辽宁省阜新高二上期末数学测试卷(理)(含答案解析)

2018-2019学年辽宁省阜新高二（上）期末检测数学试卷一、选择题1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3} 2．下列结论正确的是（）A．x＞1⇒＜1 B．x+≥2 C．x＞y⇒=＜D．x＞y⇒x2＞y23．命题“∃x∈R+，lnx＞0”的否定是（）A．∃x∈R+，lnx＞0 B．∀x∈R+，lnx≤0 C．∀x∈R+，lnx＞0 D．∃x∈R+，lnx≥04．有20位同学，编号从1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样法所抽的编号为（）A．5、10、15、20 B．2、6、10、14 C．2、4、6、8 D．5、8、11、145．执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4 B．5 C．6 D．76．椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点F1，F2，点M在椭圆上，且MF1⊥F1F2，|MF1|=，|MF2|=，则离心率e等于（）A．B．C．D．7．如图，在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为（）....A． B． C． D．8．已知直线a ，b ，平面α，β，且a ⊥α，b ⊂β，则“a ⊥b ”是“α∥β”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm ），则该四棱锥的体积是（）A ．27cm 3B ．9cm 3C．cm 3 D ．3cm 310．实数x ，y满足，则z=y ﹣x 的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．函数，给出下列结论正确的是（ ）A ．f （x）的最小正周期为B ．f （x）的一条对称轴为C ．f （x）的一个对称中心为D．是奇函数12．设f （x ）是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[﹣2，1）时，f （x ）=，则f（）=（ ） A ．0 B ．1 C． D ．﹣1 二、填空13．若角45°的终边上有一点（4，a ），则a 的值是 ． 14．不等式x 2﹣3x ﹣18≤0的解集为 ．15．若与为非零向量，，则与的夹角为 ．16．直线l 过点A （3，2）与圆x 2+y 2﹣4x+3=0相切，则直线l 的方程为 ．三、解答题17．求椭圆+=1的长轴和短轴的长、顶点和焦点的坐标．18．焦点坐标（﹣5，0），实轴长为6，求双曲线标准方程并求此双曲线渐近线方程及离心率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．（1）求证：PD∥面AEC；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．20．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，已知第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明．21．已知等差数列{a n}，S n为其前n项和，a5=10，S7=56．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n+（），求数列{b n}的前n项和T n．22．已知函数（x∈R）．..（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，B为锐角，且f（B）=，AC=4，D是BC边上一点，AB=AD，试求△ADC周长的最大值．2018-2019学年辽宁省阜新高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=（）A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3} 【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】直接利用交集运算求得答案．【解答】解：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}={x|2＜x＜3}．故选：C．【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题．2．下列结论正确的是（）A．x＞1⇒＜1 B．x+≥2 C．x＞y⇒=＜D．x＞y⇒x2＞y2【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】A．x＞1⇒＜1；B．x＜时不成立；C．取x＞0，y＜0，不成立；D．取x=﹣1，y=﹣2，不成立．【解答】解：对于A．x＞1⇒＜1，正确；对于B．x＜时不成立；对于C．取x＞0，y＜0，则不成立；对于D．取x=﹣1，y=﹣2，不成立．只有A正确．..故选；A．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3．命题“∃x∈R+，lnx＞0”的否定是（）A．∃x∈R+，lnx＞0 B．∀x∈R+，lnx≤0 C．∀x∈R+，lnx＞0 D．∃x∈R+，lnx≥0【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：特称命题的否定是全称命题，则命题“∃x∈R+，lnx＞0”的否定是：∀x∈R+，lnx≤0，故选：B【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．有20位同学，编号从1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样法所抽的编号为（）A．5、10、15、20 B．2、6、10、14 C．2、4、6、8 D．5、8、11、14【考点】系统抽样方法．【专题】常规题型．【分析】系统抽样，要求编号后，平均分租，每一组只抽一个样本，两个相邻的样本的编号间距相等【解答】解：从20人中用系统抽样抽4个人，须把20人平均分成4组，每一组只抽1人，且所抽取的号码成等差数列只有A选项满足故选A【点评】本题考查系统抽样，要求掌握系统抽样的特点：平均分租，每一组只抽一个样本，号码成等差数列．属简单题5．执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）....A ．4B ．5C ．6D ．7 【考点】程序框图． 【专题】算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2， 第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D ．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．6．