三角函数与复数
三角函数中的极坐标系与复数形式详细解析
三角函数中的极坐标系与复数形式详细解析三角函数是数学中重要的一部分，它们在各个科学领域都有广泛的应用。
在学习三角函数时，我们经常会遇到极坐标系和复数形式的概念。
本文将详细解析三角函数中的极坐标系与复数形式，并探讨它们之间的关系。
一、极坐标系的定义与特点极坐标系是一种用极径和极角来表示平面上点的坐标系。
在极坐标系中，每个点用(r,θ)来表示，其中r代表点到原点的距离，θ表示点与正半轴的夹角。
极坐标系相比于直角坐标系更适用于描述圆形和其他曲线的特性。
在极坐标系下，三角函数的定义也与直角坐标系下有所不同。
以极坐标系中的点P(x,y)为例，如果将点P与极坐标系原点O的连线与正半轴的夹角记为θ，点P到原点O的距离记为r。
那么，根据定义，三角函数的极坐标形式可以表示如下：sinθ = y/rcosθ = x/rtanθ = y/x二、复数形式的引入与基本性质复数是由实部和虚部构成的数，通常用a+bi的形式表示，其中a和b都是实数，i表示虚数单位。
在三角函数中，复数形式的引入与欧拉公式密切相关，欧拉公式的表达式如下：e^(iθ) = cosθ + isinθ根据欧拉公式，我们可以推导出以下关系：cosθ = (e^(iθ) + e^(-iθ))/2sinθ = (e^(iθ) - e^(-iθ))/(2i)这样，三角函数的极坐标形式就与复数形式联系起来了。
利用复数形式，我们可以更加方便地进行三角函数的计算。
三、极坐标系与复数形式的关系在极坐标系与复数形式之间存在着紧密的联系。
我们可以将点P在极坐标系中的坐标表示为(r,θ)，其中r表示到原点O的距离，θ表示与正半轴的夹角。
同时，我们可以将点P的坐标用复数形式表示为re^(iθ)，其中e^(iθ)表示以点P为顶点，半径长度为r的单位向量。
利用复数形式，我们可以更加简洁地描述三角函数的性质。
例如，利用复数公式，我们可以得到如下结论：re^(iθ) = r(cosθ + isinθ)即复数re^(iθ)可以表示为极坐标系中点P的坐标(r,θ)。
三角函数的复数解释
三角函数的复数解释三角函数是数学中常见且重要的函数之一，它们在代数、几何和物理等领域中都有广泛的应用。
然而，除了实数域上的解释之外，我们还可以将三角函数扩展到复数域上进行解释。
在本文中，将探讨三角函数在复数域上的解释以及其在实际问题中的应用。
一、复数的定义与表示首先，我们来回顾一下复数的定义与表示。
复数是由实数部分和虚数部分组成的数，形如a + bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，并且i表示单位虚数，满足i² = -1。
复数可以表示为实轴和虚轴的交点，也可以用复平面上的点来表示。
二、在实数域中，三角函数的定义可以通过单位圆上的点和直角三角形来解释。
然而，在复数域上，我们可以使用欧拉公式将三角函数与复数联系起来，形成复数域上的三角函数定义。
欧拉公式是一条重要的数学公式，它将指数函数、三角函数和复数紧密地联系在一起。
欧拉公式表达如下：e^(ix) = cos(x) + isin(x)其中，e表示自然对数的底，i表示单位虚数，x为实数。
根据欧拉公式，我们可以得到复数域上的三角函数定义：cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz)) / 2sin(z) = (e^(iz) - e^(-iz)) / (2i)这里，z为复数。
通过这种定义，我们可以将复数域上的三角函数推广到复数上，从而得到复数域上的正弦函数、余弦函数等。
这种复数域上的三角函数定义为我们研究复数运算和性质提供了重要的工具。
三、三角函数的复数解释的应用三角函数的复数解释在实际问题中有广泛的应用。
以下是其中的一些应用示例：1. 信号处理中的傅里叶变换：傅里叶变换是将时域信号转换为频域表示的重要工具，而三角函数的复数解释被广泛地应用于傅里叶变换的推导和实现过程中。
2. 振动分析与波动理论：三角函数的复数解释在振动分析和波动理论中有着重要的应用。
通过将振动和波动问题转化为复数域上的运算，我们可以更方便地进行计算与分析。
3. 量子力学中的波函数：在量子力学中，波函数描述了量子系统的状态。
高中数学教案复数与三角函数的运算
高中数学教案复数与三角函数的运算一、引言数学是我们日常生活中不可或缺的一部分，复数与三角函数是数学中的重要概念。
在高中数学教学中，复数与三角函数的运算是一个关键的知识点。
本教案将系统地介绍复数与三角函数的运算方法和应用。
二、复数的运算1.复数的定义与表示复数是由实部和虚部构成的，一般表示为a+bi的形式，其中a和b为实数，i是虚数单位，满足i²=-1。
在复平面中，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。
2.复数的加减法复数的加减法与实数的加减法类似，实部和虚部分别相加减即可。
3.复数的乘法复数的乘法需要运用分配律和虚数单位i的平方等于-1的性质。
计算时，对应位置的实部和虚部相乘，然后相加即可。
4.复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数的方法，将除法转化为乘法。
即对于除法a/b，可以表示为a/b = (a * conjugate(b)) / (b * conjugate(b))，其中conjugate(b)表示b的共轭复数。
三、三角函数的运算1.三角函数的基本概念三角函数是数学中的重要概念，包括正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)等。
这些函数与三角比有关，可以用来求解三角形中的各种角度和边长。
2.三角函数的性质- 正弦函数与余弦函数是周期函数，周期为2π。
- 正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。
- 三角函数有一些特殊角的值，如sin、cos、tan在0°、30°、45°、60°、90°等角度的取值。
3.三角函数的加减法公式通过三角函数的加减法公式，可以将两个三角函数的和或差转化为已知角度的三角函数值。
常用的加减法公式有：- sin(x ± y) = sin(x) * cos(y) ± cos(x) * sin(y)- cos(x ± y) = cos(x) * cos(y) ∓ sin(x) * sin(y)- tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y)) / (1 ∓ tan(x) * tan(y))4.三角函数的倍角公式倍角公式是三角函数的重要运算公式，用于求解角度的倍数情况。
引入三角函数的复数表示与解三角方程
引入三角函数的复数表示与解三角方程在数学中，三角函数是非常重要和广泛应用的一类函数。
为了更好地描述和解决与三角函数相关的问题，引入复数表示和解三角方程成为一种常见的方法。
本文将介绍引入三角函数的复数表示以及解三角方程的基本原理和方法。
一、引入三角函数的复数表示1. 复数的定义与运算复数由实部和虚部构成，可以用复数表示平面上的点。
实部和虚部分别用x和y表示，形式化表示为z = x + yi，其中i是虚数单位，满足i^2 = -1。
复数可以用复平面表示，实部对应实轴，虚部对应虚轴。
2. 欧拉公式欧拉公式是数学中的一个重要等式，表达了三角函数和指数函数之间的联系。
欧拉公式为e^(ix) = cos(x) + isin(x)，其中e是自然对数的底数。
通过欧拉公式，可以将三角函数表达为指数函数的形式。
3. 复数表示的三角函数基于欧拉公式，可以将正弦函数和余弦函数表示为指数函数的形式。
sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)，cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2。
这种形式的表示可以简化计算，尤其在处理复杂的三角函数运算时更为方便。
二、解三角方程的方法1. 三角方程的定义三角方程是含有三角函数的方程。
常见的三角方程包括三角恒等式、三角方程组和三角方程根式方程等。
