高数3-6边际与弹性
高等数学在经济学中的边际、弹性分析及应用
⾼等数学在经济学中的边际、弹性分析及应⽤2019-09-03【摘要】边际与弹性是⾼等数学中的重要概念，是微分学在经济分析中的有效应⽤。
本⽂从经济理论中的“边际”和“弹性”出发，对⽬前经济学中⼏个常见问题进⾏了数学化探讨，阐述了⾼等数学在经济学中的相关应⽤。
【关键词】边际弹性应⽤边际与弹性分析是经济数量分析的重要组环节，是⾼数微分法的重要应⽤之⼀。
在分析经济量的之间关系时，不仅要知道因变量依赖于⾃变量变化的函数关系，还要进⼀步了解这个函数值随⾃变量的变化的速率，函数的变化率，即它的边际函数；不仅要了解相应函数的绝对变化率，⽽且还要了解它的相对变化率，即它的弹性函数；经过进⼀步的分析，就可以探求如何取得最佳经济效益，达到理想应⽤的⽬的。
⼀、边际概念及其在经济学中的应⽤（⼀）边际概念边际作为⼀个数学概念，是指函数y=f（x）中变量x的某⼀值的“边缘”上y的变化。
它是瞬时变化率，也就是y对x的导数。
⽤数学语⾔表达为：设函数y=f（x）在[α，b]内可导，则称导数f'（x）为y=f（x）在[α，b]内的边际函数；在x0处的导数值f'（x0）称为y=f（x）在x0处的边际值。
根据不同的经济函数，边际函数有不同的称呼，如边际成本、边际产值、边际消费、边际储蓄、边际收益、边际利润等。
（1）边际成本。
在经济学中，把产量增加（或减少）⼀个单位时所增加（或减少）的⽣产总成本，定义为边际成本，边际成本就是总成本函数在所给定点的导数，记作MC=C′（q）。
（2）边际收益。
是指销售量增加（或减少）⼀个单位时所增加（或减少）的销售产品总收⼊，是总收⼊函数在给定点的导数，记作MR=R′（q）。
（3）边际利润。
对于利润函数 L（q）=R（q）-C（q），边际利润为 ML=L′（q）=R′（q）CC′（q）=MR-MC，其指销售量增加（或减少）⼀个单位销售量时所增加（或减少）的利润。
（⼆）边际理论在经济学中的应⽤边际分析理论可⽤来预测商品价格需求量或供给量，确定企业内部⽣产资料同劳动数量之间最合理的配置。
边际与弹性
第六节 边际与弹性教学目的：掌握边际函数、弹性函数定义。
教学重点：经济学中常见边际函数及弹性函数。
教学难点：需求弹性的计算教学内容：一、边际概念在经济学中，边际概念通常指经济问题的变化率，称函数()f x 的导数()f x '为函数()f x 的边际函数．在点0x 处，当x 改变x ∆时，相应的函数()=y f x 的改变量为)()(00x f x x f y -∆+=∆．当1=∆x 个单位时，)()1(00x f x f y -+=∆，如果单位很小，则有 )()()1(01000x f dy x f x f y dx x x '=≈-+=∆==．这说明函数)(0x f '近似地等于在0x 处x 增加一个单位时，函数)(x f 的增量y ∆．当x 有一个单位改变时，函数)(x f 近似改变了)(0x f '．二、经济学中常见边际函数1．边际成本总成本函数)(x C 的导数)(x C '称为边际成本函数，简称边际成本．边际成本的经济意义是，在一定产量x 的基础上，再增加生产一个单位产品时总成本增加的近似值．在应用问题中解释边际函数值的具体意义时，常略去“近似”二字．例1： 已知生产某产品x 件的总成本为20010409000)C(x x x .++=(元)，(1)求边际成本)(x C '，并对)1000(C '的经济意义进行解释．(2)产量为多少件时，平均成本最小解： (1)边际成本x x 002040)(C .+='． (1000)400.002100042C '=+⨯=．它表示当产量为1000件时，再生产1件产品则增加42元的成本；(2)平均成本x xx x 0010409000C )(C .++==， 00109000)(C 2.+-='xx ，令=')(C x 0，得 x = 3000(件)．由于318000C (3000)03000''=>，故当产量为3000件时平均成本最小．2．边际收入 总收入函数)(x R 的导数)(x R '称为边际收入函数，简称边际收入．边际收入的经济意义是，销售量为x 的基础上再多售出一个单位产品所增加的收入的近似值．例2：设产品的需求函数为p x 5100-=，其中p 为价格，x 为需求量．求边际收入函数，及70,50,20=x 时的边际收入，并解释所得结果的经济意义．解： 根据p x 5100-=得5100x p -=总收入函数)100(515100)(2x x x x px x R -=⋅-== 边际收入函数为)2100(51)(x x R -=' 即销售量为20个单位时，再多销售一个单位产品，总收入增加12个单位；当销售量为50个单位时，扩大销售，收入不会增加；当销售量为70个单位时，再多销售一个单位产品，总收入将减少8个单位． 3．边际利润总利润函数)(x L 的导数)(x L '称为边际利润函数，简称边际利润．