2018一轮北师大版(理)数学训练：第8章 第1节 课时分层训练45 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
2018一轮北师大版(理)数学训练：第8章 第9节 课时分层训练53 直线与圆锥曲线的位置关系
课时分层训练(五十三) 直线与圆锥曲线的位置关系A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．1或2D ．0A [因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．]2．已知直线y ＝22(x －1)与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，点M (－1，m )，若MA →·MB →＝0，则m ＝( )A. 2 B ．22 C.12D ．0B [由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得A (2,22)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又∵M (－1，m )且MA →·MB →＝0， ∴2m 2－22m ＋1＝0，解得m ＝22.]3．(2017·南昌模拟)椭圆ax 2＋by 2＝1与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ab 的值为( )A.32B ．233C.932 D ．2327A [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 中点M (x 0，y 0)． 由题设k OM ＝y 0x 0＝32.由⎩⎨⎧ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，得(y 2＋y 1)(y 2－y 1)(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＝－a b . 又y 2－y 1x 2－x 1＝－1，y 2＋y 1x 2＋x 1＝2y 02x 0＝32， 所以a b ＝32.]4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B ．x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1D [由题意知点(2，3)在渐近线y ＝b a x 上，所以b a ＝32，又因为抛物线的准线为x ＝－7，所以c ＝7，故a 2＋b 2＝7，所以a ＝2，b ＝ 3.故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.]5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 218＋y 29＝1 B ．x 227＋y 218＝1 C.x 236＋y 227＝1D ．x 245＋y 236＝1A [因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x－3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2.又a 2＝b 2＋c 2，所以b＝c ＝3，a ＝32，所以E 的方程为x 218＋y 29＝1.] 二、填空题6．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为__________．16 [直线l 的方程为y ＝3x ＋1， 由⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝14， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.]7．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为________．5 [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝ba x ， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax ，y ＝x 2＋1，消去y ，得x 2－ba x ＋1＝0有唯一解，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－4＝0，b a ＝2，e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5.] 8．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 的面积的最大值为__________．2 [不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，∴S △ABF ＝12×2b ×4－b 2＝b 4－b 2＝b 2(4－b 2)≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b 2＝4－b 2，即b 2＝2时取等号)，故△ABF 面积的最大值为2.]三、解答题9．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标.【导学号：57962425】[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由题意得b ＝3，c a ＝12，3分 解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. 5分(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)＋1，8分得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.① 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0， 整理，得96(2k ＋1)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.10分将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.12分10．已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值范围． [解] (1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由条件可得a ＝2，c ＝3，b ＝1，故椭圆C 的方程y 24＋x 2＝1. 5分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. 8分设△OAB 的面积为S ，由x 1x 2＝－3k 2＋4<0，知S ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2| ＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2k 2＋3(k 2＋4)2，10分令k 2＋3＝t ，知t ≥3，∴S ＝21t ＋1t＋2， 对函数y ＝t ＋1t (t ≥3)，知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t 2>0，∴y ＝t ＋1t 在t ∈[3，＋∞)上递增，∴t ＋1t ≥103，∴0<1t ＋1t ＋2≤316，∴S ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2016·四川高考)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B ．23C.22D ．1C [如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，则y 20＝2px 0， 即x 0＝y 202p .设M (x ′，y ′)，由PM →＝2MF →， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y 03.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p ＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．]2．(2017·青岛质检)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为__________．2＋3 [如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为b a ，又直线l 过右焦点F (c,0)，则直线l 的方程为y ＝ba (x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y 2b 2＝1， 化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)． 故点P 的坐标为(2a ，－3b )， 代入直线方程得－3b ＝ba (2a －c )， 化简可得离心率e ＝ca ＝2＋ 3.]3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．图8-9-3(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程.【导学号：57962426】[解](1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，3分∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.5分(2)由题设，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5. 由d <1得|m |<52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2. 8分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4(m 2－3)]＝1524－m2. 10分由|AB||CD|＝534得4－m25－4m2＝1，解得m＝±33，满足(*)．∴直线l的方程为y＝－12x＋33或y＝－12x－33. 12分。
2018高考一轮北师大版数学文练习：第八章 平面解析几
课时分层训练(四十五) 椭 圆A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5A [由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，∴|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.]2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( )【导学号：66482395】A.13 B ．33 C.22D ．12B [原方程化为x 2m 2＋y 2m 3＝1(m >0)，∴a 2＝m 2，b 2＝m 3，则c 2＝a 2－b 2＝m 6，则e 2＝13，∴e ＝33.]3．(2016·盐城模拟)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B ．x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1D ．x 264＋y 248＝1D [设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16， ∴M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1，故选D.]4．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，若P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8C [由题意知，O (0,0)，F (－1,0)，设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋y 2＋x .又∵x 24＋y 23＝1，∴y 2＝3－34x 2，∴OP →·FP →＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2.∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6.]5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1A [∵x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，∴c a ＝33.又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝3，∴b ＝2，∴椭圆方程为x23＋y22＝1.]二、填空题6．已知椭圆的方程是x2a2＋y225＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点F1，则△ABF2的周长为__________．