解三角方程的目标是找到满足方程的解集。
2. 三角方程的解集表示三角方程的解集可以通过解析法、图像法和数值法等多种方法表示。
其中，使用复数表示解集是一种常见且有效的方法。
通过将三角函数转化为指数函数的形式，并利用复数的性质，将三角方程转化为代数方程求解。
3. 解三角方程的步骤（1）将三角方程转化为复数方程，通过利用复数表示的三角函数将三角方程中的三角函数项转化为复数项。
（2）通过代数方法求解复数方程，可以利用代数方程的求根公式等方法，求解复数方程的根。
（3）将复数根重新转化为三角函数的形式，得到原始三角方程的解集。
复数与三角函数转换
复数与三角函数转换
复数与三角函数转换
《复数与三角函数转换》是数学中一类重要的问题，也是数学分析中的基础。
复数是一种特殊的数字，其中包含实部和虚部，因此可以用来表示复平面上的点。
而三角函数则是一类特殊的函数，用来表示复平面上的点与极轴之间的关系。
复数与三角函数之间的转换是一项重要的技能，可以用来解决复数和三角函数之间的关系。
复数可以转换为三角函数，通过指数变换法可以将复数转换为三角函数。
另一方面，三角函数也可以转换为复数，通过反三角函数可以将三角函数转换为复数。
复数与三角函数的转换是数学分析中重要的基础，也是很多数学问题的解决方案。
它可以帮助我们理解复数和三角函数之间的关系，从而解决更多的数学问题。
如何应用复数解决三角函数问题
如何应用复数解决三角函数问题三角函数是数学中的重要概念，常用于解决与角度和三角形相关的问题。
复数则是另一个重要的数学概念，用于表示实数和虚数的集合。
本文将探讨如何应用复数解决三角函数问题。
1. 复数的基本概念复数是由实数和虚数构成的数学对象，可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 和 b 分别是实部和虚部，i 是虚数单位。
复数既可以表示为复平面上的点，也可以表示为向量形式。
2. 复数的三角表示复数可以用三角函数来表示，即通过极坐标系中的径长和角度来表示复数。
设复数 z = a+bi，其中 a 和 b 分别表示实部和虚部，令 r = |z|表示 z 的模长（即 z 到原点的距离），θ 表示 z 与正实轴之间的夹角，则有以下关系：- a = r*cos(θ)- b = r*sin(θ)- z = r*(cos(θ) + i*sin(θ))3. 利用复数解决三角函数问题在解决三角函数问题中，复数的三角表达式可以非常有用。
以下是几个常见的应用例子：3.1 求解三角函数值通过使用复数的三角表达式，我们可以简化求解三角函数值的过程。
例如，要计算sin(θ)，我们可以将其转换为复数的象限，然后使用复数的三角形式计算。
3.2 解决三角方程三角方程是将三角函数等式与未知变量结合的方程。
有时，我们可以通过将三角函数转换为复数形式来解决这些方程。
通过使用复数的性质，我们可以得出复数方程，并从中找到解。
3.3 解决几何问题复数的三角形式在解决几何问题中也非常有用。
例如，我们可以使用复数来表示平面上的点，并通过计算复数的模长和幅角来解决与点的位置和方向相关的问题。
3.4 简化三角函数的运算复数的三角形式还可以用于简化三角函数的运算。
通过将三角函数转换为复数形式，我们可以利用复数的性质和运算规则，进行更加简洁和高效的计算。
综上所述，复数的三角表示在解决三角函数问题中具有重要的应用价值。
通过将三角函数转换为复杂形式，我们可以更加简化和高效地解决与角度和三角形相关的问题。
三角函数与复数
三角函数与复数是数学中重要的概念，它们之间有着密切的联系。
在本文中，我们将深入探讨的关系，探讨它们在数学和实际应用中的重要性。
一、三角函数三角函数是数学中最基本的函数之一，它们是以单位圆中角度的度数或弧度为自变量的函数。
最常用的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
这些函数在数学和物理等领域中得到广泛应用。
在三角函数中，最常用的是正弦函数和余弦函数。
正弦函数的定义为：$y=\sin x=\frac{opposite\ side}{hypotenuse}$，其中$x$为角度数或弧度数，$y$为对边与斜边之比。
余弦函数的定义为：$y=\cos x=\frac{adjacent\ side}{hypotenuse}$，其中$x$为角度数或弧度数，$y$为邻边与斜边之比。
二、复数复数是数学中另一种重要的概念，它可以表示为一个实数和一个虚数的和。
具体来说，$a+bi$就是一个复数，其中$a$是实数，$b$是虚数，$i$是单位虚数，满足$i^2=-1$。
复数也有重要的应用，尤其是在电工学和电子工程学中。
例如，复数可以用来描述电路中的信号和电阻等。
复数还常常用于计算机科学中，因为它们可以用于表达和储存图像和多媒体数据。
三、三角函数和复数之间有着密切的联系。
特别地，正弦函数和余弦函数可以很容易地表示为复指数函数。
具体而言，我们可以将三角函数表示为$e^{ix}=\cos x+i\sin x$和$e^{-ix}=\cos x-i\sin x$，其中$x$为角度数或弧度数。
通过以上公式，我们可以看出，三角函数可以被视为复数的实部或虚部。
也就是说，正弦函数是一个复数的虚部，而余弦函数是一个复数的实部。
这种联系使得三角函数和复数之间的转换成为了可能。
四、应用三角函数和复数在数学和物理学中得到广泛应用。
三角函数常常用于描述波的传播、质点的运动和周期性现象等。
例如，在声学中，正弦函数可以用于描述声音的波动。
复数也有重要的应用，特别是在电工学和电子Engineering学中。
三角函数的复数表示
三角函数的复数表示三角函数是数学中一类常见的函数，可以用于描述角的性质和相互关系。
在解决实际问题中，常常需要使用复数来表示三角函数的特征和性质。
本文将介绍三角函数的复数表示方法，并探讨其在数学和物理中的应用。
1. 复数表示法复数可以表示为实部与虚部的和，其中实部和虚部都是实数。
对于三角函数，我们可以使用欧拉公式来表示。
欧拉公式是数学中一条重要的等式，它将自然对数的底e、虚数单位i和三角函数联系在一起。
欧拉公式可以表示为：e^(ix) = cos(x) + isin(x)其中，e是自然对数的底，i是虚数单位。
根据欧拉公式，我们可以将三角函数表示为：cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)这种表示方法称为三角函数的复数表示法。
2. 三角函数的复数性质三角函数的复数表示法具有许多有用的性质。
首先，考虑复数表示中的正弦函数sin(x)。
根据定义，sin(x)的虚部等于x的系数，即sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)。
我们可以观察到sin(x)的实部为零，这意味着sin(x)是一个纯虚数。
类似地，cos(x)的虚部为零，cos(x)是一个实数。
这个性质对于计算和推导三角函数的性质非常有用。
另一个重要的性质是欧拉公式的特殊情况。
当x取π时，欧拉公式变为：e^(iπ) + 1 = 0这是数学中著名的欧拉恒等式，将常数e、i、π和1联系在了一起。
欧拉恒等式在数学和物理中有着广泛的应用，与三角函数的复数表示密切相关。
3. 三角函数的复数应用三角函数的复数表示在数学和物理中有广泛的应用。
首先，它可以简化三角函数的计算。
使用复数表示，我们可以将三角函数的性质转化为复数运算的性质，从而简化复杂的计算过程。
其次，三角函数的复数表示在信号处理和电路分析中得到广泛应用。
信号可以表示为频域上的复数函数，而三角函数的复数表示可以方便地描述信号的振幅、相位和频谱。
三角函数的复数形式及欧拉公式
三角函数的复数形式及欧拉公式三角函数是数学中的一类重要函数，它们描述了角度与三角比之间的关系。
在实数域中，三角函数的定义是基于单位圆上的点坐标来进行的。
然而，通过引入复数，我们可以将三角函数的定义扩展到复数域上，从而得到三角函数的复数形式。
一、复数形式的正弦函数和余弦函数在复数域中，我们可以将三角函数的定义与欧拉公式相结合，得到复数形式的正弦函数和余弦函数。
欧拉公式表达了复数与三角函数之间的关系，它的表达式如下：e^ix = cosx + isinx其中，e是自然对数的底，i是虚数单位，x是一个实数。
