从系统动态方程求系统传递函数(阵)
第2章(4)-控制系统的状态空间表达式
2-5 系统状态方程的线性变换2-5-1 系统状态空间表达式的非唯一性系统动态方程建立，无论是从实际物理系统出发，还是从系统方块图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性，因而求得的系统的状态方程也有很大的人为因素，很大的随意性，因此会得出不同的系统状态方程。
实际物理系统虽然结构不可能变化，但不同的状态变量取法就产生不同的动态方程；系统方块图在取状态变量之前需要进行等效变换，而等效变换过程就有很大程度上的随意性，因此会产生一定程度上的结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生，因而也肯定产生不同的动态方程。
所以说系统动态方程是非唯一的。
虽然同一实际物理系统，或者同一方块图，或同一传递函数所产生的动态方程各种各样，其独立的状态变量的个数是相同的，而且各种不同动态方程间也是有一定联系的，这种联系就是变量间的线性变换关系。
设给定的系统为：作线性变换：Tz x = 即x T z 1-=T --为非奇异矩阵（变换矩阵）则：Bu T ATz T z11--+= ， ()()01100x T x T z --== 因为T 为任意非奇异矩阵，所以状态空间表达式为非唯一的。
2-5-2系统特征值的不变性及系统的不变量 1． 系统特征值 特征方程：0=-A I λ系统特征值即为特征方程的根。
2． 系统的不变量与特征值的不变性 系统经非奇异变换后，其特征值是不变的。
证明：系统经非奇异变换后，得 其特征方程为：()AI A I T T T A I TTA I T AT T T T AT T T T AT T I -=-=-=-=-=-=---------λλλλλλλ11111111所以，特征值是不变的。
因为 00111=++++=---a a a A I n n n λλλλ所以，1210,,,--n n a a a a 是不变的，为系统的不变量。
2-4 线性系统的传递函数
0
T
t
11
惯性环节的实例如下图所示。
R C uc
ur
(a)
在图(a)所示的电路中，输出电压uc与输入电 压ur间的微分方程为
du c T + uc = ur dt
式中T=RC，为电路的时间常数。
12
if uf
Rf
Lf
(b)
在图(b)所示的直流电机的激磁电路中，当 以激磁电压uf为输入量、以激磁电流if为输出量 时，其电路方程为
G (s) = R(s) =
m m −1 1 0
a n s + a n −1 s
n
n −1
+ …… + a1 s + a 0
( 2 − 50 )
可见，传递函数是由系统微分方程经拉氏变换而引出 的。 系统输入、输出及传递函数之间的相互关系可用 下图表示，输出是由输入经过G(s)的传递而得到的， 因此称G(s)为传递函数。因为传递函数是在零初始条 件下定义的，故在初始条件为零时，它才能完全表征 系统的动态性能。
+ (a)
C ic uc
ur n θ
(b)
ur 在图(a)中，因为 i c = i = R
容两端电压，所以有
uc = 1 c
而输出电压uc近似等于电
∫ i c dt =
在图(b)中，以电动机的转速n(转/分)为输入量， 以减速齿轮带动负载运动的轴的角位移θ为输出量， 可得微分方程 1
θ (t ) =
§2-4 线性系统的传递函数
控制系统的微分方程，是时域中描述系统动态性 能的数学模型，求解微分方程可以得到在给定外界作 用及初始条件下系统的输出响应，并可通过响应曲线 直观地反映出系统的动态过程。但系统的参数或结构 形式有变化，微分方程及其解都会同时变化，不便于 对系统进行分析与研究。 根据求解微分方程的拉氏变换法，可以得到系统 的另一种数学模型——传递函数。它不仅可以表征系 统的动态特性，而且可以方便地研究系统的参数或结 构的变化对系统性能所产生的影响。在经典控制理论 中广泛应用的根轨迹法和频率法，就是在传递函数基 础上建立起来的。
第四章 系统传递函数模型
4．1 传递函数定义及
其特性 1 传递函数的作用：
传递函数是对线性系统分析和研究的基本数学 工具，对标准形式的微分方程进行拉普拉斯变换， 可以将其转化为代数方程，这样不仅将实数域中的 微分、积分运算简化为复数域中的代数运算，大大 简化了运算，而且根据传递函数还可以导出系统的 频率特性。利用传递函数可以得到系统的频率特性， 利用这些频率特性与系统的参数关系，还可以对系 统进行参数识别。
2)
|s1
5
1 0.6 2
1
则系统的留数为： k1 6 k2 7
k3 1
传递函数的留数形式为： H (s) 6 7 1
s 3 s 2 s 1
例4-4 已知系统的传递函数为:
H (s)
s3
s2 2s2
3s 1 5s 10
将系统模型写成零极点增益模型：
解：零极点模型
H (s) (s 2.618 )(s 0.328 ) (s 2.618)(s 0.328 )
H1 (s)
H和2 (s)
个系统串联
，将两个系统串联，分析两
后u 的总系uc 统的传y 递函数。
H1
H2
u
y
H
uc u H1(s)
因为y u H1(s) H 2 (s) u H (s) 即
y uc H 2 (s) H (s) H1(s) H2 (s)
结论：当两个线性系统模型串联时，其等效系统的 传递函数等于串联系统中两传递函数的乘积，
x1 (s)
csx(s) (k1 cs)
(ms 2
cs k2 )x(s)
f (s) cs csx(s) (k1 cs)
H (s) x(s)
cs k1
f (s) mcs 3 mk1s 2 c(k1 k2 )s k1k2
现代控制理论习题解答
《现代控制理论》第1章习题解答1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？ 答：线性系统的状态空间模型为：x Ax Buy Cx Du=+=+线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A ，B ，C 和D 中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A ，B ，C 和D 中有时变的元素。
线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统，而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。
1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？ 答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下:1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。
对于n 阶传递函数1212101110()n n n n n n n b s b s b s b G s d s a s a s a ------++++=+++++，分别有⑴ 能控标准型： []012101210100000100000101n n n x x u a a a a y b b b b x du---⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪----⎣⎦⎣⎦⎪=+⎪⎩⑵ 能观标准型： []0011221100010001000101n n n b a b a x a x u b a b y x du---⎧-⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥-⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥=-+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪-⎣⎦⎣⎦⎪=+⎪⎩ ⑶ 对角线标准型： []1212001001001n n p px x u p y c c c x du⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎪=+⎩ 式中的12,,,n p p p 和12,,,n c c c 可由下式给出，12121012111012()n n n n nn n n nb s b s b s bc c c G sd d s a s a s a s p s p s p ------++++=+=++++++++--- 能控标准型的特点：状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定，其余部分具有特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是1外，其余全为0。