边际利润的经济意义是，在销售量为x 的基础上，再多销售一个单位产品所增加的利润． 由于)()()(x C x R x L -=，所以()()()L x R x C x '''=-．即边际利润等于边际收入与边际成本之差．例3：某加工厂生产某种产品的总成本函数和总收入函数分别为202.02100)(x x x C ++=（元）与201.07)(x x x R +=（元）求边际利润函数及当日产量分别是200千克、250千克和300千克时的边际利润，并说明其经济意义．解： 总利润函数100501.0)()()(2-+-=-=x x x C x R x L边际利润函数为502.0)(+-='x x L日产量为200千克、250千克和300千克时的边际利润分别是 1)200(='L （元），0)250(='L （元），1)300(-='L （元）其经济意义是，在日产量为200千克的基础上，再增加1千克产量，利润可增加1元；在日产量为250千克的基础上，再增加1千克产量，利润无增加；在日产量为300千克的基础上，再增加1千克产量，将亏损1元．二、弹性概念弹性概念是经济学中的另一个重要概念，用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的灵敏程度．例如，设有A 和B 两种商品，其单价分别为10元和100元．同时提价1元，显然改变量相同，但提价的百分数大不相同，分别为10%和1%．前者是后者的10倍，因此有必要研究函数的相对改变量以及相对变化率，这在经济学中称为弹性．它定量地反映了一个经济量(自变量)变动时，另一个经济量(因变量)随之变动的灵敏程度，即自变量变动百分之一时，因变量变动的百分数．定义：设函数)(x f y =在点x 处可导．则函数的相对改变量y y ∆与自变量的相对改变量x x ∆之比，当0→∆x 时的极限： )()(lim0x f x f x y y x x x y y x '='=∆∆→∆称为函数)(x f y =在点x 处的弹性，记作Ey Ex 或()Ef x Ex，即 ()()Ey x f x Ex f x '=． 由定义知，当%1=∆xx 时，%y Ey y Ex ∆≈．可见，函数)(x f y =的弹性具有下述意义：函数)(x f y =在点0x 处的弹性0x x Ey Ex =表示在点0x 处当x 改变1%时，函数)(x f y =在)(0x f 的水平上近似改变0%x x EyEx =．四、经济学中常见的弹性函数1. 需求价格弹性设某商品的需求量为Q ，价格为p ，需求函数()Q Q p =，则该商品需求对价格的弹性（简称需求价格弹性）为：d p dQ E Q dp= ．2. 供给价格弹性设某商品的供给量为W ，价格为p ，供给函数()W W p =，则该商品供给对价格的弹性（简称供给价格弹性）为：s p dW E W dp=3．需求弹性与总收益的关系总收益()R pQ p =， 所以()()()[1()]()[1]()p R Q p pQ p Q p Q p Q p Q p η'''=+=+⋅=-例4：:某商品需求函数为210Q -=，求（1）当3=P 时的需求弹性； (2)在3=P 时，若价格上涨%1，其总收益是增加，还是减少它将变化多少解： (1)1220102EQ P P P Q P EP Q P ⎛⎫'==-⋅= ⎪-⎝⎭-． 当3=P 时的需求弹性为3317P EQ EP ==-18.0-≈． (2)总收益2102P P PQ R -==，总收益的价格弹性函数为 22(10)(10)20102ER dR P P P P P EP dP R P P -=⋅=-⋅=--， 在3=P 时，总收益的价格弹性为332(10)0.8220P P ER P EP P ==-=≈-． 故在3=P 时，若价格上涨%1，需求仅减少0018.0， 总收益将增加， 总收益约增加%82.0．。
微积分I课程边际与弹性
lim ( y x) lim ( y x0 )
y x0 0
x0
x0 x y0
=
f
x0 (x0 )
f
(x0 )
Ey Ex
x x0
由极限与无穷小量的关系有
y x Ey ，且 lim 0
y0 x0 Ex xx0
x0
所以 y Ey x y0 Ex xx0 x0
故
Ey Ex
x x0
表示在点x
(6) 1.2 1,说明当P 6时，需求变动的幅度
大于价格变动幅度，即P 6时，价格上涨1%， 需求下降1.2%为富有弹性
(2)供给价格弹性 设某商品的供给函数为Q Q(P), 其中Q为 供给量，P为价格，供给对价格的弹性为：
EQ P Q(P) EP Q(P)
一般情况下 EQ 0,即供给量会随价格的升高 EP
当销售量为Q 时，销售Q 前最后一个
0
0
单位商品所增加的利润
L(Q) R(Q) C(Q)
L(Q) R(Q) C(Q)
厂商理论：R(Q) C(Q) 此时，L(Q) R(Q) C(Q) 0 即再增加销量时不会增加利润， 此时利润达到最大.
