近似谱聚类算法描述
谱聚类方法
谱聚类方法一、谱聚类的基本原理谱聚类（Spectral Clustering）是一种基于图论的聚类方法，通过研究样本数据的图形结构来进行聚类。
谱聚类方法的基本原理是将高维数据转换为低维数据，然后在低维空间中进行聚类。
它利用样本之间的相似性或距离信息，构建一个图模型（通常是相似度图或距离图），然后对图模型进行谱分解，得到一系列特征向量，最后在特征向量空间中进行聚类。
谱聚类的核心步骤是构建图模型和进行谱分解。
在构建图模型时，通常采用相似度矩阵或距离矩阵来表示样本之间的联系。
在谱分解时，通过对图模型的拉普拉斯矩阵进行特征分解，得到一系列特征向量，这些特征向量表示了样本数据的低维空间结构。
通过对特征向量空间进行聚类，可以将高维数据分为若干个类别。
二、谱聚类的优缺点1.优点（1）适用于高维数据：谱聚类方法能够有效地处理高维数据，因为它的核心步骤是将高维数据转换为低维数据，然后在低维空间中进行聚类。
这有助于克服高维数据带来的挑战。
（2）对噪声和异常值具有较强的鲁棒性：谱聚类方法在构建图模型时，会考虑到样本之间的相似性和距离信息，从而在一定程度上抑制了噪声和异常值的影响。
（3）适用于任意形状的聚类：谱聚类方法可以适用于任意形状的聚类，因为它的聚类结果是基于特征向量空间的，而特征向量空间可以捕捉到样本数据的全局结构。
2.缺点（1）计算复杂度高：谱聚类的计算复杂度相对较高。
构建图模型和进行谱分解都需要大量的计算。
在大规模数据集上，谱聚类的计算效率可能会成为问题。
（2）对相似度矩阵或距离矩阵的敏感性：谱聚类的结果会受到相似度矩阵或距离矩阵的影响。
如果相似度矩阵或距离矩阵不合理或不准确，可能会导致聚类结果不理想。
（3）对参数的敏感性：谱聚类的结果会受到参数的影响，如相似度度量方式、距离度量方式、图模型的构建方式等。
如果参数选择不当，可能会导致聚类效果不佳。
三、谱聚类的应用场景1.图像分割：谱聚类方法可以应用于图像分割，将图像中的像素点分为若干个类别，从而实现对图像的分割。
数据分析知识：数据挖掘中的谱聚类算法
数据分析知识：数据挖掘中的谱聚类算法数据挖掘是从海量数据中提取有用的信息的一种技术，谱聚类算法是其中的一种经典算法。
本文将从以下几个方面介绍谱聚类算法：算法原理、流程步骤、应用场景、优缺点以及发展趋势。
一、算法原理谱聚类算法是一种基于图论的无监督聚类算法，其基本思想是将数据集看成是图的节点集合，通过图上的边连接不同的节点，将节点划分成不同的子集，从而实现聚类。
谱聚类算法的核心在于矩阵的特征值和特征向量。
假设有N个数据点集成一个矩阵X，每个数据点有m个特征，组成了一个m*N的矩阵。
首先，定义相似度矩阵W，其元素W(i,j)表示第i个数据点和第j个数据点的相似度。
W的计算可以采取欧式距离、余弦相似度、高斯核等方式。
其次，通过对相似度矩阵进行正则化处理，可以得到一个拉普拉斯矩阵L。
拉普拉斯矩阵L是一个对称半正定的矩阵，其用途是度量每个数据点与其他数据点之间的关联度。
接下来，求解拉普拉斯矩阵L的m个最小的非零特征值及其对应的特征向量u1,u2,...,um，并将其组成一个m*N的矩阵U。
特征向量的个数m是谱聚类算法的超参数，通常根据具体情况进行调整。
最后，对特征向量矩阵U进行聚类，将其划分为k个子集，即可完成谱聚类算法。
二、流程步骤谱聚类算法的流程可以归纳为以下几个步骤：1.构建相似度矩阵W2.对相似度矩阵进行正则化处理，得到拉普拉斯矩阵L3.求解拉普拉斯矩阵L的特征值和特征向量4.将特征向量矩阵U进行聚类5.输出聚类结果三、应用场景谱聚类算法广泛应用于社交网络分析、图像分割、文本聚类、机器学习等多个领域。
例如，在社交网络分析中，谱聚类可以将社交网络中的用户划分成不同的群体，从而便于研究用户间的关系；在图像分割中，谱聚类可以将图像像素点划分成不同的区域，从而得到清晰的图像轮廓。
四、优缺点优点：1.对数据分布没有先验要求2.可以有效地解决高维数据聚类问题3.对噪声数据有一定的容忍度4.支持并行化计算，适合于大规模数据集的处理缺点：1.超参数的选取比较困难2.对于纹理复杂、噪声较大、数据量较小的数据集，聚类效果可能不佳3.对于非凸形状的数据集，聚类效果可能不佳五、发展趋势随着数据量的不断增大和数据种类的不断增多，聚类算法的应用也越来越广泛。
谱聚类算法综述
谱聚类算法综述一、本文概述谱聚类算法是一种基于图理论的机器学习技术，它在数据分析和模式识别中发挥着重要作用。
本文旨在对谱聚类算法进行全面的综述，从理论基础、算法流程、应用领域以及最新进展等多个方面进行深入的探讨。
我们将简要介绍谱聚类算法的基本概念和原理，包括图论基础、拉普拉斯矩阵、特征值分解等关键知识点。
然后，我们将详细阐述谱聚类算法的基本流程和主要步骤，包括数据预处理、构建相似度矩阵、计算拉普拉斯矩阵、求解特征向量和聚类等。
接下来，我们将重点分析谱聚类算法在不同领域中的应用，如图像处理、社交网络分析、机器学习等，并探讨其在这些领域中取得的成果和优势。
我们还将对谱聚类算法的性能进行评估，包括其时间复杂度、空间复杂度以及聚类效果等方面。
我们将对谱聚类算法的最新研究进展进行综述，包括新的算法模型、优化方法以及应用领域的拓展等方面。
通过对这些最新进展的梳理和总结，我们可以更好地了解谱聚类算法的发展趋势和未来研究方向。
本文旨在对谱聚类算法进行全面的综述和分析，为读者提供一个清晰、系统的认识框架，同时也为该领域的研究者提供有价值的参考和启示。
二、谱聚类算法的基本原理谱聚类算法是一种基于图理论的聚类方法，它通过将数据点视为图中的节点，数据点之间的相似性视为节点之间的边的权重，从而构建出一个加权无向图。
谱聚类的基本原理在于利用图的拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）的特征向量来进行聚类。