第2章_控制系统的动态数学模型_2.4传递函数以及典型环节的传递函数
第2章 控制系统的动态数学模型 2.4 传递函数以及典型环节的传递函数
2.4.1 传递函数的基本概念 （1）传递函数的定义 ）
线性定常系统在零初始条件下，输出量的 拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统 的传递函数。
X o (s ) G (s ) = X i (s )
m n bm * K = =K ∏(-Zi ) / ∏(− pj ) an i=1 j =1
∏(s − zj ) j=1
m
∏(s − pi ) i=1
n
为传递函数的增益
b0 K = a0
*
为根轨迹增益
T和τi 为时间常数 i
零、极点分布图：
b0(s − z1)(s − z2 )… (s − zm) M(s) … G(s) = = a0 (s − p1)(s − p2)… (s − pn ) D(s) …
描述该线性定常系统的传递函数为
…+bm−1s + bm Xo (s) b0sm + bsm−1 +… 1 G(s) = = Xi (s) a0sn + a1sn−1 +… …+ an−1s + an M(s) = D(s)
式 ： (s) = b0sm + bsm−1 +… 中 M …+ bm−1s + bm 1 D(s) = a0sn + a1sn−1 +… …+ an−1s + an
LCs U c ( s ) + RCsU c ( s ) + U c ( s ) = U r ( s )
2
按照定义，系统的传递函数为：
U c (s) 1 = G (s) = U i ( s ) LCs 2 + RCs + 1
现代控制理论基础_周军_第二章状态空间分析法
2.1 状态空间描述的基本概念系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。
经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入－输出关系的传递函数，基于传递函数设计单输入－单输出系统极为有效，可从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。
但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。
因此传递函数不能包含系统的所有信息。
由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。
于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法－状态空间分析法。
第一节基本概念状态变量指描述系统运动的一组独立（数目最少的）变量。
一个用阶微分方程描述含有个独立变量的系统，当求得个独立变量随时间变化的规律时，系统状态可完全确定。
若变量数目多于，必有变量不独立；若少于，又不足以描述系统状态。
因此，当系统能用最少的个变量完全确定系统状态时，则称这个变量为系统的状态变量。
选取状态变量应满足以下条件：给定时刻的初始值，以及的输入值，可唯一确定系统将来的状态。
而时刻的状态表示时刻以前的系统运动的历史总结，故状态变量是对系统过去、现在和将来行为的描述。
状态变量的选取具有非唯一性，即可用某一组、也可用另一组数目最少的变量。
状态变量不一定要象系统输出量那样，在物理上是可测量或可观察的量，但在实用上毕竟还是选择容易测量的一些量，以便满足实现状态反馈、改善系统性能的需要。
状态向量把描述系统状态的个状态变量看作向量的分量，则称为状态向量，记以,上标为矩阵转置记号。
若状态向量由个分量组成，则称维状态向量。
《自动控制原理》(卢京潮,西北工业大学)第八章习题及答案[1]
![《自动控制原理》(卢京潮,西北工业大学)第八章习题及答案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/8d525e39580216fc700afdd2.png)
&1 ⎤ ⎡ 0 0 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡x ⎢x ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ & ⎢ 2 ⎥ = ⎢ − 2 − 3 0 ⎥ ⎢ x 2 ⎥ + ⎢ 2⎥ u ⎢ &3 ⎥ 2 − 3⎥ ⎣0 ⎦⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎣x ⎦ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎡ x1 ⎤ ⎥ y = x1 = [1 0 0]⎢ ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦
181
由上式，可列动态方程如下
⎡ &1 ⎤ ⎢0 ⎡x 1 ⎥ ⎢x ⎢ & 0 ⎢ 2 ⎥ = ⎢0 R f + K bCm a m ⎢ &3 ⎥ ⎦ ⎢0 − ⎣x La J m ⎢ ⎣
⎤ 0 ⎥ ⎥ 1 La f m + J m R a ⎥ ⎥ − La J m ⎥ ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎢ ⎢ x ⎥ + ⎢0 ⎢ 2 ⎥ ⎢0 ⎢ ⎦ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎢ Cm
182
⎡ ⎢ 0 由上式可得变换矩阵为 T = ⎢ 0 ⎢C ⎢ m ⎢ ⎣ Jm
8-2
1 0
⎤ 0 ⎥ 1 ⎥ f ⎥ 0 − m⎥ Jm ⎥ ⎦
&& + 6 & & + 11y & + 6 y = 6u 。式中 u 和 y 分别为系统输入、输 设系统微分方程为 & y y
出量。试列写可控标准型（即矩阵 A 为友矩阵）及可观测标准型(即矩阵 A 为友矩阵转置) 状态空间表达式，并画出状态变量图。 解： 由题意可得：
0⎤ ⎥ et ⎦
187
( sI − A) −1
⎡s + 1 0 ⎤ =⎢ s − 1⎥ ⎣ 0 ⎦
传递函数阵
串联联结(3/5)
相应的输出方程为
y y2 C2 x2 D2 u2 C2 x2 D2 (C1 x1 D1u1 ) D2C1 x1 C2 x2 D2 D1u
若对此系统作线性状态变换 x Px ,则相应的状态空间 表达式为 ( A, B, C, D) ,相应的传递函数阵 ~ ~ ~ 1 ~ ~ G ( s) C ( sI A) B D 其中 A P 1 AP , B P 1B, C CP , D D
即有
x1 A1 0 x1 B1 x B D u x2 B2C1 A2 2 2 1 y D C C x1 D D u 2 1 2 x 2 1 2
串联联结(4/5)
因此,由上述状态空间模型可知,串联连接组合系统的状态 变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。 由串联组合系统的状态空间模型可求得组合系统的传递函数 阵为
G ( s ) D2 C1 D2 C1 A1 C2 sI B2 C1 0 B1 B D D2 D1 A2 2 1 B 1 D2 D1 1 sI A2 B2 D1 0
x1 A1 x 0 2
C1
0 x1 B1 x B u A2 2 2
y C1 x1 D1u1 C2 x 2 D2 u2 x1 C2 ( D1 D2 )u x2
现代控制理论经典习题
第一周绪论1、我国人民哪些发明属于在经典控制理论萌芽阶段的发明？（AB）A指南车B水运仪象台C指南针D印刷术2、经典控制理论也可以称为（BD）A现代控制理论B自动控制理论C近代控制理论D古典控制理论3、以下哪些内容属于现代控制理论基础的内容？（AB）A李雅普诺夫稳定性理论B极小值原理C频率响应法D根轨迹法4、传递函数模型假设模型初值不为零。
（X）5、传递函数描述的是单输入单输出的外部描述模型。
（X）6、线性系统理论属于现代控制理论的知识体系中数学模型部分。
（，）7、最优控制理论属于现代控制理论的知识体系中估计方法部分。
（X）8、控制科学的意义下，现代控制理论主要研究（数学建模）和（控制理论方法）的科学问题。
9、现代控制理论在整个控制理论发展中起到了（承上启下）的作用。
