【真题】湖南省长沙市2016年中考数学试卷及参考答案【word版】
2014年湖南省长沙市中考数学试题及参考答案(word及解析版)
2014年湖南省长沙市中考数学试题及参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．12的倒数是（ ） A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－122．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（ ） A ． 圆锥 B ．六棱柱 C ．球 D ． 四棱锥3．一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是（ ） A ．3和3 B ．3和4 C ．4和3 D ．4和4 4．平行四边形的对角线一定具有的性质是（ ）A ．相等B ．互相平分C ．互相垂直D ．互相垂直且相等 5．下列计算正确的是（ ）A B ．()224ab ab = C ．236a a a += D ．34a a a ⋅=6．如图，C 、D 是线段AB 上的两点，且D 是线段AC 的中点，若10cm AB =，4cm BC =，则AD 的长为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm7．一个关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（ ）A ．1x >B ．1x ≥C ．3x >D ．3x ≥8．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=︒，则对角线BD 的长是（ ）A ．1BC ．2D ．9．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数ay x=与()20y ax a =≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A ．B ．C ．D ．11．如图，直线a b ∥，直线c 分别与a b ，相交，若170∠=︒，则2∠=__________度．12．抛物线()2325y x =-+的顶点坐标是__________．13．如图，A 、B 、C 是O 上的三点，100AOB ∠=︒，则ACB ∠=__________度．14．已知关于x 的一元二次方程22340x kx -+=的一个根是1，则k =__________．15．100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是__________．16．如图，在ABC △中，DE BC ∥，23DE BC =，ADE △的面积是8，则ABC △面积为__________．17．如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB DF ∥，AB DE =，BE CF =，6AC =，则DF =__________．18．如图，在平面直角坐标系中，已知点()23A ，，点()21B -，，在x 轴上存在点P 到A ，B 两点的距离之和最小，则P 点的坐标是__________．19．（6分）计算：()1201411453-⎛⎫-++︒ ⎪⎝⎭．20．（6分）先简化，再求值：22121124x x x x -+⎛⎫++⎪--⎝⎭，其中3x =． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙－我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图： 请根据所给信息解答以下问题：（1）请补全条形统计图；（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A 、B 、C 、D ，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A ”的概率． 22．（8分）如图，四边形ABCD 是矩形，把矩形沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，CE 与AD 相交于点O ．（1）求证：AOE COD △≌△；（2）若30OCD ∠=︒，AB =，求AOC △的面积．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23．（9分）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？ 24．（9分）如图，以ABC △的一边AB 为直径作O ，O 与BC 边的交点恰好为BC 的中点D ，过点D 作O 的切线交AC 于点E ．（1）求证：DE AC ⊥；（2）若3AB DE =，求tan ACB ∠的值．六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 25．（10分）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（－1，－1），（0，0），，…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点()2P m ，是反比例函数ny x=（n 为常数，0n ≠）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数31y kx s =+-（k ，s 是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数21y ax bx =++（a ，b 是常数，0a >）的图象上存在两个不同的“梦之点”()11A x x ，，()22B x x ，，且满足122x -<<，122x x -=，令2157248t b b =-+，试求出t 的取值范围． 26．（10分）如图，抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的对称轴为y 轴，且经过（0，0）和116⎫⎪⎭，两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的P 总经过定点()02A ，．（1）求a ，b ，c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，P 始终与x 轴相交；（3）设P 与x 轴相交于()10M x ，，()20N x ，()12x x <两点，当AMN △为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．参考答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．12的倒数是（）A．2 B．－2 C．12D．－12【知识考点】倒数．【思路分析】根据乘积为的1两个数倒数，可得一个数的倒数．【解答过程】解：12的倒数是2，故选：A．【总结归纳】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）A．圆锥B．六棱柱C．球D．四棱锥【知识考点】简单几何体的三视图．【思路分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．【解答过程】解：A．圆锥的主视图、左视图、俯视图分别为等腰三角形，等腰三角形，圆及圆心，故A选项不符合题意；B．六棱柱的主视图、左视图、俯视图分别为四边形，四边形，六边形，故B选项不符合题意；C．球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故C选项符合题意；D．四棱锥的主视图、左视图、俯视图分别为三角形，三角形，四边形，故D选项不符合题意；故选C．【总结归纳】考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．3．一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是（）A．3和3 B．3和4 C．4和3 D．4和4【知识考点】中位数；算术平均数．【思路分析】根据中位数及平均数的定义求解即可．【解答过程】解：将数据从小到大排列为：2，3，3，4，8，则中位数是3，平均数2334845++++==．故选B．【总结归纳】本题考查了平均数及中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．4．平行四边形的对角线一定具有的性质是（）A．相等B．互相平分C．互相垂直D．互相垂直且相等【知识考点】平行四边形的性质．【思路分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得答案．【解答过程】解：平行四边形的对角线互相平分，故选：B．【总结归纳】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．5．下列计算正确的是（）。
2013年湖南长沙中考数学试卷及答案(word解析版)
一、选择题：1.（2013湖南长沙 第 1题 3分）下列实数是无理数的是（ ）1 2A.-1B.0C. 【答案】D.【答案】C 。
3 .（2013湖南长沙 第 3题 3分）如果一个三角形的两边长分别是2和 4，则第三边可能是 （ ） A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】B.1）B.外切C.相交D.内切）6338222221则该校篮球队 12名同学的身高的众数是（单位：cm)）AAaa12 121 2 b1 bBBD CCABCD【答案】D8.（2013湖南长沙 第 8题 3分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形【答案】A.9.（2013湖南长沙第9题3分）在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（）【答案】C.）A.a＞0B.c＞0 D.a+b+c＞0【答案】D.=8 2 2=（2-1）。
【答】根据完全平方公式得，x +2x+1=（x+1)，故填（x+1)2 22度2 114.（2013湖南长沙第14题3分）方程【答案】x=1【答案】4.17.（2013湖南长沙第17题3分）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒子中的求摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n19.（2013湖南长沙第19题6分）计算：3【解】原式=3+4-1=6。
+（-2）2-（+1）0520.（2013湖南长沙第20题6分）解不等式组来，（1）统计图共统计了天的空气质量情况。
4022.（2013湖南长沙第22题8分）如图，△A B C 中，以A B 为直径的⊙O 交A C 于点D, ∠D B C=∠B A C.O B=O D,∴△O B D 是等边三角形，∴S =S阴影扇形△23 .360 2 3（1）求证：△AB N≌△C D M；1 12 213股定理求的NE=232013是闭区间[1,2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；x21 1，12013，即1≤y≤2013，所以反比例函数y= 是闭区间[1,2013]上的“闭函x≤n，得k m+b≤kx+b≤kn+b，根据“闭函数”的规定有，方程相减得k(m-n)=m-n，15 5115475 5≤x ≤b 时， b 2- b - ≤y ≤ a 2- a - ，由规定可得，方程相减得5 5 5 5 5 5 1 54511b=-2 或 b=1,由于 a ＜b ,b=1，此时 a=-2.故.②当 a ＜2＜b 时，函数的最小值为- ，5 11 1 4 7 11 14 7 555 55 5 5 5115， 解 得（ 其 中1 4 71a 2b 25 55552 1 4 7 55 5222229 109 根，s= ，不合题意，应舍去.211 11a a 5 综上所述：a 、b 的值为.52（2）求证△A OF ∽△BE O ；1 2 1 22 0a2a 2 2 22 点 E 坐 标 为 （ a ,-a+2), 点 F 坐 标 为 （ ， ）， AF=a a a 2 2O A BE 22 O A AF BE O B a，∴2a2a 2b 2a 2ab 4 ，∴O A ·O B=AF ·BE ，∴2222222 2 2 22222222212 【，2 21 1=a+b-2;∴S +S = (a+b-2) +（a+b-2）= [(a+b-2)+ ] - ,对2 2 21 22 212称轴是 x=- ,抛物线的开口向上。
2021年湖南省中考数学试题(word版含答案)
2021年湖南省中考数学试题（word版含答案）湖南省邵阳市2021年毕业学业水平考试试题卷数学温馨提示：（1）本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为120分钟，满分为120分。
（2）请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上。
（3）请在答题卡上作答，答在本试题卷上无效。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的四个选项中只有放松心情是一项符合题目要求的)放松心情仔细选择仔细选择 1、3是接近的整数是全品中考网（） A.0 B.2 C.4 D.52、下列运算正确的是（）0（）＝ A.?22?(π?3.14）＝5 B.32?327 833 C.x?x?x D.ab?ab?ab 3、不等式组?23522??x?1的解集在数轴上可以表示为（）?x＜3 0 1 -1 0 3 0 1 3 -1 0 3 3D C B A4、在平面直角坐标系中，函数y＝－x+1的图像经过（） A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限 C.第一、三、四象限 D.第一、二、四象限5、下列图形是轴对称图形是（）A B C D6、如图（一）AB是⊙O的直径，AC是全品中考网⊙O的切线，，A为切点，连结BC交圆0于点D,连结AD,若∠ABC=45,0B O D CA 图一则下列结论正确的是 . （） A.AD=12BC B.AD=12AC C.AC＞AB D.AD＞DC7、数据3、1、x、－1、－3的平均数是0，则 B 这组数据的方差是（）A.1B.2C.3D.4 全品中考网340 C1 8、如图（二）将Rt△ABC(其中∠B＝340，∠C＝900）绕A点按顺时针方向旋转到△AB1 C1的位置，使得点CAC、A、B1 在同一条直线上，那么旋转角最小等于（）图二A.560B.680C.1240D.1800二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）9、－2的绝对值是深入观察静心思考 __________. 10、受甲型H1N1流感的影响，猪肉价格下降了30％，设原来猪肉价格为a元/千克，则现在的猪肉价格为___________元/千克。
2016年中考数学真题试题及答案(word版)
保密★启用前2016年中考真题数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把正确答案的标号填在答题卡内相应的位置上）1、计算2(1)⨯-的结果是（）A、12-B、2-C、1 D、22、若∠α的余角是30°，则cosα的值是（）A、12BCD3、下列运算正确的是（）A、21a a-=B、22a a a+=C、2a a a⋅=D、22()a a-=-4、下列图形是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A、4个B、3个C、2个D、1个5、如图，在平行四边形ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AE于点F，则∠1=（）A、40°B、50°C、60°D、80°6、已知二次函数2y ax=的图象开口向上，则直线1y ax=-经过的象限是（）A、第一、二、三象限B、第二、三、四象限C、第一、二、四象限D、第一、三、四象限7、如图，你能看出这个倒立的水杯的俯视图是（）8、如图，是我市5月份某一周的最高气温统计图，则这组数据（最高气温）的众数与中位数分别是（）A、28℃，29℃B、28℃，29.5℃C、28℃，30℃D、29℃，29℃9、已知拋物线2123y x=-+，当15x≤≤时，y的最大值是（）A、2B、23C、53D、7310、如图,已知OBOA,均为⊙O上一点,若︒=∠80AOB,则=∠ACB（）A．80°B．70°C．60°D．40°11、如图，是反比例函数1kyx=和2kyx=（12k k<）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若2AOBS∆=，则21k k-的值是（）A、1B、2C、4D、812、一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出12升水，第2次倒出的水量是12升的13，第3次倒出的水量是13升的14，第4次倒出的水量是14升的15，…按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是（）A、1011升B、19升C、110升D、111升二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.把答案填在答题卡中的横线上）13、2011-的相反数是__________14、近似数0.618有__________个有效数字．15、分解因式：39a a-= __________16、如图，是某校三个年级学生人数分布扇形统计图，则九年级学生人数所占扇形的圆心角的度数为__________17、如图，等边△ABC绕点B逆时针旋转30°时，点C转到C′的位置，且BC′与AC交于点D，则'C DCD的值为__________ABCD16题图17题图18题图(第10题18、如图，AB是半圆O的直径，以0A为直径的半圆O′与弦AC交于点D，O′E∥AC，并交OC于点E．则下列四个结论：①点D为AC的中点；②'12O OE AOCS S∆∆=；③2AC AD=；④四边形O'DEO是菱形．其中正确的结论是__________．（把所有正确的结论的序号都填上）三、解答题（本大题共8小题，满分共66分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.19、计算：101()(5)32π-----+20、已知：12x x、是一元二次方程2410x x-+=的两个实数根．求：2121211()()x xx x+÷+的值．21、假日，小强在广场放风筝．如图，小强为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为10米，小强的身高AB为1.55米，请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的高度．（结果精确到11.411.73 ）22、如图，△OAB的底边经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB，⊙O与OA、OB分别交于D、E两点．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若D为OA3π，求⊙O的半径r．23、一个不透明的纸盒中装有大小相同的黑、白两种颜色的围棋，其中白色棋子3个（分别用白A、白B、白C表示），若从中任意摸出一个棋子，是白色棋子的概率为34．（1）求纸盒中黑色棋子的个数；（2）第一次任意摸出一个棋子（不放回），第二次再摸出一个棋子，请用树状图或列表的方法，求两次摸到相同颜色棋子的概率．24、上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．（1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？（利润率=100%⨯利润进价）25、如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．（1）求证：EB=GD；（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；（3）若AB=2，EB的长．26、已知抛物线223 (0)y ax ax a a=--<与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B的坐标；（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．。
湖南省岳阳市中考数学试题(word版,含解析)
2018 年湖南省岳阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共8 小题，每小题 3 分，满分24 分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）1．（3 分）2018 的倒数是（）A．2018 B．C．﹣D．﹣20182．（3 分）下列运算结果正确的是（）A．a3•a2=a5 B．（a3）2=a5 C．a3+a2=a5 D．a﹣2=﹣a23．（3 分）函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（）A．x＞3 B．x≠3C．x≥3D．x≥04．（3 分）抛物线 y=3（x﹣2）2+5 的顶点坐标是（）A．（﹣2，5）B．（﹣2，﹣5）C．（2，5） D．（2，﹣5）5．（3 分）已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（）A． B ．C．D．6．（3 分）在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇 7 个村的得分如下：98，90，88，96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是（）A．90，96 B．92，96 C．92，98 D．91，927．（3 分）下列命题是真命题的是（）A．平行四边形的对角线相等B．三角形的重心是三条边的垂直平分线的交点C．五边形的内角和是540°D．圆内接四边形的对角相等8．（3 分）在同一直角坐标系中，二次函数 y=x2 与反比例函数 y= （x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点 A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m 为常数，令ω=x1+x2+x3，则ω的值为（）A．1 B．m C．m2 D．二、填空题（本大题共8 小题，每小题 4 分，满分32 分）9．（4 分）因式分解：x2﹣4= ．10．（4 分）2018 年岳阳市教育扶贫工作实施方案出台，全市计划争取“全面改薄”专项资金 120000000 元，用于改造农村义务教育薄弱学校 100 所，数据 120000000 科学记数法表示为．11．（4 分）关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是．12．（4 分）已知 a2+2a=1，则 3（a2+2a）+2 的值为．13．（4 分）在﹣2，1，4，﹣3，0 这 5 个数字中，任取一个数是负数的概率是．14．（4 分）如图，直线 a∥b，∠l=60°，∠2=40°，则∠3= ．15．（4 分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为 5 步，股（长直角边）长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．16．（4 分）如图，以 AB 为直径的⊙O 与 CE 相切于点 C，CE 交 AB 的延长线于点E，直径 AB=18，∠A=30°，弦 CD⊥AB，垂足为点 F，连接 AC，OC，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①= ；②扇形 OBC 的面积为π；③△OCF∽△OEC；④若点 P 为线段 OA 上一动点，则AP•OP有最大值 20.25．三、解答题（本大题共8 小题，满分64 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6 分）计算：（﹣1）2﹣2sin45°+（π﹣2018）0+|﹣|18．（6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE=CF，求证：四边形 BFDE 是平行四边形．19．（8 分）如图，某反比例函数图象的一支经过点 A（2，3）和点 B（点 B 在点A 的右侧），作 BC⊥y 轴，垂足为点 C，连结 AB，AC．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若△ABC 的面积为 6，求直线 AB 的表达式．20．（8 分）为了树立文明乡风，推进社会主义新农村建设，某村决定组建村民文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全村范围内随机抽取部分村民进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）这次参与调查的村民人数为人；（2）请将条形统计图补充完整；（3）求扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数；（4）若在“广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟”这四个项目中任选两项组队参加端午节庆典活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率．21．