03 电阻电路的一般分析

I 2 406 203 2A
I3 I1 I 2 6 2 4A
P70 6 70 420W
64 0 406
P 6 2 6 12W
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例2 列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）
解1
(1) n–1=1个KCL方程：
方法的基础
• 电路的连接关系—KCL，KVL定律。 • 元件的电压、电流关系特性。 复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及 元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程 时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法 和结点电压法。
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3.1 电路的图
1.网络图论 图论是拓扑学的一个分支，是富 有趣味和应用极为广泛的一门学科。 A
2. 独立方程的列写
①从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写 KCL方程 ②选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程。
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例
i2 1 R1 R2 i3
2 R4 R3 2 i4
有6个支路电流，需列写6个方 程。KCL方程:
1
1 i1 34
+
3 i5
2 3
R5
i2 i3 i4 0 i4 i5 i6 0
U=US
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a
I1 + 70V – 7 I2 11 + 1 2 6V – b I3 7
1 Δ 7 0 0 6 1 Δ2 7 0
1 11 1 11 0 6
1 7 1 7 1 7
11 0 203
Δ1 64 11 0 1218
I1 1218 203 6A
形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对 应。 ⑴图的定义(Graph) G={支路，结点}
①图中的结点和支路各自是一个整体。 ②移去图中的支路，与它所联接的结点依然 存在，因此允许有孤立结点存在。 ③如把结点移去，则应把与它联 接的全部支路同时移去。
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(2)路径
从图G的一个结点出发沿着一些支 路连续移动到达另一结点所经过的 支路构成路径。 图G的任意两结点间至少有一条路 径时称为连通图，非连通图至少存 在两个分离部分。
1）对应一个图有很多的回路； 明 2）基本回路的数目是一定的，为连支数； 确 3）对于平面电路，网孔数等于基本回路数。
l bl b (n 1)
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基本回路(单连支回路) 6 4 2 1 3 5
基本回路具有独占的一条连支
5 2
6
2
1
3
1
3
结论
结点、支路和 基本回路关系
R11il1 R12il 2 R1l ill usl 1 R21il1 R22il 2 R2 l ill usl 2 Rl 1il1 Rl 2il 2 Rll ill usll
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R11il 1 R12il 2 R1l ill u sl 1 R21il 1 R22il 2 R2 l ill u sl 2 Rl1il 1 Rl 2il 2 Rll ill u sll 注意 Rkk: 自电阻(总为正) Rjk: 互电阻
结点a： –I1+I3=6
避开电流源支路取回路： 7I1＋7I3=70
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例3 列写支路电流方程.(电路中含有受控源）
a
7 + 70V –
I1
I2 11 + 1 U 7 + 2 _ 5U _
b
I3 解
结点a：
–I1–I2+I3=0 7I1–11I2=70-5U 11I2+7I3= 5U 增补方程：U=7I3
(3)连通图
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(4)子图
若图G1中所有支路和结点都是图 G中的支路和结点，则称G1是G 的子图。
①树(Tree)
T是连通图的一个子图且满足下 列条件： a.连通 b.包含所有结点 c.不含闭合路径
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树
不 是 树 树支：构成树的支路 连支：属于G而不属于T的支路
R6
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小结 （1）支路电流法的一般步骤：
①标定各支路电流（电压）的参考方向； ②选定(n–1)个结点，列写其KCL方程； ③选定b–(n–1)个独立回路，指定回路绕行方 向，结合KVL和支路方程列写；
R i
k k
uSk
④求解上述方程，得到b个支路电流； ⑤进一步计算支路电压和进行其它分析。
回路1 回路2 回路3
u2 u3 u1 0 u4 u5 u3 0 u1 u5 u6 0
应用欧姆定律消去支路电压得： 3
R2i2 R3i3 R1i1 0
R4i4 R5i5 R3i3 0 R1i1 R5i5 R6i6 uS
i6 uS –
1.KCL的独立方程数
2 1 1 3 5 4 2 3
1 2 3 4
4
6
i1 i4 i6 0 i1 i2 i3 0 i2 i5 i6 0 i3 i4 i5 0
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
结论
n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。
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注意 有受控源的电路，方程列写分两步：
①先将受控源看作独立源列方程；
②将控制量用未知量表示，并代入①中所列的方 程，消去中间变量。
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3.4
1.网孔电流法
网孔电流法
以沿网孔连续流动的假想电流为未知量列 写电路方程分析电路的方法称网孔电流法。它仅 适用于平面电路。 基本思想 为减少未知量 (方程 )的个数，假想每个回 路中有一个回路电流。各支路电流可用回路电 流的线性组合表示，来求得电路的解。
2.KVL的独立方程数
2
1 1 6 4 1 4 3 5 2 3 对网孔列KVL方程：
1
2
u1 u3 u4 0
u2 u3 u5 0 3 u4 u5 u6 0 2 u1 u2 u4 u5 0
注意 可以证明通过对以上三个网孔方程进
行加、减运算可以得到其他回路的KVL方程：
i1 R i2 R2 1 + il1 + uS1 il2 uS2 – – b
R11=R1+R2
网孔1中所有电阻之和， 称网孔1的自电阻。
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i1 R i2 R2 1 网孔2中所有电阻之和，称 + il1 + uS1 il2 网孔2的自电阻。 uS2 – R12= R21= –R2 – b 网孔1、网孔2之间的互电阻。
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2. 方程的列写 网孔1： R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0 网孔2： R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0
整理得：
(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2 - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2
i3 R3 观察可以看出如下规律：
i1 i2 i6 0
R6
uS
– 回路1 回路2 回路3
取网孔为独立回路，沿顺时 i6 针方向绕行列KVL写方程:
u2 u3 u1 0 u4 u5 u3 0 u1 u5 u6 0
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这一步可 以省去
2 i2 1 R1 R2 1 i1 34 + i3 R4 R3 2 R5 i5 i4
支路数＝树支数＋连支数 ＝结点数－1＋基本回路数
b n l 1
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例 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对
应的基本回路。 4 3 8 5 6 7 2 1 8 5 6 7 4 8 3 6
4 8 3 2
注意
网孔为基本回路。
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3.2 KCL和KVL的独立方程数
+ : 流过互阻的两个网孔电流方向相同； - : 流过互阻的两个网孔电流方向相反； 0 : 无关。
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例1 用网孔电流法求解电流 i
解 选网孔为独立回路：
( RS R1 R4 )i1 R1i2 R4i3 U S
R1i1 ( R15i2 ( R3 R4 R5 )i3 0 i i2 i3 表明
RS + US _
i1
R1
R4
结点a： –I1–I2+I3=0
(2) b–( n–1)=2个KVL方程：
设电流 源电压 a I3 7
7I1–11I2=70-U 11I2+7I3= U
增补方程：I2=6A
I1 7 I2 11 + + 6A 1 U 2 70V _ – b
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a 解2
I3 I1 7 I2 11 + 7 6A 1 70V – b 由于I2已知，故只列写两个方程
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（2）支路电流法的特点： 支路法列写的是 KCL和KVL方程， 所以方程 列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不 多的情况下使用。 例1 求各支路电流及各电压源发出的功率。 a 解 ① n–1=1个KCL方程： I3 I1 7 I2 11 结点a： –I1–I2+I3=0 + + 7 ② b–( n–1)=2个KVL方程： 1 2 70V 6V 7I1–11I2=70-6=64 – – 11I2+7I3= 6 b