九年级数学--一元二次方程限时小测作业课件
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华师版九年级上册数学作业课件 第22章一元二次方程 一元二次方程的解法 一元二次方程的根与系数的关系
2x1x2 的值为 2
.
17．已知一元二次方程 x2－ax－2a＝0 的两根之和为 4a－3，则两根之积为
－2 .
18．(2018·达州)已知：m2－2m－1＝0，n2＋2n－1＝0 且 mn≠1，则
mn＋nn＋1的值为 3
.
19．(2018·遂宁)已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋a＝0 的两实数根 x1， x2 满足 x1x2＋x1＋x2＞0，求 a 的取值范围．
A．－4
B．3
C．－34
4 D.3
3．一元二次方程 x2－3x－2＝0 的两根为 x1，x2，则下列结论正确的是 ( C)
A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝－2
C．x1＋x2＝3 D．x1x2＝2
4．如果关于 x 的一元二次方程 x2＋px＋q＝0 的两根分别为 x1＝2，x2＝－ 1，那么 p，q 的值分别是( B )
(1)(x1＋1)(x2＋1)； 解：x1＋x2＝－2，x1x2＝－12，∴(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－32
(2)x12－3x1x2＋x22. 解：x12－3x1x2＋x22＝(x1＋x2)2－5x1x2＝6.5
易错点：忽视判断 b2－4ac 的符号而出错 13．若关于 x 的一元二次方程 x2＋kx＋4k2－3＝0 的两个实数根分别是 x1，
解：(1)∵(x1－1)(x2－1)＝28，∴x1x2－(x1＋x2)＋1＝28，∴m2＋5－2(m＋1) ＋1＝28，解得 m＝－4 或 6，又 b2－4ac≥0，∴m≥2，∴m＝6
(2)当 7 为底边时，此时方程 x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0 有两个相等的实数 根，∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得 m＝2，∴方程变为 x2－6x＋9＝0，解 得 x1＝x2＝3，∵3＋3<7，∴不能构成三角形；当 7 为腰时，设 x1＝7，代入方程 得 49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得 m1＝10，m2＝4，当 m＝10 时方程变为 x2－ 22x＋105＝0，解得 x1＝7，x2＝15，∵7＋7<15，不能构成三角形；当 m＝4 时方 程变为 x2－10x＋21＝0，解得 x1＝3，x2＝7，此时三角形的周长为 7＋7＋3＝17
人教版九年级数学上册作业课件 第二十一章 一元二次方程 解一元二次方程 公式法
14．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋a－1＝0有实数根． (1)求a的取值范围； (2)当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．
解：(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋a－1＝0 有实数根，
∴Δ＝(－3)2－4(a－1)＝－4a＋13≥0，解得 a≤143 ，
即 a 的取值范围是 a≤143
12．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根， 则a满足的条件是___a_≥_－__5__．
13．定义：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0是“凤凰”方程， 且有两个相等的实数根，则mn＝___－_. 2
2．一般地，式子_b_2_－__4_a_c_叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，
通常用希腊字母“Δ”表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有两__个__不__等__的__实__数__根；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__两__个__相__等__的__实__数__根__； Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____无__实__数__根___．
练习2：若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个不等的实数根， 则实数m的取值范围是m__＞__－. 4
1．(2020·安徽)下列方程中，有两个相等实数根的是( A ) A．x2＋1＝2x B．x2＋1＝0 C．x2－2x＝3 D．x2－2x＝0 2．下列关于x的方程ax2－bx＝0(a，b是不为0的常数)的根的情况 判断正确的是( B ) A．无实数根 B．有两个不等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．有且只有一个实数根
人教版
第二十一章 一元二次方程
上册 用一元二次方程解决传播问题与数字问题人教版九级数学全一册作业实用课件
上册第2用1章一元二21次.3方程第解1课决时传播用问一题元与二数次字方问程题解人决教传版播九问级题数与学数全字一问册题作-业20课20 件秋人教 版九年 级数学 全一册 作业课 件(共25 张PPT)
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10a
a
位时表示数
，在十位时表示数
，在百位时表示
100a
数
.
