人教版高中数学必修1课件1.1.1 集合的含义与表示 (共19张PPT)
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人教版高中必修一1.1.1《集合的含义与表示》课件
新知探索
跟进练习
判断以下元素的全体能否组成集合，并说明理由：
（1） 大于3小于11的偶数；
（能）
理由：大于3小于11的偶数有4、6、8、10，其对象是确定的。
（2） 我国的小河流；
（不能）
理由：何谓“小”，没有具体的标准，组成它的元素是不确定的。
（3） 著名的数学家；
（不能）
理由：何谓“著名”，没有明确的标准，组成它的元素是不确定的。
新知探索
一般地，我们把研究对象统称为元素；把一些元素组成的 总体叫做集合（简称为集）；
通常用大写拉丁字母A,B,C…表示集合，用小写拉丁文字母 a,b,c…表示集合中的元素.
思考：上述6个实例中每个集合中的元素分别是什么？
新知探索
探究2 集合中元素的特征
（1）确定性：设A是一个给定的集合，a是某一个具体对象， 则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只 有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不 相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元 素。 （3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。 （4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
再画一 条竖线
一般情势是： {x∈I | P(x}.
在竖线后写出 这个集合中的 元素所具有的 共同特
注意: 如果从上下文的关系来看， x∈R ， x∈Z 是明确的，那么
x∈R ， x∈Z 可以省略，只写其元素x.
新知探索
想一想
列举法和描述法各有什么优缺点？
列举法： 优点：一目了然，清楚可见 缺点：不容易看出元素所具有的特征性质 描述法： 优点：突出元素所具有的属性 缺点：不容易看出集合的具体元素
人教版高中(必修一)数学1.1.1集合的含义与表示 ppt课件
集合的有关概念：
元素(element)---我们把研究的对象 统称为元素 集合(set)---把一些元素组成的总体叫 做集合, 简称集. 一般用大括号”{ }”表示集合,也常用 大写的拉丁字母A、B、C…表示集合.用小 写的拉丁字母a,b,c…表示元素。
思考2：试列举一个集合的例子，并指出 集合中的元素. 思考3：组成集合的元素所属对象是否有限制？ 集合中的元素个数的多少是否有限制？
自然数集（非负整数集）：记作 N 正整数集：记作 整数集：记作 Z 有理数集：记作 Q 实数集：记作 R
N
*
或 N
练一练： 用符号“∈”或“ ”
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
填空：（口答） ∈ 3.14_______Q 课本P5练习1 π_______Q ∈ 0_______N 0_______N+ ∈ (-0.5)0_______Z ∈ 2_______R
Z1 0 x 2 0 Ｂ＝｛ x ｝
用列举法表示为 Ｂ＝ { 11,12,13,14,15,16,17,18,19｝
Venn图：形象
直观
a,b,c…
１１,１２,１３,１４,１５,１６,１７,１８,１９
随堂练习 用适当的方法表示下列集合： （1）绝对值小于3的所有整数组成的集合；
{-2，-1，0，1，2}或 { x Z ||x | 3 } （2）在平面直角坐标系中以原点为圆心，1为半径的圆 周上的点组成的集合；
x R| x 5
}；
（2）{ x R| | x | 2 }
知识探究（六） 思考4：这种表示集合的方法叫什么名称？ 用集合中所含元素的共同特征表示集合的方法称 为描述法. 思考5：描述法表示集合的基本模式是什么？ 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符 合及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖 线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. {x︱p(x)}
高中一年级数学必修1第一章 集合与函数的概念1.1 集合第一课时PPT课件
方法二(自然语言):用文字语言来描述出的集合,例如“所有的正方 形”组成的集合等等.
3．元素与集合的关系
“属于”和“不属于”分别用“∈”和“”表示.
-5-
4．集合元素的性质 （1）确定性:即任给一个元素和一个集合,那么这 个元素和这个集合的关系只有两种:这个元素要么属 于这个集合,要么不属于这个集合 （2）互异性:一个给定集合的元素是互不相同的, 即集合中的元素是不重复出现的 （3）无序性:集合中的元素是没有顺序的 （4）集合相等：如果两个集合中的元素完全相同 ,那么这两个集合是相等的.
解 ： (1) 设 小 于 10 的 所 有 自 然 数 组 成 的 集 合 为 A, 那 么 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么B={0,1}. (3) 设 由 1~20 以 内 的 所 有 质 数 组 成 的 集 合 为 C, 那 么 C={2,3,5,7,11,13,17给对象不能构成集合的是( ) A.一个平面内的所有点 B.所有大于零的正数 C.某校高一(4)班的高个子学生 D.某一天到商场买过货物的顾客
答案：C
-11-
2.用另一种形式表示下列集合: (1){绝对值不大于3的整数}; (2){所有被3整除的数}; (3){x|x=|x|,x∈Z且x<5}; (4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z}; (5){(x,y)|x+y=6,x>0,y>0,x∈Z,y∈Z}.