例3.设某商品的需求函数为P 10 Q ,总成本 5
§3.6 边际与弹性 一、边际的概念 二、弹性函数
• 在经济活动中，经常需要考虑一项指标的变化给 其他指标带来的影响，如产量的变化对成本、收 益、利润的影响，价格的变化对需求量、销售量 的影响等。将这些经济指标建立数学模型，利用 导数的特性去研究它们之间的关系，这就是本次 课的内容。
一、边际的概念
x0处，当x产生1%的
改变时，y f (x)相应改变 Ey % Ex xx0
例4.求函数y 100e3x的弹性函数 Ey 及 Ey Ex Ex x2
第6节 边际与弹性
C (900) 1) C (900) 1775 C (900) 1.97 900 C (Q) C (1000) C (900) 2) 1.58 Q 1000 - 900
3) C(900) 1.5
生产900个单位 , 增加 ( 减少)1个单位产品 , 成本将增加 ( 减少)1.5
二、经济学中常见的边际函数
1.边际成本 1 边际成本 : 总成本函数C Q 的导数C (Q ) 2 边际平均成本 : 平均成本C Q 的导数 C (Q)Q C Q C Q C Q 2 Q Q 3 一般情况下，C Q C0 C1 Q ， 则C (Q ) C1 Q .
四、经济学中常见的弹性函数
1.需求弹性 : 设需求函数Q f P 在P处可导,
dQ P dQ P 则在P处需求弹性为 Ed ( ( P) ) dP Q dP Q
经济含义 : Q f P 在P处, 价格每上涨1%, 需求就减少 ( P )%; 价格每下降1%, 需求就增加 ( P )%.
(1) 当 1, 在价格 P 处, 价格每上涨 1%, 收益增加
收益减少
(1- ) %
| (1- ) | %
(2) 当 1, 在价格 P 处, 价格每上涨 1%,
(3) 当 1, 总收益最大
p 例4：设某商品需求函数 Q f ( p ) 12 2 试求：
(1)p=6时价格上涨1％，总收益将变化百分之几？
2
y / y0 x / x0
称为f ( x)从x0到x0 x两点间的
平均相对变化率或两点间的弹性.
2.弹性
y / y0 1 lim 称为f ( x)在x0处的相对变化率或弹性， x 0 x / x 0 Ey 记作 Ex E 或 f ( x0 ). Ex x x0
经济数学课件 3.6边际与弹性
解: 因为y 3x 2 2, 所以 y x2 14, 即边际函 数值为14。 它表示函数 y在x 2处，当 x 改变一个单位时，函数 y 近
似地改变14个单位。
《经济数学基础》配套课件
边际成本的定义
设成本函数C C(q) 可导（其中 C表示总成本， q 表示产量）， 则其边际函数 C C(q)称为边际成本函数，简称边际成本。C(q0 ) 称为当产量为 q0时的边际成本。
经济意义：销售量达到 q0时，如果销售量增减一个单位产品，则 收益相应增减 R(q0 )个单位。
《经济数学基础》配套课件
边际利润的定义 设利润函数 L L(q) 可导，则其边际函数 L L(q) 称为边际
利润。L(q0 ) 称为当产量为 q0 时的边际利润。 经济意义：当产量达到q0 时，如果增减一个单位产品，则利
设函数
f (x) 在点
x
处可导，称极限
lim
x0
x
x 为函数
f (x)
的弹性函数，记为 E(x) ，即
E(x) lim y x f (x) x
x0 x y
f (x)
《经济数学基础》配套课件
在点 x x0处，弹性函数值
E(x0 )
f (x0 )
x0 f (x0 )
称为函数
f (x)
在点
记为 p 。
《经济数学基础》配套课件
例3
某商品的需求函数为 Q 400 100 p ，求：p 1, 2,3 时
的需求价格弹性，并给出经济解释。
解： 由 dQ 100 可得
dp
p
dQ dp
p Q
100 p 400 100 p
当
p
1时，|
3.6 边际与弹性
L(Q0 )的经济意义：
当销售量为Q0时，销售Q0前最后一个 单位商品所增加的利润
L(Q) R(Q) C (Q) L(Q) R(Q) C(Q)
厂商理论：R(Q) C (Q) 此时，L(Q) R(Q) C (Q) 0 即再增加销量时不会增加利润， 此时利润达到最大.
