【金版学案】2015届高考数学总复习 第十章 第四节二项式定理及其应用课时精练 理
【金版教程】高考数学总复习 10.3二项式定理精品课件 文 新人教B版 精品
各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的
二项式系数之和,即 C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n +C5n+…=2n-1.
1.对二项式定理的认知: (1)二项展开式的特点 ①项数:二项展开式共n+1(二项式的指数+1)项;
②指数:二项展开式各项的第一字母a依次降幂(其幂 指数等于相应二项式系数的下标与上标的差),第二字母b依 次升幂(其幂指数等于二项式系数的上标),并且每一项中两 个字母的系数之和均等于二项式的指数n;
[答案] C
4.已知(x2- 1x)n 的展开式中第三项与第五项
的系数之比为134,则展开式中常数项是 ( )
AБайду номын сангаас-1
B.1
C.-45
D.45
[解析] 第三项的系数为 C2n,第五项的系数 为 C4n,由第三项与第五项的系数之比为134可得 n =10,则
Tr+1=Cr10(x2)10-r(- 1x)r=(-1)rCr10x40-2 5r, 令 40-5r=0,解得 r=8,故所求的常数项为: (-1)8C180=45,选 D.
(3)公式中的a、b的顺序不得颠倒,它们的指数和为n.
(4)分清系数和字母.
思考探究1 如果在(
)n的展开式中,前三项系
数成等差数列,求展开式中的有理项.
[解] 展开中前三项的系数分别为 1,n2, n(n-8 1),
由题意得:2×n2=1+n(n-8 1),得 n=8. 设第 r+1 项为有理项,Tr+1=Cr8(12)rx16-4 3r, 则 r 是 4 的倍数,所以 r=0,4,8.
思考探究2 已知a>0,b>0,2m+n=0,m·n≠0,且在 (axm+bxn)12的展开式中系数最大的项是常数项,求 的取 值范围.
《金版新学案》高考数学总复习 10.1排列、组合和二项式定理课时作业(扫描版) 文 大纲人教版
《金版新学案》高考数学总复习 10.1排列、组合和二项式定理课时作业(扫描版)文大纲人教版本栏目内容,在学生用书中以活页形式分册装订!一、选择题1.从1到10的正整数中,任意抽取两个相加所得和为奇数的不同情形的种数是A.10 B.15C.20 D.25解析:当且仅当偶数加上奇数后和为奇数,从而不同情形有5×5=25种.答案: D2.集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P Q.把满足上述条件的一对有序整数对x,y作为一个点的坐标,则这样的点的个数是A.9 B.14C.15 D.21解析:当x=2时,x≠y,点的个数为1×7=7个;当x≠2时,x=y,点的个数为7×1=7个,则共有14个点,故选B.答案: B3.2009·北京卷用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为A.324 B.328C.360 D.648解析:当0排在末位时,有9×8=72个,当0不排在末位时,有4×8×8=256个.于是由分类计数原理,得符合题意的偶数共有72+256=328个.答案: B4.设直线方程为Ax+By=0,从1、2、3、4、5中每次取两个不同的数作为A、B的值,则所得不同直线的条数为A.20 B.19C.18 D.16解析:确定直线只需依次确定A、B的值即可,先确定A有5种取法,再确定B有4种取法,由分步乘法计数原理得5×4=20,但x+2y=0与2x+4y=0,2x+y=0与4x+2y =0表示相同的直线,应减去,所以不同直线的条数为20-2=18.答案: C5.2010·广东揭阳二模若三角形的三边均为正整数,其中一边长为4,另外两边长分别为b、c,且满足b≤4≤c,则这样的三角形有A.10个 B.14个C.15个 D.21个解析:当b=1时,c=4;当b=2时,c=4,5;当b=3时,c=4,5,6;当b=4时,c=4,5,6,7.故共有10个这样的三角形,选A.答案: A6.从集合{1,2,3,4,…,10}中,选出由5个数组成的子集,使得这5个数中任意两个数的和都不等于11,则这样的子集有A.32个 B.34个C.36个 D.38个解析:先把数字分成5组:{1,10},{2,9},{3,8},{4,7},{5,6},由于选出的5个数中,任意两个数的和都不等于11,所以这5个数必须各来自上面5组中的一个元素,故共可组成2×2×2×2×2=25=32个这样的子集.故应选A.答案: A二、填空题7.集合A含有5个元素,集合B含有3个元素.从A到B可有________个不同映射.解析:A中的任一元素去选择B中的某一元素都有3种方法,且要完成一个映射应该使A中的每一个元素在B中都能找到唯一的元素与之对应,由乘法原理知共有3×3×3×3×3=35=243个.答案:2438.2010·常德模拟现从甲、乙、丙等6名学生中安排4人参加4×100 m接力赛跑.第一棒只能从甲、乙两人中安排1人,第四棒只能从甲、丙两人中安排1人,则不同的安排方案共有______种.解析:若甲跑第一棒,则丙跑第四棒,此时不同的安排方法有4×3=12种;若乙跑第一棒,则不同的安排方法有2×4×3=24种,故不同的安排方法共有24+12=36种.答案:369.电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,现由主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中确定一名幸运伙伴,有________种不同的结果.解析:分两类:1幸运之星在甲箱中抽,先定幸运之星,再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20=17 400种结果;2幸运之星在乙箱中抽,同理有20×19×30=11 400种结果,因此共有不同结果17 400+11 400=28 800种.答案:28 800三、解答题10.在四棱锥中,所有的棱与底面对角线所在的直线共10条,求异面直线的对数.解析:如图,在四棱锥V-ABCD中,四条侧棱,底面内六条直线都分别是共面的,只有侧棱和底面直线之间可能有异面关系,底面内四条边中,以AB为例,可与VC,VD构成异面直线,共有4×2=8对,对角线AC可与VD,VB构成异面直线,DB可与VA,VC构成异面直线,共有4对,所以,异面直线共有8+4=12对.11.设x,y∈N*,直角坐标平面中的点为P x,y.1若x+y≤6,这样的P点有多少个?2若1≤x≤4,1≤y≤5,这样的P点又有多少个?【解析方法代码108001140】解析:1当x=1、2、3、4、5时,y值依次有5、4、3、2、1个,不同P点共有5+4+3+2+1=15个;2x有1、2、3、4这4个不同值,而y有1、2、3、4、5这5个不同值,共有不同P点4×5=20个.12.从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任选三个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c的系数,问能组成多少条图象为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?。
2015年高考数学总复习(人教A版,理科)配套教案:第十章 计数原理 10.3
§10.3 二项式定理1.二项式定理(a +b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b 1+…+C k n a n -k b k +…+C n nb n (n ∈N *). 这个公式叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a +b )n 的二项展开式,其中的系数C k n (k =0,1,2,…,n )叫做二项式系数.式中的C k n a n -k b k叫做二项展开式的通项,用T k +1表示,即展开式的第k +1项:T k +1=C k n an -k b k . 2.二项展开式形式上的特点 (1)项数为n +1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ,即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列,从第一项开始,次数由n 逐项减1直到零;字母b 按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ,C 1n ,一直到C n -1n ,C n n .3.二项式系数的性质(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即C m n =C n -m n. (2)增减性与最大值:二项式系数C k n ,当k <n +12时,二项式系数是递增的;当k >n +12时,二项式系数是递减的.当n 是偶数时,那么其展开式中间一项T n2+1的二项式系数最大.当n 是奇数时,那么其展开式中间两项T n +12 和T n +12+1 的二项式系数相等且最大.(3)各二项式系数的和(a +b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n ,即C 0n +C 1n +C 2n +…+C k n +…+C n n =2n . 二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即C 1n +C 3n +C 5n +…=C 0n +C 2n +C 4n +…=2n -1.1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n an -k b k 是二项展开式的第k 项. ( × ) (2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.( × )(3)(a +b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ,b 无关. ( √ ) (4)在(1-x )9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项. ( × ) 2.(1+2x )5的展开式中,x 2的系数等于( )A .80B .40C .20D .10答案 B解析 T k +1=C k n a n -k b k =C k 515-k (2x )k =C k 5×2k ×x k ,令k =2, 则可得含x 2项的系数为C 25×22=40. 3.在(x 2-13x)n 的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项是 ( )A .-7B .7C .-28D .28答案 B解析 由题意有n =8,T k +1=C k 8(12)8-k (-1)k x 8-43k , k =6时为常数项,常数项为7.4.已知C 0n +2C 1n +22C 2n +23C 3n +…+2n C n n =729,则C 1n +C 2n +C 3n +…+C n n等于 ( )A .63B .64C .31D .32答案 A解析 逆用二项式定理得C 0n +2C 1n +22C 2n +23C 3n +…+2n C n n =(1+2)n =3n =729,即3n =36,所以n =6,所以C 1n +C 2n +C 3n +…+C n n =26-C 0n =64-1=63.故选A.5.设(x -1)21=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 21x 21,则a 10+a 11=________. 答案 0解析 a 10,a 11分别是含x 10和x 11项的系数,所以a 10=-C 1121,a 11=C 1021, 所以a 10+a 11=C 1021-C 1121=0.题型一 求二项展开式的指定项或指定项系数例1 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x -123x n 的展开式中,第6项为常数项. (1)求n ;(2)求含x 2的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.