浙江省杭州七县(市、区)11-12学年高二上学期教学质量检测试题扫描版数学理含答案
浙江省杭州二中11-12学年高二数学上学期期末试题-文
杭州二中2011学年第一学期高二年级期末考试数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中）1.“1=a ” 是“直线()02=++y x a a 和直线012=++y x 互相平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 设b a ,为两条直线，βα,为两个平面，下列四个命题中真命题是（ ）A ．若b a ,与α所成角相等，则b a //B ．若βαβα//,//,//b a ，则b a //C ．若b a b a //,,βα⊂⊂，则βα//D ．若βαβα⊥⊥⊥,,b a ，则b a ⊥3. 已知y x ,满足条件x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则y x 43-的最大值为( ) A ．1 B ．-1 C ．5 D ．-54. 双曲线13622=-y x 的渐近线与圆()()03222>=+-r r y x 相切，则r 的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．3 D ．65. 设P 为双曲线221916x y -=上的一点且位于第一象限。
若1F 、2F 为此双曲线的两个焦点，且1:3:21=PF PF ，则12FPF ∆的周长等于 ( ) A ．22 B ．16 C ．14 D ．126. 已知点21,F F 分别是椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于B A ,两点，若2ABF ∆为正三角形，则该椭圆的离心率是（ ）A ．21B ．22C ．31D ．337. 若直线b x y +=与曲线262x x y --=有公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．]231,231[+---B ．]2,231[--C ．]231,2[+-D ．]2,4[-8.已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）A ．43 B ．45 C ．47D ．439. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）可得这个几何体的体积是（ ） A ．331cm B ．332cm C ．334cm D ．338cm10.已知A,B 是椭圆()012222>>=+b a by a x 长轴的两个顶点，N M ,是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线BN AM ,的斜率分别为12,k k ，且021≠k k ，若21k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．22C ．23D ．32二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答卷中相应横线上）11.若命题“R x ∈∃，使得()0112<+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是________．12.已知实数x 、y 满足：101010x x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则22y x z +=的最小值是 .13.已知双曲线的两个焦点()()0,10,0,1021F F -，M 是此双曲线上的一点，且021=⋅MFMF ，221=⋅MF MF ，则双曲线的方程为 .14.已知正方形ABCD 的四个顶点在椭圆12222=+by a x ()0>>b a 上，x AB //轴，AD 过左焦点F ，则该椭圆的离心率为 .15.三棱锥ABC S -中, ο90=∠=∠SCA SBA , △ABC 是斜边a AB =的等腰直角三角形, 则以下结论中: ① 异面直线SB 与AC 所成的角为ο90； ② 直线⊥SB 平面ABC ； ③ 面⊥SBC 面SAC ； ④ 点C 到平面SAB 的距离是2a. 其中正确结论的序号是 _______________ .16. 如图，在长方形ABCD 中,3=AB ,1=BC ,E 为线段DC 上一动点，现将AED ∆沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为16题15题 侧视图2正视图2 2俯视图21 18题三、解答题（本大题共4小题，共36分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17. （本小题满分8分）已知命题:P 函数()12+=x xx f 在区间()12,+a a 上是单调递增函数；命题:Q 不等式()()042222<--+-x a x a 对任意实数x 恒成立.若Q P ∨是真命题，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分8分）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？19.（本小题满分10分）在直三棱柱111C B A ABC -中，ο90=∠ACB ，11===AA BC AC ，E D ,分别为棱AB 、BC 的中点，M 为棱1AA 上的点。
浙江省杭州高中2011至2012学年高二上学期期末试题数学理
杭高2011学年第一学期期末考试高二数学试卷（理科）注意事项：1．本卷考试时间为90分钟，满分为100分。
2．本卷不得使用计算器，答案一律做在答卷页上。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3 分，共30分）： 1．已知i 为虚数单位，则复数2i i+= ( ) A ．1- B ．i C ．i - D ．12. 在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝12”的 （ ）(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件3．下列命题中，真命题是 （ ） A ．0,,sin cos 22x x x π⎡⎤∃∈+≥⎢⎥⎣⎦B ．2(3,),21x x x ∀∈+∞>+ C ．2,1x R x x ∃∈+=-D ．,,tan sin 2x x x ππ⎛⎫∀∈>⎪⎝⎭4. 焦点在x 轴上，焦距等于6，离心率等于53，则此椭圆的标准方程是 ( )A.13610022=+y xB.16410022=+y xC.1162522=+y x D.192522=+y x 5. 已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于直线l 的直线 （ ）(A) 只有一条，不在平面α内(B) 有无数条，不一定在平面α内(C) 只有一条，且在平面α内(D) 有无数条，一定在平面α内6． 若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是 （ ）（A ） 36 cm 3 （B ） 48 cm 3 （C ） 60 cm 3 （D ） 72 cm 37. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝2AB ．若E ，F 分别为线段A 1D 1，CC 1的中点，则直线EF 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值为 （ ）(A)63 (B)22 (C)33 (D)138．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA 垂直底面111A B C ，底面三角形111A B C 是正三2 42 2 22正视(第6题) 侧视俯视（1）求⊙M 与⊙N 的方程；（2）过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被⊙N 截得的弦的长度。
浙江省杭州地区七校高二数学上学期期中联考试题
浙江省杭州地区七校2011-2012学年高二上学期期中联考试题（数学）考试须知：1.本卷满分120分，考试时间100分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级，学号和姓名；座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。
一．选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内。
（每小题4分，共40分）1.在空间内，可以确定一个平面的条件是 （ ▲ ） A ．两两相交的三条直线 B ．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交 C ．三个点 D ．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点2.直线0x a +=（a 为实常数）的倾斜角的大小是 （ ▲ ） A.030 B. 060 C. 0120 D. 01503．点()1,1-到直线10x y -+=的距离是 （ ▲ ）A.32 D. 124．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ▲ ）A. B. C. D.5．将棱长为2的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为 （ ▲ ）A. 34πB.π32C.π23D. 6π6. 已知直线m 、n 与平面,αβ,给出下列三个命题：①若//m α，//n α,则//m n ;②若//m α,n α⊥,则n m ⊥;③若m α⊥,//m β,则αβ⊥.其中真命题的个数是（ ▲ ）A ．0B ．1C ．2D ．37. 若n m ,满足012=-+n m , 则直线03=++n y mx 过定点 ( ▲ ) A. 61,21( B. )61,21(- C. )21,61(-118.如右图所示，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经 直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是 （ ▲ ）A ．B ．C ．6D ．9. 已知圆P 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4，直线y ＝mx 与圆P 交于A 、B 两点，直线y ＝nx 与圆P 交于C 、D 两点，则OD OC OB OA ⋅+⋅(O 为坐标原点)等于 ( ▲ )A .4B .8C .9D .1810. 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11C CDD 上的动 点，且F B 1//平面BE A 1，则F B 1与平面11C CDD 所成角的正切值构成的集合是 ( ▲ ) A.{}2 B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧552 C. {}222|≤≤t t D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2552|t t二．填空题。
浙江省杭州市2023-2024学年高三上学期11月期中教学质量检测(一模)数学答案
2023学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1 2 3 4 5 6 7 8 AB D A BC AA二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分． 9．CD 10．BCD 11．ABC 12．BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．1514．√1315．－216．√2四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．解：（1）由题知，A ＋C ＝180°，所以cos A ＝－cos C ，根据余弦定理BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ，BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos C ， 即 BD 2＝5－4cos A ，BD 2＝13－12cos C ． 所以 5－4cos A ＝13－12cos C ，所以cos C ＝12． 所以 BD ＝√7．（2）因为 BD 2＝PB 2＋PD 2－2PB ·PD cos A ＝(PB ＋PD )2－3PB ·PD ≥(PB ＋PD )2－3·(PB ＋PD)24＝(PB ＋PD)24，所以(PB ＋PD )2≤28，所以PB ＋PD ≤2√7（当且仅当PB ＝PD 时取等号） 所以√7＜PB ＋PD ≤2√7．18．（1）由①得：2a ＝b ＋1； 由②得：ax b ＋x 2＝a1xb ＋1x 2，（x ＞0）恒成立，即b ＋x 2＝bx 2＋1恒成立，所以b ＝1，所以a ＝1， 所以f (x )＝x 1＋x 2；（2）因为f ′(x )＝(1−x)(1+x)(1＋x 2)2，所以f (x )在(0，1)单调递增，(1，＋∞)单调递减．不妨设A (t ，0)，t ∈(0，1)，由f (x )＝f (1x )知B (1t ，0)． 那么|AB |＝1t －t ，|AD |＝t1+t 2；S ＝(1t −t)∙t 1＋t 2＝－1＋2t 2＋1，因为t ∈(0，1)，所以0＜S ＜1．19．（1）如图，以点A 为原点，直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴建立坐标系．那么P (0，0，b √3)，D (0，b ，0)，C (a ，a ，0)，E (0，b4，√3b4)，B (a ，0，0)．故BE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(−a ，b 4，√3b 4)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，b ，−b√3)，因为BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即BE ⊥PD ． （2）因为AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(a ，0，0)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0， 故AB ⊥PD ，所以PD ⊥平面ABE ， 故平面ABE 的法向量n ⃗ ＝PD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，b ，−b√3)，设直线PC 与平面ABE 所成角为θ，则： sin θ＝|cos<PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|＝ab ＋b 23√b 2＋b 23∙√2a 2＋b23＝√104， 整理得 b ＝2a ，即12a b ．20．（1）设事件A 为挑战者获胜，事件B 为不多于两次答题比赛结束． P (A | B )＝0.5×0.5＝0.25．（2）设P 为先答题者获胜的概率，则P ＝0.5×(0.5＋0.5P )，解得P ＝13．（3）设随机变量X 为挑战者连续挑战8人时战胜得守擂者人数，P 1为此时挑战者获胜的概率；Y 为挑战者连续挑战9人时战胜得守擂者人数，P 2为此时挑战者获胜的概率． P 1＝P (X ≥6)＝C 86(13)6(23)2＋C 87(13)7(23)1＋C 88(13)8＝12938， P 2＝P (X ≥7)＝C 97(13)7(23)2＋C 98(13)8(23)1＋C 99(13)9＝16339．显然，P 1＞P 2，即该挑战者胜利的概率没有增加．21．（1）由S 1＝a 1＝1；令n ＝2，得k(S 2＋2a 1)＝3S 1＋3k ，故a 2＝2k ＋33k，a 2a 1＝2k ＋33k；因为k(S n ＋2a n )＝3S n−1＋3k ，其中k >0，n ≥2，n ∈N ． 所以当n ≥3时，k(S n−1＋2a n−1)＝3S n−2＋3k ， 两式相减得：k (3a n −2a n−1)＝3a n−1， 整理得：a n a n−1＝2k ＋33k，(n ≥3)．综上，数列{a n }是首项为1，公比为2k ＋33k 的等比数列．（2）由题意得：f (k )＝2k ＋33k，(k >0)，1bn＝f (b n−1)＝2b n−1＋33b n−1＝1bn−1＋23，b 1＝1，故1b n＝2n ＋13．当n 为偶数时，1b 1b 2−1b2b 3＋1b3b 4−＋⋯＋(−1)n ＋11bn b n ＋1＝1b 2(1b 1−1b 3)＋1b 4(1b 3−1b 5)＋⋯＋1b n(1bn−1−1bn ＋1)＝−43(1b 2＋1b 4＋⋯＋1b n)＝−29n(n ＋3)．当n 为奇数时， 1b1b 2−1b2b 3＋1b3b 4−⋯＋(−1)n ＋11bn b n ＋1＝−29(n −1)(n ＋2)＋2n ＋13∙2n ＋33＝2n 2＋6n ＋79综上：1b1b2−1b2b3＋1b3b4−⋯＋(−1)n＋11b n bn＋1＝{−29n(n＋3)，(n为偶数)2n2＋6n＋79，(n为奇数)．22．（1）因为f′(x)＝－ax2＋1x＝−a＋xx2，x∈(0，＋∞)，当a≤0时，则f′(x)＞0 ，f (x)在(0，＋∞)单调递增，与题不符；当a>0时，令f′(x)＝0，解得x=a，所以f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增，∴在x=a取极小值，且f(a)=1＋lna；又g′(x)=a−1x，当a≤0时：g′(x)<0，g(x)在(0，＋∞)单调递减，无极值，与题不符；当a>0时：令g′(x)=0，解得：x=1a，所以g(x)在(0，1a )单调递减，在(1a，＋∞)单调递增，∴在x=1a 取极小值，且g(1a)=−1＋lna；由题(1＋ln a)＋(－1＋ln a)＝0，解得a=1．（2）令m=1x1，n=1x2，因为x1≠x2，所以m≠n，由f(x1)=f(x2)=2(x1≠x2)可得：{ax1＋lnx1=2a x2＋lnx2=2⇒{am−lnm=2⋯(1)an−lnn=2⋯ (2)，(1)−(2)得：a(m−n)=lnm−lnn，所以1a =m−nlnm−lnn，要证：1x1＋1x2>2a，只要证：m＋n>2a，只要证：m＋n>2m−nlnm−lnn，不妨设0<n<m，所以只要证：ln mn >2(m−n)m＋n，即证：ln mn >2(mn−1)mn＋1，令t=mn(t>1)，只要证：lnt>2(t−1)t＋1(t>1)，令ℎ(t)=lnt−2(t−1)t＋1(t>1)，ℎ′(t)=1t−2(t＋1)−2(t−1)(t＋1)2=1t−4(t＋1)2=(t−1)2t(t＋1)2，所以ℎ(t)在t∈(1，＋∞)上单调递增，所以有lnt>2(t−1)t＋1(t>1)成立，所以1x1＋1x2>2a成立．。