441[∵a>5，∴椭圆的焦点在x轴上．∵|F1F2|＝8，∴c＝4，∴a2＝25＋c2＝41，则a＝41.由椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝|BF2|＋|BF1|＝2a，∴△ABF2的周长为4a＝441.]7．(2017·湖南长沙一中月考)如图8-5-3，∠OFB＝π6，△ABF的面积为2－3，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为__________.图8-5-3【导学号：66482396】x2 8＋y22＝1[设所求椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，由题意可知，|OF|＝c，|OB|＝b，∴|BF|＝a.∵∠OFB＝π6，∴bc＝33，a＝2b.∴S△ABF ＝12·|AF|·|BO|＝12(a－c)·b＝12(2b－3b)b＝2－3，解得b2＝2，则a＝2b＝2 2.∴所求椭圆的方程为x28＋y22＝1.]8．(2016·江苏高考)如图8-5-4，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________.图8-5-463 [将y ＝b 2代入椭圆的标准方程，得x 2a 2＋b 24b 2＝1， 所以x ＝±32a ，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2.又因为F (c,0)，所以BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2.因为∠BFC ＝90°，所以BF →·CF →＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，即c 2－34a 2＋14b 2＝0，将b 2＝a 2－c 2代入并化简，得a 2＝32c 2，所以e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63(负值舍去)．]三、解答题9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值.【导学号：66482397】[解](1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.3分∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. 5分(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <2 3. 8分∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3. 10分∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355. 12分 10．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB . [解] (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，2分又k OM ＝510，从而b 2a ＝510.进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255. 5分(2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6. 8分又AB →＝(－a ，b )，从而有AB →·NM →＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2). 10分 由(1)的计算结果可知a 2＝5b 2， 所以AB →·NM →＝0，故MN ⊥AB . 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知圆M ：x 2＋y 2＋2mx －3＝0(m <0)的半径为2，椭圆C ：x 2a 2＋y 23＝1的左焦点为F (－c,0)，若垂直于x 轴且经过F 点的直线l 与圆M 相切，则a 的值为( )A.34 B ．1 C ．2D ．4C [圆M 的方程可化为(x ＋m )2＋y 2＝3＋m 2， 则由题意得m 2＋3＝4，即m 2＝1(m <0)，∴m ＝－1，则圆心M 的坐标为(1,0)． 又直线l 过椭圆C 的左焦点，且垂直于x 轴， ∴直线l 的方程为x ＝－c . 又∵直线l 与圆M 相切， ∴c ＝1，∴a 2－3＝1，∴a ＝2.]2．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F 2，若13<k <12，则椭圆的离心率的取值范围是__________.【导学号：66482398】⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 [如图所示，|AF 2|＝a ＋c ，|BF 2|＝a 2－c 2a ，∴k ＝tan ∠BAF 2＝|BF 2||AF 2|＝a 2－c 2a a ＋c＝a －ca ＝1－e . 又∵13<k <12，∴13<1－e <12，解得12<e <23.]3．(2017·西安调研)如图8-5-5，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.图8-5-5(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.[解] (1)由题设知c a ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2. 3分 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. 5分(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0. 7分由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2. 9分 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2.所以直线AP 与AQ 的斜率之和为定值2. 12分。
2018一轮北师大版(理)数学训练第1章第1节课时分层训练1集合Word版含解析
课时分层训练(一) 集合A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}，则A∪B＝()A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}C[B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}．又A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．]2．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是() A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C[因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1,1]．]3．(2017·潍坊模拟)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()【导学号：57962003】A．1B．2C．3D．4D[由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．]4．(2016·山东高考)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B ＝()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)C[由已知得A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，则A∪B＝{x|x>－1}．]5．(2017·衡水模拟)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩∁U B ＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅A [∵U ＝{1,2,3,4}，∁U (A ∪B )＝{4}，∴A ∪B ＝{1,2,3}．又∵B ＝{1,2}，∴{3}⊆A ⊆{1,2,3}，又∁U B ＝{3,4}，∴A ∩(∁U B )＝{3}．]6．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )【导学号：57962004】A ．1B ．3C ．7D ．31B [具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.] 7．设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则集合(∁R S )∪T ＝( )A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)C [∵S ＝{x |x ＞－2}，∴∁R S ＝{x |x ≤－2}，又T ＝{x |－4≤x ≤1}，∴(∁R S )∪T ＝{x |x ≤－2}∪{x |－4≤x ≤1}＝{x |x ≤1}．]二、填空题8．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a ＞0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． (－∞，1] [∵1∉{x |x 2－2x ＋a ＞0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.]9．(2016·天津高考)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝________.【导学号：57962005】{1,4} [因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1；当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4；当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7；当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10.即B ＝{1,4,7,10}．又因为A ＝{1,2,3,4}，所以A ∩B ＝{1,4}．]10．集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}，若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________.[－1,0) [由x (x ＋1)＞0，得x ＜－1或x ＞0，∴B ＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A －B ＝[－1,0)．]B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 21－x ＞1，x ∈R ，B ＝{}x | y ＝1－x 2，则(∁R A )∩B ＝( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |－1＜x ＜1}C ．{－1,1}D ．{1}C [集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 21－x ＞1，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜1}，B ＝{}x | y ＝1－x 2＝{x |－1≤x ≤1}，∴∁R A ＝{x |x ≤－1或x ≥1}．因此(∁R A )∩B ＝{－1,1}．]2．(2017·郑州调研)设全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈R }，则图1-1-2中阴影部分表示的区间是( )图1-1-2A ．[0,1]B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C ．[－1,2]D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D [A ＝{x |x 2－2x ≤0}＝[0,2]，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈R }＝[－1,1]．题图中阴影部分表示∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．]3．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________.【导学号：57962006】(－∞，－2][由4≤2x≤16，得2≤x≤4，则A＝[2,4]，又B＝[a，b]，且A⊆B.∴a≤2，b≥4，故a－b≤2－4＝－2.因此a－b的取值范围是(－∞，－2]．]4．设集合A＝{x|x2－x－6＜0}，B＝{x|x－a≥0}．若存在实数a，使得A∩B ＝{x|0≤x＜3}，则A∪B＝________.{x|x＞－2}[A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x≥a}．如图，由A∩B＝{x|0≤x＜3}，得a＝0，A∪B＝{x|x＞－2}．]。