-12-
3.已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},若A中至少有一个元素,求a的 取值范围.
解：当 a=0 时,原方程为-3x+2=0 x= 2 ,符合题意; 3
3．元素与集合的关系
“属于”和“不属于”分别用“∈”和“”表示.
-5-
4．集合元素的性质 （1）确定性:即任给一个元素和一个集合,那么这 个元素和这个集合的关系只有两种:这个元素要么属 于这个集合,要么不属于这个集合 （2）互异性:一个给定集合的元素是互不相同的, 即集合中的元素是不重复出现的 （3）无序性:集合中的元素是没有顺序的 （4）集合相等：如果两个集合中的元素完全相同 ,那么这两个集合是相等的.
解 ： (1) 设 小 于 10 的 所 有 自 然 数 组 成 的 集 合 为 A, 那 么 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么B={0,1}. (3) 设 由 1~20 以 内 的 所 有 质 数 组 成 的 集 合 为 C, 那 么 C={2,3,5,7,11,13,17给对象不能构成集合的是( ) A.一个平面内的所有点 B.所有大于零的正数 C.某校高一(4)班的高个子学生 D.某一天到商场买过货物的顾客
答案：C
-11-
2.用另一种形式表示下列集合: (1){绝对值不大于3的整数}; (2){所有被3整除的数}; (3){x|x=|x|,x∈Z且x<5}; (4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈Z}; (5){(x,y)|x+y=6,x>0,y>0,x∈Z,y∈Z}.
-12-
3.已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},若A中至少有一个元素,求a的 取值范围.
解：当 a=0 时,原方程为-3x+2=0 x= 2 ,符合题意; 3
必修1课件1.1.1集合的含义与表示
集合论是现代数学的基础，康托在研究函数论时产生了探 索无穷集和超穷数的兴趣。康托肯定了无穷数的存在，并对无 穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为 现代数学的发展打下了坚实的基础。
1. 我们以前已经接触过的集合
自然数集合，正分数集合，有理数集合；
到角的两边的距离相等的所有点的集合； 是角平分线 到线段的两个端点距离相等的所有点的集合； 是线段垂直平分线
例2 试用列举法和描述法表示下列集合:
(1)方程x 2 2 0的所有实数根组成的集合;
(2) 由大于10小于20的所有整数组成的集合.
(2)设大于10小于20的整数为x, 它满足条件x Z 且10 x 20, 因此, 用描述法表示为 B {x Z | 10 x 20}. 大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18 , 19, 因此, 用列举法表示为 B {11,12,13,14,15,16,17,18,19}.
描述法有两种表述形式： 1.数式形式:在花括号内先写上表示这个集合元素 的一般符号及以取值(或变化)范围,再画一条竖线, 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 形式如：{xxxx|xxxxxxxxx} 如由不等式x-3＞2的所有解组成的集合，可表示 为 {x|x-3＞2}； 由直线y=x+1上所有的点的坐标组成的集合，可 表示为 {(x,y)| y=x+1 }。
(1)方程x 2 0的所有实数根组成的集合;
2
解 : (1)设方程x 2 0的实数根为x, 并且满足条
2
件x 2 2 0, 因此, 用描述法表示为 A {x R | x 2 2 0}. 方程 x 2 2 0有两个实数根 2 , 2 , 因此, 用列举法表示为A { 2 , 2}.
人教版高一数学必修一1.1.1《集合的含义与表示》课件ppt
一、引入
在生活中，有许多事物给我们以集体的印 象，比如，你的家庭；你所在的班级；山东 省的所有城市，等等，你还能举出一些这样 的例子吗？
仙居中学2012届新高一的全体同学； 仙居中学2012届高一（7）班全体女同学。
蓝蓝的天空中，一群鸟在欢快的飞翔
茫茫的草原上，一群羊在悠闲的走动
清清的湖水里，一群鱼在自由地游动；
思考3：高一19班的全体同学组成一个集合，调整座位 后这个集合有没有变化？由此说明什么？
集合中的元素是没有顺序的
总结出集合的三大性质： ①确定性； ②互异性； ③无序性。
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素 或者在这个集合里，或者不在，不 能模棱两可。
（2）互异性：集合中的元素没有重复。
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通 常用正常的顺序写出）
高中必修一：Chap 1
1.1.1 集合的含义与表示
思考问题： (1)上面这些图画都给我们什么样的印象?