上册 用一元二次方程解决传播问题与数字 问题人 教版九 级数学 全一册 作业课 件
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8．连续两个整数的乘积为 12，则这两个整数中较小的一个是
A．3
B．－4
(
D
)
C．－3 或 4
D．－4 或 3
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9．一个两位数，十位数字与个位数字之和为 9，且这两个数字之积
上册第2用1章一元二21次.3方程第解1课决时传播用问一题元与二数次字方问程题解人决教传版播九问级题数与学数全字一问册题作-业20课20 件秋人教 版九年 级数学 全一册 作业课 件(共25 张PPT)
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10a
a
位时表示数
，在十位时表示数
，在百位时表示
100a
数
.
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8．连续两个整数的乘积为 12，则这两个整数中较小的一个是
A．3
B．－4
(
D
)
C．－3 或 4
D．－4 或 3
上册 用一元二次方程解决传播问题与数字 问题人 教版九 级数学 全一册 作业课 件
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9．一个两位数，十位数字与个位数字之和为 9，且这两个数字之积
第二章+一元二次方程+知识点总结及小测2024-2025学年北师大版数学九年级上册
第二章一元二次方程知识点总结：①配方法和十字叉乘法求解一元二次方程{二次项系数为±1二次项系数不是±1配方法：(a±b)2=a2+b2±2ab十字叉乘法：化简成(x±a)(x±b)=0的形式，解得x=∓a或∓b②公式法求解一元二次方程公式法：x=−b±√b2−4ac2a③因式分解法求解一元二次方程因式分解法：{(a±b)2=a2+b2±2ab a2−b2=(a−b)(a+b)④一元二次方程的根与系数的关系关系：x1+x2=−ba ；x1∙x2=ca⑤应用一元一次方程应用题第二章一元二次方程测试1（拔高题）1、下列方程为一元二次方程，求a的取值范围或者具体值：①2ax2−2bx+a=4x2②(a−1)x|a|+1−2x−7=0③ax2+6x+1=0没有实数根2、已知一元二次方程x2+k+3=0有一个根为1，则k的值为.3、已知一元二次方程为5x2+x=0，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为，x1x2=，x1+x2=.x2+3x−2=0 的两根，则(x1−x2)2的值4、设x1与x2为一元二次方程−12为.5、关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−k+1=0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．实数根的个数由k的值确定6、已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m=0的两实数根为x1，x2，且满足x1x2=2，则x1+x2的值为（）A．4B．−4C．4或−2D．−4或27、配方法解方程x2+6x+9=23x2−2=5x8、公式法解方程(x−2)(3x−5)=19x2+6x+1=49、直接开平方法解方程2(x−1)2 −18=010、因式分解法解方程3x (x −1)=3(x +2)(1−x ) 3(4−x )2=x 2−16(1−2x )(x −8)=8x −411、如图，在矩形ABCD 中，AB =10 cm ，AD =8 cm ，点P 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 以1cm /s 的速度向点C 运动，点P 到达终点后，P ，Q 两点同时停止运动。
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件
2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.5《二次函数与一元二次方程(第一课时)》课件
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）当h=20时，20t-5t2=20，
t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（来自《教材》）
解：(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.
知1－练
（来自《教材》）
知1－练
(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距
地面的高度为0 m时经过的时间；
的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对
称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增
大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
1 知识小结
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）当h=20时，20t-5t2=20，
t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（来自《教材》）
解：(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.
知1－练
（来自《教材》）
知1－练
(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距
地面的高度为0 m时经过的时间；
的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对
称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增
大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
1 知识小结
人教版九年级数学上册作业课件 第二十一章 一元二次方程 单元复习(一) 一元二次方程
A．16 B．24 C．16或24 D．48
16．(2020·山西)如图是一张长12 cm，宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个 全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2 的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为__2___cm.