构建相似度矩阵：需要计算数据点之间的相似度，这通常通过核函数（如高斯核函数）来实现，从而构建出一个相似度矩阵。
构建图的拉普拉斯矩阵：根据相似度矩阵，可以构建出图的度矩阵和邻接矩阵，进而得到图的拉普拉斯矩阵。
拉普拉斯矩阵是相似度矩阵和度矩阵之差，它反映了数据点之间的局部结构信息。
求解拉普拉斯矩阵的特征向量：对拉普拉斯矩阵进行特征分解，得到其特征向量。
这些特征向量构成了一个新的低维空间，在这个空间中，相似的数据点更接近，不相似的数据点更远。
谱聚类的流程
谱聚类的流程
谱聚类的流程包括以下步骤：
1. 初始化。
选择相似度矩阵或者生成相似度矩阵，一般通过数据点之间的相似
程度进行估计。
此外，需要随机选择一个数据点并作为聚类簇心（centroid）。
这两个过程可以选择手动操作或使用启发式自动完成。
2. 计算谱距离。
对于给定的相似度矩阵，根据某种方式将数据映射到特征空间，并通过这些坐标值来计算数据集之间以及各个样本与其中心之间的距离。
这是谱聚类的重要部分，因为它定义了哪些数据点彼此接近以及如何对数据进行分组。
3. 根据新的相似度和距离矩阵构造拉普拉斯矩阵。
在得到新的相似度矩阵后，
可以计算出拉普拉斯矩阵W 的特征向量和对应的特征值。
这些特征向量就是聚类结果中的群内连接矩阵，它描述了同一聚类内部的数据点的布局结构。
4. 选择合适的阈值并对聚类结果进行处理。
可以根据得到的特征值和群内连接
矩阵判断是否满足聚类的要求，如果不满足则重新调整相似度矩阵并进行上述步骤直到满足条件为止。
最终的聚类结果是所有满足条件的聚类结果的交集。
5. 对每个非簇心点，按照其与簇心的相似度大小分配到不同的簇中。
这个过程
通常采用贪婪算法进行，即选择具有最大相似度的群成员分配该点为新组的成员。
重复此步骤直到所有的点都被分配到相应的组中。
6. 最后输出聚类结果，包括每个数据点的所属类别以及整个数据集的聚类效果评估指标等。
请注意，谱聚类是一种高级聚类方法，需要仔细设置参数和处理异常值，以确保获得可靠的结果。
列举常用聚类算法
列举常用聚类算法聚类算法是一种将数据集中的相似数据分组的方法。
它是无监督学习的一种应用，可以在没有标签或类别信息的情况下对数据进行分类。
在机器学习和数据挖掘中，聚类算法被广泛应用于数据分析、图像处理、模式识别等领域。
本文将列举常用的聚类算法。
一、K均值聚类算法（K-means Clustering）K均值聚类算法是一种基于距离度量的聚类方法，它将数据集划分为K 个簇，每个簇包含距离其它簇最近的点。
该算法首先随机选择K个点作为初始质心，然后将每个点分配到与其距离最近的质心所在的簇中，并计算每个簇内所有点的平均值作为新的质心。
重复以上过程直到质心不再改变或达到预定迭代次数。
二、层次聚类算法（Hierarchical Clustering）层次聚类算法是一种自下而上或自上而下逐步合并或拆分簇来建立层次结构的方法。
该算法有两种实现方式：凝聚层次聚类和分裂层次聚类。
凝聚层次聚类从每个数据点开始，将它们逐步合并成越来越大的簇，直到所有点都被合并为一个簇。
分裂层次聚类从整个数据集开始，将其逐步拆分成越来越小的簇，直到每个簇只包含一个点。
三、DBSCAN聚类算法（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）DBSCAN聚类算法是一种基于密度的聚类方法，它可以识别任意形状的簇，并能够自动排除离群值。
该算法首先选择一个未访问的核心点作为起始点，并找到其可达范围内的所有点，并将它们加入同一簇中。
然后继续寻找未访问的核心点，并重复以上过程直到所有核心点都被访问完毕。
四、谱聚类算法（Spectral Clustering）谱聚类算法是一种基于图论和线性代数的聚类方法，它将数据集看作是一个图，在图上进行划分。
该算法首先构建一个相似度矩阵或邻接矩阵，并通过特征值分解或奇异值分解来获取特征向量和特征值。
然后将特征向量作为新的数据集，使用K均值或层次聚类等方法对其进行聚类。
谱聚类算法
基本理论：
图划分准则：
谱聚类算法的思想来源于谱图划分理论 。假定将每个 数据样本看作图中的顶点V, 根据样本间的相似度将顶点间 的边E赋权重值W, 这样就得到一个基于样本相似度的无向 加权图G= (V, E) 。那么在图G 中, 就可将聚类问题转化为在 图G 上的图划分问题。基于图论的最优划分准则就是使划 分成的两个子图内部相似度最大, 子图之间的相似度最小。
如何处理特征向量: 在应用谱方法进行聚类问题的研究中, 用多 少个特征向量进行聚类, 如何选取、计算及使用这些特征向量
等问题均没有得到很好的理论解释, 这些都是未来急需解决的
问题。 如何自动确定聚类数目: 聚类数目的多少直接影响聚类的质量。
如何选取Laplacian 矩阵: 谱聚类算法所使用的Laplacian 矩阵有
或任意其它经典算法, 得到k 个聚类; 将数据点
y i划分到聚类j 中, 当且仅当Y 的第i行被划分到聚类j 中。
小结：
针对图谱的不同划分规则，都有相应的算法如PF、SM、 SLH、Mcut、NJW、MS算法，比较如下：
难点分析
如何构造相似矩阵W: 谱聚类算法中相似矩阵W的构由于尺度参
数R是人为选取的, 使得该函数带有一定的局限性。
Kannan 将该算法与SM 算法、KVV 算法进行了比较, 发现
Mcut 算法能够产生更加平衡的划分结果, 尤其当类间重叠较大时, 效果更为明显。
多路谱聚类算法
NJW 算法 Ng, Jordan 等人选取拉氏矩阵
Lsym的前k 个最大特征值对应的特征
向量, 使其在 R k 空间中构成与原数据一一对应的表述, 然后在 R k 空间中
x T (D W ) x y T (D W ) y x TWx y TWy
