高考数学一轮必备 6.1《数列的概念与简单表示法》考情分析学案

6.1数列的概念与简单表示法考情分析高考中主要在选择题、填空题中考查等差数列的定义、基本运算和性质，在解答题中多考查等差数列的证明 基础知识1、等差数列的判定：（1）定义法：*1()n n a a d n N +-=∈（2）等差中项法：*112(2)n n n a a a n N n -+=+∈≥且（3）通项公式法：(,)n a kn b k b R =+∈（4）2(,)n S An Bn A B R =+∈ （5）若{},{}n n a b 均为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，则232{}{}{,,}n n n k k k k kS ma kb l S S S S S k n++--；；即相邻项和；由原等差数列中相隔k 项的项从新组成的数列仍等差 要否定是等差数列，只需举一组反例即可2、等差数列的性质（1）通项公式：①1(1)n a a n d =+-②()n m a a n m d -=- （2）前n 项和公式：①1()2n n n a a S +=②1(1)2n n n S na d -=+ （3）下脚标性质：若m+n=p+q ，则m n p q a a a a +=+ （4）奇偶项的性质：项数为2n 的等差数列有11=,=(,nn n n S a S S nd a a S a ++-奇偶奇偶为中间两项）；项数为奇数21n -的等差数列有21(21)n n S n a -=-，n n =a ,=n-1S S S S -奇偶奇偶(n a 为中间项） （5）几个常用结论：①若,()n m a m a n m n ==≠则0m n a +=②若,()n m S m S n m n ==≠则()m n S m n +=-+③若()m n S S m n =≠则0m n S +=④若,n n S T 分别为等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，则2121m m m m a S b T --=（6）两个常用技巧：若三个数成等差通常设成,,a d a a d -+，若四个数成等差通常3,,,3a d a d a d a d --++，方便计算注意事项1.数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．2.(1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列，这有别于集合中元素的无序性．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现． 3.由递推式求通项a n 的方法： (1)a n ＋1－a n ＝f (n )型，采用叠加法； (2)a n ＋1a n＝f (n )型，采用叠乘法； (3)a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)型，采用待定系数法转化为等比数列解决． 题型一 由数列的前几项求数列的通项 【例1】►写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，…；(4)3,33,333,3 333，….解 (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23，24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋－nn.也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为：93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1，104－1，…，所以a n ＝13(10n－1)．【变式1】下列四个关于数列的说法：①数列可以看成一个定义在N *(或它的有限子集{1,2，…，n })上的函数； ②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ④数列的通项公式是唯一的．其中正确说法的序号是( ) A. ①②③ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③④答案：C解析：∵②中数列项数可以有无限项，故②错．④中数列的通项公式不一定唯一，有的有多个，故④错．①③正确．故选C. 题型二 由a n 与S n 的关系求通项a n【例2】已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n＋2.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝5， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(3n＋2)－(3n －1＋2)＝2·3n －1.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5， n ＝1，2·3n －1n ≥2.【变式2】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝16n －5，n ≥2题型三 由数列的递推公式求通项【例3】►根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)；(3)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n ＋3n ＋2，且a 1＝2，求a n . 解 (1)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3， 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.(2)∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n.(3)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2，∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n n ＋2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n 2.【变式3】 根据下列各个数列{a n }的首项和基本关系式，求其通项公式． (1)a 1＝1， a n ＝a n －1＋3n －1(n ≥2)；(2)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n .解 (1)∵a n ＝a n －1＋3n －1(n ≥2)，∴a n －1＝a n －2＋3n －2，a n －2＝a n －3＋3n －3，…a 2＝a 1＋31，以上(n －1)个式子相加得a n ＝a 1＋31＋32＋…＋3n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n－12.(2)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ，∴a n ＋1－a n ＝l n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln n ＋1n，∴a n －a n －1＝ln nn －1，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2， …a 2－a 1＝ln 21，以上(n －1)个式相加得， ∴a n －a 1＝lnnn －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＝ln n ．又a 1＝2，∴a n ＝ln n ＋2.题型四 数列性质的应用【例4】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1(n >1)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a n ＝2013，求n .解：(1)∵a 1＝1，且a n ＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1(n >1)．∴a 2＝a 1＝1，a n ＋1＝a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1＋1n a n (n ≥1)．∴a n ＋1－a n ＝1na n (n ≥2)．∴a n ＋1＝n ＋1na n ， ∴a n ＋1n ＋1＝a nn(n ≥2)． ∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 22＝12，∴a n ＝n2(n ≥2)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝n2n(2)∵a n ＝n2＝2013，∴n ＝4026. 【训练4】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2＋24n (n ∈N *)． (1)求{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，S n 达到最大？最大值是多少？ 解 (1)n ＝1时，a 1＝S 1＝23.n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋24n ＋(n －1)2－24(n －1)＝－2n ＋25.经验证，a 1＝23符合a n＝－2n ＋25，∴a n ＝－2n ＋25(n ∈N *)．(2)法一 ∵S n ＝－n 2＋24n ，∴n ＝12时，S n 最大且S n ＝144. 法二 ∵a n ＝－2n ＋25，∴a n ＝－2n ＋25＞0，有n ＜252.∴a 12＞0，a 13＜0， 故S 12最大，最大值为144.重难点突破【例5】数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ 解：(1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16，即150是这个数列的第16项． (3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍)，∴从第7项起各项都是正数． 巩固提高1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2，则a 2等于 ( ) A. 4 B. 2 C. 1 D. －2答案：A解析：∵S n ＝2a n －2，∴S 1＝a 1＝2a 1－2. 即a 1＝2，又S 2＝a 1＋a 2＝2a 2－2，∴a 2＝4.2.已知数列2，5，22，11，…，则25在这个数列中的项数为( ) A. 6 B. 7 C. 19 D. 11 答案：B解析：设2，5，8，11，…形成的数列为{a n }，被开方数形成的数列为{b n }，从形式上讲，每一项都有二次根号，被开方数为2,5,8,11，…，易归纳出数列{b n }的一个通项公式为b n ＝3n －1，所以a n ＝3n －1，25＝20＝3n －1，解得n ＝7，所以25是这个数列的第7项．3.已知数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，若a 1＝12，则a 2012＝( )A. 12 B. 2 C. －1D. 1答案：B解析：由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n 得a 2＝11－a 1＝2，a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝11－a 4＝2，…，于是a 3n ＋1＝12，a 3n ＋2＝2，a 3n ＋3＝－1，因此a 2012＝a 3×670＋2＝2，故选B.4. 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *)，则此数列是( ) A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列答案：C解析：∵S n ＋S n ＋1＝a n ＋1， ∴当n ≥2时，S n －1＋S n ＝a n . 两式相减得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ， ∴a n ＝0(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＋(a 1＋a 2)＝a 2，∴a 1＝0， ∴a n ＝0(n ∈N *)，故选C.5.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)(78)n，则当a n 取得最大值时，n 等于( )A. 5B. 6C. 5或6D. 7答案：C解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＋78nn ＋78n －1，n ＋78n n ＋78n ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6.。