内蒙古世纪中学高中数学必修二习题(人教版)2.1《空间中直线与直线的位置关系》Word版含答案
高一数学人教A版必修2课后练习2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系及解析
课后导练基础达标1两条异面直线的公垂线指的是( )A.和两条异面直线都垂直的直线B.和两条异面直线都垂直相交的直线C.和两条异面直线都垂直相交且夹在两交点之间的线段D.和两条异面直线都垂直的所有直线解析：两异面直线的公垂线必须满足两个条件：(1)与两异面直线都垂直；(2)都相交.答案：B2两条直线a、b分别和异面直线c、d都相交,则直线a、b的位置关系是( )A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.可能是平行直线D.可能是异面直线,也可能是相交直线解析：a与b可能异面〔图①〕也可能相交〔图②〕.答案：D3一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.相交或异面解析：已知a与b异面,a∥l,则l与b相交或异面(如图).答案：D4分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是…( )A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能解析：如图正方体中：AB与BC相交；AB与CD异面；AE∥CD.答案：D5长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有( )A.2对B.3对C.6对D.12对解析：长方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线AC1成异面直线的棱有：BB1；BC；A1B1；A1D1；DD1；DC.答案：C6四面体PABC中,PA⊥BC,E、F分别为PC、AB的中点,若EF与PA、BC成的角分别为α、β,则α+β等于( )A.30°B.60°C.90°D.45°解析：如图取PB的中点D,连结DE、DF.∵E、F分别为PC、AB中点,∴DF∥PA,DE∥BC.∵PA⊥BC,∴∠EDF=90°,又∠DEF=β,∠DFE=α,∴α+β=90°,故选C.答案：C7“a、b是异面直线”是指( )①a∩b=∅且a不平行于b ② a⊂平面α,b⊂平面β且a∩b=∅③ a⊂平面α,b⊄平面α④不存在平面α,使a⊂α且b⊂α成立A.①②B.①③C.①④D.③④解析：由异面直线的定义知：这两条直线不同在任何一个平面内,即它们既不平行,也不相交,应选①④.答案：C8如图,已知不共面的直线a、b、c相交于O点,M、P是直线a上的两点,N、Q分别是直线b、c上的一点.求证：MN和PQ是异面直线.证明：假设MN和PQ共面于α,则M∈α,P∈α,又M∈α,P∈α,∴a⊂α,又a∩b=O,∴O∈α又N∈α,且O∈b,N∈b,∴b⊂α,∴a与b都在平面α内,同理,可证C也在α内,与a,b,c不共面矛盾.所以假设错误,故MN与PQ是异面直线.综合应用9把两条异面直线看成“一对”,正六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有________对.解析：如图,若成异面直线,则必是底边与侧棱各取一条,在底面上任取一条,如AB其异面直线为PF,PE,PD,PC共4对,∴4×6=24对.答案：2410一条直线和这条直线外不共线的三个点,能够确定平面的个数是( )A.1B.4C.3D.1或3或4解析：有三种情况：①直线与三点共一个面；②直线与三个点分别组成平面,则有三个；③在②的基础上,这三个点确定一个面,则有４个.选D.答案：D11已知:a 、b 是异面直线,a 上有两点A 、B,距离为8,b 上有两点C 、D,距离为6,BD 、AC 的中点分别为M 、N,且MN=5,求证：a ⊥b.证明：如图所示,连结BC,取BC 的中点P,连MP 、NP.在四边形ABCD 中,MP 是中位线,∴MP ∥DC,且MP=21DC=3.同理,NP ∥AB 且NP=21AB=4,在△PMN 中,∵MP 2+NP 2=42+32=52=MN 2,∴MP ⊥NP,即MP 和NP 所成的角为90°.∴MP ∥CD,NP ∥AB,∴MP 和NP 所成的角等于a,b 所成的角,∴a,b 所成的角为90°,∴a ⊥b.拓展探究12如图,已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为D 1C 1、B 1C 1的中点,AC∩BD=P,A 1C 1∩EF=Q,求证：(1)D 、B 、F 、E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点,则P 、Q 、R 三点共线.证明：(1)∵EF 是△C 1D 1B 1的中位线,∴EF ∥B 1D 1.在正方体AC 1中,B 1D 1∥BD,∴EF ∥BD,∴EF 和BD 可确定一个平面,即D 、B 、E 、F 四点共面.(2)正方体AC 1中,设A 1ACC 1确定的平面为α,又设平面DBFE 为β.∵Q ∈A 1C 1,∴Q ∈α.又Q ∈EF,∴Q ∈β.∴Q 是α与β的公共点.同理,P 点也是α与β的公共点,∴α∩β=PQ.又∵A 1C∩β=R,∴R ∈α.又∵R ∈β,∴R ∈α∩β=PQ.故P 、Q 、R 三点共线.。
高中数学第二章2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系练习(含解析)新人教A版必修2
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系A组1.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上都有可能解析:如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AD1在平面AA1D1D中,直线BB1,BC1分别在平面BB1C1C中,但AD1∥BC1,AD1与BB1异面,又直线AB在平面ABCD中,显然AD1∩AB=A.答案:D2.若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a与c的关系是()A.异面B.平行C.垂直D.相交但不垂直解析:∵a∥b,∴a与c所成的角就是b与c所成的角,∵b⊥c,∴a⊥c.答案:C3.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是()A.相交B.异面C.异面或相交D.平行解析:如图有两种情况.答案:C4.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是()A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B1C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行解析:如图①,∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,但OB与O1B1不平行,故排除A,B;如图②,∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,此时OB∥O1B1,故排除C.图①图②答案:D5.空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形各边中点,所组成的四边形是()A.梯形B.矩形C.平行四边形D.正方形答案:D6.直线a,b不在平面α内,a,b在平面α内的射影是两条平行直线,则a,b的位置关系是.答案:平行或异面7.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为. 解析:∵a∥OA,根据等角定理,又∵异面直线所成的角为锐角或直角,∴a与OB所成的角为60°.答案:60°8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角为.解析:如图,连接A1B,BC1,A1C1,则EF∥A1B,GH∥BC1,所以A1B与BC1所成的角即为EF与GH所成的角.因为△A1BC1是等边三角形,所以A1B与BC1所成的角为60°,即EF与GH所成的角为60°.答案:60°9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱CC1,BB1,DD1的中点,试证明∠BGC=∠FD1E.证明:∵F为BB1的中点,∴BF=BB1.∵G为DD1的中点,∴D1G=DD1.又∵BB1 DD1,∴BF D1G.∴四边形D1GBF为平行四边形.∴D1F∥GB,同理D1E∥GC.又∵∠BGC与∠FD1E的对应边方向相同,∴∠BGC=∠FD1E.10.