17．(大连中考)某村2016年的人均收入为20000元， 2018年的人均收入为24200元． (1)求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率； (2)假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同， 请你预测2019年该村的人均收入是多少元？ 解：(1)设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，根据题意得 20000(1＋x)2＝24200，解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去).答： 2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10% (2)24200×(1＋10%) ＝26620(元).答：预测2019年该村的人均收入是26620元
解：(1)Δ＝16－4(k＋1)＝16－4k－4＝12－4k≥0，∴k≤3 (2)由题意可知：x1＋x2＝4，x1x2＝k＋1，∵x31 ＋x32 ＝x1x2－4， ∴3（xx11＋x2x2） ＝x1x2－4，∴k3×＋41 ＝k＋1－4， ∴k＝5 或 k＝－3，由(1)可知 k≤3，∴k＝－3
15．(2020·黔东南州)若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程 x2－10x＋24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为( B)
此方程可变形为( A )
A．(x＋2ba )2＝b2－4a42ac
B．(x＋2ba )2＝4a4c－a2 b2
C．(x－2ba )2＝b2－4a42ac
D．(x－2ba )2＝4a4c－a2 b2
人教版九年级上册数学精品教学课件 第21章 一元二次方程 第1课时 传播问题与一元二次方程
x(x 1) 10. 2
解得 x1＝5，x2＝−4(舍去)．∴ x＝5.
答：共有 5 个人参加聚会．
归纳 握手问题及球赛单循环问题要注意重复进行了 一次，所以要在总数的基础上除以 2.
【变式题】某中学组织初三学生开展足球比赛，以班为
单位，采用主客场赛制 (即每两个班之间都进行两场比 赛)，计划安排 72 场比赛，则共有多少个班级参赛？ 解：设共有 x 个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场
第 2 轮传染后人数 x(x + 1) + x + 1
根据示意图，列表如下：
传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数
1
1 + x = (1 + x)1 1 + x + x(1 + x) = (1 + x)2
解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.
根据题意，得 (1 + x)2 = 121.
小 分
支
支
x
…… 支干
x2 = −12 (不合题意，舍去).
x
答：每个支干长出 11 个小分支.
主干 1
交流讨论 1. 在分析引例和例 1 中的数量关系时它们有何区别？
每个支干只分裂一次，每名患者每轮都传染.
2. 解决这类传播问题有什么经验和方法？ （1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答； （2）可利用表格梳理数量关系； （3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.
A. x2 = 1980 C. 1 x(x - 1) = 1980
2
B. x(x + 1) = 1980 D. x(x - 1) = 1980
2. 有一根月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支
华师版九年级上册数学作业课件 第22章 一元二次方程 一元二次方程的解法 一元二次方程根的判别式
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
14．(2018·常德)若关于 x 的一元二次方程 2x2＋bx＋3＝0 有两个不相等的
实数根，则 b 的值可能是 6(答案不唯一，b2>24 即可)(只写一个)
．
15．(2018·南通)若关于 x 的一元二次方程12x2－2mx－4m＋1＝0 有两个相等
±1.
知识点二：一元二次方程根的情况 3．(2018·上海)下列对一元二次方程 x2＋x－3＝0 根的情况的判且只有一个实数根 D．没有实数根
4．(2018·山西)下列一元二次方程中，没有实数根的是( C ) A．x2－2x＝0 B．x2＋4x－1＝0 C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－2
无实数根
．
17．(2018·玉林)已知关于 x 的一元二次方程：x2－2x－k－2＝0 有两个不相 等的实数根．
(1)求 k 的取值范围； (2)给 k 取一个负整数值，解这个方程．
解：(1)根据题意得Δ＝(－2)2－4(－k－2)＞0，解得 k＞－3
(2)取 k＝－2，则方程变形为 x2－2x＝0，解得 x1＝0，x2＝2
m 的取值范围是 m<13且 m≠0
.
易错点：应用根的判别式忽视一元二次方程的隐含条件 10．已知关于 x 的一元二次方程(k－1)x2－(k－1)x＋14＝0 有两个相等的实数 根，求 k 的值．
解：由题意得
Δ＝[－（k－1）]2－4（k－1）×14＝0，解得 k＝2 k－1≠0，
11．(福州中考)下列选项中，能使关于 x 的一元二次方程 ax2－4x＋c＝0 一定 有实数根的是 ( D )
5．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况． (1)16x2＋8x＝－3；
14．(2018·常德)若关于 x 的一元二次方程 2x2＋bx＋3＝0 有两个不相等的
实数根，则 b 的值可能是 6(答案不唯一，b2>24 即可)(只写一个)
．
15．(2018·南通)若关于 x 的一元二次方程12x2－2mx－4m＋1＝0 有两个相等
±1.
