解一元二次方程(直接开平方法)教学设计
用直接开平方法解一元二次方程教学设计
（2）（2x+3）2+3=0
（3）4x2－4x+1=0
（4）9（x－1）2－4=0
教师最好书写一个完整的解题过程，给学生以示范作用．在直接开平方时注意符号，这答给以总结．
在活动中教师应当重点关注：
（1）学生能否独立完成；
（2）学生中存在的问题，
用直接开平方法解一元二次方程
一、教学任务分析
教
学
目
标
知识技能
（1）会用开平方法解形如 的一元二次方程．
（2）能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，并对其进行取舍．
数学思考
通过利用配方法将一元二次方程变形的过程，体会“等价转化”的数学思想方法。
解决问题
能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。
学生尝试独立完成,教师参与指导．
教师应重点关注：
（1）学生所列方程的正确性；
（2）学生能否有意识地去使用开平方的方式求解．
（3）学生对结果的选择是否恰当．
这里要强调方程的特点．
教学时要引导学生一起分析式子，指出式子的特点：一边是未知数的平方，另一边是常数的方程．
老师点评：
1、同学们在交流中体会利用平方根的意义来解一元二次方程的方法．
课本36页练习．
课本45页习题2、3．
学生自己总结，教师完善．
教师关注不同层次学生对本节问题的理解、掌握程度．
学生独立完成，教师批改．
教师重点关注：
学生作业中存在的问题，要有针对性进行分析．
学生通过小结，巩固本节知识，养成反思习惯．
教师了解教学效果，及时调整教学．
（3）学生的交流中是否有理论的支撑，对方法理解的是否深刻．
21.2 解一元二次方程(直接开平方法)(教学设计)
章节名称21.2 解一元二次方程（直接开平方法）编号课型新授课备课人上课时间年月日教学目标知识与技能：1)利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程。
2)利用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程。
过程与方法:回顾平方根的知识，通过对实际生活中的问题列出一元二次方程，通过整理并求解的过程，让学生初步掌握利用直接开平方解一元二次方程（形如：x2＝p(p≥0）的方法，再通过数学转换的方法，将一个一元二次方程（形如：(mx＋n)2＝p(p≥0)）“降次”为两个一元一次方程，这样就可以通过解一元一次方程来求一元二次方程的解。
情感态度与价值观：1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识。
教学重点运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程。
教学难点通过平方根的意义解形如x2＝p(p≥0)的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p ≥0)的一元二次方程。
板书设计21.2 解一元一次方程（直接开平方法）一般地，对于方程x2＝p，1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根p2xpx1-==，；2)当p＝0时，根据平方根的意义，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程无实数根。
教学过程教学环节教生活动设计意图导入新课【课前回顾】师：求下列各数的平方根 1）169 2）8125生：1）±135[多媒体展示][课前回顾]对于方程x2=p，1）当p= 4时，求方程的解？2）当p= 0时, 求方程的解？3）当p=-4时, 方程有解吗?为什么?师：尝试求解方程？生：1）x1=2, x2=﹣22）x1=x2=03）无解，当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程无解【情景导入】[多媒体展示][情景引入]一桶油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗?师：列出方程，观察方程的样式，解方程求出棱长？生：设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，则列出方程为：10×6x2=1500 ，化简整理，得x2=25，据平方根的意义，得x=±5,即x1=5, x2=﹣5。
直接开平方法解一元二次方程教案
