【小初高学习]2017年高考数学一轮复习 第十一章 算法初步 第76课 基本算法语句(2)教案
高三理科数学一轮总复习第十一章 算法初步(教师用书).doc
第十一章算法初步高考导航知识网络11.1 算法的含义与程序框图典例精析题型一 算法的含义【例1】已知球的表面积是16π，要求球的体积，写出解决该问题的一个算法. 【解析】算法如下： 第一步，s ＝16π. 第二步，计算R ＝s 4π. 第三步，计算V ＝4πR 33.第四步，输出V .【点拨】给出一个问题，设计算法应该注意：(1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法，此问题涉及到的各种情况； (2)将此问题分成若干个步骤； (3)用简练的语句将各步表述出来.【变式训练1】设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法.图中给出程序的一部分，则在横线①上不能填入的数是( )A.13B.13.5C.14D.14.5【解析】当I ＜13成立时，只能运算 1×3×5×7×9×11.故选A.题型二 程序框图【例2】图一是某县参加高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1，A 2，…，A 10(如A 2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数).图二是统计图一中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160～180 cm(含160 cm ，不含180 cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( )A.i ＜6？B.i ＜7？C.i ＜8？D.i ＜9？图一【解析】根据题意可知，i 的初始值为4，输出结果应该是A 4＋A 5＋A 6＋A 7，因此判断框中应填写i ＜8？，选C.【点拨】本题的命题角度较为新颖，信息量较大，以条形统计图为知识点进行铺垫，介绍了算法流程图中各个数据的引入来源，其考查点集中于循环结构的终止条件的判断，考查了学生合理地进行推理与迅速作出判断的解题能力，解本题的过程中不少考生误选A ，实质上本题中的数据并不大，考生完全可以直接从头开始限次按流程图循环观察，依次写出每次循环后的变量的赋值，即可得解.【变式训练2】(辽宁)某店一个月的收入和支出，总共记录了N 个数据a 1，a 2，…，a N .其中收入记为正数，支出记为负数，该店用如图所示的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V ，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的( )A.A ＞0？，V ＝S －TB.A ＜0？，V ＝S －TC.A ＞0？，V ＝S ＋TD.A ＜0？，V ＝S ＋T 【解析】选C.题型三 算法的条件结构【例3】某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算： f ＝⎩⎨⎧⨯-+⨯).50＞(85.0)50(53.050),50≤＜0(53.0ωωωω 其中f (单位：元)为托运费，ω为托运物品的重量(单位：千克)，试写出一个计算费用f 的算法，并画出相应的程序框图.【解析】算法如下：第一步，输入物品重量ω.第二步，如果ω≤50，那么f＝0.53ω，否则，f＝50×0.53＋(ω－50)×0.85.第三步，输出托运费f.程序框图如图所示.【点拨】求分段函数值的算法应用到条件结构，因此在程序框图的画法中需要引入判断框，要根据题目的要求引入判断框的个数，而判断框内的条件不同，对应的框图中的内容或操作就相应地进行变化.【变式训练3】(天津)阅读如图的程序框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写()A.i＜3？B.i＜4？C.i＜5？D.i＜6？【解析】i＝1，s＝2－1＝1；i＝3，s＝1－3＝－2；i＝5，s＝－2－5＝－7.所以选D.题型四算法的循环结构【例4】设计一个计算10个数的平均数的算法，并画出程序框图.【解析】算法步骤如下：第一步，令S＝0.第二步，令I＝1.第三步，输入一个数G.第四步，令S＝S＋G.第五步，令I＝I＋1.第六步，若I＞10，转到第七步，若I≤10，转到第三步.第七步，令A＝S/10.第八步，输出A.据上述算法步骤，程序框图如图.【点拨】(1)引入变量S作为累加变量，引入I为计数变量，对于这种多个数据的处理问题，可通过循环结构来达到；(2)计数变量用于记录循环次数，同时它的取值还用于判断循环是否终止，累加变量用于输出结果.【变式训练4】设计一个求1×2×3×…×10的程序框图.【解析】程序框图如下面的图一或图二.图一图二总结提高1.给出一个问题，设计算法时应注意：(1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法；(2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况；(3)借助有关的变量或参数对算法加以表述；(4)将解决问题的过程划分为若干个步骤；(5)用简练的语言将各个步骤表示出来.2.循环结构有两种形式，即当型和直到型，这两种形式的循环结构在执行流程上有所不同，当型循环是当条件满足时执行循环体，不满足时退出循环体；而直到型循环则是当条件不满足时执行循环体，满足时退出循环体.所以判断框内的条件，是由两种循环语句确定的，不得随便更改.3.条件结构主要用在一些需要依据条件进行判断的算法中.如分段函数的求值，数据的大小关系等问题的算法设计.11.2 基本算法语句典例精析题型一 输入、输出与赋值语句的应用【例1】阅读程序框图(如下图)，若输入m ＝4，n ＝6，则输出a ＝ ，i ＝ .【解析】a ＝12，i ＝3.【点拨】赋值语句是一种重要的基本语句，也是程序必不可少的重要组成部分，使用赋值语句，要注意其格式要求.【变式训练1】(陕西)如图是求样本x 1，x 2，…，x 10的平均数x 的程序框图，则图中空白框中应填入的内容为( )A.S ＝S ＋x nB.S ＝S ＋x nnC.S ＝S ＋nD.S ＝S ＋1n【解析】因为此步为求和，显然为S ＝S ＋x n ，故选A. 题型二 循环语句的应用【例2】设计算法求11×2＋12×3＋13×4＋…＋199×100的值.要求画出程序框图，写出用基本语句编写的程序.【解析】这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法.程序框图如下图所示：程序如下：语句编写程序解决问题时，一定要注意格式和条件的表述方法，WHILE语句是当条件满足时执行循环体，UNTIL语句是当条件不满足时执行循环体.(2)在解决一些需要反复执行的运算任务，如累加求和、累乘求积等问题中应注意考虑利用循环语句来实现.(3)在循环语句中，也可以嵌套条件语句，甚至是循环语句，此时需要注意嵌套的这些语句，保证语句的完整性，否则就会造成程序无法执行.【变式训练2】下图是输出某个有限数列各项的程序框图，则该框图所输出的最后一个数据是 .【解析】由程序框图可知，当N ＝1时，A ＝1；N ＝2时，A ＝13；N ＝3时，A ＝15，…，即输出各个A值的分母是以1为首项以2为公差的等差数列，故当N ＝50时，A ＝11＋(50－1)×2＝199，即为框图最后输出的一个数据.故填199.题型三 算法语句的实际应用【例3】某电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间3分钟以内，收取通话费0.2元，如果通话时间超过3分钟，则超过部分以每分钟0.1元收取通话费(通话不足1分钟时按1分钟计算).试设计一个计算通话费用的算法，要求写出算法，编写程序.【解析】我们用c (单位：元)表示通话费，t (单位：分钟)表示通话时间， 则依题意有⎩⎨⎧⨯+=,3＞2],[0.10.23,≤＜0,2.0t t-t c算法步骤如下： 第一步，输入通话时间t .第二步，如果t ≤3，那么c ＝0.2；否则c ＝0.2＋0.1×[t －2]. 第三步，输出通话费用c . 程序如下：【点拨】法步骤，画出程序框图，最后准确地编写出程序，同时要注意结合题意加深对算法的理解.【变式训练3】(江苏)下图是一个算法流程图，则输出S 的值是 .【解析】n＝1时，S＝3；n＝2时，S＝3＋4＝7；n＝3时，S＝7＋8＝15；n＝4时，S＝15＋24＝31；n ＝5时，S＝31＋25＝63.因为63≥33，所以输出的S值为63.总结提高1.输入、输出语句可以设计提示信息，加引号表示出来，与变量之间用分号隔开.2.赋值语句的赋值号左边只能是变量而不能是表达式；赋值号左右两边不能对换，不能利用赋值语句进行代数式计算，利用赋值语句可以实现两个变量值的互换，方法是引进第三个变量，用三个赋值语句完成.3.在某些算法中，根据需要，在条件语句的THEN分支或ELSE分支中又可以包含条件语句.遇到这样的问题，要分清内外条件结构，保证结构的完整性.4.分清WHILE语句和UNTIL语句的格式，在解决一些需要反复执行的运算任务，如累加求和，累乘求积等问题中应主要考虑利用循环语句来实现，但也要结合其他语句如条件语句.5.编程的一般步骤：(1)算法分析；(2)画出程序框图；(3)写出程序.11.3 算法案例典例精析题型一求最大公约数【例1】(1)用辗转相除法求840与1 764的最大公约数；(2)用更相减损术求440与556的最大公约数.【解析】(1)用辗转相除法求840与1 764的最大公约数：1 764＝840×2＋84，840＝84×10＋0.所以840与1 764的最大公约数是84.(2)用更相减损术求440与556的最大公约数：556－440＝116，440－116＝324，324－116＝116＝92，116－92＝24，92－24＝68，68－24＝44，44－24＝24－，＝16，16－4＝12，12－4＝8，8－4＝4.所以440与556的最大公约数是4.【点拨】(1)辗转相除法与更相减损术是求两个正整数的最大公约数的方法，辗转相除法用较大的数除以较小的数，直到大数被小数除尽结束运算，较小的数就是最大公约数；更相减损术是用两数中较大的数减去较小的数，直到所得的差和较小数相等为止，这个较小数就是这两个数的最大公约数.一般情况下，辗转相除法步骤较少，而更相减损术步骤较多，但运算简易，解题时要灵活运用.(2)两个以上的数求最大公约数，先求其中两个数的最大公约数，再用所得的公约数与其他各数求最大公约数即可.【变式训练1】求147,343,133的最大公约数.【解析】先求147与343的最大公约数.343－147＝196，196－147＝49，147－49＝98，98－49＝49，所以147与343的最大公约数为49.再求49与133的最大公约数.133－49＝84，84－49＝35，49－35＝14，35－14＝21，21－14＝7，14－7＝7.所以147,343,133的最大公约数为7.题型二秦九韶算法的应用【例2】用秦九韶算法写出求多项式f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.016 67x3＋0.041 67x4＋0.008 33x5在x＝－0.2时的值的过程.【解析】先把函数整理成f(x)＝((((0.008 33x＋0.041 67)x＋0.166 67)x＋0.5)x＋1)x＋1，按照从内向外的顺序依次进行.x＝－0.2，a5＝0.008 33，v0＝a5＝0.008 33；a4＝0.041 67，v1＝v0x＋a4＝0.04；a3＝0.016 67，v2＝v1x＋a3＝0.008 67；a2＝0.5，v3＝v2x＋a2＝0.498 27；a1＝1，v4＝v3x＋a1＝0.900 35；a0＝1，v5＝v4x＋a0＝0.819 93；所以f(－0.2)＝0.819 93.【点拨】秦九韶算法是多项式求值的最优算法，特点是：(1)将高次多项式的求值化为一次多项式求值；(2)减少运算次数，提高效率；(3)步骤重复实施，能用计算机操作.【变式训练2】用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1当x＝2时的值为.【解析】1 397.题型三进位制之间的转换【例3】(1)将101 111 011(2)转化为十进制的数；(2)将53(8)转化为二进制的数.【解析】(1)101 111 011(2)＝1×28＋0×27＋1×26＋1×25＋1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1＝379.(2)53(8)＝5×81＋3＝43.所以53(8)＝101 011(2).【点拨】将k进制数转换为十进制数，关键是先写成幂的积的形式再求和，将十进制数转换为k进制数，用“除k取余法”，余数的书写是由下往上，顺序不能颠倒，k进制化为m进制(k，m≠10)，可以用十进制过渡.【变式训练3】把十进制数89化为三进制数.【解析】具体的计算方法如下：89＝3×29＋2，29＝3×9＋2，9＝3×3＋0，3＝3×1＋0，1＝3×0＋1，所以89(10)＝10 022(3).总结提高1.辗转相除法和更相减损术都是用来求两个数的最大公约数的方法.其算法不同，但二者的原理却是相似的，主要区别是一个是除法运算，一个是减法运算，实质都是一个递推的过程.用秦九韶算法计算多项式的值，关键是正确的将多项式改写，然后由内向外，依次计算求解.2.将k进制数转化为十进制数的算法和将十进制数转化为k进制数的算法操作性很强，要掌握算法步骤，并熟练转化；要熟练应用“除基数，倒取余，一直除到商为0”.。
高考数学一轮复习 第11章 算法初步、复数、推理与证明 第1讲 算法初步课件
12/11/2021
考点 2 算法语句的格式及框图 1．输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能
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2．条件语句的格式及框图 (1)IF－THEN 格式 (2)IF－THEN－ELSE 格式
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3．循环语句的格式及框图 (1)UNTIL 语句
解析 开始：k＝0，s＝1； 第一次循环：k＝1，s＝2； 第二次循环：k＝2，s＝32； 第三次循环：k＝3，s＝53，此时不满足循环条件，输出 s， 故输出的 s 值为53.故选 C.