10、除了稳定性外，现代控制理论基础还考虑系统（能控性）和（能观测性）两个内部特性。
一、现代控制理论作为一门科学技术，已经得到了广泛的运用。
你还知道现代控制理论具体应用到哪些具体实际的例子么？第二周状态空间描述下的动态方程1、关于输出方程，下列哪些说法是正确的？（BD）A输出方程中状态变量必须是一阶的B输出方程中不含输入的任何阶倒数C输出方程中输入变量可以是任意阶的D输出方程中不含状态变量的任何阶倒数2、关于系统的动态方程，下列哪些说法是正确的？（AB）A系统的状态方程的状态变量的个数是惟一的B系统输出方程的输入输出变量是惟一的C系统输出方程的输入输出变量是不惟一的D系统的状态方程的状态变量是惟一的3、对于一个有多个动态方程表示的系统，下列说法正确的是？（AC）A这些动态方程一定是等价的B这些动态方程经过线性变化后，不能转化为一个动态方程C这些动态方程经过线性变化后，可以转化为一个动态方程D这些动态方程不一定是等价的4、选取的状态向量是线性相关的（X）5、状态向量的选取是不唯一的（/）6、状态向量的个数是不唯一的（X）7、输出方程的选取是不唯一的（/）8、（系统的输出量与状态变量、输入变量关系的数学表达式）称为输出方程。
现代控制理论第版课后习题答案
现代控制理论参考答案第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式; 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ,则1x y =所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示;以电压)(t u 为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程; 解：由图,令32211,,x u x i x i c ===,输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：1-4 两输入1u ,2u ,两输出1y ,2y 的系统,其模拟结构图如图1-30所示,试求其状态空间表达式和传递函数阵;解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的模拟结构图; 解：令..3.21y x y x y x ===，，,则有 相应的模拟结构图如下： 1-6 2已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟结构图解：ss s s s s s s s W 31233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-++-=+++=1-7 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘（1） 画出其模拟结构图（2） 求系统的传递函数 解：2⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010A 解：A 的特征方程 061166712230123=+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ当11-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P 或令111-=p ,得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P 当21-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p解得： 1232122221,2p p p p =-= 令212=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1423222122p p p P或令112=p ,得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21213222122p p p P 当31-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---33231333231336712203010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3313323133p p p P 1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型并联分解2⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x解：A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 当31=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P 当32=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P 当13=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p 解之得3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1s 和W 2s试求两子系统串联联结和并联连接时,系统的传递函数阵,并讨论所得结果 解：1串联联结 2并联联结1-11 第3版教材已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数 解：1-11第2版教材 已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数 解：1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示,并使驱动函数u 的系数b 即控制列阵为 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11b 解法1： 解法2：求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011T 所以,状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e ;2 A=1141⎛⎫⎪⎝⎭解：第一种方法： 令0I A λ-=则11041λλ--=-- ,即()2140λ--=;求解得到13λ=,21λ=- 当13λ=时,特征矢量11121p p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由 111Ap p λ=,得11112121311341p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即112111112121343p p p p p p +=⎧⎨+=⎩,可令112p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当21λ=-时,特征矢量12222p p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由222Ap p λ=,得121222221141p p p p -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即1222121222224p p p p p p +=-⎧⎨+=-⎩ ,可令212p ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦则1122T ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,111241124T -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦第二种方法,即拉氏反变换法：第三种方法,即凯莱—哈密顿定理 由第一种方法可知13λ=,21λ=-2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件,如果满足,试求与之对应的A 阵;3()22222222t tt t ttt t e e e e t e e e e --------⎡⎤--Φ=⎢⎥--⎣⎦ 4()()()()3333112412t t t t t tt t