直接开平方法解一元二次方程教案教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程"降次"，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程"降次"──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n （n≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，•P、Q都从B 点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？老师点评：问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2 ．问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2则PB=x，BQ=2x依题意，得：x·2x=8x2=8根据平方根的意义，得x=±2即x1=2，x2=-2可以验证，2和-2都是方程x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2．二、探索新知上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2即2t+1=2，2t+1=-2方程的两根为t1=-，t2=--例1：解方程：x2+4x+4=1分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：由已知，得：（x+2）2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x1=-1，x2=-3例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．（学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程"降次"，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为"降次转化思想"．三、巩固练习教材P36 练习．四、应用拓展例3．某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，•那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）当成一个数，配方得：（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6方程的根为x1=10%，x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p （p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．六、布置作业教材P45 复习巩固1、2．。
直接开平方法说课稿人教版
直接开平方法说课稿人教版直接开平方法教学设计一、教学目标1. 知识与技能目标：学生能够理解并掌握直接开平方法的概念，能够运用该方法解决一元二次方程的求解问题。
2. 过程与方法目标：培养学生观察、分析问题的能力，通过实例引导学生发现并总结直接开平方法的规律。
3. 情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生勇于探索和合作交流的精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：明确直接开平方法适用的一元二次方程类型，掌握求解步骤。
2. 教学难点：学生对于何时使用直接开平方法的判断，以及对方程特殊情况的处理。
三、教学准备1. 教学工具：多媒体课件、黑板、粉笔、教学挂图等。
2. 学生准备：预习一元二次方程的相关知识，准备练习本和笔。
四、教学过程1. 导入新课通过回顾一元二次方程的解法，引出直接开平方法，并提出问题：“当一元二次方程的左边是完全平方时，我们能否直接开平方求解？”2. 讲解新知（1）介绍直接开平方法的定义和适用条件。
（2）通过具体例子，演示直接开平方法的求解步骤。
（3）总结直接开平方法的操作要领。
3. 课堂练习设计不同难度的练习题，让学生尝试使用直接开平方法解题，教师巡回指导，及时解答学生疑问。
4. 归纳总结邀请学生分享解题过程和心得，教师点评并总结直接开平方法的关键点。
5. 拓展延伸探讨直接开平方法在其他数学问题中的应用，如二次函数的顶点求解等。
五、作业布置1. 完成课后习题中与直接开平方法相关的题目。
2. 自主寻找并解决生活中的实际问题，尝试运用直接开平方法。
六、板书设计```一元二次方程的解法——直接开平方法适用条件：方程左边为完全平方求解步骤：1. 观察方程，确认是否符合直接开平条件2. 对方程两边同时开平方3. 求解得到的一元一次方程注意事项：- 检查开平方后的式子是否正确- 注意正负号的处理```七、教学反思1. 学生掌握情况：通过课堂练习和作业反馈，了解学生对直接开平方法的掌握程度。
直接开平方法--教学设计
22.2．1一元二次方程的解法——直接开平方法教学设计《直接开平方法解一元二次方程》教学设计一、内容和内容解析：1、内容：本节课选自华东师大版教材，九年级上册第22章第2节第1课时，直接开平方法解一元二次方程。
2、内容解析：本节课作为一元二次方程解法的起始课，以平方根的定义、性质及开平方运算为基础，以一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程的求解方法做铺垫进行的研究，这一方法的引入，也为后面学习解一元二次方程的方法以及研究二次函数与x轴交点等问题起到了铺垫作用。