利用欧拉公式，我们可以将正弦函数和余弦函数表示为：sinx = (e^ix - e^(-ix)) / (2i)cosx = (e^ix + e^(-ix)) / 2这就是正弦函数和余弦函数的复数形式。
二、复数形式的正切函数和余切函数正切函数和余切函数是三角函数中的另外两个重要函数，它们也可以通过复数形式来表示。
正切函数的复数形式定义如下：tanx = (sinx / cosx) = (e^ix - e^(-ix)) / (i(e^ix + e^(-ix)))余切函数的复数形式定义如下：cotx = (cosx / sinx) = (i(e^ix + e^(-ix))) / (e^ix - e^(-ix))三、复数形式的其他三角函数除了正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数之外，复数形式还可以扩展到其他三角函数，如正割函数、余割函数和反三角函数等。
正割函数的复数形式定义如下：secx = 1 / cosx = 2 / (e^ix + e^(-ix))余割函数的复数形式定义如下：cscx = 1 / sinx = 2i / (e^ix - e^(-ix))反正弦函数的复数形式定义如下：arcsinx = -i ln(iz + √(1 - z^2))其中，ln表示自然对数函数，z是一个复数。
四、应用举例复数形式的三角函数在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
复数运算复数的指数形式与三角形式
复数运算复数的指数形式与三角形式复数运算是数学中一个重要的概念，它在解决实际问题以及在物理、工程等学科中都有广泛的应用。
本文将介绍复数的指数形式与三角形式，并说明它们在复数运算中的作用。
一、复数的指数形式复数的指数形式可以用以下公式表示：z = r * e^(iθ)其中，z 表示复数，r 是模长（也称为复数的大小），e 是自然指数的底数，i 是虚数单位，θ 是辐角。
在指数形式中，复数的模长和辐角可以通过以下公式计算得到：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = atan(y/x)其中，(x, y) 表示复数的实部和虚部。
指数形式的主要特点是可以将复数表示为一个模长和一个辐角的乘积。
这种形式更方便进行复数的乘除运算，因为乘法可以将模长相乘，辐角相加，而除法可以将模长相除，辐角相减。
二、复数的三角形式复数的三角形式可以用以下公式表示：z = r * (cosθ + isinθ)三角形式采用三角函数的形式表示复数，其中，r 和θ 的计算方法同上述指数形式的计算方法一样。
三角形式的主要特点是可以用三角函数更直观地表示复数的几何特性，特别是在平面直角坐标系中。
在三角形式中，复数可以分解为一个实部和一个虚部，其中实部由余弦函数表示，虚部由正弦函数表示。
三、指数形式与三角形式的转换指数形式和三角形式是可以相互转换的，转换的方法如下：指数形式转换为三角形式：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = atan(y/x)z = r * (cosθ + isinθ)三角形式转换为指数形式：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = atan(y/x)z = r * e^(iθ)通过上述转换方法，可以在需要的时候方便地在指数形式和三角形式之间进行转换，以满足不同问题的需要。
综上所述，复数的指数形式与三角形式是复数运算中常用的表示方法。
指数形式适合进行复数的乘除运算，而三角形式则更直观地表示复数的几何特性。
在实际问题中，根据具体情况可以选择合适的形式进行运算和分析，以达到理论与实际相结合的目的。
如何利用复数解决三角函数方程
如何利用复数解决三角函数方程三角函数方程是数学中常见的问题之一，求解三角函数方程的一种方法是利用复数。
本文将介绍如何利用复数解决三角函数方程的步骤和方法，以及相关的例题和应用。
一、利用复数解决三角函数方程的步骤和方法在解决三角函数方程时，可以考虑使用复数来进行求解。
下面是具体的步骤和方法：1. 将三角函数方程转化为复数形式：根据欧拉公式，三角函数可以用复数表示。
通常有以下等式：- $\sin(\theta) = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$- $\cos(\theta) = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$- $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$2. 将三角函数方程转化为关于复数的代数方程：将原方程中的三角函数用复数等式替代，得到关于复数的代数方程。
3. 求解代数方程：将代数方程进行化简，并求解出复数解。
4. 还原为三角函数方程的解：将代数方程的复数解转化为三角函数的解。
根据欧拉公式的逆公式，可以得到以下结果：- 对于正弦函数：$\sin(\theta) = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} = \frac{e^{i\theta}}{i}-\frac{e^{-i\theta}}{i} = -i(e^{i\theta})+i(e^{-i\theta}) = \frac{e^{i(\theta+\pi/2)}}{2}-\frac{e^{-i(\theta+\pi/2)}}{2}$- 对于余弦函数：$\cos(\theta) = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} = \frac{e^{i\theta}}{2}+\frac{e^{-i\theta}}{2} =\frac{e^{i\theta+\frac{\pi}{2}}}{2}+\frac{e^{-i\theta+\frac{\pi}{2}}}{2}$ - 对于正切函数：$\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$通过以上步骤和方法，可以利用复数解决三角函数方程。
复数 三角函数
复数三角函数
我们结合欧拉公式，可以得到复数平面上的三角函数，x(t)的复数形式是Ae^j(Ωt+Φ)，它是有实部和虚部组成
如果将三角函数的实部和虚部所表示的图形，与x(t)的复数形式一一对应，就得到如下样式，非常直观
为了更加形象的说明这一点：我们假设一个物体绕半径为1的圆在复平面上匀速转动，其中t表示时间，该运动在水平（实）轴上的投影为正弦波，在垂直（虚）轴上的投影为余弦波
我们运用欧拉公式，再结合向量很容易得到三角函数复数形式下的公式。
我们用三维模型来演示上述的原理
我们把它画成3D模型，其中x轴表示时间，y轴和z轴分别是复数信号的实部和虚部。
在3D图形中，这将是一个螺旋线
如果你继续观察就会发现：在时间轴和虚轴组成的平面上形成的投影是一个正弦波
如果将实轴和虚轴组成的平面绕时间轴旋转90度，形成的投影就是余弦波
另一方面，在实轴和虚轴上的投影是一个单位圆。
三角函数与复数
三角函数与复数一、引言三角函数和复数都是数学中重要的概念和工具。
它们在数学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍三角函数和复数的定义、基本性质以及它们之间的关系。
二、三角函数的定义与性质1. 正弦函数（sin）：正弦函数是一个周期函数，定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
它可以表示成一个单位圆上的点的纵坐标值。
其周期为2π，振幅为1。
正弦函数的图像是一条连续的波浪线。
2. 余弦函数（cos）：余弦函数也是一个周期函数，定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
它可以表示成一个单位圆上的点的横坐标值。
其周期、振幅与正弦函数相同。