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3．[2016·全国卷Ⅱ]中国古代有计算多项式值的秦九韶 算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若 输入的 x＝2，n＝2，依次输入的 a 为 2,2,5，则输出的 s＝( )
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[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．( × ) (2)一个程序框图一定包含顺序结构，但不一定包含条 件结构和循环结构．( √ ) (3)算法可以无限操作下去. ( × ) (4)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出 口是有效的. ( √ )
A．5 B．4 C．3 D．2
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解析 假设 N＝2，程序执行过程如下： t＝1，M＝100，S＝0， 1≤2，S＝0＋100＝100，M＝－11000＝－10，t＝2， 2≤2，S＝100－10＝90，M＝－－1010＝1，t＝3， 3＞2，输出 S＝90＜91.符合题意． ∴N＝2 成立．显然 2 是最小值．故选 D.
为了对这个队的情况进行分析，此人设计计算 σ 的算法 流程图如图所示(其中 x 是这 7 场比赛的平均得分)，求输出 的 σ 的值．
(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、随机变量及其分布 第3讲 二项式定理练习 理
第十一章 计数原理、随机变量及其分布 第3讲 二项式定理练习 理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.(2015·广东卷)在(x －1)4的展开式中，x 的系数为________.解析 T r ＋1＝C r 4·(x )4－r ·(－1)r ，令r ＝2，则C 24(－1)2＝6. 答案 6 2.(2016·苏州质检)若二项式⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝________. 解析 T r ＋1＝C r 7·(2x )7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r＝27－r C r 7a r ·1x 2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1.答案 13.(2016·江西八校联考)若(1＋x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是________.解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝－2，又a 0＝C 071720＝1，a 8＝C 77(－2)7＝－128，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2－1－(－128)＝125.答案 1254.(2015·天津卷)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________. 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14x 6的展开式的通项 T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x r ＝C r6⎝ ⎛⎭⎪⎫－14rx 6－2r ， 当6－2r ＝2时，r ＝2，所以x 2的系数为C 26⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝1516. 答案 15165.(2016·河南八校三联)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x n的展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则第四项为________.解析 由已知条件第五项和第六项二项式系数最大，得n ＝9，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 9展开式的第四项为T 4＝C 39·(x )6·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＝212. 答案 2126.二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是________.解析 依题意n ＝10，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 210的通项公式T r ＋1＝C r 10(x )10－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝2r C r 10x 5－52r . 令5－52r ＝0，得r ＝2. ∴展开式中的常数项T 3＝22C 210＝180.答案 1807.(2014·浙江卷改编)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝________.解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60，f (1，2)＝C 16·C 24＝36，f (0，3)＝C 34＝4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝120.答案 1208.(2015·全国Ⅱ卷)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________.解析 设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，①令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.②①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.答案 3二、解答题 9.已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x n 的展开式中各项的系数和为256. (1)求n ；(2)求展开式中的常数项.解 (1)由题意得C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn ＝256，∴2n ＝256，解得n ＝8.(2)该二项展开式中的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 8(3x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 8·x 8－4r 3， 令8－4r 3＝0，得r ＝2，此时，常数项为T 3＝C 28＝28. 10.已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n. (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.解 (1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5. ∴T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352， T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70， 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432. (2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0.∴n ＝12或n ＝－13(舍去).设第r ＋1项的系数最大， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C r 124r ≥C r －1124r －1，C r 124r ≥C r ＋1124r ＋1. ∴9.4≤r ≤10.4，∴r ＝10. ∴展开式中系数最大的项为第11项，T 11＝C 1012·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·210·x 10＝16 896x 10. 能力提升题组(建议用时：25分钟)11.设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝________.解析 由题意得：a ＝C m 2m ，b ＝C m 2m ＋1，所以13C m 2m ＝7C m 2m ＋1，∴13·（2m ）！m ！·m ！＝7·（2m ＋1）！m ！·（m ＋1）！， ∴7（2m ＋1）m ＋1＝13，解得m ＝6，经检验为原方程的解.答案 612.(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________(用数字作答). 解析 由二项展开式公式可知，含x 2y 7的项可表示为x ·C 78xy 7－y ·C 68x 2y 6，故(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝C 18－C 28＝8－28＝－20. 答案 －2013. (2014·安徽卷)设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.若点A i (i ，a i )(i ＝0，1，2)的位置如图所示，则a ＝________.解析 由题意知A 0(0，1)，A 1(1，3)，A 2(2，4). 故a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.又⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的通项公式T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a r(r ＝0，1，2，…，n ).故C 1n a ＝3，C 2n a 2＝4，解得a ＝3. 答案 314.(2016·盐城一模)已知f (x )＝(2＋x )n ，其中n ∈N *.(1)若展开式中含x 3项的系数为14，求n 的值；(2)当x ＝3时，求证：f (x )必可表示成s ＋s －1(s ∈N *)的形式.(1)解 因为T r ＋1＝C r n 2n －r x r 2，所以r ＝6，故x 3项的系数为C 6n ·2n －6＝14，解得n ＝7. (2)证明 由二项式定理可知，(2＋3)n ＝C 0n 2n (3)0＋C 1n 2n －1(3)1＋C 2n 2n －2(3)2＋…＋C n n 20(3)n， 设(2＋3)n ＝x ＋3y ＝x 2＋3y 2，而若有(2＋3)n ＝a ＋b ，a ，b ∈N *， 则(2－3)n ＝a －b ，a ，b ∈N *.因为(a ＋b )·(a －b )＝(2＋3)n ·(2－3)n ＝1，所以令a ＝s ，s ∈N *，则必有b ＝s －1.所以f (x )必可表示成s ＋s －1的形式，其中s ∈N *.。
2017年高考数学一轮复习第十一章算法初步第74课算法的概念与流程图教案
算法的概念与流程图一、教学目标1．了解算法的含义，能用自然语言描述算法．2．了解流程图的三种基本逻辑结构，能识别简单的流程图所描述的算法． 二、基础知识回顾与梳理【回顾要求】1. 阅读必修三第5—15页，完成以下任务：（1）理解算法的概念，学习算法的自然语言表示，认识算法的特征、作用和优势。
（2）流程图是怎么构成的？如何用流程图描述基本的算法结构？ （3）构成程序框的图形符号有哪些？其作用是什么？ （4）算法的三种基本逻辑结构各有什么特点？2. 第13页例4你会写出算法吗？阅读教材上的求解过程。
3. 在教材上的空白处做以下题目：第15页练习第1题。
【要点解析】1．算法的概念：可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些程序和步骤必须是明确和有效的，且能在有限步之内完成．算法的特点：确定性、有限性、顺序性，正确性．2．流程图：是由一些图框和带箭头的流线组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，带箭头的流线表示操作的先后次序． 【教学建议】结合某一流程图说明 3．构成程序框的图形符号及其作用4．算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、选择（条件）结构、循环结构．5．以下框图中表示顺序结构的是 ，表示选择结构的是 ，表示循环结构的是 ．图1图3答案：图1，图2与图3、图4与图5【教学建议】本题主要是帮助学生了解三种流程图常见结构．要结合上述流程图的构成，说明程序框的图形符号及其作用三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。
将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。
点评时要简洁，要点击要害。
2、诊断练习点评题1：计算机执行下面的程序段后，输出的结果是________.【分析与点评】本题用到了顺序结构．题2：下面流程图的功能是 ． 【分析与点评】（1）本题中流程图的作用是求输入值的绝对值． （2）选择结构的作用是在算法中通过对条件的判断，根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构．分段函数求值的算法设计中常用到选择结构．（3）循环结构和选择结构共同点都要用到判断框，但它们是有区别的，好好体会．题3：一个算法如下： 第一步：S 取值0，i 取值1；第二步：若i 不大于10,则执行下一步；否则执行第六步； 第三步：计算S+i 且将结果代替S ； 第四步：用i+2结果代替i ； 第五步：转去执行第二步；第六步：输出S.则运行以上步骤输出的结果为________.【分析与点评】（1）这是用自然语言表示的算法，虽说是最初始的形式，但理解起来不及图形语言来得直观，易懂，亦可将它转化为流程图形式，更便于理解；（2）它实质上是一个含有循环结构的求满足一定条件的正奇数和的算法。
2017版高考数学一轮总复习课件：第十一章算法初步
，解决问题.