e e e e t e e e e ----⎡⎤+-+⎢⎥Φ=⎢⎥⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦解：3因为 ()10001I ⎡⎤Φ==⎢⎥⎣⎦,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 4因为()10001I ⎡⎤Φ==⎢⎥⎣⎦,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件2-6 求下列状态空间表达式的解：初始状态()101x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,输入()u t 时单位阶跃函数;解： 0100A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 因为 01B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,()()u t I t =2-9 有系统如图所示,试求离散化的状态空间表达式;设采样周期分别为T=和1s,而1u 和2u 为分段常数; 图 系统结构图 解：将此图化成模拟结构图 列出状态方程则离散时间状态空间表达式为 由()At G T e =和()0TAt H T e dtB =⎰得：当T=1时 ()()()()11111001111k e e x k x k u k e ke ----⎡⎤-⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦当T=时 ()()()()()0.10.10.10.11001110.90.1k e e x k x k u k e k e ----⎡⎤-⎡⎤⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦第三章习题3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性;系统中a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关,若有关,其取值条件如何 1系统如图所示： 解：由图可得： 状态空间表达式为：由于•2x 、•3x 、•4x 与u 无关,因而状态不能完全能控,为不能控系统;由于y 只与3x 有关,因而系统为不完全能观的,为不能观系统; 3系统如下式：解：如状态方程与输出方程所示,A 为约旦标准形;要使系统能控,控制矩阵b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为0,故有0,0≠≠b a ;要使系统能观,则C 中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有0,0≠≠d c ; 3-2时不变系统试用两种方法判别其能控性和能观性; 解：方法一：方法二：将系统化为约旦标准形;⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1-111T ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=21212121T 1- B T -1中有全为零的行,系统不可控;CT 中没有全为0的列,系统可观; 3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数i i βα和 解：构造能控阵：要使系统完全能控,则211αα≠+,即0121≠+-αα 构造能观阵：要使系统完全能观,则121αα-≠-,即0121≠+-αα 3-4设系统的传递函数是1当a 取何值时,系统将是不完全能控或不完全能观的 2当a 取上述值时,求使系统的完全能控的状态空间表达式; 3当a 取上述值时,求使系统的完全能观的状态空间表达式; 解：1 方法1 ：)6)(3)(1()()()(++++==s s s as s u s y s W 系统能控且能观的条件为Ws 没有零极点对消;因此当a=1,或a=3或a=6时,系统为不能控或不能观; 方法2：系统能控且能观的条件为矩阵C 不存在全为0的列;因此当a=1,或a=3或a=6时,系统为不能控或不能观;2当a=1, a=3或a=6时,系统可化为能控标准I 型3根据对偶原理,当a=1, a=2或a=4时,系统的能观标准II 型为 3-6已知系统的微分方程为：u y y y y 66116...=+++试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数; 解：63611603210=====b a a a a ，，，，系统的状态空间表达式为 传递函数为其对偶系统的状态空间表达式为： 传递函数为61166)(23+--=s s s s W 3-9已知系统的传递函数为 试求其能控标准型和能观标准型;解：345213486)(222++++=++++=s s s s s s s s W系统的能控标准I 型为 能观标准II 型为3-10给定下列状态空间方程,试判别其是否变换为能控和能观标准型;解：[]100210311032010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=C b A ，， 3-11试将下列系统按能控性进行分解1[]111,100,340010121-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A 解：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==9310004102b A Ab bM rankM=2<3,系统不是完全能控的; 构造奇异变换阵c R ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==010*********R Ab R b R ，，,其中3R 是任意的,只要满足c R 满秩;即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=031100010c R 得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-010*******c R 3-12 试将下列系统按能观性进行结构分解1 []111,100,340010121-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A 解： 由已知得[]111,100,340010121-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A 则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4742321112CA CA C Nrank N=2<3,该系统不能观构造非奇异变换矩阵10R -,有10111232001R --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 则0311210001R --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解1[]211,221,102322001=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C b A 解：由已知得211121226202M A Ab Ab ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦rank M=3,则系统能控 rank N=3,则系统能观所以此系统为能控并且能观系统取211121226202c T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,则1217344173215344c T -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦则002105014A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,12100c B T b -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦,[]271323c c cT == 3-14求下列传递函数阵的最小实现; 1 ()111111w s s ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦解： 01α=,01111B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1001c A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 1001c B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1111c C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,0000c D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 系统能控不能观取101101R -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则01101R -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以10010ˆ01A R AR --⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦,1011ˆ01c B R B -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 010ˆ10c C C R ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦,00ˆ00D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以最小实现为ˆ1m A =,[]ˆ11m B =,1ˆ1m C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,00ˆ00m D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 验证：()()1111ˆˆˆ111m mm C sI A B w s s -⎡⎤-==⎢⎥+⎣⎦3-15设1∑和2∑是两个能控且能观的系统1试分析由1∑和2∑所组成的串联系统的能控性和能观性,并写出其传递函数； 2试分析由1∑和2∑所组成的并联系统的能控性和能观性,并写出其传递函数; 解： 11∑和2∑串联当1∑的输出1y 是2∑的输入2u 时,331222x x x x =-++010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,[]001y x = 则rank M=2<3,所以系统不完全能控; 当2∑得输出2y 是1∑的输入1u 时011034100021x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,[]210y x = 因为 2001016124M bAbA b ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦rank M=3 则系统能控因为2210321654c N cA cA ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦rank N=2<3 则系统不能观 21∑和2∑并联010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,[]211y x = 因为rank M=3,所以系统完全能控 因为rank N=3,所以系统完全能观现代控制理论第四章习题答案4-1判断下列二次型函数的符号性质：1222123122313()31122Q x x x x x x x x x x =---+-- 2222123122313()4262v x x x x x x x x x x =++--- 解：1由已知得110∆=-<,2112013-∆==>-,31111711302411112--∆=--=-<--- 因此()Q x 是负定的 2由已知得110∆=>,2113014-∆==>-,3111143160131--∆=--=-<--因此()Q x 不是正定的 4-2已知二阶系统的状态方程：试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件;解：方法1：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定,则要求满足A 的特征值均具有负实部;即：有解,且解具有负实部; 即：1122112212210a a a a a a +<>且方法2：系统的原点平衡状态0e x =为大范围渐近稳定,等价于T A P PA Q +=-;取Q I =,令11121222PP P P P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则带入TA P PA Q +=-,得到 若 11211211222111221122122112222204()()0022a a a a a a a a a a a a a a +=+-≠,则此方程组有唯一解;即 其中11221221det A A a a a a ==- 要求P 正定,则要求 因此11220a a +<,且det 0A >4-3试用lyapunov 第二法确定下列系统原点的稳定性;11123x x -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 21111x x -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦解：1系统唯一的平衡状态是0e x =;选取Lyapunov 函数为2212()0V x x x =+>,则 ()V x •是负定的;x →∞,有()V x →∞;即系统在原点处大范围渐近稳定;2系统唯一的平衡状态是0e x =;选取Lyapunov 函数为2212()0V x x x =+>,则 ()V x •是负定的;x →∞,有()V x →∞;即系统在原点处大范围渐近稳定;4-6设非线性系统状态方程为： 试确定平衡状态的稳定性;解：若采用克拉索夫斯基法,则依题意有： 取P I =很明显,()Q x 的符号无法确定,故改用李雅普诺夫第二法;选取Lyapunov 函数为2212()0V x x x =+>,则()V x •是负定的;x →∞,有()V x →∞;即系统在原点处大范围渐近稳定;4-9设非线性方程：试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性; 解：1采用克拉索夫斯基法,依题意有：x →∞,有()V x →∞; 取P I =则2121013()132x Q x x ⎡⎤-+=⎢⎥-+⎣⎦,根据希尔维斯特判据,有： 2221121210310310132x x x -∆=∆==->-+，（）,()Q x 的符号无法判断; 2李雅普诺夫方法：选取Lyapunov 函数为421233()042V x x x =+>,则 ()V x •是负定的;x →∞,有()V x →∞;即系统在原点处大范围渐近稳定;4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数 解：假设()V x 的梯度为： 计算()V x 的导数为：选择参数,试选112212211,0a a a a ====,于是得：12x V x ⎛⎫∇= ⎪⎝⎭,显然满足旋度方程12122121,0V V x xx x x x ∂∇∂∇∂∂===∂∂∂∂即,表明上述选择的参数是允许的;则有：如果121211202x x x x -><或,则()V x •是负定的,因此,1212x x <是12x x 和的约束条件; 计算得到()V x 为：()V x 是正定的,因此在121211202x x x x -><即范围内,0e x =是渐进稳定的;现代控制理论第五章习题答案5-1已知系统状态方程为：试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1,-2,-3; 解：依题意有：2011012112M bAbA b ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦3rankM =,系统能控; 系统0(,,)A b C =∑的特征多项式为：则将系统写成能控标准I 