因此本节课的学习不仅能够让学生掌握这一求解方法，还可以进一步体会类比、换元、转化这些重要的数学思想方法在解方程过程中的体现。
基于以上内容分析，确定本节课的教学重点：会用开平方法解形如2(0)=≥的一元二次方程。
x a a二、目标和目标解析1.目标：（1）经历课前自学、问题情境探究归纳的过程，理解直接开平方法解一元二次方程的思路；（2）通过自主研究、合作交流，深化对新知的理解；（3）通过解方程的过程，感悟类比、转化等重要的数学思想方法。
2.目标解析：（1）学生通过“问题提纲”进行课前自学，课上小组梳理问题答案的过程发现新知，在已有平方根的定义、性质及开平方运算等知识的基础上，感悟开平方法所适应方程的形式，进行小组讨论深化新知，体验成功的喜悦。
（2）教师通过层层递进的相关问题，启发引导，让学生通过小组合作探究、进行成果展示、开展组间活动等形式的讨论，理解形式较为复杂的一元二次方程如何用直接开平方法求解。
（3）教师提出合适问题引发学生通过小组讨论，进行深入思考。
进而得出解一元二次方程的核心思想为降次，解方程及方程组的核心思想为转化（划归），即都转为为一元一次方程。
三、教学支持及条件分析：1、教学方式：采用自主探究，合作交流的学习方式，与问题式教学相结合的教学方式；2、教学支持：教师提供“问题提纲”，将6-8人分为一组，借助幻灯片、展台等电子设备辅助教学；3、教学思路：本节课以“问题提纲”为主线，由浅入深，从易到难，通过归纳、类比，进一步理解数学，把握数学。
21.2.1.1解一元二次方程配方法直接开平方法课堂(教案)
1.对于配方技巧，我将设计更多的练习题，让学生在实践中逐步掌握。
2.加强课堂互动，鼓励学生提问，及时发现并解决他们在学习中遇到的问题。
3.组织课堂小结，让学生总结所学知识点，加深记忆。
4.注重培养学生的表达能力，提高他们在小组讨论和成果分享环节的表现。
2.教学难点
-配方的技巧：学生在配方时常常难以找到合适的m和n，这是教学的难点。需要通过具体例题和反复练，帮助学生掌握配方技巧。
-平方根的理解：直接开平方法要求学生对平方根有深刻的理解，包括正数、零和负数的平方根。难点在于如何让学生理解负数的平方根是虚数，并在实际应用中正确处理。
-方程解的多样性：一元二次方程可能有两个实数解、一个重根或无实数解。难点在于让学生理解这些情况的发生条件，并能够准确判断。
举例：对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，难点在于配方时如何选择m和n，以及如何处理解为x = 3或x = 2的情况，同时也要让学生理解为何x^2 + 1 = 0无实数解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《解一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（如购物时计算折扣后的价格）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索解一元二次方程的奥秘。
其次，学生在小组讨论环节提出了很多有创意的想法，这充分体现了他们的思考能力。但在分享讨论成果时，我发现有些学生表达不够清晰，逻辑性有待提高。在今后的教学中，我需要多关注学生的表达能力，鼓励他们用简洁明了的语言阐述自己的观点。
“直接开平方法解一元二次方程”教案
沪科版八年级数学下册17.2.1 直接开平方法解一元二次方程教学教案姓名：吴漫单位：宿松县套口初中学科：初中数学课题：直接开平方法解一元二次方程教学目标知识与技能1、熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的根。
2、理解一元二次方程“降幂”——转化的数学思想。
过程与方法在学习与探究中让学生体会“转化”、“整体”与“分类讨论”的数学思想及运用类比进行学习的方法，培养学生发现问题、解决问题的能力。
情感、态度与价值观在学习中体会愉悦与成功感，感受数学学习的价值。
重点难点重点熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解。
难点从)0(2≥=n n x 的形式迁移到其他形式。
教学过程一、复习引入1、什么是平方根？2、一个数的平方根有哪些情况？二、探究新知探究（1）：如何解方程：42=x ？引导学生从平方根的定义去解方程。
举一反三：如何解下列方程：（1）022=-x （2）622=x （3）0942=-x 学生分组讨论，教师点评。
板书课题，指出什么叫做直接开平方法解一元二次方程。
指出通过开平发达到降幂的作用——转化思想的应用。
探究（2）：如何解方程：9)1(2=-x引导学生类比42=x 去解方程，同时培养学生的整体意识。
举一反三：如何解下列方程：（1）06)2(2=-+x （2）9)3(42=-x （3）01)3(22=--x 学生分组讨论，教师点评，方程（3）板书。
总结：以上方程都可以转化为B A =2（A 含有未知数，B 是非负常数）的形式，它们都可以用直接开平方法来解。
三、课堂练习解下列方程：（1）4)1(2=-x （2）05)32(2=-+x （3）025)4(2=+-x 分组练习，学生板演，教师巡回指导。