sklearn中的谱聚类算法
Sklearn（Scikit-learn）是一个基于Python的机器学习库，提供了许多常用的机器学习算法和工具。
谱聚类（Spectral Clustering）算法作为Sklearn库中的一个重要组成部分，是一种基于图论和谱理论的聚类算法，能够有效地处理非凸形状的数据集并对高维数据进行聚类分析。
本文将对Sklearn中的谱聚类算法进行深入探讨，并对其理论、实现细节和应用展开详细介绍。
一、谱聚类算法的理论基础谱聚类算法是一种基于图论和谱理论的聚类算法，其主要思想是将数据集表示为图的形式，利用图的谱分解来实现聚类分析。
在进行谱聚类之前，首先需要构建数据样本的相似度矩阵或者距离矩阵，并基于这个矩阵构建相应的图模型，常用的图模型包括ε-邻近图、全连接图等。
接下来，利用图的拉普拉斯矩阵进行特征分解，得到其特征向量，并通过对特征向量进行聚类操作，最终得到数据的聚类结构。
谱聚类算法的理论基础主要包括图论、谱图理论以及聚类理论等多个方面的知识，需要深入理解这些理论知识才能正确地运用谱聚类算法进行数据分析。
在Sklearn库中，谱聚类算法提供了丰富的参数设置和优化方法，能够灵活地适应不同数据情况和需求，是实现谱聚类算法的一个重要工具。
二、谱聚类算法的实现细节Sklearn中的谱聚类算法主要基于Python语言实现，其具体的实现细节涵盖了图模型构建、谱分解、特征向量聚类等多个方面。
在进行实际的数据分析时，需要关注谱聚类算法的几个关键参数，包括图模型的构建方法、相似度矩阵的计算方式、谱分解的方法、特征向量聚类的算法等。
图模型的构建方法是谱聚类算法中的一个关键步骤，常用的方法包括ε-邻近图、全连接图等，不同的方法会对聚类结果产生不同的影响，需要根据具体的数据情况选取合适的方法。
另外，相似度矩阵的计算方式也会影响到谱聚类的结果，可以选择基于距离的相似度计算方法或者基于核函数的相似度计算方法。
谱分解的方法通常包括最大化拉普拉斯特征值、最小化拉普拉斯特征值等多种方法，需要根据具体应用需求选择合适的方法。
谱聚类算法 算法简介
谱聚类算法算法简介 谱聚类算法建立在谱图理论基础上，与传统的聚类算法相比，它具有能在任意形状的样本空间上聚类且收敛于全局最优解的优点。
该算法首先根据给定的样本数据集定义一个描述成对数据点相似度的亲合矩阵,并且计算矩阵的特征值和特征向量，然后选择合适的特征向量聚类不同的数据点。
谱聚类算法最初用于计算机视觉、VLS I 设计等领域，最近才开始用于机器学习中，并迅速成为国际上机器学习领域的研究热点。
谱聚类算法建立在图论中的谱图理论基础上，其本质是将聚类问题转化为图的最优划分问题，是一种点对聚类算法，对数据聚类具有很好的应用前景。
算法步骤 谱聚类算法将数据集中的每个对象看作是图的顶点V，将顶点间的相似度量化作为相应顶点连接边E的权值，这样就得到一个基于相似度的无向加权图G(V, E)，于是聚类问题就可以转化为图的划分问题。
基于图论的最优划分准则就是使划分成的子图内部相似度最大，子图之间的相似度最小。
虽然根据不同的准则函数及谱映射方法，谱聚类算法有着不同的具体实现方法，但是这些实现方法都可以归纳为下面三个主要步骤： 1) 构建表示对象集的相似度矩阵W； 2) 通过计算相似度矩阵或拉普拉斯矩阵的前k个特征值与特征向量，构建特征向量空间； 3) 利用K-means或其它经典聚类算法对特征向量空间中的特征向量进行聚类。
上面的步骤只是谱聚类算法的一个总体框架，由于划分准则、相似度矩阵计算方法等因素的差别，具体的算法实现同样会有所差别，但其本质依然是图划分问题的连续放松形式。
划分准则 谱聚类算法将聚类问题就可以转化为图的划分问题之后，基于图论的划分准则的优劣直接影响到聚类结果的好坏。
常见的划分准则有Mini cut，Average cut，Normalized cut，Min-max cut，Ratio cut，MNcut等。
最小割集准则 在对图像分割中产生了较好的效果，但是该准则容易产生分割出只包含几个顶点的较小子图的歪斜分割现象。
谱聚类算法(Spectral Clustering)原理分析
谱聚类算法(Spectral Clustering)谱聚类(Spectral Clustering, SC)是一种基于图论的聚类方法——将带权无向图划分为两个或两个以上的最优子图，使子图内部尽量相似，而子图间距离尽量距离较远，以达到常见的聚类的目的。
其中的最优是指最优目标函数不同，可以是割边最小分割——如图1的Smallest cut(如后文的Min cut)，也可以是分割规模差不多且割边最小的分割——如图1的Best cut(如后文的Normalized cut)。
图1 谱聚类无向图划分——Smallest cut和Best cut 这样，谱聚类能够识别任意形状的样本空间且收敛于全局最优解，其基本思想是利用样本数据的相似矩阵(拉普拉斯矩阵)进行特征分解后得到的特征向量进行聚类。
1 理论基础对于如下空间向量item-user matrix：如果要将item做聚类，常常想到k-means聚类方法，复杂度为o(tknm)，t为迭代次数，k为类的个数、n为item个数、m为空间向量特征数：1 如果M足够大呢？2 K的选取？3 类的假设是凸球形的？4 如果item是不同的实体呢？5 Kmeans无可避免的局部最优收敛？……这些都使常见的聚类问题变得相当复杂。
1.1 图的表示如果我们计算出item与item之间的相似度，便可以得到一个只有item的相似矩阵，进一步，将item看成了Graph(G)中Vertex(V)，歌曲之间的相似度看成G中的Edge(E)，这样便得到我们常见的图的概念。
对于图的表示(如图2)，常用的有：邻接矩阵：E，e ij表示v i和v i的边的权值，E为对称矩阵，对角线上元素为0，如图2-2。
