2015-2016学年广东省汕头市东厦中学高一上学期期中数学试卷和解析

2015-2016学年广东省汕头市东厦中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U={x∈Z|﹣2＜x＜4}，A={﹣1，0}，B={0，1，2}，则（∁U A）∩B=（）A．{0}B．{﹣2，﹣1}C．{1，2}D．{0，1，2}2．（5分）下列五个写法：①{0}∈{0，1，2}②∅⊆{0}③{0，1，2}⊆{1，2，0}④0∈∅⑤0∩∅=∅其中错误写法的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）若幂函数f（x）的图象过点（2，8），则（）A．f（x）=x3B．C．f（x）=log2x D．f（x）=2x24．（5分）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A．f（x）=x0，g（x）=1B．f（x）=x，g（x）=lg10xC．D．5．（5分）下列函数中，在其定义域内是减函数的是（）A．f（x）=2x B．C．f（x）=lnx D．f（x）=6．（5分）下列函数是偶函数的是（）A．y=x B．y=2x2﹣3 C．D．y=x2，x∈[0，1]7．（5分）若偶函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣1）＜f（2）B．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）C．f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣）D．f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）8．（5分）下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7B．log0.50.4＞log0..50.6C．0.75﹣0.1＜0.750.1D．lg1.6＞lg1.49．（5分）函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则实数a的值为（）A．B．C．D．10．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）11．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．12．（5分）若函数y=的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，]B．（0，）C．[0，]D．[0，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）函数f（x）=的定义域为．14．（5分）设，则=．15．（5分）函数f（x）=log a（x﹣1）+3的图象恒过定点P，则P的坐标是．16．（5分）已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=0，则不等式f（log4x）＜0的解集是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）计算以下式子的值：（1）；（2）．18．（12分）设A=（﹣∞，4），函数的定义域为集合B．求：（1）B；（2）A∩B，A∪B，∁R（A∩B）19．（12分）已知函数，且f（1）=5．（I）求a的值；（Ⅱ）证明f（x）为奇函数；（Ⅲ）判断函数f（x）在[2，+∞）上的单调性，并加以证明．20．（12分）已知函数f（x）=x|x﹣m|，x∈R．且f（4）=0（1）求实数m的值．（2）作出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间（3）若方程f（x）=k有三个实数解，求实数k的取值范围．21．（12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示．（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f（t）；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）22．（12分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．2015-2016学年广东省汕头市东厦中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U={x∈Z|﹣2＜x＜4}，A={﹣1，0}，B={0，1，2}，则（∁U A）∩B=（）A．{0}B．{﹣2，﹣1}C．{1，2}D．{0，1，2}【解答】解：∵全集U={x∈Z|﹣2＜x＜4}，∴U={﹣1，0，1，2，3}∵A={﹣1，0}，∴∁U A={1，2，3}，∵B={0，1，2}，∴（∁U A）∩B={1，2}故选：C．2．（5分）下列五个写法：①{0}∈{0，1，2}②∅⊆{0}③{0，1，2}⊆{1，2，0}④0∈∅⑤0∩∅=∅其中错误写法的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，“∈”是用于元素与集合的关系故①错，对于②，∅是任意集合的子集，故②对，对于③，集合中元素的三要素有确定性、互异性、无序性故③对，对于④，因为∅是不含任何元素的集合故④错，对于⑤，因为∩是用于集合与集合的关系的，故⑤错．故选：C．3．（5分）若幂函数f（x）的图象过点（2，8），则（）A．f（x）=x3B．C．f（x）=log2x D．f（x）=2x2【解答】解：设所求幂函数为：f（x）=x a，幂函数f（x）的图象过点（2，8），所以8=2a，解得a=3，所求幂函数为：f（x）=x3．故选：A．4．（5分）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A．f（x）=x0，g（x）=1B．f（x）=x，g（x）=lg10xC．D．【解答】解：A中，f（x）=x0=1，（x≠0）与g（x）=1的解析式相同，但定义域不同，故不表示同一函数；B中，f（x）=x，g（x）=lg10x=x的解析式相同，且定义域也相同，故表示同一函数；C中，=x+1，（x≠1）与g（x）=x+1的解析式相同，但定义域不同，故不表示同一函数；D中，=|x|与g（x）=x的解析式不同，但定义域也相同，故不表示同一函数；故选：B．5．（5分）下列函数中，在其定义域内是减函数的是（）A．f（x）=2x B．C．f（x）=lnx D．f（x）=【解答】解：f（x）=2x是定义域R上的增函数，故排除A；f（x）=lnx是定义域（0，+∞）上的增函数，故排除C；f（x）=在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不单调，故排除D；f（x）=在定义域（0，+∞）上单调递减，故选：B．6．（5分）下列函数是偶函数的是（）A．y=x B．y=2x2﹣3 C．D．y=x2，x∈[0，1]【解答】解：对于A，f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），是奇函数对于B，定义域为R，满足f（x）=f（﹣x），是偶函数对于C，定义域为[0，+∞）不对称，则不是偶函数；对于D，定义域为[0，1]不对称，则不是偶函数故选：B．7．（5分）若偶函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣1）＜f（2）B．f（﹣1）＜f（﹣）＜f（2）C．f（2）＜f（﹣1）＜f（﹣）D．f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣）=f（），f（﹣1）=f（1），f（﹣2）=f（2），又f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，∴f（﹣2）＜f（﹣）＜f（﹣1）即f（2）＜f（﹣）＜f（﹣1）故选：D．