空间四边形ABCD中,AB=CD,AB与CD成30°角,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角.解:取BD的中点G,连接EG,FG,∵E,F分别为BC,AD的中点,∴EG CD,GF AB.∴EG与GF所成的角即为AB与CD所成的角.∵AB=CD,∴△EFG为等腰三角形.又AB与CD所成角为30°,∴∠EGF=30°或150°.∵∠GFE就是EF与AB所成的角,∴EF与AB所成角为75°或15°.B组1.下列选项中,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()解析:易知选项A,B中PQ∥RS,选项D中RS与PQ相交,只有选项C中RS与PQ是异面直线.答案:C2.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定()A.与a,b都相交B.只能与a,b中的一条相交C.至少与a,b中的一条相交D.与a,b都平行解析:如图,a'与b异面,但a'∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.答案:C3.已知在空间四边形ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列判断正确的是()A.MN≥(AC+BD)B.MN≤(AC+BD)C.MN=(AC+BD)D.MN<(AC+BD)解析:取BC的中点Q,则MN<MQ+NQ=.答案:D4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有条.解析:由异面直线的定义,正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1共6条.答案:65.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为.解析:取CD1的中点G,连接EG,DG.∵E是BD1的中点,∴EG∥BC,EG=BC.∵F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,∴DF∥BC,DF=BC,∴EG∥DF,EG=DF,∴四边形EFDG是平行四边形,∴EF∥DG,∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又∵A1A=AB,∴四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,∴DG⊥CD1,∴∠D1GD=90°,∴异面直线CD1,EF所成的角为90°.答案:90°6.一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为.解析:把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN ⊥CD,只有①③正确.答案:①③7.如图,△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O,且.(1)求证:A'B'∥AB,A'C'∥AC,B'C'∥BC;(2)求的值.(1)证明:∵AA'∩BB'=O,且,∴AB∥A'B'.同理AC∥A'C',BC∥B'C'.(2)解:∵A'B'∥AB,A'C'∥AC,且AB和A'B',AC和A'C'方向相反,∴∠BAC=∠B'A'C'.同理∠ABC=∠A'B'C',∠ACB=∠A'C'B',∴△ABC∽△A'B'C',且,∴.8.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.E在AB的何处时截面EGFH的面积最大?最大面积是多少?解:∵AD与BC成60°角,∴∠HGF=60°或120°.设AE∶AB=x,则=x.又BC=a,∴EF=ax.由=1-x,得EH=a(1-x).∴S四边形EFGH=EF×EH×sin 60°=ax×a(1-x)×a2(-x2+x)=a2.当x=时,S最大值=a2,即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为a2.。
高中数学(人教版必修2)配套练习 第二章2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
第二章点、直线、平面之间的位置关系§2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面一、基础过关1．下列命题：①书桌面是平面；②有一个平面的长是50 m，宽是20 m；③平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为() A．1个B．2个C．3个D．0个2．下列图形中，不一定是平面图形的是() A．三角形B．菱形C．梯形D．四边相等的四边形3．空间中，可以确定一个平面的条件是() A．两条直线B．一点和一条直线C．一个三角形D．三个点4．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有() A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条5．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．6．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．7．如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．8．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此三条直线必相交于一点．二、能力提升9．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是() A．0 B．1 C．1或4 D．无法确定10．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是() A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合11．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．12. 如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．三、探究与拓展13. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面．答案1．A 2.D 3.C 4.D5．06．A∈m7. 解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．8．证明∵l1⊂β，l2⊂β，l1D∥\l2，∴l1、l2交于一点，记交点为P.∵P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．9．C10.C11．③12．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B.∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴E、C、D1、F四点共面．2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、基础过关1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是() A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能2．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有() A．∠BAC＝∠B′A′C′B．∠BAC＋∠B′A′C′＝180°C．∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°D ．∠BAC ＞∠B ′A ′C ′3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是 ( )A ．空间四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形4．“a 、b 为异面直线”是指：①a ∩b ＝∅，且aD \∥b ；②a ⊂面α，b ⊂面β，且a ∩b ＝∅；③a ⊂面α，b ⊂面β，且α∩β＝∅；④a ⊂面α，b ⊄面α；⑤不存在面α，使a ⊂面α，b ⊂面α成立． 上述结论中，正确的是( )A ．①④⑤B ．①③④C ．②④D ．①⑤5．