2018高考一轮北师大版数学文练习：第八章 平面解析几
课时分层训练(四十六) 抛物线A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2016·四川高考)抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0,1) C ．(2,0)D ．(1,0)D [由y 2＝4x 知p ＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]2．(2017·云南昆明一中模拟)已知点F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在抛物线C 上，若|AF |＝4，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．1B [由题意易知F (1,0)，F 到准线的距离为2，A 到准线的距离为|AF |＝4，则线段AF 的中点到抛物线C 的准线的距离为2＋42＝3.]3．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y23＝1的渐近线的距离是( )【导学号：66482402】A.12 B ．32 C ．1D ． 3B [由双曲线x 2－y 23＝1知其渐近线方程为y ＝±3x ，即3x ±y ＝0，又y 2＝4x 的焦点F (1,0)，∴焦点F 到直线的距离d ＝3(3)2＋(－1)2＝32.] 4．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±22xB ．y 2＝±2xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42xD [因为双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，p ＝2 2. 所以抛物线方程为y 2＝±42x .]5．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4C [如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由|PF |＝x 0＋2＝42，得x 0＝32，代入抛物线方程得，y 20＝42×32＝24，所以|y 0|＝26，所以S △POF ＝12|OF ||y 0|＝12×2×26＝2 3.] 二、填空题6．(2017·山西四校三联)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，则弦长|AB |为__________.【导学号：66482403】8 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．易得抛物线的焦点是F (1,0)，所以直线AB 的方程是y ＝x －1.联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得x 2－6x ＋1＝0.所以x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8.]7．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为__________．－34 [∵点A (－2,3)在抛物线C 的准线上． ∴－p2＝－2，∴p ＝4，焦点F (2,0)． 因此k AF ＝3－0－2－2＝－34.]8．已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线方程为__________．x 2＝3y [设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2，消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0， 所以x 1＋x 22＝2a2＝3，即a ＝3， 因此所求的抛物线方程是x 2＝3y .] 三、解答题9．抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2＋y 2＝9相交，公共弦MN 的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．[解] 由题意，设抛物线方程为x 2＝2ay (a ≠0)． 设公共弦MN 交y 轴于A ，则|MA |＝|AN |， 且AN ＝ 5. 3分∵|ON |＝3，∴|OA |＝32－(5)2＝2， ∴N (5，±2). 6分∵N 点在抛物线上，∴5＝2a ·(±2)，即2a ＝±52， 故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2＝－52y . 8分 抛物线x 2＝52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，58， 准线方程为y ＝－58. 10分抛物线x 2＝－52y 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程为y ＝58. 12分10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.【导学号：66482404】[解] (1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4. 3分由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9， 所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x . 5分(2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42). 8分设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22). 10分又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303 B ．6 C ．12D ．7 3C [∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点， ∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，∴AB 的方程为y －0＝tan30°⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34. 联立⎩⎨⎧y 2＝3x ，y ＝33x －34，得13x 2－72x ＋316＝0，∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，即x A ＋x B ＝212.由于|AB |＝x A ＋x B ＋p ， ∴|AB |＝212＋32＝12.]2．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝__________.2 [抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4. 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ， y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16. 因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2) ＝16k 2－16k ＋4.所以16k 2－16k ＋4＝0，则k 2－4k ＋4＝0. 因此得k ＝2.]3．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点． (1)若AF →＝2 FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值.【导学号：66482405】[解] (1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1. 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得 y 2－4my －4＝0. 2分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 因为AF →＝2 FB →，所以y 1＝－2y 2. 联立上述三式，消去y 1，y 2得m ＝±24. 所以直线AB 的斜率是±2 2. 5分(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB. 8分因为2S△AOB ＝2×12·|OF|·|y1－y2|＝(y1＋y2)2－4y1y2＝41＋m2，所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4. 12分。
【高三数学试题精选】2018高考数学一轮复习平面解析几何训练(北师大含答案)
2018高考数学一轮复习平面解析几何训练(北师大含答案)
c 第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．直线3x－＋a＝0(a为常数)的倾斜角为( )
A．30° B．60°
c．150° D．120°
解析选B直线的斜率为＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°
2．(2018 河北省衡水中学一模)已知直线l的斜率为3，在轴上的截距为另一条直线x－2－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．＝3x＋2 B．＝3x－2
c．＝3x＋12 D．＝－3x＋2
解析选A因为直线x－2－4＝0的斜率为12，所以直线l在轴上的截距为2，所以直线l的方程为＝3x＋2，故选A
3．(2018 太原质检)若直线l与直线＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( ) A13 B．－13
c．－32 D23
解析选B依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有a＋7＝2，b＋1＝－2，解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为－3－17＋5＝－13
4．直线l经过A(2，1)，B(1，2)(∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0≤α＜π B．0≤α≤π4或π2＜α＜π
c．0≤α≤π4 Dπ4≤α＜π2或π2＜α＜π
解析选B直线l的斜率为＝2－11－2＝1－2≤1，又直线l的倾斜角为α，则有tan α≤1，即tan α＜0或0≤tan α≤1，所以π2＜α＜π或0≤α≤π4故选B
5．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，当x＜0时，f(x)＞1，。
2024届新高考一轮复习北师大版 第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 课件(55张)
y2－y由1 图可知，k＝Δ Δyx 的大小与两点 P1，P2 在直线上的位置无关，称 k＝ x_2_－__x_1(其中 x1≠__x2)为经过不同两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线 l 的斜率．
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4．直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系
π (1)倾斜角不是 2 的直线，它的斜率 k 和它的倾斜角 α 满足 k＝
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夯实·主干知识
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1．一次函数的图象与直线的方程 一般地，一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，它是以满足 y＝ kx＋b 的每一对 x，y 值为坐标的点构成的，同时函数解析式 y＝kx＋b 可以 看作二元一次方程．
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2．直线的倾斜角
在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 l，把 x 轴(正
解析 由|k|＝|tan α|＝1 知 tan α＝±1，
∴α＝π4 或34π .