动物生活在一起——有群居的特点。
(2)初中时,我们有学习到与“集合”有关的 内容吗？
自然数的集合、有理数的集合、不等式x－7≤3 的解的集合、到定点的距离等于定长的点的集合 （即球面）、到定直线的距离等于定长的点的集 合（即圆柱面）
－－－－－
二、集合的概念
1、集合的概念
一般地，把研究的对象称为元素(element)；通 常用小写拉丁字母a，b，c，…，表示；把一些 元素组成的总体叫做集合(set), 简称集; 通常用大 写拉丁字母A，B，C，…,表示.
练习1、请指出下列集合中的元素：
（1）“young”中的字母构成一个集合，该集合的元 素是 y，o，u，n，g五个字母
记பைடு நூலகம்．
人教A版必修一 第一章 第1节 1.1.1 集合的含义与表示 (共18张PPT)
思考6：某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？由 此说明什么？ 集合中的元素必须是确定的
思考7：在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此 说明什么？ 集合中的元素是不重复出现的 思考8：1513班的全体同学组成一个集合，调整座位后 这个集合有没有变化？由此说明什么？
集合中的元素是没有顺序的
课题：1.1.1集合的含义与表示
课题：1.1.1集合的含义与表示
踏实地走好每一步，共同携手，打造更辉煌的明天。
六、集合的表示方法 ： ２．描述法：用集合所含元素的共同特征表示 集合的方法.
王新敞
奎屯 新疆
格式：{x∈R| P（x）}
王新敞
奎屯 新疆
王新敞
奎屯
新疆
含义：在集合R中满足条件P（x）的x的集合
例如，不等式 x 3 2 的解集可以表示为：{x R | x 3 2} 或 {x | x 3 2}
一、集合的含义
观察下列实例：
⑴１到20以内的所有质数;
⑵我国从1996到2008年的13年内所发射的所有人造卫星; ⑶金星汽车厂2008年生产的所有汽车; ⑷2009年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家; ⑸所有的正方形; ⑹到直线的 l 距离等于定长d所有的点; ⑺方程 x 2 3x 2 0 的所有实数根;
课题：1.1.1集合的含义与表示
踏实地走好每一步，共同携手，打造更辉煌的明天。
五、集合的表示方法 ：
１． 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在
大括号内表示集合。
注：有些集合亦可如下表示： （１）从51到100的所有整数组成的集合： （２）所有正奇数组成的集合：
{51，52，53，…，100}
{1，3，5，7，…}
人教版高一数学必修一1.1.1《集合的含义与表示》ppt课件
意调换。
4.集合与元素的关系:
如果a是集合A的元素，就说a属于 集合A，记作 a∈A.
如果a不是集合A的元素，就说a 不属于集合A，记作 aA.
例如：A表示方程x2＝1的解. 则 2A，1∈A.
重要的数集:
N：自然数集(含0)
N+：正整数集(不含0) Z：整数集
Q：有理数集
R：实数集
一个渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不 明白集合的定义。于是，他请教数学家： “尊敬的先生，请告诉我，什么是集合？”
然而集合是不加定义的概念，数学家很难回 答那位渔民。
但是有一天，数学家来到渔民的船上， 看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼虾在 网中跳动。他非常激动，高兴地告诉渔民： “这就是集合！”你能理解数学家的话吗？
讨论：应如何根据问题选择适当的集 合表示方法？
一般，列举法适用于有限集，而且所 含元素的个数不多；描述法适用于无限集。
练习 ：P5 2 P11 2
课堂小结
1.集合的定义 2.集合元素的性质 3.集合与元素的关系 4.集合的表示
课后作业
教科书P12 习题1.1 第3、4题
我们重点学习数集和点集。
例１ 用列举法表示下列集合：
（１）小于１０的所有自然数组成的集合；
解：设小于１０的所有自然数组成的集合 为Ａ，那么 Ａ＝｛０，１，２，３，４，５，６， ７，８，９｝
注：由于集合元素具有无序性，所以 集合Ａ可以有不同的列举方法
（２）方程 x x2 的所有实数根组成的
集合；
④的近似值 ⑤高一年级优秀的学生
⑥所有无理数 ⑦大于2的整数
⑧正三角形全体
A. ②③④⑥⑦⑧ B. ②③⑥⑦⑧
C. ②③⑥⑦
4.集合与元素的关系:
如果a是集合A的元素，就说a属于 集合A，记作 a∈A.
如果a不是集合A的元素，就说a 不属于集合A，记作 aA.
例如：A表示方程x2＝1的解. 则 2A，1∈A.