如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是________． 6．已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中： (1)BC ′与CD ′所成的角为________； (2)AD 与BC ′所成的角为________．7．如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？8．如图，正方体ABCD －EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心，求：(1)BE 与CG 所成的角； (2)FO 与BD 所成的角． 二、能力提升9.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD .以上结论中正确的序号为________．12．已知A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角． 三、探究与拓展13．已知三棱锥A —BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M 、N 分别是BC 、AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．答案1．D 2．C 3．B 4．D 5.平行或异面 6．(1)60° (2)45°7．(1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．8．解 (1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角，又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°.(2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ， ∴HD 綊FB ，∴四边形HFBD 为平行四边形， ∴HF ∥BD ，∴∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角． 连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ， ∴△AFH 为等边三角形，又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°.9．D 10．B 11．①③12．(1)证明 假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)解 取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.13．解 如图，取AC 的中点P .连接PM 、PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)． 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°， 若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或所成角的补角)． 又因AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形， 所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°，即AB与MN所成的角为30°.故直线AB和MN所成的角为60°或30°.2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系一、基础过关1．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．直线l与平面α不平行，则() A．l与α相交B．l⊂αC．l与α相交或l⊂αD．以上结论都不对3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的() A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交4．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是() A．平行B．相交C．平行或相交D．AB⊂α5．直线a⊂平面α，直线b⊄平面α，则a，b的位置关系是________．6．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．7．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？说明理由．8. 如图，直线a∥平面α，a⊂β，α∩β＝b，求证：a∥b.二、能力提升9．下列命题正确的是() A．若直线a在平面α外，则直线a∥αB．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交C．若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥βD．若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β10．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线() A．异面B．相交C．平行D．垂直11．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC 与面α的位置关系为________．12. 如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．三、探究与拓展13．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A、Q、B1三点的截面图形的形状．答案1．D2．C3．D4．C5.平行、相交或异面6．b⊂α，b∥α或b与α相交7．解不正确．如图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条，如a1，a2，…，a n，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n与平面β平行，但此时α与β不平行，α∩β＝l.8．证明∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α无公共点．∵α∩β＝b，∴b⊂α，b⊂β.∴直线a与b无公共点．∵a⊂β，∴a∥b.9．D10.D11.平行或相交12．解由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点．又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点，又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.13．解由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)所示；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)所示；图(1)图(2)当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)所示．图(3)。
高中数学必修二《2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》测试卷及答案解析