浙江省杭州市七县市2024年高二上学期期末学业水平测试英语试题含解析
2. What does the man think of the woman?
A. She can make money. B. She shouldn’t buy the suit. C. She’s careless with money.
5. Who was to blame for the accident?
A. The other driver. B. Dana. C. The man.
第二节听下面5段对话或独白。每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。每段对话或独白读两遍。
A. A student ticket is half the price.
B The cinema has a car park of its own.
C. Further information can be given.
第二部分：阅读理解(共两节，满分50分)
第一节(共15小题，每小题2.5分，满分37.5分)
阅读下列短文，从每题所给的四个选项(A、B、C、D)中，选出最佳选项，并在答题纸上将该选项标号涂黑。
A
Walt Disney World Holiday Celebrations in the 4 Parks
Magic Kingdom
Walt Disney World's first parade since March 2020 is hitting Main Street just in time for the holidays. The parade kicks off with Mickey and Minnie in their holiday styles and ends with a visit from Santa Claus. The only way to see this parade is with a ticket. Other celebrations include a speቤተ መጻሕፍቲ ባይዱial fireworks display, holiday-themed stage performances and dance parties. Guests may even get to experience a little snowfall in Florida.
2023-2024学年浙江省杭州高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年浙江省杭州高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．已知直线斜率等于1-，则该直线的倾斜角为（）A ．30︒B ．45︒C ．120︒D ．135︒【正确答案】D【分析】利用直线的斜率的定义及倾斜角的范围即可求解.【详解】设该直线的倾斜角为α，则由1k =-，得tan 1α=-，又0180α≤<︒，所以135α=︒.故选：D.2．为做好“新冠肺炎”疫情防控工作，我校坚持每日测温报告，以下是某班8名同学的体温记录：36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.6，36.7（单位：C ︒），则该组数据的第60百分位数为（）A ．36.3B ．36.4C ．36.45D ．36.5【正确答案】B【分析】根据第百分位数的概念和计算方法可得答案.【详解】将8名同学某日上午的体温记录从小到大排列为：36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.6，36.7，因为60%8 4.8⨯=，所以该组数据的第60百分位数为36.4.故选：B.3．已知点()1,1A 和()2,4B ，点P 在y 轴上，且APB ∠为直角，则点P 坐标为（）A ．()0,2B ．()0,2或()0,3C ．()0,2或()0,4D ．()0,3【正确答案】B【分析】设点()0,P y ，由APB ∠为直角，得AP BP ⊥，然后由1AP BP k k ⋅=-列式计算即可.【详解】由题意，设点()0,P y ，APB ∠ 为直角，AP BP ∴⊥，由141,12AP BP y yk y k --==-=，()4112AP BP y k k y -⎛⎫∴⋅=-=- ⎪⎝⎭，解得3y =或2，所以点P 的坐标为()0,2或()0,3故选：B4．已知数列{}n a 是递增的等比数列，12314++=a a a ，12364a a a =，则公比q =（）A ．12B ．1C ．2D ．4【正确答案】C【分析】由方程12364a a a =利用等比数列的性质先求2a ，再代入12314++=a a a ，联立方程组求出q .【详解】已知12364a a a =，所以3264a =，解得24a =，即14a q =①；又12314++=a a a ，则1310a a +=，即211(10)a q +=②；又0q ≠，由①②得2152q q +=，所以22520q q -+=，解得2q =或12q =.因为数列{}n a 是递增的等比数列，所以2q =.故选：C.5．已知圆221:680C x y x +++=与圆222:6160C x y x +--=，动圆M 同时与圆1C 及2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹为（）A ．椭圆B ．椭圆和一条直线C ．双曲线和一条射线D ．双曲线的一支【正确答案】D【分析】首先设(),M x y ，根据圆M 同时与圆1C 及2C 相外切，得到21124MC MC C C -=<，再结合双曲线的概念即可得到答案.【详解】圆221:680C x y x +++=，()221:31C x y ++=，圆心()13,0C -，11r =，圆222:6160C x y x +--=，()221:325C x y -+=，圆心()23,0C ，25r =，设(),M x y ，因为圆M 同时与圆1C 及2C 相外切，所以21124MC MC C C -=<，即M 的轨迹是以12,C C 为焦点，24a =的双曲线的左支.故选：D6．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，过椭圆的左顶点A 作直线l ，与椭圆和y 轴分别交于点M 和点N ，过原点且平行于l 的直线与椭圆交于点P ，则（）A ．AM，AN 始终成等比数列B ．AM ，2OP ，AN 始终成等比数列C ．AM ，a OP ，AN 始终成等比数列D ．AM ，b OP ，AN 始终成等比数列【正确答案】A【分析】联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求得弦长，由等比中项性质判断等比数列即可.【详解】由题意知，直线l 斜率存在，设OP 方程为y kx =，则AM 的方程为()y k x a =+，则()0,N ka，AN =.设直线()y k x t =+(t a =或0)，则该直线必与椭圆存在交点，设为()()1122,,,x y x y ，由()22221y k x t x y a b⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2222222222220a k b x a tk x a t k a b +++-=，则222222212122222222,a tk a t k a b x x x x a k b a k b -+=-=++，则直线()y k x t =+与椭圆交得的弦长为12x -=当t a=时，该弦长为2222abAM a k b =+；当0=t时，该弦长为2OP =()22222221a b k OP a k b +=+.∵22AM AN OP×=，∴AM OP ，AN 成等比数列.故选：A7．在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A ．15BCD【正确答案】D【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,A B C D E ，所以(110,0,4422AF AD ⎛==-=- ⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,2222CF CA AF ⎛⎛=+=+-= ⎝⎭⎝⎭，所以cos ,AE CF AE CF AE CF⋅==-⋅则异面直线AE ，CF故选：D.8．已知双曲线22:1412x y C -=的左焦点为F ，左顶点为A ，T 为左准线上动点，则FTA ∠的最大值为（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【正确答案】B【分析】根据余弦定理表达出cos FTA ∠=，结合不等式即可求解最值.【详解】由题意可知：2,4a b c ===，左准线方程为21a x c=-=-，故()()4,0,2,0,F A --设()1,T y -，则2TA TF AF ===,当T 在x 轴上，此时FTA ∠为0，时当T 不在x 轴时，在ATF △中，由余弦定理得222222cos 2TF TA AF FTA TF TA +-∠==2=，当且仅当229y y =，即y =故cos FTA ∠的最小值为2，由于π0,2FTA ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭,故FTA ∠最大为π6，故选：B二、多选题9．不透明的袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球、2个黄球.记A 为事件“从中任取1个球是红球”，B 为事件“在有放回随机抽样中，第二次取出1个球是红球”，则（）A ．()3=5P A B ．()1=2P B C ．事件A 与B 是互斥事件D ．事件A 与B 是相互独立事件【正确答案】AD【分析】根据题意可知：此实验相当于进行两次独立重复实验，进而判断选项即可求解.【详解】根据题意可知：两次取球相当于两次独立重复实验，所以事件A 与B 是相互独立事件，且3()5P A =，故选.AD10．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 和1BB 的中点，则（）A ．//EF 平面ABCDB ．1D E CF⊥C ．()1,0,2α=是平面1EFD 的一个法向量D ．点C 到平面1EFD 【正确答案】ACD【分析】根据线线平行即可判断A,建立空间直角坐标系，利用向量数量积即可判断线线垂直，即可判断B ，根据空间向量求解法向量即可判断C ，根据空间距离的向量法即能求出点G 到平面1D EF 的距离，从而判断D.【详解】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，对于A ，由于,E F 分别是11,AA BB 的中点，所以//EF AB ,AB ⊂平面ABCD ,EF ⊄平面ABCD ,故//EF 平面ABCD ，故A 正确，对于B ，()10,2,0,(0,0,2),(2,0,1),(2,2,1)C D E F ，故()()12,0,1,2,0,1,D E CF =-= 14010D E CF ⋅=+-≠，故1D E 与CF不垂直，进而可得1D E 与CF 不垂直，故B 错误，对于C,由()10,2,0,(0,0,2),(2,0,1),(2,2,1)C D E F ，所以1(2,0,1)D E =-uuu r，1(2,2,1)D F =- ，设平面1D EF 的法向量为(,,)n x y z =，则1120220n D E x z n D F x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令1x =，则0y =，2z =，所以平面1D EF 的一个法向量(1,0,2)n =，故C 正确，对于D ，()10,2,2CD =-点C 到平面1D EF的距离为1||||CD n n ⋅= 故D 正确，故选：ACD11．如图所示，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则（）A ．A ，B 两点的纵坐标之积为定值B ．以线段AB 为直径的圆与准线l 相切C ．点F 在以11A B 为直径的圆外D ．直线1AB 经过原点【正确答案】ABD【分析】选项A ，设出AB 的方程与抛物线联立，求两根之积即可得出结论；选项B ，求AB 的中点到准线的距离并与弦长AB 的关系进行比较；选项C ，通过斜率的关系证明AF BF ⊥，得到点F 在以11A B 为直径的圆的关系；选项D ，通过斜率的关系证明,,A O B 三点共线.【详解】选项A ，设AB 的方程为：2px my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理得2220y pmy p --=，则212y y p =-，故选项A 正确；选项B ，AB 的中点1212,22x x y y E ++⎛⎫⎪⎝⎭，点E 到准线2p x =-的距离为1222=++x x p d ,12AB x x p =++，所以12d AB =，即以线段AB 为直径的圆与准线l 相切，故选项B 正确；选项C ，由11,2p A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12,2p B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，得11121221⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭A FB F y y y y k k p p p ，所以AF BF ⊥，点F 在以11A B 为直径的圆上，故选项C 错误；选项D ，由()11,A x y ，12,2p B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，212y y p =-，得11211122OA y y p k y x y p ===，12211222-=-=-=OB p y y p k p p y ，所以1=OA OB k k ，所以,,A O B 三点共线；所以直线1AB 经过原点，故选项D 正确.故选：ABD.12．欧拉函数()()N n n ϕ*∈的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互素的正整数的个数（互素是指两个整数的公约数只有1），例如()11ϕ=，()32ϕ=，()62ϕ=，则（）A ．()125100ϕ=B ．数列(){}5nϕ是递增数列C ．()545n n ϕ⎧⎫-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前10项中最大项为第3项D ．()545nn ϕ⎧⎫-⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和n S ，则4564n S <【正确答案】ABD【分析】根据欧拉函数的定义求出(125)100ϕ=，故A 正确；根据欧拉函数的定义求出1(5)45n n ϕ-=⨯，由1(5)(5)n n ϕϕ+>可得数列(){}5n ϕ是递增数列，故B 正确；根据数列(){}5n ϕ的第一项大于第三项可知C 不正确；根据错位相减法求出14520964645n n n S -+=-⨯，可知4564nS <，故D 正确.