Laplacian矩阵：L = D – E，其中d i (行或列元素的和)，如图2-3。
图2 图的表示1.2 特征值与L矩阵先考虑一种最优化图像分割方法，以二分为例，将图cut为S和T两部分，等价于如下损失函数cut(S, T)，如公式1所示，即最小(砍掉的边的加权和)。
谱聚类算法讲解
谱聚类：是一种基于图论的聚类方法，通过对样本 数据的拉普拉斯矩阵的特征向量进行聚类。
谱聚类目的： 找到一种合理的分割图的方法，使得分割后形成
若干个子图，连接不同子图的边的权重(相似度)尽可 能低，同子图内的边的权重(相似度)尽可能高。
4
Spectral Clustering 谱聚类
谱聚类基础一：图
30
Spectral Clustering 谱聚类
(3) Normalized Cut
Ncut(G1,G2)
wij qi q j 2 qT Lq
iG1 , jG2
广义瑞利商
R(L,
q)
qT Lq qT Dq
min( qT Lq) s.t. qT Dq 1
n
n
qT Dq qi2 wij
16
‹#›
Spectral Clustering 谱聚类
谱聚类基础二：Laplacian矩阵
nn
nn
wij (qi q j )2
wij (qi2 2qiq j q j 2 )
i1 j1
i1 j1
nn
nn
2wij qiq j
wij (qi2 q j 2 )
（3）全连接法：
通过核函数定义边权重，常用的有多项式核函数，
高斯核函数和Sigmoid核函数。使用高斯核函数构建邻
接矩阵：
wij
sij
exp
xi x j
2 2
2
相比前两种方法，此方法构建的邻接矩阵W 中所
有点之间的权重值都大于0，且被普遍使用。
谱聚类的解读
谱聚类的解读
谱聚类是一种基于图论的聚类方法，通过对样本数据的拉普拉斯矩阵的特征向量进行聚类，从而达到对样本数据聚类的目的。
谱聚类可以将高维空间的数据映射
到低维，然后在低维空间用其它聚类算法（如KMeans，c-均值聚类）进行聚类。
谱聚类的思想是将样本看作顶点，样本间的相似度看作带权的边，从而将聚类问题转为图分割问题：找到一种图分割的方法使得连接不同组的边的权重尽可能低（这意味着组间相似度要尽可能低），组内的边的权重尽可能高（这意味着组内相似度要尽可能高）。
谱聚类的优势在于它可以处理复杂的形状和数据结构，而且可以很好地处理噪声和异常值。
此外，谱聚类还可以发现非凸形状的数据群集，并且对于非线性数据的聚类效果也较好。
然而，谱聚类也有一些局限性，例如它对参数的选择很敏感，可能会受到数据规模和数据分布的影响。
总之，谱聚类是一种基于图论的聚类方法，通过对样本数据的拉普拉斯矩阵的特征向量进行聚类，从而达到对样本数据聚类的目的。
它可以处理复杂的形状和数据结构，而且可以很好地处理噪声和异常值。
聚类算法的工作原理
聚类算法的工作原理聚类算法是一种数据挖掘技术，它用于将数据集中的对象分组，使得同一组内的对象相似度较高，而不同组内的对象相似度较低。
聚类算法的工作原理可以概括为以下几个步骤：数据表示、相似度度量、聚类初始化、迭代优化和聚类结果评估。
1. 数据表示聚类算法需要将原始数据转化为可计算的表示形式。
常见的数据表示方法包括向量表示、图形表示等。
向量表示是将每个对象表示为一个多维向量，其中每个维度对应一个特征。
图形表示则将对象之间的关系表示为图形结构，节点代表对象，边代表关系。
2. 相似度度量相似度度量是聚类算法中的关键步骤，用于衡量对象之间的相似性。
常用的相似度度量方法包括欧氏距离、曼哈顿距离、余弦相似度等。
欧氏距离是计算两个向量之间的几何距离，曼哈顿距离是计算两个向量之间的城市街区距离，余弦相似度则基于两个向量之间的夹角来度量相似性。
3. 聚类初始化聚类算法需要初始化一定数量的聚类中心，每个聚类中心代表一个聚类。
初始化的方法可以是随机选择，也可以是基于先验知识的选择。
聚类中心的选择将直接影响聚类结果的效果。
4. 迭代优化迭代优化是聚类算法的关键步骤，它通过不断调整聚类中心的位置，将对象划分到最合适的聚类中。
常见的迭代优化算法包括K-means算法和层次聚类算法。
K-means算法通过计算每个对象与聚类中心的距离，将对象划分到距离最近的聚类中。
层次聚类算法则通过计算聚类间的相似度，逐步合并相似的聚类，直到达到停止条件。
5. 聚类结果评估聚类结果评估是判断聚类算法效果的重要指标。
常见的评估方法包括轮廓系数、簇间距离、簇内距离等。
轮廓系数是评估聚类结果紧密度和分离度的指标，数值范围在-1到1之间，越接近1表示聚类结果越好。
簇间距离和簇内距离则用于衡量聚类结果的紧凑程度和分离程度。
总结起来，聚类算法的工作原理包括数据表示、相似度度量、聚类初始化、迭代优化和聚类结果评估等步骤。
通过合理选择算法和参数，聚类算法能够快速准确地将数据进行分组，发现其中的规律和关联。
谱聚类（spectralclustering）原理总结
谱聚类（spectralclustering）原理总结 谱聚类（spectral clustering）是⼴泛使⽤的聚类算法，⽐起传统的K-Means算法，谱聚类对数据分布的适应性更强，聚类效果也很优秀，同时聚类的计算量也⼩很多，更加难能可贵的是实现起来也不复杂。
在处理实际的聚类问题时，个⼈认为谱聚类是应该⾸先考虑的⼏种算法之⼀。
下⾯我们就对谱聚类的算法原理做⼀个总结。
1. 谱聚类概述 谱聚类是从图论中演化出来的算法，后来在聚类中得到了⼴泛的应⽤。
它的主要思想是把所有的数据看做空间中的点，这些点之间可以⽤边连接起来。
距离较远的两个点之间的边权重值较低，⽽距离较近的两个点之间的边权重值较⾼，通过对所有数据点组成的图进⾏切图，让切图后不同的⼦图间边权重和尽可能的低，⽽⼦图内的边权重和尽可能的⾼，从⽽达到聚类的⽬的。