2019-2020学年高中数学必修二《2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》参考答案与试题解析一．选择题（共37小题）1．如图所示，用符号语言可表达为（）A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n【分析】结合图形考查两个平面的位置关系、两条直线的位置关系，以及点与线、线与面的位置关系．【解答】解：如图所示，两个平面α与β相交于直线m，直线n在平面α内，直线m和直线n相交于点A，故用符号语言可表达为α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A，故选：A．【点评】本题考查平面的画法及表示，点、线、面之间的位置关系的符号表示．2．两个平面能把空间分成几个部分（）A．2或3B．3或4C．3D．2或4【分析】根据平面之间的关系，即可得到结论．【解答】解：若两个平面平行，此时两个平面把空间分成3个平面，若两个平面相交，此时两个平面把空间分成4个平面，故两个平面能把空间分成3个或4个部分，故选：B．【点评】本题主要考查平面的概念以及平面的基本性质的应用．3．如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以表示为（）A．A⊂a，a⊂α，B∈αB．A∈a，a⊂α，B∈αC．A⊂a，a∈α，B⊂αD．A∈a，a∈α，B∈α【分析】直接按照平面内点、线、面的位置关系，写出结果即可．【解答】解：A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，表示为：A∈a，a⊂α，B∈α．故选：B．【点评】本题考查空间中，点、线、面的符号表示方法，基本知识的考查．4．若点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作（）A．B∈b∈βB．B∈b⊂βC．B⊂b⊂βD．B⊂b∈β【分析】由题意，点B在直线b上，b在平面β内，点与面之间的关系是属于关系，线与面之间的关系是包含关系，由此三者之间的关系易得【解答】解：由题意，点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作B∈b⊂β故选：B．【点评】本题考查平面的概念及表示，解题的关键是理解平面的概念及平面中点线面之间表示的符号，本题是基础概念考查题，对点线面间关系规范书写是解题的重点5．若A，B表示点，a表示直线，α表示平面，则下列叙述中正确的是（）A．若A⊂α，B⊂α，则AB⊂αB．若A∈α，B∈α，则AB∈αC．若A∉a，a⊂α，则AB∉αD．若A∈a，a⊂α，则A∈α【分析】本题要正确应用点，线，面之间的关系和符号表示，利用公理一判断即可．【解答】解：点与面的关系用符号∈，而不是⊂，所以答案A错误；直线与平面的关系用⊂表示，则AB∈α表示错误；点A不在直线a上，但只要A，B都在平面α内，也存在AB⊂α，答案C错误；而A∈a，a⊂α，则A∈α，所以答案D正确．故选：D．【点评】立体几何图形语言、符号语言、文字语言之间三者之间相互转化，对公理一要准确理解到位．6．经过空间不共线的四点，可确定的平面个数是（）A．1B．4C．1或4D．1或3【分析】分四个点在一个面和三个点在一个面，另一个点在平面外三种情况讨论．【解答】解：当这四个点在一个平面内时候，确定一个平面；当三个点在一个平面上，另一个点在平面外时候，确定四个平面，可想象一些三棱锥的样子．故选：C．。
人教新课标版数学高一人教A版必修2试题 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系[课时达标检测]一、选择题1．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交解析：选B假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行(否则c∥b，则有a∥b，矛盾)．因此c与b可能相交或异面．2.如图所示，在三棱锥S—MNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF 与HG的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：选A∵E、F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.3．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直解析：选D将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D.4．下列命题中①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．正确的结论有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B对于①，这两个角也可能互补，故①错；对于②，正确；对于③，不正确，举反例：如右图所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角既不一定相等，也不一定互补；对于④，由公理4可知正确．故②④正确，所以正确的结论有2个．5．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则()A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面解析：选B逐个分析，过点P与l，m都平行的直线不存在；过点P与l，m都垂直的直线只有一条；过点P与l，m都相交的直线1条或0条；过点P与l，m都异面的直线有无数条．二、填空题6．空间中有一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________.解析：∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°.又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.答案：70°或110°7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成的角的余弦值为________．解析：设棱长为1，因为A1B1∥C1D，所以∠AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角．在△AED1中，AE＝12＋12＋⎝⎛⎭⎫122＝32，cos∠AED1＝D1EAE＝1232＝13.答案：138．如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是________．解析：①中PQ ∥RS ，②中RS ∥PQ ，④中RS 和PQ 相交．答案：③三、解答题9.如图所示，E 、F 分别是长方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 的棱A 1A ，C 1C 的中点．求证：四边形B 1EDF 是平行四边形．证明：设Q 是DD 1的中点，连接EQ 、QC 1.∵E 是AA 1的中点，∴EQ 平行且等于A 1D 1.又在矩形A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1綊B 1C 1，∴EQ 平行且等于B 1C 1(平行公理)．∴四边形EQC 1B 1为平行四边形．∴B 1E 平行且等于C 1Q .又∵Q 、F 是DD 1、C 1C 两边的中点，∴QD 平行且等于C 1F .∴四边形QDFC 1为平行四边形．∴C 1Q 平行且等于DF .又∵B 1E 平行且等于C 1Q ，∴B 1E 平行且等于DF .∴四边形B 1EDF 为平行四边形．10．已知三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD的中点，求直线AB 和MN 所成的角．解：如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，因为点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以PM ∥AB ，且PM ＝12AB ； PN ∥CD ，且PN ＝12CD ， 所以∠MPN (或其补角)为AB 与CD 所成的角．所以∠PMN (或其补角)为AB 与MN 所成的角．因为直线AB 与CD 成60°角，所以∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°.又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ①，(1)若∠MPN ＝60°，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.(2)若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.综上可知：AB 与MN 所成角为60°或30°.。
最新人教版高中数学必修2第二章《空间中直线与直线之间的位置关系》典型例题
