第四讲 物性效应模型

物性效应模型
电学量：E，D一阶张量 机械量：T，S二阶张量（6阶矢量） S E , S D : 短路，开路柔顺矩阵（6x6） ε T , ε S :自由，夹持介电常数矩阵（3x3） c E , c D ：短路，开路刚度常数矩阵（6x6） β T , β S ：自由，夹持介电隔离率矩阵（3x3） d ：压电应变常数矩阵（3x6） d' ：逆压电常数矩阵（6x3）
T，S，E，D 与其余11个参量间存在耦合关系，
式中右第2项及以后为零，各式表示的为主效 应，右边1，3及以后各项为零，表示正压电效 应、逆压电效应及二者的反向压电效应。 其它能量间的耦合关系可用样列写。
约定：外层节点（广义力）和内层节点（广 义位移），只表示两层，即一次效应； 注：若描述大于二次效应，需增加节点层数。 麦克斯韦关系式在模型中的呈现规律： ∂D ∂S ∂D ∂S * ∂S ∂S * 交叉效应： = , = , =
四种能量间的物性效应新模型
β ：压磁常数矩阵； d ：压电系数矩阵；
q ：热磁常数矩阵； p：热电系数矩阵；
m ：磁介电常数矩阵； α ：热膨胀矩阵；
对角线：主效应 其它：交叉效应系数，对称分布，非独立，存在联 系。
1）逆压电效应系数在数值上等于压电效应系数
dij = d ji
2）热膨胀系数在数值上等于压热效应
第四讲 物性效应模型
一、物性效应和规律的能量属性分类 传感器，执行器统称变换器，依赖某种物性效应或规律。 输入或 输出或输入信号{能量，信息} 输出信号 包含电和非电量之间变换，相同工作原理的变换器、可逆性
能量属性分类
系统建模中功率变量分类： 刚性平动，刚体转动，流体运动，电，磁，热 前三类：机械能，作用于敏感材料上——应力， 应变形式作用 三种机械能之间：机械结构作用，活塞，力臂 物性效应和规律：不同能量域之间信息，能量 变换的根据 物性效应：物理效应，化学效应，生物效应等 研究：认识，发现，使用，物性效应
dU = ∑ (±ϕ d Ω ± Ωdϕ )
ω =1
6
ϕ , Ω：势函数的共轭参量，自变量 Ω, ϕ 为广义位 ϕ ϕ Ω 移时， d Ω 前取正， , ϕ 为广义力时， d Ω 前取负。 2）晶体物性效应的通用表达式 主效应：同一能量系统之间的物性关系； 共轭参量：构成主效应的两个参量，积为势函 数，比为物性参数；
S = d'E
物性效应模型
三种能量之间物性效应模型的另一形式：
Thurston模型，1994 去掉热学量，增加光学量（ E' , D' ） 光作为电磁能的一部分简化 事实上：光在物质相互作用主要起作用的是光量子的能量
三、四种能量间的物性效应新模型
大连理工，加入磁学量，构成四种能量间的 变换耦合模型
四种能量间的物性效应新模型
晶体力学能量矢量方程：
G = U − θ S − Ti S j − Ek Dl − H m Bn
*
(i, j = 1, 2,⋯ 6; k , l = 1, 2,3; m, n = 1, 2,3)
G：可做功的吉布斯自由能； θ S * 热能； U：物质内能； TS：机械能；ED：电能；HB：磁能
α ij = α ji
3）热释电系数系数等于电热效应
pij = p ji
4）电磁效应与磁电效应系数相等
mij = m ji
其它，热磁与磁热，压磁与磁致伸缩也互逆。
四、六种能量间物性效应新模型
大连理工 引入光学与声学量：示强变量（广义力） 示容变量（广义位移） 示强变量：对角线相互正交的正方形顶点 （ ± x, ± y , ± z ） 示容变量：两正方形交线上 盒式结构：6种主效应，126种交叉效应（12节点， 12x11-6）
KΛ 光能， 为光能（光子能量）的示强变量， K 为光能示容变量； Λ
p PV声能， 为有效声压（广义力，示强变 量），V 为质量有效速度（示容变量，广义位
移）；
o, p, q, r = 1, 2,3
G* = 0 则物质内能
U = θ S * + Ti S j + Ek Dl + H m Bn + K 0 Λ p + PqVr
j j 参量的系数，6个广义力和广义位移， = 1, 2,⋯ ,12
Yi l ：两种参量之间的耦合矩阵； Z l ：第 K 个与 X i 耦合的自变量参量；
Z 为标量， = 1 l
Z 为一阶张量， = 1, 2,3 , Z 为二阶张量（可化 l 为6维矢量） = 1, 2,⋯ 6 l 当 X i 为 Di 时，只考虑机电耦合情况 k = 1, 2,3
∂T ∂E ∂θ ∂E ∂θ ∂T ∂S ∂E ∂D ∂θ ∂S ∂θ 平行效应： = − , * = − , * = − ∂D ∂T ∂S ∂E ∂S ∂T