思维启迪 先根据第6项为常数项利用通项公式求出n ,然后再求指定项. 解 (1)通项公式为T k +1=C k n xn -k 3⎝⎛⎭⎫-12k x -k 3=C k n ⎝⎛⎭⎫-12k x n -2k 3. 因为第6项为常数项,所以k =5时,n -2×53=0,即n =10.(2)令10-2k 3=2,得k =2,故含x 2的项的系数是C 210⎝⎛⎭⎫-122=454. (3)根据通项公式,由题意⎩⎪⎨⎪⎧10-2k 3∈Z0≤k ≤10k ∈N,令10-2k 3=r (r ∈Z ),则10-2k =3r ,k =5-32r ,∵k ∈N ,∴r 应为偶数.∴r 可取2,0,-2,即k 可取2,5,8,∴第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为C 210⎝⎛⎭⎫-122x 2,C 510⎝⎛⎭⎫-125,C 810⎝⎛⎭⎫-128x -2. 思维升华 求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数k +1,代回通项公式即可.(1)(2013·江西)⎝⎛⎭⎫x 2-2x 35展开式中的常数项为( )A .80B .-80C .40D .-40(2)(x +a x )(2x -1x )5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( )A .-40B .-20C .20D .40答案 (1)C (2)D解析 (1)T k +1=C k 5(x 2)5-k ⎝⎛⎭⎫-2x 3k =C k 5(-2)k x 10-5k , 令10-5k =0得k =2.∴常数项为T 3=C 25(-2)2=40.(2)令x =1得(1+a )(2-1)5=1+a =2,所以a =1.因此(x +1x )(2x -1x )5展开式中的常数项即为(2x -1x )5展开式中1x 的系数与x 的系数的和.(2x-1x)5展开式的通项为T k +1=C k 5(2x )5-k ·(-1)k ·x -k =C k 525-k x 5-2k ·(-1)k . 令5-2k =1,得2k =4,即k =2,因此(2x -1x )5展开式中x 的系数为C 2525-2(-1)2=80.令5-2k =-1,得2k =6,即k =3,因此(2x -1x )5展开式中1x的系数为C 3525-3·(-1)3=-40. 所以(x +1x )(2x -1x)5展开式中的常数项为80-40=40.题型二 二项式系数的和或各项系数的和的问题 例2 在(2x -3y )10的展开式中,求: (1)二项式系数的和; (2)各项系数的和;(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项系数和与偶数项系数和; (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.思维启迪 求二项式系数的和或各项系数的和的问题,常用赋值法求解. 解 设(2x -3y )10=a 0x 10+a 1x 9y +a 2x 8y 2+…+a 10y 10,(*)各项系数和为a 0+a 1+…+a 10,奇数项系数和为a 0+a 2+…+a 10,偶数项系数和为a 1+a 3+a 5+…+a 9,x 的奇次项系数和为a 1+a 3+a 5+…+a 9,x 的偶次项系数和为a 0+a 2+a 4+…+a 10.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的和为C 010+C 110+…+C 1010=210.(2)令x =y =1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010+C 210+…+C 1010=29, 偶数项的二项式系数和为C 110+C 310+…+C 910=29.(4)令x =y =1,得到a 0+a 1+a 2+…+a 10=1,① 令x =1,y =-1(或x =-1,y =1), 得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 10=510,② ①+②得2(a 0+a 2+…+a 10)=1+510, ∴奇数项系数和为1+5102;①-②得2(a 1+a 3+…+a 9)=1-510, ∴偶数项系数和为1-5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1+a 3+a 5+…+a 9=1-5102;x 的偶次项系数和为a 0+a 2+a 4+…+a 10=1+5102.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如(ax +b )n 、(ax 2+bx +c )m (a 、b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x =1即可;对形如(ax +by )n (a ,b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和,只需令x =y =1即可. (2)若f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ,则f (x )展开式中各项系数之和为f (1),奇数项系数之和为a 0+a 2+a 4+…=f (1)+f (-1)2,偶数项系数之和为a 1+a 3+a 5+…=f (1)-f (-1)2.已知f (x )=(1+x )m +(1+2x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为11.(1)求x 2的系数取最小值时n 的值;(2)当x 2的系数取得最小值时,求f (x )展开式中x 的奇次幂项的系数之和.解 (1)由已知得C 1m +2C 1n =11,∴m +2n =11,x 2的系数为C 2m +22C 2n =m (m -1)2+2n (n -1) =m 2-m 2+(11-m )⎝ ⎛⎭⎪⎫11-m 2-1=⎝⎛⎭⎫m -2142+35116. ∵m ∈N *,∴m =5时,x 2的系数取得最小值22,此时n =3. (2)由(1)知,当x 2的系数取得最小值时,m =5,n =3, ∴f (x )=(1+x )5+(1+2x )3. 设这时f (x )的展开式为f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 5x 5,令x =1,a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=25+33, 令x =-1,a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5=-1, 两式相减得2(a 1+a 3+a 5)=60,故展开式中x 的奇次幂项的系数之和为30. 题型三 二项式定理的应用例3 (1)已知2n +2·3n +5n -a 能被25整除,求正整数a 的最小值; (2)求1.028的近似值.(精确到小数点后三位)思维启迪 (1)将已知式子按二项式定理展开,注意转化时和25的联系;(2)近似值计算只要看展开式中的项的大小即可.解 (1)原式=4·6n +5n -a =4(5+1)n +5n -a=4(C 0n 5n +C 1n 5n -1+…+C n -2n 52+C n -1n 5+C n n )+5n -a =4(C 0n 5n +C 1n 5n -1+…+C n -2n52)+25n +4-a , 显然正整数a 的最小值为4.(2)1.028=(1+0.02)8≈C 08+C 18·0.02+C 28·0.022+C 38·0.023≈1.172. 思维升华 (1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题,整除问题中要关注展开式的最后几项,而求近似值则应关注展开式的前几项.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理,注意选择合适的形式.(1)(2012·湖北)设a ∈Z ,且0≤a <13,若512 012+a 能被13整除,则a 等于( )A .0B .1C .11D .12(2)S =C 127+C 227+…+C 2727除以9的余数为________.答案 (1)D (2)7解析 (1)512 012+a =(52-1)2 012+a =C 02 012522 012-C 12 012522 011+…+C 2 0112 012×52×(-1)2 011+C 2 0122 012×(-1)2 012+a . 因为52能被13整除,所以只需C 2 0122 012×(-1)2 012+a 能被13整除, 即a +1能被13整除,所以a =12.(2)S =C 127+C 227+…+C 2727=227-1=89-1=(9-1)9-1=C 09×99-C 19×98+…+C 89×9-C 99-1 =9(C 09×98-C 19×97+…+C 89)-2. ∵C 09×98-C 19×97+…+C 89是整数,∴S 被9除的余数为7.混淆二项展开式的系数与二项式系数致误典例:(12分)已知(3x +x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x -1)n 的展开式的二项式系数和大992.求在⎝⎛⎭⎫2x -1x 2n 的展开式中, (1)二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项.易错分析 本题易将二项式系数和系数混淆,利用赋值来求二项式系数的和导致错误;另外,也要注意项与项的系数,系数的绝对值与系数的区别. 规范解答解 由题意知,22n -2n =992,即(2n -32)(2n +31)=0,∴2n =32,解得n =5.[2分] (1)由二项式系数的性质知,⎝⎛⎭⎫2x -1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大,即C 510=252.∴二项式系数最大的项为T 6=C 510(2x )5⎝⎛⎭⎫-1x 5=-8 064.[6分] (2)设第k +1项的系数的绝对值最大,∴T k +1=C k 10·(2x )10-k ·⎝⎛⎭⎫-1x k =(-1)k C k 10·210-k ·x 10-2k , ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k 10·210-k ≥C k -110·210-k +1,C k 10·210-k ≥C k +110·210-k -1,得⎩⎪⎨⎪⎧ C k 10≥2C k -1102C k 10≥C k +110,即⎩⎪⎨⎪⎧11-k ≥2k ,2(k +1)≥10-k ,解得83≤k ≤113,[10分]∵k ∈Z ,∴k =3.故系数的绝对值最大的项是第4项,T 4=-C 310·27·x 4=-15 360x 4.[12分]温馨提醒 (1)本题重点考查了二项式的通项公式,二项式系数、项的系数以及项数和项的有关概念.(2)解题时要注意区别二项式系数和项的系数的不同;项数和项的不同.(3)本题的易错点是混淆项与项数,二项式系数和项的系数的区别.方法与技巧1.通项为T k +1=C k n an -k b k 是(a +b )n 的展开式的第k +1项,而不是第k 项,这里k =0,1,…,n .2.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C 0n ,C 1n ,…,C n n,它只与各项的项数有关,而与a ,b 的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a ,b 的值有关.3.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意,给字母赋值,是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.4.运用通项求展开式的一些特殊项,通常都是由题意列方程求出k ,再求所需的某项;有时需先求n ,计算时要注意n 和k 的取值范围及它们之间的大小关系. 