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4 ． 过 点 P(2 ， 3) 且 在 两 坐 标 轴 上 截 距 相 等 的 直 线 方 程 为 ________________________________________．
大一轮复习讲义 数学（BSD）
第八章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
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【考试要求】 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位 置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率 的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点 斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
一般式 A__x＋___B_y_＋__C_＝__0_(_A_2_＋__B_2_≠__0_)
高考领航北师大数学理总复习 第8章第1课时 直线及其方程含解析
【A 级】 基础训练1．若a ＋b ＝0，则直线y ＝ax ＋b 的图像可能是( )解析：由a ＋b ＝0得a ＝－b ，直线y ＝ax ＋b 在x 轴上的截距为－b a ＝1，故选D.答案：D2．(2014·江门模拟)如果A ·C ＜0，且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由题意知A ·B ·C ≠0，直线方程变为y ＝－A B x －C B .∵A ·C ＜0，B ·C ＜0，∴A ·B ＞0，∴其斜率k ＝－A B ＜0，又y 轴上的截距b ＝－C B ＞0，∴直线过第一、二、四象限．答案：C3．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( )A ．1B ．2C ．－12D ．2或－12解析：当2m 2＋m －3≠0时，在x 轴上的截距为4m －12m 2＋m －3＝1， 即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12.答案：D4．不论k 为何实数，直线(k －1)x ＋y －k ＋1＝0恒过定点________．解析：将直线方程整理得k (x －1)＋y －x ＋1＝0∵k ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，y －x ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.答案：(1,0)5．已知直线的倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5，则该直线的方程为________． 解析：因为直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率为k ＝tan 60°＝3，又因为直线在y 轴上的截距是5，由斜截式，得直线的方程为y ＝3x ＋5.答案：y ＝3x ＋56．(2014·杭州调研)已知直线l 过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b .则直线l 的方程为________．解析：①若a ＝3b ＝0，则直线过原点(0,0)，此时直线斜率k ＝－12，直线方程为x ＋2y ＝0.②若a ＝3b ≠0，设直线方程为x a ＋y b ＝1，即x 3b ＋y b ＝1.由于点P (2，－1)在直线上，所以b ＝－13.从而直线方程为－x －3y ＝1，即x ＋3y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0.答案：x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝07．(2014·孝感模拟)在△ABC 中，已知点A (5，－2)，B (7,3)，且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标；(2)求直线MN 的方程．解：(1)设C (x ，y )．∵AC 的中点M 在y 轴上，∴x ＋52＝0得x ＝－5，又∵BC 的中点N 在x 轴上，∴y ＋32＝0得y ＝－3.∴C (－5，－3)．(2)由(1)知C (－5，－3)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)． 由截距式得MN 的方程为x 1＋y －52＝1即5x －2y －5＝0. 8. (2014·青岛模拟)已知两点A (－1,2)，B (m,3)．(1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)，(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(]0，3，∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3.综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.【B 级】 能力提升1．已知直线的倾斜角的正弦值是32，则此直线的斜率是() A. 3 B ．－ 3 C.32 D ．±3解析：由sin α＝32(0≤α＜π)，得cos α＝±12. 所以k ＝tan α＝sin αcos α＝±3.答案：D2．已知直线l 过点(a,1)，(a ＋1，tan α＋1)，则( )A ．α一定是直线l 的倾斜角B ．α一定不是直线l 的倾斜角C ．α不一定是直线l 的倾斜角D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角解析：根据题意，直线l 的斜率k ＝(tan α＋1)－1(a ＋1)－a ＝tan α.令θ为直线的倾斜角，则一定有θ∈[0°，180°)，且tan θ＝k ，所以若α∈[0°，180°)，则α是直线l 的倾斜角；若α∉[0°，180°)，则α不是直线l的倾斜角，所以α不一定是直线l的倾斜角．答案：C3．(2014·北京海淀一模)已知点A(－1,0)，B(cos α，sin α)，且|AB|＝3，则直线AB的方程为()A．y＝3x＋3或y＝－3x－ 3B．y＝33x＋33或y＝－33x－33C．y＝x＋1或y＝－x－1D．y＝2x＋2或y＝－2x－ 2 解析：|AB|＝(cos α＋1)2＋sin2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB＝±33，即直线AB的方程为y＝±33(x＋1)，所以直线AB的方程为y＝33x＋33或y＝－33x－33，选B.答案：B4．若过点P(－3，1)和Q(0，a)的直线的倾斜角的取值范围为π3≤α≤2π3，则实数a的取值范围是________．解析：过点P(－3，1)和Q(0，a)的直线的斜率k＝a－10＋3＝a－13，又直线的倾斜角的取值范围是π3≤α≤2π3，所以k＝a－13≥3或k＝a－13≤－3，解得：a ≥4或a ≤－2.答案：（― ∞，-2 4，+ ∞)5．(2014·常州模拟)过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________．解析：分两种情况：(1)直线l 过原点时，l 的斜率为－32， ∴直线方程为y ＝－32x ；(2)l 不过原点时，设方程为x a ＋y a ＝1，将x ＝－2，y ＝3代入得a ＝1，∴直线方程为x ＋y ＝1.综上：l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0.答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝06．(2014·苏州模拟)直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________．解析：由题知k ＝－33cos θ，故k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33，结合正切函数的图像，当k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，33时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0时，直线倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π，故直线的倾斜角的范围是：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π 7．(创新题)如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x .设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ： y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为 (3＋3)x －2y －3－3＝0.。
2019一轮北师大版(理)数学训练：第8章 第1节 课时分层训练45 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 含解析
课时分层训练(四十五) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0D [直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.]2．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )【导学号：57962372】A ．a ＋b ＝1B ．a －b ＝1C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0D [由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1.又因为tan α＝－a b ，所以－a b ＝－1，则a ＝b .]3．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1D [由⎩⎨⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1， 故m ≠1时方程表示一条直线．]4．在等腰三角形AOB 中，OA ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1) D[设点B的坐标为(a,0)(a＞0)，由OA＝AB，得12＋32＝(1－a)2＋(3－0)2，则a＝2，∴点B(2,0)，易得k AB＝－3，由两点式，得AB的方程为y－3＝－3(x－1)．]5．(2017·威海模拟)过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π4的直线方程是()A．x＝2 B．y＝1C．x＝1 D．y＝2A[∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为3 4π.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x＝2.]二、填空题6．直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ中点是(1，－1)，则l的斜率是________．－23[设P(m,1)，则Q(2－m，－3)，∴(2－m)＋3－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2,1)，∴k＝1＋1－2－1＝－23.]7．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________.【导学号：57962373】[－2,2][b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值，∴b 的取值范围是[－2,2]．]8．(2017·惠州模拟)直线l 过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l 的方程为________．