乍⼀看，这个算法原理的确简单，但是要完全理解这个算法的话，需要对图论中的⽆向图，线性代数和矩阵分析都有⼀定的了解。
下⾯我们就从这些需要的基础知识开始，⼀步步学习谱聚类。
2. 谱聚类基础之⼀：⽆向权重图 由于谱聚类是基于图论的，因此我们⾸先温习下图的概念。
对于⼀个图G，我们⼀般⽤点的集合V和边的集合E来描述。
即为G(V,E)。
其中V即为我们数据集⾥⾯所有的点(v_1, v_2,...v_n)。
对于V中的任意两个点，可以有边连接，也可以没有边连接。
我们定义权重w_{ij}为点v_i和点v_j之间的权重。
由于我们是⽆向图，所以w_{ij} = w_{ji}。
对于有边连接的两个点v_i和v_j，w_{ij} > 0,对于没有边连接的两个点v_i和v_j，w_{ij} = 0。
对于图中的任意⼀个点v_i，它的度d_i定义为和它相连的所有边的权重之和，即d_i = \sum\limits_{j=1}^{n}w_{ij} 利⽤每个点度的定义，我们可以得到⼀个nxn的度矩阵D,它是⼀个对⾓矩阵，只有主对⾓线有值，对应第i⾏的第i个点的度数，定义如下：\mathbf{D} = \left( \begin{array}{ccc} d_1 & \ldots & \ldots \\ \ldots & d_2 & \ldots \\ \vdots & \vdots & \ddots \\ \ldots & \ldots & d_n\end{array} \right) 利⽤所有点之间的权重值，我们可以得到图的邻接矩阵W，它也是⼀个nxn的矩阵，第i⾏的第j个值对应我们的权重w_{ij}。
prosac算法原理
prosac算法原理
ProSAC（Progressive Sampling with Approximate Clustering）简化的说就是一种近似聚类的算法。
它可以帮助我们在大规模数据集中快速找到相似的数据样本。
ProSAC使用了一种叫做“逐步采样”的方法来实现近似聚类。
具体过程为：首先随机选择一小部分数据样本作为初始种子，然后计算这些种子和其他数据样本之间的距离，并将距离小于某个阈值的样本作为该种子的成员。
接着，对于当前所有的种子，选取它们的成员中的一小部分作为新的种子，并重复以上过程。
不断迭代，直到满足停止条件。
ProSAC的近似聚类原理类似于K-means算法，它们都是通过重复采样和聚类的过程来实现对大规模数据集的聚类。
但是，ProSAC算法比K-means更快、更节省内存，并且可以处理高维度的数据。
总之，ProSAC算法是一种近似聚类算法，它可以帮助我们在大规模数据集中快速找到相似的数据样本。
谱聚类算法
其中： assoc(A k , V )
i
Ak ,j V
w ij
Melia 指出Ncut 和MNcut 的差异之处仅在于所使用的 谱映射不同, 并且当k= 2 时, MNcut 与Ncut 等价。多路规 范割集准则在实际应用中合理有效, 但其优化问题通常难以 解决。
相似矩阵、度矩阵及Laplacian 矩阵
cut(A ,B )
i ,
w ij Aj B
通过最小化上述剪切值来划分图G, 这一划分准则被称 为最小割集准则。他们用这个准则对一些图像进行分割, 并 产生了较好的效果, 同时他们也注意到, 该准则容易出现歪 斜( 即偏向小区域) 分割。规范割集准则及比例割集准则均 可避免这种情况的发生。
谱聚类算法
根据不同的准则函数及谱映射方法, 谱聚类算法发展了很多
不同的具体实现方法, 但是都可以归纳为下面三个主要步骤 :
构建表示样本集的矩阵Z; 通过计算Z 的前k 个特征值与特征向量, 构建特征向量空间; 利用k-means 或其它经典聚类算法对特征向量空间中的特征向 量进行聚类。 上述步骤是谱聚类算法的一个框架, 在具体实现过程中,不同 的算法在数据集矩阵Z 的表示上存在着不同。例如根据2 way cut 的目标函数, Z= W; 根据随机游动关系, 则Z=D- 1W 等。划分准则一 般分为2 way 和k way, 本文根据所使用的划分准则, 将算法分为迭 代谱和多路谱两类, 并分别讨论了各类中典型的谱聚类算法。
可以看出Avcut 和Ncut 函数都表示无向图G 中边界损
失与分割区域相关性的比值之和, 因此最小化Avcut 与Ncut 目标函数都能产生较准确的划分。其共同缺点是倾向于欠 分割且易分割出只包含几个顶点的较小子图。文献通过实 验发现, 当把Normalized cut 和Average cut 准则分别用于同
谱聚类算法 python
谱聚类算法 python谱聚类是一种基于图论的聚类算法，它通过将样本数据表示为图的形式，使用图的特征进行聚类。
谱聚类算法主要包括以下步骤：构建相似度矩阵、计算拉普拉斯矩阵、对拉普拉斯矩阵进行特征分解、k-means聚类。
下面是Python代码实现谱聚类算法的相关参考内容。
首先需要导入相关的库，包括numpy、sklearn、scipy等：```pythonimport numpy as npfrom sklearn.cluster import KMeansfrom scipy.spatial.distance import cdist```然后，定义谱聚类算法的函数：```pythondef spectral_clustering(X, n_clusters):# 构建相似度矩阵similarity_matrix = compute_similarity_matrix(X)# 计算拉普拉斯矩阵laplacian_matrix = compute_laplacian_matrix(similarity_matrix)# 对拉普拉斯矩阵进行特征分解eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(laplacian_matrix)# 