第二十四页，编辑于星期六：二十点 四分。
对变量的含义理解不准致误
【示例】 执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )
A.2
B.4
C.8
D.16
第二十五页，编辑于星期六：二十点 四分。
[易错防范] (1)要分清是当型循环结构还是直到型循环结构；要 理解循环结构中各变量的具体含义以及变化规律.
(2)在处理含有循环结构的算法问题时，关键是确定循环的次数，
循环中有哪些变量，且每一次循环之后的变量S、k值都要被新的S 、k值所替换.
第二十八页，编辑于星期六：二十点 四分。
第二十六页，编辑于星期六：二十点 四分。
[解析] 当 k＝0 时，满足 k＜3，因此 S＝1×20＝1； 当 k＝1 时，满足 k＜3，则 S＝1×21＝2； 当 k＝2 时，满足 k＜3，则 S＝2×22＝8； 当 k＝3 时，不满足 k＜3，输出 S＝8.
答案 C
第二十七页，编辑于星期六：二十点 四分。
(3)基本的程序框有终端框(起止框)、输入框、输出框、处理框(
执行框)、判断框.
第三页，编辑于星期六：二十点 四分。
3.三种基本逻辑结构
名称 内容
顺序结构
条件结构
循环结构
定义
从某处开始，按
由若干个 依次执行 算法的流程根据 的步骤组成的，这是 条件是否成立 有
照一定的条件 反复执行 某些
任何一个算法都离
第二十页，编辑于星期六：二十点 四分。
【例2】 阅读下面两个算法语句：
图1
第二十一页，编辑于星期六：二十点 四分。
高考数学第十一章算法初步第76课基本算法语句2教案
基本算法语句（2）一、教学目标1．了解用伪代码表示的几种基本算法语句：赋值语句、输入语句、输出语句、条件语句、循环语句；2．能用自然语言、流程图和伪代码表示算法，会用“While循环”和“For循环”或“Do循环”语句实施循环.二、基础知识回顾与梳理【回顾要求】1. 阅读必修三第22—25页，完成以下任务：（1）读懂三种循环语句并作比较；（2）当型循环的格式是什么？它有哪些特点？（3）直到型循环的格式是什么？它有哪些特点？（4）何时用“For循环”，它有哪些特点？2. 第22页引例你会写成算法吗？你能画出流程图吗？能不能用“While循环”描述？再试试改为“Do循环”和“For”语句描述。
3. 在教材上的空白处做以下题目：第24页练习第1题、第3题。
【要点解析】1、当型循环一般采用“While循环”描述循环结构．格式：While 条件循环体End While先判断条件是否成立，当条件成立时，执行循环体，遇到End While语句时，就返回继续判断条件，若仍成立，则重复上述过程，若不成立，则退出循环．当型语句的特点是先判断，后执行．2、直到型循环可采用“Do循环”描述循环结构．格式：Do循环体Until 条件End Do先执行循环体部分，然后再判断所给条件是否成立．如果条件不成立，那么再次执行循环体部分，如此反复，直到所给条件成立时退出循环．直到型语句的特点是先执行，后判断．3、当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示．格式：功能：根据For语句中所给定的初值、终值和步长，来确定循环次数，反复执行循环体内各语句．通过For语句进入循环，将初值赋给变量I，当循环变量的值不超过终值时，则顺序执行循环体内的各个语句，遇到End For ，将循环变量增加一个步长的值，再与终值比较，如果仍不超过终值范围，则再次执行循环体．这样重复执行，直到循环变量的值超过终值，则跳出循环．注：① 只有当循环次数明确时，才能使用本语句；② Step 可以省略，此时默认步长为1；③ 步长可以为正、负，但不能是0，否则会陷入“死循环”．步长为正时，要求终值大于初值，如果终值小于初值，循环将不能执行．步长为负时，要求终值必须小于初值．4、要实现循环结构就要用到循环语句．循环语句包括“For 循环”和“While 循环”，和DO …UNTIL 语句，一般地，当循环次数已经确定时，可用“For ”循环语句；当循环次数不能确定时，可用“While ”循环语句．三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
2017年直击新课标高考数学(文科)11.第十一章算法初步
第十一章算法初步一、2017年考试大纲算法初步（1）算法的含义、程序框图①了解算法的含义，了解算法的思想。
②理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
（2）基本算法语句理解几种基本算法语句-—输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义。
二、真题汇编1.【2016课标1文10】执行右面的程序框图,如果输入的011，，,x y n===则输出x，y的值满足（A）2=（D）5y xy xy x==（B）3y x=（C）4结束2。
【2016课标2文9】中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2,2==,x n依次输入的a为2,2，5,则输出的s=( ）(A)7 （B)12 (C）17(D）343. 【2016课标3文8】执行下图的程序框图,如果输入的46==，，a b那么输出的n=( )(A）3 （B）4 (C)5 （D）64. 【2015课标1文9】执行右面的程序框图，如果输入的t=0。
01，则输出的n=（)（A）5 （B）6 (C)7 （D）85。
【2015课标2文8】右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术"．执行该程序框图,若输入,a b 分别为14,18，则输出的a ( ）A ．0B ．2C ．4D ．146. 【2014课标Ⅰ文9】执行右面的程序框图，若输入的k b a ,,分别为1,2，3,则输出的M=（ ）A.320 B.27 C 。
516 D.8157. 【2014课标2文8】执行右图程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S= （ ）A 。
4 B. 5 C 。
6 D 。
7k = k +1k >N ?k = 1, S =0, T =1否是T=T k输入N 输出SS = S +T开始结束8. 【2013课标Ⅰ文7】执行下面的程序框图,如果输入的t ∈[－1，3］，则输出的s 属于（ )．A ．[－3，4］B ．［－5，2］C ．[－4,3］D ．[－2，5] 9．【2013课标2文7】执行右面的程序框图，如果输入的4N =,那么输出的S =（ ）。
2017年高考数学一轮复习--算法初步课件
考点突破
思想方法
第3页，共28页。
夯基固本
知识梳理
抓主干 固双基
1.算法
算法通常是指按照一定
解规决则某一类问题的
明确和的有步限骤.
2.程序框图与三种基本逻辑结构
(1)程序框图
①程序框图的定义:程序框图又称 流程,图是一种用程序框、流程线及
来表示文算字法说的明 图形.