知识点二：一元二次方程根的情况 3．(2018·上海)下列对一元二次方程 x2＋x－3＝0 根的情况的判且只有一个实数根 D．没有实数根
4．(2018·山西)下列一元二次方程中，没有实数根的是( C ) A．x2－2x＝0 B．x2＋4x－1＝0 C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－2
无实数根
．
17．(2018·玉林)已知关于 x 的一元二次方程：x2－2x－k－2＝0 有两个不相 等的实数根．
(1)求 k 的取值范围； (2)给 k 取一个负整数值，解这个方程．
解：(1)根据题意得Δ＝(－2)2－4(－k－2)＞0，解得 k＞－3
(2)取 k＝－2，则方程变形为 x2－2x＝0，解得 x1＝0，x2＝2
m 的取值范围是 m<13且 m≠0
.
易错点：应用根的判别式忽视一元二次方程的隐含条件 10．已知关于 x 的一元二次方程(k－1)x2－(k－1)x＋14＝0 有两个相等的实数 根，求 k 的值．
解：由题意得
Δ＝[－（k－1）]2－4（k－1）×14＝0，解得 k＝2 k－1≠0，
11．(福州中考)下列选项中，能使关于 x 的一元二次方程 ax2－4x＋c＝0 一定 有实数根的是 ( D )
5．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况． (1)16x2＋8x＝－3；
2020秋人教版九年级数学上册作业课件21.1 一元二次方程
特殊形式
①ax2＋bx＝0；②ax2＋c＝0； ③ax2＝0，其中a均不为0.
一元二次方程的 使方程左右两边__相__等____的未
根(解)
知数的值.
刻画实际问题中 分析题意→找等量关系→设未
的数量关系 知数→列方程
例1 若方程(m－1)x|m|＋1＋2x－7＝0是关于x的一 元二次方程，则m的值为_－__1_____．
2020秋季学期 数学·九年级上
知识要点 一元二次方程的有关概念
一元二次方程 定义
一般形式
内容
只含有____一____个未知数(一元 )，并且未知数的最高次数是 ____2____(二次)的整式方程. ax2＋bx＋c＝0(a____≠____0)， 其中二次项是___a_x_2___，一次 项是____b_x___，常数项是 ____c____，二次项系数为a，一 次项系数为b.
2
－ 3 －1
6
详细答案 点击题序
1．下列方程是一元二次方程的是
(D)
A．3x2＋ 1 ＝0
B．2x－3y＋1＝0
x
C．(x－3)(x－2)＝x2 D．(3x－1)(3x＋1)＝3
2．已知x＝2是一元二次方程x2＋mx＋2＝0的一
个解，则m的值是(Fra bibliotek)A．－3 B．3 C．0 D．0或3
3．方程2x2－1＝ 3x的二次项系数是____2____， 一次项系数是_____3___，常数项是___－__1___． 4．将一元二次方程(x＋1)(x－3)＝3x＋4化为一 般形式可得______x_2_－__5_x－__7_＝__0______． 5．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋|m|－1 ＝0有一个根为0，则m的值是___－__1___．
人教版九年级数学上册课件：22.2二次函数与一元二次方程 (共12张PPT)
（2）若该抛物线的对称轴为直线x=5/2. ①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的 抛物线与x轴只有一个公共点.
能力提升
挑战中考
12.（2016·江苏省宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象
经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ C ）
与y轴的交点坐标是_（__0_，__3_）____.
8.若二次函数y=mx2-2x+1的图像与x轴只有一个交点，则 m=____1_____.
9.画出抛物线y=x2-3x-4的图像，根据图像回答： （1）方程x2-3x-4=0的解是什么？ （2）不等式x2-3x-4>0的解是什么？ （3）不等式x2-3x-4<0的解是什么？
的对称轴是直线___X_=_-_1___.