【详解】对于A ，所有不超过正整数125的正整数有125个，其中与125不互素的正整数有15⨯，25⨯，35⨯，L ，255⨯，共25个，所以所有不超过正整数125，且与125互素的正整数的个数为12525100-=个，即(125)100ϕ=，故A 正确；对于B ，所有不超过正整数5n 的正整数有5n 个，其中与5n 不互素的正整数有15⨯，25⨯，35⨯，L ，155n -⨯，共15n -个，所以所有不超过正整数5n ，且与5n 互素的正整数的个数为115545n n n ---=⨯个，即1(5)45nn ϕ-=⨯，因为11(5)4551(5)45n nn n ϕϕ+-⨯==>⨯，所以1(5)(5)n n ϕϕ+>，所以数列(){}5n ϕ是递增数列，故B 正确；对于C ，由B 知，1(5)45n n ϕ-=⨯，所以15454(5)45n n n n ϕ---=⨯，第一项为14，第三项为11100，1114100>，故C 不正确；对于D ，由C 知，15454(5)45n n n n ϕ---=⨯，则211611544454545n n n S --=+++⨯⨯⨯ ，23111611595454545454545n n n n n S ---=+++++⨯⨯⨯⨯⨯ ，所以2111555545445454545n n n n n S S ---=++++-⨯⨯⨯⨯ ，所以2141511154()54455545n n n n S --=++++-⨯ ，所以111(1)415545515444515n n n n S ---=+⨯-⨯-，所以1415154(1)5416545n n nn S --=+--⨯，所以14520964645n n n S -+=-⨯，因为12090645n n -+>⨯，所以4564n S <，故D 正确.故选：ABD 三、填空题13．双曲线221169x y -=的离心率为___________.【正确答案】54【分析】依据题意可得,,a b c ，然后根据离心率公式可得结果.【详解】由题可知：4,3a b ==，由5c ==所以离心率54c e a ==故5414．已知数列{n a }的前n 项和为22n S n n =+，则该数列的通项公式n a =__________.【正确答案】2n +1【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥计算，再计算1a 可得结论．【详解】由题意2n ≥时，2212(1)2(1)21n n n a S S n n n n n --=+----=+=，又113a S ==适合上式，所以21n a n =+．故21n +．本题考查由n S 求通项公式，解题根据是1(2)n n n a S S n -=-≥，但要注意此式不含1a ，11a S =．15．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示，四面体A BCD -为鳖臑，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，2AB BC CD ===，E ，F 分别是棱AC 和BD 上的动点，且=AE BF ，则EF 的长最小为____________.【分析】作EM BC ⊥于点M ，连接,MF EF ，得到直角三角形EMF ,设AE x =，由对应线段成比例求出,EM MF ，利用勾股定理表示EF ，求其最小值即可.【详解】如图，作EM BC ⊥于点M ，连接,MF EF .因为AB ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，所以AB BC ⊥，又EM BC ⊥，所以//EM AB ,=CE CMCA CB，所以EM ⊥平面BCD ，又MF ⊂平面BCD ，所以EM MF ⊥.又2AB BC CD ===，BC CD ⊥，所以CA DB ==,由=AE BF ，得CE DF =，则==DF CE CMDB CA CB，得//MF CD .设AE x =，2CE EM EM CA AB ==，得到，22=EM ，在BCD △中，由2BF MF MF BD CD =⇒=≤≤MF xEF=x =时，等号成立.故答案为16．在平面直角坐标系中，点P 的坐标(),x y 满足5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，其中[)0,2θ∈π，则22553z x =-的最小值为____________.【正确答案】223【分析】由题可得2212516x y+=，由椭圆第二定义有35=则253z x =+-，即椭圆上一点(),x y 到点()1,1距离与到直线253x =距离之和.【详解】因点P 的坐标(),x y 满足5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，则2212516x y +=，得5a =，4b =，3c ==.则该椭圆的右焦点坐标为()3,0F ，右准线方程为2253a x c ==.35=，故3252252553533z x x x =+-+-+-，即椭圆上一点(),x y 到点()1,1距离与到直线253x =距离之和.则距离之和最小值为过()1,1的垂直于右准线的垂线段长度，为2522133-=.故答案为.223四、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，()110N n n n n a a a a n *+++-=∈.(1)求2a ，3a ，4a ；(2)试猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.【正确答案】(1)234111,,234a a a ===(2)1n a n=，证明见解析【分析】（1）首先根据题意得到11nn na a a +=+，再求2a ，3a ，4a 即可.（2）首先猜想数列{}n a 的通项公式为1n a n=，再利用数学归纳法证明即可.【详解】（1）由110n n n na a a a +++-=可知11nn na a a +=+，当1n =时，代入11a =，解得212a =；当2n =时，代入212a =，解得313a =；当3n =时，代入313a =，解得414a =；（2）猜想数列{}n a 的通项公式为1n a n=.当1n =时，左边11a ==，右边111==，1n a n =成立.（2）假设当()Nn k k *=∈时，1kak=成立.则当1n k =+时，有1111111k k k a k a a kk+===+++，即当1n k =+时，1n a n=也成立.所以1n a n=对任何N n *∈都成立.18．在一次期中考试后,学校教学处对数学考试情况进行分析,考生的成绩（单位:分）分布大致如下:考生数学分数的区间[)70,90[)90,110[)110,130[]130,150比例10%25%45%20%(1)估计本次数学考试成绩的众数、中位数以及平均数;(2)为了进一步了解学生的数学学习情况,用按比例分配的分层随机抽样方法,在[)70,90和[)90,110两组中抽取7名同学,再从这7名同学中随机抽取2名同学进行访谈,求抽取的这2名同学恰好有1人成绩在[)70,90内的概率.【正确答案】(1)众数:120;中位数:3503;平均数:115(2)1021【分析】(1)根据表格,根据数字特征的计算公式,计算结果即可;(2)先根据分组抽样求得[)70,90和[)90,110中需要抽取的人数,列举出从中抽取两位同学的所有的可能,找出其中恰好有1人成绩在[)70,90的结果,利用古典概型的概率公式,即可得出结果.【详解】（1）解:由表格可知:众数:120;中位数:50%35%3501102045%3-+⨯=;平均数:8010%10025%12045%14020%115⨯+⨯+⨯+⨯=;（2）由表格知:[)70,90中的学生与[)90,110中的学生比例为:25%10%:2:5=,根据分层随机抽样的方法抽取7名学生,则在[)70,90中抽取2人,分别记作,x y ,在[)90,110中抽取5人,分别记作,,,,a b c d e ,把“从样本中抽取2名同学恰好有1人成绩在[)70,90内”记作事件A ,用(),m n 表示抽出的两位同学,则所有的可能性为:()()()()()(),,,,,,,,,,,,x y x a x b x c x d x e ()()()()()(),,,,,,,,,,,,y a y b y c y d y e a b()()()()()(),,,,,,,,,,,,a c a d a e b c b d b e ()()(),,,,,,c d c e d e 共21种,其中满足事件A 的有:()()()()(),,,,,,,,,,x a x b x c x d x e ()()()()(),,,,,,,,,,y a y b y c y d y e 共10种,故10()21P A =.19．VEX 亚洲机器人比赛是全球两大机器人赛事之一.如图所示，在某次比赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，A 为坐标原点），AB 长12米，AD 长5米.在A 处有一只电子狗，在AB 边上距离A 点6米的E 点处放置机器人，电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍.若电子狗和机器人从起始位置同时出发，在场地内沿直线方向同时达到某点P ，那么电子狗被机器人捕获，称点P 为成功点.(1)求成功点P 的轨迹方程；(2)为了记录比赛情况，摄影机从AD 边上某点F 处沿直线方向往C 点运动，要求直线FC 与点P 的轨迹没有公共点，求点F 纵坐标0y 的取值范围.【正确答案】(1)()()2281604x y y -+=≤≤(2)23,510⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）设(),P x y ，012,05x y ≤≤≤≤，机器人运动速度为v ，依题意得（2）设直线FC ：()125y k x =-+，根据直线与点P 的轨迹没有公共点，则圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的取值范围，从而求出点F 纵坐标0y 的取值范围.【详解】（1）解：设(),P x y ，012,05x y ≤≤≤≤，机器人运动速度为v ，=()22816x y -+=.由于点P 在矩形场地内，则04y ≤≤.所以成功点P 的轨迹方程为()()2281604x y y -+=≤≤.（2）解：由题意可知直线FC 的斜率存在，不妨设直线FC ：()125y k x =-+，直线FC 与点P 的轨迹没有公共点，由直线与圆的位置关系可得4d =>，解得940k <.则点F 纵坐标02312510y k =-+>，又因为[]00,5y ∈，所以023,510y ⎛⎤∈⎥⎝⎦.20．如图所示，在正方形ABCD 中，将ACD 沿AC 折起至ACP △.(1)求证：AC BP ⊥；(2)记二面角P AC B --的大小为θ.当243ππθ≤≤时，求异面直线AB 和CP 所成角的余弦值的范围.【正确答案】(1)证明见解析(2)23,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由线线垂直证AC ⊥平面OBP ，再证AC BP ⊥；（2）由向量法求异面直线夹角.【详解】（1）连接正方形ABCD 的对角线交于点O ，连接OP .因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥.由翻折不变性可知,AC OP AC OB ⊥⊥.又因为⋂=OP OB B ，,OP OB ⊂平面OBP ，所以AC ⊥平面OBP .因为BP ⊂平面OBP ，所以AC BP ⊥.（2）由（1）可知POB ∠为二面角P AC B --的平面角，即PAB θ∠=.法1（坐标法）：如图，以O 为原点，OA 为x 轴正方向，OB 为y 轴正方向，垂直于平面AOB 且向上为z 轴正方向，建立空间直角坐标系.不妨设1OA OB OP ===，则()1,0,0A ，()0,1,0B ，()1,0,0C -，()0,cos ,sin P θθ，则()1,1,0AB =-uu u r，()1,cos ,sin CP θθ= .所以1cos cos 1cos ,222AB CP AB CP AB CPθθ⋅-+-===⋅⋅ ，因为243ππθ≤≤，所以223cos ,,44AB CP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.法2（基底法）：不妨设1OA OB OP ===，则2AB CP ==以{},,OA OB OP 为基底，0OA OB ⋅= ，0OA OP ⋅=，cos OB OP θ⋅= .因为AB OB OA =- ，CP OP OC =- ，所以()()cos 1cos ,22OB OA OP OC AB CP AB CP AB CPθ-⋅-⋅-===⋅，因为243ππθ≤≤，所以223cos ,,44AB CP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.21．已知数列{}n a 的首项112a =，且满足121nn n a a a+=+.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .【正确答案】(1)11212n n n a --=+(2)()()11+14222n n n n S n -=+-+⋅【分析】(1)根据递推公式可得：11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解；(2)结合（1）的结论得出112n n b n n -=+⋅，利用分组求和和错位相减法即可求解.【详解】（1）由121n n n a a a +=+可知111122n n a a +=+，两边同减1可得1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为1111a -=，所以11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公比的等比数列.所以11112n n a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即11212n n n a --=+.（2）由（1）可知112n n b n n -=+⋅，所以012111111122332222n n S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯++⨯++⨯+⋅⋅⋅++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()01211111123++1232222n n n -⎛⎫=++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪⎝⎭()01211+111112322222n n n n -⎛⎫=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪⎝⎭记012111111232222n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯()1211111112122222n n nT n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯两式作差可得()12111111111121+221222222212nn n n nn T n n n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=++⋅⋅⋅+-⨯-⨯=-+⋅-所以()11422n n T n -=-+⋅.因此()()11+14222n n n n S n -=+-+⋅.22．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>与双曲线1C ：221164x y -=的渐近线相同，且经过点(．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点()1,1M 的直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，与x 轴交于点N .设MA AN λ=，MB BN μ= (),R λμ∈，求λμμλ+的取值范围.【正确答案】(1)2214x y -=(2)()74,2,35⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据共渐近线方程设双曲线22:164x y C λ-=，代入点即可求得λ的值，可得双曲线C的方程；（2）根据双曲线与直线的位置关系，求得交点坐标关系，根据向量线性关系列式，即可求得λμμλ+的取值范围.