设某商品的需求函数为Q Q( P), 其中Q为 需求量，P为价格，收益函数R PQ( P) 则收益对价格的弹性为：
ER R( P) Q( P) PQ( P) P P EP R( P) PQ( P )
Q( P) EQ 1 P 1 Q( P) EP
EQ ER 当 1时， 0，此时提高价格会增加收益 EP EP EQ ER 当 < 1时， 0，此时提高价格会减少收益 EP EP
大于价格变动幅度，即P 6时，价格上涨1%， 需求下降1.2%为富有弹性
(2)供给价格弹性
设某商品的供给函数为Q Q( P), 其中Q为 供给量，P为价格，供给对价格的弹性为：
EQ P Q( P) EP Q( P)
EQ 一般情况下 0,即供给量会随价格的升高 EP 而升高
(3)收益价格弹性
EQ ER 当 1时， 0，此时收益达到最大 EP EP
P 例7.设某商品需求函数为Q 12 , 求P 6时 2 若价格上涨了1%，总收益增加还是减少，将变化
1 EQ Q P 2 解 P P P P 24 EP Q 12 2 6 1 因为 (6) 1 6 24 3
P 5
(5) 1, 说明当P 5时，价格与需求变动的
幅度相同，为单位弹性
(3) 0.6 1, 说明当P 3时，需求变动的幅度
边际与弹性
南
对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
分析 边际分析法.
“边际”——“增加的” “边际量”——“增量” 自变量的增量为1单位时，因变量的增量就是边际
量.
例：生产要素(自变量)增加一单位，产量(因变量)
的增量为2个单位，这因变量改变的2个单位就是边际
湖
南
对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
抽象归纳
边际分析
问：怎样用数学方法来描述边际呢？
分析 设函数 f ( x) 可导. 根据导数的定义，有
y f ( x) lim . x0 x y . 因此，当| x | 很小时，有 f ( x) 于是 x
湖
南
对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业TΒιβλιοθήκη ade学院Hunan
Economic
Relations
College
3．边际收益 （x为产量）的导数 R' ( x), 总收益函数 R R( x) 称为产量为x单位时的边际收益． 边际收益 R' ( x) 表示当产量为x时，再生产1个单 位产品，总收益将改变 R' ( x) 个单位．
College
例1 某公司某产品的总利润Ｌ（元）与日产量x(吨) 的关系为 L( x) 250x 5x , 试求日产量分别为20吨、
ch3-6导数在经济学中的应用
f ( x0 ) 称为在 x= x0 点的边际函数值。
1、边际成本：成本函数 C(x) 的导函数 C ( x )
2、边际收益：收益函数 R (x) 的导函数 R( x )
3、边际利润：利润函数 L (x) 的导函数 L( x )
L( x ) R( x ) C ( x )
例 某企业产品的市场需求函数为
含义：函数当自变量在 x=2 处改变1%时，函数值从f(2)=22处 改变了
8 %，负号说明改变的方向相反。 11
需求弹性（需求价格弹性）：
需求函数 Q Q
d
( p)
EQ P dQ p , Ep Q dP
p一般为负值：理由Q是P的减函数
经济学中，需求价格弹性指 p
3种弹性
L( x ) 0
例：(1)已知某产品的销价为 P (x)= 200 ,总成本函数
1 2 C ( x ) 50000 60 x x ,求 20
（1）总利润函数 L(x) （2）边际利润 L( x ) （3）产量为多少时，利润最大？ 解：（1） L( x ) R( x ) C ( x ) xP( x ) C ( x )
p
EQ P dQ P P ( 100) EP Q dP 400 100 P 4 P
1 1 当P 1时， p ， p ； 3 3 当P 2时， p -1， p 1； 当P 3时， p -3， p 3；
P ' p f (P) Q
48是函数的唯一极大值点，即最大值点。 当产量是48时利润最大，最大利润为2104。
三、弹性分析
50% 0.1%
1kg大米：元 /斤，元 /斤； 2 3 1kg 金： 100000元 / 斤， 100010元/斤
边际与弹性
例2
设某产品生产 Q
单位的总成本
C
(Q)
1100
Q2 1200
，
求：(1)生产 900 个单位的总成本和平均成本；
(2)生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成本的平均变化率；
(3)生产 900 个单位的边际成本，并解释其经济意义.
解 (1)生产900个单位时的总成本为
9020
C(Q) 1100 1775
相对改变量 y f ( x0 x) f ( x0 )与自变量的相对改变量
y0
f ( x0 )
x 之比 y
x0
x
y0 x0
为函数从
x0到
x0
x两点间的平均相对变化
第六节 边际与弹性
一、 边际的概念
定义: 如果函数 y f (x)在 x0 处可导，则在(x0, x0 x)内
的平均变化率为y ；在 x x
x0处的瞬时变化率为
lim f (x0 x)
x0
x
f (x0 )
f (x0 )
，
经济学中称它为 f (x)在 x x0处的边际函数值.
相应定义了一个函数：边际函数
L(Q) L(2)050 Q20
L(Q ) L(2)5 0
Q 25
L(Q) L(3)5100
Q35
上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50 元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨 时，再增加一吨，利润将减少100．此处说明，对厂家来说，并非 生产的产品越多，利润越高.