类比精练
1.二次函数
的图象与x轴有两个交点，其中
一个交点坐标为（-1，0）则一元二次方程
的
解为__X__1_=_-1_，__X_2_=_3___.
课堂精讲
知识点2.运用一元二次方程根的判别式处理二次函数图
象与"轴的交点问题
例2．若二次函数
的图象与x轴有交点，则k
6.如果关于x的二次函数y=x2﹣2x+k与x轴只有1个交点， 则k= 1 ．
7.若抛物线
则
= 10 ．
经过点(－1，10)，
课前小测
8.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则函数值y<0时 x的取值范围是 - 1＜x元二次方程的关系
例1．方程
的两根为-3和1，那么抛物线
能力提升
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法： ① a>0；②2a+b=0； ③a+b+c=0； ④当-1<x<3时，y>0. 其中正确的个数为（ B ）
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的 抛物线与x轴只有一个公共点.
能力提升
挑战中考
12.（2016·江苏省宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象
经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ C ）
与y轴的交点坐标是_（__0_，__3_）____.
8.若二次函数y=mx2-2x+1的图像与x轴只有一个交点，则 m=____1_____.
9.画出抛物线y=x2-3x-4的图像，根据图像回答： （1）方程x2-3x-4=0的解是什么？ （2）不等式x2-3x-4>0的解是什么？ （3）不等式x2-3x-4<0的解是什么？
的对称轴是直线___X_=_-_1___.
类比精练
1.二次函数
的图象与x轴有两个交点，其中
一个交点坐标为（-1，0）则一元二次方程
的
解为__X__1_=_-1_，__X_2_=_3___.
课堂精讲
知识点2.运用一元二次方程根的判别式处理二次函数图
象与"轴的交点问题
例2．若二次函数
的图象与x轴有交点，则k
6.如果关于x的二次函数y=x2﹣2x+k与x轴只有1个交点， 则k= 1 ．
7.若抛物线
则
= 10 ．
经过点(－1，10)，
课前小测
8.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则函数值y<0时 x的取值范围是 - 1＜x元二次方程的关系
例1．方程
的两根为-3和1，那么抛物线
能力提升
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法： ① a>0；②2a+b=0； ③a+b+c=0； ④当-1<x<3时，y>0. 其中正确的个数为（ B ）
2022-2023学年人教版数学九年级上册作业课件 21.1 一元二次方程
A．－2 B．2 C．－4 D．4 6．(4分)(兰州中考)x＝1是关于x的一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的一个解， 则2a＋4b＝( A) A．－2 B．－3 C．－1 D．－6
7．(4 分)下列数值：①－1；②0；③1；④12 中， 是一元二次方程 2x2＋x－1＝0 的根的是_①__④_．(填序号)
解：把x＝m代入方程，得m2＋m－1＝0，即m2＋m＝1，则原式＝m2＋2m＋ 1＋m2－1＝2(m2＋m)＝2
17．(12分)(教材P4练习T2改)根据下列问题，列出关于x的方程， 并将其化为一元二次方程的一般形式： (1)5个完全相同的正方形的面积之和是36，求正方形的边长x； (2)一个矩形的长比宽多3，面积是100，求矩形的宽x； (3)一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x. 解：(1)5x2＝36，一般形式为5x2－36＝0 (2)x(x＋3)＝100，一般形式为x2＋3x－100＝0 (3)x2＋(x－2)2＝100，一般形式为x2－2x－48＝0
15．(8分)若关于x的方程(2m2＋m－3)x|m＋1|＋7x－3＝0是一元二次方程， 求m的值． 解：由题意，得|m＋1|＝2，∴m＝1或－3. 当m＝1时，2m2＋m－3＝0，不合题意，舍去， 当m＝－3时，2m2＋m－3＝12≠0，符合题意． ∴m＝－3
16．(8分)已知m是方程x2＋x－1＝0的一个根，求代数式(m＋1)2＋(m＋1)(m －1)的值．
【素养提升】 18．(12分)(大庆中考改)关于x的一元二次方程ax2＋2x＋c＝0(ac≠0). (1)若x＝c是方程的一个根，求ac的值； (2)若x0是方程的一个根，设M＝(ax0＋1)2，N＝1－ac，比较M，N的大小． 解：(1)由题意，得ac2＋2c＋c＝0，∴ac2＝－3c. ∵ac≠0，∴a≠0，c≠0.∴ac＝－3
7．(4 分)下列数值：①－1；②0；③1；④12 中， 是一元二次方程 2x2＋x－1＝0 的根的是_①__④_．(填序号)