通常,程序框图由程序框和流程线组成,一个或几个程序框的组合表示算
第25页，共28页。
思想方法
融思想 促迁移
整体思想在程序框图中的应用 【典例】 如果执行如图所示的框图,输入N=5,则输出的数等于( )
(A) 5 4
(B) 4 5
(C) 6 5
(D) 5 6
第26页，共28页。
解析:法一 (逐项计算):k=1,S= 1 ,1<5 进入循环; 1 2
k=2,S= 1 + 1 ,2<5 进入循环; 1 2 23
第2节 算法初步
第1页，共28页。
编写意图 算法和程序是高考客观题考查的一个热点,主要考查程序框 图的填充、程序框图的输出及基本算法语句等.本节针对高考命题规律进行
设点选题,重点突破程序框图的输出及填充、课时训练以考查基础知识为主设
置客观题,很多题目与高考考查的角度相吻合.
第2页，共28页。
夯基固本
k=3,S= 1 + 1 + 1 ,3<5 进入循环; 1 2 23 3 4
k=4,S= 1 + 1 + 1 + 1 ,4<5 进入循环; 1 2 23 3 4 45
k=5,S= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 ,5<5 不成立. 1 2 23 3 4 45 5 6 6
2017届高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：10.1 算法初步 Word版含答案
第一节算法初步程序框图与算法语句1．算法的含义、程序框图(1)了解算法的含义，了解算法的思想．(2)理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构．2．基本算法语句理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．知识点一算法与程序框图1．算法(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．2．程序框图定义：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．易误提醒易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．[自测练习]1.如果执行右边的程序框图，输入x＝－12，那么其输出的结果是()A．9 B．3C. 3D.19解析：依题意得，执行完第1次循环后，x＝－12＋3＝－9≤0；执行完第2次循环后，x＝－9＋3＝－6≤0；执行完第3次循环后，x＝－6＋3＝－3≤0；执行完第4次循环后，x ＝－3＋3＝0≤0；执行完第5次循环后，x＝0＋3＝3>0，程序结束．结合题中的程序框图可知，最后输出的结果是 3.答案：C2．如图，按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为()A．i>7？B．i>9?C．i>10? D．i>11?解析：∵21＋23＋25＋27＝170，∴判断框内应补充的条件为i>7或i≥9，故选A.答案：A知识点二三种基本逻辑结构及相应语句名称示意图相应语句顺序结构①输入语句：INPUT“提示内容”；变量②输出语句：PRINT“提示内容”；表达式③赋值语句：变量＝表达式条件结构IF__条件__THEN语句体END__IFIF__条件__THEN语句体1ELSE语句体2END__IF循环结构直到型循环结构DO循环体LOOP__UNTIL条件当型循环结构WHILE条件循环体WEND易误提醒易忽视循环结构中必有选择结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．易混淆当型循环与直到型循环．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．[自测练习]3．如图是一个程序框图，则输出的n的值是________．解析：该程序框图共运行5次，各次2n的值分别是2,4,8,16,32，所以输出的n的值是5.答案：54．当a＝1，b＝3时，执行完下面一段过程后x的值是________．IF a<b THENx＝a＋bELSEx＝a－bEND IF解析：∵a<b，∴x＝a＋b＝4.答案：4考点一算法的基本结构|1．(2015·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为()A．－10B．6C．14D．18解析：执行程序框图可知，i＝2，S＝18；i＝4，S＝14；i＝8，S＝6.故输出S的值为6.答案：B2．(2016·威海一模)根据给出的程序框图，计算f(－1)＋f(2)＝()A．0B．1C．2 D．4解析：输入－1，满足x≤0，所以f(－1)＝4×(－1)＝－4；输入2，不满足x≤0，所以f(2)＝22＝4，即f (－1)＋f (2)＝0.故选A. 答案：A3．(2015·高考重庆卷)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ≤34B ．s ≤56C ．s ≤1112D ．s ≤2524解析：第一次循环，得k ＝2，s ＝12；第二次循环，得k ＝4，s ＝12＋14＝34；第三次循环，得k ＝6，s ＝34＋16＝1112；第四次循环，得k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，此时退出循环，输出k ＝8，所以判断框内可填入的条件是s ≤1112，故选C.答案：C1．解决程序框图问题要注意几个常用变量：(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1. (2)累加变量：用来计算数据之和，如S ＝S ＋i . (3)累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i .2．处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．考点二 算法的交汇性问题|算法是高考热点内容之一，算法的交汇性问题是新课标高考的一大亮点，归纳起来常见的探究角度有：1．与统计的交汇问题． 2．与函数的交汇问题． 3．与不等式的交汇问题． 4．与数列求和的交汇问题． 探究一 与统计的交汇问题1．如图是某县参加2016年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1，A 2，…，A 10(如A 2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数)．图(2)是统计图(1)中身高在一定范围内学生人数的一个程序框图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm ，不含180 cm)的学生人数，则在流程图中的判断框内应填写( )A ．i <6？B ．i <7?C ．i <8?D ．i <9?解析：统计身高在160～180 cm 的学生人数，即求A 4＋A 5＋A 6＋A 7的值．当4≤i ≤7时，符合要求．答案：C探究二 与函数的交汇问题2．(2015·高考山东卷)执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为________．解析：开始n ＝1，T ＝1，因为1<3，所以T ＝1＋⎠⎛01x 1d x ＝1＋12x 2| 10＝1＋12×12＝32，n ＝1＋1＝2；因为2<3，所以T ＝32＋⎠⎛01x 2d x ＝32＋13x 3| 10＝32＋13×13＝116，n ＝2＋1＝3.因为3<3不成立，所以输出T ，即输出的T 的值为116.答案：116探究三 与不等式的交汇问题3．关于函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，1<x ≤4，cos x ，－1≤x ≤1的程序框图如图所示，现输入区间[a ，b]，则输出的区间是________．解析：由程序框图的第一个判断条件为f(x)>0，当f(x)＝cos x ，x ∈[－1,1]时满足．然后进入第二个判断框，需要解不等式f ′(x)＝－sin x ≤0，即0≤x ≤1.故输出区间为[0,1]．答案：[0,1]第3题图 第4题图 探究四 与数列求和的交汇问题4．(2015·高考湖南卷)执行如图所示的程序框图，如果输入n ＝3，则输出的S ＝( ) A.67 B.37 C.89D.49解析：第一次循环，S ＝11×3，此时i ＝2，不满足条件，继续第二次循环，S ＝11×3＋13×5，此时i ＝3，不满足条件，继续第三次循环，S ＝11×3＋13×5＋15×7＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＝37， 此时i ＝4>3，退出循环，输出S 的值为37，选B.答案：B解决算法交汇问题的三个关键点(1)读懂程序框图，明确交汇知识；(2)根据给出问题与程序框图处理问题；(3)注意框图中结构的判断．考点三算法基本语句|按照如图程序运行，则输出K的值是________．X＝3K＝0DOX＝2][解析]第一次循环，X＝7，K＝1；第二次循环，X＝15，K＝2；第三次循环，X＝31，K＝3；终止循环，输出K的值是3.[答案] 3算法语句应用的关注点(1)输入语句、输出语句和赋值语句基本对应于算法的顺序结构．(2)在循环语句中也可以嵌套条件语句，甚至是循环语句，此时需要注意嵌套格式，这些语句需要保证算法的完整性，否则就会造成程序无法执行．(2015·高考江苏卷)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________．S←1I←1While I<8S←S＋2I←I＋3End WhilePrint S解析：该伪代码运行3次，故输出的S 为7. 答案：725.变量的含义理解不准致误【典例】 (2015·高考全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8[易错点析] (1)读不懂程序框图，把执行循环体的次数n 误认为是变量S 的值，没有注意到n 的初始值为0.(2)对循环结构：①判断条件把握不准；②循环次数搞不清楚；③初始条件容易代错． [解析] 由程序框图可知，S ＝1－12＝12，m ＝14，n ＝1，12>0.01；S ＝12－14＝14，m ＝18，n ＝2，14>0.01； S ＝14－18＝18，m ＝116，n ＝3，18>0.01； S ＝18－116＝116，m ＝132，n ＝4，116>0.01； S ＝116－132＝132，m ＝164，n ＝5，132>0.01；S ＝132－164＝164，m ＝1128，n ＝6，164>0.01； S ＝164－1128＝1128，m ＝1256，n ＝7，1128<0.01，输出n ＝7，故选C. [答案] C[方法点评] (1)要分清是当型循环结构还是直到型循环结构；要理解循环结构中各变量的具体含义以及变化规律．(2)在处理含有循环结构的算法问题时，关键是确定循环的次数，循环中有哪些变量，且每一次循环之后的变量S 、n 值都要被新的S 、n 值所替换．[跟踪练习] 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A ．3B ．－6C ．10D ．－15解析：第一次执行程序，得到S ＝0－12＝－1，i ＝2； 第二次执行程序，得到S ＝－1＋22＝3，i ＝3； 第三次执行程序，得到S ＝3－32＝－6，i ＝4； 第四次执行程序，得到S ＝－6＋42＝10，i ＝5；第五次执行程序，得到S ＝10－52＝－15，i ＝6，到此结束循环，输出的S ＝－15. 答案：DA 组 考点能力演练1．定义运算a ⊗b 为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则⎝⎛⎭⎫2cos 5π3⊗⎝⎛⎭⎫2tan 5π4的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．－1解析：由程序框图可知，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a －b )，a ≥b ，b (a ＋1)，a <b ，2cos5π3＝1,2tan 5π4＝2,1<2， 所以⎝⎛⎭⎫2cos 5π3⊗⎝⎛⎭⎫2tan 5π4＝2(1＋1)＝4. 答案：A2．(2016·贵州模拟)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出s 的值等于( )A ．－3B ．－10C ．0D ．－2解析：第一次循环k ＝0＋1＝1，s ＝2×1－1＝1，满足k <4；第二次循环k ＝1＋1＝2，s ＝2×1－2＝0，满足k <4；第三次循环k ＝2＋1＝3，s ＝2×0－3＝－3，满足k <4；第四次循环k ＝3＋1＝4，不满足k <4，输出的s ＝－3，故选A.答案：A3．(2016·长春模拟)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是( )A ．