选择最小的k个特征值对应的特征向量indices = np.argsort(eigenvalues)[:n_clusters]eigenvalues = eigenvalues[indices]eigenvectors = eigenvectors[:, indices]# 使用k-means进行聚类kmeans = KMeans(n_clusters=n_clusters)kmeans.fit(eigenvectors)labels = bels_return labels```接下来，需要定义计算相似度矩阵的函数：```pythondef compute_similarity_matrix(X):# 计算样本间的欧氏距离dist_matrix = cdist(X, X, metric='euclidean')# 根据欧氏距离计算相似度similarity_matrix = np.exp(-dist_matrix ** 2)return similarity_matrix```然后，定义计算拉普拉斯矩阵的函数：```pythondef compute_laplacian_matrix(similarity_matrix):# 计算度矩阵degree_matrix = np.diag(np.sum(similarity_matrix, axis=1))# 计算拉普拉斯矩阵laplacian_matrix = degree_matrix - similarity_matrixreturn laplacian_matrix```最后，可以使用上述函数进行谱聚类：```python# 生成样本数据X = np.random.rand(100, 2)# 调用谱聚类算法n_clusters = 3labels = spectral_clustering(X, n_clusters)```以上就是使用Python实现谱聚类算法的相关参考内容。
谱聚类算法——精选推荐
谱聚类算法转载⾃：1、问题描述 谱聚类(Spectral Clustering, SC)是⼀种基于图论的聚类⽅法——将带权⽆向图划分为两个或两个以上的最优⼦图(sub-Graph)，使⼦图内部尽量相似，⽽⼦图间距离尽量距离较远，以达到常见的聚类的⽬的。
对于图的相关定义如下：对于⽆向图G = (V,E)，V表⽰顶点集合，即样本集合，即⼀个顶点为⼀个样本；E表⽰边集合。
设样本数为n，即顶点数为n。
权重矩阵：W，为n*n的矩阵，其值w i,j为各边的权值，表⽰顶点 i，j（样本）之间的相似性。
对于任意w i,j = w j,i ，w i,i=0，即对⾓线上元素为0。
通常情况下，相似性⼩于某⼀阈值的两个顶点不相连，否则连接两顶点的边的权值为两个样本的相似性度量函数的值。
定义n*n的矩阵：D，其第 i ⾏，第 i 列的元素（对⾓线上）元素为W第 i ⾏所有元素的和，即 i 顶点与其他所有顶点的相似性之和。
将图G分割为⼦图G1,G2，所要断开的边的权重之和为损失函数：如下图给出⼀个六个样本所对应的图：此例中对应的损失函数为 w1,5 + w3,4 = 0.3。
谱聚类的⽬的就是找到⼀个较好的划分准则，将整个样本空间形成的图分成为各个⼦图(sub-Graph)，⼀个⼦图即为⼀个类别。
根据分割⼦图的准则，可以将其分为不同的谱聚类（Minimum Cut、Ratio Cut and Normalized Cut等）。
讲具体算法之前，回顾⼀些线性代数有关的结论，不清楚的可以查阅相关资料：Ax = λx ，则λ为A的特征值，x为对应λ的特征向量。
对于实对称矩阵A，其特征向量正交。
即当i ≠ j时， <x i T,x j> = 0（<,>表⽰内积）。
对于正定矩阵，其所有特征值都⼤于0；对于半正定矩阵，其所有特征值都⼤于等于02、问题转化 ⾸先看看这个损失函数，对其进⾏如下变换：1、定义q i如下：当顶点 i 属于⼦图G1中时，q i = c1。
谱聚类算法 分型
谱聚类算法分型
谱聚类算法是一种有效的数据挖掘算法，用于从大规模的数据集中形成聚类。
它的工作原理是对用户提供的数据集进行聚类，形成不同的簇，其中一个簇表示相似的点，从而找出呈现规律性的存在。
谱聚类算法最初是由斯坦福大学的朱利安•贝德里姆和其他同事开发的，其优势是比经典聚类算法具有更好的效率和更低的计算量，因此被广泛用于大规模数据聚类和分析，尤其是解决大数据问题。
分型算法是一种常用的数据挖掘算法，用于分类和分析数据。
主要作用是发现隐含在数据集中的模式和规律，可以将相关联的数据点分组入不同类别。
分型算法是一种基于统计学的分类技术，它可以将训练数据归类为一组典型类，以对未知实例进行分类和预测。
它能够从大量的实例中自动构建决策规则，尤其是在分析复杂的实例时，其应用是比较有效的。
谱聚类（Spectralclustering）（2）：NCut
谱聚类（Spectralclustering）（2）：NCut作者：桂。
时间：2017-04-13 21:19:41声明：欢迎被转载，不过记得注明出处哦~前⾔本⽂为谱聚类的第⼆篇，主要梳理NCut算法，关于谱聚类的更多细节信息，可以参考之前的博⽂： 1） 2）内容主要参考，更多细节可以参考该作者博⽂，本⽂最后给出代码实现，全⽂包括： 1）NCut原理 2）NCut算法实现⼀、NCut原理 Ncut切图和RatioCut切图很类似，但是把Ratiocut的分母|Ai|换成vol(A_i)，由于⼦图样本的个数多并不⼀定权重就⼤，我们切图时基于权重也更合我们的⽬标，因此⼀般来说Ncut切图优于RatioCut切图。
vol(A): = \sum\limits_{i \in A}d_i对应的，Ncut切图对指⽰向量h做了改进。