解：把x＝m代入方程，得m2＋m－1＝0，即m2＋m＝1，则原式＝m2＋2m＋ 1＋m2－1＝2(m2＋m)＝2
17．(12分)(教材P4练习T2改)根据下列问题，列出关于x的方程， 并将其化为一元二次方程的一般形式： (1)5个完全相同的正方形的面积之和是36，求正方形的边长x； (2)一个矩形的长比宽多3，面积是100，求矩形的宽x； (3)一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x. 解：(1)5x2＝36，一般形式为5x2－36＝0 (2)x(x＋3)＝100，一般形式为x2＋3x－100＝0 (3)x2＋(x－2)2＝100，一般形式为x2－2x－48＝0
15．(8分)若关于x的方程(2m2＋m－3)x|m＋1|＋7x－3＝0是一元二次方程， 求m的值． 解：由题意，得|m＋1|＝2，∴m＝1或－3. 当m＝1时，2m2＋m－3＝0，不合题意，舍去， 当m＝－3时，2m2＋m－3＝12≠0，符合题意． ∴m＝－3
16．(8分)已知m是方程x2＋x－1＝0的一个根，求代数式(m＋1)2＋(m＋1)(m －1)的值．
【素养提升】 18．(12分)(大庆中考改)关于x的一元二次方程ax2＋2x＋c＝0(ac≠0). (1)若x＝c是方程的一个根，求ac的值； (2)若x0是方程的一个根，设M＝(ax0＋1)2，N＝1－ac，比较M，N的大小． 解：(1)由题意，得ac2＋2c＋c＝0，∴ac2＝－3c. ∵ac≠0，∴a≠0，c≠0.∴ac＝－3
一元二次方程课件2021-2022学年湘教版数学九年级上册
这个问题需要建立一元二次方程模型来解决.
探究新知
新知一 一元二次方程的定义
(1) 如图所示，已知一矩形的长为200 cm,宽为150 cm.
现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩
形面积的 3 ， 求挖去的圆的半径 x cm应满足的方
4
程( 其中 π 取3 )；Biblioteka 150cm150cm
200cm
200cm
增长(利润)率问题、行程问题、工程问题等.
例3.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠， 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100 元降为64元， 求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率 为x，可列方程为( ) A. 100(1－x)2=64 B. 100(1+x)2=64 C. 100(1－2x)=64 D. 100(1+2x)=64
解： (1)整理方程，得 x2－x－6 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为－1，常数项为－6.
(2)整理方程，得x2+2x－14 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－14.
(3)整理方程，得2x2－7 = 0. 其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－7.
特别提醒 确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要
解：根据面积＝长× 宽，建立方程模型. 根据题意，得扩大后的正方形绿地边长为x m， 则扩大部分长方形的长为x m，宽为(x－60)m， 所以可得方程为x(x－60)=1 600． 答案：A
归纳
建立一元二次方程模型的一般步骤： (1) 审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量； (2) 设出合适的未知数，一般设为x； (3) 确定等量关系； (4) 根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为 一般形式.
探究新知
新知一 一元二次方程的定义
(1) 如图所示，已知一矩形的长为200 cm,宽为150 cm.
现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩
形面积的 3 ， 求挖去的圆的半径 x cm应满足的方
4
程( 其中 π 取3 )；Biblioteka 150cm150cm
200cm
200cm
增长(利润)率问题、行程问题、工程问题等.
例3.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠， 某药品经过两次降价，每瓶零售价由100 元降为64元， 求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率 为x，可列方程为( ) A. 100(1－x)2=64 B. 100(1+x)2=64 C. 100(1－2x)=64 D. 100(1+2x)=64
解： (1)整理方程，得 x2－x－6 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为－1，常数项为－6.