（8 分）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为 33000 平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了 20%，结果提前 11 天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？22．（8 分）图 1 是某小区入口实景图，图 2 是该入口抽象成的平面示意图．已知入口 BC 宽 3.9 米，门卫室外墙 AB 上的 O 点处装有一盏路灯，点 O 与地面 BC 的距离为 3.3 米，灯臂 OM 长为 1.2 米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．（1）求点 M 到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽 2.55 米，总高 3.5 米的货车从该入口进入时，货车需与护栏 CD 保持 0.65 米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到 0.01 米）23．（10 分）已知在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB沿 CD 所在的直线对折，使点 B 落在点B′处，连结 AB'，BB'，延长 CD 交 BB'于点E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．（1）如图 1，若 AB=AC，求证：CD=2BE；（2）如图 2，若 AB≠AC，试求 CD 与 BE 的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图 3，将（2）中的线段 BC 绕点 C 逆时针旋转角（α+45°），得到线段 FC，连结 EF 交 BC 于点 O，设△COE 的面积为 S1，△COF 的面积为 S2，求（用含α的式子表示）．24．（10 分）已知抛物线 F：y=x2+bx+c 的图象经过坐标原点 O，且与 x 轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线 F 的解析式；（2）如图 1，直线 l：y= x+m（m＞0）与抛物线 F 相交于点 A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点 A 在第二象限），求 y2﹣y1的值（用含 m 的式子表示）；（3）在（2）中，若 m= ，设点A′是点 A 关于原点 O 的对称点，如图 2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点 P，使得以点 A、B、A′、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．2018 年湖南省岳阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8 小题，每小题 3 分，满分24 分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）1．（3 分）2018 的倒数是（）A．2018 B．C．﹣D．﹣2018【解答】解：2018 的倒数是，故选：B．2．（3 分）下列运算结果正确的是（）A．a3•a2=a5 B．（a3）2=a5 C．a3+a2=a5 D．a﹣2=﹣a2【解答】解：A、a3•a2=a5，正确，故本选项符合题意；B、（a3）2=a6，故本选项不符合题意；C、不是同类项不能合并，故本选项不符合题意；D、a﹣2= ，故本选项不符合题意，故选：A．3．（3 分）函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（）A．x＞3 B．x≠3C．x≥3D．x≥0【解答】解：函数 y= 中 x﹣3≥0，所以 x≥3，故选：C．4．（3 分）抛物线 y=3（x﹣2）2+5 的顶点坐标是（）A．（﹣2，5）B．（﹣2，﹣5）C．（2，5） D．（2，﹣5）【解答】解：抛物线 y=3（x﹣2）2+5 的顶点坐标为（2，5），故选：C．5．（3 分）已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是（）A． B ．C．D．【解答】解：，解①得：x＜2，解②得：x≥﹣1，故不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，故解集在数轴上表示为：．故选：D．6．（3 分）在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇 7 个村的得分如下：98，90，88，96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是（）A．90，96 B．92，96 C．92，98 D．91，92【解答】解：将数据从小到大排列：86，88，90，92，96，96，98；可得中位数为 92，众数为 96．故选：B．7．（3 分）下列命题是真命题的是（）A．平行四边形的对角线相等B．三角形的重心是三条边的垂直平分线的交点C．五边形的内角和是540°D．圆内接四边形的对角相等【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，A 是假命题；三角形的重心是三条边的中线的交点，B 是假命题；五边形的内角和=（5﹣2）×180°=540°，C 是真命题； 圆内接四边形的对角互补，D 是假命题； 故选：C ．8．（3 分）在同一直角坐标系中，二次函数 y=x 2 与反比例函数 y= （x ＞0）的图 象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点 A （x 1，m ），B （x 2，m ），C （x 3， m ），其中 m 为常数，令 ω=x 1+x 2+x 3，则 ω 的值为（）A ．1B ．mC ．m 2D ．【解答】解：设点 A 、B 在二次函数 y=x 2 图象上，点 C 在反比例函数 y= （x ＞0） 的图象上．因为 AB 两点纵坐标相同，则 A 、B 关于 y 轴对称，则 x 1+x 2=0，因为 点 C （x 3，m ）在反比例函数图象上，则 x 3= ∴ω=x 1+x 2+x 3=x 3= 故选：D ．二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 9．（4 分）因式分解：x 2﹣4= （x+2）（x ﹣2） ． 【解答】解：x 2﹣4=（x+2）（x ﹣2）． 故答案为：（x+2）（x ﹣2）．10．（4 分 ）2018 年岳阳市教育扶贫工作实施方案出台，全市计划争取“全面改薄” 专项资金 120000000 元，用于改造农村义务教育薄弱学校 100 所，数据 120000000 科学记数法表示为 1.2×108 ． 【解答】解：120000000=1.2×108，故答案为：1.2×108．11．（4 分）关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是k＜1 ．【解答】解：由已知得：△=4﹣4k＞0，解得：k＜1．故答案为：k＜1．12．（4 分）已知 a2+2a=1，则 3（a2+2a）+2 的值为 5 ．【解答】解：∵a2+2a=1，∴3（a2+2a）+2=3×1+2=5，故答案为 5．13．（4 分）在﹣2，1，4，﹣3，0 这 5 个数字中，任取一个数是负数的概率是．【解答】解：任取一个数是负数的概率是：P= ，故答案为：．14．（4 分）如图，直线 a∥b，∠l=60°，∠2=40°，则∠3= 80°．【解答】解：∵a∥b，∴∠4=∠l=60°，∴∠3=180°﹣∠4﹣∠2=80°，故答案为：80°．15．（4 分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为 5 步，股（长直角边）长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．【解答】解：∵四边形 CDEF 是正方形，∴CD=ED，DE∥CF，设 ED=x，则 CD=x，AD=12﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，x= ，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），故答案为：．16．（4 分）如图，以 AB 为直径的⊙O 与 CE 相切于点 C，CE 交 AB 的延长线于点E，直径 AB=18，∠A=30°，弦 CD⊥AB，垂足为点 F，连接 AC，OC，则下列结论正确的是①③．（写出所有正确结论的序号）①= ；②扇形 OBC 的面积为π；③△OCF∽△OEC；④若点 P 为线段 OA 上一动点，则AP•OP有最大值 20.25．【解答】解：∵弦 CD⊥AB，∴= ，所以①正确；∴∠BOC=2∠A=60°，∴扇形 OBC 的面积= = π，所以②错误；∵⊙O 与 CE 相切于点 C，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90，∵∠COF=∠EOC，∠OFC=∠OCE，∴△OCF∽△OEC；所以③正确；AP•OP=（9﹣OP）•OP=﹣（OP﹣3）2+9，当 OP=3 时，AP•OP的最大值为 9，所以④错误．故答案为①③．三、解答题（本大题共8 小题，满分64 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6 分）计算：（﹣1）2﹣2sin45°+（π﹣2018）0+|﹣|【解答】解：原式=1﹣2×+1+=1﹣+1+=2．18．（6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE=CF，求证：四边形 BFDE 是平行四边形．【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，且 AB=CD，又∵AE=CF，∴BE=DF，∴BE∥DF 且 BE=DF，∴四边形 BFDE 是平行四边形．19．（8 分）如图，某反比例函数图象的一支经过点 A（2，3）和点 B（点 B 在点A 的右侧），作 BC⊥y 轴，垂足为点 C，连结 AB，AC．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若△ABC 的面积为 6，求直线 AB 的表达式．【解答】解：（1）由题意得，k=xy=2×3=6∴反比例函数的解析式为 y= ．（2）设 B 点坐标为（a，b），如图，作 AD⊥BC 于 D，则 D（2，b）∵反比例函数 y= 的图象经过点 B（a，b）∴b=∴AD=3﹣．= BC•AD∴S△ABC= a（3﹣）=6解得 a=6∴b= =1∴B（6，1）．设 AB 的解析式为 y=kx+b，将 A（2，3），B（6，1）代入函数解析式，得，解得，直线 AB 的解析式为 y=﹣x+4．20．（8 分）为了树立文明乡风，推进社会主义新农村建设，某村决定组建村民文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全村范围内随机抽取部分村民进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：（1）这次参与调查的村民人数为120 人；（2）请将条形统计图补充完整；（3）求扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数；（4）若在“广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟”这四个项目中任选两项组队参加端午节庆典活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率．【解答】解：（1）这次参与调查的村民人数为：24÷20%=120（人）；故答案为：120；（2）喜欢广场舞的人数为：120﹣24﹣15﹣30﹣9=42（人），如图所示：；（3）扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数为：×360°=90°；（4）如图所示：，一共有 12 种可能，恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的有 2 种可能，故恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率为：．21．（8 分）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为 33000 平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了 20%，结果提前 11 天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？【解答】解：设原计划平均每天施工 x 平方米，则实际平均每天施工 1.2x 平方米，根据题意得：﹣=11，解得：x=500，经检验，x=500 是原方程的解，∴1.2x=600．答：实际平均每天施工 600 平方米．22．（8 分）图 1 是某小区入口实景图，图 2 是该入口抽象成的平面示意图．已知入口 BC 宽 3.9 米，门卫室外墙 AB 上的 O 点处装有一盏路灯，点 O 与地面 BC 的距离为 3.3 米，灯臂 OM 长为 1.2 米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．（1）求点 M 到地面的距离；（2）某搬家公司一辆总宽 2.55 米，总高 3.5 米的货车从该入口进入时，货车需与护栏 CD 保持 0.65 米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据：≈1.73，结果精确到 0.01 米）【解答】解：（1）如图，过 M 作 MN⊥AB 于 N，交 BA 的延长线于 N，Rt△OMN 中，∠NOM=60°，OM=1.2，∴∠M=30°，∴ON= OM=0.6，∴NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9；即点 M 到地面的距离是 3.9 米；（2）取 CE=0.65，EH=2.55，∴HB=3.9﹣2.55﹣0.65=0.7，过 H 作 GH⊥BC，交 OM 于 G，过 O 作 OP⊥GH 于 P，∵∠GOP=30°，∴tan30°== ，∴GP= OP= ≈0.404，∴GH=3.3+0.404=3.704≈3.70＞3.5，∴货车能安全通过．23．（10 分）已知在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB沿 CD 所在的直线对折，使点 B 落在点B′处，连结 AB'，BB'，延长 CD 交 BB'于点E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．（1）如图 1，若 AB=AC，求证：CD=2BE；（2）如图 2，若 AB≠AC，试求 CD 与 BE 的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图 3，将（2）中的线段 BC 绕点 C 逆时针旋转角（α+45°），得到线段 FC，连结 EF 交 BC 于点 O，设△COE 的面积为 S1，△COF 的面积为 S2，求（用含α的式子表示）．【解答】解：（1）如图 1 中，∵B、B′关于 EC 对称，∴BB′⊥EC，BE=EB′，∴∠DEB=∠DAC=90°，∵∠EDB=∠ADC，∴∠DBE=∠ACD，∵AB=AC，∠BAB′=∠DAC=90°，∴△BAB′≌CAD，∴CD=BB′=2BE．（2）如图 2 中，结论：CD=2•BE•tan2α．理由：由（1）可知：∠ABB′=∠ACD，∠BAB′=∠CAD=90°，∴△BAB′∽△CAD，∴= = ，∴= ，∴CD=2•BE•tan2α．（3）如图 3 中，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°﹣2α，∵EC 平分∠ACB，∴∠ECB= （90°﹣2α）=45°﹣α，∵∠BCF=45°+α，∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°，∴∠BEC+∠ECF=180°，∴BB′∥CF，∴= = =sin（45°﹣α），∵= ，∴=sin（45°﹣α）．24．（10 分）已知抛物线 F：y=x2+bx+c 的图象经过坐标原点 O，且与 x 轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线 F 的解析式；（2）如图 1，直线 l：y= x+m（m＞0）与抛物线 F 相交于点 A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点 A 在第二象限），求 y2﹣y1的值（用含 m 的式子表示）；（3）在（2）中，若 m= ，设点 A′是点 A 关于原点 O 的对称点，如图 2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点 P，使得以点 A、B、A′、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过点（0，0）和（﹣，0），∴，解得：，∴抛物线 F 的解析式为 y=x2+ x．（2）将 y= x+m 代入 y=x2+ x，得：x2=m，解得：x1=﹣，x2= ，∴y1=﹣+m，y2= +m，∴y2﹣y1=（+m）﹣（﹣+m）= （m＞0）．（3）∵m= ，∴点 A 的坐标为（﹣，），点 B 的坐标为（，2）．∵点A′是点 A 关于原点 O 的对称点，∴点A′的坐标为（，﹣）．①△AA′B为等边三角形，理由如下：∵A（﹣，），B（，2），A′（，﹣），∴AA′=，AB= ，A′B=，∴AA′=AB=A′B，∴△AA′B为等边三角形．②∵△AA′B为等边三角形，∴存在符合题意得点 P，且以点 A、B、A′、P 为顶点的菱形分三种情况，设点 P 的坐标为（x，y）．（i）当A′B为对角线时，有，解得：，∴点 P 的坐标为（2 ，）；（ii）当 AB 为对角线时，有，解得：，∴点 P 的坐标为（﹣，）；（iii）当AA′为对角线时，有，解得：，∴点 P 的坐标为（﹣，﹣2）．综上所述：平面内存在点 P，使得以点 A、B、A′、P 为顶点的四边形是菱形，点P 的坐标为（2 ，）、（﹣，）和（﹣，﹣2）．。
2020年湖南省长沙市中考数学试卷及参考答案与试题解析
2020年湖南省长沙市中考数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2020•长沙）（﹣2）3的值等于（）A．﹣6B．6C．8D．﹣82．（3分）（2020•长沙）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）（2020•长沙）为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中数字632400000000用科学记数法表示为（）A．6.324×1011B．6.324×1010C．632.4×109D．0.6324×10124．（3分）（2020•长沙）下列运算正确的是（）A．√3+√2=√5B．x8÷x2＝x6C．√3×√2=√5D．（a5）2＝a7 5．（3分）（2020•长沙）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式是（）A．v=106t B．v＝106t C．v=1106t2D．v＝106t26．（3分）（2020•长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（）A．42√3米B．14√3米C．21米D．42米7．（3分）（2020•长沙）不等式组{x +1≥−1x 2＜1的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 8．（3分）（2020•长沙）一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是（ ）A ．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球B ．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球C ．第一次摸出的球是红球的概率是13D ．两次摸出的球都是红球的概率是19 9．（3分）（2020•长沙）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“π（Day ）”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．其中表述正确的序号是（ ）A ．②③B ．①③C ．①④D ．②④10．（3分）（2020•长沙）如图：一块直角三角板的60°角的顶点A 与直角顶点C 分别在两平行线FD 、GH 上，斜边AB 平分∠CAD ，交直线GH 于点E ，则∠ECB 的大小为（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．25°11．（3分）（2020•长沙）随着5G 网络技术的发展，市场对5G 产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x 万件产品，依题意得（ ）A ．400x−30=500x B ．400x =500x+30 C ．400x =500x−30 D ．400x+30=500x12．（3分）（2020•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P 与加工煎炸时间t （单位：分钟）近似满足的函数关系为：p ＝at 2+bt +c （a ≠0，a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（ ）A ．3.50分钟B ．4.05分钟C ．3.75分钟D ．4.25分钟二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）（2020•长沙）长沙地铁3号线、5号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到如下统计表：次数 7次及以上6 5 4 3 2 1次及以下 人数 8 12 31 24 15 6 4这次调查中的众数和中位数分别是 ， ．14．（3分）（2020•长沙）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A 、B 、C 三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，A 同学拿出二张扑克牌给B 同学；第二步，C 同学拿出三张扑克牌给B 同学；第三步，A 同学手中此时有多少张扑克牌，B 同学就拿出多少张扑克牌给A 同学． 请你确定，最终B 同学手中剩余的扑克牌的张数为 ．15．（3分）（2020•长沙）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为 ．16．（3分）（2020•长沙）如图，点P 在以MN 为直径的半圆上运动（点P 不与M ，N 重合），PQ ⊥MN ，NE 平分∠MNP ，交PM 于点E ，交PQ 于点F ．（1）PF PQ +PE PM = ．（2）若PN 2＝PM •MN ，则MQ NQ = ．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）（2020•长沙）计算：|﹣3|﹣（√10−1）0+√2cos45°+（14）﹣1． 18．（6分）（2020•长沙）先化简再求值：x+2x 2−6x+9•x 2−9x+2−x x−3，其中x ＝4．19．（6分）（2020•长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ．（2）分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C ．（3）画射线OC ，射线OC 即为所求（如图）．请你根据提供的材料完成下面问题．（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是 ．（填序号）①SSS②SAS③AAS④ASA（2）请你证明OC为∠AOB的平分线．20．（8分）（2020•长沙）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：（1）这次调查活动共抽取人；（2）m＝，n＝；（3）请将条形统计图补充完整；（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．21．（8分）（2020•长沙）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=√3，求⊙O的半径．22．（9分）（2020•长沙）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B 两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：第一批第二批A型货车的辆数（单位：辆）12B型货车的辆数（单位：辆）35累计运输物资的吨数（单位：吨）2850备注：第一批、第二批每辆货车均满载（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A种型号货车．试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？23．