4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0 [由题意知，截距不为0，设直线l 的方程为x a ＋y 12－a ＝1.又直线l 过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a＝1， 解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.]三、解答题9．(2017·潍坊模拟)直线l 过点(－2,2)且与x 轴，y 轴分别交于点(a,0)，(0，b )，若|a |＝|b |，求l 的方程．[解] 若a ＝b ＝0，则直线l 过点(0,0)与(－2,2)，2分 直线l 的斜率k ＝－1，直线l 的方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.5分 若a ≠0，b ≠0，则直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －2a＋2b ＝1，|a |＝|b |，解得⎩⎨⎧ a ＝－4，b ＝4， 10分 此时，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y ＝0或x －y ＋4＝0.12分10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．[解] (1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，截距存在且均不为0，∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， 3分 ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.6分 (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，8分 ∴⎩⎨⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎨⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1. 10分 综上可知，a 的取值范围是a ≤－1.12分 B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0 B [由条件得点A 的坐标为(－1,0)，点P 的坐标为(2,3)，因为|P A |＝|PB |，根据对称性可知，点B 的坐标为(5,0)，从而直线PB 的方程为y －3－3＝x －25－2，整理得x ＋y －5＝0.]2．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________.【导学号：57962374】3 [直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1.∵动点P (x ，y )在直线AB 上，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[]－(y －2)2＋4≤3，即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3.] 3．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(2)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．[解] (1)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2k k≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；3分当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.5分 (2)由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.7分∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12，10分∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0. 12分。
2018一轮北师大版(理)数学训练第8章第8节课时分层训练52曲线与方程Word版含解析
课时分层训练(五十二) 曲线与方程A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线D [原方程可化为⎩⎨⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．]2．(2017·银川模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0D [由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.]3．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2D [如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，则MA ⊥P A ，且|MA |＝1. 又∵|P A |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|P A |2＝2，则|PM |2＝2， ∴点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.]4．(2016·洛阳模拟)设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( )【导学号：57962419】A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0) D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)A [设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0. 由BP →＝2P A →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )， 即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1， 即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．] 5．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1 OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线A [设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)．∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎨⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．] 二、填空题6．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C的轨迹方程是__________．y 2＝8x [AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2－(－2，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝(x ，y )－⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2.∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0，即y 2＝8x . ∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .]7．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是__________．x 2＝12y [由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离， 故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2＝12y .]8．(2017·中原名校联考)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同于A 1，A 2的两个不同的动点，则直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹方程为__________.【导学号：57962420】x 22＋y 2＝1(x ≠0且x ≠±2) [由题设知|x 1|>2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)，则有直线A 1P 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，① 直线A 2Q 的方程为y ＝－y 1x 1－2(x －2)，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 1，y ＝2y 1x 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x ，y 1＝2y x ，③∴x ≠0，且|x |< 2.∵点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2＝1上，∴x 212－y 21＝1. 将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠0，且x ≠±2)．] 三、解答题9．如图8-8-3所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点．求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．图8-8-3[解] 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 又曲线的对称性及A (x 0，y 0)，得B (x 0，－y 0). 5分设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)，② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0).10分因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0). 12分10．(2017·广州模拟)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，设点P 在x 轴上的正投影为点D .当点P 在圆上运动时，动点M 满足PD →＝2MD →，动点M 形成的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知点E (1,0)，若A ，B 是曲线C 上的两个动点，且满足EA ⊥EB ，求EA →·BA →的取值范围．[解] 设点M 的坐标是(x ，y )，点P 的坐标是(x 0，y 0)，则点D 的坐标为(x 0,0)． 由PD →＝2MD →，得x 0＝x ，y 0＝2y .2分因为点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4.①把x 0＝x ，y 0＝2y 代入方程①， 得x 2＋4y 2＝4.所以曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1. 5分(2)因为EA ⊥EB ，所以EA →·EB →＝0. 所以EA →·BA →＝EA →·(EA →－EB →)＝EA →2.7分 设点A (x 1，y 1)，则x 214＋y 21＝1，即y 21＝1－x 214. 