重要的数集:
N：自然数集(含0)
N+：正整数集(不含0) Z：整数集
Q：有理数集
R：实数集
一个渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不 明白集合的定义。于是，他请教数学家： “尊敬的先生，请告诉我，什么是集合？”
然而集合是不加定义的概念，数学家很难回 答那位渔民。
但是有一天，数学家来到渔民的船上， 看到渔民撒下渔网，轻轻一拉，许多鱼虾在 网中跳动。他非常激动，高兴地告诉渔民： “这就是集合！”你能理解数学家的话吗？
讨论：应如何根据问题选择适当的集 合表示方法？
一般，列举法适用于有限集，而且所 含元素的个数不多；描述法适用于无限集。
练习 ：P5 2 P11 2
课堂小结
1.集合的定义 2.集合元素的性质 3.集合与元素的关系 4.集合的表示
课后作业
教科书P12 习题1.1 第3、4题
我们重点学习数集和点集。
例１ 用列举法表示下列集合：
（１）小于１０的所有自然数组成的集合；
解：设小于１０的所有自然数组成的集合 为Ａ，那么 Ａ＝｛０，１，２，３，４，５，６， ７，８，９｝
注：由于集合元素具有无序性，所以 集合Ａ可以有不同的列举方法
（２）方程 x x2 的所有实数根组成的
集合；
④的近似值 ⑤高一年级优秀的学生
⑥所有无理数 ⑦大于2的整数
⑧正三角形全体
A. ②③④⑥⑦⑧ B. ②③⑥⑦⑧
C. ②③⑥⑦
人教版必修一第一章《集合的含义与表示》课件(共17张PPT)
确定性
特征
集合 表示方法 分类
互异性 无序性 列举法 描述法 有限集 无限集 空集
常用数集：N,N+,Z,Q,R
可简记为{x|3<x<10}
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合 的方法叫描述法.
不等式x-32>0的解集用描述法可表示为 A={x|x>32} 方程x2+2x=0的解集用描述法可表示为 B={x|x2+2x=0}
注意点的 在平面直角坐标系中第二象限的点构成的集合，用描 述法可表示为 C={(x，y)|x<0,且y>0} 集合形式
集合的分类
含有限个元素的集合叫有限集
如集合A={-2，3}
含无限个元素的集合叫无限集
如集合Z 在实数集R内，方程x2+2=0的解集合如何？ 2 {x∈R| x +2=0}没有任何元素
不含有任何元素的集合叫作空集，记作
练习 1、用适当的方法表示下列集合： （1）小于20的素数组成的集合； （2）方程 x2-4=0 的解的集合； （3）由大于3小于9的实数组成的集合； （4）所有奇数组成的集合 2、下列四个集合中，空集是（ B ） A.{0} B.{ x|x>8,且x<5} C.{x∈N|x2-1=0} D.{x|x>4}
B={2，3，5，7}
集合的表示方法 把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的 方法叫列举法
大括号不能缺失 a与{a}有什么区别？
是一个元素 是一个集合
A={太湖，洪泽湖} B={2，3，5，7}
集合的表示方法
但是有时我们无法将集合中的元素一一列举出来 .例 如，大于3小于10的实数组成的集合，我们用 {x∈R|3<x<10} 若一个集合中的元素都是在实数范围内
特征
集合 表示方法 分类
互异性 无序性 列举法 描述法 有限集 无限集 空集
常用数集：N,N+,Z,Q,R
可简记为{x|3<x<10}
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合 的方法叫描述法.
不等式x-32>0的解集用描述法可表示为 A={x|x>32} 方程x2+2x=0的解集用描述法可表示为 B={x|x2+2x=0}
注意点的 在平面直角坐标系中第二象限的点构成的集合，用描 述法可表示为 C={(x，y)|x<0,且y>0} 集合形式
集合的分类
含有限个元素的集合叫有限集
如集合A={-2，3}
含无限个元素的集合叫无限集
如集合Z 在实数集R内，方程x2+2=0的解集合如何？ 2 {x∈R| x +2=0}没有任何元素
不含有任何元素的集合叫作空集，记作
练习 1、用适当的方法表示下列集合： （1）小于20的素数组成的集合； （2）方程 x2-4=0 的解的集合； （3）由大于3小于9的实数组成的集合； （4）所有奇数组成的集合 2、下列四个集合中，空集是（ B ） A.{0} B.{ x|x>8,且x<5} C.{x∈N|x2-1=0} D.{x|x>4}
B={2，3，5，7}
集合的表示方法 把集合中的元素一一列举出来写在大括号内的 方法叫列举法
大括号不能缺失 a与{a}有什么区别？
是一个元素 是一个集合
A={太湖，洪泽湖} B={2，3，5，7}
集合的表示方法
但是有时我们无法将集合中的元素一一列举出来 .例 如，大于3小于10的实数组成的集合，我们用 {x∈R|3<x<10} 若一个集合中的元素都是在实数范围内
高中数学人教版必修1课件：1.1.1集合的含义及表示
（1）由 x2 x 2 0 的解组成集合.