8．（5分）下列各式错误的是（）A．30.8＞30.7B．log0.50.4＞log0..50.6C．0.75﹣0.1＜0.750.1D．lg1.6＞lg1.4【解答】解：A、∵y=3x，在R上为增函数，∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7，故A正确；B、∵y=log0.5x，在x＞0上为减函数，∵0.4＜0.6，∴log0..50.4＞log0..50.6，故B 正确；C、∵y=0.75x，在R上为减函数，∵﹣0.1＜0.1，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，故C错误；D、∵y=lgx，在x＞0上为增函数，∵1.6＞1.4，∴lg1.6＞lg1.4，故D正确；故选：C．9．（5分）函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则实数a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=a x为增函数，又∵函数f（x）=a x在区间[1，2]上的最大值比最小值大，∴a2﹣a=，解得：a=，或a=0（舍去），当0＜a＜1时，函数f（x）=a x为减函数，又∵函数f（x）=a x在区间[1，2]上的最大值比最小值大，∴a﹣a2=，解得：a=，或a=0（舍去），综上所述，实数a的值为，故选：D．10．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选：C．11．（5分）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，所以排除A，B当x=1时，f（x）=0排除C故选：D．12．（5分）若函数y=的定义域为R，则实数m的取值范围是（）A．（0，]B．（0，）C．[0，]D．[0，）【解答】解：∵y=的定义域为R，当m=0，∴mx2+4mx+3=3满足题意；当m≠0时，由△=16m2﹣12m＜0，解得0＜m＜．综上，当0≤m＜，即m∈[0，）时，函数y=的定义域为R．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）函数f（x）=的定义域为（﹣1，1）∪（1，+∞）．【解答】解：由，解得：x＞﹣1且x≠1．∴函数f（x）=的定义域为：（﹣1，1）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣1，1）∪（1，+∞）．14．（5分）设，则=4．【解答】解：∵，∴f（）==2，=f（2）=22=4．故答案为：4．15．（5分）函数f（x）=log a（x﹣1）+3的图象恒过定点P，则P的坐标是（2，3）．【解答】解：由对数的性质可得log a1=0，∴令x﹣1=1可得x=2，∴f（2）=log a（2﹣1）+3=3，∴函数图象恒过定点（2，3），故答案为：（2，3）16．（5分）已知定义域为R的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=0，则不等式f（log4x）＜0的解集是（，16）．【解答】解：∵f（2）=0，∴不等式f（log4x）＜0可化为f（log4x）＜f（2），又∵定义域为R的偶函数f（x），∴可得f（|log4x|）＜f（2）．∵f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴|log4x|＜2，化为﹣2＜log4x＜2，解得＜x＜16．故答案为：（，16）．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）计算以下式子的值：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式=﹣4﹣1+×=﹣3；（2）原式=．18．（12分）设A=（﹣∞，4），函数的定义域为集合B．求：（1）B；（2）A∩B，A∪B，∁R（A∩B）【解答】解：（1）要使函数g（x）=有意义，须有x2﹣2x﹣3≥0，即（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥3，∴B=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）；（2）∵A=（﹣∞，4），B=（﹣∞，1]∪[3，+∞），∴A∩B=（﹣∞，﹣1]∪[3，4）；A∪B=R，∁R（A∩B）=（﹣1，3）∪[4，+∞）．19．（12分）已知函数，且f（1）=5．（I）求a的值；（Ⅱ）证明f（x）为奇函数；（Ⅲ）判断函数f（x）在[2，+∞）上的单调性，并加以证明．【解答】解：（I）由题意可得f（1）==5，解之可得a=1；（Ⅱ）可得，x≠0故==﹣f（x）故函数f（x）为奇函数；（Ⅲ）可得=x+，任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣（）=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣）=（x1﹣x2），∵2≤x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞4，x1x2﹣4＞0，∴f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）＜0即f（x1）＜f（x2），故函数f（x）在[2，+∞）上单调递增．20．（12分）已知函数f（x）=x|x﹣m|，x∈R．且f（4）=0（1）求实数m的值．（2）作出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间（3）若方程f（x）=k有三个实数解，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（4）=0，∴4|4﹣m|=0∴m=4，（2）f（x）=x|x﹣4|=图象如图所示：由图象可知，函数在（﹣∞，2），（4，+∞）上单调递增，在（2，4）上单调递减．（3）方程f（x）=k的解的个数等价于函数y=f（x）与函数y=k的图象交点的个数，由图可知k∈（0，4）．21．（12分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示．（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f（t）；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）【解答】解：（1）由图一可得市场售价与时间的函数关系为（2分）由图二可得种植成本与时间的函数关系为．（4分）（2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）=f（t）﹣g（t），即h（t）=（6分）当0≤t≤200时，配方整理得h（t）=．所以，当t=50时，h（t）取得区间[0，200]上的最大值100；当200＜t≤300时，配方整理得h（t）=，所以，当t=300时，h（t）取得区间（200，300）上的最大值87.5（10分）、综上，由100＞87.5可知，h（t）在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．（12分）22．（12分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即又由f（1）=﹣f（﹣1）知．所以a=2，b=1．经检验a=2，b=1时，是奇函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．又因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，从而判别式．所以k的取值范围是k ＜﹣．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。