（9分）（2020•长沙）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝2√3，AD＝4，求EC的长；（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠F AE＝β，求tanα+tanβ的值．24．（10分）（2020•长沙）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．①y＝2x（）；②y=m x（m≠0）（）；③y＝3x﹣1（）．（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．̂上25．（10分）（2020•长沙）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4√3，点C是劣弧AB的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．（1）求∠AOB的度数；̂从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过（2）当点C沿着劣弧AB的路径的长度；（3）分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S12﹣S22＝21时，求弦AC的长度．2020年湖南省长沙市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共12个小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2020•长沙）（﹣2）3的值等于（）A．﹣6B．6C．8D．﹣8【解答】解：（﹣2）3＝﹣8，故选：D．2．（3分）（2020•长沙）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．3．（3分）（2020•长沙）为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中数字632400000000用科学记数法表示为（）A．6.324×1011B．6.324×1010C．632.4×109D．0.6324×1012【解答】解：632 400 000 000＝6.324×1011，故选：A．4．（3分）（2020•长沙）下列运算正确的是（）A．√3+√2=√5B．x8÷x2＝x6C．√3×√2=√5D．（a5）2＝a7【解答】解：A 、√3与√2不是同类项，不能合并，计算错误，故本选项不符合题意．B 、原式＝x 8﹣2＝x 6，计算正确，故本选项符合题意． C 、原式=√3×2=√6，计算错误，故本选项不符合题意．D 、原式＝a 5×2＝a 10，计算错误，故本选项不符合题意． 故选：B ．5．（3分）（2020•长沙）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为106m 3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v （单位：m 3/天）与完成运送任务所需时间t （单位：天）之间的函数关系式是（ ）A ．v =106tB ．v ＝106tC ．v =1106t 2D ．v ＝106t 2【解答】解：∵运送土石方总量＝平均运送土石方的速度v ×完成运送任务所需时间t ， ∴106＝vt ，∴v =106t ， 故选：A ．6．（3分）（2020•长沙）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时，船离灯塔的水平距离是（ ）A ．42√3米B ．14√3米C ．21米D ．42米【解答】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°＝42√3（米）故选：A ．7．（3分）（2020•长沙）不等式组{x +1≥−1x 2＜1的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ． 【解答】解：由不等式组{x +1≥−1x 2＜1，得﹣2≤x ＜2，故该不等式组的解集在数轴表示为：故选：D ．8．（3分）（2020•长沙）一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是（ ）A ．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球B ．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球C ．第一次摸出的球是红球的概率是13D ．两次摸出的球都是红球的概率是19 【解答】解：A 、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故本选项错误；B 、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球，故本选项正确；C 、∵不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，∴第一次摸出的球是红球的概率是13，故本选项正确；D 、共用9种等情况数，分别是红红、红绿、红绿、绿红、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿绿，则两次摸出的球都是红球的概率是19，故本选项正确； 故选：A ．9．（3分）（2020•长沙）2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”．这个节日的昵称是“π（Day ）”．国际数学日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．在古代，一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展水平的一个主要标志．我国南北朝时的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下对于圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆的大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比．其中表述正确的序号是（ ）A ．②③B ．①③C ．①④D ．②④【解答】解：因为圆周率是一个无理数，是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，所以表述正确的序号是②③；故选：A ．10．（3分）（2020•长沙）如图：一块直角三角板的60°角的顶点A 与直角顶点C 分别在两平行线FD 、GH 上，斜边AB 平分∠CAD ，交直线GH 于点E ，则∠ECB 的大小为（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．25°【解答】解：∵AB 平分∠CAD ， ∴∠CAD ＝2∠BAC ＝120°， 又∵DF ∥HG ，∴∠ACE ＝180°﹣∠DAC ＝180°﹣120°＝60°， 又∵∠ACB ＝90°，∴∠ECB ＝∠ACB ﹣∠ACE ＝90°﹣60°＝30°， 故选：C ．11．（3分）（2020•长沙）随着5G 网络技术的发展，市场对5G 产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G 产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产x 万件产品，依题意得（ ） A ．400x−30=500xB ．400x=500x+30C ．400x=500x−30D ．400x+30=500x【解答】解：设更新技术前每天生产x 万件产品，则更新技术后每天生产（x +30）万件产品， 依题意，得：400x=500x+30．故选：B ．12．（3分）（2020•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P 与加工煎炸时间t （单位：分钟）近似满足的函数关系为：p ＝at 2+bt +c （a ≠0，a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（ ）A ．3.50分钟B ．4.05分钟C ．3.75分钟D ．4.25分钟【解答】解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p ＝at 2+bt +c 中，{9a +3b +c =0.816a +4b +c =0.925a +5b +c =0.6， 解得{a =−0.2b =1.5c =−1.9，所以函数关系式为：p ＝﹣0.2t 2+1.5t ﹣1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标： t =−b 2a =− 1.52×(−0.2)=3.75， 则当t ＝3.75分钟时，可以得到最佳时间． 故选：C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．（3分）（2020•长沙）长沙地铁3号线、5号线即将试运行，为了解市民每周乘坐地铁出行的次数，某校园小记者随机调查了100名市民，得到如下统计表： 次数7次及以上654321次及以下 人数81231241564这次调查中的众数和中位数分别是 5 ， 5 ． 【解答】解：这次调查中的众数是5， 这次调查中的中位数是5+52=5，故答案为：5；5．14．（3分）（2020•长沙）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为7．【解答】解：设每人有牌x张，B同学从A同学处拿来二张扑克牌，又从C同学处拿来三张扑克牌后，则B同学有（x+2+3）张牌，A同学有（x﹣2）张牌，那么给A同学后B同学手中剩余的扑克牌的张数为：x+2+3﹣（x﹣2）＝x+5﹣x+2＝7．故答案为：7．15．（3分）（2020•长沙）已知圆锥的母线长为3，底面半径为1，该圆锥的侧面展开图的面积为3π．【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是扇形，∴S侧＝πrl＝3×1π＝3π，∴该圆锥的侧面展开图的面积为3π．故答案为：3π．16．（3分）（2020•长沙）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动（点P不与M，N重合），PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F．（1）PFPQ +PEPM=1．（2）若PN2＝PM•MN，则MQNQ=√5−12．【解答】解：（1）∵MN为⊙O的直径，∴∠MPN＝90°，∵PQ ⊥MN ，∴∠PQN ＝∠MPN ＝90°， ∵NE 平分∠PNM ， ∴∠MNE ＝∠PNE ， ∴△PEN ∽△QFN ， ∴PE QF=PN QN，即PEPN=QF QN①，∵∠PNQ +∠NPQ ＝∠PNQ +∠PMQ ＝90°， ∴∠NPQ ＝∠PMQ ， ∵∠PQN ＝∠PQM ＝90°， ∴△NPQ ∽△PMQ ， ∴PN MP=NQ PQ②，∴①×②得PEPM=QF PQ，∵QF ＝PQ ﹣PF ， ∴PE PM =QF PQ =1−PFPQ ， ∴PF PQ+PE PM=1，故答案为：1；（2）∵∠PNQ ＝∠MNP ，∠NQP ＝∠NPQ ， ∴△NPQ ∽△NMP ， ∴PN MN=QN PN，∴PN 2＝QN •MN ， ∵PN 2＝PM •MN ， ∴PM ＝QN ， ∴MQ NQ=MQ PM，∵tan ∠M =MQPM =PMMN ， ∴MQ NQ =PM MN，∴MQ NQ=NQ MQ+NQ，∴NQ 2＝MQ 2+MQ •NQ ，即1=MQ 2NQ 2+MQNQ ， 设MQ NQ=x ，则x 2+x ﹣1＝0，解得，x =√5−12，或x =−√5+12＜0（舍去），∴MQ NQ=√5−12， 故答案为：√5−12． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）（2020•长沙）计算：|﹣3|﹣（√10−1）0+√2cos45°+（14）﹣1．【解答】解：原式＝3﹣1+√2×√22+4 ＝2+1+4 ＝7．18．（6分）（2020•长沙）先化简再求值：x+2x 2−6x+9•x 2−9x+2−xx−3，其中x ＝4．【解答】解：x+2x −6x+9•x 2−9x+2−xx−3=x+2(x−3)2⋅(x+3)(x−3)x+2−x x−3 =x+3x−3−xx−3 =3x−3，当x ＝4时，原式=34−3=3．19．（6分）（2020•长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法： 已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ． （2）分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C ．（3）画射线OC ，射线OC 即为所求（如图）． 请你根据提供的材料完成下面问题．（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是 ① ．（填序号） ①SSS ②SAS ③AAS ④ASA（2）请你证明OC 为∠AOB 的平分线．【解答】解：（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是①SSS ． 故答案为：①（2）由基本作图方法可得：OM ＝ON ，OC ＝OC ，MC ＝NC ， 则在△OMC 和△ONC 中， {OM =ON OC =OC MC =NC， ∴△OMC ≌△ONC （SSS ）， ∴∠AOC ＝∠BOC ， 即OC 为∠AOB 的平分线．20．（8分）（2020•长沙）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：（1）这次调查活动共抽取200人；（2）m＝86，n＝27；（3）请将条形统计图补充完整；（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．【解答】解：（1）20÷10%＝200（人），故答案为：200；（2）200×43%＝86（人），54÷200＝27%，即，n＝27，故答案为：86，27；（3）200×20%＝40（人），补全条形统计图如图所示：（4）3000×27%＝810（人），答：该校3000名学生中一周劳动4次及以上的有810人．21．（8分）（2020•长沙）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线．（2）若AD＝3，DC=√3，求⊙O的半径．【解答】解：（1）如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，又OC是⊙O的半径，∴DC为⊙O的切线；（2）过点O作OE⊥AC于点E，在Rt△ADC中，AD＝3，DC=√3，∴tan∠DAC=DCAD=√33，∴∠DAC＝30°，∴AC＝2DC＝2√3，∵OE⊥AC，根据垂径定理，得AE＝EC=12AC=√3，∵∠EAO＝∠DAC＝30°，∴OA =AEcos30°=2，∴⊙O 的半径为2．22．（9分）（2020•长沙）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A ，B 两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：第一批 第二批 A 型货车的辆数（单位：辆） 1 2 B 型货车的辆数（单位：辆） 3 5 累计运输物资的吨数（单位：吨）2850备注：第一批、第二批每辆货车均满载（1）求A 、B 两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A 种型号货车．试问至少还需联系多少辆B 种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？【解答】解：（1）设A 种型号货车每辆满载能运x 吨生活物资，B 种型号货车每辆满载能运y 吨生活物资，依题意，得：{x +3y =282x +5y =50，解得：{x =10y =6．答：A 种型号货车每辆满载能运10吨生活物资，B 种型号货车每辆满载能运6吨生活物资．（2）设还需联系m 辆B 种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地， 依题意，得：10×3+6m ≥62.4， 解得：m ≥5.4， 又∵m 为正整数， ∴m 的最小值为6．答：至少还需联系6辆B 种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地． 23．（9分）（2020•长沙）在矩形ABCD 中，E 为DC 边上一点，把△ADE 沿AE 翻折，使点D 恰好落在BC 边上的点F ． （1）求证：△ABF ∽△FCE ；（2）若AB ＝2√3，AD ＝4，求EC 的长；（3）若AE ﹣DE ＝2EC ，记∠BAF ＝α，∠F AE ＝β，求tan α+tan β的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°， 由翻折可知，∠D ＝∠AFE ＝90°，∴∠AFB +∠EFC ＝90°，∠EFC +∠CEF ＝90°， ∴∠AFB ＝∠FEC ， ∴△ABF ∽△FCE ．（2）设EC ＝x ，由翻折可知，AD ＝AF ＝4，∴BF =√AF 2−AB 2=√16−12=2， ∴CF ＝BC ﹣BF ＝2， ∵△ABF ∽△FCE ， ∴AB CF=BF EC，∴2√32=2x， ∴x =2√33， ∴EC =2√33．（3）∵△ABF ∽△FCE ， ∴AF EF=AB CF，∴tan α+tan β=BFAB +EFAF =BFAB +CFAB =BF+CF AB=BCAB ， 设AB ＝CD ＝a ，BC ＝AD ＝b ，DE ＝x ， ∴AE ＝DE +2CE ＝x +2（a ﹣x ）＝2a ﹣x ，∵AD ＝AF ＝b ，DE ＝EF ＝x ，∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∴BF =√b 2−a 2，CF =√x 2−(a −x)2=√2ax −a 2，∵AD 2+DE 2＝AE 2，∴b 2+x 2＝（2a ﹣x ）2，∴a 2﹣ax =14b 2，∵△ABF ∽△FCE ，∴AB CF =BF EC ， ∴22=√b 2−a 2a−x ，∴a 2﹣ax =√b 2−a 2•√2ax −a 2，∴14b 2=√b 2−a 2•√a 2−12b 2， 整理得，16a 4﹣24a 2b 2+9b 4＝0，∴（4a 2﹣3b 2）2＝0，∴b a =2√33， ∴tan α+tan β=BC AB =2√33．24．（10分）（2020•长沙）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”．根据该约定，完成下列各题．（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H 函数”的打“×”．①y ＝2x （ √ ）；②y =mx （m ≠0）（ √ ）；③y ＝3x ﹣1（ × ）．（2）若点A （1，m ）与点B （n ，﹣4）是关于x 的“H 函数”y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线x ＝2的右侧，求a ，b ，c 的值或取值范围．（3）若关于x 的“H 函数”y ＝ax 2+2bx +3c （a ，b ，c 是常数）同时满足下列两个条件：①a +b +c ＝0，②（2c +b ﹣a ）（2c +b +3a ）＜0，求该“H 函数”截x 轴得到的线段长度的取值范围．【解答】解：（1）①y ＝2x 是“H 函数”．②y =m x （m ≠0）是“H 函数”．③y ＝3x ﹣1不是“H 函数”．故答案为：√，√，×．（2）∵A ，B 是“H 点”，∴A ，B 关于原点对称，∴m ＝4，n ＝﹣1，∴A （1，4），B （﹣1，﹣4），代入y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）得{a +b +c =4a −b +c =−4， ∴{b =4a +c =0， ∵该函数的对称轴始终位于直线x ＝2的右侧，∴−b 2a ＞2，∴−42a ＞2，∴﹣1＜a ＜0，∵a +c ＝0，∴0＜c ＜1，综上所述，﹣1＜a ＜0，b ＝4，0＜c ＜1．（3）∵y ＝ax 2+2bx +3c 是“H 函数”，∴设H （p ，q ）和（﹣p ，﹣q ），代入得到{ap 2+2bp +3c =q ap 2−2bp +3c =−q， 解得ap 2+3c ＝0，2bp ＝q ，∵p 2＞0，∴a ，c 异号，∴ac＜0，∵a+b+c＝0，∴b＝﹣a﹣c，∵（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，∴（2c﹣a﹣c﹣a）（2c﹣a﹣c+3a）＜0，∴（c﹣2a）（c+2a）＜0，∴c2＜4a2，∴c2a＜4，∴﹣2＜ca＜2，设t=ca，则﹣2＜t＜0，设函数与x轴交于（x1，0），（x2，0），∴x1，x2是方程ax2+2bx+3c＝0的两根，∴|x1﹣x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=√(−2b a)2−4⋅3c a=√4(a+c)2a2−12c a=√4[1+2c a+(c a)2−3c a]＝2√1+2t+t2−3t＝2√(t−12)2+34，∵﹣2＜t＜0，∴2＜|x1﹣x2|＜2√7．25．（10分）（2020•长沙）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4√3，点C是劣弧AB̂上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．（1）求∠AOB的度数；（2）当点C沿着劣弧AB̂从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；（3）分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S12﹣S22＝21时，求弦AC的长度．【解答】解：（1）如图1中，过点O作OH⊥AB于H．∵OA＝OB＝4，OH⊥AB，∴AH＝HB=12AB＝2√3，∠AOH＝∠BOH，∴sin∠AOH=AHAO=√32，∴∠AOH＝60°，∴∠AOB＝2∠AOH＝120°．（2）如图2中，连接OC．∵OA＝OC＝OB，AD＝DC，CE＝EB，∴OD⊥AC，OE⊥CB，∴∠ODC＝∠OEC＝90°，∴∠ODC+∠OEC＝180°，∴O，D，C，E四点共圆，∴OC是直径，∴OC的中点P是△OED的外接圆的圆心，∴OP=12OC＝2，∴点P 的运动路径的长=120⋅π⋅2180=4π3． （3）如图3中，若AC ＜BC ，连接OC 交AB 于J ，过点O 作OH ⊥AB 于H ，过点C 作CK ⊥AB 于K ．∵AD ＝CD ，CE ＝EB ，∴DE ∥AB ，AB ＝2DE ，∴△CDE ∽△CAB ，∴S △CDES △CAB =（DE AB ）2=14， ∴S △ABC ＝4S 2，∵S △ADO ＝S △ODC ，S △OBE ＝S △OEC ，∴S 四边形ODCE =12S 四边形OACB ，∴S 1+S 2=12（4S 2+4√3）＝2S 2+2√3，∴S 1＝S 2+2√3，∵S 12﹣S 22＝21，∴S 22+4√3S 2+12﹣S 22＝21，∴S 2=3√34，∴S △ABC ＝3√3=12×AB ×CK ，∴CK =32，∵OH ⊥AB ，CK ⊥AB ，∴OH ∥CK ，∴△CKJ ∽△OHJ ，∴CK OH =CJ OJ ，∴CJOJ =322=34，∴CJ=37×4=127，OJ=47×4=167，∴JK=√CJ2−CK2=√(127)2−(32)2=3√1514，JH=√OJ2−OH2=√(167)2−22=2√157，∴KH=√15 2，∴AK＝AH﹣KH＝2√3−√15 2，∴AC=√AK2+CK2=(2√3−√152)2+(32)2=√18−6√5=√15−√3．若AC＞BC时，同法可得AC=√15+√3，综上所述，AC的长为√15−√3或√15+√3．。
2021年湖南省长沙市中考数学试卷含答案详解(高清word版)