拓展延伸应用点一两条直线位置关系的判断【例1】下列说法中正确的是__________(填上你认为正确的所有说法的序号)．(1)空间没有公共点的两条直线是异面直线；(2)垂直于同一条直线的两条直线必定平行；(3)和两条平行直线中一条直线相交的直线必与另一条相交；(4)分别在两个平面内的两条直线是异面直线；(5)和两条平行直线中一条异面的直线和另一条也异面；(6)平行于同一条直线的两条直线互相平行．解析：在立体几何中，两条直线的位置关系有三种：相交、平行、异面，不能停留在平面几何中的平行和相交这两种情况．(1)中没有公共点的直线可以是平行直线，(1)错；(2)(3)(4)(5)都可以从图中的线面关系作出判断，如和AA1垂直的直线A1D1、A1B1是相交的，A1D1、B1C1是平行的，A1D1、AB是异面的；AB∥CD，C1C∩CD＝C，但AB、C1C不相交；AB，C1D1分别在面A1ABB1和面DCC1D1内，但这两条直线平行；A1B1∥AB，BC1与A1B1异面，但AB与BC1相交，于是(2)(3)(4)(5)均错，(6)符合公理4，正确．答案：(6),三条直线a，b，c，若a⊥c且b⊥c，则a，b的位置关系必定是()．A．相交B．平行C．异面D．相交、平行、异面都有可能应用点二公理4的应用【例2】已知棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形．思路分析：要证明梯形，需要证明它有一组对边平行，且不相等(或另一组对边不平行)．证明：如图，连接AC.∵M、N分别为CD、AD的中点，∴MN 12AC.由正方体的性质知，AC A′C′，∴MN 12A′C′.∴四边形MNA′C′是梯形．S是△ABC所在平面外一点，D，E分别为△S AB和△S BC的重心．求证：DE∥AC.应用点三等角定理的应用【例3】如图，已知E、E1分别为正方体AC1的棱AD、A1D1的中点．求证：∠C1E1B1＝∠CEB.思路分析：直接利用等角定理说明两角相等，要说明两边对应平行且方向相同．证明：连接EE1.∵E1、E分别为A1D1、AD的中点，∴A1E1AE.∴四边形A1E1EA为平行四边形．∴A1A E1E.又∵A1A B1B，∴E1E B1B.∴四边形E1EBB1是平行四边形．∴E1B1∥EB.同理，E1C1∥EC.又∠C1E1B1与∠CEB对应边方向相同，∴∠C1E1B1＝∠CEB.已知一对等角，若一个角的一边和另一个角的一边平行，则这两个角的另一边()．A．一定平行B．一定不平行C．一定相交D．不一定平行应用点四异面直线的判定【例4】如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解：是异面直线，证明如下：假设D 1B 与CC 1在同一个平面D 1CC 1内，则B ∈平面CC 1D 1，C ∈平面CC 1D 1.∴BC ⊂平面CC 1D 1，∴B ∈平面CC 1D 1D ，这与ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体矛盾． ∴假设不成立，故D 1B 与CC 1是异面直线．如图所示，直线a 、b 是异面直线，A 、B 两点在直线a 上，C 、D 两点在直线b 上，求证：BD 和AC 是异面直线．应用点五 求异面直线所成的角【例5】如图所示，S 是边长为a 的正三角形ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ＝a ，E 、F 分别是SC 、AB 的中点，求异面直线SA 与EF 所成的角．思路分析：因为E 是SC 的中点，要平移SA 使之与EF 相交，只需取AC 的中点M ，连EM 、FM 即可．解：如图，取AC 的中点M ，连接EM ，FM .∵E ，F 分别是SC ，AB 的中点，∴EM ∥SA ，且EM ＝12SA ＝12a ，FM ∥BC ，且FM ＝12BC ＝12a . ∴SA 与EF 所成的角即为EM 与EF 所成的角，即∠MEF .连接FC ，∵F 为AB 的中点，△ABC 是边长为a 的等边三角形，SA ＝SB ＝SC ＝a ，∴FC ＝SF .∴EF ⊥SC .∴△FEC 为直角三角形．∴EF ＝22a .又在△EMF 中，EM ＝FM ＝a 2，∴△EMF 为等腰直角三角形． ∴∠MEF ＝45°，即异面直线SA 与 EF 所成的角为45°.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，求：(1)A 1B 与CC 1所成角的大小；(2)A 1B 与AC 所成角的大小．迁移1.D 点拨：在平面中，同时与一条直线垂直的两条直线相互平行，但在空间中，这两条直线可能有三种位置关系：相交、平行、异面．迁移2.证明：连接SD 并延长交AB 于H ，连接SE 并延长交BC 于F ，连接HF .如图所示，∵D ，E 分别为△SAB ，△SBC 的重心，∴H ，F 分别为AB ，BC 的中点，则HF ∥AC .又SD SH ＝SE SF ＝23，∴DE ∥HF .∴DE ∥AC . 迁移3.D 点拨：在空间中，两个等角的一边平行，另一边可能平行，也可能相交或异面．迁移4.证明：假设BD 和AC 不是异面直线，则BD 和AC 共面，设它们共面于α. ∴A 、B 、C 、D ∈α，∴AB 、CD ⊂α，即a ，b ⊂α，这与a 、b 是异面直线矛盾，故假设不成立．∴BD 与AC 是异面直线．迁移5.解：(1)∵BB 1∥CC 1，∴A 1B 与CC 1所成角等于A 1B 与BB 1所成角，易得该角为45°.(2)连接A 1C 1、BC 1，则易得A 1C 1∥AC ，所以A 1B 与AC 所成角等于A 1B 与A 1C 1所成角． 在△A 1BC 1中，由A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，可知该三角形是正三角形，因此所求的角为60°.。
高中数学必修二2.1空间点、直线、平面之间的位置关系课堂练习及详细答案解析
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面知识梳理1 平面含义：平面是无限延展的2 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为【公理 1 作用】判断直线是否在平面内.（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线=> 有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。
公理 2 作】确定一个平面的依据。
3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β => α∩β =L，且P∈L【公理3作用】判定两个平面是否相交的依据知能训练一．选择题1．已知m，n 分别是两条不重合的直线，a，①若m⊥α，n∥b，且α⊥β，则m∥n；③若m∥α，n∥b，且α∥β，则m⊥n；其中真命题的序号是（）2．在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3．l1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．1 ⊥ l 2，l 2 ⊥ l 3?l 1 ∥ l 3B．1 ⊥ l 2，l 2 ∥l3?l 1⊥ l 3C．1∥ l 2∥l 3? l1，l 2 ，l 3 共面D．l1，l2，l3共点? l1，l2，l 3共面A．①②B．③④C．①④D．②③b 分别垂直于两不重合平面②若m∥a，n∥ b，且α④若m⊥α，n ⊥b，且4．下面四个说法中，正确的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线可以确定一个平面（3）若M∈α，M∈β，α∩β =l ，则M∈l（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 5．已知空间三条直线l 、m、n．若l 与m异面，且l 与n 异面，则（）A．m 与n 异面B．m与n 相交C．m 与n 平行D．m与n 异面、相交、平行均有可能6．若m、n 为两条不重合的直线，α、β 为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m、n 都平行于平面α，则m、n 一定不是相交直线B．若m、n 都垂直于平面α，则m、n 一定是平行直线C．已知α、β互相垂直，m、n 互相垂直，若m⊥α，n ⊥βD．m、n 在平面α内的射影互相垂直，则m、n 互相垂直7．已知平面α，β，γ，直线m，l ，点A，有下面四个命题，其中正确的命题是（）A．若l ? α，m∩α =A，则l 与m 必为异面直线B ．若l ∥α，l ∥m，则m∥αC ．若l ? α，m?β，l ∥β，m∥α，则α∥βD ．若α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β =l ，l⊥m，则l ⊥α8．已知α，β 为互不重合的平面，m，n 为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若m? α，n? α，m∥β，n∥β，，则α∥β；③若α⊥β，α∩β =m，n? α，n⊥m，则n⊥β；④若m⊥α，α⊥β，m∥ n，则n∥β．其中所有正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．③④二．填空题9．（文）平面上三条直线x+2y-1=0 ，x+1=0，x+ky=0 ，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为．（将你认为所有正确的序号都填上）①0 ② 1/2 ③1 ④2 ⑤ 3．10．空间中有7 个点，其中有 3 个点在同一直线上，此外再无任何三点共线，由这7个点最多可确定个平面．三．解答题1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥ CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．2．四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F 在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3．DH：HA=2 ：3．（1）证明：点G、E、F、H四点共面；（2）证明：EF、GH、BD交于一点．2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