【详解】（1）由双曲线C 与双曲线1C 的渐近线相同，可设双曲线22:164x y C λ-=，代入(，可得22411644λ=-=，所以求双曲线C 的方程为2211644x y -=，即2214x y -=.（2）易知直线l 的斜率存在且不为0，设为k ，则直线l 的方程为()11y k x -=-，则11,0N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.设()()1122,,,A x y B x y .联立()221114y k x x y ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩可得()()()22214814140k x k k x k ------=，方程有两个不同的正根12,x x 可得()()()()()2221222122Δ81414414081014414014k k k k k k x x k k x x k ⎧⎡⎤⎡⎤=--+--+>⎪⎣⎦⎣⎦⎪-⎪+=>⎨-⎪⎪-+⎪=->-⎩，解得12k ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭.记点N 的横坐标为t，即1112t k ⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭.由MA AN λ= 可得111111t x y λλλ+⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，代入双曲线C 的方程，可得()()2242470t t λλ-+--=.同理可得，由MB BN μ= 可得()()2242470t t μμ-+--=.所以,λμ是方程()()2242470t x t x -+--=的两个根，由韦达定理可得()22247,44t t t λμλμ--+==--.所以()()()222442274t t λμλμμλλμ+-+=-=--.令4m t =-，71,2m ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则()2224422744187121m m m m λμμλ+=-=--⎡⎤⎡⎤--⎛⎫⎣⎦-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦令1n m =，n ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则()21281f n n n =-+在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，所以()1,57f n ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且()0f n ≠.因此，()()4742,2,735f n λμμλ⎛⎫+=--∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭ .。
人教A版高中必修二试题第一学期杭州七县(市、区)期末教学质量检测.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2016学年第一学期杭州七县（市、区）期末教学质量检测高一数学试题卷一、选择题(本大题有14小题，每小题3分，共42分．每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将答案填写在答案卷相应的答题栏内)1．0sin120的值为 ( ▲ )A ．21B ． 21- C ． 23 D ． 23-2．已知31sin =α，α为第二象限角，则cos α的值为 （▲）A ．23 B ．23- C ． 223 D ． 223-3．已知集合}82|{},04|{2<∈=<-∈=x R x B x x R x A ，则B A = （▲）A ．)3,0(B ．)4,3(C ．)4,0(D ．)3,(-∞4．函数3log )(3-+=x x x f 的零点所在的区间是 （▲）A ．)1,0(B ．)2,1(C ．)3,2(D ．),3(+∞5．函数0.5log (32)y x =-的定义域是 （▲）A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,1]D ．2(,1]36．一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高，则自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象是 （▲）心率110心率90 心率120 心率907．已知函数2, (2)()(2),(2)x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则(5)f 的值为 （▲）A ．32B ．1C ．2D ．3 8．已知函数(2)2y f x x =+是偶函数，且(2)1f =，则(2)f -= （▲） A ．5 B ．4 C ．3 D ．29．函数()|sin cos ||sin cos |f x x x x x =++-是 （▲） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数10．记sin1,sin2,sin3a b c ===，则 （▲）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c << 11．要得到函数cos(2)6y x π=-的图像，只需将函数sin 2y x =的图像 （▲）A ．向左平移12π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移12π个单位 D ．向右平移6π个单位12.已知函数(21)1()(5) , (1)x a x f x a x a x ⎧-≤=⎨-+>⎩, （）在),(+∞-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（▲） A ．31<<a B ．31≤<a C ．521<<a D ．521≤<a 13．定义⎩⎨⎧>≤=ba b ba ab a ,,},min{，若函数}3|3|,33min{)(2+--+-=x x x x f ,且)(x f 在区间[,]m n 上的值域为]47,43[，则区间[,]m n 长度的最大值为 （▲）A ．1B ．47C ．411D ．27 14．设函数4()||f x ax x=-，若对任意的正实数a ，总存在0[1,4]x ∈，使得0()f x m ≥，则实数m 的取值范围为 （▲）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．(,2]-∞D ．(,3]-∞ 二、填空题（本大题有6小题，15~17题每空3分，18~20题每空4分，共30分，把答案填在答题卷的相应位置）15．设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{2,3,4}M =，{4,5}N =，则MN = ▲ ；U C M = ▲ ． 16．3121)278()49(-+= ▲ ；3log 12log 44- = ▲ ．17．函数()tan(2)4f x x π=-的最小正周期是 ▲ ；不等式()1f x >的解集是 ▲ ．18．已知偶函数)(x f 和奇函数)(x g 的定义域都是)4,4(-,且在(]0,4-上的图象如图所示，则关于x 的不等式0)()(<⋅x g x f 的解集是___▲____．y-4y=f(x)。
浙江省杭州市七县区2021-2022高二数学上学期期末考试试题.doc
浙江省杭州市七县区2021-2022高二数学上学期期末考试试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面中的两点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足{M|121MF MF-=}的点M的轨迹是A.椭圆B.双曲线C.一条线段D.两条射线2.在空间直角坐标系中，与点A(1，2，3)关于平面xoy对称的点的坐标是A.(1，2，－3)B.(－1，－2，－3)C.(－1，－2，3)D.(1，－2，3)3.直线y＝x＋1被圆x2＋y2＝2截得的弦长为A.2B.22C.6D.264.某四棱锥的三视图如图1所示，则该几何体的体积为A.643B.323C.163D.835.已知直线l和平面α内的两条直线m，n，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知P，Q分别为直线l1：3x＋4y－4＝0与l2：3x＋4y＋1＝0上的两个动点，则线段PQ的长度的最小值为A.35B.1C.65D.27.如图2，在正四面体OABC中，D是OA的中点，则BD与OC所成角的余弦值是A.12B.36C.22D.3368.棱长都相等的正三棱柱ABC－A'B'C'中，P是侧棱AA'上的点(不含端点)。
记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与底面ABC所成的角为β，二面角P－B'B－C的平面角为γ，则A.γ<β<αB.γ<α<βC.β<γ<αD.α<β<γ9.在平面直角坐标系中，Q是圆O：x2＋y2＝9上的动点，满足条件|MO|＝2|MQ|的动点M构成集合D，则集合D中任意两点间的距离d的最大值为A.4B.4210.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆4x2＋y2＝1上两个不同点，且满足4x1x2＋y1y2＝12，则|2x1＋y1－1|＋|2x2＋y2－1|的最大值为6－6＋6二、填空题(单空题每题4分，双空题每题6分，共28分)11.双曲线22197x y+=的离心率为，渐近线方程为。
2023-2024学年浙江省杭州市高二上学期期末数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年浙江省杭州市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．设复数z 满足()12i 5z ⋅+=，则z 的虚部是（）A ．2B ．2iC ．2-D ．2i-【正确答案】C【分析】根据复数的除法运算求解.【详解】因为()12i 5z ⋅+=，所以()55(12i)12i 12i 12i (12i)z -===-++-，所以z 的虚部是2-，故选:C.2．数列{}n a 满足11a =，()1121n n n a a n a --=≥+，则5a 的值为（）A ．13B ．14C ．15D ．16【正确答案】C【分析】根据递推公式逐项计算可得5a 的值.【详解】由题意可得121112a a a ==+，232113a a a ==+，343114a a a ==+，454115a a a ==+.故选：C.3．设x 、y ∈R ，向量(),1,1a x = ，()1,,1b y = ，()3,6,3c =-r 且a c ⊥ ，//b c，则a b += （）A．B．C ．4D ．3【正确答案】D【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出x 、y 的值，求出向量a b +的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.【详解】因为a c ⊥，则3630a c x ⋅=-+= ，解得1x =，则()1,1,1a = ，因为//b c ，则136y=-，解得=2y -，即()1,2,1b =- ，所以，()2,1,2a b +=-，因此，3a b += .故选：D.4．对2021年某地某款汽车的销售价格（单价：万元）与销售数量进行统计，随机选取1000台汽车的信息，这1000台汽车的销售价格都不低于5万元，低于30万元，将销售价格分为[)5,10，[)10,15，[)15,20，[)20,25，[]25,30这五组，统计后制成如图所示的频率分布直方图，则在选取的1000台汽车中，销售价格在[)5,15内的车辆台数为（）A ．175B ．375C ．75D ．550【正确答案】B【分析】根据频率分布直方图中各组频率和为1可求出a ，从而可求出销售价格在[)5,15内的频率，进而可求出销售价格在[)5,15内的车辆台数.【详解】由频率分布直方图知，0.01550.0250.025550.0851a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以0.06a =，所以销售价格在[)5,15内的频率为()0.060.01550.375+⨯=，故销售价格在[)5,15内的车辆台数为0.3751000375⨯=．故选：B5．已知1tan 2a =，则()()sin πcos ππ3πcos sin 22a a a a ++-=⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．13-B ．13C ．3-D ．3【正确答案】D【分析】对所求式子利用诱导公式进行化简，再利用弦化切即可求解.【详解】1tan ,cos 02αα=∴≠ ，则()()11sin πcos πsin cos tan 1231π3πsin cos 1tan 1cos sin 222αααααααααα+++---+====--⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D.6．已知直线:0l x y t ++=，曲线:C y =“l 与C 相切”是“t =-的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】首先得到曲线C 所表示的图形为半圆，然后利用几何法求出直线与圆相切时t 的值，再将t 代入直线，利用几何法检验此时是否相切即可.【详解】对曲线C ，两边同平方得224y x =-，即224x y +=，其中0y ≥，其表示的图形是以()0,0为圆心，半径为2r =的圆的上半部分，包括x 轴上的点，当直线l 与曲线C2=，t =或-，显然由图形知0t <，则t =-若t =-l的方程为0x y +-=，此时圆心到直线的距离2d r ===，故此时直线与C 相切，故必要性成立.则“l 与C 相切”是“t =-的充分必要条件.故选：C.7．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，13AA =，2AB =，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值为（）A ．713B ．513C ．57D ．37【正确答案】A【分析】在三棱锥内构造直线使其平行于1A B ，然后构造三角形，运用异面直线夹角的定义求解即可.【详解】取11A C 的中点D ，连接1BC 交1B C 于点E ，连接DE，则1//DE A B 且112DE A B =，则1DEB ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角或其补角．易求1113A B B C ==，13B D =1132DE B E ==，所以222111113133744cos 2131313222DE B E B D DEB DE B E +-+-∠===⋅⨯⨯.故选：A ．8．已知()002323,1,,,33A B P x y ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭为椭圆22:132x y C +=上不同的三点，直线:2l x =，直线PA 交l 于点M ，直线PB 交l 于点N ，若P A B P M N S S =△△，则0x =（）A ．0B ．54C ．53D 3【正确答案】B【分析】根据三角形面积公式及APB MPN ∠=∠或πAPB MPN ∠+∠=得PA PB PN PM =，再应用相交弦长公式列方程，即可求0x .