2021年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列四个实数中，最大的数是( )A. −3B. −1C. πD. 42. 2021年5月11日，第七次全国人口普查结果发布，长沙市人口总数首次突破千万，约为10040000人，将数据10040000用科学记数法表示为( )A. 1.004×106B. 1.004×107C. 0.1004×108D. 10.04×1063. 下列几何图形中，是中心对称图形的是( )A. B. C. D.4. 下列计算正确的是( )A. a3⋅a2=a5B. 2a+3a=6aC. a8÷a2=a4D. (a2)3=a55. 如图，AB//CD，EF分别与AB，CD交于点G，H，∠AGE=100°，则∠DHF的度数为( )A. 100°B. 80°C. 50°D. 40°6. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=54°，则∠BOC的度数为( )A. 27°B. 108°C. 116°D. 128°7. 下列函数图象中，表示直线y=2x+1的是( )A.B.C.D.8. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高(单位：cm)分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是( )A. 24，25B. 23，23C. 23，24D. 24，249. 有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6的点数.将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5的概率是( )A. 19B. 16C. 14D. 1310. 在一次数学活动课上，某数学老师将1∼10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上(每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下).他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17.根据以上信息，下列判断正确的是( )A. 戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9B. 丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7C. 丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4D. 甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 分解因式：x2−2021x=______ ．12. 如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为______ ．13. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE=6，则BC的长为______ ．14. 若关于x的方程x2−kx−12=0的一个根为3，则k的值为．15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC=4，DE=1.6，则BD的长为______ ．16. 某学校组织了主题为“保护湘江，爱护家园”的手抄报作品征集活动.先从中随机抽取了部分作品，按A，B，C，D四个等级进行评价，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图.那么，此次抽取的作品中，等级为B等的作品份数为______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17. 计算：|−√2|−2sin45°+(1−√3)0+√2×√8．四、解答题（本大题共8小题，共66.0分。
2016年湖南省长沙市中考数学试题(含答案)-全新整理
2016年长沙中考数学测试卷一、 选择题1.下列四个数中，最大的数是（ ）A.－2B.31C.0D.6 2.大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于2016年年底通车，通车后，从长沙到株洲只需24分钟，从长沙到湘潭只需25分钟，这条铁路线全长95500米，则数据95500用科学记数法表示为（ ）A ．0.955×105 B. 9.55×105 C. 9.55×104 D . 9.5×1043.下列计算正确的是（ ）A ．1052=⨯ B. x 8÷x 2=x 4 C. (2a )3=6a 3 D . 3a 3 · 2 a 2=6a 64.六边形的内角和是（ ）A ．︒540 B. ︒720 C. ︒900 D . ︒3605.不等式组⎩⎨⎧<-≥-048512x x 的解集在数轴上表示为（ ）6.下图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）7.若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ）A ．6 B. 3 C. 2 D . 118.若将点A （1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B ，则点B 的坐标为（ ）A ．（－2，－1） B. （－1，0） C. （－1，－1） D . （－2，0）9.下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ ）10.已知一组数据75， 80，85，90，则它的众数和中位数分别为（ ）A ．75， 80 B. 80，85 C. 80，90 D . 80，8011．如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为︒30，看这栋楼底部C 处的俯角为︒60，热气球A 处与楼的水平距离为120 m ，则这栋楼的高度为（ ）A ．1603m B. 1203mC ．300 mD . 1602m12.已知抛物线y =ax 2+bx +c (b >a >0)与x 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧；②关于x 的方程ax 2+bx +c=0无实数根；③a －b +c ≥0；④ab c b a -++的最小值为3.其中，正确结论的个数为（ ）A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题13.分解因式：x 2y －4y =____________.14.若关于x 的一元二次方程x 2－4x －m =0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是_________.15.如图，扇形OAB 的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为_______.（结果保留π）16.如图，在⊙O 中，弦AB=6，圆心O 到AB 的距离OC=2，则⊙O 的半径长为_____________.17.如图，△ABC 中，AC=8，BC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，则△BCE 的周长为______.15题图 16题图 17题图18.若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是__________.三、解答题19.计算：4sin60°－︱－ 2︳－12+(－1)201620.先化简，再求值：b a a -(a b 11-)+b a 1-.其中，a =2，b =31.21.为积极响应市委市政府“加快建设天蓝·水净·地绿的美丽长沙”的号召，我市某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种，为了更好的了解社情民意，工作人员在街道辖区范围内随即抽取了部分居民，进行“我最喜欢的一种树”的调查活动（每人限选其中一种树），并将调查结果整理后，绘制成下面两个不完整的统计图.请根据所给信息解答以下问题：(1)这次参与调查的居民人数为_______；(2)请将条形统计图补充完整；(3)请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数；(4)已知该街道辖区内现有居民8万人，请你估计这8万人中最喜欢玉兰树的有多少人？22.如图，AC 是□ABCD 的对角线，∠BAC=∠DAC.(1)求证：AB=BC ； (2)若AB=2，AC=32，求□ABCD 的面积.23.2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁悬浮线正式开通运营，该线路连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将会给乘客带来美的享受。
完整版长沙市2016年中考数学试题含答案WORD版
年长沙中考数学测试卷2016一、选择题） 1.下列四个数中，最大的数是（1D.6 C.0 B. 2 A.－32.大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于2016年年底通车，通车后，从长沙到株洲只需24分钟，从长沙到湘潭只需25分钟，这条铁路线全长95500米，则数据95500用科学记数法表示为（）5 5 44 D . 9.5×10 A．0.955×10 C. 9.55×10 B.9.55×103.下列计算正确的是（）82433326 a a=6·2 ． A C. (2a)D . 3=6aa B. x÷x =x10?2?54.六边形的内角和是（）720?540?900?360? D . ．A C. B.2x?1?5?的解集在数轴上表示为（）5.不等式组?8?4x?0?6.下图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）7.若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（）B. 3 A．6C. 2 D . 118.若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（）B. （－1，0）C. （－1，－，－A．（－21）1） D . （－2，0）9.下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（）10.已知一组数据75，80，85，90，则它的众数和中位数分别为（）B. 80，85C. 80，90 80．A75， D . 80，8011．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的30?60?，热气球A处的俯角为仰角为处与楼的水，看这栋楼底部C平距离为120 m，则这栋楼的高度为（）33m B. 120 ．A160 m2mD . 160 ．C300 m2轴最多有一个交点，现有以下四个结论：x与>0)a>b(c+bx+ax=y已知抛物线12.c?b?a c2④0－b+；ax①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程≥+bx+c=0无实数根；③a ab?其中，正确结论的个数为（）的最小值为3.个 D.4 C.3个A．1个 B.2个二、填空题y2=____________.－分解因式：x4y13.2_________. m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是14.若关于x的一元二次方程x－4x－?），则该扇形的弧长为_______.（结果保留015.如图，扇形OAB的圆心角为12°，半径为3_____________. 的半径长为OC=2，则⊙OO16.如图，在⊙O中，弦AB=6，圆心到AB的距离BCEE，则△的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点BC=517.如图，△ABC中，AC=8，，AB______. 的周长为题图17 16 15题图题图__________. 18.若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是三、解答题122016)2︳－+(－1－19.计算：4sin60°︱－11a1a?1?. =2，b=20.(先化简，再求值：a)+.其中，3bbb?aa为积极响应市委市政府“加快建设天蓝·水净·地绿的美丽长沙”的号召，我市某街道决定从备21.选的五种树中选购一种进行栽种，为了更好的了解社情民意，工作人员在街道辖区范围内随即抽取了部分居民，进行“我最喜欢的一种树”的调查活动（每人限选其中一种树），并将调查结果整理. 后，绘制成下面两个不完整的统计图请根据所给信息解答以下问题：(1)这次参与调查的居民人数为_______；(2)请将条形统计图补充完整；(3)请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数；万人中最喜欢玉兰树的有多少人？8万人，请你估计这8已知该街道辖区内现有居民(4)．□DAC. ABCD的对角线，∠BAC=∠22.如图，AC是；求证：AB=BC (1)32□ABCD(2)若AB=2，的面积AC=.，求23.2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁悬浮线正式开通运营，该线路连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将会给乘客带来美的享受。
2016年湖南省长沙市中考数学试卷含答案
2016年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分）1．下列四个数，最大的数是（ ）A ．-2B ．31C ．0D ．62．大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于2016年年底通车，通车后，从长沙到株洲只需 24分钟，从长沙到湘潭只需25分钟，这条铁路全长99 500米，则数据99 500用科学记数法表示为（ ）A ．0.995×105B ．9.95×105C ．9.95×104D ．9.5×1043．下列计算正确的是（ ） A.2×5=10 B ．x 8÷x 2=x 4 C ．（2a ）3=6a 3 D ．3a 5 • 2a 3=6a 64．六边形的内角和是（ ）A ．540°B ．720°C ．900°D ．360°5．不等式组⎩⎨⎧<-≥-048512x x ，的解集在数轴上表示为（ ）A B C D6．如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）（第6题图）A B C D7．若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ）A ．6B ．3C ．2D ．118．若将点A （1，3）先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B ，则点B 的坐标为（ ）A．（-2，-1）B．（-1，0）C．（-1，-1）D．（-2，0）9．下列各图，∠1与∠2互为余角的是（）A B C D10．若一组数据为75，80，80，85，90，则它的众数和中位数分别为（）A．75，80 B．80，85 C．80，90 D．80，8011．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为（）（第10题图）A．1603m B．1203m C．300 m D．1602m12．已知抛物线y=ax2+bx+c（b>a>0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；③a-b+c≥0；④ab cb a-++的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本题共6小题，每小题3分，满分18分）13．分解因式：x2y-4y=．14．若关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．15．如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为．（结果保留π）（第15题图）16．如图，在⊙O 中，弦AB =6，圆心O 到AB 的距离OC =2，则⊙O 的半径为 ．（第16题图）17．如图，在△ABC 中，AC =8，BC =5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，则△BCE 的周长为 ．（第17题图） 18．若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是 ．三、解答题（本题共8小题，共66分）19．（6分）计算：4sin 60°-|-2|-12+（-1）2 016．20．（6分）先化简，再求值：b a a -（b 1-a 1）+b a 1-，其中a =2，b =31． 21．（8分）为了积极响应市委政府“加快建设天蓝•水碧•地绿的美丽长沙”的号召，我市某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种．为了更好地了解社情民意，工作人员在街道辖区范围内随机抽取了部分居民，进行“我最喜欢的一种树”的调查活动（每人限选其中一种树），并将调查结果整理后，绘制成如图两个不完整的统计图：（第21题图）请根据所给信息解答以下问题：（1）这次参与调查的居民人数为 .（2）请将条形统计图补充完整.（3）请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数.（4）已知该街道辖区内现有居民8万人，请你估计这8万人中最喜欢玉兰树的有多少人．22．（8分）如图，AC是ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC．（1）求证：AB=BC．（2）若AB=2，AC=23，求ABCD的面积．（第22题图）23．（9分）2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨．（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次分别运输土方多少吨？（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？24．（9分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数．（2）求证：DF是⊙O的切线．（3）若AC=25DE，求tan∠ABD的值．（第24题图）25．（10分）若抛物线L ：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，abc ≠0）与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时，直线l 叫作抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫作直线l 的“路线”．（1）若直线y =mx +1与抛物线y =x 2-2x +n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；（2）若某“路线”L 的顶点在反比例函数y =x6的图像上，它的“带线”l 的表达式为y =2x -4，求此“路线”L 的表达式；（3）当常数k 满足21≤k ≤2时，求抛物线L ：y =ax 2+（3k 2-2k +1）x +k 的“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．26．（10分）如图，直线l ：y =-x +1与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P ，Q 是直线l 上的两个动点，且点P 在第二象限，点Q 在第四象限，∠POQ =135°．（1）求△AOB 的周长．（2）设AQ =t >0，试用含t 的代数式表示点P 的坐标．（3）当动点P ，Q 在直线l 上运动到使得△AOQ 与△BPO 的周长相等时，记tan ∠AOQ =m ，若过点A 的二次函数y =ax 2+bx +c 同时满足以下两个条件：①6a +3b +2c =0；②当m ≤x ≤m +2时，函数y 的最大值等于m2，求二次项系数a 的值．（第26题图）参考答案 一、1．D 【分析】根据有理数比较大小的方法知，6>31>0>-2，故在四个数中，最大的数是6．故选D ．2．C 【分析】将99 500用科学记数法表示为9.95×104．故选C ．3．A 【分析】A.2×5=10，正确；B.x 8÷x 2=x 6，错误；C.（2a ）3=8a 3，错误；D.3a 5 • 2a 3=6a 8，错误.故选A ．4．B 【分析】根据题意，得（6-2）×180°=720°．故选B ．5．C 【分析】解不等式2x -1≥5，得x ≥3．解不等式8-4x <0，得x >2．故不等式组的解集为x ≥3．故选C ．6．B 【分析】从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形．故选B ．7．A 【分析】设第三边长为x ，则7-3<x <7+3，即4<x <10，所以符合条件的整数为6．故选A ．8．C 【分析】∵将点A （1，3）先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B ，∴点B 的横坐标为1-2=-1，纵坐标为3-4=-1，∴点B 的坐标为（-1，-1）．故选C ．9．B 【分析】∵三角形的内角和为180°，∴选项B 中，∠1+∠2=90°，即∠1与∠2互为余角．故选B ．10．D 【分析】把这组数据按照从小到大的顺序排列为75，80，80，85，90，最中间的数是80，则中位数是80；在这组数据中出现次数最多的是80，则众数是80．故选D ．11．A 【分析】如答图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则∠BAD =30°，∠CAD =60°，AD = 120 m ．在Rt △ABD 中，BD =AD • tan 30°=120×33=403（m ）．在Rt △ACD 中，CD =AD • tan 60°=120×3=1203（m ）．∴BC =BD +CD =1603（m ）．故选A ．（第11题答图）12．D 【分析】∵b >a >0，∴-ab 2<0，∴该抛物线的对称轴在y 轴左侧，故①正确；∵抛物线与x 轴最多有一个交点，∴b 2- 4ac ≤0，∴在关于x 的方程ax 2+bx +c +2=0中， =b 2-4a （c +2）=b 2-4ac -8a <0，∴关于x 的方程ax 2+bx +c +2=0无实数根，故②正确；∵a >0及抛物线与x 轴最多有一个交点，∴当x 取任何值时，y ≥0，∴当x =-1时，a -b +c ≥0，故③正确；当x =-2时，4a -2b +c ≥0，∴a +b +c ≥3b -3a ，∴a +b +c ≥3（b -a ），即a b c b a -++≥3，故④正确．故选D ．二、13．y （x +2）（x -2） 【分析】x 2y -4y =y （x 2-4）=y （x +2）（x -2）．14．m >-4 【分析】由题意，得∆=b 2-4ac =（-4）2-4×1×（-m ）=16+4m >0，解得m >-4．15． 2π 【分析】∵扇形OAB 的圆心角为120°，半径为3，∴该扇形的弧长为1803π120⨯=2π． 16．13 【分析】∵弦AB =6，圆心O 到AB 的距离OC =2，∴AC =BC =3，∠ACO =90°． 由勾股定理，得OA =OC AC 22+=2322+=13．17．13 【分析】∵DE 是AB 的垂直平分线，∴EA =EB ．∴△BCE 的周长为BC +EC + EB =BC +EC +EA =BC +AC =8+5=13．18．65 【分析】由题意作出树状图如答图，一共有36种情况，“两枚骰子朝上的点数互不相同”的情况有30种，所以P =3630=65．（第18题答图）三、19．解：4sin 60°-|-2|-12+（-1）2 016 =4×23-2-23+1 =23-2-23+1=-1．20．解：b a a -（b 1-a 1）+b a 1-=b a a - • ab b a -+b a 1-=b 1+b a 1-=ba ． 当a =2，b =31时，原式=312=6． 21．解：（1）1 000． 分析：这次参与调查的居民人数为%5.37375=1 000．（2）选择“樟树”的有1 000-250-375-125-100=150（人）.补全条形统计图如答图．（第21题答图）（3）360°×1000100=36°． 答：扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数为36°．（4）8×1000250=2（万人）． 答：估计这8万人中最喜欢玉兰树的有2万人．22．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DAC =∠BCA ．∵∠BAC =∠DAC ，∴∠BAC =∠BCA ，∴AB =BC ．（2）解：如答图，连接BD 交AC 于点O ．∵四边形ABCD 是平行四边形，AB =BC ，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA =OC =21AC =3，OB =OD =21BD ， ∴OB =OA AB 22-=)3(222-=1，∴BD =2OB =2． ∴ABCD 的面积为21AC • BD =21×23×2=23．（第22题答图） 23．解：（1）设一辆大型渣土运输车一次运输x 吨，一辆小型渣土运输车一次运输y 吨． 由题意，得⎩⎨⎧=+=+，，70653132y x y x 解得⎩⎨⎧==.58y x ，答：一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨．（2）设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为x 辆、y 辆．由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+=+，，，21485820y y x y x 解得⎩⎨⎧==218y x ，或⎩⎨⎧==317y x ，或⎩⎨⎧==.416y x ， 故有三种派车方案，第一种方案：大型渣土运输车18辆，小型渣土运输车2辆；第二种方案：大型渣土运输车17辆，小型渣土运输车3辆；第三种方案：大型渣土运输车16辆，小型渣土运输车4辆．24．（1）解：∵对角线AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC =90°，∴∠EDC =90°．（2）证明：如答图，连接DO ．∵∠EDC =90°，F 是EC 的中点，∴DF =FC ，∴∠FDC =∠FCD ．∵OD =OC ，∴∠OCD =∠ODC ．∵∠OCF =90°，∴∠ODF =∠ODC +∠FDC =∠OCD +∠DCF =90°，∴DF 是⊙O 的切线．（第24题答图） （3）解：（方法一）设DE =1，则AC =25．由AC 2=AD •AE ，得20=AD （AD +1），解得AD =4（负值已舍去）．