失误与防范1.区别“项的系数”与“二项式系数”,审题时要仔细.项的系数与a ,b 有关,可正可负,二项式系数只与n 有关,恒为正. 2.切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念. 3.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和,常赋的值为0,±1. 4.在化简求值时,注意二项式定理的逆用,要用整体思想看待a 、b .A 组 专项基础训练一、选择题1.(2012·天津)在⎝⎛⎭⎫2x 2-1x 5的二项展开式中,x 的系数为( )A .10B .-10C .40D .-40答案 D解析 因为T k +1=C k 5(2x 2)5-k ⎝⎛⎭⎫-1x k=C k 525-k x 10-2k (-1)k x -k =C k 525-k (-1)k x 10-3k , 令10-3k =1,得k =3,所以x 的系数为C 3525-3(-1)3=-40. 2.(1+3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等,则n 等于 ( )A .6B .7C .8D .9答案 B解析 (1+3x )n 的展开式中含x 5的项为C 5n (3x )5=C 5n 35x 5,展开式中含x 6的项为C 6n 36x 6,由两项的系数相等得C 5n ·35=C 6n ·36,解得n =7. 3.(4x -2-x )6(x ∈R )展开式中的常数项是 ( )A .-20B .-15C .15D .20答案 C解析 设展开式的常数项是第k +1项,则T k +1=C k 6·(4x )6-k ·(-2-x )k =C k 6·(-1)k ·212x -2kx ·2-kx =C k 6·(-1)k ·212x -3kx ,∴12x -3kx =0恒成立.∴k =4,∴T 5=C 46·(-1)4=15.4.若在(x +1)4(ax -1)的展开式中,x 4的系数为15,则a 的值为( )A .-4 B.52 C .4 D.72答案 C解析 ∵(x +1)4(ax -1)=(x 4+4x 3+6x 2+4x +1)(ax -1), ∴x 4的系数为4a -1=15,∴a =4.5.若(1+x )+(1+x )2+…+(1+x )n =a 0+a 1(1-x )+a 2(1-x )2+…+a n (1-x )n ,则a 0-a 1+a 2-…+(-1)n a n 等于( )A.34(3n -1) B.34(3n -2) C.32(3n -2)D.32(3n -1) 答案 D解析 在展开式中,令x =2得3+32+33+…+3n =a 0-a 1+a 2-a 3+…+(-1)n a n , 即a 0-a 1+a 2-a 3+…+(-1)n a n =3(1-3n )1-3=32(3n -1). 二、填空题6.二项式(x +y )5的展开式中,含x 2y 3的项的系数是________.(用数字作答) 答案 10解析 T k +1=C k 5x5-k y k(k =0,1,2,3,4,5),由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5-k =2k =3,∴含x 2y 3的系数为C 35=10.7.(2012·浙江)若将函数f (x )=x 5表示为f (x )=a 0+a 1(1+x )+a 2(1+x )2+…+a 5(1+x )5,其中a 0,a 1,a 2,…,a 5为实数,则a 3=________. 答案 10解析 f (x )=x 5=(1+x -1)5,它的通项为T k +1=C k 5(1+x )5-k ·(-1)k , T 3=C 25(1+x )3(-1)2=10(1+x )3,∴a 3=10.8.(1-x )20的二项展开式中,x 的系数与x 9的系数之差为________. 答案 0解析 ∵T k +1=C k 20(-x 12)k =(-1)k ·C k 20·x k 2, ∴x 与x 9的系数分别为C 220与C 1820. 又∵C 220=C 1820,∴C 220-C 1820=0.三、解答题9.已知(1-2x )7=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 7x 7. 求:(1)a 1+a 2+…+a 7; (2)a 1+a 3+a 5+a 7; (3)a 0+a 2+a 4+a 6; (4)|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|.解 令x =1,则a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=-1.① 令x =-1,则a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5+a 6-a 7=37.② (1)∵a 0=C 07=1,∴a 1+a 2+a 3+…+a 7=-2. (2)(①-②)÷2,得a 1+a 3+a 5+a 7=-1-372=-1 094.(3)(①+②)÷2,得a 0+a 2+a 4+a 6=-1+372=1 093.(4)方法一 ∵(1-2x )7展开式中,a 0、a 2、a 4、a 6大于零,而a 1、a 3、a 5、a 7小于零, ∴|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|=(a 0+a 2+a 4+a 6)-(a 1+a 3+a 5+a 7)=1 093-(-1 094)=2187.方法二 |a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|,即(1+2x )7展开式中各项的系数和,令x =1, ∴|a 0|+|a 1|+|a 2|+…+|a 7|=37=2 187.10.已知⎝⎛⎭⎫12+2x n ,(1)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数;(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.解 (1)∵C 4n +C 6n =2C 5n ,∴n 2-21n +98=0.∴n =7或n =14,当n =7时,展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫12423=352, T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫12324=70, 当n =14时,展开式中二项式系数最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫12727=3 432. (2)∵C 0n +C 1n +C 2n =79,∴n 2+n -156=0.∴n =12或n =-13(舍去).设T k +1项的系数最大, ∵⎝⎛⎭⎫12+2x 12=⎝⎛⎭⎫1212(1+4x )12, ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k -1124k -1,C k 124k ≥C k +1124k +1.∴9.4≤k ≤10.4,∴k =10.∴展开式中系数最大的项为T 11,T 11=C 1012·⎝⎛⎭⎫122·210·x 10=16 896x 10. B 组 专项能力提升1.若(x +a )2(1x -1)5的展开式中常数项为-1,则a 的值为( )A .1B .9C .-1或-9D .1或9答案 D解析 由于(x +a )2=x 2+2ax +a 2,而(1x-1)5的展开式通项为T k +1=(-1)k C k 5·x k -5,其中k =0,1,2,…,5.于是(1x-1)5的展开式中x -2的系数为(-1)3C 35=-10,x -1项的系数为(-1)4C 45=5,常数项为-1,因此(x +a )2(1x -1)5的展开式中常数项为1×(-10)+2a ×5+a 2×(-1)=-a 2+10a -10,依题意-a 2+10a -10=-1,解得a 2-10a +9=0,即a =1或a =9.2.若(3x -1x )n 展开式中各项系数之和为32,则该展开式中含x 3的项的系数为( )A .-5B .5C .-405D .405答案 C解析 令x =1得2n =32,所以n =5,于是(3x -1x)5展开式的通项为 T k +1=(-1)k C k 5(3x )5-k (1x)k =(-1)k C k 535-k x 5-2k , 令5-2k =3,得k =1,于是展开式中含x 3的项的系数为(-1)1C 1534=-405,故选C.3.从(4x +1x)20的展开式中任取一项,则取到有理项的概率为( ) A.521 B.27 C.310 D.37答案 B解析 (4x +1x)20的展开式通项为 T k +1=C k 20(4x )20-k (1x)k =C k 20x 5-34k ,其中k =0,1,2,…,20. 而当k =0,4,8,12,16,20时,5-34k 为整数,对应的项为有理项, 所以从(4x +1x)20的展开式中任取一项, 则取到有理项的概率为P =621=27. 4.(x -y )10的展开式中,x 7y 3的系数与x 3y 7的系数之和等于________.答案 -240解析 ∵T k +1=(-1)k C k 10x10-k y k , ∴-C 310+(-C 710)=-2C 310=-240.5.在(1+x )3+(1+x )3+(1+3x )3的展开式中,x 的系数为________(用数字作答).答案 7解析 由条件易知(1+x )3、(1+x )3、(1+3x )3展开式中x 的系数分别是C 13、C 23、C 33,即所求系数是3+3+1=7. 6.若(2-x )10=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 10x 10,则(a 0+a 2+…+a 10)2-(a 1+a 3+…+a 9)2的值为_ _______.答案 1解析 设f (x )=(2-x )10,则(a 0+a 2+…+a 10)2-(a 1+a 3+…+a 9)2=(a 0+a 1+…+a 10)(a 0-a 1+a 2-…-a 9+a 10)=f (1)f (-1)=(2-1)10(2+1)10=1.。
高三数学教学案 第十章 排列、组合与概率 第四课时 二项式定理中的通项及其应用