解释方程（3）没有实数根。
四、深化提高探究（3）如何解方程：22)12()1(-=+x引导学生类比9)1(2=-x 即223)1(=-x 去解方程，培养学生的转化意识。
举一反三：解方程：22)2()12(+=+x x学生分组讨论，教师点评并板书。
九年级数学上册(人教版)21.2解一元二次方程(直接开平方法)优秀教学案例
1.通过举例、讲解等方式，引导学生理解平方根的概念，为学习直接开平方法打下基础。
2.设计多个层次的练习题，让学生在练习中掌握直接开平方法的基本步骤，注意一些易错点。
3.引导学生总结直接开平方法的应用规律，提高解题效率。
在教学过程中，我将采用“问题-探究”的教学方法，引导学生通过举例、观察、分析等方法，自主地发现和总结平方根的概念。然后，我将结合学生的认知规律，设计一系列由浅入深的练习题，让学生在实践中逐步掌握直接开平方法的基本步骤，并注意一些易错点。在学生掌握基本方法后，我将引导学生总结直接开平方法的应用规律，提高他们在解题过程中的效率。
2.直接开平方法：在学生理解平方根的概念后，我会引入直接开平方法。我会通过讲解和示例，引导学生掌握直接开平方法的基本步骤。首先，我会让学生观察和分析一些具体的一元二次方程，使他们能够发现直接开平方法的应用规律。然后，我会引导学生总结直接开平方法的一般步骤，如确定方程的根的性质、求出方程的平方根、检验平方根是否为方程的解等。
（三）学生小组讨论
1.设计讨论问题：我会提出一些与本节课内容相关的问题，让学生进行小组讨论。例如，探讨直接开平方法在实际问题中的应用，讨论解一元二次方程时可能遇到的问题及解决方法等。
2.组织学生进行讨论：我会让学生分组进行讨论，鼓励他们积极发表自己的观点和想法。在讨论过程中，我会巡回指导，给予学生必要的帮助和提示。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解直接开平方法的概念，掌握其解题步骤。
2.能够运用直接开平方法解一元二次方程。
3.了解直接开平方法在实际问题中的应用。
在教学过程中，我将以生动的语言、形象的比喻和具体的例子，帮助学生理解直接开平方法的概念，使他们能够清晰地认识到直接开平方法的特点和作用。通过大量的练习题，让学生在实践中掌握直接开平方法的解题步骤，使他们能够熟练地运用该方法解决实际问题。
一元二次方程直接开平方法的教案
一元二次方程直接开平方法的教案(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一元二次方程直接开平方法的教案一元二次方程直接开平方法的教案范文教学目标1。
理解直接开平方法与平方根运算的联系，学会用直接开平方法解特殊的一元二次方程；培养基本的运算能力；2。
知道形如（px+q）2＝（p≠0，≥0）的一元二次方程都可以用直接开平方法解．培养观察、比较、分析、综合等能力，会应用学过的知识去解决新的问题；3。
鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，体会解方程过程中所蕴涵的化归思想、整体思想和降次策略。
教学重点及难点1、用直接开平方法解一元二次方程；2、理解直接开平方法中的整体思想，懂得（px+q）2＝（p≠0，≥0）的一元二次方程都可以用直接开平方法解教学过程设计一、情景引入，理解方法看一看：特殊奥林匹克运动会的会标想一想：在2006年的特殊奥林匹克运动会的筹备过程中制玩具节举办的更加隆重，XX学校将在运动场搭建一个舞台，其中一个方案是：在运动场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台，那么请问这个舞台的`各边边长将会是多少米呢？解：由题意得：x2=144根据平方根的意义得：x=±12∴原方程的解是：x1=12，x2=—12∵边长不能为负数∴x＝12了解方法：上述解方程的方法叫做直接开平方法．通过直接将某一个数开平方，解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．【说明】用开平方法解形如ax2+c=0（a≠0）的方程有三种可能性，学生归纳是难点，教师要在学生具体感知的基础上进行具体概括。
通过两个阶段联系后的探究意在培养学生探究一般规律的能力。
．第三阶段：怎样解方程（1+x）2=144？请四人学习小组共同研究，并给出一个解题过程．可以参考课本或其他资料．小组长负责清楚的记录解题过程．第四阶段：众人齐心当考官！请各四人小组试着编一个类似于（x+1）2=144这样能用直接开平方法解的一元二次方程．1、分析学生所编的方程．2、从学生的编题中挑出一个方程给学生练习．3、出示：思考：下列方程又该如何应用直接开平方法求解呢？4（x＋1）2－144＝0归纳：形如（px+q）2＝（p≠0，≥0）的一元二次方程都可以用直接开平方法解。
人教版九年级数学上册21.2.1《用直接开平方法解一元二次方程》教学设计
人教版九年级数学上册21.2.1《用直接开平方法解一元二次方程》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册21.2.1《用直接开平方法解一元二次方程》是本册教材中关于一元二次方程解法的一个知识点。