所以EA →·BA →＝EA →2＝(x 1－1)2＋y 21 ＝x 21－2x 1＋1＋1－x 214＝34x 21－2x 1＋2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432＋23.10分因为点A (x 1，y 1)在曲线C 上，所以－2≤x 1≤2. 所以23≤34⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432＋23≤9， 所以EA →·BA →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，9.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·湖南东部六校联考)已知两定点A (0，－2)，B (0,2)，点P 在椭圆x 212＋y 216＝1上，且满足|AP →|－|BP →|＝2，则AP →·BP →为( )A ．－12B ．12C ．－9D ．9D [由|AP →|－|BP →|＝2，可得点P (x ，y )的轨迹是以两定点A ，B 为焦点的双曲线的上支，且2a ＝2，c ＝2，∴b ＝ 3.∴点P 的轨迹方程为y 2－x 23＝1(y ≥1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 216＝1，y 2－x 23＝1，解得⎩⎨⎧x 2＝9，y 2＝4，∴AP →·BP →＝(x ，y ＋2)·(x ，y －2)＝x 2＋y 2－4＝9＋4－4＝9.]2．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为__________．4π [设P (x ，y )，由|P A |＝2|PB |， 得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， ∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0. ∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，半径为2的圆． 即轨迹所包围的图形的面积等于4π.]3．在平面直角坐标系xOy 中，动点P (x ，y )到F (0,1)的距离比到直线y ＝－2的距离小1.(1)求动点P 的轨迹W 的方程；(2)过点E (0，－4)的直线与轨迹W 交于两点A ，B ，点D 是点E 关于x 轴的对称点，点A 关于y 轴的对称点为A 1，证明：A 1，D ，B 三点共线.【导学号：57962421】[解] (1)由题意可得动点P (x ，y )到定点F (0,1)的距离和到定直线y ＝－1的距离相等，所以动点P 的轨迹是以F (0,1)为焦点，以y ＝－1为准线的抛物线．所以动点P 的轨迹W 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l 的方程为y ＝kx －4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 1(－x 1，y 1)． 由⎩⎨⎧y ＝kx －4，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx ＋16＝0， 则Δ＝16k 2－64＞0，即|k |＞2， x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝16， 直线A 1B ：y －y 2＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)， 所以y ＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)＋y 2，即y＝x22－x214(x1＋x2)(x－x2)＋14x22，整理得y＝x2－x14x－x22－x1x24＋14x22，即y＝x2－x14x＋x1x24.直线A1B的方程为y＝x2－x14x＋4，显然直线A1B过点D(0,4)．所以A1，D，B三点共线．。
高考数学一轮复习 课后限时集训45 垂直关系 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题
课后限时集训45垂直关系建议用时：45分钟一、选择题1．(2019·某某模拟)已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，若α⊥β，则下列结论正确的是( )A．l∥β或lβB．l∥mC．m⊥αD．l⊥mA[直线l⊥平面α，α⊥β，则l∥β或lβ，A正确，故选A.]2．已知直线m，n和平面α，β，则下列四个命题中正确的是( )A．若α⊥β，mβ，则m⊥αB．若m⊥α，n∥α，则m⊥nC．若m∥α，n∥m，则n∥αD．若m∥α，m∥β，则α∥βB[对于A，若α⊥β，mβ，则当m与α，β的交线垂直时才有m⊥α，故A错；对于B，若n∥α，则α内存在直线a，使得a∥n，∵m⊥α，∴m⊥a，∴m⊥n，故B正确；对于C，当nα时，显然结论错误，故C错；对于D，若α∩β＝l，则当m∥l时，显然当条件成立时，结论不成立，故D错．故选B.]3.如图，在四面体DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDEC[因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]4.(2019·某某模拟)如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，则四面体PABC的四个面中，直角三角形的个数有( )A．4个B．3个C．2个D．1个A[∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，△ABC是直角三角形．又PA⊥⊙O所在平面，∴△PAC，△PAB是直角三角形．且PA⊥BC，因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线，∴BC⊥平面PAC, ∴△PBC是直角三角形．从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是4.故选A.]5．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( )A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥ACC[如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴选项B，D错误；∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故选项C正确；(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1.)∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故选项A错误．故选C.]二、填空题6．(2019·高考)已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.如果l⊥α，m∥α，则l⊥m(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α) [将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：(1)如果l⊥α，m∥α，则l⊥m，正确；(2)如果l⊥α，l⊥m，则m∥α，正确；(3)如果l⊥m，m∥α，则l⊥α，错误，有可能l与α斜交或l∥α.]7.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为________．13[连接A 1C 1，则∠AC 1A 1为AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角． 因为AB ＝BC ＝2，所以A 1C 1＝AC ＝22，又AA 1＝1，所以AC 1＝3，所以sin ∠AC 1A 1＝AA 1AC 1＝13.] 8.(2019·潍坊模拟)四面体P ABC 中，PA ＝PB ＝PC ，底面△ABC为等腰直角三角形，AC ＝BC ，O 为AB 中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面________．(只填序号)①平面PAB ；②平面ABC ；③平面PAC ；④平面PBC ；⑤平面POC .②⑤(答案不唯一) [∵四面体P ABC 中，PA ＝PB ＝PC ，底面△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，O 为AB 中点， ∴CO ⊥AB ，PO ⊥AB ，CO ∩PO ＝O ， ∴AB ⊥平面POC .∵AB 平面ABC, ∴平面POC ⊥平面ABC ， ∴两个相互垂直的平面为②⑤.]三、解答题9．(2019·某某高考)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB ＝BC .求证：(1)A 1B 1∥平面DEC 1；(2)BE ⊥C 1E .[证明] (1)因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1，所以A 1B 1∥ED .又因为ED 平面DEC 1，A 1B 1平面DEC 1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.(2)因为AB ＝BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC .因为三棱柱ABC A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .又因为BE 平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C 平面A 1ACC 1，AC 平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC ＝C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1. 因为C 1E 平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .10.如图，三棱锥P ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，PA ⊥PC ，PB ＝2.(1)求证：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)若PA ＝PC ，求三棱锥P ABC 的体积．[解] (1)证明：如图，取AC 的中点O ，连接BO ，PO ，因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3.因为PA ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1. 因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB .因为AC ∩OP ＝O ，AC ，OP 平面PAC ，所以BO ⊥平面PAC .又OB 平面ABC ，所以平面PAC ⊥平面ABC .(2)因为PA ＝PC ，PA ⊥PC ，AC ＝2，所以PA ＝PC ＝ 2.由(1)知BO ⊥平面PAC ，所以V P ABC ＝V B APC ＝13S △PAC ·BO ＝13×12×2×2×3＝33.1．(2019·武邑模拟)如图所示，在斜三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BAC＝90°，BC 1⊥AC ，则点C 1在平面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上B ．直线BC 上C ．直线AC 上D ．△ABC 的内部A[连接AC1(图略)，因为AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1，又AC平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB 上，故选A.]2．