高三数学教学案 第十章 排列、组合与概率 第四课时 二项式定理中的通项及其应用1、掌握二项式定理及其展开式的通项公式;2、会运用通项公式求解二项展开式中某些特定项及其系数.1、二项式定理:)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+⋯⋯++⋯⋯++=+--; 2、通项公式:)0,(*1n r N n b a C T r r n r n r ≤≤∈=-+表示二项展开式中的第1+r 项,rn C 叫做展开式中第1+r 项的二项式系数.1、二项式系数与项的系数的区别;2、灵活运用通项公式(其中r n b a ,,,如果是未知量,常常要用方程(组)求解).1、若n x )111(-的展开式中,第三项系数等于6,则等于( )A .4B .8C .12D .162、对于二项式)()1(*3N n x xn ∈+四位同学作出了四种判断: ①存在*N n ∈,展开式中有常数项;②对于任意*N n ∈,展开式中没有常数项; ③对于任意*N n ∈,展开式中没有x 的一次项; ④存在*N n ∈,展开式中有x 的一次项.上述判断中正确的是 ( ) A .①与③ B .②与③C .②与④D .④与① 3、9)(c b a ++的展开式中432c b a 的系数是( ) A .1260 B .126 C .1296 D .3024 4、在1033)21(xx -展开式中,有理式的项数为( )A .1B .2C .3D .45、设n )312(33+展开式的第7项与倒数第7项的比是1:6,则展开式中的第7项为________.6、二项式nx )1(+展开式中,若相邻两项的系数之比为8:15,则n 的最小值为_______.7、10)2(+x ·)1(2-x 展开式中10x 的系数为_______.8、nb a )(+展开式中第5项与第11项的二项展开式系数相等,则n =________.例1、(1)已知n xx )31(-的展开式中,第三项系数为4,求它的常数项.(2)求8)21(-+aa 展开式中的常数项(答案可保留组合数).例2、若n xx )21(4+展开式中前三项系数成等差数列,求:(1)展开式中含x 的一项幂的项; (2)展开式中所有含x 的有理项; (3)展开式中系数最大的项.班级_______学号__________姓名_________1、10)(z y x ++的展开式中含235z y x 项的系数为 ( )A .210310510C C C ⋅⋅B .2235510C C C ⋅⋅C .31025C C ⋅D .24510C C ⋅2、在3)44(-+a a(的展开式中,常数项的值是_________. 3、二项式44)1(+x 的展开式中第21项和第22项相等,则非零实数x 等于_________.4、n)12(3+的展开式中有且仅有五个有理项,则最小自然数n 等于_______.5、92)21(xx -展开式中9x 的系数是_______. 6、设3333673475277⋅+⋅+⋅+=C C C m ,257437617333⋅+⋅+⋅=C C C n ,则=-n m _______.7、若nxx )213(3-的展开式中含有常数项,求这样的正整数n 的最小值.8、在nxx )2(4+的展开式中,已知最后三项的系数成等差数列,求这个展开式中所有的有理项.9、(选做题)已知数列{}n a 的通项公式为)1(>=p p a nn ,其前n 项和为n S ,且对任意Nn ∈*都有nn nnn n n S a C a C a C n f 21)(2211+⋯⋯+++=试比较)1(+n f 与)(2)1(n f p p +的大小.第十章 排列、组合、二项式定理第五课时二项式定理及其应用(一)1、能利用二项式系数的性质求多项式系数的和,求一些组合数的和;2、能熟练地逆向运用二项式定理求和.1、二项式系数的对称性;2、二项式系数的大小规律;3、二项式系数的和.1、432)1()1(4)1(6)1(41-+-+-+-+x x x x 等于( )A .4)1(-xB .4xC .4)1(+xD .4)2(-x2、在12)(++n b a 的展开式中,二项式系数最大的项是( )A .第n 项B .第n 项和第1+n 项C .第2+n 项D .第1+n 项和第2+n 项 3、若)(2206220N n C C n n ∈=++且n n n x a x a x a a x +⋯+++=-2210)2(,则210a a a +-⋯+n n a )1(-+等于( )A .81B .27C .243D .7294、已知8)(xa x -展开式中常数项为1120,其中实数a 是常数,则展开式中各项系数的和是( )A .82B .83C .1或83D .1或825、如果21872221221=+⋯+++n n n n n C C C ,则nn n n n C C C C +⋯+++210=________.6、在n x n()为正整数)的二项展开式中,奇数项的和为P ,偶数项的和为Q ,则nx )1(2-的值为_______.例1、已知na )1(2+展开式中的各项系数之和等于52)1516(xx +的展开式的常数项,而n a )1(2+的展开式的系数最大的项等于54,求a 的值.例2、已知n x x )3(232+展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992,求展开式中系数最大的项.例3、设692)12()1()(+-+=x x x x f ,试求)(x f 的展开式中 (1)所有项的系数和;(2)所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和.例4、已知),()21()1()(*∈+++=N n m x x x f nm的展开式中x 项的系数为11 (1)求展开式中2x 项系数的最小值;(2)当2x 项系数取最小值时,求)(x f 展开式中x 的奇次幂项的系数之和.班级_______学号__________姓名_________1、已知nx )21(+的展开式中所有系数之和等于729,那么这个展开式中第四项的系数为( )A .20B .160C .180D .2402、在765)1()1()1(x x x +++++的展开式中,4x 的系数是通项公式53-=n a n 的数列的( )A .第20项B .第18项C .第11项D .第3项3、设二项式nxx )13(3+的展开式的各项系数的和为P ,所有二项式系数的和为S ,若有P+S=272,则=n _________.4、如果12324)31()21()1(a a a a a a k++++-的展开式中含4a 项的系数为144,则正整数k 的值为_______.5、已知nx )21(-的展开式中,奇数项的二项式系数之和为32,则该二项展开式的中间项为_______. 6、若二项式nx )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.7、求72)2)(24(x x x -++的展开式中3x 的系数.8、已知nx )221(+.(1)展开式中第五、第六、第七项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大的项的系数; (2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79,求展开式中系数最大的项.第十章 排列、组合、二项式定理第六课时二项式定理及其应用(二)能利用二项式定理进行计算和证明一些简单问题.二次项定理的主要应用(1)赋值求值 (2)证明某些整除问题或求余数 (3)证明有关等式及不等式(4)进行近似计算.1、在)0()1()1()1()1(543≠++⋯++++++x x x x x n)的展开式中,含2x 项的系数为( )A .12-nB .n2 C .13-n CD .131-+n C2、若nn n x a x a x a a x x 2222102)124(+⋯+++=--,则n a a a a 2420+⋯+++的值等于( )A .215+nB .215-n C .n 5 D .13、若454233241)1()1()1()1(x a x a x a x a x a =+-+⋯+-+-+-,则42a a +等于( )A .14B .12C .10D .84、5997.1精确到0.001的近似值为________.5、1919除以5的余数为________. 6、若)()21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈+⋯+++=-,则)()(2010a a a a ++++=++⋯++)()(20040a a a a ________.例1、设55443322105)21(x a x a x a x a x a a x +++++=-,求(1)54321a a a a a ++++的值; (2)531a a a ++的值;(3)||||||||||54321a a a a a ++++的值.例2、求证:)2(2)2(31>∈+>+-n N n n n n 且.例3、(1)若{}n a 是首项为a ,公比为)1(≠q q 的等比数列,求和:231201n n n c a c a c a ++n n n c a 1++⋯+;(2)若n a a a a ,,,,210⋯为等差数列,求证:10221102)(-⋅+=+⋯+++n n n n n n n a a c a c a c a a .例4、设)(x f 是定义在R 上的一个给定的函数,函数)(x g x nf C x nf C n n n )1()1)(0(1+-=)1,0()1()()1(01≠-⋅+⋯+-⋅-x x x nn f C x n nn n(1)若)(x f =1恒成立,求)(x g ;(2)当x x f =)(时,求)(x g .班级_______学号__________姓名_________1、443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+,则2312420)()(a a a a a +-++的值为( )A .1B .1-C .0D .22、若1010221010)2(x a x a x a a x +⋯+++=-,则3121020()(a a a a a +-+⋯++⋯+29)a +的值为_______.3、设n 为奇数,则777712211⋅+⋯+⋅+⋅+---n n n n n n n C C C 被9除的余数是_________. 4、9291除以100的余数是_______. 5、计算598.9精确到1的近似值为( )A .99000B .99002C .99004D .990056、设nn n x a x a x a x a a x +⋯++++=+332210)1(,若3132=a a ,则n =_________. 7、121111112084)3()3()3()4()1(a x a x a x a x x +++⋯++++=++,则)(21131log a a a ⋯++=__________.8、求证:98322--+n n 能被64整除,其中n 为非负整数.9、设,,1N n a ∈>且n ≥2,求证:na a n11-<- .10、选做题已知{}n a (n 为正整数)是首项为1a ,公比为q 的等比数列;(1)求和:223122021c a c a c a +-,334233132031c a c a c a C a -+-;(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论,并加以证明;(3)设1≠q ,n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,求:+⋯+-+-34231201n n n n C S C S C S C S nn n n C S 1)1(+-.。
2015年高考数学总复习配套课件:第十章++计数原理和概率 10-3 二项式定理(共49张PPT)
第三十二页,编辑于星期五:十一点 三十八分。
【解析】 (1)(2- 3x)100 展开式中的常数项为
C0100·2100,即 a0=2100,或令 x=0, 则展开式可化为 a0=2100. (2)令 x=1,可得 a0+a1+a2+…+a100=(2- 3)100,① ∴a1+a2+…+a100=(2- 3)100-2100. (3)令 x=-1,
b.若 13a=7b,则 m=( )
A.5
B.6
C.7
D.8
【解析】 由题意,得 a=Cm2m,b=Cm2m+1,所以 13Cm2m=
7Cm2m+1,∴1m3!·2·mm!!=m7!·2·mm++11!!,∴7m2m++11=13,解得 m
=6,经检验为原方程的解,选 B. 【答案】 B
第二十七页,编辑于星期五:十一点 三十八分。
令 x=-1,则 a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.② (1)∵a0=C07=1,∴a1+a2+a3+…+a7=-2. (2)(①-②)÷2, 得 a1+a3+a5+a7=-12-37=-1 094. (3)(①+②)÷2,得 a0+a2+a4+a6=-12+37=1 093.
第二十九页,编辑于星期五:十一点 三十八分。
(4)∵(1-2x)7 展开式中,a0,a2,a4,a6 大于零, 而 a1,a3,a5,a7 小于零, ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7| =(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7). ∴由(2),(3)即可得其值为 2 187. 【答案】 (1)-2 (2)-1 094 (3)1 093 (4)2 187
2015届高考数学总复习第十章 第四节二项式定理及其应用课件 理
a 4r r 8-r r r r 解析:(1)Tr+1=C8x 3 =a C8x8- 3 , x 4r 由 8- 3 =4 得 r=3, 由已知条件 a
(2)因为 2
3
C3 8=7,则
1 1 a =8,a=2.