型,则有010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦; 引入状态反馈后,系统的状态方程为：()x A bK x bu =++,其中3K ⨯为1矩阵,设[]012K k k k =,则系统(,,)K A bK C =∑的特征多项式为：根据给定的极点值,得到期望特征多项式为：比较*()()f f λλ与各对应项系数,可解得：012599k k k =-=-=-，则有：[]-5-9-9K =;5-3有系统：（1） 画出模拟结构图;（2） 若动态性能不满足要求,可否任意配置极点 （3） 若指定极点为-3,-3,求状态反馈阵; 解1系统模拟结构图如下：2系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统0(,,)A b C =∑完全能控; 对于系统0(,,)A b C =∑有： []0111M bAb ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦2rankM =,系统能控,故若系统动态性能不满足要求,可任意配置极点;3系统0(,,)A b C =∑的特征多项式为：则将系统写成能控标准I 型,则有010231x x u ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦; 引入状态反馈后,系统的状态方程为：()x A bK x bu =++,设[]01K k k =,则系统(,,)KA bK C =∑的特征多项式为：根据给定的极点值,得到期望特征多项式为：比较*()()f f λλ与各对应项系数,可解得：[]017373k k K =-=-=--，; 5-4设系统传递函数为试问能否利用状态反馈将传递函数变成 若有可能,试求出状态反馈K ,并画出系统结构图;解：6522)3)(2)(1()2)(1()(232--+-+=+-++-=s s s s s s s s s s s W由于传递函数无零极点对消,因此系统为能控且能观; 能控标准I 型为 令[] 210k k k K =为状态反馈阵,则闭环系统的特征多项式为由于状态反馈不改变系统的零点,根据题意,配置极点应为-2,-2,-3,得期望特征多项式为比较 )(λf 与 )(*λf 的对应项系数,可得 即[]52118---=K 系统结构图如下：5-5使判断下列系统通过状态反馈能否镇定;11222 A 011,01011b ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦解：系统的能控阵为：2240010115M bAbA b -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦3rankM =,系统能控; 由定理 5.2.1可知,采用状态反馈对系统0(,,)A b C =∑任意配置极点的充要条件是(,,)A b C =∑完全能控;又由于3rankM =,系统0(,,)A b C =∑能控,可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧,使闭环系统镇定; 5-7设计一个前馈补偿器,使系统 解耦,且解耦后的极点为1,1,2,2----; 解：0()()() d W s W s W s = 5-10已知系统：试设计一个状态观测器,使观测器的极点为-r,-2rr>0;解：因为1001c N cA ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦满秩,系统能观,可构造观测器; 系统特征多项式为[]21det det 0I A λλλλ-⎡⎤-==⎢⎥⎣⎦,所以有10010,0,10a a L ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦ 于是11001100x T ATx T bu x u --⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 引入反馈阵12g G g ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,使得观测器特征多项式：根据期望极点得期望特征式：比较()f λ与()*f λ各项系数得：即223r G r ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,反变换到x 状态下2201321023r r G TG r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 观测器方程为：。
由状态空间表达式求传递函数的方法经验
—
—
ｉ ｓ Ｉ — Ａ ｉ
Ｄ ：０
则 式 中：
ｃ ４ｓ —— Ｌ ＿ ＿ ＿ ｉ Ｓ Ｉ － Ａ ｉ
ａ ｄ ｊ （ Ｓ Ｉ — Ａ） Ｂ Ｊ
（ Ｓ Ｉ － Ａ）— — 系统 的特 征矩 阵， ｌ ｓ ｌ — Ａｌ — — 系 统 的特 征 多项 式 ， ｌ Ｓ Ｉ － ＝Ｏ— — 系统 的特征 方程，
Ｓ ＋ｌ １
０
２
（ Ｓ ＋ ｌ Ｏ Ｘ Ｓ ＋ ８ ）
（ Ｓ ＋ １ ０ Ｘ Ｓ ＋ ８ ）
、 ●● ● ●， ●● ●●
］
Ｉ
Ｉ
１ ０ （ Ｓ ＋ ６ ４ １ 『 Ｓ ＋ １ ０ Ｘ Ｓ ＋ ８ ）
５ （ Ｓ ＋ ４ ） （ ｓ ＋ ｌ ０ Ｘ Ｓ ＋ ８ ）
．
Ｇ 【 （ Ｓ ） Ｇｄ Ｓ ）
Ｉ
Ｉ
ｓ ＋ １ ６ ）
（ ｓ ＋ １ ０ ） （ Ｓ ＋ ８ ）
１ ０ （ Ｓ ＋ ｌ ２ １ （ ｓ ＋ ｌ ｏ ｘ ｓ ＋ ８ ）
Ｇ ｚ 。 （ Ｓ ）
Ｇ Ｓ ）
厂 ｙ ｔ （ Ｓ ） ］ ｒ Ｇ （ Ｓ ）Ｇ ］ ｌ ｕ （ Ｓ ）１ Ｙ （ Ｌ ｌ Ｉ ． ｕ ） ： １ １ ｕ （ ｓ ） ，ｕ Ｉ Ｉ Ｙ ２ （ ｓ ） Ｊ Ｌ ｑ （ Ｓ ） Ｇ Ｌ ｕ ｊ
Ｇ （ ｓ 古
－
一 Ａ ） －
－
输 — —输 出的传 递 函数 矩阵 或写成 ： Ｃ ａｄ Ｓ Ａ） Ｉ Ｂ＋ Ｉ ＳＩ Ａ Ｉ Ｄ ｊ （
Ｇ（ Ｓ
． ． ． ． ． ． ． ． ． ．． ． ． ． ． ．
—
—
．
．
第二章 (2.3,2,4)动态结构图、反馈系统的传递函数
一、系统的开环传递函数
D(s)
闭环控制 系统的典型 结构：
R(s)
E(s) E(s)
_
B(s)
G1(s)
+
C(s) G2(s)
Y2(s)
(3) 反馈
R(s)
G(s) H(s)
C(s)
R(s)
C(s) G( s) ( s) 1 H ( s)G ( s)
C ( s ) E ( s ) G( s ) [ R( s) C ( s) H ( s)]G ( s)
C ( s) G( s) ( s) R( s) 1 H ( s)G ( s)
H2 G1 G2 H1
1 G4
G3 a G4 H3
b
例2：综合点移动
综合点与引出 点互换位置了
G 33 G G 11 G
G2
G 22 G H 11 H
错！ 向同类移动
1并联
G3 G1
3串联
2反馈
G2 H1
G1
G4 G1 H1 输入 G1 H1 H1
两个
例3 作用分解
G2
a b
两个 输出
G3 H3
4
绘制双T网络结构图
R1
U1(s)
R2
urr(t) U (s)
I1(s)
sc1
I2(s)
1 C 1
I2(s)
sc2
1 C 2
ucc(t) U (s)
Ur(s)
求系统的传递函数的方法
求系统的传递函数的方法在控制系统中，传递函数是描述输入信号和输出信号之间关系的数学模型。
它是系统的重要属性，能够帮助我们分析系统的稳定性、动态响应和频率特性等。
求系统的传递函数的方法有多种，取决于系统的性质和所采用的建模方法。
以下是一些常见的方法：1. 物理建模法：对于具有明确物理意义和参数的系统，可以通过建立系统的物理方程来求解传递函数。
例如，对于机械系统可以通过牛顿力学方程，对于电路系统可以通过欧姆定律和基尔霍夫定律等来建立方程并求解传递函数。
2. 线性化法：对于非线性系统，可以通过在某一工作点处进行线性化来近似系统的动态行为。
线性化可以将非线性系统转化为线性系统，并利用线性系统的数学工具来求解传递函数。
线性化方法通常包括泰勒级数展开和小信号假设等。
3. 系统辨识法：对于未知系统或无法准确建立物理方程的系统，可以通过实验数据来识别系统的传递函数。
系统辨识方法可以分为基于时域数据的辨识和基于频域数据的辨识。
常用的系统辨识方法包括最小二乘法、极大似然法和频域辨识法等。
4. 转移函数法：对于线性时不变系统，可以通过拉普拉斯变换将系统的微分方程转化为复频域的代数方程。