注意到RatioCut切图的指⽰向量使⽤的是\frac{1}{\sqrt{|A_j|}}标⽰样本归属，⽽Ncut切图使⽤了⼦图权重\frac{1}{\sqrt{vol(A_j)}}来标⽰指⽰向量h，定义如下:那么我们对于h_i^TLh_i有：推导⽅式和RatioCut完全⼀致。
也就是说，我们的优化⽬标仍然是但是此时我们的H^TH \neq I⽽是H^TDH = I，推导如下：也就是说，此时我们的优化⽬标最终为：这个就是泛化瑞利熵的求解问题，。
这⾥再次给出细节分析。
令H = D^{-1/2}F，则优化⽬标转化为：⾄此已经完成了NCut的理论。
画蛇添⾜⼀下吧，注意到：事实上，连拉普拉斯矩阵都懒得构造了。
⼆、NCut算法实现⾸先给出算法步骤：步骤⼀：求解邻接矩阵W和度矩阵D步骤⼆：对{D^{ - \frac{1}{2}}}W{D^{ - \frac{1}{2}}}进⾏特征值分解，并取K个最⼤特征值对应的特征向量（K为类别数⽬）步骤三：将求解的K个特征向量（并分别归⼀化），构成新的矩阵，对该矩阵进⾏Kmeans处理Kmeans得到的类别标签，就是原数据的类别标签，⾄此完成NCut聚类。
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二、近似谱聚类算法描述本节论文阐述基于相似矩阵稀疏化方法稀疏化后离群点的优化处理，并将该处理步骤应用于谱聚类算法中。
基于上述分析近似谱聚类算法整体流程总结描述如表3.2所示。
表3.2 近似谱聚类算法（ASCA）算法：近似谱聚类算法（ASCA）输入：数据点，待聚类数目输出：聚类1. 使用公式，（其中，是的个最近邻按距离排序后第个邻居，同理，），构建相似矩阵；2. 使用稀疏化矩阵获得半正定矩阵，找出矩阵对称位置不一致的相似度，并将对称元素设置为0，调整为对称半正定矩阵；3. 使用优化公式对矩阵进行离群点调优；4. 计算对称半正定拉普拉斯矩阵；5. 计算的特征向量分解，找出第k个最小非零特征特征量，并按列排列k个特征向量构建特征向量矩阵；6. 计算标准化矩阵（）；7. 使用粗糙集模型选择k-means初始化聚类中心位置并对矩阵进行k-means聚类，把其聚类成k组（）。
基于近似谱聚类算法整体步骤描述，为进行近似谱聚类算法Matlab辅助实验铺垫，绘制近似谱聚类算法流程示意图如图3.1所示。
Matlab辅助实验主要是将示意图3.1中的所示的算法与正交化Nyström低阶子矩阵抽样近似相似矩阵谱聚类算法（ONSP: Orthogonalization Nyström Spectral Clustering）和最近邻稀疏化近似相似矩阵谱聚类算法（tNNSC: Spectral Clustering）进行对比，并验证其聚类效果。
图3.1 近似谱聚类算法流程示意图三、近似谱聚类算法时间复杂度分析现对基于相似矩阵稀疏化方法离群点优化的近似谱聚类算法时间复杂度简单分析，步骤1：使用高斯函数公式构建相似矩阵的时间复杂度是，其中表示数据点数目、表示数据维数，计算数据点和之间的相似度的时间复杂度是，则计算整个数据集的时间复杂度是；步骤2：使用稀疏化矩阵获得半正定矩阵并调整为对称半正定矩阵借助于最大堆，其时间复杂度是，其中是最近邻数；步骤3：优化离群点步骤是非确定性多项式困难问题NP-hard （Non deterministic Ploynomial Hard）问题，其时间复杂度随近似相似度矩阵维数按指数增长；步骤4与步骤5：计算对称半正定拉普拉斯矩阵并找出k个最小非零特征值的特征向量的时间复杂度在论文第二章第二节中已经详细分析过，即；步骤6：计算标准化矩阵的时间复杂度是；步骤7：执行k-means聚类时间复杂度是：，其中表示k-means聚类过程迭代的次数，指待聚类数目。
第三节近似谱聚类算法实验分析一、近似谱聚类算法辅助实验（1）Matlab辅助实验环境描述为验证表3.2所示近似谱聚类算法与正交化Nyström低阶子矩阵抽样近似相似矩阵谱聚类算法和最近邻稀疏化近似相似矩阵谱聚类算法的性能，鉴于Hadoop MapReduce并行实验对比的工作量过大，故仅设计基于Matlab的对比性实验。
Matlab辅助实验环境：近似谱聚类算法（ASC）的Matlab辅助性验证以及其与正交化Nyström低阶子矩阵抽样近似相似矩阵谱聚类算法和最近邻稀疏化近似相似矩阵谱聚类算法的对比。
实验所使用的Matlab版本是：Matlab R2011a，运行Matlab的服务器是：Windows Server 2008 R2 Datacenter，系统处理器：Intel(R) CPU E5-260 0 @ 2.30GHz （2处理器），其内存（RAM）32.0GB，系统类型：64位操作系统。
（2）Matlab辅助实验数据集描述辅助性实验使用的经典文本分类数据集是路透社语料库卷I ：RCV1（Reuters Corpus Volume I）[64]，其具体描述见表3.3所示。
表3.3 实验数据集描述数据集类别数样本数特征维数数据集规模是否归一化来自领域RCV1 103 193844 144 1.23MB 是工业界术语（ECAT）（3）ASC Matlab实验和对比实验本实验主要是验证所提出的基于稀疏相似矩阵优化的谱聚类算法（ASC），图3.2显示分别构造RCV1数据集的稀疏化相似矩阵（t=10，20，30，40，50，100，200，300，400，500），计算相似矩阵离群点优化时间、ASC算法计算总时间、SVD计算时间和k-means计算时间，以及聚类质量（包括NMI 得分和聚类精确值，聚类精确值计算介绍参见论文第五章第三节实验评估标准），NMI标准化交互信息量（Normalized Mutual Information），NMI是主要的聚类质量评估标准，NMI值越大，表明近似谱聚类算法质量越高。