3
1 n x- 的展开式的二项式系数之和为 64, x 所以 2n =64,所以 n=6, 由二项式定理的通项公式可知 1 r 6-r r 6-r r r 3-r Tr+1=C6(2 x) - = 2 ( - 1) C6x , x 当 r=3 时,展开式的常数项为:23(-1)3C3 6=-160. 1 答案:(1)2 (2)-160
赋值法时,令 a , b 等于多少,应就具体情况而定,有时取
“1”,有时取“-1”,也有时要取其他值.一般地,若f(x)= a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式各项系数之和为f(1),
偶数项系数之和a0+a2+a4+…= f1+f-1,奇数项 2 f1-f-1 系数之和为a1+a3+a5+…= . 2
(1)(a0+a2+a4)2―(a1+a3)2 的值; (2)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|的值.
思路点拨: 对涉及到求与二项式展开式系数有关的
求和问题时,常用赋值法,即给二项式中的字母赋予适当
的值,例如1或者-1等,问题即可得到解决.
解析:(1)在使用赋值法前, 应先将(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2 变形, 即(a0+a2+a4)2―(a1+a3)2= (a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4). 令 x= ―1,则 a0-a1+a2-a3+a4=(2+ 3)4; 令 x=1,则 a0+a1+a2+a3+a4=(2- 3)4. 因此,(a0+a2+a4)2―(a1+a3)2=(2+ 3)4×(2- 3)4=
【金版学案】2021届高考数学总温习 第十章 第四节二项式定理及其应用课时精练 理(1)
第四节 二项式定理及其应用1.(2021·江西卷)⎝⎛⎭⎪⎫x 2-2x 35展开式中的常数项为( ) A .80 B .-80 C .40 D .-40解析:T r +1=C r 5(x 2)5-r ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2x 3r =(-2)r C r 5x 10-5r ,令10-5r =0得r =2. 因此有常数项为T 3=C 25(-2)2=40.答案:C2.在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2-1x 5的二项展开式中,x 的系数为( ) A .10 B .-10 C .40 D .-40解析:因为T k +1=C k 5(2x 2)5-k ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1x k =(-1)k C k 525-k x 10-3k ,令10-3k =1,即k =3,现在x 的系数为(-1)3C 3522=-40.应选D.答案:D3.(2021·北海质检)设(x +2)(2x +3)10=a 0+a 1(x +2)+a 2(x +2)2+…+a 11(x +2)11,那么a 0+a 1+a 2+…+a 11的值为( ) A .0 B .1 C .6 D .15解析:令x =-1,那么1=a 0+a 1+a 2+…+a 11,应选B.答案:B4.若是⎝⎛⎭⎪⎫3x 2-2x 3n 的展开式中含有非零常数项,那么正整数n 的最小值为( ) A .3 B .5 C .6 D .10解析:由展开式通项有T r +1=C r n ()3x 2n -r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫-2x 3r =C r n ·3n -r ·()-2r ·x 2n -5r . 由题意得2n -5r =0⇒n =52r ()r =0,1,2,…,n -1,故当r =2时,正整数n 的最小值为5.应选B. 答案:B5.令a n 为(1+x)n +1的展开式中含x n -1项的系数,那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为( )A .n (n +3)2B .n (n +1)2C .n n +1D .2nn +1 解析:含x n -1的项为C n -1n +1x n -1,a n =C n -1n +1=C 2n +1=n (n +1)2, 1a n =2n (n +1)=2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1 S n =2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1+1n -1-1n +…+11-12=2n n +1=2n n +1.应选D. 答案:D6.设a 为函数y =sin x +3cos x(x∈R )的最大值,那么二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a x -1x 6的展开式中含x 2项的系数是( )A .192B .182C .-192D .-182解析:因为y =sin x +3cos x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3,由题设知a =2. 那么二项展开式的通项公式为T r +1=C r 6(2x )6-r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-1x r =(-1)r ·C r 6·26-r ·x 3-r ,令3-r =2,得r =1,因此含x 2项的系数是-C 1625=-192.应选C.答案:C7.(2021·琼海模拟)已知(1+x )10=a 0+a 1(1-x )+a 2(1-x )2+…+a 10(1-x )10,那么a 8=( )A .180B .90C .-5D .5解析:(1+x )10=[2-(1-x )]10其通项公式为:T r +1=C r 10210-r (-1)r (1-x )r ,a 8是r =8时,第9项的系数.因此a 8=C 81022(-1)8=180.应选A.答案:A8.(2021·汕头二模)关于二项式(x -1)2 013有以下命题:(1)该二项展开式中超级数项的系数和是1;(2)该二项展开式中第六项为C 62 013x2 007; (3)该二项展开式中系数最大的项是第1 007项;(4)当x =2 014时,(x -1)2 013除以2 014的余数是2 013.其中正确命题有( )A .1个B .2个C .3个D .4个 解析:此二项展开式各项系数的和为0,其常数项为-1,故(1)正确;其第六项T 6=C 52 013x 2 013-5·(-1)5=-C 52 013x2 008,故(2)错; 该二项展开式共有2 014项,奇数项系数为正、偶数项系数为负,由二项式系数的性质知第1 007项与1 008项系数的绝对值最大,故(3)正确;(x -1)2 013=(x 2 013-C 12 013x 2 012+C 22 013x 2 011-…+C 2 0122 013x -1=(x 2 012-C 12 011x 2 011+C 22 013x2 010-…+C 2 0122 013-1)x +x -1.当x =2 014时,被2 014除的余数为2 014-1=2 013.故(4)正确.其中正确命题有3个.应选C.答案:C9.(2021·四川卷)二项式(x +y )5的展开式中,含x 2y 3的项的系数是________.(用数字作答) 解析:T r +1=C r 5x 5-r y r (r =0,1,2,3,4,5),由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5-r =2,r =3 因此含x 2y 3的系数为C 35=5×4×33×2×1=10. 答案:1010.(2021·上海卷)设常a ∈R 数,假设⎝⎛⎭⎪⎫x 2+a x 5的二项展开式中x 7项的系数为-10,那么a =________. 解析:T r +1=C r 5(x 2)5-r ⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r =a r C r 5x 10-3r ,依题意有10-3r =7,得r =1,故C 15a =-10,得a =-2. 答案:-211.已知函数f (x )=-x 3+3f ′(2)x ,令n =f ′(2),那么二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x +2x n 展开式中常数项是第________项. 解析:由f (x )=-x 3+3f ′(2)x 得f ′(x )=-3x 2+3f ′(2),因此f ′(2)=-3×22+3f ′(2),解得f ′(2)=6,那么⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x +2x 6的展开式的通项公式为T r +1=C r 6x 6-r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x r =C r 6·2r x 6-32r ,令6-32r =0,得r =4,因此展开式中常数项是第r +1=5项.答案:512.已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2+1x n 的二项展开式的各项系数和为32,那么二项展开式中x 的系数为________. 解析:此题中展开式的各项系数和即为展开式的二项式系数和,即2n =32,得n =5,因此⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x 5的展开式通项为T r +1=C r 5x 2(5-r )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r =1r C r 5x 10-3r =C r 5x 10-3r ,当r =3时,得展开式中x 的系数为C 35=10. 答案:1013.(2021·深圳一模)假设(1+2x )5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5,那么a 3=________.解析:二项式展开式的通项公式为 T r +1=C r 5·(2x )r ,故x 3的系数a 3=C 35·23=80. 答案:8014.已知在⎝⎛⎭⎪⎫3x -123x n 的展开式中,第6项为常数项,那么展开式中的有________项是有理项. 解析:展开式的通项公式T r +1=C r n x n -r 3⎝ ⎛⎭⎪⎫-12r x -r 3=⎝ ⎛⎭⎪⎫-12r C r n x n -2r 3, 因为第6项为常数项,那么r =5时,有n -2r 3=0,因此n =10.依照通项公式,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 10-2r 3∈Z ,0≤r ≤10,r ∈Z .令10-2r 3=k (k ∈Z ),那么10-2r =3k ,即r =5-32k , 因为r ∈Z ,因此k 应为偶数,因此k 可取2,0,-2,即r 可取2,5,8,因此第3项,第6项与第9项为有理项,因此展开式中有3项是有理项. 答案:315.设m ,n ∈N ,f (x )=(1+2x )m +(1+x )n .(1)当m =n =2 011时,记f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2 011x 2 011,求a 0-a 1+a 2-…-a 2 011;(2)假设f (x )展开式中x 的系数是20,那么当m ,n 取何值时,x 2系数最小,最小为多少? 解析:(1)令x =-1,得a 0-a 1+a 2-…-a 2 011=(1-2)2 011+(1-1)2 011=-1.(2)因为2C 1m +C 1n =2m +n =20,因此n =20-2m ,那么x 2的系数为22C 2m +C 2n =4×m (m -1)2+n (n -1)2=2m 2-2m +12(20-2m )(19-2m )=4m 2-41m +190,因此当m =5,n =10时,展开式中的系数最小,最小值为85.。