销 售 1 5 个 单 位 时 , 总 收 益 R
5
Q 2
(2 0 Q )
2 5 5
边际分析与弹性分析
dQ
(p)
ER R '(Q) Q p(1 1 ) Q 1 1
EQ
R(Q)
(p) pQ
(p)
(x)从x0到x0
x两点间的平均相对变化率
或弹性.
lim
x0
y x
/ /
y x
0 0
称为f
(x)在x0处的相对变化率或弹性。
2.弹性定义：设y=f(x)可导，则
Ey Ex
y'
x y
f '(x)
x f (x)
称为y=f(x)的在x处 的弹性或相对变化率。
Ey x f '(x)表示x在x处改变1％时，函数f (x) Ex f (x) 改变了 | Ey | %
e
p 5
，求：
⑴需求弹性
⑵p=3、5、6时的需求弹性
⑶当价格在p=3处上涨2％时需求将变化百分之几？
(4) 当价格在p=3处下降3％时需求将变化百分之几？
4.收益弹性 Ey f '(x) x
R '(p)
Ex
Q
p
dQ
f
(x)
Q(1
(p))
dp
ER R '(p) p Q(1 (P)) p 1 (p)
Ep
R(p)
pQ
(1) 当 ER 0 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
Ep
收益增加 (1 - (P)) %
(2) 当 ER 0 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
Ep
收益减少 | (1 - (P)) | %
(3) 当(p) 1,即 ER 0 总收益最大
《高等数学B》 第三章 导数、微分、边际与弹性 第6节 边际与弹性
E (ba ) (4)指数函数 f ( x ) ba 的弹性 x ln a ; Ex E (b ln ax ) 1 ; (5)对数函数 f ( x ) bln ax的弹性 Ex ln ax (6)三角函数的弹性 E (sin x ) E (cos x ) x cot x ; x tan x . Ex Ex
则任意销量 Q处的边际收益为 R(Q ) 40 0.04Q ,
由于 R( 30) 38.8 , R(80) 36.8 , R(1200) 0 .
这些数值说明:
销售第31件商品时收益增加38.8 元; (此时总收益为R( 31) 1240 1.24 1238 .76 ) . 销售第 81 件商品时收益增加 36.8 元; 销售第1201件商品时收益减少了.
求量乘以进价为C(P) = Q 10 = 10(80 2P) , 因此 L( P ) 100P 2 P 2 800 , 则 L' ( P ) 100 4 P , 令其为零可解出 P = 25 , 而
L'' ( 25) 0 ,
因此, P = 25 元时 L最大 , 此时 L(25) = 450 (元) .
定义2 设函数 y = f (x) 在点 x x0处可导. 函数值的 相对改变量 y f ( x0 x ) f ( x0 ) , y0 y0 x 与自变量的相对改变量 的比 x0
y / y0 x / x0 称为函数y = f (x)从 x x0到 x x0 x两点间的弹性. 而极限 y / y0 lim , x 0 x / x 0
2Q , 令其为零可解出 Q = 20 . 边际利润为 L' (Q ) 8 5 又 L'' ( 20) 0 , 因此 Q = 20 时总利润最大。
3.6 经济活动中的边际分析与弹性分析
收益函数、边际利润函数。
1、边际成本
生产一定数量的产品所需要的全部经济资源投入的费 用总额称为总成本, 设 TC(Q)为总成本,此处Q为产量.
边际成本为总成本函数关于产量Q的导数，记作MC，
即
MC TC (Q)
这说明当产量为100时，再增加一个单位产品的
生产，总成本将增加49；当产量为200时，再增加一
个单位产品，总成本将增加53.
2、边际收益 生产者出售一定量产品所得到的全部收入称为总收益,
单位产品的售价称为平均收益. 总收益对销售量的导数称
为边际收益.
一般用Q表示商品量, P为商品价格, TR表示总收益.
试求
解 因为 所以
p 5 元时的供给价格弹性.
Qs 0.8
p0 g ( p0 ) g ( p0 )
5 0.8 2 2 0.8 5
Es
p 5
该结果说明当价格在 p 5 元水平时， 若提价1%，
供给量将增加2%.
TC (100 ) 2000 45 100 0.02 100 2 6700
（2）当产量为100吨时的平均成本
6700 AC (100 ) 67 100
（3）当产量从100吨增加到200吨时，总成本的平均变化率
Q 200 100 100
，
TC TC (200 ) TC (100 )
它的经济含义是：当产销量达到 Q 时，再增加一个 单位产品的产销所增加的利润.
二、弹性分析 弹性作为一个数学概念是指相对变化率, 即相互依 存的一个变量对另一个变量变化的反应程度。用比例 来说, 是自变量变化 1% 所引起因变量变化的百分数。 弹性是一种不依赖于任何单位的计量法, 即是无量纲 的。弹性分析是经济数量分析的重要组成部分之一.