{x | x2 x 2 0} {x | x 2或x 1} ={2，1}
（2）1,
1 2
,
1 3
,
1 4
,
={x |
x
1 n
, n Z}
(3)
方程组
3x 2x
2y 3y
2 27
的解集.
={( x,
y)
|
3x 2x
2y 3y
2 }
02345
x
五、回 顾
• 知识回顾 • 集合与元素的定义
• 元素的性质
• 集合的表示
• 数学思想之分类讨论
1、设集合A={1，a，b}， B={a，a2，ab} 且A=B，求实数a，b。
2:1∈{a+2,(a+1)2,a2+3a+3}, 求实数a的值.
3、已知集合{x|ax2+2x+1=0} 只含一个元素，求a的值。
任意性
（1）集合中的元素有属性要求吗？
（2）所有素养好的人能否组成一个集确合？定性
（3）1223中的数字组成的集合中有几互个元异素性？
（4）小明到商店先买了a又买了b，小红到商店
先买了b又买了a。问小明买的东西组成的集合
与小红买的东西组成的集合一样吗？ 无序性
随堂练习
[练习1] 下面各组对象能否构成集合？ （1）所有的好人；（2）小于2003的数； （3）和2003非常接近的数。 （4）立方根等于自身的数
(3)抛物线 y x2 上点的纵坐标. {y | y x2}
3.2 一般集合的表示
⑶ 韦恩图法：就是用一条封闭的曲线的 内部来表示集合的方法. 图1-1表示任意一个集合A； 图1-2表示集合{1，2，3，4，5}.
{x | x2 x 2 0} {x | x 2或x 1} ={2，1}
（2）1,
1 2
,
1 3
,
1 4
,
={x |
x
1 n
, n Z}
(3)
方程组
3x 2x
2y 3y
2 27
的解集.
={( x,
y)
|
3x 2x
2y 3y
2 }
02345
x
五、回 顾
• 知识回顾 • 集合与元素的定义
• 元素的性质
• 集合的表示
• 数学思想之分类讨论
1、设集合A={1，a，b}， B={a，a2，ab} 且A=B，求实数a，b。
2:1∈{a+2,(a+1)2,a2+3a+3}, 求实数a的值.
3、已知集合{x|ax2+2x+1=0} 只含一个元素，求a的值。
任意性
（1）集合中的元素有属性要求吗？
（2）所有素养好的人能否组成一个集确合？定性
（3）1223中的数字组成的集合中有几互个元异素性？
（4）小明到商店先买了a又买了b，小红到商店
先买了b又买了a。问小明买的东西组成的集合
与小红买的东西组成的集合一样吗？ 无序性
随堂练习
[练习1] 下面各组对象能否构成集合？ （1）所有的好人；（2）小于2003的数； （3）和2003非常接近的数。 （4）立方根等于自身的数
(3)抛物线 y x2 上点的纵坐标. {y | y x2}
3.2 一般集合的表示
⑶ 韦恩图法：就是用一条封闭的曲线的 内部来表示集合的方法. 图1-1表示任意一个集合A； 图1-2表示集合{1，2，3，4，5}.
人教版高中数学必修一1.1.1集合的含义与表示 (1)ppt课件
1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。1873年他估计，虽然全体 有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数 一个性质》中证明了他的估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越 存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。
康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应 穷集的特征。
康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在1879～1884年发表的 于无穷线性点集》论文6篇，其中5篇的内容大部分为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了 序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少 讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证明。
1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在 讲师，1872年任副教授，1879年任教授。
大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷 学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在187 的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质 对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。
§1.1.1集合的含义和表示
集合的含义与表示
德国数学家，集合论的创始者。 1845年3月3日生于圣彼得堡 （今苏联列宁格勒），1918年 1月6日病逝于哈雷。
了解康托尔
康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应 穷集的特征。
康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在1879～1884年发表的 于无穷线性点集》论文6篇，其中5篇的内容大部分为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了 序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少 讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证明。
1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在 讲师，1872年任副教授，1879年任教授。
大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷 学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在187 的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质 对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。
§1.1.1集合的含义和表示
集合的含义与表示
德国数学家，集合论的创始者。 1845年3月3日生于圣彼得堡 （今苏联列宁格勒），1918年 1月6日病逝于哈雷。
了解康托尔
人教A版高中数学必修一第一章： 1.1.1 集合的含义与表示 课件(共30张PPT)
学以致用
1.判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:
(1) 大于3小于11的偶数;
(2) 我国的小河流.