【详解】由P A B P M N S S =△△，则11sin sin 22APB PA PB MPN PN PM ∠⋅=∠⋅，由图知：当P 位置变化时，APB MPN ∠=∠或πAPB MPN ∠+∠=，故sin sin A P B M P N ∠=∠，所以PA PB PN PM =，而直线AP 、BP 斜率存在且不为00(1)x ≠±，故0011PA PB x x =+-，0022PN PM x x =--，所以22001(2)x x -=-，即22000144x x x -=-+或22000144x x x -=-+，当22000144x x x -=-+，化简得054x =.当22000144x x x -=-+时，2002430x x -+=，显然16200∆=-<，无解.所以054x =.故选：B.二、多选题9．已知12,v v分别为直线的12,l l 方向向量（12,l l 不重合），12,n n 分别为平面,αβ的法向量（,αβ不重合），则下列说法中，正确的是（）A ．1212//v v l l ⇔⊥B ．1212v v l l ⊥⇔⊥C ．12//n n αβ⇔⊥D ．12n n αβ⊥⇔⊥【正确答案】BD【分析】利用直线的方向向量与平面法向量的含义逐一分析判断即可．【详解】解：因为1v ，2v分别为直线1l ，2l 的方向向量1(l ，2l 不重合），则1212////v v l l ⇔，故选项A 错误；则1212v v l l ⊥⇔⊥，故选项B 正确；因为1n u r ，2n u u r分别为平面α，β的法向量(α，β不重合），则12////n n αβ⇔，故选项C 错误；则12n n αβ⊥⇔⊥，故选项D 正确．故选：BD ．10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．已知412a =，140S >，150S <，则下列结论正确的是（）A ．70a <B ．2437d -<<-C ．784S =D ．设n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则0n T >时，n 的最大值为27【正确答案】BC【分析】由已知求得80a <，70a >，解公差为d 的取值范围，利用等差数列的通项公式求和公式及其性质逐个选项判断正误即可.【详解】∵140S >，150S <，∴()()1147814702a a a a +=+>，()1158151502a a a +=<，∴780a a +>，80a <，∴70a >，A 选项错误；又∵412a =，即1123a d =-，∴78448434247041240a a a d a d d a a d d +=+++=+>⎧⎨=+=+<⎩，解得2437d -<<-，B 选项正确；∵()177477842a a S a +===，故C 选项正确；因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以1(1)2n n n S na d -=+，即112n S n a d n -=+，由11n n S S n n --=-11111222n n d a d a d ---⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设112n n S n b a d n -==+，因为当14n ≤时，0n S >，当15n >时，0n S <，所以当14n ≤时，0n b >，当15n >时，0n b <，所以1272714272702b b T b +=⨯=>，1282812715281421424222b b T a d d +⎛⎫⎛⎫=⨯=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2437d -<<-，所以28T 可能为正数，也可能为负数，所以D 选项不正确．故选：BC ．11．已知圆()()2221:419F x y m m ++=<<与圆()()2222:410F x y m -+=-的一个交点为M ，动点M 的轨迹是曲线C ，则下列说法正确的是（）A ．曲线C 的方程式22110036x y +=B ．曲线C 的方程式221259x y +=C ．过点1F 且垂直于x 轴的直线与曲线C 相交所得弦长为185D ．曲线C 上的点到直线60x y +-=的最短距离为【正确答案】BCD【分析】根据椭圆的定义即可判断A,B 选项，对C ，求出直线4x =-与椭圆的交点，即可得到弦长，对D ，设与直线60x y +-=平行的直线:0l x y t ++=，6t ≠-，求出直线l 与椭圆相切时的方程，再利用平行线之间的距离.【详解】对A,B ，由题意知,12,10MF m MF m ==-,所以1212108MF MF F F +=>=,所以点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，且210a =,28c =,即5,4a c ==,所以3b =,所以曲线C 的方程为221259x y +=,故A 错误，B 正确；对C ，过点1F ,且垂直于x 轴的直线为4x =-,它与曲线C 相交于两点994,,4,55⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以弦长为918255⨯=,故C 正确；对D ，设与直线60x y +-=平行的直线:0l x y t ++=，6t ≠-，由2212590x y x y t ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，得223450252250x tx t ++-=，令()22(50)434252250t t ∆=-⨯-=，解得t =易得t =60x y +-=的距离距离最短，直线l的方程为0x y +=，=故曲线C 上的点到直线60x y +-=的最短距离为，故D 正确.故选：BCD.12．如图，在平行四边形ABCD 中，1,2,60AB AD A ==∠=︒，,E F 分别为,AB AD 的中点，沿EF 将AEF △折起到A EF '△的位置（A '不在平面ABCD 上），在折起过程中，下列说法不正确的是（）A ．若M 是A D '的中点，则//BM 平面A EF 'B ．存在某位置，使BD A C'⊥C ．当二面角A EF B '--为直二面角时，三棱锥A BDE '-外接球的表面积为72πD ．直线A C '和平面ABCD 所成的角的最大值为6π【正确答案】ABD【分析】对于A ，利用反证法，假设结论成立，再利用面面平行推出线面平行，得到矛盾，故A 错；对于B ，同样采用反证法，假设结论成立，利用线线垂直推线面垂直，再结合空间向量，能得到矛盾，故B 错误；对于C ，主要根据题目，判断得到该四面体各个面都是直角三角形，根据外接球性质，即可知道球心位置，从而求解；对于D ，利用线面角，可以判断出当平面A EF '⊥平面ABCD 时，直线A C '和平面ABCD 所成的角的最大，从而求出该角的正切值，即可求解.【详解】取FD 中点Q ，连接MQ BQ 、.若A 正确，//BM 平面A EF '，且MQ 为三角形A FD '中位线，则//MQ A F '，A F '⊂面A FE '，则//MQ 面A FE '，因为,,BM MQ M BM MQ ⋂=⊂平面,MQB所以平面//MQB 平面A FE '，因为面MQB ⋂平面,ABCD QB =面A FE '⋂平面,ABCD EF =所以//BQ FE ，显然，EF 为三角形ABD 中位线，//EF BD ，矛盾，故假设不成立，A错误；以A 为坐标原点，AD 为y 轴正半轴，在平面ABCD 中作与AD 垂直方向为x 轴正半轴，z 轴垂直平面ABCD ，建立空间坐标系.因为60A ∠=，1,12AE AF ==，所以2221cos 22AE AF EF A AE AF +-∠==⋅，所以2EF =，所以222AE EF AF +=，所以AE EF ⊥，即A E EF '⊥，又因为//EF BD ，则A E BD '⊥，若B 正确，则有BD A C '⊥，因为,,A A E A E A C A C '''⋂''=⊂平面A EC '，所以BD ⊥平面A EC '，因为EC ⊂平面A EC '，则BD EC ⊥必定成立.则根据题意，可得1,044E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭、5,,022C ⎫⎪⎪⎝⎭、()0,2,0D 3,,022BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，9,04EC ⎫=⎪⎪⎝⎭，则327388BD EC ⋅=-+= ，即BD EC ⊥不成立，故矛盾，所以B不成立；当二面角A EF B '--为直二面角时，即平面A EF '⊥平面EBD .根据上面可知A E EF '⊥，所以A E BD '⊥，又BD EB ⊥，因为A E EB E '⋂=，,A E EB '⊂平面A EB '，所以BD ⊥平面A EB '，因为A B '⊂平面A EB '，所以BD A B '⊥，故四面体A BDE '-为所有面都是直角三角形的四面体，根据外接球性质可知，球心必为A D '中点K ，即KB 为外接球半径.12A E EB '==，BD，由勾股定理可知2A D '=4KB =，外接球面积为27442ππ⎛= ⎝⎭，故C 正确.当平面A EF '⊥平面ABCD 时，直线A C '和平面ABCD 所成的角的最大，记此时角为θ.由上图可知，在EBC 中，1120,,22EBC EB BC ∠===，由余弦定理222122cos1201222EC ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⨯⨯可解得2EC =.此时12tan 21A EECθ'==.此时6πθ≠，故D 错.故选：ABD 三、填空题13．已知直线3230x y +-=和320x my ++=互相平行，则它们之间的距离是________．【分析】首先利用直线平行求出m ，在结合平行线之间的距离公式即可求解.【详解】当0m =时，直线为320x +=，显然不合题意，则0m ≠，因为3230x y +-=和320x my ++=互相平行，所以得332m-=-，解得2m =.则直线3203220x my x y ++=⇒++=.13=.故答案为.1314．玉璧是我国传统的玉礼器之一，也是“六瑞”之一，象征着吉祥等寓意．穿孔称作“好”，边缘器体称作“肉”．《尔雅•释器》“肉倍好谓之璧，好倍肉谓之瑷，肉好“若一谓之环”．一般把体形扁平、周边圆形、中心有一上下垂直相透的圆孔的器物称为璧．如图所示，某玉璧通高2.5cm ，内孔直径径8cm ．外孔直径16cm ，则该玉璧的体积为______．【正确答案】3120πcm 【分析】分析出该几何体为大圆柱内部挖去一个小圆柱，根据圆柱体积公式进行求解.【详解】由题意可得该几何体为大圆柱内部挖去一个小圆柱，由圆柱体积公式可得：该玉璧的体积为()223π84 2.5120πcm -⨯=．故答案为.3120πcm 15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为______________【正确答案】100101【详解】试题分析：依题意555,15a S ==，易求得11a d ==，所以n a n =，从而11111(1)1n n a a n n n n +==-++，设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为100T ，则100111111110011223100101101101T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.等差数列知识以及特殊数列求和的方法之一：拆项相消法.16．已知点()1,2M ，点P 是双曲线22:1916x y C -=左支上的动点，2F 为其右焦点，N 是圆()22:51D x y ++=的动点，则PM PN -的最小值为________．【正确答案】5-##5-【分析】根据双曲线定义有2||6PF PD -=，则22||PM PF MF ≥-，PN PD DN ≤+，215PM PN PF PD ∴-≥---=-.【详解】因为双曲线的焦点为2(5,0)F ,∴圆D 的圆心0()5,D -,恰好为双曲线的左焦点,226,PF PD MF ∴-===，222PM PF MF PF ≥-=- 当且仅当2,,P M F 三点共线时取等号)，1PN PD DN PD ≤+=+(当且仅当D ,N ,P 三点共线时取等号),215PM PN PF PD ∴-≥---=-||||PM PN -的最小值为5-.故答案为.5-四、解答题17．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．(1)若公比2q =，96n a =，189n S =，求n ；(2)若32:3:2S S =，求公比q ．【正确答案】(1)6(2)1或12-【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得n .（2）根据已知条件列方程，化简求得q .【详解】（1）依题意()()1111296122118912n n nn n a a a S a -⎧=⋅=⎪⎨-==-=⎪-⎩，由于10a ≠，所以两式相除得()11296,1892962121189n n n n --=⋅=--，111151892192296,3296,2322,15,6n n n n n n ----⋅=⋅-⋅===-==.（2）依题意1231232a a a a a ++=+，即22111111312a a q a q q q a a q q ++++==++，2210q q --=，解得1q =或12q =-.18．已知向量(sin cos ,2sin ),(sin cos )a x x x b x x x =+=- ，记函数()()f x a b x R =⋅∈ ．(1)求()f x 的对称轴和单调递增区间；(2)在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c，若()2,==f A a b c +的取值范围．【正确答案】(1)对称轴为()32k x k Z ππ=+∈，,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)(3,【分析】（1）根据向量的数量积、二倍角公式、辅助角公式得()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而可求对称轴方程及单调递增区间；（2）先求得3A π=，再由正弦定理及两角和与差的正弦公式及辅助角公式可得6b c B π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据三角函数可求得范围.【详解】（1）由题意()(sin cos )(sin cos )2sin cos 22=+⋅-+=-+f x x x x x x x x x2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的对称轴为262x k πππ-=+，即()32k x k Z ππ=+∈，单调递增区间满足222262k x k πππππ-+≤-≤+，解得63k x k ππππ-+≤≤+，所以单调递增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．（2）由()2f A =得，3A π=，所以2sin sin sin a b c A B C===，所以2sin 2sin 2sin 2sin 36⎛⎫⎛⎫+=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b c B C B B B ππ，因为ABC 为锐角三角形，故022032B C B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，得62B ππ<<，所以6⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭B π，即b c +的取值范围为(3,．