边际分析与弹性分析
边际分析与弹性分析边际分析和弹性分析是经济学中重要的概念和工具。
边际分析主要研究个体或单位在其中一决策上的最后一单位收益或成本，弹性分析则是研究个体或单位对外部影响的敏感程度。
边际分析是指在边际条件下，对单位变动的最后一个单位进行分析的方法。
边际成本是指增加或减少单位产量所引起的总成本的变化，边际效益是指增加或减少单位产量所引起的总效益的变化。
在做决策时，我们通常会比较边际成本与边际效益之间的关系，当边际效益大于边际成本时，持续增加产量，反之亦然。
这种比较的方法称为边际收益递减原理。
以生产为例，边际成本和边际效益可以用来优化生产过程。
当边际成本低于边际效益时，单位的生产成本还可以通过增加产量来降低，从而带来更多的利润。
但是，随着产量的增加，边际成本将逐渐增加，当边际成本高于边际效益时，增加产量将不再有利可图。
弹性分析是指个体或单位对其中一变量变化的敏感程度。
根据弹性的概念，我们可以衡量其中一变量的变化对其他相关变量的影响。
常见的有价格弹性、收入弹性等。
价格弹性衡量了消费者对产品或服务价格变化的敏感程度。
价格弹性大于1表示消费者对价格变化非常敏感，产品或服务的需求量会随价格的变动而显著变化。
价格弹性小于1表示消费者对价格变化不太敏感，产品或服务的需求量不会随价格的变动而显著变化。
收入弹性衡量了消费者对收入变化的敏感程度。
收入弹性大于0表示产品或服务的需求量与收入正相关，收入增加时需求量也会增加，收入弹性小于0表示产品或服务的需求量与收入负相关，收入增加时需求量会减少。
边际分析和弹性分析在经济学中起着重要的作用。
通过边际分析，我们可以优化决策，确定最优的产量或资源配置方案。
而弹性分析则帮助我们了解市场需求和供给的变化，指导企业和政府制定相应的决策策略。
例如，在企业的市场定价决策中，通过对价格弹性的分析，企业可以了解到市场对产品价格变化的敏感程度，进而决定是否降价来吸引更多的顾客。
另外，在政府的税收政策制定中，通过收入弹性的分析，政府可以了解到不同收入水平的人群对税收的敏感程度，进而制定相应的税收政策来实现贫富均衡或者调控经济发展。
导数在经济分析应用中_边际_与_弹性_的联系与区别_曾小凤
万元 ） ， ) 为产量数，当 ) % #$$$ & " ) ’ ($ + ) （ 万元） ， 表 其平均成本为： #$$ 时， )（ #$$） * #$$ % #+（ 示前 #$$ 台设备的平均成本为 #+ 万元； 其边际成本 * ） . % #$$ % /0 (（ 万 为 (, （ #$$） %（ " ’ ($ + +) 元） ，表示产量为 #$$ 时，若再生产一台该设备 （ 第 ， 其成本增加 /0 ( 万元。 #$# 台） 由此例可知， 若设 , 为某产品销售单价， 当 (, （ 意味着扩大生产量是盈利的； 而当 (, )$ ）1 , 时， （ 扩大生产量反而亏损。因此， 企业的经 )$ ） 2 , 时， 营者应及时准确了解边际成本的变化情况，并作出 正确的科学决策 （ 而不是盲目地一味扩大生产量） ， 从而使企业获得较佳效益。 则我们称极限 + 设函数 ! " # $ % & 是可导的， )! ! % )! % " % % % ・ -! ・ ・# 7 （ 345 345 %） ) % ) % ! ! ! -% ) 6, $ ) 6, $ %第>源自 +$$/ 年 < 月
闽西职业大学学报 bGTWJF3 GH V4J64 cGNFX4GJF3 )G33IKI
CG0 > QIZXI5]IW +$$/
导数在经济分析应用中“ 边际” 与“ 弹性” 的联系与区别
曾小凤
（ 龙岩财经学校，福建 龙岩 >:/$$$）
高数3-6边际与弹性
一、边际的概念 二、经济学中常见的边际函数 三、弹性的概念 四、经济学中常见的弹性函数 五、小结 思考题
一、 边际的概念
如果函数y f (x)在x0 处可导，则在(x0, x0 x) 内的
平均变化率为y x
；在x
x0
处的瞬时变化率为
lim f (x0 x) f (x0)
解 Q(P)dP2P,当P4时的边际需求为
dQ Q(P)P4 8
它的经济意义是价格为4时，价格上涨（或下 降）1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位.
练习题
1. 试就下列各总函数： (1)C（Q ） 3Q2 7Q 12
(2)L(Q) Q2 13Q 78 (3)R(Q) 12Q Q2 (4)C(Q) 35 5Q 2Q2 2Q3
x
y
的影响，即 f ( x ) 对 x 变 化 反 应 的 强 烈 程 度 或 灵 敏 度 。
Ey y x y y
Ex
y
x
弹性在经济学上又可理解为边际函数与平均函数之比。
四、 经济学中常见的弹性函数
1. 需求弹性
需求的价格弹性
需求的价格弹性是指当价格变化一定的百分比以后引起 的需求量的反应程度.用公式表示为
当需求价格弹性小于1时，降价反而会减少销 售收入
此时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度， 边际收益大于0，即价格上涨，总收益增加，价格 下跌，总收益减少；
当需求价格弹性等与1时，当价格的变化时， 总收益不变．
例 3 某商品的需求量 Q 关于价格 P 的函数为
Q 75 P 2
(1)求 P=4 时的需求的价格弹性，并说明其经济意义。
甲商品每单位价格5元，涨价1元；
相对改变量
边际分析与弹性分析
并 说 明 其 经 济 意 义.