∵DC 2=AC 2-AD 2，∴DC =2（负值已舍去）．∴tan ∠ABD =tan ∠ACD =DCAD =2． （方法二）如答图，则∠ABD =∠ACD ．∵∠E +∠DCE =90°，∠DCA +∠DCE =90°，∴∠DCA =∠E ．又∵∠ADC =∠CDE =90°，∴△CDE ∽△ADC ， ∴DCDE AD DC =，∴DC 2 = AD • DE ． ∵AC =25DE ，∴设DE =x （x >0），则AC =25x ，∴AC 2-AD 2=AD • DE ，即（25x ）2-AD 2=AD • x ．整理，得AD 2+AD • x -20x 2=0．解得AD =4x 或AD =-5x （舍去）．∴DC =)4()52(22x x -=2x ．∴tan ∠ABD =tan ∠ACD =DC AD =x x 24=2． 25．解：（1）令直线y =mx +1中x =0，得y =1，即直线y =mx +1与y 轴的交点为（0，1）．将（0，1）代入抛物线y =x 2-2x +n ，得n =1．∵抛物线的表达式为y =x 2-2x +1=（x -1）2，∴抛物线的顶点坐标为（1，0）．将点（1，0）代入直线y =mx +1，得0=m +1，解得m =-1．∴m 的值为-1，n 的值为1．（2）将y =2x -4代入y =x 6，得2x -4=x6， 即2x 2-4x -6=0，解得x 1=-1，x 2=3．∴该“路线”L 的顶点坐标为（-1，-6）或（3，2）． 令“带线”l ：y =2x -4中x =0，得y =-4，∴“路线”L 的图像过点（0，-4）．设该“路线”L 的表达式为y =m （x +1）2-6或y =n （x -3）2+2． 由题意，得-4=m （0+1）2-6或-4=n （0-3）2+2，解得m =2，n =-32． ∴此“路线”L 的表达式为y =2（x +1）2-6或y =-32（x -3）2+2． （3）令抛物线L ：y =ax 2+（3k 2-2k +1）x +k 中x =0，得y =k ，即该抛物线与y 轴的交点为（0，k ）．抛物线L ：y =ax 2+（3k 2-2k +1）x +k 的顶点坐标为（-a k k 21232+-，a k k ak 4)123(422+--）． 设“带线”l 的表达式为y =px +k ．∵点（-a k k 21232+-，a k k ak 4)123(422+--）在y =px +k 上， ∴a k k ak 4)123(422+--= -p 22132k k a -+∙+k ， 解得p =21232+-k k ． ∴“带线”l 的表达式为y =21232+-k k x +k ． 令“带线”l ：y =21232+-k kx +k 中y =0，得0=21232+-k k x +k ， 解得x =-12322+-k k k ． 即“带线”l 与x 轴的交点为（-12322+-k k k ，0），与y 轴的交点为（0，k ）． ∴“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积S =21|-12322+-k k k |×|k |． ∵21≤k ≤2，∴21≤k1≤2， ∴S =12322+-k k k =)1(2312k k +-=2)11(12+-k ， ∴当k 1=1时，S 有最大值，最大值为21； 当k 1=2时，S 有最小值，最小值为31． 故抛物线L ：y =ax 2+（3k 2-2k +1）x +k 的“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围为31≤S ≤21． 26．解：（1）在函数y =-x +1中，令x =0，得y=1，∴B （0，1），令y =0，得x =1，∴A （1，0）．∴OA =OB =1，∴AB =2．∴△AOB 的周长为1+1+2=2+2．（2）∵OA =OB ，∴∠ABO =∠BAO =45°，∴∠PBO =∠QAO =135°．设∠POB =x ，则∠OPB =∠AOQ =135°-x -90°=45°-x ，∴△PBO ∽△OAQ ，∴AQOB OA PB =， ∴PB =AQ OB OA ∙=t 1． 如答图，过点P 作PH ⊥OB 于点H ，则△PHB 为等腰直角三角形．∵PB =t1，∴PH =HB =t 22，∴P （-t 22，1+t 22）． （3）由（2）可知，△PBO ∽△OAQ ，若它们的周长相等，则相似比为1，即全等，∴PB =OA ，∴t1=1，解得t =1． 同理可知，Q （1+t 22，-t 22），∴m =t t 22122+=2-1．∵抛物线经过点A ，∴a +b +c =0．又∵6a +3b +2c =0，∴b =-4a ，c =3a ．∴对称轴为直线x =2，取值范围为2-1≤x ≤2+1，①若a >0，则开口向上，由题意知，当x =2-1时，取得最大值，最大值为m 2=22+2， 即（2-1）2a +（2-1）b +c =22+2，解得a =72811+． ②若a <0，则开口向下，由题意x =2时取得最大值，最大值为22+2，即4a +2b +c =22+2，解得a =-22-2．综上所述，a 的值为72811+或-22-2．（第26题答图）。
(word完整版)九年级数学总复习试卷及参考答案
九年级数学总复习练习卷一．选择题（共10小题）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果3a=4b，则cosB的值是（）A．B．C．D．3．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（）A．b=c•cosB B．b=a•tanB C．b=c•sinB D．a=b•tanA 4．一斜坡的坡度是1：，则此斜坡的坡角是（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．∠A为锐角，若cosA=，则∠A的度数为（）A．75°B．60°C．45°D．30°6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则sin∠A=（）A．B．C．D．7．在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c=3a，tanA 的值为（）A．B．C．D．38．已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AB等于（）A．6B．C．10D．129．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，AB=5，则BC的长为（）A．5sin25°B．5tan65°C．5cos25°D．5tan25°10．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向10（1+）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，请求我A处的渔监船前往C处护航．如图，已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，则A 和C之间的距离为（）A．10海里B．20海里C．20海里D．10海里二．填空题（共6小题）11．已知α为锐角，且sinα=cosα，则α=．12．如果α是锐角，且cotα=tan25°，那么α=度．13．小明同学沿坡度为i=1：的山路向上行走了100米，则小明上升的高度是米．14．若tanα=5，则=．15．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，则高BC为m．16．小明沿着坡度为1：的坡面向上走了300米，此时小明上升的垂直高度为米．三．解答题（共11小题）17．如图，某渔船向正东方向航行，在B处测得A岛在北偏东的45°方向，岛C在B处的正东方向且相距30海里，从岛C测得A岛在北偏西的60°方向，已知A岛周围8海里内有暗礁．如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？（≈1.4，≈1.7）18．计算：在一次数学社团活动课上，同学们测量一座古塔CD的高度，他们首先在A处安置测量器，测得塔顶C的仰角∠CFE=30°，然后往塔的方向前进100米到达B处，此时测得塔顶C的仰角∠CGE=60°，已知测量器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．（保留根号）19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，tan∠A=．求AB的长和sin∠B 的值．20．计算：﹣sin30°（cos45°﹣sin60°）21．计算：（1）sin260°﹣tan30°•cos30°+tan45°（2）cos245°+sin245°+sin254°+cos25422．如图，学校的实验楼对面是一幢教工宿舍楼，小敏在实验楼的窗口C测得教工宿台楼顶部D仰角为15°，教学楼底部B的俯角为22°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．（1）求∠BCD的度数．（2）求教工宿舍楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tanl5°≈0.268，tan22°=0.404）23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的一点，CD=3，AD=BD=5．求∠A的三个三角函数值．25．阅读理解：我们已经学习的直角三角形知识包括：勾股定理，30°、45°特殊角的直角三角形的边之间的关系等，在解决初中数学问题上起到重要作用，锐角三角函数是另一个研究直角三角形中边角间关系的知识，通过锐角三角函数也可以帮助解决数学问题．阅读下列材料，完成习题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sine），记作sinA，即sinA==例如：a=3，c=7，则sinA=问题：在Rt△ABC中，∠C=90°（1）如图2，BC=5，AB=8，求sinA的值．（2）如图3，当∠A=45°时，求sinB的值．（3）AC=2，sinB=，求BC的长度．26．济南市纬十二路的一座过街天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方7米处（PB的长）有一文化墙PM，若新坡面下A 处与文化墙之间需留下至少3米宽的人行道，问文化墙是否需要拆除？请说明理由．（约为1.732）27．阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：sinα=cosα=tanα=一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ例如sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=根据上述材料内容，解决下列问题：（1）计算：sin75°=；（2）在Rt△ABC中，∠A=75°，∠C=90°，AB=4，请你求出AC和BC的长．九年级数学总复习练习卷一．选择题（共10小题）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，则tanB等于（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出图形，进而表示出AC，BC，AB的长，进而求出答案．【解答】解：如图所示：∵cosA=，∴设AC=7x，AB=25x，则BC=24x，则tanB=．故选：C．【点评】此题主要考查了互余两角三角函数关系，正确表示出三角形各边长是解题关键．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果3a=4b，则cosB的值是（）A．B．C．D．【分析】根据锐角三角函数的定义可得cosB=，然后根据题目所给3a=4b 可求解．【解答】解：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C 对边，如果3a=4b，令b=3x，则a=4x，所以c=5x，所以cosB=故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握cosB=，3．在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（）A．b=c•cos B B．b=a•tanB C．b=c•sinB D．a=b•tanA 【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，则tanA=，tanB=，cosB=，stnB=；因而b=c•sinB=a•tanB，a=b•tanA，错误的是b=c•cosB．故选：A．【点评】利用锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系．在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边．4．一斜坡的坡度是1：，则此斜坡的坡角是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】坡度=坡角的正切值，依此求出坡角的度数．【解答】解：设坡角为α，由题意知：tanα==，∴∠α=30°．即斜坡的坡角为30°．故选：B．【点评】此题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h：l=tanα．5．∠A为锐角，若cosA=，则∠A的度数为（）A．75°B．60°C．45°D．30°【分析】根据特殊角的三角函数值求解．【解答】解：∵∠A为锐角，cosA=，∴∠A=60°．故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则sin∠A=（）A．B．C．D．【分析】根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．【解答】解：∵∠C=90°，AB=10，BC=8，∴在Rt△ABC中，sinA===，故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c 的比叫做∠A的正弦是解题的关键．7．在Rt△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c=3a，tanA 的值为（）A．B．C．D．3【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：sinA===，∴tanA==，故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，BC=8，则AB等于（）A．6B．C．10D．12【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：∵tanA=，∴sinA=，∴=，∴AB=10，故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．9．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，AB=5，则BC的长为（）A．5sin25°B．5tan65°C．5cos25°D．5tan25°【分析】在Rt△ABC中，由AB及∠B的值，可求出BC的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，AB=5，∴BC=AB•cos∠B=5cos25°．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形，牢记直角三角形中边角之间的关系是解题的关键．10．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向10（1+）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，请求我A处的渔监船前往C处护航．如图，已知C位于A处的东北方向上，A位于B的北偏西30°方向上，则A 和C之间的距离为（）A．10海里B．20海里C．20海里D．10海里【分析】过点A作AD⊥BC于点D，设AD=x，则CD=x，AC=x，BD=x，结合BC=10（1+）即可求出x的值，进而即可得出A和C之间的距离．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示．设AD=x，则CD=x，AC=x，BD=x．∵BC=BD+CD=（+1）x=10（1+），∴x=10，∴AC=10．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过解一元一次方程求出AD的长度是解题的关键．二．填空题（共6小题）11．已知α为锐角，且sinα=cosα，则α=45°．【分析】根据一个角的正弦等于这个角的余角的余弦解答．【解答】解：∵sinα=cos（90°﹣α），∴α=90°﹣α，解得，α=45°，故答案为：45°．【点评】本题考查的是同角三角函数的关系，掌握一个角的正弦等于这个角的余角的余弦是解题的关键，12．如果α是锐角，且cotα=tan25°，那么α=65度．【分析】依据α是锐角，且cotα=tan25°，即可得出α=65°．【解答】解：∵α是锐角，且cotα=tan25°，∴α=65°，故答案为：65．【点评】本题主要考查了互余两角三角函数的关系，若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．13．小明同学沿坡度为i=1：的山路向上行走了100米，则小明上升的高度是50米．【分析】由斜坡的坡度i=1：=，可得坡角α的度数，再求得斜坡的正弦值sinα，那么它垂直上升的高度可利用正弦函数求得．【解答】解：∵斜坡的坡度i=1：=，∴坡角α=60°，∴斜坡的正弦值sinα=，∴小明上升的高度是100×sinα=50（米）．故答案为50．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣﹣坡度坡角问题，根据坡度求出坡角是解题的关键．坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h：l=tanα．14．若tanα=5，则=．【分析】根据同角的三角函数的关系即可求出答案．【解答】解：原式=∵tanα=5，∴原式=故答案为：【点评】本题考查同角三角函数的关系，解题的关键熟练运用同角三角函数的关系，本题属于基础题型．15．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，则高BC为2m．【分析】根据滑坡的坡度及水平宽，可求出坡面的铅直高度，此题得解．【解答】解：∵滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，∴AC=6m，∴BC=×6=2m．故答案为：2．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角问题，牢记坡度的定义是解题的关键．16．小明沿着坡度为1：的坡面向上走了300米，此时小明上升的垂直高度为150米．【分析】根据坡度算出坡角的度数，利用坡角的正弦值即可求解．【解答】解：∵坡度tanα==1：=，∴α=30°．∴上升的垂直高度=坡长×sin30°=300×=150（米）．故答案为150．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h：l=tanα．掌握坡度、坡角的定义是解答本题的关键．三．解答题（共11小题）17．如图，某渔船向正东方向航行，在B处测得A岛在北偏东的45°方向，岛C在B处的正东方向且相距30海里，从岛C测得A岛在北偏西的60°方向，已知A岛周围8海里内有暗礁．如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？（≈1.4，≈1.7）【分析】判断渔船有无危险只要求出点A到BC的距离，与8海里比较大小就可以．【解答】解：若渔船继续向东航行，无触礁的危险．理由如下：如图，过点A作AD⊥BC于点D．由题意得：∠ABD=45°，∠ACD=30°．设AD=x海里．在Rt△ABD中，∵∠ABD=45°，∴BD=AD=x海里．在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴CD=AD=x海里．∵BD+DC=30，∴x+x=30，解得x=15（﹣1），17（﹣1）≈10.5＞8，即：若渔船继续向东航行，无触礁危险．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，特殊角的三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题，属于中考常考题型．18．计算：在一次数学社团活动课上，同学们测量一座古塔CD的高度，他们首先在A处安置测量器，测得塔顶C的仰角∠CFE=30°，然后往塔的方向前进100米到达B处，此时测得塔顶C的仰角∠CGE=60°，已知测量器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．（保留根号）【分析】先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△CEF、△CGE，利用其公共边CE构造等量关系，借助FG=EF﹣GE=100，构造关系式求解．【解答】解：由题意知CD⊥AD，EF∥AD．∴∠CEF=90°．设CE=x米，∵在Rt△CEF中，tan∠CFE=，∴EF===x，∵在Rt△CEG中，tan∠CGE=，∴GE===x．∵FG=EF﹣GE=100，∴x﹣x=100，解得x=50．∴CD=CE+ED=50+1.5（米）．答：古塔CD的高度是（50+1.5）米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，此类题目要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，tan∠A=．求AB的长和sin∠B 的值．【分析】根据∠A的正切值用BC表示出AC，再利用勾股定理列式求解即可得到BC的长，然后求出AB的长，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，tan∠A==，∴AC=12，∴AB===6，∴sin∠B===．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，用BC表示出AC是解题的关键．20．计算：﹣sin30°（cos45°﹣sin60°）【分析】依据30°、45°、60°角的各种三角函数值，即可得到计算结果．【解答】解：原式=﹣（﹣）=﹣==【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，其应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．21．计算：（1）sin260°﹣tan30°•cos30°+tan45°（2）cos245°+sin245°+sin254°+cos254°【分析】根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．【解答】解：（1）原式=（）2﹣×+1=﹣+1=，（2）原式=（cos245°+sin245°）+（sin254°+cos254°）=1+1=2【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练运用特殊角的锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．22．如图，学校的实验楼对面是一幢教工宿舍楼，小敏在实验楼的窗口C测得教工宿台楼顶部D仰角为15°，教学楼底部B的俯角为22°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．（1）求∠BCD的度数．（2）求教工宿舍楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tanl5°≈0.268，tan22°=0.404）【分析】（1）作CH⊥BD于H，如图，利用仰角和俯角定义得到∠DCH=15°，∠BCH=22°，然后计算它们的和即可得到∠BCD的度数；（2）利用正切定义，在Rt△DCH中计算出DH=30tan15°=8.04，在Rt△BCH 中计算出BH=30tan22°=12.12，然后计算BH+DH即可得到教工宿舍楼的高BD．【解答】解：（1）作CH⊥BD于H，如图，根据题意得∠DCH=15°，∠BCH=22°，∴∠BCD=∠DCH+∠BCH=15°+22°=37°；（2）易得四边形ABHC为矩形，则CH=AB=30，在Rt△DCH中，tan∠DCH=，∴DH=30tan15°=30×0.268=8.04，在Rt△BCH中，tan∠BCH=，∴BH=30tan22°=30×0.404=12.12，∴BD=12.12+8.04=20.16≈20.1（m）．答：教工宿舍楼的高BD为20.1m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．23．计算：sin45°+cos45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式=+=．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的一点，CD=3，AD=BD=5．求∠A的三个三角函数值．【分析】在Rt△BCD中由勾股定理求得BC=4，在Rt△ABC中求得AB=4，再根据三角函数的定义求解可得．【解答】解：在Rt△BCD中，∵CD=3、BD=5，∴BC===4，又AC=AD+CD=8，∴AB===4，则sinA===，cosA===，tanA===．【点评】本题主要考查锐角的三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及三角函数的定义．25．阅读理解：我们已经学习的直角三角形知识包括：勾股定理，30°、45°特殊角的直角三角形的边之间的关系等，在解决初中数学问题上起到重要作用，锐角三角函数是另一个研究直角三角形中边角间关系的知识，通过锐角三角函数也可以帮助解决数学问题．阅读下列材料，完成习题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sine），记作sinA，即sinA==例如：a=3，c=7，则sinA=问题：在Rt△ABC中，∠C=90°（1）如图2，BC=5，AB=8，求sinA的值．（2）如图3，当∠A=45°时，求sinB的值．（3）AC=2，sinB=，求BC的长度．【分析】（1）根据正弦函数的定义解答；（2）设AC=x，则BC=x，利用方程解答；（3）由锐角三角函数定义求得AB=4，然后由勾股定理解答．【解答】解：（1）sinA=；（2）在Rt△ABC中，∠A=45°，设AC=x，则BC=x，AB=，则sinB=；（3）sinB=，则AB=4，由勾股定理得：BC2=AB2﹣AC2=16﹣12=4，∴BC=2．【点评】考查了锐角三角函数定义，勾股定理，直角三角形的性质以及特殊角的三角函数值．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．26．济南市纬十二路的一座过街天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方7米处（PB的长）有一文化墙PM，若新坡面下A 处与文化墙之间需留下至少3米宽的人行道，问文化墙是否需要拆除？请说明理由．（约为1.732）【分析】（1）作CH⊥AB于H，如图，利用坡度的定义得到tan∠CAH===，然后根据特殊角的三角函数值求出∠CAH即；（2）另一条坡度定义得到tan∠CBH==，所以BH=CH=6，再利用=得到AH=6，接着计算出AB≈4.392，然后根据3+4.392＞7可判断文化墙需要拆除．【解答】解：（1）作CH⊥AB于H，如图，在Rt△ACH中，∵tan∠CAH===，∴∠CAH=30°，即新坡面的坡角a为30°；（2）文化墙需要拆除．理由如下：∵tan∠CBH==，∴BH=CH=6，∵=，∴AH=CH=6≈10.392，∴AB=AH﹣BH=6﹣6=4.392，∵3+4.392＞7，∴文化墙需要拆除．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．27．阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：sinα=cosα=tanα=一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ例如sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=根据上述材料内容，解决下列问题：（1）计算：sin75°=；（2）在Rt△ABC中，∠A=75°，∠C=90°，AB=4，请你求出AC和BC的长．【分析】（1）根据公式可求．（2）根据锐角的三角函数值，求AC和BC的值．【解答】解：（1）sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=×+×=，故答案为：．（2）Rt△ABC中，∵sin∠A=sin75°==∴BC=AB×=4×=∵∠B=90﹣∠A∴∠B=15°∵sin∠B=sin15°==∴AC=AB×=【点评】本题考查了同角三角函数关系，利用特殊的三角函数值求线段的长度是本题的关键．。
