式1】求值（1）1log 864log 325log 21025-+ （2）lg2·lg50+（lg5）2 （3）lg25+lg2·lg50+（lg2）2【答案】（1）22；（2）1；（3）2． 【解析】（1）1log 864log 325log 21025-+.220184082log 35log 26225=-+=⨯-+⋅=（2）原式=lg2（1+lg5）+（lg5）2=lg2+lg2lg5+（lg5）2=lg2+lg5（lg2+lg5）=lg2+lg5=1（3）原式=2lg5+lg2（1+lg5）+（lg2）2=2lg5+lg2+lg2lg5+（lg2）2=1+lg5+lg2（lg5+lg2）=1+lg5+lg2=2． 类型五、换底公式的运用例5．已知18log 9,185b a ==，求36log 45．【答案】2a ba+- 【解析】解法一：18log 9,185b a ==，18log 5b ∴=，于是181818183618181818log 45log (95)log 9log 5log 4518log 36log (182)1log 221log 9a b a ba ⨯+++=====⨯+-+． 【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．（3）解决这类问题要注意隐含条件“log 1a a =”的灵活运用． 【变式1】求值：（1）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++；【解析】（1）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++452log 233log 65)22log 2)(log 33log 23log ()9log 2log 2)(log 8log 3log 4log 3log (3233223332222=⋅⋅=++=++=类型六、对数运算法则的应用例6．求值（1）91log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅（2）7lg142lg lg 7lg183-+-【解析】（1）原式=103log 2log 5log 2log 253322526-=---（2）原式=2lg(27)2(lg 7lg 3)lg 7lg(32)⨯--+-⨯ =lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20+-++--=举一反三：【变式1】计算下列各式的值 （1）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++【解析】（1）原式=()22lg52lg 2lg5(2lg 2lg5)lg 2++++=22lg10(lg 5lg 2)++=2+1=3；【巩固练习】一、选择题1. 有以下四个结论：①lg （lg10）=0；②ln （lne ）=0；③若10=lg x ，则x =10；④若e =ln x ，则x =e 2，其中正确的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④ 【答案】C【解析】由log 1,log 10a a a ==知①②正确．2. 下列等式成立的有（ ）①1lg 2100=-；②33log 2=；③2log 525=；④ln 1e e =；⑤lg 333=；A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②③④⑤ 【答案】B【解析】21lg lg102100-==-；3. 对数式2log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是（ ）A ．(),5-∞B ． ()2,5C ．()()2,33,5D ．()2,+∞【答案】C【解析】由对数的定义可知50,20,21,a a a ->⎧⎪->⎨⎪-≠⎩所以25a <<且3a ≠，故选C ．4. 若0,1a a >≠，则下列说法正确的是（ ）①若M N =，则log log a a M N =；②log log a a M N =，则M N =； ③22log log a a M N =，则M N =；④若M N =，则22log log a a M N =． A ．①③ B ．②④ C ．② D ．①②③④ 【答案】C【解析】注意使log log a a M N =成立的条件是M 、N 必须为正数，所以①③④不正确，而②是正确的，故选C ．5. 若56789log 6log 7log 8log 9log 10y =⋅⋅⋅⋅，则（ ）A ．(0,1)y ∈B ．(1,2)y ∈C ．(2,3)y ∈D ．(3,4)y ∈ 【答案】B 【解析】55lg 6lg 7lg8lg9lg10log 101log 2lg5lg 6lg 7lg8lg9y =⨯⨯⨯⨯==+，因为50log 21<<，所以12y <<，故选B ．6. （2014江西三县月考）计算662log 3log 4+的结果是（）A ．6log 2B ． 2C ． 6log 3D ． 3【答案】B【解析】666662log 3log 4log 9log 4log 362+=+==．故选：B ． 二、填空题1. 若312log 19x-=，则x = ．【答案】-13【解析】 由指数式与对数式互化，可得1239x-=，解得13x =-． 2. 若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== ；【答案】12【解析】 2log 2log 3log 4log 34312a a a a a a a +=⋅=⨯=．3. 若2510a b ==，则11a b+= ．【答案】1【解析】因为210,a =所以21log 10lg 2a ==，又因为510,b =所以51log 10lg 5b ==，所以原式=lg 2lg51+=．。