椭圆+=1（a ＞b ＞0）的两个焦点F 1，F 2，点M 在椭圆上，且MF 1⊥F 1F 2，|MF 1|=，|MF 2|=，则离心率e 等于（ ）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意，|F 1F 2|==2=2c ，2a=+=6，即可求出椭圆的离心率．【解答】解：由题意，|F 1F 2|==2=2c ，2a=+=6，∴e==．故选：C ．【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．7．如图，在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为（）A．B．C．D．【考点】概率的应用．【专题】计算题．【分析】先求出正方形的面积为22，设阴影部分的面积为x，由概率的几何概型知，由此能求出该阴影部分的面积．【解答】解：设阴影部分的面积为x，则，解得x=．故选B．【点评】本题考查概率的性质和应用，每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型．解题时要认真审题，合理地运用几何概型解决实际问题．8．已知直线a，b，平面α，β，且a⊥α，b⊂β，则“a⊥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据题意，分两步来判断：①分析当α∥β时，a⊥b是否成立，有线面垂直的性质，可得其是真命题，②分析当a⊥b时，α∥β是否成立，举出反例可得其是假命题，综合①②可得答案．【解答】解：根据题意，分两步来判断：①当α∥β时，∵a⊥α，且α∥β，..∴a⊥β，又∵b⊂β，∴a⊥b，则a⊥b是α∥β的必要条件，②若a⊥b，不一定α∥β，当α∩β=a时，又由a⊥α，则a⊥b，但此时α∥β不成立，即a⊥b不是α∥β的充分条件，则a⊥b是α∥β的必要不充分条件，故选B．【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及线面垂直的性质的运用，解题的关键要掌握线面垂直的性质．9．某四棱锥的三视图如图所示（单位：cm），则该四棱锥的体积是（）A．27cm3B．9cm3C．cm3D．3cm3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】几何体是四棱锥，由侧视图知四棱锥的高为1，根据三视图的数据判断底面是边长为1+2=3的正方形，代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的高为1，底面是边长为1+2=3的正方形，∴几何体的体积V=×32×1=3（cm3）．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．10．实数x，y满足，则z=y﹣x的最大值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．..【解答】解：由约束条件画出平面区域，如图所示．A（0，1），化目标函数z=y﹣x为y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过点A时，目标函数取得最大值．∴z max=1﹣0=1．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．函数，给出下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）的一条对称轴为C．f（x）的一个对称中心为D．是奇函数【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期T，判断出A错误；把x=代入2x+中计算，根据正弦函数图象的对称性，判断出B、C错误；化简f（x﹣），得出f（x﹣）是定义域R上的奇函数，判断出D正确．【解答】解：函数=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π，A错误；又当x=时，2x+=≠kπ+，k∈Z，∴x=不是f（x）的对称轴，B错误；同理x=时，2x+=≠kπ，k∈Z，..∴（，0）不是f（x）的对称中心，C错误；又f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin2x，∴f（x ﹣）是定义域R上的奇函数，D正确．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换问题，是基础题目．12．设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[﹣2，1）时，f（x）=，则f（）=（）A．0 B．1 C．D．﹣1【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】既然3是周期，那么﹣3也是周期，所以f（）=f（﹣），代入函数解析式即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为3的函数，∴f（）=f（﹣3）=f（﹣）=4（﹣）2﹣2=﹣1故选：D【点评】本题考查函数的周期性以及分段函数的表示，属于基础题．二、填空13．若角45°的终边上有一点（4，a），则a的值是4．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；函数思想；定义法；三角函数的求值．【分析】直接利用三角函数的定义，即可求出m的值．【解答】解：因为45°角的终边上有一点为（4，a），所以tan45°==1，所以a=4．故答案为：4．【点评】本题考查三角函数的定义，考查计算能力，正确运用利用三角函数是关键．14．不等式x2﹣3x﹣18≤0的解集为[﹣3，6]．..【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】不等式可化为（x+3）（x﹣6）≤0．解得x≤﹣3≤x≤6，由此得到不等式的解集．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣18≤0，即（x+3）（x﹣6）≤0．解得x≤﹣3≤x≤6，故不等式解集为[﹣3，6]，故答案为：[﹣3，6]．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．15．若与为非零向量，，则与的夹角为．【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】利用模的计算公式和数量积即可得出．【解答】解：∵，∴，∴=，∴．∵与为非零向量，∴．∴与的夹角为．故答案为．【点评】熟练掌握模的计算公式和数量积是解题的关键．16．直线l过点A（3，2）与圆x2+y2﹣4x+3=0相切，则直线l的方程为x=3或3x﹣4y﹣1=0．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】根据直线和圆相切的条件进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=1，则圆心坐标为（2，0），半径R=1若直线斜率k不存在，则直线方程为x=3，圆心到直线的距离d=3﹣2=1，满足条件．