2022年湖南省长沙市中考数学试卷含答案详解(高清word版)
2022年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. −6的相反数是( )A. −16B. −6 C. 16D. 62. 如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，该几何体的主视图是( )A.B.C.D.3. 下列说法中，正确的是( )A. 调查某班45名学生的身高情况宜采用全面调查B. “太阳东升西落”是不可能事件C. 为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图D. 任意投掷一枚质地均匀的硬币26次，出现正面朝上的次数一定是13次4. 下列计算正确的是( )A. a7÷a5=a2B. 5a−4a=1C. 3a2⋅2a3=6a6D. (a−b)2=a2−b25. 在平面直角坐标系中，点(5,1)关于原点对称的点的坐标是( )A. (−5,1)B. (5,−1)C. (1,5)D. (−5,−1)6. 《义务教育课程标准(2022年版)》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4.则这组数据的众数和中位数分别是( )A. 3，4B. 4，3C. 3，3D. 4，47. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲、乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为( )A. 8x元B. 10(100−x)元C. 8(100−x)元D. (100−8x)元8. 如图，AB//CD，AE//CF，∠BAE=75°，则∠DCF的度数为( )A. 65°B. 70°C. 75°D. 105°9. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，若∠AOB=128°，则∠P的度数为( )A. 32°B. 52°C. 64°D. 72°10. 如图，在△ABC中，按以下步骤作图：AB的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；①分别以点A，B为圆心，大于12②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧，交PQ于点M，连接AM，BM．若AB=2√2，则AM的长为( )A. 4B. 2C. √3D. √2二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 若式子√x−19在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．12. 分式方程2x =5x+3的解是______．13. 如图，A，B，C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA=7，则BC的长为______．14. 关于x的一元二次方程x2+2x+t=0有两个不相等的实数根，则实数t的值为．15. 为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况，从该校全体1000名学生中，随机抽取了100名学生进行调查，结果显示有95名学生知晓．由此，估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有______名．16. 当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”.通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约80%的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格中只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2200的理解如下：YYDS(永远的神)：2200就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；DDDD(懂的都懂)：2200等于2002；JXND(觉醒年代)：2200的个位数字是6；QGYW(强国有我)：我知道210=1024，103=1000，所以我估计2200比1060大．其中对2200的理解错误的网友是 (填写网名字母代号)．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。
2016年长沙中考数学试卷附答案
2016年长沙中考数学测试卷一、选择题1.下列四个数中，最大的数是（ ）A.－2B.31C.0D.6 2.大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于2016年年底通车，通车后，从长沙到株洲只需24分钟，从长沙到湘潭只需25分钟，这条铁路线全长95500米，则数据95500用科学记数法表示为（ ）A ．0.955×105 B. 9.55×105 C. 9.55×104 D . 9.5×1043.下列计算正确的是（ ）A ．1052=⨯ B. x 8÷x 2=x 4 C. (2a )3=6a 3 D . 3a 3 · 2a 2=6a 64.六边形的内角和是（ ）A ．︒540 B. ︒720 C. ︒900 D . ︒3605.不等式组⎩⎨⎧<-≥-048512x x 的解集在数轴上表示为（ ）6.下图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）7.若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ）A ．6 B. 3 C. 2 D . 118.若将点A （1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B ，则点B 的坐标为（ ）A ．（－2，－1） B. （－1，0） C. （－1，－1） D . （－2，0）9.下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ ）10.已知一组数据75， 80，85，90，则它的众数和中位数分别为（ ）A ．75， 80 B. 80，85 C. 80，90 D . 80，8011．如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为︒30，看这栋楼底部C 处的俯角为︒60，热气球A 处与楼的水平距离为120 m ，则这栋楼的高度为（ ）A ．1603m B. 1203mC ．300 mD . 1602m12.已知抛物线y =ax 2+bx +c (b >a >0)与x 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧；②关于x 的方程ax 2+bx +c=0无实数根；③a －b +c ≥0；④a b c b a -++的最小值为3.其中，正确结论的个数为（ ） A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题13.分解因式：x 2y －4y =____________.14.若关于x 的一元二次方程x 2－4x －m =0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是_________.15.如图，扇形OAB 的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为_______.（结果保留π）16.如图，在⊙O 中，弦AB=6，圆心O 到AB 的距离OC=2，则⊙O 的半径长为_____________.17.如图，△ABC 中，AC=8，BC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，则△BCE 的周长为______.15题图 16题图 17题图18.若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是__________.三、解答题19.计算：4sin60°－︱－ 2︳－12+(－1)201620.先化简，再求值：b a a -(a b 11-)+b a 1-.其中，a =2，b =31.21.为积极响应市委市政府“加快建设天蓝·水净·地绿的美丽长沙”的号召，我市某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种，为了更好的了解社情民意，工作人员在街道辖区范围内随即抽取了部分居民，进行“我最喜欢的一种树”的调查活动（每人限选其中一种树），并将调查结果整理后，绘制成下面两个不完整的统计图.请根据所给信息解答以下问题：(1)这次参与调查的居民人数为_______；(2)请将条形统计图补充完整；(3)请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数；(4)已知该街道辖区内现有居民8万人，请你估计这8万人中最喜欢玉兰树的有多少人？22.如图，AC是□ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC.(1)求证：AB=BC；2，求□ABCD的面积.(2)若AB=2，AC=323.2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁悬浮线正式开通运营，该线路连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将会给乘客带来美的享受。
湖南省长沙市2018年中考数学试卷及答案解析(word版)
2018年湖南省长沙市中考数学试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题卡中填涂符合题意的选项,本大题共12个小题,每小题3分,共36分)1．（3.00分）﹣2的相反数是（）A．﹣2 B．﹣ C．2 D．2．（3.00分）据统计，2017年长沙市地区生产总值约为10200亿元，经济总量迈入“万亿俱乐部”，数据10200用科学记数法表示为（）A．0.102×105B．10.2×103C．1.02×104D．1.02×1033．（3.00分）下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5 B．3 C．（x2）3=x5D．m5÷m3=m24．（3.00分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm5．（3.00分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（3.00分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．（3.00分）将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（）A．B．C．D．8．（3.00分）下列说法正确的是（）A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件9．（3.00分）估计+1的值是（）A．在2和3之间B．在3和4之间C．在4和5之间D．在5和6之间10．（3.00分）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是（）A．小明吃早餐用了25minB．小明读报用了30minC．食堂到图书馆的距离为0.8kmD．小明从图书馆回家的速度为0.8km/min11．（3.00分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A．7.5平方千米B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米12．（3.00分）若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则符合条件的点P（）A．有且只有1个B．有且只有2个C．有且只有3个D．有无穷多个二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分)13．（3.00分）化简：=．14．（3.00分）某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为度．15．（3.00分）在平面直角坐标系中，将点A′（﹣2，3）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是．16．（3.00分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是．17．（3.00分）已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为．18．（3.00分）如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则∠OCB=度．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第22、23题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。
2020年中考数学试题(及答案)
2020年中考数学试题(及答案)一、选择题1．华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为( )． A ．7710⨯﹣ B ．80.710⨯﹣C ．8710⨯﹣D ．9710⨯﹣ 2．预计到2025年，中国5G 用户将超过460 000 000，将460 000 000用科学计数法表示为（ ）A ．94.610⨯B ．74610⨯C ．84.610⨯D ．90.4610⨯3．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的( ) A ．众数B ．方差C ．平均数D ．中位数4．三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次性抽出两张，则这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（ ） A ．19B ．16C ．13D ．235．点 P （m + 3，m + 1）在x 轴上，则P 点坐标为（ ） A ．（0，﹣2）B ．（0，﹣4）C ．（4，0）D ．（2，0）6．如图，直线l 1∥l 2，将一直角三角尺按如图所示放置，使得直角顶点在直线l 1上，两直角边分别与直线l 1、l 2相交形成锐角∠1、∠2且∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）A ．25°B ．75°C ．65°D ．55°7．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x 个队参赛，根据题意，可列方程为（） A ．()11362x x -= B ．()11362x x += C ．()136x x -= D ．()136x x +=8．甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次性降价30%.则顾客到哪家超市购买这种商品更合算（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．一样9．下列计算错误的是（ ）A ．a 2÷a 0•a 2=a 4 B ．a 2÷（a 0•a 2）=1 C ．（﹣1.5）8÷（﹣1.5）7=﹣1.5D ．﹣1.58÷（﹣1.5）7=﹣1.510．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )A ．2cm ，3cm ，5cmB ．7cm ，4cm ，2cmC ．3cm ，4cm ，8cmD ．3cm ，3cm ，4cm 11．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy ++=在同一坐标系内的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．12．an30°的值为（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知关于x 的方程3x n22x 1+=+的解是负数，则n 的取值范围为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的面积为12，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数y =k x的图象上，则k 的值为________.15．当直线()223y k x k =-+-经过第二、三、四象限时，则k 的取值范围是_____．16．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，分别记做△ABC 与△A′B′C′，现将两块三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M ，绕中点M 转动上面的三角尺ABC ，使其直角顶点C 恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A ＝30°，AC ＝10时，两直角顶点C ，C′间的距离是_____．17．口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么摸出黑球的概率是 ．18．如图，一张三角形纸片ABC ，∠C=90°，AC=8cm ，BC=6cm ．现将纸片折叠：使点A 与点B 重合，那么折痕长等于 cm ．19．3x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_____． 32x-2三、解答题21．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一座隧道（A、B在同一水平面上），为了测量A、B两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从B地出发，垂直上升100米到达C处，在C处观察A地的俯角为39°，求A、B两地之间的距离．（结果精确到1米）（参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81）22．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率．23．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D．（1）求线段AD的长度；（2）点E是线段AC上的一点，试问：当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．24．解不等式组3415122x xxx≥-⎧⎪⎨--⎪⎩＞，并把它的解集在数轴上表示出来25．距离中考体育考试时间越来越近，某校想了解初三年级1500名学生跳绳情况，从中随机抽查了20名男生和20名女生的跳绳成绩，收集到了以下数据：男生：192、166，189，186，184，182，178，177，174，170，188，168，205，165，158，150，188，172，180，188女生：186，198，162，192，188，186，185，184，180，180，186，193，178，175，172，166，155，183，187，184．根据统计数据制作了如下统计表：个数x150≤x＜170170≤x＜185185≤x＜190x≥190男生5852女生38a3两组数据的极差、平均数、中位数、众数如表所示：（1）请将上面两个表格补充完整：a ＝____，b ＝_____，c ＝_____；（2）请根据抽样调查的数据估计该校初三年级学生中考跳绳成绩能得满分（185个及以上）的同学大约能有多少人？（3）体育组的江老师看了表格数据后认为初三年级的女生跳绳成绩比男生好，请你结合统计数据，写出支持江老师观点的理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】由科学记数法知90.000000007710-=⨯； 【详解】解：90.000000007710-=⨯； 故选：D ． 【点睛】本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法10n a ⨯中a 与n 的意义是解题的关键．2．C解析：C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数． 【详解】460 000 000=4.6×108． 故选C ． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．D【解析】【分析】根据中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）的意义，9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【详解】由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少.故本题选：D.【点睛】本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数，方差，平均数，中位数的概念是解题的关键.4．C解析：C【解析】【分析】画出树状图即可求解.【详解】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率＝13；故选：C．【点睛】本题考查的是概率，熟练掌握树状图是解题的关键.5．D解析：D【解析】【分析】根据点在x轴上的特征,纵坐标为0,可得m+1=0,解得:m=-1,然后再代入m+3,可求出横坐标.【详解】解:因为点P（m + 3，m + 1）在x轴上,所以m+1=0,解得:m=-1,所以m+3=2,所以P点坐标为（2，0）.故选D.【点睛】6．C解析：C【解析】【分析】依据∠1＝25°，∠BAC＝90°，即可得到∠3＝65°，再根据平行线的性质，即可得到∠2＝∠3＝65°．