（二）弹性分析
1.相对改变量、相对变化率
定义： 设函数y f(x)在x x0处可导， 函数的相对改变量
y f ( x0 x) f ( x0 ) ,与自变量的相对改变量x 之比
y0
f ( x0 )
x0
y x
/ /
y0 x0
称 为f
( x)从x0到x0
x两 点 间 的 平 均 相 对 变 化率 或
L(Q)取最大值必要条件：L'(Q) 0,即R'(Q) C'(Q)
(边际收益＝边际成本）
充分条件：L''(Q) 0,即R''(Q) C''(Q)
(边际收益的变化率<边际成本的变化率）
最大利润原则：R'(Q) C'(Q) , R''(Q) C''(Q)
略:3、常见函数的弹性：
(1) f ( x) C的弹性EC 0； Ex
ln ax
(6) f ( x) sin x的 弹 性E(sin x) x cot x; Ex
f ( x) cos x的 弹 性E(cos x) x tan x. Ex
4、弹性的四则运算：
1. E( f ( x) g( x))
f ( x) Ef ( x) g( x) Eg( x)
Ex
Ex tan
A
）
o
（
x
在曲线上任一点A处对应的弹性,只要过A点作曲线的 切线与线段OA,它们与x轴夹角的正切值之比即所求。
两 点 间 的 弹 性。
lim
x0
y x
/ /
y x
0 0
边际函数与弹性
第2章 边际函数与弹性2.1 一元经济函数的边际函数1、定义：将函数的导数称为边际函数2、边际成本函数 '0()limQ C C Q Q∆→∆=∆ ，也记为MC ,显然'()0C Q >3、边际成本与平均成本的关系由于产量0Q >，则当'()()C Q C Q <时，'()0C Q <，此时增加产量将使平均成本减少当'()()C Q C Q >时，'()0C Q >，故增加产量将使平均成本增加4、边际收入函数'()R Q ,也记为MR企业在产量为Q 时，再生产并销售一个单位的产品所增加的收入的近似值，也是销售最后一个单位的产品所得到收入的近似值，即最后那个单位产品的售价 5、边际利润函数'()L Q企业销售最后一个单位产品或多销售一个单位产品所得到的利润的近似值'()L Q ='()R Q -'()C Q6、边际效用函数'()f x ，记作MU 表示消费者第x 单位的商品所获得的效用 效用函数为增函数，有'()0f x >；边际效用'()f x 为单调减函数，称为边际效用递减规律，有''()0f x < 7、边际消费倾向dCdY，记为MPC 表示收入增加一单位时消费相应的增加量，即这一单位收入中被用来消费的部分 边际储蓄倾向dSdY，记为MPS 表示收入增加一单位时储蓄的增加量 关系：0,1dC dS dY dY <<且1dC dS dY dY+= 8、如果经济量y 是时间t 的函数()y t φ=，则其导数'()t φ表示t 时刻经济量的绝对变化速度，即单位时间内经济量变化值的近似值。
2.2 由边际、变化速度求总量函数1、设总量函数()P x 可导，其导数（即边际函数）为'()P x ，则有总量函数'()()P x P x dx =⎰其中的积分常数可由某一点的总量函数值确定。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
的需求函数为P
P(Q)
10e
Q
2，其中Q为需求量，
P为价格，且最大需求量为6．求该商品的收益函数
和边收益际函数．
解
Q
收 益 R (Q ) 函 P Q 1 数 Q 02 e (0Q 6 )
Q
边际收 R (Q )益 5(2 函 Q )e数 2(0Q 6)
3. 边际利润
定义：总利润L函 (Q)数 的导数
例 2 设某产品生产Q 单位的总成本为
Q2 C (Q ) 1100 1200 ， 求：(1)生产 900 个单位的总成本和平均成本； (2)生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成 本的平均变化率； (3)生产 900 个单位的边际成本，并解释其 经济意义.
解 (1)生产900个单位时的总成本为
显 然, 边 际 利 润 可 由 边 际 收 与入 边 际 成 本 决, 定
C(Q) R(Q) C(Q) 时,
C(Q)
0 L(Q) 0
0
例 5 某工厂对其产品的销售情况进行大量统计分析
后，得出总利润 L(Q) (元)与每月产量 Q (吨)的关
系为 L L(Q) 250Q 5Q 2 ，试确定每月生产 20 吨， 25 吨，35 吨的边际利润，并做出经济解释．
9020
C(Q) 110 0 1775
Q900
1200
平均成本为
C(Q)
17751.99
Q900 900
（2）生产900个单位到1000个单位时总成本的 平均变化率为
C (Q )C (10 ) C 0 (90)0 1 09 1 97 3 1 7 .55 8 Q 10 9 00 00 100
平 均 成 C(本 Q)的 导 数
C(Q)CQ (Q)
QC(QQ)2C(Q)称
为
平
均
边.