余弦函数的图像是一条连续的波浪线，与正弦函数的图像相位差90度。
3. 正切函数（tan）：正切函数也是一个周期函数，定义域为实数集，值域为全体实数。
正切函数的图像是一条连续的波动曲线。
在其定义域内，正切函数与余弦函数、正弦函数之间有以下关系：tan(x) = sin(x)/cos(x)。
4. 三角函数的性质：（1）奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数既不是偶函数也不是奇函数。
（2）周期性：正弦函数、余弦函数、正切函数都是周期函数，且其周期满足一定的关系。
（3）相互关系：正弦函数与余弦函数满足三角恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1，这是三角函数之间的一个重要关系。
三、复数的定义与性质1. 复数的表示方式：复数可以表示为实数部分与虚数部分的和，形如a + bi，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
例如，2 + 3i 就是一个复数。
2. 复数的四则运算：（1）加法和减法：复数的加法和减法与实数的加法和减法类似，实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）。
（2）乘法和除法：复数的乘法和除法满足类似分配律的关系，实数部分与实数部分相乘（除），虚数部分与虚数部分相乘（除），并注意虚数单位i的运算规律。
3. 复数的共轭和模：（1）共轭：复数a + bi的共轭复数为a - bi，其实部不变，虚部取负。
三角函数与复数的幅角与辐角
三角函数与复数的幅角与辐角三角函数和复数是数学中重要的概念，它们在物理学、工程学以及其他许多领域中有广泛的应用。
本文将介绍三角函数和复数的幅角与辐角，以及它们之间的关系。
一、三角函数的幅角在三角函数中，幅角用来描述向量在坐标系中所占的角度。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
对于任意的角度θ，三角函数的值可以通过单位圆上的点的坐标来表示。
1. 正弦函数（sine function）：记作sinθ，其值等于在单位圆上，与x轴正半轴之间的线段的长度除以半径。
它的幅角范围是[-π/2, π/2]。
2. 余弦函数（cosine function）：记作cosθ，其值等于在单位圆上，与y轴正半轴之间的线段的长度除以半径。
它的幅角范围是[0, π]。
3. 正切函数（tangent function）：记作tanθ，其值等于正弦函数与余弦函数之商。
它的幅角范围是[-π/2, π/2]，但是在θ=nπ/2时, 正切函数的值会发散。
幅角是一种相对于锐角或者任意角的度量方式，它不受角的大小的影响，而只受角的位置（相对于x轴）的影响。
二、复数的幅角与辐角复数是由实部和虚部组成的数，通常用a + bi的形式表示，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位。
复数可以用于表示平面上的向量，并与三角函数有着密切的联系。
1. 幅角（argument）：对于一个复数z=a + bi，其幅角θ表示该复数与正实轴的夹角，范围在[-π, π]之间。
可以使用反三角函数来计算幅角：θ = arctan(b/a)，其中arctan为反正切函数。
需要注意的是，在计算时，要考虑到a和b的符号，以确保计算得到正确的幅角范围。
2. 辐角（polar angle）：辐角是复数在极坐标系中的极角，它是以极径为单位的角度。
复平面中的任何一点都可以表示为极坐标系中的(r, θ)，其中r是点到原点的距离，θ是与正实轴的夹角。
三、三角函数与复数幅角的关系三角函数和复数的幅角之间有着紧密的联系。
三角函数与复变函数的转换
三角函数与复变函数的转换三角函数与复变函数的转换1. 引言三角函数和复变函数是数学中的两个重要概念，它们在数学及其他学科中都有广泛的应用。
本文将探讨三角函数与复变函数之间的转换关系，并通过深度和广度的分析，解释它们之间的联系与应用。
2. 三角函数与复变函数的定义在介绍它们之间的转换关系之前，我们先来回顾一下三角函数和复变函数的定义。
2.1 三角函数三角函数是描述三角形内角与边之间关系的函数，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数sin(x)可以表示为一个周期函数，其取值范围为[-1, 1]，在解析几何、物理学及工程学等领域有广泛应用。
2.2 复变函数复变函数是指自变量和函数值都是复数的函数。
复变函数由实部和虚部组成，例如f(z) = u(x, y) + iv(x, y)。
复变函数的理论基础是复数理论，它在物理学、电子工程、经济学等领域有广泛应用。
3. 三角函数到复变函数的转换接下来，我们将探讨三角函数与复变函数之间的转换关系。
为了便于理解，我们以正弦函数sin(x)为例进行说明。
3.1 正弦函数的转换我们可以将正弦函数sin(x)转换为复变函数的形式。
根据欧拉公式，我们知道e^ix = cos(x) + isin(x)。
可以将正弦函数表示为sin(x) =(e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)。
这个转换关系充分利用了复数的性质，将三角函数转化为复变函数的形式。
3.2 复变函数的应用借助复变函数的分析工具和理论，我们可以更深入地研究三角函数及其应用。
利用复变函数的方法，我们可以推导出三角函数的各种性质，如周期性、导数和积分等。
复变函数的解析性质也使得三角函数在求解微分方程、信号处理和图像处理等领域有广泛的应用。
4. 个人观点与理解个人对三角函数与复变函数的转换有着浓厚的兴趣。
通过把三角函数转换为复变函数，我们可以利用复数的性质更深入地研究三角函数的各种特性与应用。
复变函数的分析工具也为我们提供了解决实际问题的有效方法。
三角函数的复数表示与欧拉公式
三角函数的复数表示与欧拉公式三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们在各个领域的应用非常广泛。
在复数理论中，我们可以利用欧拉公式将三角函数与复数表示相结合，进一步拓展了三角函数的应用范围。
本文将详细介绍三角函数的复数表示以及欧拉公式的意义和应用。
一、三角函数的复数表示三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别以sin、cos和tan表示。
在复数表示中，我们可以将这些三角函数用复数来表示。
具体来说，我们可以将复数看作是平面上的点，而三角函数则是描述这些点在单位圆上的投影。
1. 正弦函数的复数表示正弦函数的复数表示为sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)，其中e表示自然对数的底。
这个公式的推导涉及到欧拉公式，我们会在后面进行详细介绍。
2. 余弦函数的复数表示余弦函数的复数表示为cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2。
3. 正切函数的复数表示正切函数的复数表示为tan(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (i * (e^(ix) + e^(-ix)))。
通过将三角函数转化为复数表示，我们可以更加灵活地处理三角函数的性质和计算，为解决实际问题提供了更多的可能性。
二、欧拉公式的意义和应用欧拉公式是数学中非常重要的一条公式，它将复数、指数函数、三角函数和虚数单位i联系了起来。
欧拉公式的表达式为e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)，其中e表示自然对数的底。
欧拉公式的意义在于将三角函数与复数表示相结合，使得我们可以通过复数运算来推导和证明各种三角函数的性质和公式。
同时，欧拉公式也为解决一些复杂的数学问题提供了便利。
除此之外，欧拉公式在物理学、工程学等应用领域也有重要的作用。