19．如图，点(2,8)A ，11(,)B x y ，22(,)C x y 在抛物线22y px =上，且抛物线的焦点F 是ABC 的重心，M 为BC 的中点.(1)求抛物线的方程和点F 的坐标；(2)求点M 的坐标及BC 所在的直线方程.【正确答案】(1)232y x =；(8,0)F (2)M (11,4)-；4400+-=x y 【分析】(1)将(2,8)A 代入22y px =求得p 值，得到点F 的坐标；(2)设点M 的坐标为()00,x y ，根据2AF FM = 即可求出线段BC 中点M 的坐标；由2112223232y x y x ⎧=⎨=⎩得4BC k =-,再求出直线BC 所在直线的方程.【详解】（1）由点(2,8)A 在抛物线22y px =上，有2822p =⨯，解得16p =.所以抛物线方程为232y x =，焦点F 的坐标为(8,0).（2）由于F 是ABC 的重心，M 是线段BC 的中点，所以2AF FM = ，设点M 的坐标为()00,x y ，则()00(6,8),8,AF FM x y =-=- ，()0062882x y ⎧=-∴⎨-=⎩，解得0011,4x y ==-，所以点M 的坐标为(11,4)-，由2112223232y x y x ⎧=⎨=⎩得()()()21212132y y y y x x +-=-，因为M (11,4)-为为BC 的中点，故128y y +=-，所以21214BC y y k x x -=-=-，因此BC 所在直线的方程为(4)4(11)y x --=--，即4400+-=x y .20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，()()2*112,N n n n S nS n n n n --=+-≥∈；(1)证明：n S n ⎧⎫⎨⎩⎭为等差数列；(2)求数列{}n a 的通项公式；(3)令2n n na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【正确答案】(1)见解析(2)21n a n =+(3)2552n nn T +=-.【分析】（1）变型可得111n n S S n n --=-，从而可得{}n S n 为等差数列；（2）由（1）进而求得2+2n S n n =，根据n a 与n S 的关系可得2+1=n a n ；（3）根据错位相减法即可求解.【详解】（1）因为()()2112n n n S nS n n n ≥--=+-，则有()211n n n S nS n n ---=-，两边同时除以(1)n n -得：111n n S S n n --=-，2n ≥，113S a ==，所以数列{}n S n是以3为首项，1为公差的等差数列，（2）由（1）得3(1)1+2n S n n n=+-⨯=，则2+2n S n n =，当2n ≥时，()221+(1)22211n n n n a S n n n S n -=-=-=---+，11a =符合上述通项式，故2+1=n a n .（3）2+122n n n n a n b ==，23413579212+1222222n n n n n T --=++++++ ①2345113579212+12222222n n n n n T +-=++++++ ②①-②得：23411322222+12222222n n n n T +=+++++- 即111111132+15252212222212n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+-=--，得2552n nn T +=-.21．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠DAB ＝90°AD ∥BC ，AD ⊥侧面PAB ，△PAB 是等边三角形，DA ＝AB ＝2，BC 12AD =，E 是线段AB 的中点.（1）求证：PE ⊥CD ；（2）求PC 与平面PDE 所成角的正弦值.【正确答案】（1）见解析；（2）35（1）先证明AD EP ⊥，再证明AB EP ⊥，又AD AB A ⋂=，推出PE ⊥平面ABCD ，然后证明PE ⊥CD ；（2）以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，推出ED = （2，1，0），EP = （0，，PC = （1，﹣1，，设n = （x ，y ，z ）为平面PDE 的一个法向量，由200n ED x y n EP ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 可以求得n = （1，﹣2，0），设PC 与平面PDE 所成的角为θ，利用35PC n sin cos PC n PC n θ⋅=⋅==⋅ ＜＞，最后得出PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35.【详解】（1）∵AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ，∴AD ⊥EP .又∵△PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点，∴AB ⊥EP .∵AD ∩AB ＝A ，∴PE ⊥平面ABCD .∵CD ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥CD .（2）以E 为原点，EA 、EP 分别为y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则E （0，0，0），C （1，﹣1，0），D （2，1，0），P （0，0.ED = （2，1，0），EP =（0，0，PC = （1，﹣1，.设n = （x ，y ，z ）为平面PDE 的一个法向量.由200n ED x y n EP ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令x ＝1，可得n = （1，﹣2，0）设PC 与平面PDE 所成的角为θ，得35PC n sin cos PC n PC n θ⋅=⋅==⋅ ＜＞所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35.该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线线垂直，利用空间向量求线面角的正弦值，属于中档题目.22．P 为圆()22:236A x y ++=上一动点，点B 的坐标为()2,0，线段PB 的垂直平分线交直线AP 于点Q ．(1)求点Q 的轨迹方程C ；(2)在（1）中曲线C 与x 轴的两个交点分别为1A 和2A ，M 、N 为曲线C 上异于1A 、2A 的两点，直线MN 不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点M 关于原点O 的对称点为S ，若直线1A S 与直线2A N 相交于点T ，直线OT 与直线MN 相交于点R ，证明：在曲线C 上存在定点E ，使得RBE 的面积为定值，并求该定值．【正确答案】(1)22195x y +=(2)证明见解析，256【分析】（1）依题意可得BQ PQ =，即可得到64AQ BQ AB +=>=，根据椭圆的定义得到点Q 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，从求出a 、c 、b ，即可得解；（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，直线MN 的方程为()0,0x my n m n =+≠≠，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，设()00,T x y ，由T 、S 、1A 三点共线及T 、N 、2A 三点共线得到00263x m y n =+，从而得到直线OT 的方程，再联立直线OT 与直线MN 的方程，求出R 在定直线:3l x =-上，要使RBE 的面积为定值，此时点E 一定为过点B 且与直线l 平行的直线2x =与椭圆C 的交点，求出E 点坐标，即可求出三角形的面积.【详解】（1）解： 直线BP 的垂直平分线交直线AP 于点Q BQ PQ ∴=，64AQ BQ AQ PQ AB ∴+=+=>=，∴由椭圆的定义可知，点Q 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，且26a =，24c =3a ∴=、2c =，则b =∴点Q 的轨迹方程为22195x y +=．（2）证明：设()11,M x y 、()22,N x y ，直线MN 的方程为()0,0x my n m n =+≠≠，与椭圆方程联立，得22195x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22259105450m y mny n +++-=，则()221805m 90n ∆=-+>由根与系数的关系得212254559n y y m -=+，1221059mn y y m +=-+，由（1）知()13,0A -，()23,0A ，设()00,T x y，由T 、S 、1A 三点共线得010133y y x x =+-，由T 、N 、2A 三点共线得020233y y x x =--，则000000233x x x y y y +-=+121233x x y y --=+121233my n my n y y +-+-=+12112(3)()m n y y =+-+12122(3)y y m n y y +=+-222(3)9mn m n n =---63m n =+.所以OT 的斜率0033y n k x m +==，则直线OT 的方程为33n y x m +=，联立直线OT 与直线MN 的方程，可得33n y x m x my n+⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得3x =-，因此R 在定直线:3l x =-上，使得RBE 的面积为定值的点E 一定为过点B 且与直线l 平行的直线2x =与椭圆C 的交点，由222195x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得253x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或253x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，此时E 的坐标为2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5或52,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以RBE 的面积15255236RBE S =⨯⨯= ．。
浙江省杭州市七县市2020-2021学年高二上学期期末数学试题
2020学年第一学期期末学业水平测试 高二数学试题卷 考生须知：1.本卷满分120分，考试时间100分钟.2.答题前，在答题卷内填写学校、班级和姓名.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效.4.考试结束，只需上交答题卷.一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分.每小题的四个选项中只有一个是符合题目 要求的） 1.倾斜角为2π的直线的方程可以是（▲） A.10x -=B.10y -=C.0x y -=D.20x y +-=2.直线1:420l ax y -+=与直线2:10l x ay --=平行，则a 的值为（▲） A.2a =±B.2a =C.2a =-D.1a =-3.圆222230x y ax a ++-+=的圆心坐标和半径长依次为（▲）A.(),a ，aB.()a -，aC.(),a ，aD.()a -，a4.“0n m >>”是“方程221y x n m-=表示焦点在y 轴上的双曲线”的（▲） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知直线a ，b ，平面α，β，下列命题：（▲） ①若//a b ，a α⊥，则b α⊥；②若//αβ，a α⊥，则a β⊥； ③若//a α，a β⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，αβ⊥，则//a β其中真命题是（▲） A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④6.如图，三棱台111ABC A B C -的下底面是正三角形1AB BB ⊥，111B C BB ⊥，则二面角1A BB C --的大小是（▲）A.30°B.45°C.60°D.90°7.圆锥的底面直径和母线长都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比是（▲）B.12C.34826=的短轴长为（▲）A.10B.12C.24D.269.一动圆与两圆224x y +=，()2241x y -+=都外切，则动圆圆心的轨迹是（▲）A.抛物线B.椭圆C.双曲线D.双曲线的一支10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（▲）A.4B.8C.12D.1411.已知实数x ，y 满足13y y x x +=4y +-的取值范围是（▲）A.)4⎡⎣B.)4⎡⎣C.2,22⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭D.2,42⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭12.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是AB ，B C 的中点，将△DAE ，△EBF ，△FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若点G 及四面体A DEF '的四个顶点都在同一个球面上，则以△DEF 为底面的三棱锥G -DEF 的高h 的最大值为（▲）2343C.43D.23二、填空题（本题有6小题，13~15题每空3分，16~18题每空4分，共30分）13.已知点()1,1A -，直线:220l x y -+=，则点A 到直线l 的距离是▲；过点A 且垂直于直线l 的直线方程是▲.14.椭圆2214924x y +=的焦点1F ，2F 的坐标是▲；以1F ，2F 为焦点，且离心率的双曲54e =线方程是▲. 15.在正方体1111ABCD A B C D -中，棱1AA 与面对角线1BC 所成角的大小是▲；面对角线1BC 与体对角面11ACC A 所成角的大小是▲.16.设1F 、2F 为双曲线22:14x y C b-=左右焦点，点A 在双曲线C 上，若12AF AF ⊥，且1230AF F ∠=︒，则b =▲.17.设动点P 在直线20x y +-=上，若在圆22:3O x y +=上存在点M ，使得60OPM ∠=︒，则点P 横坐标的取值范围是▲.18．假设太阳光线垂直于平面α，在阳光下任意转动单位立方体，则它在平面α上的投影面面积的最大值是▲.三、解答题（本题有4小题，共54分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.已知抛物线2:2C y px =上的点()()2,0A m m >到准线的距离为4.（1）求p ，m 的值；（2）已知O 为原点，点B 在抛物线C 上，若AOB △的面积为8，求点B 的坐标.20.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB =，AD DC =试证明：（1）1//AB 面1BC D ； （2）11AB BC ⊥21.