n ＝6?B ．n <6?C ．n ≤6?D ．n ≤8?解析：∵12＋14＋16＝1112，∴n ＝6时满足条件，而n ＝8时不满足条件，∴n ≤6，故选C.答案：C4.某程序框图如图所示，若输出的S ＝120，则判断框内为( )A ．k >4?B ．k >5?C ．k >6?D ．k >7?解析：依题意，进行第一次循环时，k ＝1＋1＝2，S ＝2×1＋2＝4；进行第二次循环时，k ＝2＋1＝3，S ＝2×4＋3＝11；进行第三次循环时，k ＝3＋1＝4，S ＝2×11＋4＝26；进行第四次循环时，k ＝4＋1＝5，S ＝2×26＋5＝57；进行第五次循环时，k ＝5＋1＝6，S ＝2×57＋6＝120，此时结束循环，因此判断框内应为“k >5？”，选B.答案：B5.某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝|x |xC ．f (x )＝e x －e －xe x ＋e －xD ．f (x )＝1＋sin x ＋cos x1＋sin x －cos x解析：由框图可知输出函数为奇函数且存在零点，依次判断各选项，A 为偶函数，B 不存在零点，不符合，对于C ，由于f (－x )＝e －x －e xe －x ＋e x ＝－f (x )，即函数为奇函数，且存在零点为x ＝0，对于D ，由于其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数，故选C.答案：C6．(2016·南京模拟)根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为________． S ＝0For I From 1 To 10S ＝S ＋I End For Print S解析：这是一个1＋2＋3＋…＋10的求和，所以输出的S 的值为55. 答案：557．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为______．解析：S ＝sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＋sin 4×π3＋sin5×π3＋sin 6×π3＋…＋sin 2 013×π3 ＝⎝⎛sin1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＋sin 4×π3＋⎭⎫sin5×π3＋sin 6×π3×335＋sin 1×π3 ＋sin2×π3＋sin 3×π3＝ 3. 答案： 38．(2016·黄冈模拟)随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学，测量它们的身高获得身高数据的茎叶图如左下图，在样本的20人中，记身高在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190)的人数依次为A 1，A 2，A 3，A 4.右下图是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法框图．若图中输出的S ＝18，则判断框应填________．解析：本题考查程序框图与统计交汇问题．由于i从2开始，也就是统计大于或等于160的所有人数，于是就要计算A2＋A3＋A4，因此，判断框应填i<5或i≤4.答案：i<5或i≤49．给出以下10个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36.要求把大于40的数找出来并输出．试画出该问题的算法程序框图．解：程序框图如下：10．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如表格所示：队员i 12345 6三分球个数a1a2a3a4a5a6统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图如上图所示． (1)试在判断框内填上条件； (2)求输出的s 的值．解：(1)依题意，程序框图是统计6名队员投进的三分球的总数． ∴判断框内应填条件“i ≤6？”．(2)6名队员投进的三分球数分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6.故输出的s ＝a 1＋a 2＋…＋a 6.B 组 高考题型专练1．(2014·高考江西卷)阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．11解析：执行程序框图，第一次循环：i ＝1，S ＝lg 13>－1，否；执行第二次循环：i ＝3，S＝lg 13＋lg 35＝lg 15>－1，否；执行第三次循环：i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17>－1，否；执行第四次循环：i ＝7，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19>－1，否；执行第五次循环：i ＝9，S ＝lg 19＋lg 911＝lg 111<－1，是，结束循环，输出i 为9，故选B.答案：B2．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1,2,3，则输出的M ＝( )A.203B.72C.165D.158解析：第一次循环，M ＝32，a ＝2，b ＝32，n ＝2；第二次循环，M ＝83，a ＝32，b ＝83，n＝3；第三次循环，M ＝158，a ＝83，b ＝158，n ＝4，退出循环，输出M 为158，故选D.答案：D3．(2015·高考全国卷Ⅱ)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a ＝( )A ．0B ．2C ．4D ．14解析：第一次执行，输入a ＝14，b ＝18，因为a <b ，所以b ＝18－14＝4；第二次执行，因为a ＝14，b ＝4，a >b ，所以a ＝14－4＝10；第三次执行，因为a ＝10，b ＝4，a >b ，所以a ＝10－4＝6；第四次执行，因为a ＝6，b ＝4，a >b ，所以a ＝6－4＝2；第五次执行，因为a ＝2，b ＝4，a <b ，所以b ＝4－2＝2，此时a ＝b ＝2，故选B.答案：B4.根据框图，当输入x 为2 016时，输出的y ＝( ) A ．2 B ．4 C ．10D ．28解析：由题意可得，x 依次为2 016，2 014，2 012，…，0，－2，执行y ＝3－(－2)＋1＝10，故输出的y ＝10，选C.答案：C。
高考数学一轮复习 第十一章 算法初步 第76课 基本算法
基本算法语句（2）一、教学目标1．了解用伪代码表示的几种基本算法语句：赋值语句、输入语句、输出语句、条件语句、循环语句；2．能用自然语言、流程图和伪代码表示算法，会用“While循环”和“For循环”或“Do循环”语句实施循环.二、基础知识回顾与梳理【回顾要求】1. 阅读必修三第22—25页，完成以下任务：（1）读懂三种循环语句并作比较；（2）当型循环的格式是什么？它有哪些特点？（3）直到型循环的格式是什么？它有哪些特点？（4）何时用“For循环”，它有哪些特点？2. 第22页引例你会写成算法吗？你能画出流程图吗？能不能用“While循环”描述？再试试改为“Do循环”和“For”语句描述。
3. 在教材上的空白处做以下题目：第24页练习第1题、第3题。
【要点解析】1、当型循环一般采用“While循环”描述循环结构．格式：While 条件循环体End While先判断条件是否成立，当条件成立时，执行循环体，遇到End While语句时，就返回继续判断条件，若仍成立，则重复上述过程，若不成立，则退出循环．当型语句的特点是先判断，后执行．2、直到型循环可采用“Do循环”描述循环结构．格式：Do循环体Until 条件End Do先执行循环体部分，然后再判断所给条件是否成立．如果条件不成立，那么再次执行循环体部分，如此反复，直到所给条件成立时退出循环．直到型语句的特点是先执行，后判断．3、当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示．格式：功能：根据For语句中所给定的初值、终值和步长，来确定循环次数，反复执行循环体内各语句．通过For语句进入循环，将初值赋给变量I，当循环变量的值不超过终值时，则顺序执行循环体内的各个语句，遇到End For ，将循环变量增加一个步长的值，再与终值比较，如果仍不超过终值范围，则再次执行循环体．这样重复执行，直到循环变量的值超过终值，则跳出循环．注：① 只有当循环次数明确时，才能使用本语句；② Step 可以省略，此时默认步长为1；③ 步长可以为正、负，但不能是0，否则会陷入“死循环”．步长为正时，要求终值大于初值，如果终值小于初值，循环将不能执行．步长为负时，要求终值必须小于初值．4、要实现循环结构就要用到循环语句．循环语句包括“For 循环”和“While 循环”，和DO …UNTIL 语句，一般地，当循环次数已经确定时，可用“For ”循环语句；当循环次数不能确定时，可用“While ”循环语句．三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
高考数学一轮复习第十一章算法初步第75课基本算法语句1教案20170706118
基本算法语句（1）一、 教学目标1.了解用伪代码表示的几种基本算法语句：赋值语句、输入语句、输出语句、条件语句、循环语句．2.能用自然语言、流程图和伪代码表示算法，会用“While 循环”、“For 循环”语句或“Do 循环”语句实施循环．二、基础知识回顾与梳理 【回顾要求】1. 阅读必修三第17—21页，完成以下任务： （1）什么是伪代码？（2）赋值语句表达形式？有什么作用？ （3）输入语句、输出语句如何正确表述？ （4）条件语句的一般形式是什么？功能是什么？2. 第20页例2你会设计算法吗？阅读教材上的算法步骤。
能否用伪代码表述？你能画出流程图吗？3. 在教材上的空白处做以下题目：第21页练习第1题、第3题。
【要点解析】7种基本的算法语句（请完成下列表格）三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏．课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误．将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力．点评时要简洁，要点击要害．2、诊断练习点评题1：下列语句中：① ② ③④ ⑤ 其中是赋值语句的为____________【分析与点评】（1）赋值语句“ ”表示将 的值赋给 ，其中 是一个变量， 是一个与 同类型的变量或表达式. （2）基本算法语句只要书写简便、容易理解、表达清楚即可；本章建议所用符号相对统一，以免混淆.题2：根据如图所示的伪代码，当输入,a b 分别为2，3时，最后输出的m 的值是 ．32m x x ←-T T I ←⨯2A A ←+((73)5)1p x x x ←+-+32A ←x y ←y x y x x【分析与点评】（1）解决与选择语句有关问题，一般先写出算法所表示的函数关系式． （2）条件语句的形式主要有两种，一是：，其中A 表示判断的条件，B 表示条件满足时执行的操作内容，C 表示条件不满足时执行的操作内容，End If 表示条件语句的结束．二是：，当条件A 时，则执行语句B ；当条件A 不成立时，不做任何操作，退出条件语句．题3：上面是一个求20个数的平均数的程序，在横线上应该填充的语句为 ．答案：20i ≤或21i <． 【分析与点评】（1）本题需要20个数相加，即循环语句需要执行20次，第一次执行后i ＝2，故最后一次执行后21i =，此后才能退出循环，因此横线上应填20i ≤或21i <．（2）While 语句是当型循环，其一般形式为：；（3）While 循环中一般有两个变量，一个是计数变量，如本题中的i ，另一个是累和（或积）变量，如本题中的S ．【变式】若改变循环体中“S←S＋x ”和“i ←i ＋1”的顺序，则横线上应该填充的语句为 ． 答案：21i ≤或22i <．【点评】变式的目的是让学生了解循环体中语句的顺序会对结果产生影响．题4：如下程序运行后,输出的结果为 答案为：2146)10741(21=⨯-++++=pWhile p循环体 End WhileIf A Then B End IfIf A Then BElseC End IfS ←9 i ←1While S ≥0 S ←S -i i ←i +1 End While Print i第4题Read a ，b If a >b Then m ←a Else m ←b End If Print m第2题【分析与点评】（1）解决有关循环语句问题，首先要执行几次循环体，找到其运算规律，了解算法的作用，如本题中计算的是46)10741(21⨯-++++，可以通过尝试进行验证。
2017版高考数学人教A版(全国)一轮复习 课件 第十一章 推理与证明、算法、复数 第2讲
考点二 分析法的应用
【例 2】 已知 a＞0，证明： a2＋a12－ 2≥a＋1a－2.