例如，在电路分析中，复数表示法可以简化计算和分析电路中的交流信号；在波动理论中，欧拉公式可以描述复杂的波动现象等。
三、欧拉公式的推导欧拉公式的推导相对较为复杂，其中一种推导的思路是利用泰勒级数展开和复数的指数表示。
复数形式与三角函数转换
复数形式与三角函数转换复数形式与三角函数转换，听起来是不是有点复杂？这个话题一点也不无聊，反而可以说是充满了乐趣。
想象一下，复数就像是数学里的“超级英雄”，它们有两个部分，一个是实数部分，另一个是虚数部分。
就像是一个人既有阳光明媚的外表，又有深不可测的内心，真是个迷人组合！当我们用复数表示三角函数的时候，简直就像是给数学加了一层神秘的面纱，让人忍不住想要一探究竟。
复数的标准形式是 a + bi，其中 a 是实部，b 是虚部，而 i 则是虚数单位，表示根号下的1。
多么神奇的存在！这个时候，大家可能会问，三角函数又是个啥？说白了，三角函数就是跟角度打交道的数学工具，比如正弦、余弦和正切。
它们就像是数学界的“调味剂”，让我们的计算更丰富、更有趣。
通过复数的形式，我们能把这些三角函数的关系变得更加清晰。
复数跟三角函数之间有一种说不清道不明的缘分。
我们可以稍微深入一点。
复数在三角函数中的应用，最经典的就是欧拉公式了，公式的样子是 e^(ix) = cos(x) + i sin(x)。
哇，这可是数学界的大明星！这个公式把指数函数、三角函数和复数紧紧地联系在了一起，简直是完美的组合。
大家可以想象一下，把一个复杂的数学问题化简成一个优雅的公式，这种感觉简直太爽了。
就好像是把一块大石头搬走了，瞬间变得轻松自在。
我们可以想象一下，复数的极坐标形式。
这个时候，复数可以用r(cos θ + i sin θ)来表示，其中 r 是复数的模，θ 是复数的辐角。
听起来有点高大上，其实就是在告诉我们，复数不仅有大小，还有方向！就像我们生活中的选择，有时候不只是要考虑到数量，还要考虑到前进的方向。
每一个复数就像是生活中的一段旅程，既有目的地，也有通往目的地的路。
复数和三角函数之间的关系，真的是让人忍不住想要“深挖”下去。
用复数表示三角函数的好处，就是我们可以更方便地进行各种运算。
比如说，当我们在处理某些波动现象的时候，复数就能让我们轻松计算出相位差，绝对是个“得力助手”。
三角函数与复数
三角函数与复数三角函数与复数是数学中两个重要的概念，它们在不同的领域具有广泛的应用。
本文将介绍三角函数与复数的基本概念与性质，并分析它们之间的联系和应用。
一、三角函数的基本概念与性质三角函数是以角的度量为依据的一组函数，常见的有正弦函数、余弦函数和正切函数。
下面分别介绍它们的定义和性质。
1. 正弦函数（sine function）：正弦函数是一个周期函数，表示一个角的对边与斜边的比值。
它的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。
正弦函数的图像呈现周期性波动，可以描述周期性现象的变化规律。
2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数也是一个周期函数，表示一个角的邻边与斜边的比值。
它的定义域同样是整个实数集，值域也是[-1,1]。
余弦函数的图像与正弦函数相似，但相位有所不同。
3. 正切函数（tangent function）：正切函数是一个奇函数，表示一个角的对边与邻边的比值。
它的定义域为所有不等于kπ+π/2的实数，其中k∈Z。
正切函数的图像呈现周期性波动，但在某些特定点上有无穷大或无穷小的取值。
三角函数的性质包括周期性、奇偶性、增减性等。
它们在物理、工程、天文等领域中的应用非常广泛，例如描述波动、振动、周期性变化等现象。
二、复数的基本概念与性质复数是由实部和虚部构成的数，可以用形如a+bi的表示方式，其中a和b分别为实数，i为虚数单位。
复数在代数和分析中有重要的作用，下面介绍复数的定义和性质。
1. 定义：复数是由实部和虚部构成，实部和虚部通过数学运算和性质进行相关联。
复数的实部和虚部分别表示复平面上的水平和垂直方向。
2. 基本运算：复数之间的加法、减法、乘法和除法等运算可以通过实部和虚部分别进行计算。
复数之间的乘法运算可以转化为实数的运算，而除法则需要引入共轭复数。
3. 欧拉公式：欧拉公式是复分析中的重要公式，可以表示复数与三角函数的关系。
它的形式为e^(iπ) + 1 = 0，其中e为自然对数的底数。
三角函数的复数和根式
三角函数的复数和根式三角函数在数学中起到了重要的作用，它们在解决各种问题中发挥了重要的角色。
在三角函数的研究中，我们经常会遇到复数和根式的问题。
本文将介绍三角函数中复数和根式的相关概念及其应用。
一、复数复数是由实部和虚部组成的数，用实部加上虚部的形式表示，其中虚部常以i表示。
在三角函数的复数表示中，我们经常使用欧拉公式：eiθ = cosθ + isinθ其中，e是自然对数的底，i是虚数单位。
根据欧拉公式，我们可以将三角函数表示为复数的形式，例如：cosθ = (e^(iθ) + e^(-iθ)) / 2sinθ = (e^(iθ) - e^(-iθ)) / (2i)tanθ = (e^(iθ) - e^(-iθ)) / (i(e^(iθ) + e^(-iθ)))在解决一些三角函数的复数问题时，我们可以借助欧拉公式，将复杂的计算转化为简单的复数运算，从而得到更加简洁的解法。
二、根式根式是指数学中将某个数值的平方根、立方根等表示为一个或多个根号的形式。
在三角函数的根式表示中，我们经常会遇到√2、√3、√5 等形式。
以√2 为例，我们知道cos(π/4) = √2/2，sin(π/4) = √2/2。
同理，我们可以得到sin(π/3) = √3/2，sin(π/6) = 1/2，sin(π/2) = 1。
根式在三角函数中的应用非常广泛，它们可以帮助我们求解各种三角函数的值，并在解决实际问题中起到重要的作用。
三、复数和根式的应用复数和根式在三角函数中有着广泛的应用。
它们能够帮助我们解决各种复杂的三角函数问题，并在物理、工程、计算机科学等领域中发挥作用。
举个例子，假设我们需要计算一个电压波形与时间的关系，这个波形可以用函数V(t) = A*cos(2πft + φ) 表示。
其中，A表示振幅，f表示频率，φ表示相位差。
在通过计算机模拟电路时，我们可以使用复数和根式的概念，将波形分解为实部和虚部的形式进行计算。
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专题四 三角函数与复数【考点聚焦】考点1：函数y =Asin()0,0)(>>+ϖϕϖA x 的图象与函数y =sin x 图象的关系以及根据图象写出函数的解析式考点2：三角函数的定义域和值域、最大值和最小值；考点3：三角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题；考点4：和、差、倍、半、、诱导公式、和差化积和积化和差公式、万能公式、同角的三角函数关系式；考点5：三角形中的内角和定理、正弦定理、余弦定理； 考点6、复数的基本概念及运算.【自我检测】1． 同角三角函数基本关系式：＿＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿. 2． 诱导公式是指α的三角函数与－α，180ºα±,90ºα±,270ºα±,360º－α，k 360º+α(k ∈Z)三角函数之间关系：奇变偶不变，符号看象限.3． 两角和与差的三角函数：sin(α±β)=_______________________;cos (α±β)=________________________;tan (α±β)=_________________________.4． 二倍角公式：sin2α=__________;cos2α=_________=__________=___________ tan 2α=_____________.5． 半角公式：sin 2α=_______，cos 2α=_______,tan 2α=________=________=______.6． 万能公式sin α=_____________,cos α=_____________,tan α=_____________.