最新人教版高中数学必修二第二章《空间中直线与直线、直线与平面的位置关系》精选习题(含答案解析)
最新人教版高中数学必修二第二章《空间中直线与直线、直线与平面的位置关系》精选习题（含答案解析）一、选择题(每小题5分，共40分)1.(2021·菏泽高一检测)已知直线a在平面α外，则( )A.a∥αB.直线a与平面α至少有一个公共点C.a∩α=AD.直线a与平面α至多有一个公共点2.(2021·成都高一检测)已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线( )A.只有一条，不在平面α内B.有无数条，一定在平面α内C.只有一条，且在平面α内D.有无数条，不一定在平面α内3.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A.α内的所有直线与l异面B.α内不存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交4.(2021·成都高一检测)下列说法中，正确的个数是( )(1)平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线.(2)如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面.(3)直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线.(4)如果α∥β，a∥α，那么a∥β.A.0B.1C.2D.35.教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线( )A.异面B.相交C.平行D.垂直6.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则直线EF是平面ACD1与( )A.平面BDB1的交线B.平面BDC1的交线C.平面ACB1的交线D.平面ACC1的交线7.(2021·嘉兴高二检测)若a是平面α外的一条直线，则直线a与平面α内的直线的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面8.α，β是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是( )A.平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥βB.平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC.若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥βD.平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β二、填空题(每小题5分，共10分)9.若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________.10.平面α∩β=c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是________.三、解答题(每小题10分，共20分)11.(2021·福州高一检测)如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F 分别为B′C′，A′D′的中点，求证：平面ABB′A′与平面CDFE相交.12.如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，判断a 与b、a与β的关系并证明你的结论.参考答案与解析1【解析】选D.因为a在平面α外，所以a∥α或a∩α=A，所以直线a与平面α至多有一个公共点.2【解析】选C.过直线l和点P作一平面β与α相交于m，因为l∥α，所以l与α无公共点，所以l与m无公共点，又l⊂β，m⊂β，故l∥m，又m⊂α，即m是过点P且平行于l的直线.若n也是过P且与l平行的直线，则m∥n，这是不可能的.故C正确.3【解析】选B.因为l不平行于α，且l⊄α，故l与α相交，记l∩α=A.假设平面α内存在直线a∥l，过A在α内作b∥a，则b∥l，这与b∩l=A矛盾，故在α内不存在与l平行的直线.4【解析】选A.(1)错误.平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有1条或2条或3条交线.(2)错误.如果a，b是两条直线，a∥b，那么直线a有可能在经过b的平面内.(3)错误.直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面内无数条直线平行.(4)错误.如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a⊂β.5【解析】选 D.若尺子与地面相交，则地面上不存在直线与直尺所在的直线平行.故C错误.若尺子平行于地面，则B不正确.若尺子放在地面上，则A不正确.故选D.6【解析】选B.连接BC1.因为E∈DC1，F∈BD，所以EF⊂平面BDC1，故EF=平面ACD1∩平面BDC1.7【解析】选D.若a∥α，则a与α内的直线平行或异面，若a与α相交，则a与α内的直线相交或异面.8【解析】选D.A，B都不能保证α，β无公共点，如图1所示；C中当a∥α，a∥β时α与β可能相交，如图2所示；只有D说明α，β一定无公共点.9【解析】正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A为a，BC为b，若平面BCC1B1为α，则b⊂α；若平面CDD1C1为α，则b与α相交；若过AB，CD，C1D1，A1B1中点的截面为α，则b∥α.答案：b∥α，b⊂α或b与α相交10【解析】因为a∥α，c⊂α，所以a与c无公共点，不相交.若a∥c，则直线a∥β或a⊂β.这与“a与β相交”矛盾，所以a与c异面.答案：异面11【证明】在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E为B′C′的中点，所以EC与BB′不平行，则延长CE与BB′必相交于一点H，所以H∈EC，H∈B′B，又BB′⊂平面ABB′A′，CE⊂平面CDFE，所以H∈平面ABB′A′，H∈平面CDFE，故平面ABB′A′与平面CDFE相交.12【解析】a∥b，a∥β.由α∩γ=a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ=b知b⊂β且b⊂γ，所以a⊂α，b⊂β，又因为α∥β，所以a，b无公共点.又因为a⊂γ且b⊂γ，所以a∥b.因为α∥β，所以α与β无公共点，又a⊂α，所以a与β无公共点，所以a∥β.。
高中数学必修二(人教A版)练习2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 Word版含答案