证明 要证
a2＋a12 －
2
≥
a
＋
1 a
－
2
，
只
需
证
a2＋a12 ≥
a＋1a－(2－ 2).因为 a＞0，所以a＋1a－(2－ 2)＞0，
所以只需证
a2＋a122≥a＋1a－（2－
由①②得 a2>ab>b2. 答案 B
第八页，编辑于星期六：二十点 十二分。
ห้องสมุดไป่ตู้
4.(2016·烟台一模)用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一 个不大于60°”时，应假设( ) A.三个内角都不大于60° B.三个内角都大于60° C.三个内角至多有一个大于60° D.三个内角至多有两个大于60° 答案 B
第六页，编辑于星期六：二十点 十二分。
2.(2016·成都二模)要证 a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( ) A.2ab－1－a2b2≤0 B.a2＋b2－1－a4＋2 b4≤0 C.（a＋2 b）2－1－a2b2≤0 D.(a2－1)(b2－1)≥0 解析 a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0. 答案 D
第十二页，编辑于星期六：二十点 十二分。
【训练 1】 在△ABC 中，设C→B＝a，C→A＝b，求证：S△ABC ＝12 |a|2|b|2－（a·b）2. 证明 ∵S△ABC＝12|a||b|sin C，cos C＝|aa|·|bb|， ∴S2△ABC＝14|a|2|b|2sin2C＝14|a|2|b|2(1－cos2C) ＝14|a|2|b|21－|aa|·|bb|2＝14[|a|2|b|2－(a·b)2] ∴S△ABC＝12 |a|2|b|2－（a·b）2.
2017版高考数学人教A版(全国)一轮复习 课件 第十一章 推理与证明、算法、复数 第1讲
对象较为合适.( )
×
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定
正确.( ×)
第五页，编辑于星期六：二十点 十二分。
2.数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于( )
A.28
B.32
C.33
D.27
解析 5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，推出x－20＝12， 所以x＝32. 答案 B
•第1讲 合情推理与演绎推理
第一页，编辑于星期六：二十点 十二分。
最新考纲 1.了解合情推理的含义，能利用归 纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数 学发现中的作用；2.了解演绎推理的重要性，掌 握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一 些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间 的联系和差异.
(1)证明 函数 f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x，y)，
它关于点12，－12对称的点的坐标为(1－x，－1－y).
由已知得 y＝－ax＋a a，则－1－y＝－1＋ax＋a
a＝－ax＋ax
， a
f(1－x)＝－a1－x＋a
a＝－aax＋a a＝－a＋a·aa·ax x＝－ax＋ax
， a
∴－1－y＝f(1－x)，即函数 y＝f(x)的图象关于点12，－12对称.
第二页，编辑于星期六：二十点 十二分。
1.合情推理
知识梳理
类型
定义
特点
根据一类事物的 部分 对象具有某 由 部分 到
归纳 种性质，推出这类事物的全部 对象都 整体、由个别 到
推理 具有这种性质的推理
一般
根据两类事物之间具有某些类似(一 类比 致)性，推测一类事物具有另一类事物 由 特殊 到 特殊 推理
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断.
高考数学一轮复习 第11章 算法、复数、推理与证明 11.5 数学归纳法学案 理-人教版高三全册数学
11.5 数学归纳法[知识梳理] 数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： 1．(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；2．(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．[诊断自测] 1．概念思辨(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n ＝1时结论成立．( )(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．( )(3)用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1左边应添加的项为(k ＋1)2.( )(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．教材衍化(1)(选修A2－2P 99B 组T 1)在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n ＝3.故选C.(2)(选修A2－2P 96T 1)用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立时，其初始值至少应取( )A．7 B ．8 C ．9 D ．10 答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.故选B.3．小题热身(1)已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14答案 D解析 分母为首项为n ，公差为1的等差数列，故f (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，1n ＝12，1n 2＝14，故f (2)＝12＋13＋14.故选D. (2)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N *)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．答案 2k ＋1解析 由于步长为2，所以2k －1后一个奇数应为2k ＋1.题型1 用数学归纳法证明恒等式典例 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝11＋1＝12.左边＝右边．(2)假设n ＝k 时等号成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，则当n ＝k ＋1时， 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立．综合(1)(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立． 方法技巧数学归纳法证明等式的思路和注意点1．思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是多少．2．注意点：由n ＝k 时等式成立，推出n ＝k ＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．提醒：归纳假设就是证明n ＝k ＋1时命题成立的条件，必须用上，否则就不是数学归纳法．冲关针对训练 用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n 4(n ＋1)(其中n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝1时，等式左边＝12×4＝18，等式右边＝14(1＋1)＝18，∴等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立． 即12×4＋14×6＋…＋12k (2k ＋2)＝k 4(k ＋1)成立，那么当 n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋12(k ＋1)[2(k ＋1)＋2]＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋14[(k ＋1)＋1]，即n ＝k ＋1时等式成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *等式均成立． 题型2 用数学归纳法证明不等式典例 已知数列{a n }，当n ≥2时，a n <－1，又a 1＝0，a 2n ＋1＋a n ＋1－1＝a 2n ，求证：当n ∈N *时，a n ＋1<a n .证明 (1)当n ＝1时，∵a 2满足a 22＋a 2－1＝0，且a 2<0， ∴a 1>a 2.(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＋1<a k ，∵a 2k ＋1－a 2k ＝(a k ＋2－a k ＋1)(a k ＋2＋a k ＋1＋1)，a k ＋1<a k ≤0，∴a 2k ＋1－a 2k >0. 又a k ＋2＋a k ＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1， ∴a k ＋2－a k ＋1<0， ∴a k ＋2<a k ＋1，即当n ＝k ＋1时，命题成立． 由(1)(2)可知，当n ∈N *时，a n ＋1<a n . 方法技巧应用数学归纳法证明不等式应注意的问题1．适用范围：当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．2．关键：用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明．冲关针对训练已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，f (x )≥18. (1)求a 的值；(2)设0<a 1<12，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *，证明：a n <1n ＋1.解 (1)由题意，知f (x )＝ax －32x 2＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a26.又f (x )max ≤16，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a 26≤16.所以a 2≤1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时，f (x )≥18，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥18，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14≥18，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－38≥18，a 4－332≥18，解得a ≥1.又因为a 2≤1，所以a ＝1. (2)证明：用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，0<a 1<12，显然结论成立．因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，0<f (x )≤16， 所以0<a 2＝f (a 1)≤16<13.故n ＝2时，原不等式也成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式0<a k <1k ＋1成立．由(1)知a ＝1，f (x )＝x －32x 2，因为f (x )＝x －32x 2的对称轴为直线x ＝13，所以当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13时，f (x )为增函数． 所以由0<a k <1k ＋1≤13， 得0<f (a k )<f ⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1.于是，0<a k ＋1＝f (a k )<1k ＋1－32·1(k ＋1)2＋1k ＋2－1k ＋2＝1k ＋2－k ＋42(k ＋1)2(k ＋2)<1k ＋2. 所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立． 根据①②，知对任何n ∈N *，不等式a n <1n ＋1成立．1．(2016·武陵期末)用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1124(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，下列说法正确的是( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1和12(k ＋1)C ．增加了B 中两项，但又少了一项1k ＋1 D ．增加了A 中一项，但又少了一项1k ＋1答案 C解析 当n ＝k 时，左端＝1k ＋1＋1k ＋2＋ (12)， 那么当n ＝k ＋1时，左端＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12(k ＋1)， 故第二步由k 到k ＋1时不等式左端的变化是增加了两项，同时减少了1k ＋1这一项．故选C.2．(2017·珠海期末)《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，反映这个命题本质的式子是( )A ．1＋12＋122＋…＋12n ＝2－12nB.12＋122＋…＋12n <1C.12＋122＋…＋12n ＝1 D.12＋122＋…＋12n >1 答案 B解析 根据已知可得每次截取的长度构造一个以12为首项，以12为公比的等比数列，∵12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1， 故反映这个命题本质的式子是12＋122＋…＋12n <1.故选B.3．(2017·北京西城区期末)若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)>a (n ∈N *)恒成立，则a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12解析 设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n， 则f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1)， 则f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0， ∴数列f (n )是关于n (n ∈N *)的递增数列， ∴f (n )≥f (1)＝12，∵不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n >a (n ∈N *)恒成立，∴a <12，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 4．(2016·桥西期末)用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时左边需增乘的代数式是________．答案 4k ＋2解析 用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时左边需增乘的代数式是(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)k ＋1＝2(2k ＋1)．故答案为4k ＋2.