问题1：三角函数的图象问题关于三角函数的图象问题，要掌握函数图象的平移变化、压缩变化，重点要掌握函数y =Asin()0,0)(>>+ϖϕϖA x 的图象与函数y =sin x 图象的关系，注意先平移后伸缩与先伸缩后平移是不同的，要会根据三角函数的图象写出三角函数的解析式. 例1．（05天津理）要得到y x =的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的A 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 B 、横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度 C 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 D 、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度思路点拨：将)42sin(2π+=x y 化为)42cos(2π-=x y ，再进行变换.解答：变换1：先将)42c o s (2π-=x y 的图象向左平移8π个单位，得到x x y 2c o s 2]4)8(2c o s [2=-+=ππ的图象，再将x y 2cos 2=的图象的横坐标缩短到原来的2倍得到x y cos 2=.变换2：先将)42c o s (2π-=x y 的图象的横坐标缩短到原来的2倍，得到)4c o s (2π-=x y 的图象，再将)4c os(2π-=x y 的图象向左平移4π个单位，得到x y c os 2=.由上可得，应选C.演变1：函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则（ ）A ．4,2πϕπω== B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==点拨与提示：根据图象得出函数的周期与振幅，再将（1,10坐标代入即可.问题2：三角函数的求值问题关干三角函数的求值问题,要注意根据已知条件,准确判断角所在的范围,合理选择公式,正确选择所求三角函数值的符号 例2：已知51cos sin ,02=+<<-x x x π. （I ）求sin x －cos x 的值； （Ⅱ）求xx x xxx cot tan 2cos2cos2sin22sin322++-的值.思路分析：将sin x -cos x =51平方，求出sin x cos x 的值，进而求出（sin x -cos x ）2，然后由角的范围确定sin x -cos x 的符号. 解法一：（Ⅰ）由,251cos cos sin 2sin,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得即 .2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π故 .57cos sin -=-x x（Ⅱ）x xx xx xxx x xxx sin cos cos sin 1sin 2sin2cot tan 2cos2cos2sin2sin3222++-=++-125108)512()2512()sin cos 2(cos sin -=-⨯-=--=x x x x 解法二：（Ⅰ）联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.1cos sin ,51cos sin 22x x x由①得,cos 51sin x x -=将其代入②，整理得,012cos 5cos 252=--x x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∴<<-=-=∴.54c o s ,53s i n ,02.54c o s 53c o s x x x x x π 或故 .57cos sin -=-x x①②（Ⅱ）xx x xxx cot tan 2cos2cos2sin2sin322++-x xx xx xsin cos cos sin 1sin 2sin 22++-=125108)53542(54)53()sin cos 2(cos sin -=+-⨯⨯-=--=x x x x点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力. 演变1：已知)3tan(sin ,2572cos ,1027)4sin(π+αα=α=π-α及求.点拨与提示：用已知中的角表示所求的角.问题3：三角函数的单调性、周期性、奇偶性等问题有关三角函数的单调性、周期性等问题，通常需要先变形化简，然后求解. 例3：设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x .（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像.思路点拨：正弦y =sin x 的图象的对称轴为直线)(2Z k k x ∈+=ππ，其对称轴与x 轴交点的横坐标即是使函数取得最值的x 值.解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π 的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ-=<<-（Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此由题意得 .,2243222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为（Ⅲ）由知)32sin(π-=x y故函数上图像是在区间],0[)(πx f y =点评：本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力. 演变3：已知向量b a x f x x b x x a ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos2(令πππ.求函数f (x )的最大值，最小正周期，并写出f (x )在[0，π]上的单调区间.问题4：“拆项”与“添项”的问题“拆项”与“添项”是指在作三角变换时，对角或三角函数可以分别进行面或添项处理.例4：（1）求8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ++的值； （2）已知：41)2tan(,52)tan(=-=+πββα，求：)4tan(απ+的值.思路分析：解此题的关健是能否抓住题中各角之间的内在联系.如（1）中的含有角7º、15º、8º，发现它们之间的关系是15º＝7º＋8º，故可将7º拆成15º－8º；同理在第（2）题中απ+4可以拆成两角差，即)4()(πββα--+.解：（1）8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin ++＝8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(+-+-＝15cos 8cos 15sin 8cos＝tan15º=30sin 30cos 1-=32-(2) ∵απ+4=)4()(πββα--+∴tan(απ+4)=tan[)4()(πββα--+]＝)4tan()tan(1)4tan()tan(πββαπββα-++--+＝415214152⨯+-＝223点评：进行三角变换的技巧常常是变角――注意角的和、差、倍、半、互余、互补关系，根据实际情况，对角进行“拆”或“添”变形，这样可以大大减少运算量. 演变4：求20cos 20sin 10cos 2-的值.点拨与提示：10º＝30º－20º. 问题五：复数方程和共轭复数复数方程常见解法是将复数方程转化为实数方程组；关于共轭复数有两个充要条件：①Z ∈R Z Z =⇔，②非零复数y 为纯虚数0=+⇔y y ，这两个充要条件是用整体观点处理复数的生要工具.例5：求实数k 的值，使方程02)2(2=++++ki x i k x 至少有一个实根.