空间中直线与直线之间的位置关系一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．如果一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条直线之间的位置关系是( )．平行．相交．异面．可能平行、可能相交、可能异面．两等角的一组对应边平行，则( )．另一组对应边平行．另一组对应边不平行．另一组对应边不可能垂直．以上都不对．在正方体-中，，分别为棱，的中点，则在空间中与直线，，都相交的直线( )．不存在．有且只有两条．有且只有三条．有无数条．已知空间中三条直线，，，与异面，与异面，则( )．与异面．与相交．与平行．与异面、相交、平行均有可能．如图--是某个正方体的平面展开图，、是两条侧面对角线，则在正方体中，与( )图--．互相平行．异面且互相垂直．异面且夹角为．相交且夹角为．已知在空间四边形中，，分别是，的中点，且＝，＝，则( )．<<．<<．≤≤．<<．在如图--所示的正方体中，，分别为棱和的中点，则异面直线和所成的角为( )图--．°．°．°．°二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)图--．如图--所示，在正方体-中，，分别为棱，的中点，有以下四个结论：①直线与是相交直线；②直线与是平行直线；③直线与是异面直线；④直线与是异面直线．其中正确的结论为．(填序号)．如图--，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段，，和在原正方体中相互异面的有对．图--图--．一个正方体纸盒展开后如图--所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①⊥；②与所成的角为°；③与是异面直线；④∥.其中正确结论的序号是．．在正四棱柱-中，＝，是的中点，则异面直线与所成的角等于．三、解答题(本大题共小题，共分)．(分)如图--所示，已知正方体′′′′.()求异面直线′与′′所成角的大小；。
高中数学必修二人教A版练习：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系含解析.doc
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【选题明细表】1.(2018·陕西汉中期末)一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条( C )(A)相交 (B)异面(C)相交或异面(D)平行解析:一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选C.2.在三棱锥P ABC中,PC与AB所成的角为70°,E,F,G分别为PA,PB,AC的中点,则∠FEG等于( D )(A)20°(B)70°(C)110° (D)70°或110°解析:因为E,F,G分别为PA,PB,AC的中点,所以EF∥AB,EG∥PC,所以∠FEG或其补角为异面直线PC与AB所成的角,又AB与PC所成的角为70°,所以∠FEG为70°或110°.3.如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=,求异面直线AD,BC所成角是( C )(A)30°(B)45°(C)60°(D)120°解:如图,取BD的中点M,连接EM,FM.因为E,F分别是AB,CD的中点,所以EM AD,FM BC,则∠EMF或其补角就是异面直线AD,BC所成的角.因为AD=BC=2,所以EM=MF=1,在等腰△MEF中,过点M作MH⊥EF于H,在Rt△MHE中,EM=1,EH=EF=,则sin∠EMH=,于是∠EMH=60°,则∠EMF=2∠EMH=120°.所以异面直线AD,BC所成的角为∠EMF的补角,即异面直线AD,BC所成的角为60°.故选C.4.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定( C )(A)与a,b都相交(B)只能与a,b中的一条相交(C)至少与a,b中的一条相交(D)与a,b都平行解析:如图,a′与b异面,但a′∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.5.如图,三棱柱ABC A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( C )(A)CC1与B1E是异面直线(B)C1C与AE共面(C)AE,B1C1是异面直线(D)AE与B1C1所成的角为60°解析:由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A 错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误.故选C.6.如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC 的中点,则异面直线DE与AB所成的角为.解析:因为D,E分别是VB,VC的中点,所以BC∥DE,因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角,又因为AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形,于是∠ABC=45°,故异面直线DE与AB所成的角为45°.答案:45°7.如图所示,已知正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别是AD,AA1的中点.(1)直线AB1和CC1所成的角为;(2)直线AB1和EF所成的角为.解析:(1)因为BB1∥CC1,所以∠AB1B即为异面直线AB1与CC1所成的角,∠AB1B=45°.(2)连接B1C,易得EF∥B1C,所以∠AB1C即为直线AB1和EF所成的角.连接AC,则△AB1C为正三角形,所以∠AB1C=60°.答案:(1)45°(2)60°8.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H,E在AB的何处时截面EGFH的面积最大?最大面积是多少?解:因为AD与BC成60°角,所以∠HGF=60°或120°.设AE∶AB=x,则==x.又BC=a,所以EF=ax.由==1-x,得EH=a(1-x).所以S四边形EFGH=EF·EH·sin60°=ax·a(1-x)×=a2(-x2+x)=a2[-(x-)2+].当x=时,S最大值=a2,即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为a2.9.如图所示,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,HG 与IJ所成角的度数为( B )(A)90°(B)60°(C)45°(D)0°解析:将三角形折成空间几何体,如图所示,HG与IJ是一对异面直线.因为IJ∥AD,HG∥DF,所以DF与AD所成的角为HG与IJ所成的角,又∠ADF=60°,所以HG与IJ所成的角为60°.10.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为.解析:还原成正方体如图所示,可知①正确.②AB∥CM,不正确.③正确.④MN⊥CD.不正确.答案:①③11.如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问(1)AM和CN是否是异面直线?(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.解:由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点,可证明MN∥AC,因此AM与CN 不是异面直线.由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法.(1)不是异面直线.理由:因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.又因为A1A C1C,所以A1ACC1为平行四边形.所以A1C1∥AC,得到MN∥AC,所以A,M,N,C在同一个平面内,故AM和CN不是异面直线.(2)是异面直线,证明如下:假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内,则B∈平面CC1D1D,C∈平面CC1D1D.所以BC⊂平面CC1D1D,这与ABCD A1B1C1D1是正方体相矛盾.所以假设不成立,故D1B与CC1是异面直线.12.如图,正方体ABCD EFGH中,O为侧面ADHE的中心,求:(1)BE与CG所成的角;(2)FO与BD所成的角.解:(1)如图,因为CG∥BF,所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角,又△BEF中,∠EBF=45°,所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH,因为HD EA,EA FB,所以HD FB,所以四边形HFBD为平行四边形,所以HF∥BD,所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角. 连接HA,AF,易得FH=HA=AF,所以△AFH为等边三角形,又依题意知O为AH的中点,所以∠HFO=30°,即FO与BD所成的角是30°.13.如图,E,F,G,H分别是三棱锥A BCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且==λ,==μ.(1)若λ=μ,判断四边形EFGH的形状;(2)若λ≠μ,判断四边形EFGH的形状;(3)若λ=μ=,且EG⊥HF,求的值.解:(1)因为==λ,所以EH∥BD,且EH=BD. ①又因为==μ.所以FG∥BD,且FG=BD. ②又λ=μ,所以EH FG(公理4).因此λ=μ时,四边形EFGH为平行四边形.(2)若λ≠μ,由①②,知EH∥FG,但EH≠FG,因此λ≠μ时,四边形EFGH为梯形.(3)因为λ=μ,所以四边形EFGH为平行四边形.又因为EG⊥HF,所以四边形EFGH为菱形.所以FG=HG.所以AC=(λ+1)HG=HG=FG,又BD=FG=3FG,所以=.。