学生在学习本节课之前，已经掌握了一元一次方程的解法、不等式的解法以及二次根式的性质和运算。
本节课通过实例引入直接开平方法解一元二次方程，让学生掌握一元二次方程的解法，为后续学习一元二次方程的应用和更深入的数学知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于方程、不等式等知识有一定的了解。
但学生在解一元二次方程时，仍存在一定的困难，尤其是对于开平方法的运用和理解。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、分析、归纳等方法，深入理解直接开平方法解一元二次方程的原理和步骤。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的直接开平解法，能运用该方法解一元二次方程。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，让学生学会用数学思维解决问题。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的直接开平解法。
2.难点：对直接开平方法解一元二次方程的理解和运用。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生发现规律。
2.实例分析法：教师通过具体实例，讲解一元二次方程的直接开平解法。
3.小组讨论法：学生分组讨论，交流解题心得，共同解决问题。
六. 教学准备1.教材：人教版九年级数学上册。
2.课件：教师根据教材内容制作课件。
3.练习题：针对本节课内容，准备适量的一元二次方程练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾一元一次方程的解法，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）教师通过课件展示一元二次方程的直接开平解法，让学生观察、分析，引导学生发现解题规律。
3.操练（15分钟）教师给出具体的一元二次方程实例，让学生分组讨论，运用直接开平方法解方程。
教案：一元二次方程的解法1(直接开平方法)
教案：一元二次方程的解法1(直接开平方法)一元二次方程及其解法（直接开平方法）一、教学目标：1、知识目标：经历由实际问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。
2、能力目标：了解一元二次方程的概念和它的一般形式ax2+bx+c= 0（a≠0），正确理解和掌握一般形式中的a≠0，“项”和“系数”等概念；会根据实际问题列一元二次方程；会用直接开平方法法解一元二次方程。
3、情感目标：体会转化的思想方法。
二、教学重点：正确理解和掌握一般形式中的a≠0，“项”和“系数”等概念；会用直接开平方法法解一元二次方程三、教学难点：理解直接开平方法与平方根的定义的关系，会用直接开平方法解一元二次方程。
四、教学类型：新授。
五、教学过程：一、做一做：1．问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？分析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x(x＋10)＝900整理可得x2＋10x－900=0. （1）2．问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程5（1＋x）2=7.2,整理可得5x2＋10x－2.2=0. （2）3．思考、讨论这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？（学生分组讨论，然后各组交流）共同特点：（1）都是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2 复备区二、一元二次方程的概念上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.2ax通常可写成如下的一般形式：ax＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)。
《直接开平方法解一元二次方程》教案
m (m ≥0)n ）2=m( m 学生经历知识探索的过程，体会用直接开平方法解一元二次方程的过程中的转化思想和分类讨论的思想，提高学生的观察分析能力和运算能力。
2
)(0)n m m 的一元二次方程都可以用
220y （ ）35x ( ) 26x ( )
2
8)144( ) 222)325x x （）2
350x ( ) ⑧240a ( )
知方程1(1)250m m x x 是一元二次方程，_______
35x ，40， 你认为哪几个方程可以根据曾经学
过的知识求出解来？请说说你的看法。
经过学生的观察可以发现方程2
40
a 可以用平方根的定义来解出方程的根。
40可以转化为4。
方程的解就是4的平
对于方程2
(8)144m 。
可以把 8m 看做一个整体，
的平方根，从而可以求出这两个方程的解。
（学生进行分析，老师适当补充） 给出规范的解题格式： 40