(2)整理方程，得x2+2x－14 = 0. 其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－14.
(3)整理方程，得2x2－7 = 0. 其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为－7.
特别提醒 确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要
解：根据面积＝长× 宽，建立方程模型. 根据题意，得扩大后的正方形绿地边长为x m， 则扩大部分长方形的长为x m，宽为(x－60)m， 所以可得方程为x(x－60)=1 600． 答案：A
归纳
建立一元二次方程模型的一般步骤： (1) 审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量； (2) 设出合适的未知数，一般设为x； (3) 确定等量关系； (4) 根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为 一般形式.
人教版九年级数学上册作业课件 第二十一章 一元二次方程 解一元二次方程 公式法 (2)
二次方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根，则 k的值为( C )
A．k＝4 B．k＝－4 C．k＝±4 D．k＝±2 4．(3分) (咸宁中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，则实数 m的取值范围是( B ) A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
(2)x2－2 2 x＋1＝0；
解：x1＝ 2 ＋1，x2＝ 2 －1
(3)6x2－13x＝0. 解：x1＝163 ，x2＝0
10．(3 分)以 x＝b±
b2＋4c 2
为根的一元二次方程可能是(
D
)
A．x2＋bx＋c＝0 B．x2＋bx－c＝0
C．x2－bx＋c＝0 D．x2－bx－c＝0
11．(易错题)(通辽中考)关于 x 的方程 kx2－6x＋9＝0 有实数根， k 的取值范围是( D ) A．k＜1 且 k≠0 B．k＜1 C．k≤1 且 k≠0 D．k≤1
12．(包头中考)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m－2＝0有两个实数根， m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为( B)
A．6 B．5 C．4 D．3
13．(南通中考)若关于 x 的一元二次方程12
x2－2mx－4m＋1＝0 7
有两个相等的实数根，则(m－2)2－2m(m－1)的值为__2__．
5．(8分)(教材P17习题T4变式)利用根的判别式判断下列方程的根的情况：
(1)3x2－2x－1＝0； 解：a＝3，b＝－2，c＝－1. Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×3×(－1)＝16>0， ∴方程有两个不相等的实数根 (2)4x2＋7x＋3＝x－1. 解：化为一般形式为4x2＋6x＋4＝0， a＝4，b＝6，c＝4. Δ＝b2－4ac＝62－4×4×4＝－28<0， ∴方程无实数根
A．k＝4 B．k＝－4 C．k＝±4 D．k＝±2 4．(3分) (咸宁中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，则实数 m的取值范围是( B ) A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
(2)x2－2 2 x＋1＝0；
解：x1＝ 2 ＋1，x2＝ 2 －1
(3)6x2－13x＝0. 解：x1＝163 ，x2＝0
10．(3 分)以 x＝b±
b2＋4c 2
为根的一元二次方程可能是(
D
)
A．x2＋bx＋c＝0 B．x2＋bx－c＝0
C．x2－bx＋c＝0 D．x2－bx－c＝0
11．(易错题)(通辽中考)关于 x 的方程 kx2－6x＋9＝0 有实数根， k 的取值范围是( D ) A．k＜1 且 k≠0 B．k＜1 C．k≤1 且 k≠0 D．k≤1
12．(包头中考)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m－2＝0有两个实数根， m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为( B)
A．6 B．5 C．4 D．3
13．(南通中考)若关于 x 的一元二次方程12
x2－2mx－4m＋1＝0 7
有两个相等的实数根，则(m－2)2－2m(m－1)的值为__2__．
5．(8分)(教材P17习题T4变式)利用根的判别式判断下列方程的根的情况：
(1)3x2－2x－1＝0； 解：a＝3，b＝－2，c＝－1. Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×3×(－1)＝16>0， ∴方程有两个不相等的实数根 (2)4x2＋7x＋3＝x－1. 解：化为一般形式为4x2＋6x＋4＝0， a＝4，b＝6，c＝4. Δ＝b2－4ac＝62－4×4×4＝－28<0， ∴方程无实数根