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2016·安庆高三月考)用数学归纳法证明2n >n 2(n ≥5，n ∈N *)，第一步应验证( ) A ．n ＝4 B ．n ＝5 C ．n ＝6 D ．n ＝7 答案 B解析 根据数学归纳法的步骤，首先要验证n 取第一个值时命题成立，又n ≥5，故第一步验证n ＝5.故选B.2．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是( )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D.13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1] 答案 B解析 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加(k ＋1)2＋k 2.故选B.3．(2018·沈阳调研)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需展开( )A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3答案 A解析假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故选A.4．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )A．30 B．26 C．36 D．6答案 C解析∵f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，∴f(1)，f(2)，f(3)都能被36整除，猜想f(n)能被36整除．证明如下：当n＝1,2时，由以上得证．假设当n＝k(k≥2)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)－f(k)＝(2k ＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k＝(6k＋27)·3k－(2k＋7)·3k＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2(k≥2)，∴f(k＋1)能被36整除．∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m的值为36.5．(2017·泉州模拟)用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于( )A．3k－1 B．3k＋1 C．8k D．9k答案 C解析因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋(3k)＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.故选C.6．(2018·太原质检)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为 ( )A．n＋1 B．2nC.n2＋n＋22D．n2＋n＋1答案 C解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域．故选C.7．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数N (n,3)＝12n 2＋12n ；正方形数N (n,4)＝n 2； 五边形数N (n,5)＝32n 2－12n ；六边形数N (n,6)＝2n 2－n .可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝( ) A ．500 B ．1000 C ．1500 D ．2000 答案 B解析 由已知得，N (n,3)＝12n 2＋12n ＝3－22n 2＋4－32n ，N (n,4)＝n 2＝4－22n 2＋4－42n ，N (n,5)＝32n 2－12n ＝5－22n 2＋4－52n ，N (n,6)＝2n 2－n ＝6－22n 2＋4－62n ，根据归纳推理可得，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k 2n .所以N (10,24)＝24－22×102＋4－242×10＝1100－100＝1000，故答案为1000.选B.8．若数列{a n }满足a n ＋5a n ＋1＝36n ＋18，n ∈N *，且a 1＝4，猜想其通项公式为( ) A ．3n ＋1 B ．4n C ．5n －1 D ．6n －2 答案 D解析 由a 1＝4求得a 2＝10，a 3＝16，经检验a n ＝6n －2.故选D. 二、填空题9．设S n ＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ，则S n ＋1－S n ＝______.答案12n＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n解析 S n ＋1＝1＋12＋13＋14＋…＋12n ＋1S n ＋1－S n ＝12n ＋1＋12n ＋2＋12n ＋3＋…＋12n ＋2n . 10．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，下图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f (n )表示第n 个图的蜂巢总数，则用n 表示的f (n )＝________.答案 3n 2－3n ＋1解析 由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6， 推测当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋[f (n －2)－f (n －3)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1)＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1.又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，∴f (n )＝3n 2－3n ＋1.11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的自然数n 都有(S n －1)2＝a n S n ，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想S n ＝______.答案nn ＋1解析 由(S 1－1)2＝S 21，得S 1＝12；由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得S 3＝34.猜想S n ＝nn ＋1.12．(2018·云南名校联考)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________．答案 13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22解析 由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22.三、解答题13．(2017·河南期末)设等差数列{a n }的公差d >0，且a 1>0，记T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1.(1)用a 1，d 分别表示T 1，T 2，T 3，并猜想T n ； (2)用数学归纳法证明你的猜想． 解 (1)T 1＝1a 1a 2＝1a 1(a 1＋d )；T 2＝1a 1a 2＋1a 2a 3＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 3＝2a 1a 3＝2a 1(a 1＋2d )；T 3＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 4＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 4＝3a 1a 4＝3a 1(a 1＋3d )；由此可猜想T n ＝na 1(a 1＋nd ).(2)证明：①当n ＝1时，T 1＝1a 1(a 1＋d )，结论成立，②假设当n ＝k 时(k ∈N *)时结论成立， 即T k ＝ka 1(a 1＋kd )，则当n ＝k ＋1时，T k ＋1＝T k ＋1a k ＋1a k ＋2＝ka 1(a 1＋kd )＋1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝k [a 1＋(k ＋1)d ]＋a 1a 1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝(a 1＋kd )(k ＋1)a 1(a 1＋kd )[a 1＋(k ＋1)d ]＝k ＋1a 1[a 1＋(k ＋1)d ].即n ＝k ＋1时，结论成立． 由①②可知，T n ＝1a 1(a 1＋nd )对于一切n ∈N *恒成立．14．(2017·扬州模拟)在数列{a n }中，a n ＝cos π3×2n －2(n ∈N *)．(1)试将a n ＋1表示为a n 的函数关系式； (2)若数列{b n }满足b n ＝1－2n ·n ！(n ∈N *)，猜想a n 与b n 的大小关系，并证明你的结论． 解 (1)a n ＝cos π3×2n －2＝cos 2π3×2n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3×2n －12－1，∴a n ＝2a 2n ＋1－1， ∴a n ＋1＝±a n ＋12，又n ∈N *，n ＋1≥2，a n ＋1>0，∴a n ＋1＝a n ＋12.(2)当n ＝1时，a 1＝－12，b 1＝1－2＝－1，∴a 1>b 1，当n ＝2时，a 2＝12，b 2＝1－12＝12，∴a 2＝b 2，当n ＝3时，a 3＝32，b 3＝1－19＝89，∴a 3<b 3. 猜想：当n ≥3时，a n <b n ， 下面用数学归纳法证明：①当n ＝3时，由上知，a 3<b 3，结论成立． ②假设n ＝k ，k ≥3，n ∈N *时，a k <b k 成立， 即a k <1－2k ·k ！， 则当n ＝k ＋1，a k ＋1＝a k ＋12<2－2k ·k ！2＝1－1k ·k ！，b k ＋1＝1－2(k ＋1)·(k ＋1)！， 要证a k ＋1<b k ＋1，即证明⎝⎛⎭⎪⎫1－1k ·k ！2<⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2(k ＋1)·(k ＋1)！2， 即证明1－1k ·k ！<1－4(k ＋1)·(k ＋1)！＋ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2，即证明1k ·k ！－4(k ＋1)·(k ＋1)！＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2>0，即证明 (k －1)2k (k ＋1)·(k ＋1)！＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(k ＋1)·(k ＋1)！2>0，显然成立．∴n ＝k ＋1时，结论也成立．综合①②可知：当n ≥3时，a n <b n 成立．综上可得，当n ＝1时，a 1>b 1；当n ＝2时，a 2＝b 2； 当n ≥3，n ∈N *时，a n <b n .15．(2018·上饶模拟)已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n 且T n ＝1－12b n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由．解 (1)设a n 的首项为a 1，∵a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2·a 5＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.∵n ＝1时，b 1＝T 1＝1－12b 1，∴b 1＝23.n ≥2时，T n ＝1－12b n ①，T n －1＝1－12b n －1②，①－②得b n ＝13b n －1数列是等比数列．∴b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n .(2)S n ＝1＋(2n －1)2n ＝n 2，S n ＋1＝(n ＋1)2，以下比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，1b 4>S 5，猜想：n ≥4时，1b n>S n ＋1.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时，1b k>S k ＋1，即3k2>(k ＋1)2，那么，n ＝k ＋1时， 1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3 ＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1. 综合①②，当n ≥4时，1b n>S n ＋1.16．(2018·合肥模拟)函数f (x )＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)，Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n <x n ＋1<3； (2)求数列{x n }的通项公式．解 (1)证明：用数学归纳法证明2≤x n <x n ＋1<3. ①当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为y －5＝f (2)－52－4(x －4)，令y ＝0，解得x 2＝114，所以2≤x 1<x 2<3.②假设当n ＝k 时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3. 直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f (x k ＋1)－5x k ＋1－4(x －4)，令y ＝0，解得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1.由归纳假设知x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3，x k ＋2－x k ＋1＝(3－x k ＋1)(1＋x k ＋1)2＋x k ＋1>0，即x k ＋1<x k ＋2.所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由①②知对任意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3. (2)由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n2＋x n .设b n ＝x n －3， 则1b n ＋1＝5b n ＋1，即1b n ＋1＋14＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n ＋14， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列，因此1b n ＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1.故数列{x n }的通项公式为x n ＝3－43·5n －1＋1.。
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基本算法语句（2）
一、教学目标
1．了解用伪代码表示的几种基本算法语句：赋值语句、输入语句、输出语句、条件语句、循环语句；2．能用自然语言、流程图和伪代码表示算法，会用“While循环”和“For循环”或“Do循环”语句实施循环.