际
总 成 C (Q )等 本于 固 C 0与 定可 成 C 变 1(本 Q )之 成和 本 即C ： (Q )C 0C 1(Q )
而边际成本则为： C(Q) [C0 C1(Q)] C1(Q)
这样可以看出，边际成本与固定成本无关．
解 Q(P)dP2P,当P4时的边际需求为
dQ Q(P)P4 8
它的经济意义是价格为4时，价格上涨（或下 降）1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位.
练习题
1. 试就下列各总函数： (1)C（Q ） 3Q2 7Q 12
(2)L(Q) Q2 13Q 78
(3)R(Q) 12Q Q2 (4)C(Q) 35 5Q 2Q2 2Q3
平均R收 益 R(Q) 25517 Q15 Q Q15 15
边 际 R (Q 收 ) 益 (2 02Q ) 14
Q 1 5
5 Q 15
当 销 售1量 5个从 单 位 增 20个 加单 到位 时 收 益化的率平为均
RR(20)R(15) 32025513
Q 2015
5
例4.当某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品
例3 设某产品的需求函数为P20Q， 其中P为
5
价格，Q为销售量，求销售量为15个单位时的总
收益，平均收益与边际收益．并求销售量从15个
单位增加到20个单位时收益的平均变化率． 解 总收 R 益 Q(Q P 为 )2Q 0Q 2
5
销售 15个单位时
总收R 益
Q2 (20Q )
255
Q1 5
5
Q1 5
该值表明：当 x 5时，x 改变 1 个单位（增加 或减少 1 个单位），y 改变 10 个单位（增加或 减少 10 个单位）．
二、 经济学中常见的边际函数
1. 边际成本
1)边际成本
总成本 C(Q )函 的数 导数
C(Q )Li m CLiC m (QQ )C(Q )
Q 0Q Q 0
Q
2)边际平均成本：
4. 边际需求
定义 若 Qf(P)是 需 求 函 数 ， 则 需 求 量 Q 对 价 格 P 的 导 数 dPf(P)称 为 边 际 需 求 函 数 . dQ
例 6某 商 品 的 需 求 函 数 为 Q Q (P ) 7 P 52， 求 P4 时 的 边 际 需 求 ， 并 说 明 经 济 意 义 ．
求：（1）边际函数； （2）Q=3,Q=5 时的边际函数值。并说明经济 意义 2. 就下列各函数求其 MR 函数，并在 Q=4 和 Q=5 时求其值：
第六节 边际与弹性
一、边际的概念 二、经济学中常见的边际函数 三、弹性的概念 四、经济学中常见的弹性函数 五、小结 思考题
一、 边际的概念
如果函数y f (x)在 x0 处可导，则在(x0, x0 x) 内的
平均变化率为y x
；在x
x0
处的瞬时变化率为
lim f (x0 x)
x0
x
f (x0)
解 边际利 L(Q )润 2为 51 0Q 0,则
L(Q) L(2)050 Q20
L(Q ) L(2)5 0
Q 25
L(Q) L(3)5100
Q35
上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50 元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨 时，再增加一吨，利润将减少100．此处说明，对厂家来说，并非 生产的产品越多，利润越高.
f (x0)
，
经济学中称它为f (x)在x x0处的边际函数值.
定义1 设函数 y f (x)在 x处可导，则称导数 f (x)
为 f (x)的边际函数． f (x)在 x0处的值 f (x0 )为边 际函数值．即当 x x0时，x改变一个单位， y改 变 f (x0 )个单位．
例1 设函数 y x2，试求 y在 x 5时的边际函数值． 解 因为 y 2x，所以 y x5 10．
(3)边际成C本 (Q)函 2Q数 Q,当 Q900 1206 000
时的边际C成 (Q) 本1.5 Q900
2. 边际收益
定义：总 收 益R函 (Q)的 数导 数
R(Q)LimRLimR(QQ)R(Q)
Q0Q Q0
QБайду номын сангаас
称为边际收. 益函数
设 P 为价 PP (格 Q )， ， 因此 R (Q )P Q Q P (Q )， R (Q )P (Q )Q P (Q )
L(Q)LimLLimL(QQ)L(Q)
Q0Q Q0
Q
称为边际. 利润
边际利润表示：若已经生产了Q单位产 品，再生产一个单位产品所增加的总利润．
一般情况下，数 总 L(Q利 )等润 于函 总收益函数 R(Q)与总成本 C(函 Q)之 数差．即
L(Q) R(Q)C(Q),则边际利润为
L(Q) R(Q)C(Q)