然后通过对代数方程进行处理，可以得到系统的传递函数。
转移函数法适用于具有连续时间和离散时间的线性系统。
5. 状态空间法：对于具有多个输入和输出的系统，可以使用状态空间描述来求解传递函数。
状态空间法是一种基于系统的状态变量和状态方程的建模方法，通过矩阵运算可以得到系统的传递函数。
状态空间法适用于具有连续时间和离散时间的线性系统。
无论采用哪种方法，求解系统的传递函数都需要系统的特性和参数的输入。
因此，在实际应用中，需要通过实验数据、物理模型或者系统辨识等方式来获取系统的特性和参数。
传递函数的求解对于系统分析、控制器设计和系统优化等方面都具有重要意义，是控制工程中的基础内容。
北理工843控制工程考研习题整理(2)
G1(s) Xi（s） + — — —
+ G2(s) H(s) +
XO（s） G3(s)
5.求右图的输出信号 C(s)。
6. 求下图的输出信号 C(s)。
7. 试求下图所示系统的传递函数 C(s)/R(s)。
8. 试求下图所示系统的传递函数 C(s)/R(s)。
16.已知某单位负反馈系统为最小相位系统，其 对数幅频特性曲线的渐近线如图所示，试求其开 环传递函数 G（s）的表达式（其中阻尼比ξ=1/2） 。 dB L(ω) 20 0dB/dec -20dB/dec 0dB/dec 0 (rad/s) 0.1 2 5 10 -40dB/dec ω
17. 如下图为一机械系统（小车的质量为 m ，弹簧的弹性系数为 K ，不计小车 与地面的摩擦） ，若以冲击力 F(t)为输入量，小车位移 x(t)为输出量。 ① 求此系统的传递函数
第四部分：建模题 1. 下图为热水器电加热器。为了保持希望的温度，由温控开关接通或断开电加 热器的电源。在使用热水时，水箱中流出热水并补充冷水。试画出这一闭环系统 的原理方块图，若要改变所需温度时，定性地说明应怎样改变和操作。
2. 试说明上图所述系统，当水箱向外放热水和向里补充冷水时，系统应如何工 作并画出对应的系统方块图。 3. 机械系统如下图所示，其中，外力 f(t)为系统的输入，位移 x(t)为系统的输 出，m 为小车质量， k 为弹簧的弹性系数，B 为 阻尼器的阻尼系数，试求 系统的传递函数（小车与地面的摩擦不计）
R(S)
+ -
4 S(S+2)
C(S)
3. 下图所示为飞行器控制系统方块图。已知参数：KA=16,q=4 及 KK=4。试求取： （1）该系统的传递函数 C(s)/R(s)。 （2）该系统的阻尼比ξ及无阻尼自振频率ωn （3）反应单位阶跃函数过渡过程的超调量、峰值时间及过渡过程时间。
计算机控制技术-2传递函数矩阵
求得传递函数阵为：
2 s 2 4 s 29 s 3s 4 1 G ( s) 3 2 2 2 s 6 s 11s 6 4 s 56s 52 3s 17s 14
2013-6-11
5
[例2 ]
U1 ( s)
1 s2 1 s3
结论：不同的非奇异变换阵，对应不同的状态方程，非唯一性
2013-6-11 10
[系统的特征值和特征向量] 对于系统矩阵A，若存在一非零向量 v ，使得：Av v
则：
矩阵A的特征值（A特征方程的根）
矩阵A对应于特征值 的特征向量 矩阵A的特征矩阵 矩阵A的特征方程 矩阵A的特征多项式
v
I A
| I A | 0
| I A | n an1n1 a1 a0
由定义知： 设 i 为A的一个特征值，若存在某个n维非零向量 v i 使 Avi i vi ，则称 v i 为A的对应于 i 的特征向量。
vi v1i
2013-6-11
Yi ( s) Gij ( s) U j ( s)
[小结]：
2013-6-11
6
第四节 动态方程的线性变换
1、将状态空间表达式变换成对角线标准型 2、将状态空间表达式变换成约当标准型 3、将状态空间表达式变换成能控、能观标准型
2013-6-11
7
[线性非奇异变换]： 含义： 如果P是一个非奇异阵，则将 x Px 变换称为线性非奇异变换。 满足：
P
P 1
x P 1 x
8
两组状态变量的关系：
x Ax Bu y Cx Du
x Px
x Ax Bu y Cx Du
从系统动态方程求系统传递函数(阵)
与连续时间系 统传递函数在 形式上相同
W(z)
bm zm bm1zm1 zn an1zn1
b1z b0 a1z a0
第二章 状态空间分析法
2020/8/10
《现代控制理论》
河南工程学院
• 同连续时间系统一样，由离散时间系统差分方程 或脉冲传递函数求取离散状态空间表达式的过程 叫做离散系统的实现。
• 与离散时间系统相关的数学方法有差分方 程，信号Z变换，以及系统脉冲传递函数。
• 离散时间系统一般用差分方程表示其输入 和输出信号的关系。
第二章 状态空间分析法
2020/8/10
《现代控制理论》
河南工程学院
设系统n阶差分方程为：
y(k n) an1 y(k n 1) a1 y(k 1) a0 y(k)
第二章 状态空间分析法
2020/8/10
《现代控制理论》
河南工程学院
如果G(k)，H(k)，C(k)，D(k)均为常数矩阵，上式就 变为线性定常离散系统，其状态空间表达式为：
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k)
Cx(k
)
Du(k )
现代控制理论
14
第二章 状态空间分析法
2020/8/10
y(k)
cx(k )
其中： 0 1 0
0
0
1
G
0
0
0
a0 a1 a2
0
0
1
an1
0 0 h 0 b
c 1 0 0 0
19
第二章 状态空间分析法
2020/8/10
《现代控制理论》
河南工程学院
2．差分方程的输入函数包含u(k) u(k+1)，… 时 设系统差分方程为
3第三节由动态方程求传递函数
−1
0 0 1
6
Q 的逆为： −1 = Q [矩阵求逆回顾]：非奇异方阵 |Q| 0 s −1 0 s ，则： = s s − 1 + 5 − 1 0 = s 3 + 2s 2 + 3s + 5 令： = Q −1 Q 3 s+2 s −1 5 3 s + 2 q11 q12 q13 * Q = q21 q22 q23 ，式中： q31 q32 q33 s −1 −1 0 −1 0 2 q11 = = s + 2 s + 3, q12 = − = s + 2, q13 = =1 3 s+2 3 s+2 s −1 0 −1 0 s s 0 2 q21 = − = −5, q22 = = s + 2s, q23 = − =s 5 s+2 5 s+2 0 −1 0 s s −1 s −1 q31 = − = −5s, q32 = − = −3s − 5, q33 = − = s2 5 3 5 3 0 s 7 Saturday, June 25, 2011
= C[ s I − A]−1 B + D = G ( s ) 证毕。
−1 −1 −1
−1 −1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
Saturday, June 25, 2011
5
1 0 0 0 & 0 1 X + 0 u X = 0 ，试求传 [例]：已知系统的动态方程为 − 5 − 3 − 2 1 递函数矩阵。 y = [1.5 1 0.5]X
传递函数估计
传递函数估计在信号处理和控制系统中，传递函数是描述系统输入和输出之间关系的重要工具。
传递函数估计是通过对已知输入和输出数据进行分析和处理，来近似地确定系统的传递函数。
这一技术在各个领域都有广泛的应用，例如电子电路设计、机械控制系统、信号处理等。
传递函数估计的目的是为了通过已知的输入和输出数据，来推断出一个可以近似描述系统动态行为的传递函数模型。
这样的模型可以用来分析系统的稳定性、频率响应以及设计控制器等。
传递函数估计的方法有很多种，其中最常用的是基于频域分析的方法和基于时域分析的方法。
基于频域分析的传递函数估计方法，一般使用傅里叶变换或者拉普拉斯变换来将时域的输入和输出信号转换到频域。
然后通过频域的分析和处理，来确定系统的传递函数。
这种方法的优点是可以利用频域的特性，例如频率响应和幅频特性，来进行系统分析和设计。
然而，频域分析方法对信号的处理和计算要求较高，需要使用复杂的数学工具和算法。
基于时域分析的传递函数估计方法，一般使用差分方程或者微分方程来描述系统的动态行为。
通过对已知的输入和输出数据进行离散化处理，然后利用最小二乘法或者最优化算法来拟合得到系统的传递函数。
这种方法的优点是计算相对简单，不需要复杂的数学工具和算法。
然而，时域分析方法对信号的采样和离散化要求较高，需要考虑采样频率和采样点数等因素。