【金版学案】2021届高考数学总温习 基础知识名师讲义 第十章 第四节二项式定理及其应用 理(1)
第四节 二项式定理及其应用 知识梳理1.二项式定理:()a +b n =__________________________(n ∈N *). 其通项是:T r +1=________________(r =0,1,2,…,n ),亦可写成:T r +1=C r n a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a r .其中,C r n (r =0,1,2,…,n )叫做二项式系数,而系数那么是字母前的常数. ()a -b n =________________________(n ∈N *). 专门地:()1+x n =__________________________(n ∈N *). 答案:2.二项展开式系数的性质: (1)对称性:在二项展开式中,与首末两头“等距离”的两项的二项式系数相等,即____________________.(2)增减性与最大值:在二项式展开式中,二项式系数先增后减,且在中间取得________值.若是二项式的幂指数是偶数,那么中间一项的二项式系数最大,即n 为偶数时:()C r n m ax = C n2n ;若是二项式的幂指数是奇数,那么中间两项的二项式系数相等而且最大,即n 为奇数时:()C r n max = C n -12n = C n +12n .(3)所有二项式系数的和等于2n ,即________________=2n (用赋值法能够证明).奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等,即C 0n +C 2n +…=C 1n +C 3n +…=2n -1. 答案:3.在利用二项展开式的通项公式T r + 1 =C r n an -r b r 时,要注意: (1)通项公式是表示第r +1项,而不是第r 项.(2)展开式中第r +1项的二项式系数C r n 与第r +1项的系数不同.(3)通项公式中含有a ,b ,n ,r ,T r + 1 五个元素,只要明白其中的四个元素,就能够够求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中,常常碰到已知这五个元素中的假设干个,求另外几个元素的问题,这种问题一样是利1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题.用通项公式,把问题归纳为解方程(或方程组).那个地址必需注意n 是正整数,r 是非负整数,且r ≤n .4.证明组合恒等式经常使用赋值法.基础自测1.(2021·新课标全国卷Ⅱ)已知(1+ax )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5,那么a =( )A .-4B .-3C .-2D .-1解析:由x 2的系数为5 得C 25+a C 15=5,解得a =-1.应选D.答案:D 2.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x +12x 8的展开式中常数项为( ) A.3516 B.358 C.354D .105 解析:原式展开式的第r +1项为T r +1=C r 8(x )8-r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x r =⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r 8x 4-r .令4-r =0,那么r =4.因此展开式中常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 48=358.应选B. 答案:B3.(2021·揭阳一模)假设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x +12x n 的展开式中,第4项与第7项的二项式系数相等,那么展开式中x 6的系数为______________.(用数字作答)解析:由题意可得,C 3n =C 6n ,解得n =9.因为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x +12x 9的展开式的通项为 T r +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r 9x 9-r x -r 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫12r C r 9x 9-3r 2, 令9-3r 2=6,解得r =2. 现在的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 29=9. 答案:94.假设(x -2)5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0, 则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=________(用数字作答). 解析:令x =1得a 5+a 4+a 3+a 2+a 1+a 0=-1;令x =0,得a 0=-32.因此 a 5+a 4+a 3+a 2+a 1=31. 答案:311.(2021·辽宁卷)使⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x +1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A .4 B .5 C .6 D .7解析:展开式的通项公式T r +1=C r n (3x )n -r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x x r ,因此T r +1=3n -r C r n xn -52r ,r =0,1,2,…,n . 令n -52r =0,n =52r ,故最小正整数n =5.应选B. 答案:B2.(2021·湖北卷)设a ∈Z ,且0≤a <13,若512 012+a 能被13整除,则a = ( )A .0B .1C .11D .12解析: 512 012+a =a +(13×4-1)2 012=a +(1-13×4)2 012=a +1-C 12 012(13×4)+C 22 012(13×4)2-…+C 2 0122 012 (13×4)2 012,显然当a +1=13k ,k ∈Z ,即a =-1+13k ,k ∈Z 时,512 012+a =13×4[-C 12 012+C 22 012(13×4)1-…+C 2 0122 012(13×4)2 011]+13k ,能被13整除.因为a ∈Z ,且0≤a <13, 因此a =12.应选D. 答案:D3.(2021·大纲全国卷)(1+x )8(1+y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )A .56B .84C .112D .168解析: (1+x )8展开式中x 2的系数是C 28,(1+y )4的展开式中y 2的系数是C 24,依照多项式乘法法那么可得(1+x )8(1+y )4展开式中x 2y 2的系数为C 28C 24=28×6=168.应选D.答案:D1.若是⎝ ⎛⎭⎪⎫x +1x n 展开式中,第4项与第6项的系数相等,那么n =________,展开式中的常数项的值等于________.答案:8 702.(2021·江门二模)(1+2x )n 的展开式中x 3的系数等于x 2的系数的4倍,那么n 等于________.解析:设(1+2x )n 的展开式的通项公式为T r +1,则T r +1=C r n (2x )r =2r ·C r n·x r ,令r=3得展开式中x3的系数为:8C3n,令r=2得展开式中x2的系数为4C2n.依题意,8C3n=4×4C2n,即n n-1n-23×2×1=2×n n-12,解得n=8.答案:83.已知展开式(x-1)6=a0+a1x+…+a6x6,那么a0+a6=________.解析:展开式的通项公式为T r+1=C r6x6-r·(-1)r,r=6时,a0=1;r=0时,a6=1,因此a0+a6=2.答案:2。
2015年高考数学第一轮复习课件:10.3二项式定理
辨析感悟
探究一 通项公式及其应用
技能与规律探究 探究二 二项式系数的性质
与各项的系数和 探究三 二项式定理的应用
例1 训练1
例2 训练2
例3 训练3
经典题目再现
第一页,编辑于星期五:十一点 四十六分。
1.二项式定理
二项式 定理
二项展开 式的通项
公式 二项式
系数
(a+b)n= Cn0an+C1nan-1b+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn (n∈N*) Tr+1= Crnan-rbr ,它表示第 r+1 项
规律方法
(1)二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:第一步根 据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二
项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且(n≥r),如常数项指 数为零、有理项指数为整数等);第二步是根据所求的指数,再求 所求解的项.
(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求 解.
∴Tr+1=Cr8·x8-r·1xr=Cr8·x8-2r,
当 8-2r=-2 时,r=5,∴x12的系数为 C58=C38=56. 答案 (1)B (2)56
第九页,编辑于星期五:十一点 四十六分。
二项式系数的性质与各项的系数和
【例 2】 (1)(2014·青岛模拟)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若 a1+ a2+…+an=63,则展开式中系数最大的项是( ). A.15x2 B.20x3 C.21x3 D.35x3
项,如(1).
二项式系数与展开式项的系数的异同
一是在 Tr+1=Crnan-rbr 中,Crn是该项的二项 式系数,与该项的(字母)系数是两个不同的 概念,前者只指 Crn,而后者是字母外的部分, 前者只与 n 和 r 有关,恒为正,后者还与 a, b 有关,可正可负,如(2)就是混淆两个概念 的区别. 二是二项式系数的最值与增减性与指数 n 的 奇偶性有关,当 n 为偶数,中间一项的二项 式系数最大,如(6);当 n 为奇数时,中间两 项的二项式系数相等,且同时取得最大值.