若直线斜率k存在，则直线方程为y﹣2=k（x﹣3），即kx﹣y+2﹣3k=0，圆心到直线的距离d==1，平方得k=，此时切线方程为3x﹣4y﹣1=0，综上切线方程为x=3或3x﹣4y﹣1=0，故答案为：x=3或3x﹣4y﹣1=0．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．三、解答题17．求椭圆+=1的长轴和短轴的长、顶点和焦点的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆性质求解．【解答】解：椭圆+=1中，∵a=4，b=2，c==2，∴椭圆+=1的长轴2a=8，短轴2b=4，顶点（﹣4，0），（4，0），（0，﹣2），（0，2），焦点（﹣2，0），（2，0）．【点评】本题考查椭圆的长轴和短轴的长、顶点和焦点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．18．焦点坐标（﹣5，0），实轴长为6，求双曲线标准方程并求此双曲线渐近线方程及离心率．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可知，双曲线为实轴在x轴上的双曲线，并求得c与a的值，代入隐含条件求得b，则双曲线标准方程、渐近线方程及离心率可求．【解答】解：∵双曲线焦点坐标（﹣5，0），∴双曲线为实轴在x轴上的双曲线，且c=5，又实轴长为6，即2a=6，得a=3，∴b2=c2﹣a2=25﹣9=16，则b=4，∴双曲线标准方程为，渐近线方程为y=±，即4x±3y=0，双曲线的离心率为e=．【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查了双曲线的简单性质，是基础题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．（1）求证：PD∥面AEC；（2）求证：平面AEC⊥平面PDB．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题．【分析】（1）设AC∩BD=O，连接EO，证明PD∥EO，利用直线与平面平行的判定定理证明PD∥面AEC．（2）连接PO，证明AC⊥PO，AC⊥BD，通过PO∩BD=O，证明AC⊥面PBD，然后证明面AEC⊥面PBD【解答】解：（1）证明：设AC∩BD=O，连接EO，因为O，E分别是BD，PB的中点，所以PD∥EO…（4分）而PD⊄面AEC，EO⊂面AEC，所以PD∥面AEC…（7分）（2）连接PO，因为PA=PC，所以AC⊥PO，又四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD…（10分）而PO⊂面PBD，BD⊂面PBD，PO∩BD=O，所以AC⊥面PBD…（13分）又AC⊂面AEC，所以面AEC⊥面PBD…（14分）【点评】本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力．20．为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，已知第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明．【考点】频率分布直方图．【专题】计算题；图表型．【分析】（1）根据各个小矩形的面积之比，做出第二组的频率，再根据所给的频数，做出样本容量．（2）从频率分步直方图中看出次数子啊110以上的频数，用频数除以样本容量得到达标率，进而估计高一全体学生的达标率．（3）这组数据的中位数落在的位置是刚好把频率分步直方图分成两个相等的部分的位置，测试中各个小组的频数分别是6，12，51，45，27，9前3组频数之和是69，后3组频数之和是81，得到中位数落在第四小组．【解答】解：（1）∵各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3∴第二小组的频率是=0.08∵第二小组频数为12，∴样本容量是=150（2）∵次数在110以上（含110次）为达标，∴高一学生的达标率是=88%即高一有88%的学生达标．（3）∵这组数据的中位数落在的位置是刚好把频率分步直方图分成两个相等的部分的位置，∵测试中各个小组的频数分别是6，12，51，45，27，9前3组频数之和是69，后3组频数之和是81，∴中位数落在第四小组，即跳绳次数的中位数落在第四小组中．【点评】本题考查频率分步直方图，考查用样本的频率分布估计总体的频率分布，本题解题的关键是读懂直方图，本题是一个基础题．21．已知等差数列{a n}，S n为其前n项和，a5=10，S7=56．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n+（），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）根据题意和等差数列的前n项和公式、通项公式，求出公差和首项，再求出数列{a n}的通项公式；（2）由（1）求出b n，由分组求和法和等差、等比数列的前n项和公式求出T n．【解答】解：（1）由S7=56得=56，则7a4=56，解得a4=8，因为a5=10，所以公差d=a5﹣a4=10﹣8=2，则a4=a1+3d，解得a1=8﹣6=2，所以a n=2+2（n﹣1）=2n；（2）由（1）得，b n=a n+（）=2n+3n，所以T n=（2+3）+（4+32）+（6+33）+…+（2n+3n）=（2+4+6+…+2n）+（3+32+33+…+3n）=+=，所以T n=．【点评】本题考查等差数列的通项公式，等差、等比数列的前n项和公式，及数列的求和方法：分组求和法，属于中档题．22．已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，B为锐角，且f（B）=，AC=4，D是BC边上一点，AB=AD，试求△ADC周长的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【专题】计算题；三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=．由，可得单调递增区间．（2）由得．又，则可求得，由AB=AD可求得：AD+DC=BD+DC=BC，又由正弦定理可得BC=8sin∠BAC．由，可得．故可得周长最大值．【解答】解：（1）===．由，得（k∈Z）．∴单调递增区间为，k∈Z（2）由得．又，则，从而，∴．由AB=AD知△ABD是正三角形，AB=AD=BD，∴AD+DC=BD+DC=BC，在△ABC中，由正弦定理，得，即BC=8sin∠BAC．∵D是BC边上一点，∴，∴，知．当时，AD+CD取得最大值8，周长最大值为．【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，综合性较强，属于中档题．。