其用于实际的聚类标识CA T（Category label）与实验结果获得的聚类标识CLS（Cluster label），定义如下：（3.8）（3.9）其中，与熵分别表示CA T与CLS的交互信息量、标准化在范围内。
、与分别表示实际的聚类的数据点数、实验结果获得的聚类的数据点数和既属于实际的聚类又属于实验结果获得的聚类的数据点数。
图3.2 ASC计算时间和聚类质量图3.2中可以得出论文提出的ASC算法在优化相似矩阵离群点上的计算时间最耗时，但使用RCV1数据集实验所得的聚类精确度非常高，基于这样的原因，本文研究设计并实现基于Hadoop MapReduce并行近似谱聚类算法。
图3.3 ONSC计算时间和聚类质量图3.3展示论文第二章第三节所介绍的Nyström低阶子矩阵抽样法近似谱聚类算法实验结果，目的是作为参照与所提出的ASC谱聚类实验进对比。
该实验构建相似矩阵所使用的最近邻分别是t=20，30，40，50，100，200，300，400，500，1000，1500，2000，图中分别显示计算Euclidean距离矩阵与构建相似矩阵的时间，以及SVD计算时间、k-means计算时间和ONSC计算的总时间，相对于所提出的ASC聚类，ONSC计算的总时间要小很多，但是其聚类精确度不高。
图3.4 tNNSC计算时间和聚类质量图3.4描述论文第二章第三节所介绍的稀疏化矩阵法近似谱聚类算法实验结果，目的也是作为参照与所提出的ASC谱聚类实验进行对比。
该实验构建相似矩阵所使用的最近邻分别是t=5，15，30，40，50，100，150，200，250，300，350，400，450，500，图中分别显示计算Euclidean距离矩阵的时间，以及SVD计算时间、k-means计算时间和tNNSC计算的总时间，相对于所提出的ASC聚类以及ONSC聚类，tNNSC计算的总时间最少，但是其聚类精确度也不高。
二、ASC Matlab实验结果对比分析根据并行算法研究方法学中复杂性标准和性能评估，设计并行算法时，重要的是考虑算法的时空复杂性，此外，还需要考虑算法的加速比、可扩展性等其它性能参数[65]。
论文验证所提出的基于稀疏相似矩阵优化的谱聚类算法（ASC）旨在分析其计算时间和聚类质量，图3.5更加直观的对比显示优化的ASC算法、ONSC和tNNSC算法的总的计算时间，以及它们各自的SVD计算时间、k-means计算时间；优化的ASC算法、ONSC和tNNSC算法聚类质量，包括聚类的精确值和标准化交互信息量NMI。
图3.5 Matlab辅助实验计算时间和聚类质量对比论文鉴于构建优化的ASC算法近似相似矩阵的优化步骤时间、SVD计算时间、k-means计算时间，考虑ASC算法聚类精确度，研究设计并实现基于Hadoop的并行近似谱聚类算法，以期借助MapReduce并行编程框架达到在保证聚类精确度的前提下显著减少处理大规模高维数据的计算时间。
第四章MapReduce并行计算近似谱聚类算法研究与设计第一节并行算法设计Hadoop分布式集群系统MapRedue并行计算编程模型框架下，基于相似矩阵稀疏化方法离群点优化的近似谱聚类算法并行设计目的是在确保聚类质量的前提下聚类大规模高维数据。
论文基于此目的与MapReduce并行计算编程模型设计并验证第三章所提出的近似谱聚类算法。
一、MapReduce并行算法设计理念Hadoop MapReduce并行近似谱聚类算法设计与分析依赖于MapReduce并行计算模型。
MapReduce并行算法应用程序是同时执行并发作业Task的集合，Task作业集相互通信并同步协调，达到对近似谱聚类的并行求解。
MapReduce并行近似谱聚类并行算法执行分三个函数阶段设计：（1）map()函数：map()函数隶属于Mapper类，Mapper类继承JobConfigurable接口中的MapReduceBase类，接口中的configure方法按照MapReduce应用程序中定义的JobConf参数初始化Mapper类。
MapReduce应用程序使用InputFormat接口的RecordReader类调用InputSplit接口中的getRecordReader方法读取对，Mapper类中重写map()函数并行处理对，main()函数使用Mapper类中的run方法调用MapReduce应用程序中map()函数。
（2）combine()函数：combine()函数实际的功能是“本地的reduce()函数”，属于MapReduce并行计算算法设计中性能优化函数，它隶属于Combiner类，Combiner类继承JobConfigurable接口中的MapReduceBase类并实现Reducer类，重写reduce()函数：reduce(IntWritable key, Iterator<Text> values, OutputCollector <IntWritable, Text> output, Reporter reporter)，实现本地map()函数中间结果值合并，减少网络通信对算法性能的影响。
由于combine()函数阶段中间值对合并操作可以减少MapReduce应用程序中Reduce Task远程拷贝多个Map Task本地数据量（中间值），因此，如果并行近似谱聚类算法中间步骤忽略网络通信对并行算法计算时间的影响，则不考虑combine()函数对并行算法设计的性能优化。
（3）reduce()函数：reduce()函数类继承JobConfigurable接口中的MapReduceBase类并实现Reducer类，reduce()函数与combine()函数的不同之处在于，Reduce Task合并并传输Hadoop集群中不同节点的Map Task输出结果，在MapReduce应用程序中需重写reduce()函数。