2015年高考数学总复习配套教案:11.3二项式定理
第十一章计数原理、随机变量及分布列第3课时二项式定理(对应学生用书(理)169~170页)考情分析考点新知近几年高考二项式定理在理科加试部分考查,以后高考将会考查学生应用基础知识、解决实际问题的能力,难度将不太大.①能用计数原理证明二项式定理;会用二项式定理解决与二项式定理有关的简单问题.②会用二项展开式以及展开式的通项,特别要注意有关二项式系数与项的系数的区别.1. (选修23P32练习5改编)在(x-3)10的展开式中,x6的系数是________.答案:1 890解析:T r+1=C r10x10-r(-3)r,令10-r=6,r=4,T5=9C410x6=1 890x6.2. (选修23P32练习6改编)⎝⎛⎭⎫x-1x212的展开式的常数项是________.答案:495解析:展开式中,T r+1=C r12x12-r·⎝⎛⎭⎫-1x2r=(-1)r C r12x12-3r,当r=4时,T5=C412=495为常数项.3. (选修23P35习题2改编)若C23+C24+C25+…+C2n=363,则自然数n=________.答案:13解析:C33+C23+C24+C25+…+C2n=363+1,C34+C24+C25+…+C2n=364,C35+C25+…+C2n=…=C3n+1=364,n=13.4. (选修23P36习题12改编)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,那么a1+a2+…+a7=________.答案:-2解析:设f(x)=(1-2x)7,令x=1,得a0+a1+a2+…+a7=(1-2)7=-1,令x=0,得a0=1,a1+a2+…+a7=-1-a0=-2.5. (选修23P35习题10改编)在(x+y)n的展开式中,若第七项系数最大,则n的值可能为________.答案:11,12,13解析:分三种情况:①若仅T7系数最大,则共有13项,n=12;②若T7与T6系数相等且最大,则共有12项,n=11;③若T7与T8系数相等且最大,则共有14项,n=13,所以n的值可能等于11,12,13.1. 二项式定理(a+b)n=C0n a n+C1n a n-1b+…+C r n a n-r b r+…+C n n b n(n∈N).这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中的系数C r n(r=0,1,2,…,n)叫做第r+1项的二项式系数.式中的C r n a n-r b r叫做二项式展开式的第r+1项(通项),用T r+1表示,即展开式的第r+1项;T r+1=C r n a n-r b r.2. 二项展开式形式上的特点(1) 项数为n+1.(2) 各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.(3) 字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.,C n n.(4) 二项式的系数从C0n,C1n,一直到C n-1n3. 二项式系数的性质(1) 在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等.(2) 如果二项式的幂指数是偶数,中间项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大.(3) 二项式系数的和等于2n,即C0n+C1n+…+C n n=2n.(4) 二项式展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,C0n+C2n+…=C1n+C3n+…=2n-1.[备课札记]题型1 二项式展开式的特定项例1 如果⎝⎛⎭⎫x 2-1x 3n的展开式中,第四项和第七项的二项式系数相等,求: (1) 展开式的中间项;(2) ⎝⎛⎭⎪⎫x -124x n -1展开式中所有的有理项.解:(1) ⎝⎛⎭⎫x 2-1x 3n展开式中,第四项和第七项的二项式系数分别是C 3n ,C 6n ,由C 3n =C 6n ,得n =9,所以⎝⎛⎭⎫x 2-1x 39展开式的中间项为第5项和第6项,即T 5=(-1)4C 49(x -3)4(x 2)5=126x 2,T 6=(-1)5C 59(x -3)5(x 2)4=-126x 7. (2) 通项为T r +1=C r 8(x)8-r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-124x r =⎝⎛⎭⎫-12rC r 8x 16-3r 4(r =0,1,2,…,8),为使T r +1为有理项,必须r 是4的倍数,所以r =0,4,8,共有三个有理项,分别是T 1=⎝⎛⎭⎫-120C 08x 4=x 4,T 5=⎝⎛⎭⎫-124C 48x =358x ,T 9=⎝⎛⎭⎫-128C 88x -2=1256x 2. 变式训练(1) 若(1+x)n 的展开式中,x 3的系数是x 的系数的7倍,求n ; (2) 已知(ax +1)7(a ≠0)的展开式中,x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项,求a ; (3) 已知(2x +x lgx )8的展开式中,二项式系数最大的项的值等于1 120,求x.解:(1) C 3n =7C 1n ,n (n -1)(n -2)6=7n ,即n 2-3n -40=0.由n ∈N *,得n =8.(2) C 57a 2+C 37a 4=2C 47a 3,21a 2+35a 4=70a 3,a ≠0,得5a 2-10a +3=0a =1±105. (3) C 48(2x)4(x lgx )4=1 120,x 4(1+lgx)=1,所以x =1,或lgx =-1,x =110. 题型2 二项式系数例2 已知(x 23+3x 2)n 的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大992,求: (1) 展开式中二项式系数最大的项;(2) 展开式中系数最大的项.解:令x =1,则展开式中各项系数和为(1+3)n =22n .又展开式中二项式系数和为2n , ∴ 22n -2n =992,n =5.(1) ∵ n =5,展开式共6项,二项式系数最大的项为第3、4两项,∴T 3=C 25(x 23)3(3x 2)2=90x 6,T 4=C 35(x 23)2(3x 2)3=270x 223.(2) 设展开式中第r +1项系数最大, 则T r +1=C r 5(x 23)5-r(3x 2)r =3r C r5x10+4r 3,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3r C r 5≥3r -1C r -15,3r C r 5≥3r +1C r +15,72≤r ≤92,∴ r =4,即展开式中第5项系数最大,T 5=C 45(x 23)(3x 2)4=405x 263.备选变式(教师专享)已知⎝⎛⎭⎫x +12n的展开式中前三项的系数成等差数列.设⎝⎛⎭⎫x +12n=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n .求:(1) a 5的值;(2) a 0-a 1+a 2-a 3+…+(-1)n a n 的值; (3) a i (i =0,1,2,…,n)的最大值.解:(1) 由题设,得C 0n +14×C 2n =2×12×C 1n , 即n 2-9n +8=0,解得n =8,n =1(舍).T r +1=C r 8x 8-r⎝⎛⎭⎫12r, 令8-r =5r =3,所以a 5=7.(2) 在等式的两边取x =-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 8=1256 .(3) 设第r +1的系数最大,则⎩⎪⎨⎪⎧12r C r 8≥12r +1C r +18,12r C r 8≥12r -1C r -18,即⎩⎪⎨⎪⎧18-r ≥12(r +1),12r ≥19-r,解得r =2或r =3.所以a i 系数最大值为7. 题型3 二项式定理的综合应用例3 已知⎝⎛⎭⎫x 2-1x n 展开式中的二项式系数的和比(3a +2b)7展开式的二项式系数的和大128,求⎝⎛⎭⎫x 2-1x n 展开式中的系数最大的项和系数最小的项. 解:2n -27=128,n =8,⎝⎛⎭⎫x 2-1x 8的通项T r +1=C r 8(x 2)8-r ⎝⎛⎭⎫-1x r =(-1)r C r 8x 16-3r , 当r =4时,展开式中的系数最大,即T 5=70x 4为展开式中的系数最大的项; 当r =3,或5时,展开式中的系数最小,即T 4=-56x 7,T 6=-56x 为展开式中的系数最小的项.备选变式(教师专享)已知(2-3x)50=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 50x 50,其中a 0,a 1,a 2…,a 50是常数,计算(a 0+a 2+a 4+…+a 50)2-(a 1+a 3+a 5+…+a 49)2.解:设f(x)=(2-3x)50,令x =1,得a 0+a 1+a 2+…+a 50=(2-3)50, 令x =-1,得a 0-a 1+a 2-…+a 50=(2+3)50, (a 0+a 2+a 4+…+a 50)2-(a 1+a 3+a 5+…+a 49)2 =(a 0+a 1+a 2+…+a 50)(a 0-a 1+a 2-…+a 50) =(2-3)50(2+3)50=1.1. (2013·新课标Ⅱ)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为5,则a =________. 答案:-1解析:已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为C 25+a·C 15=5,解得a =-1. 2. (2013·天津理)⎝⎛⎭⎫x -1x 6的二项展开式中的常数项为________. 答案:15解析:展开式的通项公式为T k +1=C k 6x6-k ·⎝⎛⎭⎫-1x k =C k 6x6-32k(-1)k.由6-32k =0,得k=4.所以常数项为T 4+1=C 46(-1)4=15.3. (2013·大纲版理)(1+x)3(1+y)4的展开式中x 2y 2的系数是________. 答案:18解析:(x +1)3的展开式的通项为T r +1=C r 3x r,令r =2得到展开式中x 2的系数是C 23=3.(1+y)4的展开式的通项为T r +1=C r 4y r ,令r =2得到展开式中y 2的系数是C 24=6,(1+x)3(1+y)4的展开式中x 2y 2的系数是3×6=18.4. (2013·辽宁理)使得⎝⎛⎭⎫3x +1x x n (n ∈N +)的展开式中含有的常数项最小的n 为________.答案:5解析:展开式的通项公式为T k +1=C k n (3x)n -k ·⎝⎛⎭⎫1x x k =C k n 3n -k xn -5k 2.由n -5k 2=0,得n =5k2,所以当k =2时,n 有最小值5.1. 若n 是奇数,则7n +C 1n 7n -1+C 2n 7n -2+…+C n -1n7被9除的余数是________. 答案:7解析:原式=(7+1)n -1=(9-1)n -1=9k -2=9k′+7(k 和k ′均为正整数). 2. 0.9915的近似值是___________.(精确到0.001) 答案:0.956解析:0.9915=(1-0.009)5=1-5×0.009+10×(0.009)2-…≈1-0.045+0.000 81≈0.956.3. 用二次项定理证明32n +2-8n -9能被64整除(n ∈N ).证明:32n +2-8n -9=9n +1-8n -9=(8+1)n +1-8n -9=C 0n +18n +1+C 1n +18n +…+C n -1n +182+C n n +18+C n +1n +1-8n -9 =64(C 0n +18n -1+C 1n +18n -2+…+C n -1n +1)+8(n +1)+1-8n -9 =M ×64(记M =C 0n +18n -1+C 1n +18n -2+…+C n -1n +1). ∵ M 为整数,∴ 64M 能被64整除.4. (1) 在(1+x)n 的展开式中,若第3项与第6项系数相等,则n 等于多少?(2) ⎝⎛⎭⎪⎫x x +13x n 的展开式奇数项的二项式系数之和为128,求展开式中二项式系数最大项.解:(1) 由已知得C 2n =C 5nn =7.(2) 由已知得C 0n +C 2n +C 4n +…=128,2n -1=128,n =8, 而展开式中二项式系数最大项是T 4+1=C 48(x x)4⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 4=70x 43x 2.一般地,对于多项式g(x)=(px +q)n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ,则有: (1) g(x)的常数项的系数为g(0); (2) g(x)的各项的系数和为g(1);(3) g(x)的奇数项的系数和为12[g(1)+g(-1)];(4) g(x)的偶数项的系数和为12[g(1)-g(-1)].请使用课时训练(A )第3课时(见活页).[备课札记]。
2015高考数学一轮精品课件:10.3 二项式定理
二项式定理
第一页,编辑于星期五:十三点 四分。
第十一章
10.3
二项式定理
考纲要求
梳理自测
探究突破
巩固提升
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
第二页,编辑于星期五:十三点 四分。
第十一章
10.3
二项式定理
考纲要求
梳理自测
梳理自测
探究突破
巩固提升
0
10
2
(3)奇数项的二项式系数和为C10
+ C10
+…+C10
=29,
1
3
9
偶数项的二项式系数和为C10
+ C10
+…+C10
=29.