解：方程化为：24a ，
直接开平方得：2a
2 2
2x 2
8)144
解：直接开平方得： 812m
812得：4m
812得：16m
引出直接开平方法定义： 直接开平方法：凡是形如2x =m(m ≥0)方的方法来求它的解，这种解法叫直接开平方法。
学并论 师生操作。
《用直接开平方法解一元二次方程》教案
21.2解一元二次方程21.2.1 用直接开平方法解一元二次方程教案教学目标：1．会利用开平方法解形如x 2＝p(p ≥0)的方程；2．初步了解形如(mx ＋n)2＝p (p ≥0)方程的解法；3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．教学重点：运用直接开平方法解形如(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的一元二次方程．教学难点：通过平方根的意义解形如x 2＝p(p ≥0)的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的一元二次方程．教学方法：启发式、小组合作探究法教学用具:多媒体，教学过程：1、 复习回顾：求下列各数的平方根： （1）144 （2）49 （3）24 （4） 自主探究：1、若x 2＝p(p ≥0)则x=______;2、若(mx ＋n)2＝p(p ≥0)，则x=______;3、若0162=-y ，则y=_______;4、若5)32(2=-y ，则2y-3=____,即y=_______.归纳：一般地，对于方程x 2＝p ，(1)当p >0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根，x 1＝－，x 2＝；(2)当p ＝0时，根据平方根的意义，方程有两个相等的实数根，x 1＝x 2＝0；(3)当p <0时，根据平方根的意义，方程无实数根．2、 当堂演练：知识点一：形如x 2＝p(p ≥0)的方程的解法：1、下列方程能用直接开平方法求解的是 （ ）A 、5x 2+2=0B 、4 x 2-2x+1=0C 、4)2(2=-x D 、3x 2+4=2 2、方程100x 2-1=0的解为 （ ） A 、1011=x ，=2x -101； B 、=1x 10，=2x -10； C 、=1x =2x 101； D 、=1x =2x -101； 3、一元二次方程16 x 2=25的解为=1x ＿＿＿＿ ， =2x ＿＿＿＿＿． 4936４、用直接开平方法解一元二次方程：（1）x 2=16； （2）4 x 2-1=0知识点一：形如(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的方程的解法：5、方程4)2(2=-x 的解x=_______;6、对于形如(x ＋m)2＝n 的方程的解，它的解的正确表达式是 （ ）A 、x=n ±B 、当n 0≥时,x=m n ±C 、当n 0≥时,x=-m n ±D 、当n 0≥时,x=m n -±7、方程3(1-2x)2-27=0的根为 （ ）A 、2B 、-1C 、2或-1D 、1或28、解下列方程：（1）(x-3)2-9=0； （2）2(x-1)2=4（3）4(x+1)2=41 （4）(2x+1)2=25 课堂小结：1、化为形如x 2＝p (p ≥0)的形式再求解；2、化为形如 (mx ＋n)2＝p (p ≥0) 的形式再求解。
《直接开平方法解一元二次方程》教学设计
授课题目
直接开平方法解一元二次方程
授课学时
第 1 课时
课型
讲授□ 讨论□ 习题□ 复习□ 其他□
教ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
学
目
标
知识目标
会用直接开平方法解一元二次方程。
能力目标
明白直接开平方法解一元二次方程的思路，确定降次思想。
情感态度价值观
通过小组合作，形成积极思考与乐于探究的学习态度。
德育目标
加深对化归的数学思想的理解，培养学生的数学思维能力
教学重点
理解直接开平方法解一元二次方程的思路。
教学难点
会用直接开平方法解一元二次方程。
多媒体课件
教学过程
备注
一、创设情境 导入新知
问题1 一桶油漆可刷面积为1500平方分米，小明用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体盒子的外表面，求此盒子的棱长。
解：设一个盒子的棱长为x分米，则这个盒子的表面积为6，所以可列方程为10×6 2=1500，整理得x2=25 解得x1=5，x2=-5（舍去）
问题2 请解下列方程
（1）x2=3 （2）2x2-8=0 （3)x2=0 (4)x2=-5
请问这些方程有什么共同的特征 ？
总结：上述方程都可化为形如x2=p的形式
（1）当p>0时，方程有两个不相等的实数根
（2）当p<0时，方程有两个相等的实数根 x1=x2=0
（3）当p=0时，无实数根
二 例题详解
（1）（x+3）2=9 （2）x2+4x+4=9
解：x+3=3或x+3=-3 解： （x+2）2=9
x1=0，x2=-6 x+2=3或x+2=-3
九年级上册《直接开平方法解一元二次方程》教案新人教版