在底面是菱形的四棱锥S -ABCD 中，已知AB AS ==BS =4，过D 作侧面SAB 的垂线，垂足О恰为棱BS 的中点.（1）证明在棱AD 上存在一点E ，使得OE 上侧面SBC ，并求DE 的长； （2）求二面角B -SC -D 的平面角的余弦值.22.椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为3，焦距为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设(),G m n 是椭圆E 上的动点，过原点О作圆G ：（x-m ）+（y-n ）=3的两条斜率存在的 切线分别与椭圆E 交于点A ，B ，求OA OB +的最大值.2020学年第一学期期末学业水平测试高二数学参考答案及评分标准一、选择题（每小题3分,满分36分）二、填空题（15~17题每空3分，18~20题每空4分，满分30分，）13210x y +-=．14．()5,0±；221169x y -=. 15．45︒；30︒. 16．12+ 17．[]0,2. 18三、解答题（满分54分）19．（本小题满分12分） 解：（1）依题意得242p+=，所以4p =，将()2,A m 代入2y 8x =，得4m =. （2）设()22,4B t t ，直线OA 的方程为20x y -=，则点B 到直线OA 的距离d =OA =，由题意得182⋅=， 解得1t =-或2t =，所以点B 的坐标是()2,4-或()8,8. 20．（本小题满分14分）证明：（1）连1B C 交1BC 于点E ，连DE ,则在1AB C ∆中，,D E 是中点，所以1//AB DE , 又1AB ⊄平面1BC D ，所以1//AB 面1BC D ；（2）方法一：取BC 中点F ，连1,AF B F ,由正三棱柱的性质知AF ⊥侧面11BCC B ，所以1AF BC ⊥,┄┄①在侧面11BCC B 中，1,BC =F 是中点，则11Rt BB C ∆∽1Rt FBB △所以11BC B F ⊥┄┄②,由①②知1BC ⊥面1AB F ，所以11BC AB ⊥.（2）方法二：在正三棱柱中，10AB BB ⋅=，1110BB B C ⋅=,21cos1202AB BC AB BC AB ⋅=⋅⋅︒=-所以，()()21111111110+0AB BC AB BB BB B C AB B C BB ⋅=+⋅+=⋅++22211102AB BC BB AB BB =⋅+=-+=所以，11AB BC ⊥．21．（1）解：连AO ,∵AB AS =，O 是BS 的中点，∴BS AO ⊥, 又DO ⊥面ABS ,∴DO BS ⊥,∴BS ⊥面AOD , 过O 作OE AD ⊥于E ，则BS OE ⊥，又//AD BC ,∴OE BC ⊥， 所以OE ⊥面SBC .在Rt AOD △中，1AO =，2DO =，EO =所以DE =. （2）分别以OA ，OB ，OD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O −xyz ，则()1,0,0A ，()0,2,0B ，()0,2,0S -，()0,0,2D ， 由15AE AD =得点E 的坐标是42,0,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，由（1）知面SBC 的法向量()12,0,1n =，设面SCD 的法向量是()2,,n x y z =，而()1,2,0DC AB ==-，()0,2,2DS =--，由2200n DS n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22020y z x y --=⎧⎨-+=⎩，令1y =，得2x =，1z =-， 即2(2,1,1)n =-， 所以12121230cos ,n n n n n n⋅==， 从而二面角B SC D --的平面角的余弦值为10-．22．解：（1）2ca c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以a =c =1b =所以椭圆E 的标准方程为2213x y += （2）设圆()()2234x m y n-+-=的切线()OA OB 的方程为y kx =， 2=， 整理得()222348340m k mnk n -++-=，其两根12,k k 满足212234=34n k k m --┄┄①这里12=,OA OB k k k k =，且2213m n +=┄┄② 设()11,A x kx ，()22,B x kx，则1OA =，2OB =,这里22211113x k x +=，22222213x k x +=， 所以()2222111213(11=13k OA k x k +=++)，()()22222222231113k OB k x k +=+=+ 由①②得12=k k 13-，则22221222222212121223322222413131339k k OA OB k k k k k k +++=++=+=+++++， 所以+OA OB ≤=OA OB 时取等号.即()max+OA OB注：考虑到椭圆的对称性，只需研究点G 在第一象限的情况，当G 在椭圆顶点()0,1，)处时，易得+OA OB。
杭州市七县(市、区)2016学年第一学期高二期末教学质量检测试卷.doc
杭州市七县（市、区）2016学年第一学期高二期末教学质量检测试卷第一部分听力（略）第二部分阅读理解第一节阅读下列短文，从每题所给的四个选项（A、B、C和D）中选出最佳选项。
（共15题，每小题2分，满分30分）AOn a Friday night, a poor young artist stood at the gate of the New York railway station, playing his violin. The music was so great that many people stopped to put some money into the hat of the young man.The next day, the young artist came to the same place, and put his hat on the ground gracefully. Differentfrom the day before, he took out a large piece of paper and laid it under his hat. Then he began to play theviolin. It sounded more pleasant than ever.Soon he was surrounded with people who were attracted by the words on that paper. It said, "Last night,a gentleman named George Sang put an important thing into my hat by mistake. Please come to claim (认领)it soon."After about half an hour, a middle-aged man rushed through the crowd to the violinist and said, "Yes, it'syou. I knew that you were an honest man and would certainly come here." The young violinist asked calmly,"Are you Mr George Sang?" The man nodded. The violinist asked, "Did you lose something?""It's a lotteryticket," said the man.The violinist took out a lottery ticket on which George Sang's name was seen. "Is it?" he asked. Georgenodded and took the lottery ticket and kissed it, then danced with the violinist. The violinist was a student atan arts college and had planned to attend advanced studies in Vienna. Later his classmate asked the violinist,"At that time you needed money to pay the tuition and you had to play the violin in the railway station everyday to make money. Why didn't you keep the lottery ticket for yourself?"The violinist said, "Although I don't have much money, I live happily. But if I losehonesty I won't behappy forever." Through our lives, we can gain a lot and lose so much. But being honestshould always bewith us.21.What did the young artist do at the railway station on Friday?A.He played the violin to make some money.B. He waited for the train to Vienna.C. He came to buy a train ticket to Vienna.D. He walked around the New York railway station.22. Which of the following statements is true according to the words on the paper?A.The hat belonged to George Sang.B. George Sang had lost something important.C. The young artist needed George Sang’s advice.D. The young artist wanted some money from George Sang.23.From this article,we can learn that ____.A. we should share something valuable with othersB. Playing the violin can make you honestC. It’s acceptable to keep the lottery if you find oneD. Being honest is very important to usBA recent documentary (纪录片) produced by the British Broadcasting Corporation has caused a stir in China and in the UK.The documentary, titled Are Our Kids Tough Enough? Chinese School revolves (以...为主题) around five Chinese teachers who are sent to teach 50 UK teens at a school in Hampshire.The teachers instruct the students for a month. The pupils are then tested, and the results are compared to the ones of those who have continued in the regular UK education system. The idea is to see if the Chinese method improves academic performance.The Chinese teachers use their own teaching methods but receive strong resistance from the students. A clip from the documentary online shows some problems, with Chinese teachers calling their students lazy and lacking in discipline, while the students say the high pressure and harsh teachers are driving them crazy.This has aroused a new debate in both China and the UK, with some arguing the teenagers need more regulation and discipline. Others say Chinese methods encourage rote learning instead of independent thinking. For instance, Chinese language teachers should do more than pass on knowledge about words and characters. They should inspire students, helping them feel the sentiment from Chinese literature. This is a higher level of teaching.Yang Dongping, dean of the 21st Century Education Research Institute, says, "The Chinese teaching methods are designed to strictly train the majority. Foreign teaching methods, however, are more natural and relaxing, and designed to inspire students' interest in learning. Education methods are based on culture. That is why a successful education method in one place maynot work that well when simply 'transplanted' into another place."Yang Dongping says, "The documentary does reflect some problems rooted in traditional Chinese teaching methods. Nobel prize winner, Yang Zhenning, gave a very fair comment onthis issue. He said the Chinese-style education method works for most ordinary qualified students effectively, helping them reach high standards. However, it may compromise the training for high-potential outstanding students."24. Why