无论是基于频域分析还是时域分析的传递函数估计方法，都需要考虑信号的噪声和干扰对估计结果的影响。
在实际应用中，我们通常会对输入和输出信号进行预处理，例如滤波、降噪和去除干扰等。
同时，还需要选择合适的估计方法和参数，以获得准确和稳定的传递函数估计结果。
在实际工程中，传递函数估计常常是一个复杂和耗时的过程。
需要根据具体的应用和系统特性来选择合适的方法和工具。
同时，由于系统的动态行为往往是非线性和时变的，传递函数估计的结果往往只能作为近似和参考，而不能完全代表系统的实际行为。
因此，在实际应用中，我们还需要进行实验和验证，以确保系统的稳定性和性能。
传递函数估计
传递函数估计传递函数估计是一种用于估计系统动态响应的方法，它在控制工程、信号处理、机器学习等领域都有着广泛的应用。
传递函数通常用来描述一个系统对输入信号的响应情况，通过对系统的输入和输出数据进行分析，可以得到系统的传递函数模型，进而实现对系统行为的预测和控制。
在实际应用中，我们通常会遇到一些复杂的系统，其传递函数可能并不容易直接获得。
这时，我们就需要利用已知的输入输出数据，通过传递函数估计的方法来近似地求得系统的传递函数模型。
传递函数估计可以通过多种方法实现，例如最小二乘法、系统辨识等。
最小二乘法是一种常用的传递函数估计方法，它通过最小化实际输出值与模型输出值之间的误差平方和来确定传递函数的参数。
通过拟合输入输出数据，可以得到一个最优的传递函数模型，从而实现对系统的预测和控制。
另外，系统辨识方法也是一种常见的传递函数估计技术，它通过对系统的频率响应、脉冲响应等进行分析，从而得到系统的传递函数模型。
传递函数估计在控制工程领域具有重要的意义，它可以帮助工程师更好地理解系统的动态特性，从而设计出更加有效的控制策略。
在自动驾驶、飞行器控制、智能制造等领域，传递函数估计都扮演着关键的角色，为系统的稳定性和性能提供了有力支持。
除了在控制工程领域，传递函数估计也在信号处理、机器学习等领域得到广泛应用。
在信号处理中，传递函数估计可以用于系统建模、滤波器设计等应用；在机器学习中，传递函数估计可以用于构建神经网络、深度学习模型等。
传递函数估计的方法和技术不断得到改进和完善，为各个领域的应用提供了更加强大的工具和方法。
传递函数估计是一种重要的系统建模方法，通过对系统的输入输出数据进行分析，可以得到系统的传递函数模型，进而实现对系统的预测和控制。
传递函数估计在控制工程、信号处理、机器学习等领域都有着广泛的应用，为各种系统的设计和优化提供了重要支持。
随着科学技术的不断发展，传递函数估计的方法和应用也将不断拓展和深化，为人类社会的发展带来更多的可能性和机遇。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
与连续时间系 统传递函数在 形式上相同
W(z)
bm zm bm1zm1 zn an1zn1
b1z b0 a1z a0
同连续时间系统一样，由离散时间系统差分方程 或脉冲传递函数求取离散状态空间表达式的过程 叫做离散系统的实现。
离散系统动态方程一般形式为：
x(k 1) G(k)x(k) H(k)u(k)
已知线性定常系统的状态空间表达式为
x(t) Ax(t) Bu(t)
y(t)
Cx(t)
Du(t)
式中 x(t)—系统n维状态向量；u(t)—系统r维 输入向量；y(t)—系统m维输出向量。
2
对上式两端取拉氏变换，可得
sX (s) x(0) AX (s) BU (s) Y (s) CX (s) DU (s) 设初始条件x(0)=0，则有
设系统的差分方程为
y(k n) an1 y(k n 1) a1 y(k 1) a0 y(k) bu(k)
选取状态
x1(k) y(k) x2 (k) y(k 1) xn (k) y(k n 1)
现代控制理论
16
则高阶差分方程可化为一阶差分组
x1(k 1) x2(k)
1 1 0 2
A
0
1
0
,
B
1
,
C
4
6
2, D 0
0 0 2 1
解： W (s) C(sI A)1 B D
s 1 1462 Nhomakorabea0
s1
0 0
s3
2s 6 4s2 5s
2
0 1 2
0
1
s 2 1
在MATLAB中，用SS2TF语句可以直接求出W(S)。
A=[-1 1 0;0 -1 0;0 0 -2]; B=[-2;1;1];C=[4 6 2];D=0; [NUM,DEN]=ss2tf(A,B,C,D) end
输矩阵。
如果G(k)，H(k)，C(k)，D(k)均为常数矩阵，上
式就变为线性定常离散系统，其状态空间表达式为：
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k)
Cx(k
)
Du(k )
现代控制理论
14
方块图表示如图：
单位延迟环节，具
有T秒的时间延迟。
差分方程式化为状态空间表达式
1．差分方程的输入函数为bu(k)时
2.6 从系统动态方程求系统传递函数（阵）
➢系统动态方程和系统传递函数（阵）是控制系统两 种经常使用的数学模型。 ➢动态方程不但体现了系统输入输出的关系，而且还 清楚地表达了系统内部状态变量的关系。 ➢相比较，传递函数只体现了系统输入与输出的关系。 ➢我们已知道，从传递函数到动态方程是个系统实现 的问题，这是一个比较复杂的并且是非唯一的过程。 ➢但从动态方程到传递函数（阵）却是一个唯一的、 比较简单的过程。
sX (s) AX (s) BU (s) X (s) (sI A)1 BU (s)
Y(s) [C(sI A)1B D]U(s) W (s)U(s)
式中, W (s) [C(sI A)1B D] ， mr 维。
现代控制理论
传递函数阵
3
W(S)为一个m×r的传递函数阵，即：
w11(s)
(2)传递函数的极点就是A的特征值。
由于系统状态变量的选择不惟一，故建 立的系统状态表达式也不是惟一的。但是同一系 统的传递函数阵却是惟一的。
现代控制理论
6
补例 ：已知系统的状态空间表达式为
x1 (t)
x2
(t
)
0 2
1 3
x1 (t) x2 (t)
1 1
0u1(t) 1u2 (t)
x2
(
k
1)
x3 (k )
xn1
(
k
1)
xn (k )
xn (k 1) a0 x1(k) a1 x2 (k)
an1 xn (k ) bu(k )
17
写成向量方程形式，得
x1(k 1) 0 1 0
x2 (k
1)
0
0
1
xn1
(k
1)
0
0
0
xn (k 1) a0 a1 a2
W (s) c(sI A)1b d c adj(sI A) b d | sI A |
当系统的传递函数无零极点对消时，有
W
(s)
Y (s) U(s)
b0sn b1sn1 sn a1sn1
bn－1s bn an1s an
5
(1)系统矩阵A的特征多项式等于传递函数的分母多
项式；
y试(t求) 其11传递10函数xx12(阵(tt))。
现代控制理论
7
解: 传递函数阵为：
G(s) C(sI A)1 B
1 0 s 1 1 1 0 1 1 2 s 3 1 1
s4
(s
1)( s
2)
2
s 2
1
(s
1)( s
2)
1
s 2
现代控制理论
8
【例2-14】求下列动态方程的传递函数。
bmu(k m) bm1u(k m 1) b1u(k 1) b0u(k)
k —— 表示时刻kT
其中 m n.
T —— 为采样周期；，
u(k) y(k) —— 分别为时刻 kT 的输入、输出；
ai bi —— 表征系统特征的常系数。
系统脉冲传递函数为输出信号的Z变换与输入信号的
Z变换之比:
y(k
)
C(k
)
x(k)
D(k )u(k )
式中 x(k)—系统的n维状态向量；u(k)—系统的r
维输入向量（控制向量）；y(k)—系统的m维输出向
量；G(k)—nn线性离散系统的系统矩阵；H(k)— nr线性离散系统的控制矩阵；C(k)—mn线性离散 系统的输出矩阵；D(k)—mr线性离散系统的直接传
y(k) 1 0
W
(s)
w21 ( s )
wm1
(
s)
w12 (s) w22 (s)
wm 2 ( s)
w1r (s)
w2
r
(
s)
wmr (s)
其中，wij(s)为一标量传递函数，它表示第j个系统输 入 对第i个系统输出的传递作用。
对于单输入单输出（SISO）系统，按上式求出
的W(s)为系统的标量传递函数，可表示为
2.7 离散时间系统的状态空间表达式
离散时间系统就是系统的输入和输出信号只在某些离散时刻取值的系统。 与离散时间系统相关的数学方法有差分方程，信号Z变换，以及系统脉冲传递
函数。 离散时间系统一般用差分方程表示其输入和输出信号的关系。
设系统n阶差分方程为：
y(k n) an1 y(k n 1) a1 y(k 1) a0 y(k)