(2019·某某模拟)如图所示，在正方形ABCD中，AC为对角线，E，F分别是BC，CD 的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D 三点重合，重合后的点记为H.下列说法错误的是________．(将符合题意的序号填到横线上)①AG⊥△EFH所在平面；②AH⊥△EFH所在平面；③HF⊥△AEF所在平面；④HG⊥△AEF 所在平面．①③④[根据折叠前AB⊥BE，AD⊥DF可得折叠后AH⊥HE，AH⊥HF，可得AH⊥平面EFH，即②正确；∵过点A只有一条直线与平面EFH垂直，∴①不正确；∵AG⊥EF，AH⊥EF，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，该直线一定在平面HAG内，∴③不正确；∵HG不垂直AG，∴HG⊥平面AEF不正确，④不正确，综上，说法错误的是①③④.] 3．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB 两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为________．2 [如图，过点P作PO⊥平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离．再过O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接PC，PE，PF，则PE⊥AC，PF⊥BC.又PE＝PF＝3，所以OE＝OF，所以CO为∠ACB的平分线，即∠ACO＝45°.在Rt△PEC中，PC＝2，PE＝3，所以CE＝1，所以OE＝1，所以PO＝PE2－OE2＝32－12＝ 2.]4.在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，EA ＝ED ＝AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，M 为BC 的中点．(1)求证：FM ∥平面BDE ；(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ，求点F 到平面BDE 的距离．[解] (1)证明：取BD 的中点O ，连接OM ，OE ，因为O ，M 分别为BD ，BC 的中点，所以OM ∥CD ，且OM ＝12CD .因为四边形ABCD 为菱形，所以CD ∥AB ，又EF ∥AB ，所以CD ∥EF ，又AB ＝CD ＝2EF ，所以EF ＝12CD ，所以OM ∥EF ，且OM ＝EF ，所以四边形OMFE 为平行四边形，所以MF ∥OE .又OE 平面BDE ，MF 平面BDE ，所以MF ∥平面BDE .(2)由(1)得FM ∥平面BDE ，所以点F 到平面BDE 的距离等于点M 到平面BDE 的距离．取AD 的中点H ，连接EH ，BH ，因为EA ＝ED ，四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，所以EH ⊥AD ，BH ⊥AD .因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ∩平面ABCD ＝AD ，EH 平面ADE ，所以EH ⊥平面ABCD ，所以EH ⊥BH ，易得EH ＝BH ＝3，所以BE ＝6，所以S △BDE ＝12×6×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝152.设点F 到平面BDE 的距离为h ，连接DM ，则S △BDM ＝12S △BCD ＝12×34×4＝32，连接EM ，由V 三棱锥E BDM ＝V 三棱锥M BDE ，得13×3×32＝13×h ×152， 解得h ＝155， 即点F 到平面BDE 的距离为155.1．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A.334B.233C.324D.32 A [记该正方体为ABCD A ′B ′C ′D ′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面α所成的角都相等．如图，连接AB ′，AD ′，B ′D ′，因为三棱锥A ′AB ′D ′是正三棱锥，所以A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面AB ′D ′所成的角都相等．分别取C ′D ′，B ′C ′，BB ′，AB ，AD ，DD ′的中点E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，FG ，GH ，IH ，IJ ，JE ，易得E ，F ，G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ 与平面AB ′D ′平行，且截正方体所得截面的面积最大．又EF ＝FG ＝GH ＝IH ＝IJ ＝JE ＝22，所以该正六边形的面积为6×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝334，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为334，故选A.] 2．如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ，DE ⊥AB ，沿DE 将△AED 折起到△A 1ED 的位置，连接A 1B ，A 1C ，M ，N 分别为A 1C ，BE 的中点，如图2.图1 图2(1)求证：DE ⊥A 1B ；(2)求证：MN ∥平面A 1ED ；(3)在棱A 1B 上是否存在一点G ，使得EG ⊥平面A 1BC ？若存在，求出A 1G GB的值；若不存在，说明理由． [解] (1)证明：∵在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ，DE ⊥AB ， 沿DE 将△AED 折起到△A 1ED 的位置，∴DE ⊥A 1E ，DE ⊥BE ，∵A 1E ∩BE ＝E ，∴DE ⊥平面A 1BE ，∵A 1B 平面A 1BE ，∴DE ⊥A 1B .(2)证明：取CD 中点F ，连接NF ，MF ，∵M ，N 分别为A 1C ，BE 的中点，∴MF ∥A 1D ，NF ∥DE ，又DE ∩A 1D ＝D ，NF ∩MF ＝F ，DE 平面A 1DE ，A 1D 平面A 1DE ，NF 平面MNF ，MF 平面MNF .∴平面A 1DE ∥平面MNF ，∴MN ∥平面A 1ED .(3)取A 1B 的中点G ，连接EG ，∵A 1E ＝BE ，∴EG ⊥A 1B ，由(1)知DE ⊥平面A 1BE ，∵DE ∥BC ，∴BC ⊥平面A 1BE ，∴EG ⊥BC ，又A 1B ∩BC ＝B ，∴EG ⊥平面A 1BC .故棱A 1B 上存在中点G ，使得EG ⊥平面A 1BC ，此时A 1G GB ＝1.。
【北师大版】高三数学一轮课时作业【45】(含答案)
课时作业45 直线方程与两直线的位置关系一、选择题(每小题5分，共40分)1．直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变化时，所有直线都过定点( )A ．(－12，3)B ．(12，3) C ．(12，－3)D ．(－12，－3)解析：原方程可化为(2x ＋1)－m (y ＋3)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，y ＋3＝0，解得x ＝－12，y ＝－3，故所有直线都过定点(－12，－3)．答案：D2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．[π6，π3)B ．(π6，π2)C ．(π3，π2)D ．[π6，π2]解析：如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k P A ＝33，则直线P A 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是(π6，π2)．答案：B3．(2014·咸阳一模)过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为()A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0解析：由题意可设所求直线方程为：x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.答案：A4．(2014·江西八所重点高中联考)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x ＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此时l1∥l2，所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件；当l1∥l2时，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1.当a＝1时，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0，此时l1与l2重合，所以a＝1不满足题意，即a＝0.所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的必要条件．答案：C5．已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，把直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．3x －y ＋6＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －3y －2＝0解析：由题意知M (2,0)，设已知直线和所求直线的倾斜角分别为α，β，则β＝α＋45°且tan α＝2,45°<α<90°，tan β＝tan(α＋45°)＝tan α＋tan45°1－tan αtan45°＝－3，所以所求直线方程为y －0＝－3(x －2)， 即3x ＋y －6＝0. 答案：A6．点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 解析：令k ＝y －2x －1，则k 可以看成过点D (1,2)和点P (x ，y )的直线斜率，显然k DA 是最小值，k BD 是最大值．由于不包含边界，所以k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. 答案：D7．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( )A ．[0，π)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2； 当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ. ∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.综上知倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，故选C.答案：C8．(2013·新课标Ⅱ理，12)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1－22，12) C ．(1－22，13]D ．[13，12)解析：如图(1)，①若a ＝0，设y ＝b 0，S △CEF ＝12S △ABC ＝12，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 0，y ＝－x ＋1，可解得交点E (22，1－22)． 又a >0，∴b >1－22.②a >0时，如图(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝－x ＋1，交点M (1－b a ＋1，a ＋b a ＋1)与x 轴交点为N (－ba ，0)，|MN |＝(a ＋b )2(a 2＋1)a 2(a ＋1)2，点(1,0)到y ＝ax ＋b 距离为d ，d ＝|a ＋b |a 2＋1， 由12|MN |·d ＝12，∴|MN |＝1， 整理得，b 2＋2ab －a ＝0， ∴a ＝b 21－2b >0，∴b <12，综上可得1－22<b <12. 