九年级上册《直接开平方法解一元二次方程》教案新人教版一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．问题2．如图，在△ABc中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s•的速度移动，点Q从点B开始，沿Bc边向点c以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，Bc=12cm，•P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8cm2？问题1：根据完全平方公式可得：（1）164；（2）42；（3）（）2．问题2：设x秒后△PBQ的面积等于8cm2则PB=x，BQ=2x依题意，得：x·2x=8x2=8根据平方根的意义，得x=±2即x1=2，x2=-2可以验证，2和-2都是方程x·2x=8的两根，但是移动时间不能是负值．所以2秒后△PBQ的面积等于8cm2．二、探索新知上面我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？分析：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．解：由已知，得：（x+2）2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x1=-1，x2=-3例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：设每年人均住房面积增长率为x，则：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20%，x2=-2.2。
部优：《直接开平方法解一元二次方程》教学设计
《直接开平方法解一元二次方程》教学设计一、教学内容分析一元二次方程的求解是初中代数学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视.教材曲浅入深地呈现问题，实际背景引入T从已有经验中总结解方程的一般思想方法(化归为一元一次方程)T类比解二元一次方程组的消元法得到解一元二次方程的思路(降次)，即从简单、具体、特殊的一元二次方程(如x2=169, 10x6x^1500；(2X-1)2=5等)入手探索降次的一般方法(直接开平方法).其中，方程/二p, (mx+n)2二p的解法具有奠基作用，特别是对p的分类讨论，蕴含了对判别式的分类讨论，所以要认真体会分类讨论是山平方根的运算法则决定的.进一步再探究用直接开平方法解形如(mx+n)2 = (qx + k)2 , mx'+2mnx+n‘二p 的一元二次方程.整个探究过程，非常好地渗透了整体、转化和分类讨论的数学思想.因此这不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课.二、学情分析学生已经学习了数的开方，知道平方根的意义，学习了一元一次方程的解法和实际应用，知道可以利用运算律、等式的基本性质，通过去括号、移项、合并同类项等求解•学生还学过二元一次方程组以及三元一次方程组的解法和实际应用，知道可以通过消元将它们转化为一元一次方程.这为学生学习解一元二次方程打下了方法基础.通过类比学习，学生可以很自然地接受解一元二次方程的降次思想.与一元一次方程、二元一次方程组的解法相比，一元二次方程的解法涉及更多的知识，学生可以根据方程的具体特点，选择相关的知识和方法进行求解.这为培养学生的思维品质，特别是思维的敬捷性、灵活性、深刻性，提供了很好的机会.三、教学目标1.理解直接开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义.2.会用直接开平方法解形如x-p, (mx+n)2二p的一元二次方程.3.会用直接开平方法解形如(mx+n)2 = (qx + k)2 , mx，+2mnx+n'二p的一元二次方程.4.通过对直接开平方法的探索，体会整体、转化、降次、分类讨论的基本思想.•重点难点根据平方根的意义，会用直接开平方法解形如X?二p, (mx+n)-p的一元二次方程；会用直接开平方法解形如(mx+n)2 = (qx + k)2 , mx'+2mnx+二p的一元二次方程.四、评价设计学习评价量表巩固方法加深理解练习1用直接开平方法解下列一元二次方程：(1)(2X-1)2=5；(2)(x+2)2二0；(3)x'+4二0：(4 ) 16(2x+l)2 二(x-3)2；(5) x'+6x+9二16.在练习1中，教师应关注学生对整体思想的运用，以及对平方根的理解.练习2将下列一元二次方程转化为形如(mx+ n)2二p的形式，再利用直接开平方法求解.(1)xJlOx+25二0；(2)4X2+16X+16=1；(3)x2x + —=1；2 16(4)9X2+6X+1=9.1•先独立完成各题，再互相纠错，弄清原因，将方程(2x-l )2 二5中的2xT看作一个整体，根据平方根的概念，得到2x-l=- 这样，我们只需解2x-l=>/5 ,2x-l=- 巧这两个一元一次方程.