are five Chinese teachers sent to teach 50 UK teens ?A. To test the intelligence of the UK teens.B. To help the school improve their teaching efficiency.C. To do some practical research into the UK education system.D. To test the effectiveness of Chinese teaching methods.25. What's the meaning of the underlined work "harsh" in the fourth paragraph?A. Extremely strictB. Quite friendlyC. Rather coldD. V ery attractive26. According to Yang Dongping, Chinese teaching methods________.A. Fit all countriesB. Could be improvedC. Are the best in worldD. Are not as good as British methodsCWhere can you find a nice place to relax on holiday for both you and your children? Well, I suggest you try the beautiful and green Isle of Wight (IOW). The Isle of Wight is one of the main tourist attractions. Here is some information on a few of the attractions on the IOW.Dinosaur IsleIt is located in Sandown, a seaside town on the southeast coast. It's a large, lovely museum, both f un and educational. Here you can see a large fossil collection of all kinds of dinosaurs, aswell as a gift shop. You can walk into the past and then the future, learning about the historyand the develop ment of the civilization of dinosaurs that lived 120 million years ago.Robin Hill Country ParkThe park is in the beautiful countryside, and is suitable for children's parties and games. It has five new gardens, and offers great opportunities to see and take pictures of the rare red squirrels.The West of the WightHere we have the Marine Aquarium, the Archaeology Exhibition and the Model Railway. They off er another opportunity to combine entertainment with learning. This is a great place to see ancient boats crossing the narrow strait between the island and the mainland.The Wight Bus MuseumThis museum is run completely by unpaid volunteers. It has a bus collection stored in what was on ce a warehouse (仓库) . Most of the buses in the museum date back to around the 1910's.With all of these choices, what are you waiting for? IOW Tourism welcomes you!27.In Robin Hill Country Park, children can NOT____.A.Have parties.B.Buy gifts.C.Play games.D.Take pictures.28.It can learned from the passage that ____.A. Those running the Wight But Museum work for free.B. On Dinosaur Isle we can learn about all kinds of animals.C. There are five new gardens on Dinosaur Isle.D. Visitors can drive buses in the Wight But Museum.29.The purpose of this passage is to ____.A. Show the development of tourism on the IOWB.tell readers what is worth visitingC. Attract readers to come to the IOWD. advise readers how to relax on holidays30.You can read this article in a ______.A.travel magazineB.science journalC. book reviewD. film advertisement第二节阅读下面短文，请从A-E五个选项中为每一段选择合适的小标题完成31-35小题。
浙江省杭州高中10—11学年高二数学上学期期末考试 理
杭高2022学年第一学期期末考试高二数学试卷(理科)考前须知：1.本卷考试时间90分，总分值100分。
2.本卷所有答案必须答在答题卷上，否那么无效。
不能使用计算器。
一．选择题1．命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，那么〔 〕A.1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC.1sin ,:>∈∃⌝x R x pD. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p 2．复数z a i =+(0,a i >是虚单位)，假设||5z =，那么1z的虛部是〔 〕 A. 13- B. 13i - C. 15i - D. 15-3．当a ＞0时，设命题P ：函数()=+af x x x在区间〔1，2〕上单调递增；命题Q ：不等式210x ax ++>对任意x ∈R 都成立．假设“P 且Q 〞是真命题，那么实数a 的取值范围是 〔 〕 A ． 01<≤aB ．12≤<aC ． 02≤≤aD ．012<<≥或a a4．直线βαβα⊂⊥m l m l ,,,,,且平面，给出以下四个命题：①假设;,//m l ⊥则βα②假设;//,βα则m l ⊥③假设;//,m l 则βα⊥④假设.,//βα⊥则m l其中正确的命题是〔 〕A ．①④B ． ②④C ．①③④D ．①②④5．如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形， 且斜边BD 长为2；侧视图为一直角三角形； 俯视图为一直角梯形，且1==BC AB ,那么异面直线PB 与CD 所成角的正切值是〔 〕。
.A 1 .B 2 .C 12.D 126．,,,S A B C 是球O 外表上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =，那么球O 的外表积等于(球的外表积为24R S π=)〔 〕 A ．4π B ．3π C ．2π D ． π7．直线l 经过A 〔2，1〕、B 〔1，m 2〕(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是A ．),0[πB ．),43[]4,0[πππ⋃ C ．]4,0[πD ．),2(]4,0[πππ⋃8．假设圆221x y +=和224470x y x y ++-+=关于直线l 对称，那么l 的方程是〔 〕.0A x y += .20B x y +-= .20C x y --= .20D x y -+=9. 1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，那么椭圆离心率的取值范围是〔 〕A ．(0,1)B ．1(0,]2 C ．2(0,)2D ．2[,1)2 10．双曲线)0,(12222>=-b a a x b y 的一条渐近线与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 交于点M 、N ，那么MN = 〔 〕A. )(222b a -B. )(222b a +C. a 2D. a +b二．填空题 11．假设复数()12im R m i-∈-在复平面上对应的点位于第一象限，那么m 的取值范围是 。
浙江省杭州市七县市2020-2021学年高二上学期期末数学试卷 (含解析)
数学试卷
一、选择题（共 12 小题）.
1．倾斜角为 的直线的方程可以是（ ）
A．x﹣1＝0
B．y﹣1＝0
C．x﹣y＝0
D．x+y﹣2＝0
2．直线 l1：ax﹣4y+2＝0 与直线 l2：x﹣ay﹣1＝0 平行，则 a 的值为（ ）
A．a＝±2
B．a＝2
C．a＝﹣2
D．a＝﹣1
3．圆 x2+y2+2ax﹣2
＝0 的圆心坐标和半径长依次为（ ）
A．
，a B．
，a C．
，|a| D．
，|a|
4．“n＞m＞0”是“方程
表示焦点在 y 轴上的双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知直线 a，b，平面 α，β，下列命题（ ）
角线 BC1 与体对角面 ACC1A1 所成角的大小是
．
2
；面对
16．设 F1、F2 为双曲线
左、右焦点，点 A 在双曲线 C 上，若 AF1⊥AF2，且
∠AF1F2＝30°，则 b＝
．
17．设动点 P 在直线 x+y﹣2＝0 上，若在圆 O：x2+y2＝3 上存在点 M，使得∠OPM＝60°，
则点 P 横坐标的取值范围是
＝0，即（x+a）2+（y﹣ a）2＝a2，
其圆心为（﹣a， a），半径 r＝|a|， 故选：D．
4．“n＞m＞0”是“方程
表示焦点在 y 轴上的双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 C．充要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
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高二数学（理科）参考答案及评分标准
二、填空题（每小题4分, 满分28分）
11．30x y +-=； 12．2
2
(1)(2)5x y -+-=； 13
．；14．12
2
2
=-x y
；
15．12-；16．
π
2
；17．
3
3π．
三、解答题（满分42分）
18．(本小题10分)
证明：（1）设O AC BD = ，连接OF ，
因为OF 是CAE ∆的中位线，所以
OF AE //， （2分） 所以，//AE 面BDF ； （3分）
（2）因为矩形⊥ABCD R t A B E ∆，所以BC AE ⊥，
又易证AE EB ⊥，所以⊥AE 面EBC （2分） 所以BF AE ⊥ （1分）
又1==BC BE ，F 为CE 中点，所以CE BF ⊥， （1分） 所以⊥BF 面ACE ． （1分）
19．（本小题10分) 解：(1) 12
=-
m m , 所以2=m , 所以，椭圆的标准方程为
12
2
2
=+x
y
；
（4分） （2
）1
2
2
AF F S ∆=
，所以
12||2
2
A x ⋅⋅=
（2分）
取
2
A x =
1A y =±， （2分）
所以，直线l 方程为x y 2=
或x y 2-=． （2分）
另解：设kx y l =:，与椭圆方程联立消去y 整理得2)2(2
2
=+x k ， （2分）
设B A ,坐标分别为),(),,(2211y x y x ，则2
21222k
x x +=
-， （1分）
而焦距等于2，所以212
1F F S =
2
21222k
x x +=
-⋅， （1分）
A
B
C
D
E
F
O
由S 22222
=
+=
k
，解得22=k ，
所以l 方程为x y 2=或x y 2-=． （2分）
20．(本小题10分)
解：（1）4=h ，484363
1=⨯⨯=
V ； （3分）
（2）以底面中心O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则)tan 2,0,0(αa
V , )0,2,2(a a A -,)0,2
,2(a
a D ,
)0,2,2(a a B --,)tan 4
,4,4(αa
a a E -, （2分）
求得平面VAD 的法向量)tan 1
,
1,0(α
=m （1分）
平面BDE 的法向量)tan 2
,
1,1(α
-=n （1分） 而
10
10tan 41tan 11tan 21,cos cos 2
2
2
-
=+⋅+
-
>=
<-=α
α
αβn m （1分）
两边平方解得1tan =α或2, 但0tan
2
12
<-α
, 所以1tan =α,
所以4
π
α=． （2分） (不舍去2tan =α扣1分)
21．(本小题12分)
解：（1）设F T 上的点(,0),(14)Q x x ≤≤
，则||NQ =，
当1x =
时，min
NQ
=
（3分）
（2）当1,5x y ≤≤时，易得2
4y x =； （1分）
C
当14,5x y <≤≤，得1y x =+，即1y x =+； （1分） 当4x >时，必有5y >，所以G T G N =或G T G M =，
即=
=
化简得10x y ++=或10x y -+=，也即1y x =+（4x >）， （1分） 当1,5x y ≤>时，GT GF =，可得2552
y x =
+
，但由15x y ≤⇒<，与题设矛盾；同
理当动点G 在其它区域内也无解。
（1分）
综上得，所求轨迹方程是24y x =（01x ≤≤）和1y x =+（1x ≥）．（1分） （3）若L 上存在),(),,(2211y x B y x A (其中21y y >)两点关于直线12
+-=x y 对称, 则可设直线AB 方程为n x y +=2, 直线AB 和12
+-
=x y 交与点24(
(1),
)5
5
n H n +-,
情况① 若B A ,都在抛物线段上，联立n x y +=2和x y 42=消元得0222=+-n y y ，
所以5
412
2
1+=
=+n y y ，解得1=n ，但此时方程0222=+-n y y 无解，不符；（1
分）
情况② 若A 在直线1+=x y 上，而B 都在抛物线段上，则易求得)2,1(n n A --，而
n y 2112--
=，代入5
42
2
1+=+n y y 得方程n n 21577--=-无解，不符；（1
分）
情况③ 若A 在直线1+=x y 上，而B 在直线1--=x y 上，则解得)2,1(n n A --，
)32,31(-+-
n n B ，所以代入5
4221+=+n y y 解得41
-=n ，但此时12->y 不符。
（1分）
综上所述，L 上不存在两点关于直线12
+-=x y 对称。
（1分）。