答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)9．若直线l 的斜率k 的取值范围为[－1，3]，则它的倾斜角α的取值范围是________．解析：由－1≤k ≤3，即得－1≤tan α≤3， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π10．平面上三条直线x －2y ＋1＝0，x －1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的取值集合为________．解析：由于直线x －2y ＋1＝0与x －1＝0相交于点(1,1)，所以要使这三条直线将平面划分为六部分．有以下三种情况：(1)这三条直线交于一点(1,1)，此时1＋k ＝0，k ＝－1.(2)x ＋ky ＝0与x －2y ＋1＝0平行，此时k ＝－2. (3)x ＋ky ＝0与x －1＝0平行，此时k ＝0.综上知，k ＝0或－1或－2，实数k 的取值集合为{0，－1，－2}． 答案：{0，－1，－2}11．已知直线的倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5，则该直线的方程为________．解析：因为直线的倾斜角是60°，所以直线的斜率k ＝tan60°＝3，又因为直线在y 轴上的截距是5，由斜截式得直线的方程为y ＝3x ＋5.答案：y ＝3x ＋5三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4， 它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3，3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ， 则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ， 它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.13．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3.解得λ＝2或λ＝12.∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离， 则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)． ∴d max ＝|P A |＝10.14．已知直线l 1：x －y ＋3＝0，直线l ：x －y －1＝0.若直线l 1关于直线l 的对称直线为l 2，求直线l 2的方程．解：法1：因为l 1∥l ，所以l 2∥l ， 设直线l 2：x －y ＋m ＝0(m ≠3，m ≠－1)． 直线l 1，l 2关于直线l 对称， 所以l 1与l ，l 2与l 间的距离相等． 由两平行直线间的距离公式得 |3－(－1)|2＝|m －(－1)|2， 解得m ＝－5或m ＝3(舍去)． 所以直线l 2的方程为x －y －5＝0.法2：由题意知l 1∥l 2，设直线l 2：x －y ＋m ＝0(m ≠3，m ≠－1)． 在直线l 1上取点M (0,3)，设点M 关于直线l 的对称点为M ′(a ，b )，于是有⎩⎨⎧b －3a ×1＝－1，a ＋02－b ＋32－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－1，即M ′(4，－1)．把点M ′(4，－1)代入l 2的方程，得m ＝－5， 所以直线l 2的方程为x －y －5＝0.。
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课时分层训练(四十五) 直线的倾斜角与
斜率、直线的方程
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0
D ．x ＋y ＋1＝0
D [直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.]
2．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )
【导学号：57962372】
A ．a ＋b ＝1
B ．a －b ＝1
C ．a ＋b ＝0
D ．a －b ＝0
D [由sin α＋cos α＝0，得sin α
cos α＝－1，即tan α＝－1. 又因为tan α＝－a b ，所以－a
b ＝－1，则a ＝b .]
3．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )
A ．m ≠－3
2 B ．m ≠0 C ．m ≠0且m ≠1
D ．m ≠1
D [由⎩
⎨⎧
2m 2
＋m －3＝0，
m 2－m ＝0，解得m ＝1，
故m ≠1时方程表示一条直线．]
4．在等腰三角形AOB 中，OA ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )
A ．y －1＝3(x －3)
B ．y －1＝－3(x －3)
C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1) D[设点B的坐标为(a,0)(a＞0)，
由OA＝AB，得12＋32＝(1－a)2＋(3－0)2，则a＝2，
∴点B(2,0)，易得k AB＝－3，
由两点式，得AB的方程为y－3＝－3(x－1)．]
5．(2017·威海模拟)过点(2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π
4的直线方程是()
A．x＝2 B．y＝1
C．x＝1 D．y＝2
A[∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为3 4π.
依题意，所求直线的倾斜角为3π
4－
π
4＝
π
2，斜率不存在，
∴过点(2,1)的所求直线方程为x＝2.]
二、填空题
6．直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于P，Q两点，线段PQ中点是(1，－1)，则l的斜率是________．
－2
3[设P(m,1)，则Q(2－m，－3)，
∴(2－m)＋3－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2,1)，
∴k＝
1＋1
－2－1
＝－
2
3.]
7．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________.
【导学号：57962373】[－2,2][b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，
如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值，
∴b 的取值范围是[－2,2]．]
8．(2017·惠州模拟)直线l 过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l 的方程为________．
4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0 [由题意知，截距不为0，设直线l 的方程为x a ＋
y 12－a ＝1.
又直线l 过点(－3,4)， 从而－3a ＋412－a
＝1，
解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.] 三、解答题
9．(2017·潍坊模拟)直线l 过点(－2,2)且与x 轴，y 轴分别交于点(a,0)，(0，b )，若|a |＝|b |，求l 的方程．
[解] 若a ＝b ＝0，则直线l 过点(0,0)与(－2,2)，
2分 直线l 的斜率k ＝－1，直线l 的方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0. 5分
若a ≠0，b ≠0，则直线l 的方程为x a ＋y
b ＝1， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
－2a
＋2b ＝1，
|a |＝|b |，
解得⎩
⎨⎧
a ＝－4，
b ＝4，
10分
此时，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.
综上，直线l 的方程为x ＋y ＝0或x －y ＋4＝0. 12分
10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．
[解] (1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.
当直线不过原点时，截距存在且均不为0，
∴
a －2
a ＋1
＝a －2，即a ＋1＝1， 3分
∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.
因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. 6分 (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， 8分 ∴⎩⎨⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎨⎧
－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1. 10分 综上可知，a 的取值范围是a ≤－1.
12分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )
A ．2x ＋y －7＝0
B ．x ＋y －5＝0
C ．2y －x －4＝0
D ．2x －y －1＝0
B [由条件得点A 的坐标为(－1,0)，点P 的坐标为(2,3)，因为|P A |＝|PB |，根据对称性可知，点B 的坐标为(5,0)，从而直线PB 的方程为y －3－3＝x －2
5－2
，整理得x ＋y －5＝0.]
2．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________.
【导学号：57962374】
3 [直线AB 的方程为x 3＋y
4＝1.
∵动点P (x ，y )在直线AB 上，则x ＝3－3
4y ， ∴xy ＝3y －34y 2＝3
4(－y 2＋4y ) ＝34[]－(y －2)2
＋4≤3，
即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，2时，xy 取最大值3.]
3．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；
(2)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为
坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．
[解] (1)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－
1＋2k
k ，在y 轴上
的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋2k k ≤－2，
1＋2k ≥1，解得k
＞0；3分
当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0. 5分
(2)由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
－
1＋2k
k ＜0，1＋2k ＞0，
解得k ＞0.7分
∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·(1＋2k )2
k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12
×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝1
2，10分 ∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0. 12分。