二、基础知识回顾与梳理
【回顾要求】
1. 阅读必修三第22—25页，完成以下任务：
（1）读懂三种循环语句并作比较；
（2）当型循环的格式是什么？它有哪些特点？
（3）直到型循环的格式是什么？它有哪些特点？
（4）何时用“For循环”，它有哪些特点？
2. 第22页引例你会写成算法吗？你能画出流程图吗？能不能用“While循环”描述？再试试改为“Do循环”和“For”语句描述。
3. 在教材上的空白处做以下题目：第24页练习第1题、第3题。
【要点解析】
1、当型循环一般采用“While循环”描述循环结构．
格式：While 条件循环体End While
先判断条件是否成立，当条件成立时，执行循环体，遇到End While语句时，就返回继续判断条件，若仍成立，则重复上述过程，若不成立，则退出循环．
当型语句的特点是先判断，后执行．
2、直到型循环可采用“Do循环”描述循环结构．
格式：Do
循环体Until 条件End Do
先执行循环体部分，然后再判断所给条件是否成立．如果条件不成立，那么再次执行循环体部分，如此反复，直到所给条件成立时退出循环．
直到型语句的特点是先执行，后判断．
3、当循环的次数已经确定，可用“For”语句表示．
格式：
功能：根据For语句中所给定的初值、终值和步长，来确定循环次数，反复执行循环体内各语句．
通过For语句进入循环，将初值赋给变量I，当循环变量的值不超过终值时，则顺序执行循环体内的各个
语句，遇到End For ，将循环变量增加一个步长的值，再与终值比较，如果仍不超过终值范围，则再次执行循环体．这样重复执行，直到循环变量的值超过终值，则跳出循环．
注：① 只有当循环次数明确时，才能使用本语句；② Step 可以省略，此时默认步长为1；③ 步长可以为正、负，但不能是0，否则会陷入“死循环”．步长为正时，要求终值大于初值，如果终值小于初值，循环将不能执行．步长为负时，要求终值必须小于初值．
4、要实现循环结构就要用到循环语句．循环语句包括“For 循环”和“While 循环”，和DO …UNTIL 语句，一般地，当循环次数已经确定时，可用“For ”循环语句；当循环次数不能确定时，可用“While ”循环语句．
三、诊断练习
1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。
将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。
点评时要简洁，要点击要害。
2、诊断练习点评
题1：根据下图所示伪代码，可知输出结果S ＝______，I ＝_____.
【分析与点评】总体把握，这是一个循环结构，累积变量是S ，计数变量是I ，对循环体列出表格
题2：读程序：该程序所表示的函数是 。
【分析与点评】首先总体把握，这是一个条件语句自身嵌套，它实现的是求
分段函数⎪⎩
⎪
⎨⎧>+=<+-=)0(1)0(0)
0(1x x x x x y 的函数值这样的功能，然后是一个逆向的已知函数值求
自变量x 的取值的数学问题，不要忘记分三种情况讨论，且每种求得的x 值不能违背 初始条件。
题3：如图所示是一算法的伪代码, 执行此算法时, 输出的结果是 . 答案为：3
【分析与点评】这是当型循环结构，伪代码用while 循环语句实现，需要注意的是它与DO 不同之处在于：
Do 循环语句遇到条件为就真结束。
若循环体不变， 它与While 的判断条件正好相反；若循环体改变，判断 条件的关系就不一定了。
题4：如图，上面的算法语句，其最后实现的功能是__________________________. 【分析与点评】
(1)这是一个“while 型”循环结构，要特别注意循环最后一步输出的值；
(2)这个循环结构一共实现了多少次循环？
(3)将N ←N+1与S ←S*N 位置对调，若要实现原来的算法功能，则输出的结果需要改变吗？ 3、要点归纳
（1）正确理解赋值语句、输入语句、输出语句、条件语句、循环语句的书写格式和功能；
（2）在理解基本算法语句的基础上了解常见的几种形式的嵌套，特别是：条件语句自身嵌套及外循环内条件的嵌套。
四、范例导析 例1、（教材P19例2变式）到银行办理个人异地汇款（不超过100万元），银行收取一定的手续费，汇款额不超过100元，收1元手续费。
超过100元但不超过5000元，按汇款额的1℅收取，超过5000元，一律收取50元手续费，假设汇款额x 元时，银行收取手续费y 元，请设计一个算法计算银行收取的手续费。
【教学处理】第一步：先解决数学问题，建立函数关系式； 第二步：先请一位同学完成第 1段，并留有空间给下一位同
学完成2，3两段；
第三步：请第二位同学将2、
3两端补充完整。
【引导分析与精讲建议】 （1）银行收取手续费y
1 (100)0.01 (1005000)50 (5000)x y x x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩ （2【点评】：银行收取手续费y
生机，而一旦我们采用了条件语句的嵌套，则程序的结构就会显得紧凑而有序.需要提醒的是：在使用嵌套的时候一定要注意格式的正确，“If”与“End If”要一一对应.
例2. 已知数列{a n }
，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，计算数列{a n }的第20项.现已给出该问题算法的流程图(如图所示).
(1)请在图中判断框中的(A)与执行框中的(B)处填上合适的语句，使之能完成该题的算法功能；
(2)根据流程图写出伪代码.
【教学处理】浏览流程图，大概了解这是一个数列求项的程序。
请同学回答：变量,i S 的含义、作用和关系，特别要关注循环内的S 与循环外的S 的区别和联系.
【引导分析与精讲建议】
（1）读懂流程图，了解流程图的功能；
（2）按照流程图的功能，利用数列递推公式， 得到结果. （3）根据流程图写出伪代码可以使用While 语句或For 语句。
【点评】：通过本题掌握While 语句的特点，注意与For 语句的区别.在设计算法时要注意循环体的构成，不能颠倒.
【变式一】：写出30个数：1，2，4，7，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依次类推.要计算这30个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图（如右图所示），（Ⅰ）请在图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能；（Ⅱ）根据程序框图写出伪代码。
【教学处理】浏览流程图，大概了解这是一个计算30个数和的程序。
请同学回答：变量i.p,S 的含义、作用和关系，特别要关注i 的细节。
【引导分析与精讲建议】
（1）读懂流程图，了解S 是用来表数相加得到的和（初值一般赋0）， p 是表示要加的数，i 是表是所加数的个数，同时参与计算。
（2）所加的数又是有规律的，这样i.p,S 之间就有一种固定的规律： 所以（Ⅰ）（1）i ≤30；（2）p ←p +i
（Ⅱ）伪代码表示为：
【变式二】：设计11111
1234
99100
-
+-++
-
的一个算法。
（答案如图） 【点评】：（1）程序设计先从外层入手，由外到内，逐步完善；
（2）掌握变号的处理技巧； （3）有规律的数相加或相乘，通常循环变量是要参与运算的。
例3．已知算法（1）.（2）试根据要求分别完成下列两道题：
算法（1） 算法（2）
End N While
End N N N S S S While S N 2int Pr 1
1000011-+←*←<←← s S S a I S I I S I s s I a I a S I S s S a S 输出，转 如果 ，则 如果 74615][41302241<+←+←=←←←
根据算法（1）的伪代码，指出相应 画出算法（2）的流程图，指出相应算法 算法功能并画出相应的流程图。
功能并求出S 值；
答案为：(1) 算法功能是求满足不等式10000...321<⨯⨯⨯⨯n 的最大正整数。
(或10000...321≥⨯⨯⨯⨯n 的最小正整数的前一个）相应的流程图如下图左. （2）求整数a 的所有比它小的正因数的和S=36,相应的流程图如下图右.
【教学处理】1、请学生回答运行结果是什么？是什么类型的循环？ 2、可以把它改为什么类型的循环？如何改？ 【引导分析与精讲建议】
1、读懂程序，保证结果的正确性；
2、注意两种循环的区别和联系，通过实例加以体会； 【点评】：1、程序不同功能一样，注意检验；
2、通过一题概括重点知识。
五、解题反思
1、正确理解赋值语句、输入语句、输出语句、条件语句、循环语句的书写格式和功能；
2、在理解基本算法语句的基础上了解常见的几种形式的嵌套，特别是：条件语句自身嵌套及外循环内条件的嵌套；
3、设计程序是将问题简单化，而不是复杂化，是将复杂的问题分解为几个简单的问题，然后再组合，即通过语句的嵌套实现；
4、要抓住问题的本质，不能流于形式，例如：要求函数2 (0)
()(2) (0)
x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩的函数值，需要用什
么语句实现？同学们可能会回答用条件语句，其实是用循环语句才能实现。