对于方程(X-2)2 二0,根据平方根的概念可知x+2=±J市，此时方程有两个相等的实数根X|二X2二-2.对于方程X2+4=0,将其变形为x?二-4.我们发现，根据平方根的概念，任何一个实数的平方都不可能是负数.也就是说，没有一个实数能使得方程左右两边相等,所以此方程没冇实数根.检验学生对直接开平方法解一元二次方程的掌握情况，同时检验学生对整体思想以及完全平方公式的掌握程度.的解法，依据的都是平方根的概念，将它们直接开平方求解，共同点是最终都转化为解一元一次方程，策略是通过开平方降次.时对解一元二次方程的策略降次，有感性的认识，为后续的学习打下基础，同时培养学生的概括能力. 六.板书设计直接开平方法解一元二次方程直接开平方法：例1: •将形如ax2+c二0的一元二次方程变形为X?二p,利用平方根的概念得到P20时一元二次方程的解：x二土例2：…x2二p ◄------------ (m+n )2二p(mx+n )2 = (qx+k)2mx2 +2mnx + n2=p七、达标检测与作业A级1.用直接开平方法解下列一元二次方程：(1) 4x2-9二0；(2) 3x2-1 二5；(5) (x-2)2+8=0；(6) 1(3X-1)2-8=O；(3) (2x+l)2二6；(4) (x+l)2=O；2(7) 4(X+1)2=(X-1)2；(8) X2+10X+25=3.B级2.将下列一元二次方程转化为形如(ax+b)?二c的形式，再利用直接开平方法求解.(1) X2+4X+4=2；(2) x2+x+l=l；(3) x2-6x+9=3；(4) x2+3x+-=l.4 43•某渔船出海捕鱼，2016年平均每次捕鱼量为10 t, 2018年平均每次捕鱼量为&1 t,求这两年平均每次捕鱼量的年平均下降率.4.若方程（x・a）2二b的解是x产1和X2=3,求d与b的值.C级5.解下列关于x的一元二次方程.(1) (2x-b)2=5；(2) (ax+3)2 =4；(3) (x+l)2=c.八.教学反思这节课以学生的原有知识结构为增长点和发展点，符合学生的认知规律，以学生为主体进行教学.问题的难度呈阶梯形递增，由一元二次方程X?二p到(mx+ n)2二p 再到(mx+n)2 = (qx + k)2 , mx'+2mnx+n'=p,整个探究过程非常好地渗透了整体、转化和分类讨论的数学思想.整节课课堂结构严谨，教学内容山浅入深；在课堂教学中渗透转化的数学思想，通过合作学习、师生互动探究的方式来完成教学任务；教师积极鼓励学生学习，抓住学生的闪光点及时进行评价，并且激励学生探索新知，学生也练得很扎实；多次借助预设错误，造成学生的认知冲突让学生形成能力；分层教学对于优等生、待优生和潜能生有很好的激发学习兴趣、提高做题信心的作用，教学效果良好.需要改进的地方：应该给基础薄弱的学生足够的时间，让他们自己探究，而不是被中等及以上水平的学生掩盖或代替了他们真实的学情.否则学困生体验不到学习的乐趣，长时间就会造成学习懈怠.。
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解一元二次方程(直接开平方法)教学设计
一、教学目标：
1、掌握用开平方法解形如ax2+c=0（缺一次项）的方程。
2、掌握用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程。
二、重难点：
重点：运用开平方法解形如（m x+ n）2=p（p≥0）的方程．
难点：通过平方根的意义解形如x2=a的方程，再迁移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。
三、设计思路：通用复习平方根的意义，为运用开平方法解一元二次方程作铺垫；通过问题引出运用开平方法解方程的必要性；通过习题的练习和讲解，由浅入深迁移到解可化为形如（x+m）2=n（n≥0）的方程。
四、教学过程：
（一）复习引入
1、复习平方根的意义。
2、练习：求出下列各式中x的值。
（1）x2=16 （2）x2=7
4（3）x2=a（a>0）
（3）x2=
25
（二）探索
问题:一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为 dm2，列方程，
整理，得
对照上述练习解方程的过程，你能解下列方程吗？
（老师）解出完整的过程。
小结：方程x2=P，①当P﹥0时，x1=-P，x2=P；②当P=0时，x1= x2=0；③当P﹤0时，方程无实数根。
练习：解方程下列方程。
（1）x2-9=0 （2）3x2=15（3）2x2-8=0
（三）解讲例题：解方程
（1）（x-3）2=5 （2）3（x+2）2-9=0
（学生）归纳：应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p。
（四）课堂练习：
1、若3x2-15=0，则x的值是_________。
2、方程2（x-3）2=36的根是________。
3、方程2x2+8=0的根为（）．
A．2 B．-2 C．±2 D．无实数根
4、解下列方程
（1）x2-5=0 （2）3x2-12=0
（1）4x2-1=0 （4）（2x-3）2-4=0
五、课外练习：P6练习
六、课外作业：P16复习巩固第1题。