信号检测理论第二章

(n) E[( X n mx )( X n mx ) ]
*
( x mx ) p ( x, n)dx


2
2 x
平稳随机信号，均值和方差均是与时间无关的常数。
信号检测理论 信号检测理论
2.2 离散随机信号的数学描述
如果一个随机信号的均值和方差为常数（与时间无 关），自相关仅与时间差有关（与时间起点无关）， 则称之为广义平稳随机信号（Wide-sense Stationary Random Signal）。 由严平稳随机信号和广义平稳随机信号的定义可以看 出：严平稳随机信号一定是广义平稳的；反之，广义 平稳随机信号却不一定是严平稳的。
信号检测理论
第二章 随机信号分析基础
信号检测理论
提纲
2.1 随机信号(过程) 2.2 离散随机信号的数学描述 2.3 几种特定的随机信号 2.4 随机信号的功率谱 2.5 随机信号通过线性系统 2.6 时间序列信号模型
信号检测理论
2.1随机信号(过程)
随机信号和确定性信号不同，它不能通 过一个确切的数学公式描述，也不能准确地 进行预测。因此，对随机信号一般只能在统 计的意义上来研究，这就决定了其分析与处 理的方法和确定性信号相比有着较大的差异。

x1 x 2
xN
p ( xn , xn m , n, n m) p ( xk , xk m , k , k m)
故平稳随机信号的二维概率密度函数表示为 此时此刻，恰如彼时彼刻！！
完全描述一个随机信号，需知道任意维联合分布函数或 概率密度函数。
信号检测理论
p ( xn , xn m , m)
2.2 离散随机信号的数学描述
自协方差
cxx (m) E[( X n m mx )( X n mx )* ]
2 m 0 cxx ( m) x
若X(n)与Y(n)各自平稳且联合平稳，则： 互相关 互协方差
rxy (m) E[ X n mYn* ]
∗
信号检测理论
信号检测理论
信号检测理论
1
2.1随机信号(过程)
2.1随机信号(过程)
我们可以用一个随机变量X来描述自然界中 的随机事件，若X的取值是连续的，则X是连续 型随机变量。若X的取值是离散的，则X是离散
心电信号
语音信号
型随机变量，如服从二项式分布、泊松分布的 随机变量。对随机变量X ，我们一般用它的分 布函数、概率密度及数字特征来描述。
2.1随机信号(过程)
例：令X是在[a,b]上服从均匀分布的实随机变量，则有
为X的的斜度(skewness)，无量纲。用来评价分布函数相对均 值的对称性。 定义
4 1 4 X uX Kurtosis E 3 4 X 3 X X