思路分析：已知方程是一元二次方程，系数含有参数，并且方程有一个实根，设出实根，利用复数相等可得出实数方程组，从而得解.解：设α是方程的实根，则02)2(2=++++ki i k αα，即0)2()2(2=++++i k k ααα根据复数相等的充要条件得：⎩⎨⎧=+=++02022k k ααα，消去α得k 2=8，∴k =22±点评：如果利用一元二次方程的判别式△＝（k +2i ）2－4(2+k i)＝k 2－12，要使方程至少有一个实根，只需△≥0，即k ≤32-,k ≥32，这样的解法是错误的.错误的原因在于：一元二次方程的判别式△＝b 2-4ac ≥0是实系数一元二次方程有实根的充要条件，不适合于复系数一元二次方程.对于这类虚数系数一元二次方程有实根的常见解法是设实根为α，将x ＝α代入方程，根据复数相等的条件来解.演变5：解复数集中的方程：0)2()252(22=--++-i x x x x点拨与提示：整理成关于x 的一元二次方程，用求根公式求解. 例6：设z 是虚数，zz W 1+=是实数，uu u +-=11，求证：u 为纯虚数.思路分析：本题证法很多，可以从共轭复数运算的角度给出证明. 证明：∵zz W 1+=∈R ，∴zz zz zz 111+=+=+，∴0)11(=-+-zzz z∴0)||11)((2=--z z z ，∵z 是纯虚数，∴0≠-z z ，∴|z |＝1，∴zz 1=∵u z z zz zz zz u -=+-=+-=+-=+-=11111111)11(.∴0=+u u .∵z 是虚数，∴1≠z ，∴0≠u ，∴u 为纯虚数.点评：用整体观点处理复数问题时，应注意利用前面提到的充要条件. 演变6：设z 1,z 2为两个非零复数，且｜z 1+z 2｜=|z 1－z 2|，求证：221)(z z 为负数.点拨与提示：利用复数加、减法的几何意义求解. 专题小结1．三角变换常用的方法技巧有切割化弦法，升幂降幂法、辅助元素法，“1”的代换法等．对于三角公式要记忆准确（在理解基础上），并要注意公式成立的条件，在应用时，要认真分析，合理转化，避免盲目性．2．三角函数图象的对称性和有界性是高考命题的一个热点．最基本的三角函数图象的形状和位置特征，要准确掌握，它是利用数形结合思想解决三角函数问题的关键．三角函数图象各种变换的实质要熟练掌握，不能从形式上简单判断．3．解三角形时，要根据条件正确选择正、余弦定理以及三角变换式．要充分发挥图形的作用，注意三角形外接圆半径在正弦定理中的转化功能 【临阵磨枪】一、选择题1．已知f (cos x )=cos3x ，则f (sin30º)的值为（ ）A 0B 1C －1 D232．（2006年辽宁卷）A B C 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+ ,(,)q b a c a =-- ,若//p q ,则角C 的大小为(A)6π(B)3π(C)2π(D)23π3．（2006年安徽卷）将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-4．把函数)3sin 3(cos 22x x y -=的图象适当变动，就可得到y =－sin3x 的图象，这种变动可以是（ ）A 沿x 轴向右平移4πB 沿x 轴向左平移4πC 沿x 轴向右平移12πD 沿x 轴向左平移12π5．已知复数z 1，z 2在复平面上对应的点分别是A ，B ，O 为坐标原点，当 z 1=2（cos60º+isin60º）•z 2,|z 2|=2，则△AOB 的面积为（ ） A 34 B 32 C3 D 26．复数z ＝1－cos θ－isin θ（3π＜θ＜4π）的辐角主值是（ ）A 23θπ- B 23πθ- C 2θπ+ D 23θπ+7．函数y =3sin(x +20º)+5sin(x +80º)的最大值为（ ） A211 B213 C 7 D 88．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值时，=θ（ ）A ．6π B ．4πC ．3πD ．2π9．在△ABC 中，若ba b a B A +-=-2tan ，其中a,b 分别是∠A ，∠B 的对边，则△ABC是（ ）A 等腰三角形B 直角三角形C 等腰直角三角形D 等腰或直角三角形 10．函数y =23cos32sin 212+-=x x y 的最小正周期为（ ）A 2πB πC 2πD4π二、填空题11 已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)=21，则tan(α－2β)=______12 设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________13．已知复数：032z i =+，复数z 满足003z z z z ⋅=+，则复数z = 14．设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为f (x )在[a ，b ]上的面积，已知函数y ＝sin （nx ）在[0，nπ]上的面积为n2（n ∈N *），（i ）y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为 ；（ii ）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 .三、解答题15 不查表求值：.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒16 （2006年安徽卷）已知310,tan cot 43παπαα<<+=-（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求225sin 8sin cos 11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17．在复数范围内解方程：iii z z z+-=++23)(2(i 为虚数单位).18．（2006年四川卷）已知,,A B C 是三角形A B C ∆三内角，向量((),cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅= .（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若221sin 23cos sin B B B+=--，求tan B .19 已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log 21++x x 的最小值，并求取得最小值时x 的值参考答案1．C 提示：1180cos )60(cos )30(sin -=︒=︒=︒f f2 B 提示：222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ⇒+-=-⇒+-=，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23C C π=⇒=，故选择答案B.3．C 提示：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=.4．D 提示：)]12(3sin[)43sin(ππ--=--=x x y 5．B 提示∠AOB ＝60º，｜z 2|=2|z 1|=4，3260sin ||||2121=︒⋅=∆z z S AOB 6．B 提示：)]23sin()23[cos(2sin2πθπθθ-+--=i z ，∵02sin,2223<-<<θπθπ，).3(21arg ,2230πθππθ-=∴<-<Z7．C 提示：y =3sin(x +20º)+5sin(x +80º)＝3sin(x +20º)+5sin[(x +20º)＋60º] ＝7)20sin(7)20cos(235)20sin(211≤+︒+=︒++︒+ϕx x x 8．D 提示：θθθθθθc os sin 2121)sin 1)(cos 1(21cos 21sin 211-=-----=∆OAB S11sin 224θ=-， 当2θπ=即2πθ=时，面积最大.9．