【提示】（1）是由4,6,8,10四个元素组成的集合. （2）由集合元素的确定性知其不能组成集合.
启示：任何集合的元素都不能违背确定性、互异性、
无序性.我们还可以用这些性质继续去探求集合与
元素的关系.
第一章 集合与函数概念
1.1.1 集合的含义与表示
2020/7/6
1
情景导学
情景1：“集合”是日常生活中的一个常用词，现代汉语
解释为:许多的人或物聚在一起.
康托尔（G.Cantor,1845-1918）. 德国数学家，集合论创始人.人们把康 托尔于1873年12月7日给戴德金的信中 最早提出集合论思想的那一天定为集 合论诞生日.
2020/7/6
5
问题探究
探究1 ：元素与集合的概念
看下面几个例子，概括它们有何共同特点？ （1）100以内所有的偶数. （2）金星汽车厂2016年生产的所有汽车. （3）2017年1月1日之前与中华人民共和国建立 外交关系的所有国家.
2020/所有的正方形.
（5）到直线l的距离等于定长d的所有的点.
x2 （ 36）x 方2程 0
的所有实数根.
（7）南宫中学2017年8月入学的所有的高一学生.
共同特点：都指“所有”，即研究对象的全体.
2020/7/6
7
归纳总结
一般地， 我们把研究对象统称为元素（element）. 通常用小写拉丁字母a,b,c,...来表示.
我们把一些元素组成的总体叫做集合（set）(简称为集). 通常用大写拉丁字母A,B,C,...来表示.
人教版高中数学必修一1.1.1_集合的含义与表示ppt课件
a∉A.
A，记作属于 . A，记不作属于
高一(1)班的学生组成集合A，a是高一(1)班的学生，b不是高一(1)班的学生 a与A，b与A之间有何关系？ 提示：a∈A b∉A
Hale Waihona Puke 3．几种常用的数集及记法N
N*或N＋
Z
Q
用“∈”或“∉”填空． 2________N； 2________Q；12________R； －3________Z；0________N*；5________Z. 提示：∈ ∉ ∈ ∈ ∉ ∈
[解] ∵1∈A，∴a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3都可能等于1. ①若a＋2＝1，则a＝－1，此时A中的元素为1,0,1与集合中元素的互异性矛盾 故舍去； ②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2， 当a＝0时，A＝{2,1,3}适合题意， 当a＝－2时，A中的元素为0,1,1与集合中元素的互异性矛盾，舍去， ③若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2，由①②知都不合题意，舍去． 综上所述，a＝0.
的、 确定 的．互不相同
(1)“高一(2)班1.78米以上的同学”、“16岁的少年”、 “大于1的数”能构成一个集合吗？ 提示：能构成集合．
(2)“高一(2)班的高个子同学”、“年轻人”、“帅哥”、 “接近0的数”能构成集合吗？ 提示：不能构成集合．
2．元素与集合的关系 (1)如果a是集合A中的元素，就说a (2)如果a不是集合A中的元素，就说a
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
A，记作属于 . A，记不作属于
高一(1)班的学生组成集合A，a是高一(1)班的学生，b不是高一(1)班的学生 a与A，b与A之间有何关系？ 提示：a∈A b∉A
Hale Waihona Puke 3．几种常用的数集及记法N
N*或N＋
Z
Q
用“∈”或“∉”填空． 2________N； 2________Q；12________R； －3________Z；0________N*；5________Z. 提示：∈ ∉ ∈ ∈ ∉ ∈
[解] ∵1∈A，∴a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3都可能等于1. ①若a＋2＝1，则a＝－1，此时A中的元素为1,0,1与集合中元素的互异性矛盾 故舍去； ②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2， 当a＝0时，A＝{2,1,3}适合题意， 当a＝－2时，A中的元素为0,1,1与集合中元素的互异性矛盾，舍去， ③若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2，由①②知都不合题意，舍去． 综上所述，a＝0.
的、 确定 的．互不相同
(1)“高一(2)班1.78米以上的同学”、“16岁的少年”、 “大于1的数”能构成一个集合吗？ 提示：能构成集合．
(2)“高一(2)班的高个子同学”、“年轻人”、“帅哥”、 “接近0的数”能构成集合吗？ 提示：不能构成集合．
2．元素与集合的关系 (1)如果a是集合A中的元素，就说a (2)如果a不是集合A中的元素，就说a
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
新人教版必修一1.1.1集合的含义与表示课件
(4) (6)
2 3
N+ R
(2)互异性：集合中的元素必须 是互不相同的. (3)无序性：集合中的元素是无 先后顺序的． 集合中的任何两 个元素都可以交换位置.