考点一
考点二
考点三
误区警示
第十五页,编辑于星期五:十三点 四分。
10.3
第十一章
二项式定理
考纲要求
探究突破
探究突破
梳理自测
巩固提升
(4)令 x=y=1,得到 a0+a1+a2+…+a10=1,①
探究突破
梳理自测
巩固提升
考点三 二项式定理的应用
【例 3】 设 a∈Z,且 0≤a<13,若 512 012+a 能被 13 整除,则 a=(
A.0
B.1
C.11
D.12
)
关闭
∵52 能被 13 整除,∴512 012 可化为(52-1)2 012,
其二项式系数为 Tr+1=C2 012 522 012-r·(-1)r.
二项展开式的通项为
2015届高三数学一轮总复习课件:10.3二项式定理
例2
规律方法
迁移训练2
二项式(2x-3y)9 的展开式中,求:
(1)二项式系数之和;
(2)各项系数之和;
(3)所有奇数项系数之和;
(4)系数绝对值之和.
题型一
题型二
题型三
解题策略
第十五页,编辑于星期五:八点 三十三分。
重点难点
题型二 二项式系数和
例2
规律方法
迁移训练2
或各项的系数和问题
解:设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.
题型一
题型二
题型三
解题策略
第十三页,编辑于星期五:八点 三十三分。
重点难点
题型一
求二项展开式中的特定项
点拨提示
例1
迁移训练1
或其系数
(2013· 辽宁,理 7)使
的 n 为(
1 n
(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小
3x +
x x
)
D.7
C.6
B.5
A.4
答案:B
解析:
1 n
展开式中的第
3x +
考点基础
基础梳理
1
2
3
2.二项式系数的性质
基础梳理
自我检测
第四页,编辑于星期五:八点 三十三分。
考点基础
基础梳理
1
2
3
3.各二项式系数的和
(a+b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n,
即n0 + n1 + n2 +…+nr +…+nn =2n.
二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的
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第四节 二项式定理及其应用1.(2013·江西卷)⎝⎛⎭⎪⎫x 2-2x 35展开式中的常数项为( )A .80B .-80C .40D .-40解析:T r +1=C r 5(x 2)5-r ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2x 3r =(-2)r C r 5x 10-5r,令10-5r =0得r =2.所以有常数项为T 3=C 25(-2)2=40. 答案:C2.在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2-1x 5的二项展开式中,x 的系数为( )A .10B .-10C .40D .-40解析:因为T k +1=C k 5(2x 2)5-k ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1x k =(-1)k C k 525-k x 10-3k,令10-3k =1,即k =3,此时x的系数为(-1)3C 3522=-40.故选D. 答案:D3.(2013·北海质检)设(x +2)(2x +3)10=a 0+a 1(x +2)+a 2(x +2)2+…+a 11(x +2)11,则a 0+a 1+a 2+…+a 11的值为( )A .0B .1C .6D .15解析:令x =-1,则1=a 0+a 1+a 2+…+a 11,故选B. 答案:B4.如果⎝⎛⎭⎪⎫3x 2-2x 3n的展开式中含有非零常数项,则正整数n 的最小值为( )A .3B .5C .6D .10解析:由展开式通项有T r +1=C r n ()3x 2n -r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫-2x 3r =C r n ·3n -r ·()-2r ·x 2n -5r.由题意得2n -5r =0⇒n =52r ()r =0,1,2,…,n -1,故当r =2时,正整数n 的最小值为5.故选B.答案:B5.令a n 为(1+x)n +1的展开式中含x n -1项的系数,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为( )A .n (n +3)2B .n (n +1)2C .n n +1D .2n n +1解析:含x n -1的项为C n -1n +1x n -1,a n =C n -1n +1=C 2n +1=n (n +1)2,1a n =2n (n +1)=2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1S n =2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1+1n -1-1n +…+11-12=2n n +1=2n n +1.故选D. 答案:D6.设a 为函数y =sin x +3cos x(x∈R )的最大值,则二项式⎝⎛⎭⎪⎫a x -1x 6的展开式中含x 2项的系数是( )A .192B .182C .-192D .-182解析:因为y =sin x +3cos x =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π3,由题设知a =2.则二项展开式的通项公式为T r +1=C r 6(2x )6-r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫-1x r =(-1)r ·C r 6·26-r ·x 3-r,令3-r =2,得r =1,所以含x 2项的系数是-C 1625=-192.故选C.答案:C7.(2013·琼海模拟)已知(1+x )10=a 0+a 1(1-x )+a 2(1-x )2+…+a 10(1-x )10,则a 8=( )A .180B .90C .-5D .5解析:(1+x )10=[2-(1-x )]10其通项公式为:T r +1=C r 10210-r (-1)r (1-x )r,a 8是r =8时,第9项的系数.所以a 8=C 81022(-1)8=180.故选A.答案:A8.(2013·汕头二模)关于二项式(x -1)2 013有下列命题: (1)该二项展开式中非常数项的系数和是1;(2)该二项展开式中第六项为C 62 013x 2 007;(3)该二项展开式中系数最大的项是第1 007项;(4)当x =2 014时,(x -1)2 013除以2 014的余数是2 013. 其中正确命题有( )A .1个B .2个C .3个D .4个解析:此二项展开式各项系数的和为0,其常数项为-1,故(1)正确;其第六项T 6=C 52 013x 2 013-5·(-1)5=-C 52 013x 2 008,故(2)错;该二项展开式共有2 014项,奇数项系数为正、偶数项系数为负,由二项式系数的性质知第1 007项与1 008项系数的绝对值最大,故(3)正确;(x -1)2 013=(x2 013-C 12 013x2 012+C 22 013x2 011-…+C 2 0122 013x -1=(x2 012-C 12 011x2 011+C 22 013x2 010-…+C 2 0122 013-1)x +x -1.当x =2 014时,被2 014除的余数为2 014-1=2 013.故(4)正确.其中正确命题有3个.故选C. 答案:C 9.(2013·四川卷)二项式(x +y )5的展开式中,含x 2y 3的项的系数是________.(用数字作答)解析:T r +1=C r 5x 5-r y r(r =0,1,2,3,4,5),由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5-r =2,r =3所以含x 2y 3的系数为C 35=5×4×33×2×1=10.答案:1010.(2013·上海卷)设常a ∈R 数,若⎝⎛⎭⎪⎫x 2+a x 5的二项展开式中x 7项的系数为-10,则a =________.解析:T r +1=C r5(x 2)5-r⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r =a r C r 5x 10-3r ,依题意有10-3r =7,得r =1,故C 15a =-10,得a =-2.答案:-211.已知函数f (x )=-x 3+3f ′(2)x ,令n =f ′(2),则二项式⎝⎛⎭⎪⎫x +2x n展开式中常数项是第________项.解析:由f (x )=-x 3+3f ′(2)x 得f ′(x )=-3x 2+3f ′(2),所以f ′(2)=-3×22+3f ′(2),解得f ′(2)=6,则⎝ ⎛⎭⎪⎫x +2x 6的展开式的通项公式为T r +1=C r 6x 6-r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r =C r 6·2rx 6-32r ,令6-32r =0,得r =4,所以展开式中常数项是第r +1=5项. 答案:512.已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x n的二项展开式的各项系数和为32,则二项展开式中x 的系数为________.解析:本题中展开式的各项系数和即为展开式的二项式系数和,即2n=32,得n =5,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x 5的展开式通项为T r +1=C r 5x 2(5-r )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r =1r C r 5x10-3r =C r 5x 10-3r,当r =3时,得展开式中x 的系数为C 35=10.答案:1013.(2013·深圳一模)若(1+2x )5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5,则a 3=________.解析:二项式展开式的通项公式为 T r +1=C r 5·(2x )r ,故x 3的系数a 3=C 35·23=80. 答案:8014.已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x -123x n 的展开式中,第6项为常数项,则展开式中的有________项是有理项.解析:展开式的通项公式T r +1=C rn xn -r 3⎝ ⎛⎭⎪⎫-12rx -r3=⎝ ⎛⎭⎪⎫-12r C r n x n -2r 3, 因为第6项为常数项,则r =5时,有n -2r3=0,所以n =10.根据通项公式,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10-2r 3∈Z ,0≤r ≤10,r ∈Z .令10-2r 3=k (k ∈Z ),则10-2r =3k ,即r =5-32k , 因为r ∈Z ,所以k 应为偶数,所以k 可取2,0,-2,即r 可取2,5,8,所以第3项,第6项与第9项为有理项,所以展开式中有3项是有理项. 答案:315.设m ,n ∈N ,f (x )=(1+2x )m +(1+x )n.(1)当m =n =2 011时,记f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2 011x 2 011,求a 0-a 1+a 2-…-a 2 011;(2)若f (x )展开式中x 的系数是20,则当m ,n 取何值时,x 2系数最小,最小为多少?解析:(1)令x =-1,得a 0-a 1+a 2-…-a 2 011=(1-2)2 011+(1-1)2 011=-1.(2)因为2C 1m +C 1n =2m +n =20,所以n =20-2m ,则x 2的系数为22C 2m +C 2n =4×m (m -1)2+n (n -1)2=2m 2-2m +12(20-2m )(19-2m )=4m 2-41m +190,所以当m =5,n =10时,展开式中的系数最小,最小值为85.。