D 提示：由正弦定理得：2cos2sin22cos 2sin 2sin sin sin sin 2tanB A B A B A B A Ba B A ba b a B A -++-=+-=+-=-＝2cot2tanB A B A +-，∴02tan =-B A 或12cot =+B A ∴02=-B A 或22π=+B A∴A ＝B 或A ＋B ＝90º 10．D 提示：)22sin(23232cos 232sin 21π-=+--=x x x y ，则π=T11．247 提示 ∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,2212()2tan 42tan 2.11tan 31()2βββ⨯-===---- 234()tan tan 743tan(2)341tan tan 2241()()43αβαβαβ-----===+⋅+-⨯-126556 提示 α∈(43,4ππ),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π3 6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=+=⨯+-⨯-=+⋅-++⋅--=++--=-++-=+∴-=+∴=+∈+∴∈=-∴βαβππαβππαβππαπβππαβαβπβπππβππβπα即 13．1-32i 提示：设z =a +b i,由(3+2i)(a +b i)=3(a +b i)+3+2i,得3a -2b =3a +3,2a +3b =3b +2,∴a =1,b =32-.14．π+32,34 提示：由题意得：，，x y 34232]320[3sin =⨯=上的面积为在π上的图象在]343[1)3sin(πππ，x y +-=为一个半周期结合图象分析其面积为π+32.15 答案 216．解：(Ⅰ)由10tan cot 3αα+=-得23tan 10tan 30αα++=，即1tan 3tan 3αα=-=-或，又34παπ<<，所以1tan 3α=-为所求.（Ⅱ）225sin8sincos11cos822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭1-cos 1+cos 54sin 118ααα++-55cos 8sin 1111cos 16-+++-8sin 6cos 8tan 6++==6-17．解：原方程化简为i i z z z-=++1)(2,设z =x +y i(x 、y ∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2x i=1－i ，∴ x 2+y 2=1且2x =－1,解得x =－21且y =±23, ∴原方程的解是z =-21±23i .18． 解：（Ⅰ）∵1m n ⋅=∴(()cos ,sin 1A A -⋅=cos 1A A -=12sin cos 122A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-=∴3A π=（Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B +=--=-11=19 解 设u =sin α+cos β 则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4∴u 2≤1,－1≤u ≤1即D =［－1,1］,设t=32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t x =32-t2m ax 0.5m in 0.50.50.514410248242,,8log 0,5log log log 8,821.2t M x t t tt t M ty M M y t x ∴===≤=+++====>∴======-当且仅当即在时是减函数时此时【挑战自我】设a,b ,c 为△ABC 的三边，a ≤b ≤c ，R 是△ABC 的外接圆半径，令f =a+b －2R-8R 2sin2sin2sinC B A ，试用C 的大小来判定f 的符号.解：f =2R （sinA+sinB －1－42sin2sin2sin CB A ）＝2R[2sin )2cos2(cos212cos2sin 2C A B A B A B A B --++--+]＝4R 2sin 2cos 42)2sin 2(sin 2cos C CR R C A B A B -+--+-π＝4R 2sin 42)2sin2(sin 2cos 2C R R C C A B +----π＝2R )2sin2cos2cos2)(2sin2(cosC C A B C C ----由a ≤b ≤c ，得A ≤B ≤C ，所以0＜B －A ＜B ＋A ，因此2cos 2cosC A B >-，2sin 2cos2cosC A B A B =+>-，所以2sin 2cos 2cos2C C A B +>-故当f >0时，2sin 2cos C C >，则0＜C ＜2π当f ＝0时，2sin2cos CC =，则C ＝2π当f ＜0时，2sin2cosC C <，则C ＞2π【答案及点拨】 演变1：由图得2,84T T =∴=,由T=2πω,得4πω=,在y =sin(4x πϕ+)中令x =1,y =1,得242k ππϕπ+=+,24k πϕπ=+,得4πϕ=,选(C)演变2：（解法一）由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027α-α=π-α=，即57cos sin =α-α ①由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sincos 2cos 25722α-α-=α+αα-α=α-α=α=故51sin cos -=α+α ②由①式和②式得 54cos ,53sin -=α=α.因此，43tan -=α，由两角和的正切公式.11325483343344331433tan 313tan )4tan(-=+-=+-=α-+α=π+α解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式得α-=α=2sin212cos 257解得53sin ,259sin2±=α=α即由57cos sin ,1027)4sin(=α-α=π-α可得由于057sin cos ,0cos 57sin <-α=α>α+=α且，故α在第二象限，于是53sin =α.从而5457sin cos -=-α=α，以下同解法一.演变3：)42tan()42tan()42sin(2cos22)(πππ--++=⋅=x x x x b a x f21t a n t a n 122sin )222221tan 1tan 222sincos2cos1222x x x x x x x x x x +-=++⋅-+=+-x x cos sin +==)4sin(2π+x .所以2)(的最大值为x f ，最小正周期为,2π]4,0[)(π在x f 上单调增加，[,]42ππ上单调减少.演变4：∵10º＝30º－20º，∴原式＝︒︒-︒︒+︒︒=︒︒-︒-︒20cos 20sin )20sin 30sin 20cos 30(cos 220cos 20sin )2030cos(2＝2cos30º=3.演变5：原方程可化为022)5()2(2=-++-+i x i x i△＝[]i i i i i i 188241024)22)(2(4)5(2=+-+=-+-+-.而18i 的平方根为)1(3i +±，所以方程的根为)2(2)1(352,1i i i x ++±+=，∴i x x 5351,221-==.演变6：提示：∵｜z 1+z 2｜=|z 1－z 2|（y 1y 20≠），∴|1||1|2121-=+z z z z .即21z z 在复平面内对应的点到（－1,0）、（1,0）的距离相等，∴21z z 对应的点在虚轴上，即21z z 为纯虚数.演变题要有点拨，原创题有详解，一般题给答案。