思考：如何判定两个集合相等？
2．写出集合的元素，并用符号表示下 列集合： (1)方程x² -9= 0的解的集合； (2)大于0且小于10的奇数的集合； 列举法：把集合的元素一一列出来 写在大括号的方法．
例如，图1-1表示任意一个集合A；
A 图1-1
1,2,3, 5, 4.
图1-2
集合的表示方法
（1）列举法：把集合的元素一一 列举出来写在大括号的方法． （2）描述法：用确定条件表示某 些对象是否属于这个集合的方法．
基本格式：{代表元素/代表元素的属性(或条件)}
（3）图示法．
集合的分类
⑴有限集：含有有限个元素的集合．
⑵无限集：含有无限个元素的集合．
⑶空 集：不含任何元素的集合. 记作．
5．例题讲解
例1：在数集｛2 x , x² -x}实数x 的取值范围是＿_____＿
x≠0且x≠3
取值范围还可以用集合表示，如何表示？
练习 判断下列说法是否正确：
(1) {x2,3x+2,5x3-x}即{5x3-x,x2,3x+2}√
1 、 2 1
1 3
2
与集合A之间的关系。
2．用符号表示下列集合，并写出其元素：
(1) 12的质因数集合A；
(2) 大于
11
且小于
的整数集B;
29 (3)平面直角坐标系第二象限的点集C；
(4)以方程x² -2x+1=0的解为元素的集合D.
3、区分下列集合：
人教版数学必修一课件 1.1.1集合的含义与表示
9
10
导图
11
• 借助一些几何形状来帮助表示集合的方法， 叫做图示法，也称为“韦恩图”。
• 图示法主要用于集合的运算中，很少用图 示法单纯表示集合。
太平洋 大西洋 印度洋 北冰洋
01234 56789
12
• 例1. 已知集合S={a,b,c}中的三个元素分别是△ ABC的三边 长,那么△ABC一定不是( )
• 互异性: 一个给定集合的元素是互不相同的. 集合中的元素是不重复出现的.
• 无序性: 在给定集合中的元素之间没有顺序 关系,即集合中的元素相互交换顺序所得的 集合与原来的集合是同一个集合.
• 集合相等：如果构成两个集合的元素是一 样的，我们就称这两个集合是相等的. 导 图
4
元素与集合的关系
• 1. 表示：元素用小写字母，如a—读作“元素a”
• 例7.已知集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A只 有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示 集合A.
14
• 例8.定义集合运算:A☉B={z|z=xy·(x+y),x∈A,y∈B}.
设A={0,1},B={2,3},则集合A☉B的所有元素之和为( )
• A.0 B.6
C.12 D.18
• 空集：如果一个集合不含任何元素，我们就把这 个集合叫做空集，用符号“Ø”表示。
导图
6
• 1、列举法表示的集合的种类 • (1)元素个数有限，可以全部列举出来； • (2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中
间用省略号表示； • (3)元素个数无限，但有规律时，可类似(2)的
方法表示。
7
导图
8
•
集合用大写字母，如A—读作“集合A”
【人教版】数学高中必修一：《集合的含义与表示》ppt课件
讲授新课
2. 集合元素的三个特征 问题： （1）A={1，3}，问3、5哪个是A的元素？ （2）A={所有素质好的人}，能否表示为集合？
B={身材较高的人}呢？ （3）A={2，2，4}，表示是否准确？ （4）A={太平洋，大西洋}，B={大西洋，太平洋}，
是否表示为同一集合？
由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征：
讲授新课
1．集合含义 通过以上实例，指出：
（1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素 （element），把一些元素组成的总体叫做集合 (set)（简称为集）。
说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的 概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述， 不可定义。
（2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉 丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母 a,b,c…表示。
1、确定性：设A是一个给定的集合，a是某一具体的对象，则a或者是A的元素， 或者不是A的元素，两种情况必有一种而且只有一种成立。
2、互异性：即同一集合中不应重复出现同一元素
3、无序性: 即集合中的元素无顺序,可以任意排列,调换.
讲授新课
常见数集的专用符号 N：非负整数集（自然数集）. N*或N+:正整数集，N内排除0的集. Z: 整数集 Q：有理数集. R：全体实数的集合。
对象是否是给定集合的元素，互异性可用于简化 集合的表示，无序性可用于判定集合的关系。 3.常见数集的专用符号.
：
课后作业
书面作业 1.教材P11，习题1.1 A组第1题
2.由实数-a, a, ,2, -5为元素组成的集合中,最多有几个元 素?分别为什么?
3.求集合{2a, a2 a }中元素应满足的条件?