为X的数学期望值（均值）
2

m m


x
m
p( x)dx

2

k
x uX
p( x)dx
为X的方差 定义
为X的m阶原点矩。
若X为离散型随机变量，则
u X E X xk pk
2 X
E X uX

2
(x u
k k
m E X u X X
地震波信号 信号检测理论 信号检测理论
2.1随机信号(过程)
1. 分布函数
对随机变量X，实函数
2.1随机信号(过程)
若X为连续随机变量，则定义
p( x)
dP ( x ) dx
x
P ( x ) Probability ( X x ) Probability ( X (, x ])
易证： 且 称 是
1 N m 1 ^ m 0,1, , N 1 x ( n m ) x* ( n) r xx (m) N m n 0 r * (m) m 1, , ( N 1) xx
^
提纲
2.1 随机信号(过程) 2.2 离散随机信号的数学描述 2.3 几种特定的随机信号
F ( x, n) p X (n) x p ( x, n ) F ( x, n ) x
F ( x, n) p ( x, n)dx
x
信号检测理论
2.2 离散随机信号的数学描述
分布函数：
F ( x1 , x2 ,, xN , n1 , n2 , nN ) p X 1 x1 , X 2 , , X N xN
生 还 活 是 了 生 一 活 万 了 天， 一 天 却 重 复 了 一 万 次。
2.1随机信号(过程)
x(t , sn 2 )
t1
t1
O
t
x(t , sn 1 )
O
x(t , sn )
t1
t1
t
t1
O
t1
t
x(t , sn -1 )
O
t1
t1
t
信号检测理论
信号检测理论
E[r xx (m)]
^
Nm N
rxx (m) (1
m N
)rxx (m) rxx (m)
E[m x ] mx
样本均值平均来说等于随机信号的真实均 值，这时称 是mx 的无偏估计。 易证： 称 按概率收敛到mx ， 信号检测理论 是 是
自相关估计值平均来说不等于随机信号的真实自相关，这时称 的有偏估计。
mx
^
1 N 1 x(n) N n 0
m 0,1, , N 1 m 1, , ( N 1)
1 N m 1 ^ x ( n m) x* ( n) r xx (m) N n 0 * r ( m) xx
m x 及 r xx (m) 分别作为真实均值及自相关的估计。
信号检测理论
5
2.2 离散随机信号的数学描述
2. 统计平均描述 通过任意维联合分布函数（概率密度函数）描述随机 信号是不现实的，实际应用当中只有利用某些数值 （如均值、方差、相关、协方差等）特征进行近似。 均值 方差
2 x
2.2 离散随机信号的数学描述
* rxx (n, m) E[ X n m X n ]
m=1
1 2 3 4
t
同实现得到的时间平均具有随便机性，即使同一次实 现截取不同的数据段而得到的时间平均也具有随机性
m=2
2 3 4
。
t
信号检测理论
7
2.2 离散随机信号的数学描述
估计的评价：均值(数学期望)与方差
数学期望：平均意义下估计值是否逼近真实值
^
2.2 离散随机信号的数学描述
自相关估计的均值与方差
称为X的概率分布函数，简称分布函数。 P(x) 的基本的性质
为X的概率密度函数。分布函数和密度函数存在如下关系：
P( x)
P(x) 的基本的性质:
p( x) 0

p (v)dv
0 P( x) 1 P ( ) 0 P ( ) 1 x y P( x) P( y )
信号检测理论 信号检测理论
p( x)dx 1
P (b) P (a) p( x)dx
a b

2
2.1随机信号(过程)
2. 均值与方差
定义
ux E X
2 E X u X X

2.1随机信号(过程)
3. 矩
定义
m E X X
xp ( x)dx
若X取离散值{0,1,2,…,n}的概率都相等，即pk=1/(n+1)，则称X是离 散型均匀分布的随机变量，则有
为X的峰度(kurtosis)，无量纲。用来表征分布函数在均值处的 峰值特性 信号检测理论 信号检测理论
3
2.1随机信号(过程)
随机信号的总体表现为X(t,S); 随机信号的每次实现是一个与时间有关的函数x(t,s); 对于某个特定的时刻，随机信号就是一个随机变量x(t1,s); 随机变量的每次实现是一个确定的数x(t1,s1); t:时间； S:样本空间；s:某个具体的样本
信号检测理论
4
提纲
2.1 随机信号(过程) 2.2 离散随机信号的数学描述 2.3 几种特定的随机信号 2.4 随机信号的功率谱 2.5 随机信号通过线性系统 2.6 时间序列信号模型
信号检测理论
2.2 离散随机信号的数学描述
1. 概率描述 随机过程X(n)在某一特定时刻n仍然是一个随机变量 分布函数 概率密度函数 二者满足：
0 -2
1
2
3
4
时间差越大，参与平均的数据越少；最极端的 情况，当|m|=N-1时，只有1项 长度N应大于信号中最低频率分量的周期的 5倍以上，时间差m应为N的20％以内。 为加快计算速度，可以利用FFT进行快速相 关，这时应对记录数据补零使其长度大于 或等于2N–1。 信号检测理论
-1 -2
x ( t k) 4 2 -1 0 -2 x ( t k) 4 2 0 -2 11
6
2.2 离散随机信号的数学描述
统计平均量都是总集平均，需要知道概率密度 函数，这在工程中往往无法实现；即使知道， 数值计算也比较困难！！ 期望通过随机信号的一次实现所得到的有限个 数据样本对上述统计平均量做出估计。
2.2 离散随机信号的数学描述
3. 统计平均量的数值计算 设观测信号x(n)有N个数据样本，0nN-1，则其时间 均值和时间自相关定义为： 时间均值 时间自相关
某次汽车行进中的振动测试波形
2.1随机信号(过程)
因此，实验前无法确定取某个样本函数，但 确定存在一个统计规律。所以，随机信号既是时 间t的函数，又是实验结果/样本(S)的函数，可 记为X(t,S)，或简写为X(t)，而其一次实现则记为 x(t)。 离散随机信号则表示为X(n)，一次实现记为 x(n)。