高一数学人教A版必修2课后练习2.3.1直线与平面垂直的判定及解析

课后导练
基础达标
1空间四边形的四边相等,那么它的对角线……( )
A.相交且垂直
B.不相交也不垂直
C.相交不垂直
D.不相交但垂直
解析：如图空间四边形ABCD,假设AC与BD相交,则它们共面α,从而四点A,B,C,D都在α内,这与ABCD为空间四边形矛盾,所以AC与BD不相交；取BD中点O,连结OA与OC,因为AB=AD=DC=BC,所以AO⊥BD,OC⊥BD,从而可知BD⊥面AOC,故AC⊥BD.
答案：D
2如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是( )
①三角形的两边②梯形的两边③圆的两条直径
④正六边形的两条边
A.①③
B.②
C.②④
D.①②④
解析：由线面垂直的判定定理知,直线垂直于①③平面；对于②④图形中的两边不一定是相交直线,所以该直线与它们不一定垂直.
答案：A
3如图,PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的一点,E、F分别是A在PB、PC 上的射影.给出下面结论,其中正确命题的个数是( )
①AF⊥PB ②EF⊥PB ③AF⊥BC ④AE⊥平面PBC
A.2
B.3
C.4
D.5
解析：∵PA⊥⊙O所在平面,
∴PA⊥BC,又BC⊥AC,PA∩AC=A,
∴BC⊥面PAC,
∴BC⊥AF,又AF⊥PC,PC∩BC=C,
∴AF⊥面PBC,
∴AF⊥PB,又AE⊥PB,AE∩AF=A,
∴PB⊥面AEF,
∴EF⊥PB.
从而可知①②③正确.
答案：B
4直线a不垂直于平面α,则α内与a垂直的直线有( )
A.0条
B.1条
C.无数条
D.α内所有直线
解析：①当a α时,显然C正确,②当a∥α时,过a作平面β,使α∩β=a′,则a∥a′,显然在α内与a′垂直的直线也与a垂直,从而也选C.③当a与α斜交时,在α与a的射影垂直的直线也与a垂直,也选C.
答案：C
5如图所示,PO⊥平面ABC,BO⊥AC,在图中与AC垂直的线段有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
解析：∵PO⊥面ABC,
∴PO⊥AC.
又∵BO⊥AC,PO∩BO=O,
∴AC⊥面PBD,
∴AC⊥BP,AC⊥PD,AC⊥BD,AC⊥PO.
答案：D
6如图所示,直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足________时,有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况).
解析：四边形ABCD的两条对角线互相垂直时,A′C⊥B′D′.
∵若AC⊥BD,又AA′⊥平面ABCD,
∴BD⊥AA′.
又∵AC∩AA′=A,
∴BD⊥平面A′AC,
∴BD⊥A′C.
又∵BD∥B′D′,∴A′C⊥B′D′.
答案：AC⊥BD或ABCD为正方形,菱形等.
7如图,已知矩形ABCD中,AB=3,BC=a(a＞0),PA⊥平面ABCD,在BC上取点Q,使PQ⊥QD,当满足条件的点Q有两个时,a的取值范围是__________.
解析：连结AQ,∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥QD,若PQ⊥QD,则必有AQ⊥QD,
设BQ=x,则QC=a-x,从而有：
AQ2=AB2+BQ2=9+x2,DQ2=9+(a-x)2,
由AD2=AQ2+QD2,即a2=18+x2+(a-x)2,
∴x2-ax+9=0,由Δ=a2-36＞0得a＞6.
答案：a＞6
8如图,平面α∩平面β=CD,EA⊥α于点A,EB⊥β于点B.
求证：AB⊥CD.
证明：∵EA⊥α,CD⊂α,
根据直线和平面垂直的定义,则有CD⊥EA.
同样∵EB⊥β,CD⊂β,则有EB⊥CD.
又EA∩EB=E,
根据直线和平面垂直判定定理,则有
CD⊥平面AEB.
又∵AB⊂平面AEB,
∴CD⊥AB.
综合应用
9在空间四边形ABCD中,若AB⊥CD,BC⊥AD,则对角线AC与BD的位置关系为( ) A.相交但不垂直 B.垂直但不相交
C.不相交也不垂直
D.无法判断
解析：如图,作AO⊥面BCD,由AB⊥CD,知CD⊥面ABO,
∴BO⊥CO,同理DO⊥BC,∴O为△BCD的垂心,
∴OC⊥BD,故BD⊥AC.
答案：B
10在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E、F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中点,(如图),则EF与面BB1O的关系是___________
解析：∵BB1⊥面ABCD,
∴BB1⊥AC,又∵AC⊥BD,∴AC⊥面BB1O,又知E,F分别为AB,CB中点,
∴EF∥AC,∴EF⊥面BB1O.
答案：垂直
11设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H,给出下列命题：
①若PA⊥BC,PB⊥AC,则H是△ABC的垂心；
②若PA、PB、PC两两互相垂直,则H是△ABC的垂心；③若∠ABC=90°,H是AC的中点,则PA=PB=PC；④若PA=PB=PC,则H是△ABC的外心.
请把正确命题的序号填在横线上_____________
解析：①若PA⊥BC,PB⊥AC,则H为垂心(前面已证).
②∵PA⊥PB,PA⊥PC.
∴PA⊥面PBC,
∴PA⊥BC,又PH⊥面ABC,
∴PH⊥BC,∴BC⊥面PAH,∴AH⊥BC.
同理BH⊥AC,∴H为垂心.
③∵H为AC中点,∠ABC=90°,
∴AH=BH=CH,
又PH⊥面ABC,
由勾股定理知PA=PB=PC,
④PA=PB=PC,又PH⊥面ABC,同③可知AH=BH=CH,
∴H为外心.
答案：①②③④
拓展探究
12已知：矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交于E,过E作EF⊥SC交SC 于F.
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若平面AEF交SD于G,求证：AG⊥SD.
思路分析：本题是证线线垂直问题,可通过证线面垂直来实现.结合图形,欲证AF⊥SC,只需证SC垂直于AF所在平面,即SC⊥平面AEF,由已知,欲证SC⊥平面AEF,只需证AE垂直于SC 所在平面,即AE⊥平面SBC,再由已知只需证AE⊥BC,而要证AE⊥BC,只需证BC⊥平面SAB,而这可由已知得证.
证明：(1)∵SA⊥平面AC,BC 平面AC,
∴SA⊥BC.
∵矩形ABCD,∴AB⊥BC,
∴BC⊥平面SAB,
∴BC⊥AE.又SB⊥AE,
∴AE⊥平面SBC,∴AE⊥SC.又EF⊥SC,
∴SC⊥平面AEF,
∴AF⊥SC.
(2)∵SA⊥平面AC,∴SA⊥DC.
又AD⊥DC,
∴DC⊥平面SAD.
∴DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF,AG AEF.
∴SC⊥AG,∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.。