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（3）图示法．
集合的分类
⑴ 有限集：含有有限个元素的集合; ⑵ 无限集：含有无限个元素的集合; ⑶ 空 集：不含任何元素的集合,
记作
．
举例 下面各组对象能否构成集合？ （1）高个子的人； （2）小于2013的数； （3）和2013非常接近的数.
举例
判断下列说法是否正确：
(1) {x2,3x+2,5x3-x}即{5x3-x,x2,3x+2}； √
1.1.1 集合的 含义与表示
定义 一般地,把研究对象统称为元素， 把一些元素组成的总体叫做集合 （set）(简称为集). 你可以从客观世界中找出一些集
合的例子吗？
定义
集合的表示法:
用大写拉丁字母A,B,…表示集合； 用小写字母a,b ,…表示集合中的元素.
定义
集合元素的性质：
（1）确定性：集合中的元素必须是
(2) 若4x=3,则 x N;
(3) 若x (4) Q,则 x R;
.
√
× ×
* 若x∈N,则x∈N
确定的;
如果a是集合A的元素，就说a属于集
合A，记作a ∈ A； 如果a不是集合A的元素，就说a不属
于集合A，记作aA．
定义 (2) 互异性：集合中的元素必须是 互不相同的； (3) 无序性：集合中的元素是无先 后顺序的．集合中的任何两个元素都
可以交换位置．
定义
重要数集：
(1) N: 自然数集(含0), 即非负整数集; (2) N+ 或N* : 正整数集(不含0); (3) Z：整数集;
列举法:把集合的元素一一列出
来写在花括号“{ }”里的方法．
举例
③不等式x－3＞2的解集；
④抛物线 +1=0的解集合.
描述法:用集合所含元素的共同特
征表示集合的方法．
集合的表示方法
（1）列举法:把集合的元素一一列举出来
写在大括号的方法;
（2）描述法:用确定条件表示某些对象是 否属于这个集合的方法;
(4) Q：有理数集;
(5) R：实数集.
随堂练习
用符号“∈”或“ ”填空:
(1) 3.14
(3) 0 (5) 2
Q ;
N*; 3 Q;
(2)
Q;
(4) (-2)0 (6) 2
N*; 3 R.
举例 写出集合的元素，并用符号表
示下列集合：
①方程x2-9=0的解的集合； ②大于0且小于10的奇数的集合.
集合的分类
⑴ 有限集：含有有限个元素的集合; ⑵ 无限集：含有无限个元素的集合; ⑶ 空 集：不含任何元素的集合,
记作
．
举例 下面各组对象能否构成集合？ （1）高个子的人； （2）小于2013的数； （3）和2013非常接近的数.
举例
判断下列说法是否正确：
(1) {x2,3x+2,5x3-x}即{5x3-x,x2,3x+2}； √
1.1.1 集合的 含义与表示
定义 一般地,把研究对象统称为元素， 把一些元素组成的总体叫做集合 （set）(简称为集). 你可以从客观世界中找出一些集
合的例子吗？
定义
集合的表示法:
用大写拉丁字母A,B,…表示集合； 用小写字母a,b ,…表示集合中的元素.
定义
集合元素的性质：
（1）确定性：集合中的元素必须是
(2) 若4x=3,则 x N;
(3) 若x (4) Q,则 x R;
.
√
× ×
* 若x∈N,则x∈N
确定的;
如果a是集合A的元素，就说a属于集
合A，记作a ∈ A； 如果a不是集合A的元素，就说a不属
于集合A，记作aA．
定义 (2) 互异性：集合中的元素必须是 互不相同的； (3) 无序性：集合中的元素是无先 后顺序的．集合中的任何两个元素都
可以交换位置．
定义
重要数集：
(1) N: 自然数集(含0), 即非负整数集; (2) N+ 或N* : 正整数集(不含0); (3) Z：整数集;
列举法:把集合的元素一一列出
来写在花括号“{ }”里的方法．
举例
③不等式x－3＞2的解集；
④抛物线 +1=0的解集合.
描述法:用集合所含元素的共同特
征表示集合的方法．
集合的表示方法
（1）列举法:把集合的元素一一列举出来
写在大括号的方法;
（2）描述法:用确定条件表示某些对象是 否属于这个集合的方法;
(4) Q：有理数集;
(5) R：实数集.
随堂练习
用符号“∈”或“ ”填空:
(1) 3.14
(3) 0 (5) 2
Q ;
N*; 3 Q;
(2)
Q;
(4) (-2)0 (6) 2
N*; 3 R.
举例 写出集合的元素，并用符号表
示下列集合：
①方程x2-9=0的解的集合； ②大于0且小于10的奇数的集合.