两种能量之间的耦合：（15种） 交叉效应系数相等，平行效应的系数互为倒 数且符号相反。 六种能量之间：每一物性量（广义力和广义位移） 与其它量之间的本构关系，一级近似可写为：
D ε11 d12 S d s = 21 22 S * p31 α 32 B m41 β 42 p13 m14 E α 23 β 24 T c33 q34 θ q43 µ 44 H
物性效应模型
简化：突出主效应，确定物理条件和边界条件。如：绝 热（等温等熵）时，机电效应模型变成TSDE梯型。
四个参数中任一参数是其他三个量的函数。
物性效应模型
若设定边界条件，本构方程中一个因变量只有两 个自变量相对应。
机械自由S = s ET + d'E T 电学短路D = dT + e E 机械夹持T = c ET - e'E S 电学短路D = eS + ε E 机械自由S = s DT + g'D T 电学开路E = -gT + β D 机械夹持T = c D S - h'D S 电学开路E = -hs - β D
{[ X ] }
个数；
i j n
12 = ∑ ±Yil {Z l }m 1
n ：12个被示参量单列矩阵单元个数；
m ：与 X i 耦合的12个自变量的单列矩阵单元
6种能量间物性效应一览表
外层各顶点之间即各参量之间的耦合关系为交 叉效应，包括正效应及逆效应，共6种： 压电效应；热电效应；热弹效应；电磁效应； 热磁效应；机磁效应(表2-1)
Dl = dli Ti ,⋯ , Bn = β niTi
四种能量间的物性效应新模型
其边界条件：自变量与因变量唯一，其它一 切与之耦合的参量视为常量或零。 一次近似，Taylor展开：
交叉效应：不同能量系统之间的物性关系； 通过物性参量的本构关系的广义表达式将 所有物性效应表达出来。 例： 机电耦合（正压电效应），ETSD 梯形
Dl = Slk Ek + dliTi + llj S j + Plθ + mlk H k + ⋯ S j = rjiTi + d jk Ek + e ji Di + α jθ + β jk H k + ⋯ Ek = ε kl Dl + d kj S j + υkiTi + nkθ + tkk H k + ⋯ Ti = rij S j + dil Dl + υik Ek + uiθ + ωik H k + ⋯
物性效应模型
e ：压电应力常数矩阵 g ：压电电压常数矩阵 h ：压电刚度常数矩阵
即：不同边界条件下，无论主效应还是交叉效应 的常数矩阵不同（相对差值一般在10−2 数量级， 如主效应的柔顺系数s，刚度系数c，介电常数 , ε 电隔离率 ） β
物性效应模型
一般情况：将物理条件，边界条件限定在单 一物性效应状态下，一个因变量对应一个自 变量 取一级近似，在平衡态附近用Taylor展开一阶 项 压电效应： D = dT
四种能量间的物性效应新模型
应用该热力学方程可推导出：机（压）电 效应方程，电磁，磁热，热弹效应方程 双重正方形外侧4个顶点：示强变量（势变 量，约束变量，自变量，强度变量，广义 力） 内正方形4个顶点：示容变量（示量变量， 响应变量，因变量，广义位移）
四种能量间的物性效应新模型
内外顶点之间：同一能量系统参数间的关系， 称主效应。 热力学主效应：熵 S * = cθ ，c —热容量 力学主效应： j = s jiTi ，s —柔顺系数 S ε 电学主效应：Dl = ε lk Ek ， —介电常数，极化率 张量 B 磁学主效应： n = µ nm H m，µ —磁导率
三种能量之间的物性效应模型
固体物理，晶体物理中广泛应用：物体受外界作 用时呈现多种响应。 定量表达形式（物性效应本构方程）：
T = f ( S , E , D, S * , θ ) S = f (T , E , D, S * ,θ ) ⋮
θ = f (T , S , E , D, S * )
任一参量是其余五个参数的函数
二、三种能量之间的物性效应模型
1925年，Hechmamn G提出机械能，电能， 热能之间的耦合关系。
三种能量之间的物性效应模型
三角形外层顶点：示强变量（自变量）， 势变量，称集中变量，约束变量，强度 变量，广义力 三角形内层顶点：示容变量（因变量）， 称广延变量，响应变量，示容变量，广 义位移。 内外三角形对应顶点连线：主效应 各顶点之间的连线：交叉效应
[ X i ] j = ∑ ±[Yil Z l ]k
k =1
12
i X i：被示参量的 i 维失量， X 为标量， = 1， 如 θ , S * , X 为一阶张量，如 E , D, H , B, K , P, i = 1, 2,3; T X 为二阶张量（可化为6阶失量）， , S , i = 1, 2,⋯ 6