【详解】如图，∵∠1＝25°，∠BAC＝90°，∴∠3＝180°-90°-25°=65°，∵l1∥l2，∴∠2＝∠3＝65°，故选C．【点睛】本题考查的是平行线的性质，运用两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．7．A解析：A【解析】【分析】共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可．【详解】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：1x（x﹣1）＝36，2故选：A．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系.8．C解析：C【解析】试题分析：设商品原价为x，表示出三家超市降价后的价格，然后比较即可得出答案．解：设商品原价为x，甲超市的售价为：x（1﹣20%）（1﹣10%）=0.72x；乙超市售价为：x（1﹣15%）2=0.7225x；丙超市售价为：x（1﹣30%）=70%x=0.7x；故到丙超市合算．考点：列代数式．9．D解析：D 【解析】分析：根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，逐项判定即可．详解：∵a 2÷a 0•a 2=a 4， ∴选项A 不符合题意； ∵a 2÷（a 0•a 2）=1， ∴选项B 不符合题意； ∵（-1.5）8÷（-1.5）7=-1.5， ∴选项C 不符合题意； ∵-1.58÷（-1.5）7=1.5， ∴选项D 符合题意． 故选D ．点睛：此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及零指数幂的运算方法，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．10．D解析：D 【解析】 【详解】A ．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A 错误；B ．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B 错误；C ．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C 错误；D ．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D 正确． 故选D ．11．D解析：D 【解析】 【分析】根据二次函数图象开口向上得到a>0，再根据对称轴确定出b ，根据二次函数图形与x 轴的交点个数，判断24b ac -的符号，根据图象发现当x=1时y=a+b+c<0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】∵二次函数图象开口方向向上， ∴a >0，∵对称轴为直线02bx a=->，二次函数图形与x 轴有两个交点，则24b ac ->0， ∵当x =1时y =a +b +c <0，∴24y bx b ac =+-的图象经过第二四象限，且与y 轴的正半轴相交，反比例函数a b cy x++=图象在第二、四象限， 只有D 选项图象符合. 故选：D. 【点睛】考查反比例函数的图象，一次函数的图象，二次函数的图象，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键.12．D解析：D 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】 tan30°＝，故选：D ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数的值的求法，熟记特殊的三角函数值是解题的关键．二、填空题13．n ＜2且【解析】分析：解方程得：x=n ﹣2∵关于x 的方程的解是负数∴n﹣2＜0解得：n ＜2又∵原方程有意义的条件为：∴即∴n 的取值范围为n ＜2且解析：n ＜2且3n 2≠- 【解析】 分析：解方程3x n22x 1+=+得：x=n ﹣2， ∵关于x 的方程3x n22x 1+=+的解是负数，∴n ﹣2＜0，解得：n ＜2． 又∵原方程有意义的条件为：1x 2≠-，∴1n 22-≠-，即3n 2≠-． ∴n 的取值范围为n ＜2且3n 2≠-． 14．-6【解析】因为四边形OABC 是菱形所以对角线互相垂直平分则点A 和点C 关于y 轴对称点C 在反比例函数上设点C 的坐标为(x)则点A 的坐标为(－x)点B 的坐标为(0)因此AC=－2xOB=根据菱形的面积等解析：-6 【解析】设点C 的坐标为(x ,k x ),则点A 的坐标为(－x ,k x ),点B 的坐标为(0,2k x ),因此AC=－2x,OB=2K X,根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得:()OABC 122122kS x x=⨯-⨯=菱形,解得 6.k =-15．【解析】【分析】根据一次函数时图象经过第二三四象限可得即可求解；【详解】经过第二三四象限∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数与对函数图象的影响是解题的关键解析：13k <<. 【解析】 【分析】根据一次函数y kx b =+，k 0<，0b <时图象经过第二、三、四象限，可得220k -<，30k -<，即可求解； 【详解】()223y k x k =-+-经过第二、三、四象限，∴220k -<，30k -<， ∴1k >，3k <， ∴13k <<， 故答案为：13k <<. 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数y kx b =+，k 与b 对函数图象的影响是解题的关键．16．5【解析】【分析】连接CC1根据M 是ACA1C1的中点AC=A1C1得出CM=A1M=C1M=AC=5再根据∠A1=∠A1CM=30°得出∠CMC1=60°△MCC1为等边三角形从而证出CC1=CM解析：5 【解析】 【分析】连接CC 1，根据M 是AC 、A 1C 1的中点，AC=A 1C 1，得出CM=A 1M=C 1M=12AC=5，再根据∠A 1=∠A 1CM=30°，得出∠CMC 1=60°，△MCC 1为等边三角形，从而证出CC 1=CM ，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接CC 1，∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M ， ∴M 是AC 、A 1C 1的中点，AC=A 1C 1， ∴CM=A 1M=C 1M=12AC=5， ∴∠A 1=∠A 1CM=30°， ∴∠CMC 1=60°， ∴△CMC 1为等边三角形，∴CC1长为5．故答案为5．考点：等边三角形的判定与性质．17．3【解析】试题解析：根据概率公式摸出黑球的概率是1-02-05=03考点：概率公式解析：3.【解析】试题解析：根据概率公式摸出黑球的概率是1-0.2-0.5=0.3．考点：概率公式．18．cm【解析】试题解析：如图折痕为GH由勾股定理得：AB==10cm由折叠得：AG=BG=AB=×10=5cmGH⊥AB∴∠AGH=90°∵∠A=∠A∠AGH=∠C=90°∴△ACB∽△AGH∴∴∴G解析：cm．【解析】试题解析：如图，折痕为GH，由勾股定理得：AB==10cm，由折叠得：AG=BG=AB=×10=5cm，GH⊥AB，∴∠AGH=90°，∵∠A=∠A，∠AGH=∠C=90°，∴△ACB∽△AGH，∴，∴，∴GH=cm．考点：翻折变换19．x≥﹣3【解析】【分析】直接利用二次根式的定义求出x 的取值范围【详解】解：若式子在实数范围内有意义则x+3≥0解得：x≥﹣3则x 的取值范围是：x≥﹣3故答案为：x≥﹣3【点睛】此题主要考查了二次根式解析：x ≥﹣3【解析】【分析】直接利用二次根式的定义求出x 的取值范围．【详解】.在实数范围内有意义，则x +3≥0，解得：x ≥﹣3，则x 的取值范围是：x ≥﹣3．故答案为：x ≥﹣3．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．20．【解析】【分析】根据解分式方程的步骤即可解答【详解】方程两边都乘以得：解得：检验：当时所以分式方程的解为故答案为【点睛】考查了解分式方程解分式方程的基本思想是转化思想把分式方程转化为整式方程求解解分解析：x 1=【解析】【分析】根据解分式方程的步骤，即可解答．【详解】方程两边都乘以x 2-，得：32x 2x 2--=-，解得：x 1=，检验：当x 1=时，x 21210-=-=-≠，所以分式方程的解为x 1=，故答案为x 1=．【点睛】考查了解分式方程，()1解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解().2解分式方程一定注意要验根．三、解答题21．123米．【解析】【分析】在Rt △ABC 中，利用tan BC CAB AB∠=即可求解． 【详解】解：∵CD∥AB，∴∠CAB=∠DCA=39°．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，tanBC CABAB∠=．∴100123tan0.81BCABCAB==≈∠．答：A、B两地之间的距离约为123米．【点睛】本题考查解直角三角形，选择合适的锐角三角函数是解题的关键．22．49．【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上数字之和是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案即可．【详解】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是奇数的有4种情况，∴两次两次抽取的卡片上数字之和是奇数的概率为49．【点睛】本题考查列表法与树状图法．23．（1）AD=95；（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；理由见解析.【解析】【分析】（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长．（2）当ED与 O相切时，由切线长定理知EC=ED，则∠ECD=∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE=DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE即可．【详解】（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm；连接CD，∵BC为直径，∴∠ADC=∠BDC=90°；∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC∽Rt△ACB；∴，∴；（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；证明：连接OD，∵DE是Rt△ADC的中线；∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD；∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD；∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°；∴ED⊥OD，∴ED与⊙O相切．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 24．-1＜x≤1【解析】【分析】分别解两个不等式，然后根据数轴或“都大取大，都小取小，大小小大取中间，大大小小无解了”求解不等式组.【详解】解：341 {5122x xxx≥---＞①②解不等式①可得x≤1，解不等式②可得x＞-1在数轴上表示解集为：所以不等式组的解集为：-1＜x≤1.【点睛】本题考查了解不等式组，熟练掌握计算法则是解题关键.25．（1）a＝6，b＝179，c＝188；(2)600；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）依据中位数以及众数的定义即可将上面两个表格补充完整；（2）依据样本中能得满分（185个及以上）的同学所占的比例，即可估计该校初三年级学生中考跳绳成绩能得满分的人数；（3）依据两组数据的极差和平均数的大小，即可得到结论．【详解】（1）满足185≤x＜190的数据有：186，188，186，185，186，187．∴a＝6，20名男生的跳绳成绩排序后最中间的两个数据为178和180，∴b＝（178+180）＝179，20名男生的跳绳成绩中出现次数最多的数据为188，∴c＝188，故答案为：6；179；188；（2）∵20名男生和20名女生的跳绳成绩中，185个及以上的有16个，∴该校初三年级学生中考跳绳成绩能得满分（185个及以上）的同学大约能有1500×＝600（人）；（3）理由：初三年级的女生跳绳成绩的极差较小，而平均数较大．【点睛】本题考查了用样本估计总体，中位数，众数，正确的理解题意是解题的关键．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．。
2024年湖南省中考数学试卷及解析
2024年湖南省中考数学真题试卷一、选择题:本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在日常生活中,若收入300元记作+300元,则支出180元应记作()A.+180元 B.+300元 C.-180元 D.-480元2.据《光明日报》2024年3月14日报道:截至2023年末,我国境内有效发明专利量达到401.5万件,高价值发明专利占比超过四成,成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家.将4015000用科学记数法表示应为()A.70.401510⨯ B.64.01510⨯ C.540.1510⨯ D.74.01510⨯3.如图,该纸杯的主视图是()AB C D 4.下列计算正确的是()A.22321a a -= B.32(0)a a a a ÷=≠ C.236a a a ⋅= D.33(2)6a a =5.()A.B. C.146.下列命题中,正确的是()A.两点之间,线段最短B.菱形的对角线相等C.正五边形的外角和为720oD.直角三角形是轴对称图形7.如图,,AB AC 为O 的两条弦,连接,OB OC ,若45A ︒∠=,则BOC ∠的度数为()A.60︒B.75︒C.90︒D.135︒8.某班的5名同学1分钟跳绳的成绩(单位:次)分别为:179,130,192,158,141.这组数据的中位数是()A.130 B.158 C.160 D.1929.如图,在ABC ∆中,点,D E 分别为边,AB AC 的中点.下列结论中,错误的是()A.//DE BCB.ADE ABC △△∽C.12BC DE =D.12ADE ABC S S ∆∆=10.在平面直角坐标系xOy 中,对于点(,)P x y ,若x ,y 均为整数,则称点P 为“整点”,特别地,当y x(其中0xy ≠),则称“整点”P 为“超整点”.已知点(24,3)P a a -+在第二象限.下列说法正确的是()A.3a <-B.若点P 为“整点”,则点P 的个数为3个C.若点P 为“超整点”,则点P 的个数为1个D.若点P 为“超整点”.则点P 到两坐标轴的距离之和大于10.二、填空题:本题共8小题,每小题3分,共24分.11.计算:(2024)--=_____________.12.有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“车”“马”“炮”“帅”,将它们背面朝上任意放置,从中随机翻开一枚,恰好翻到棋子“帅”的概率是____.13.分式方程211x =+的解为______.14.若等腰三角形的一个底角的度数为40o ,则它的顶角的度数为______.15.若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根,则k 的值为______.16.在一定条件下,乐器中弦振动的频率f 与弦长l 成反比例关系,即k f l=(k 为常数0k ≠).若某乐器的弦长l 为0.9米,振动频率f 为200赫兹,则k 的值为______.17.如图,在锐角三角形ABC 中,AD 是边BC 上的高,在BA ,BC 上分别截取线段,BE BF ,使BE BF =;分别以点,E F 为圆心,大于12EF 的长为半径画弧,在ABC ∠内,两弧交于点P ,作射线BP ,交AD 于点M ,过点M 作MN AB ⊥于点N .若2,4MN AD MD ==,则AM =_______.18.如图为《天工开物》记载的用于舂(ch ōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的平面示意图,已知AB CD ⊥于点B ,AB 与水平线l 相交于点O ,OE l ⊥.若4BC =分米,12OB =分米,60O BOE ∠=,则点C 到水平线l 的距离CF 为________分米(结果用含根号的式子表示).三、解答题:本题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)计算:0013()+cos 602-+--.20.(6分)先化简,再求值:22432x x x x x-++ ,其中3x =.21.(8分)某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况,随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括:扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等.学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图:请根据以上信息,解答下列问题:(1)本次被抽取的学生人数为______人:(2)补全条形统计图(3)在扇形统计图中,“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是___°(4)若该校有学生1200人,请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数.22.如图,在四边形ABCD 中,AB CD ∥,点E 在边AB 上,．请从“①B AED ∠=∠;②AE BE =,AE CD =”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上（填序号）,再解决下列问题:（1）求证:四边形BCDE 为平行四边形（2）若AD AB ⊥,8AD =,10BC =,求线段AE 的长．23.(9分)某村决定种植脐橙和黄金贡袖,助推村民增收致富,已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元;购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元.(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵.总费用不超过38000元,问最多可以购买脐橙树苗多少棵?24.(9分)某数学研究性学习小组在老师的指导下,利用课余时间进行测量活动.活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积测量工具皮尺、测角仪、计算器等活动过程模型抽象某休闲广场的水池中有一雕塑,其底座的底面为矩形ABCD ,其示意图如下:测绘过程与数据信息①在水池外取一点E ,使得点C ,B ,E 在同一条直线上②过点E 作GH CE ⊥,并沿EH 方向前进到点F ,用皮尺测得EF 的长为4米③在点F 处用测角仪测得60.3CFG ∠=︒,45BFG ∠=︒,21.8AFG ∠=︒④用计算器计算得:sin60.30.87︒≈,cos60.30.50︒≈,tan60.3 1.75︒≈．sin21.80.37︒≈,cos21.80.93︒≈,tan21.80.40︒≈．请根据表格中提供的信息,解决下列问题（结果保留整数）:（1）求线段CE 和BC 的长度:（2）求底座的底面ABCD 的面积．25.已知二次函数2y x c =-+的图像经过点()2,5A -,点()11,P x y ,()22,Q x y 是此二次函数的图像上的两个动点．（1）求此二次函数的表达式（2）如图1,此二次函数的图像与x 轴的正半轴交于点B,点P 在直线AB 的上方,过点P 作PC x ⊥轴于点C,交AB 于点D,连接AC DQ PQ ,,．若213x x =+,求证DC PDQA S S △△的值为定值（3）如图2,点P 在第二象限,212x x =-,若点M 在直线PQ 上,且横坐标为11x -,过点M 作MN x ⊥轴于点N,求线段MN 长度的最大值．26.【问题背景】已知点A 是半径为r 的O 上的定点,连接OA ,将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒得到OE ,连接AE ,过点A 作O 的切线l ,在直线l 上取点C,使得CAE ∠为锐角．【初步感知】（1）如图1,当60α=︒时,CAE ∠=︒图1图2图3【问题探究】（2）以线段AC 为对角线作矩形ABCD ,使得边AD 过点E,连接CE ,对角线AC ,BD 相交于点F ．①如图2,当2AC r =时,求证:无论α在给定的范围内如何变化,BC CD ED =+总成立:②如图3,当43=AC r ,23CE OE =时,请补全图形,并求tan α及AB BC的值．2024年湖南省中考数学真题试卷解析一、选择题．1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】D【解析】解:∵点D E ，分别为边AB AC ，的中点∴DE BC ∥,2BC DE =,故A C 、正确∵DE BC∥∴ADE ABC △△∽,故B 正确∵ADE ABC△△∽∴221124ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△∴14ADE ABC S S =,故D 错误故选:D ．10.【答案】C【解析】解:∵点()24,3P a a -+在第二象限∴24030a a -<⎧⎨+>⎩∴32a -<<,故选项A 错误∵点()24,3P a a -+为“整点”,32a -<<∴整数a 为2-,1-,0,1∴点P 的个数为4个,故选项B 错误∴“整点”P 为()8,1-,()6,2-,()4,3-,()2,4-∵1188=--,2163=--,3344=--,422=--∴“超整点”P 为()2,4-,故选项C 正确∵点()24,3P a a -+为“超整点”∴点P 坐标为()2,4-∴点P 到两坐标轴的距离之和246+=,故选项D 错误故选:C ．二、填空题．11.【答案】202412.【答案】1413.【答案】1x =14.【答案】10015.【答案】216.【答案】18017.【答案】618.【答案】(6-三、解答题．19.【答案】5220.【答案】1x x +,4321.【答案】（1）100（2）见解析（3）36（4）300人【小问1详解】解:根据题意得:3030%100÷=人故答案为:100【小问2详解】100330421015----=补全统计图如下:【小问3详解】1036036100︒⨯=︒故答案为:36【小问4详解】15101200300100+⨯=人．22.【答案】（1）①或②,证明见解析;（2）6【小问1详解】解:选择①证明:∵B AED∠=∠∴DE CB∥∵AB CD∥∴四边形BCDE 为平行四边形选择②证明:∵AE BE =,AE CD =∴CD BE =,∵AB CD∥∴四边形BCDE 为平行四边形【小问2详解】解:由（1）得10DE BC ==∵AD AB ⊥,8AD =∴226AE DE AD =-=．23.【答案】（1）50元,30元（2）400棵【小问1详解】解:设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x 元/棵,y 元/棵根据题意,得211023190x y x y +=⎧⎨+=⎩解得5030x y =⎧⎨=⎩答:脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵,30元/棵【小问2详解】解:设购买脐橙树苗a 棵,则购买黄金贡柚树苗()1000a -棵根据题意,得()5030100038000a a +-≤解得400a ≤答:最多可以购买脐橙树苗400棵．24.【答案】（1）7;3（2）18【小问1详解】解:∵GH CE ⊥,EF 的长为4米,60.3CFG ∠=︒∴tan tan60.3 1.75CE CFE EF ∠=︒=≈∴7CE =米∵45BFG ∠=︒∴4BE EF ==米∴3CB CE BE =-=米【小问2详解】过点A 作AM GH ⊥于点M,如图所示:∵21.8AFG ∠=︒∴tan tan21.80.4AM AFG MF∠=︒=≈∵4AM BE ==米∴10MF =米∴1046AB ME ==-=米∴底座的底面ABCD 的面积为:3618⨯=平方米．25.【答案】（1）29y x =-+（2）为定值3,证明见解析（3）374【小问1详解】∵二次函数2y x c =-+的图象经过点()2,5A -∴54c=-+∴9c =∴29y x =-+【小问2详解】当0y =时,209x =-+∴123,3x x =-=∴()3,0B 设直线AB 的解析式为y kx b=+∴2530k b k b -+=⎧⎨+=⎩∴13k b =-⎧⎨=⎩∴3y x =-+设()211,9P x x -+,则()()2113,39Q x x +-++,()11,3D x x -+∴()()()2211111193623PD x x x x x x =-+--+=-++=+-+,13CD x =-+．∴()()()()()11111233332PDQADCS x x x x S x x +-++-==-++ ∴DC PDQA S S △△的值为定值【小问3详解】设()211,9P x x -+,则()2112,49Q x x --+设直线PQ 的解析式为y mx n=+∴2112119249mx n x mx n x ⎧+=-+⎨-+=-+⎩∴12129m x n x =⎧⎨=-+⎩∴12129y x x x -=+当11x x =-时()22111113712924y x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭∴当12x =-时,线段MN 长度的最大值374．26.【答案】（1）30︒;①证明见解析;②43,12解:（1）由题意得60AOE α∠==︒∵OA OE=∴OEA △是等边三角形∴60OAE ∠=︒∵直线l 是O 的切线∴90OAC ∠=︒∴906030CAE ∠=︒-︒=︒故答案为:30︒（2）①如图:∵OA OE =,∴OAE OEA∠=∠∵AOE α∠=∴180OAE OEA α∠+∠+=︒∴18019022OAE αα︒-∠==︒-∵90OAC ∠=︒∴12DAC α∠=∵四边形ABCD 是矩形∴FA DF =,12CF DF AC r ===,∴12DAC FDA α∠=∠=∴1122DFC ααα∠=+=∵OA OB r==∴,OA FC OE FD==∵AOE DFC∠=∠∴OAE FCD△≌△∴AE CD=∵四边形ABCD 是矩形∴BC AD=∵AD AE DE=+∴BC CD DE=+②补全图形如图:过点O 作OG AE ⊥于点E,AH OE ⊥于点H在Rt AOC 中,4,3OA r AC r ==∴由勾股定理得53OC r =∵23CE OE =∴23CE r =∴OC OE CE=+∴点E 在线段OC 上∴在Rt ACO ,4tan 3AC AO α==∵OG AE ⊥,OA OE =∴12EOG α∠=∵AH OE⊥∴90EOG OEA EAH OEA ∠+∠=∠+∠=︒∴12EAH EOG α∠=∠=在Rt OAH △中,4tan 3AH OH α==∴设4,3AH m OH m==∴由勾股定理得5OA OE m==∴532HE m m m=-=∴在Rt AHE △中,1tan tan22HE EAH AH α∠===∵四边形ABCD 是矩形∴AD BC ∥∴12ACB DAC α∠=∠=而12EAH α∠=∴12ACB α∠=∴在Rt ABC △中,1tan tan 22AB ACB BC α∠===．。
2016年湖南省长沙市中考数学试卷
2016年湖南省长沙市中考数学试卷一、（在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）下列四个数中，最大的数是（）A．﹣2B．13C．0D．62．（3分）大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于2016年年底通车，通车后，从长沙到株洲只需24分钟，从长沙到湘潭只需25分钟，这条铁路全长99500米，则数据99500用科学记数法表示为（）A．0.995×105B．9.95×105C．9.95×104D．9.5×104 3．（3分）下列计算正确的是（）A．2×5=10B．x8÷x2=x4C．（2a）3=6a3D．3a5•2a3=6a64．（3分）六边形的内角和是（）A．540°B．720°C．900°D．360°5．（3分）不等式组2x−1≥58−4x＜0的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．6．（3分）如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）A．B．C．D．7．（3分）若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ）A ．6B ．3C ．2D ．118．（3分）若将点A （1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B ，则点B 的坐标为（ ）A ．（﹣2，﹣1）B ．（﹣1，0）C ．（﹣1，﹣1）D ．（﹣2，0）9．（3分）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（3分）已知一组数据75，80，80，85，90，则它的众数和中位数分别为（ ）A ．75，80B ．80，85C ．80，90D ．80，8011．（3分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球A 处与楼的水平距离为120m ，则这栋楼的高度为（ ）A ．160 3mB ．120 3mC ．300mD ．160 2m12．（3分）已知抛物线y=ax 2+bx +c （b ＞a ＞0）与x 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧；②关于x 的方程ax 2+bx +c +2=0无实数根；③a ﹣b +c ≥0；④a +b +c b−a的最小值为3． 其中，正确结论的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）分解因式：x2y﹣4y=．14．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．15．（3分）如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为．（结果保留π）16．（3分）如图，在⊙O中，弦AB=6，圆心O到AB的距离OC=2，则⊙O的半径长为．17．（3分）如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为．18．（3分）若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。
湖南省长沙市2016年中考数学试卷word版含解析
湖南省长沙市2016年中考数学试卷（word版含解析）一、（在以下各题的四个选项中，只有一个是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共12小题，每题3分，总分值36分）1．以下四个数中，最大的数是（）A．﹣2 B．C．0 D．6【分析】有理数大小比较的法那么：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判定即可．【解答】解：依照有理数比较大小的方式，可得6＞＞0＞﹣2，故四个数中，最大的数是6．应选：D．【点评】此题要紧考查了有理数大小比较的方式，要熟练把握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．2．大伙儿翘首以盼的长株潭城际铁路将于2016年年末通车，通车后，从长沙到株洲只需24分钟，从长沙到湘潭只需25分钟，这条铁路全长99500米，那么数据99500用科学记数法表示为（）A．×105B．×105C．×104D．×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确信n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将99500用科学记数法表示为：×104．应选：C．【点评】此题要紧考查了科学记数法的表示方式．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确信a的值和n的值．3．以下计算正确的选项是（）A．×=B．x8÷x2=x4C．（2a）3=6a3D．3a52a3=6a6【分析】直接利用二次根式乘法运算法那么和结合同底数幂的乘除运算法那么别离化简求出答案．【解答】解：A、×=，正确；B、x8÷x2=x6，故此选项错误；C、（2a）3=8a3，故此选项错误；D、3a52a3=6a8，故此选项错误；应选：A．【点评】此题要紧考查了二次根式乘法运算和结合同底数幂的乘除运算、积的乘方运算等知识，正确把握相关性质是解题关键．4．六边形的内角和是（）A．540°B．720°C．900°D．360°【分析】利用多边形的内角和定理计算即可取得结果．【解答】解：依照题意得：（6﹣2）×180°=720°，应选B．【点评】此题考查了多边形内角与外角，熟练把握多边形内角和定理是解此题的关键．5．不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】别离求出每一个不等式的解集，依照“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原那么即可得答案．【解答】解：，解不等式2x﹣1≥5，得：x≥3，解不等式8﹣4x＜0，得：x＞2，故不等式组的解集为：x≥3，应选：C．【点评】此题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟悉在数轴上表示不等式解集的原那么“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”是解题的关键．6．如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，那个几何体的主视图是（）A．B．C．D．【分析】依照从正面看取得的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左侧一个小正方形，第三层左侧一个小正方形，应选：B．【点评】此题考查了简单组合体的三视图，从正面看取得的图形是主视图．7．假设一个三角形的两边长别离为3和7，那么第三边长可能是（）A．6 B．3 C．2 D．11【分析】依照三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判定．【解答】解：设第三边为x，那么4＜x＜10，因此符合条件的整数为6，应选A．【点评】此题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，属于基础题，中考常考题型．8．假设将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位取得点B，那么点B的坐标为（）A．C．【分析】依照向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求解即可．【解答】解：∵点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位取得点B，∴点B的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为3﹣4=﹣1，∴B的坐标为（﹣1，﹣1）．应选C．【点评】此题考查了坐标与图形转变﹣平移，平移中点的转变规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．9．以下各图中，∠1与∠2互为余角的是（）A．B．C．D．【分析】若是两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．依此概念结合图形即可求解．【解答】解：∵三角形的内角和为180°，∴选项B中，∠1+∠2=90°，即∠1与∠2互为余角，应选B．【点评】此题考查了余角的概念，把握概念而且准确识图是解题的关键．10．已知一组数据75，80，80，85，90，那么它的众数和中位数别离为（）A．75，80 B．80，85 C．80，90 D．80，80【分析】依照众数和中位数的概念别离进行求解即可．【解答】解：把这组数据依照从小到大的顺序排列为：75，80，80，85，90，最中间的数是80，那么中位数是80；在这组数据中显现次数最多的是80，那么众数是80；应选D．【点评】此题考查了众数和中位数，一组数据中显现次数最多的数据叫做众数；将一组数据依照从小到大（或从大到小）的顺序排列，若是数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数确实是这组数据的中位数；若是这组数据的个数是偶数，那么中间两个数据的平均数确实是这组数据的中位数．11．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，那么这栋楼的高度为（）A．160m B．120m C．300m D．160m【分析】第一过点A作AD⊥BC于点D，依照题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，那么∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，在Rt△ABD中，BD=ADtan30°=120×=40（m），在Rt△ACD中，CD=ADtan60°=120×=120（m），∴BC=BD+CD=160（m）．应选A．【点评】此题考查了仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．12．已知抛物线y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0无实数根；③a﹣b+c≥0；④的最小值为3．其中，正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】从抛物线与x轴最多一个交点及b＞a＞0，能够推断抛物线最小值最小为0，对称轴在y轴左侧，并取得b2﹣4ac≤0，从而取得①②为正确；由x=﹣1及x=﹣2时y都大于或等于零能够取得③④正确．【解答】解：∵b＞a＞0∴﹣＜0，因此①正确；∵抛物线与x轴最多有一个交点，∴b2﹣4ac≤0，∴关于x的方程ax2+bx+c+2=0中，△=b2﹣4a（c+2）=b2﹣4ac﹣8a＜0，因此②正确；∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点，∴x取任何值时，y≥0∴当x=﹣1时，a﹣b+c≥0；因此③正确；当x=﹣2时，4a﹣2b+c≥0a+b+c≥3b﹣3aa+b+c≥3（b﹣a）≥3因此④正确．应选：D．【点评】此题考查了二次函数的解析式与图象的关系，解答此题的关键是要明确a的符号决定了抛物线开口方向；a、b的符号决定对称轴的位置；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号．二、填空题（共6小题，每题3分，总分值18分）13．分解因式：x2y﹣4y= y（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解．【解答】解：x2y﹣4y，=y（x2﹣4），=y（x+2）（x﹣2）．故答案为：y（x+2）（x﹣2）．【点评】此题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解此题的难点，也是关键．14．假设关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围是m＞﹣4 ．【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：由已知得：△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）=16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．【点评】此题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式．此题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，依照根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．15．如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，那么该扇形的弧长为2π．（结果保留π）【分析】直接利用弧长公式列式计算即可．【解答】解：∵扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，∴该扇形的弧长为：=2π．故答案为：2π．【点评】此题要紧考查了弧长公式的应用，熟练经历弧长公式是解题关键．16．如图，在⊙O中，弦AB=6，圆心O到AB的距离OC=2，那么⊙O的半径长为．【分析】依照垂径定理求出AC，依照勾股定理求出OA即可．【解答】解：∵弦AB=6，圆心O到AB的距离OC为2，∴AC=BC=3，∠ACO=90°，由勾股定理得：OA===，故答案为：．【点评】此题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解此题的关键是求出AC和OA的长，题目比较好，难度适中．17．如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，那么△BCE的周长为13 ．【分析】依照线段的垂直平分线的性质取得EA=EB，依照三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，那么△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，故答案为：13．【点评】此题考查的是线段的垂直平分线的性质，把握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．18．假设同时抛掷两枚质地均匀的骰子，那么事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是．【分析】画出树状图，然后依照概率公式列式计算即可得解．【解答】解：由题意作出树状图如下：一共有36种情形，“两枚骰子朝上的点数互不相同”有30种，因此，P==．故答案为：．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点：概率=所求情形数与总情形数之比．三、解答题（本大题共8个小题，第1九、20题每题6分，第2一、22题每题6分，第23、24题每题6分，第2五、26题每题6分，共66分。
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一、选择题
1.下列四个数中，最大的数是（ ）
A.－2
B.3
1 C.0 D.6 2.大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于2016年年底通车，通车后，从长沙到株洲只需24分钟，从
长沙到湘潭只需25分钟，这条铁路线全长95500米，则数据95500用科学记数法表示为（ ）
A ．0.955×105 B. 9.55×105 C. 9.55×104 D . 9.5×104
3.下列计算正确的是（ ）
A ．1052=⨯ B. x 8÷x 2=x 4 C. (2a )3=6a 3 D . 3a 3 · 2 a 2=6a 6
4.六边形的内角和是（ ）
A ．︒540 B. ︒720 C. ︒900 D . ︒360
5.不等式组⎩
⎨⎧<-≥-048512x x 的解集在数轴上表示为（ ）
6.下图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
7.若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ）
A ．6 B. 3 C. 2 D . 11
8.若将点A （1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B ，则点B 的坐标为（ ）
A ．（－2，－1） B. （－1，0） C. （－1，－1） D . （－2，0）
9.下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ ）
10.已知一组数据75， 80，85，90，则它的众数和中位数分别为（ ）
A ．75， 80 B. 80，85 C. 80，90 D . 80，80
11．如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的
仰角为︒30，看这栋楼底部C 处的俯角为︒60，热气球A 处与楼的水
平距离为120 m ，则这栋楼的高度为（ ）
A ．160
3m B. 1203m
C ．300 m
D . 1602m 12.已知抛物线y =ax 2+bx +c (b >a >0)与x 轴最多有一个交点，现有以下四个结论：
①该抛物线的对称轴在y 轴左侧；②关于x 的方程ax 2+bx +c=0无实数根；③a －b +c ≥0；④
a
b c b a -++的最小值为3.其中，正确结论的个数为（ ）
A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
13.分解因式：x 2y －4y =____________.
14.若关于x 的一元二次方程x 2－4x －m =0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是_________.
15.如图，扇形OAB 的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为_______.（结果保留π）
16.如图，在⊙O 中，弦AB=6，圆心O 到AB 的距离OC=2，则⊙O 的半径长为_____________.
17.如图，△ABC 中，AC=8，BC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交边AC 于点E ，则△BCE 的周长为______.
15题图 16题图 17题图
18.若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是__________.
三、解答题
19.计算：4sin60°－︱－ 2︳－
12+(－1)2016
20.先化简，再求值：b a a -(a b 11-)+b a 1-.其中，a =2，b =3
1.
21.为积极响应市委市政府“加快建设天蓝·水净·地绿的美丽长沙”的号召，我市某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种，为了更好的了解社情民意，工作人员在街道辖区范围内随即抽取了部分居民，进行“我最喜欢的一种树”的调查活动（每人限选其中一种树），并将调查结果整理后，绘制成下面两个不完整的统计图.
请根据所给信息解答以下问题：
(1)这次参与调查的居民人数为_______；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数；
(4)已知该街道辖区内现有居民8万人，请你估计这8万人中最喜欢玉兰树的有多少人？
22.如图，AC是□ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC.
(1)求证：AB=BC；
2，求□ABCD的面积.
(2)若AB=2，AC=3
23.2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁悬浮线正式开通运营，该线路连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将会给乘客带来美的享受。
星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方。
已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨。
(1) 一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
(2) 该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？
24.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C 作AC的垂线交AD的延长
线于点E,点F为CE的中点，连接DB、DC、DF
(1) 求∠CDE的度数；
(2) 求证：DF是⊙O的切线；
2DE，求tan∠ABD的值.
(3) 若AC=5
25.若抛物线L ：y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，ab c ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 与顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系，此时，直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”.
(1) 若直线y =mx +1与抛物线y =x 2－2x +n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；
(2) 若某“路线”L 的顶点在反比例函数x y 6
的图像上，它的“带线” l 的解析式为y =2x －4，求此“路线”L 的解析式；
(3) 当常数k 满足2
1≤k ≤2时，求抛物线L: y =ax 2+(3k 2－2k +1)x + k 的“带线” l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围.
26.如图，直线l ：y =－x +1与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P ，Q 是直线l 上的两个动点，且点P 在第二象限，点Q 在第四象限，∠POQ=135°.
(1) 求△AOB 的周长；
(2) 设AQ=t >0.试用含t 的代数式表示点P 的坐标；
(3) 当动点P ，Q 在直线l 上运动到使得△AOQ 与△BPO 的周长相等时，记作∠AOQ=m ，若过点A 的二次函数y =ax 2+bx +c 同时满足以下两个条件：
① 6a +3b +2c =0;
② 当m ≤x ≤m +2时，函数y 的最大值等于
m
2，求二次项系数a 的值.
参考答案。