人教版高中数学必修二 空间中直线与直线间位置关系检测题 附答案解析
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系（课时过关·能力提升）基础巩固1.如果两条直线a和b没有公共点,那么a和b()A.共面B.平行C.异面D.平行或异面2.在三棱锥S-ABC的棱中,与棱SA异面的棱是()A.BCB.SCC.ABD.SB3.已知直线a∥直线b,直线b∥直线c,直线c∥直线d,则a与d的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定4.若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c()A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线5.已知直线a与直线b相交,直线c与直线b相交,则直线a与直线c的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.以上都有可能6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱中,(1)与棱AB平行的棱有;(2)与棱AB相交的棱有;(3)与棱AB异面的棱有;(4)与棱AB垂直的棱有.7.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为.8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AC与B1C1所成角的大小为.9.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是.(只填序号)10.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,中心为O ,且底面边长和侧棱长相等,M 是PC 的中点,求MO 与AB 所成的角的大小.能力提升1.已知a ,b 为异面直线,且a ⊂α,b ⊂β,若α∩β=l ,则直线l ()A .与a ,b 都相交B .与a ,b 都不相交C .至少与a ,b 之一相交D .至多与a ,b 之一相交2.如图,将无盖正方体纸盒展开,直线AB ,CD 在原正方体中的位置关系是()A .平行B .相交且垂直C .异面D .相交且成60°角★3.若两条直线a ,b 分别和异面直线c ,d 都相交,则直线a ,b 的位置关系是()A .一定是异面直线B .一定是相交直线C .可能是平行直线D .可能是异面直线,也可能是相交直线★4.如右图所示,在空间四边形ABCD 中,E ,F 分别为AC ,BD 的中点,若CD=2AB ,EF ⊥AB ,则EF 与CD 所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°5.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别为棱C 1D 1,C 1C 的中点,有以下四个结论:①直线AM 与CC 1是相交直线;②直线AM 与BN 是平行直线;③直线BN 与MB 1是异面直线;④直线AM 与DD 1是异面直线.其中正确结论为.(只填序号)6.如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,E ,F 分别是AB ,AC 上的点,且AE ∶EB=AF ∶FC ,则EF 与B 1C 1的位置关系是.（第2题图）（第5题图）（第6题图）7.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?并说明理由.★8.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,求异面直线CD1与EF所成的角的大小.参考答案一、基础巩固a,b没有公共点时,a,b可能平行,也可能异面.,AB,SB与SA均相交,BC与SA异面.a∥b,b∥c,∴a∥c.又c∥d,∴a∥d.b∥c,由a∥b,知a∥c,这与a,c异面相矛盾,则b与c不可能平行,故选C.,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB与AA1相交.因为A1B1与AA1相交,所以AB∥A1B1;因为AD与AA1相交,所以AB与AD相交;因为A1D1与AA1相交,所以AB与A1D1异面.故选D.A1B1,C1D1,CD(2)BC,B1B,AD,AA11,DD1,A1D1,B1C1(4)BC,B1C1,A1D1,AD,AA1,BB1,CC1,DD1a∥OA,根据等角定理,又因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以a与OB所成的角为60°.°BC∥B1C1,则∠ACB就是异面直线AC与B1C1所成的角.又四边形ABCD是正方形,则∠ACB=45°.°中,PQ与RS是平行直线.③中,PQ与RS是异面直线.④中,PQ与RS是相交直线.如图,连接AC,则O为AC的中点.因为M为PC的中点,所以在△APC中,MO∥PA,即∠PAB为异面直线MO与AB所成的角(或补角).由已知得PA=AB=PB,所以△PAB为等边三角形,即∠PAB=60°.故MO与AB所成的角的大小为60°.二、能力提升a,b与l都不相交,则a∥l,b∥l,即a∥b,与a,b是异面直线矛盾.故选C.,如图所示,则△ABC是等边三角形,所以直线AB,CD在原正方体中的位置关系是相交且成60°角.在如图所示的长方体中,直线A1D1与直线AB是异面直线.由图可知直线A1A和直线A1B都与直线A1D1和直线AB相交,此时直线A1A和直线A1B 相交于点A1;直线A1A和直线BD1都与直线A1D1和直线AB相交,此时直线A1A和直线BD1是异面直线.,选D.AD的中点H,连接FH,EH.在△EFH中,∠EFH=90°,HE=2HF,从而∠FEH=30°,故选A.△ABC中,因为AE∶EB=AF∶FC,所以EF∥BC.又在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1,EF∥B1C1.,在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF 即为所求.理由如下:因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC.CD1的中点G,连接EG,DG.因为E是BD1的中点,所以EG∥BC,EG=12BC.因为F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,所以DF∥BC,DF=12BC.所以EG∥DF,EG=DF.所以四边形EFDG是平行四边形.所以EF∥DG,即∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,所以四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,所以DG⊥CD1,即∠D1GD=90°.故异面直线CD1与EF所成的角的大小为90°.。
内蒙古准格尔旗世纪中学高中数学必修二人教B版：2-2-3
《两条直线的位置关系》习题1．如果直线ax +2y +2=0与直线3x －y －2=0平行，那么系数a 的值为（ ）（A ）－23 （B ）－6 （C ）－3 （D ）32 2．若直线(2a +5)x +(a －2)y +4=0与直线(2－a )x +(a +3)y －1=0互相垂直，则（ ）（A ）a =2 （B ）a =－2 （C ）a =2或a =－2 （D ）a =2，0，－23．直线Ax +4y －1=0与直线3x －y －C =0重合的条件是（ ）（A ）A =12，C ≠0 （B ）A =－12，C =41 （C ）A =－12，C ≠－41 （D ）A =－12，C =－41 4．若两条直线l 1，l 2的方程分别为 A 1x +B 1y +C 1=0，A 2x +B 2y +C 2=0，l 1与l 2只有一个公共点，则（ ）（A ）A 1B 1－A 2B 2=0 （B ）A 1B 2－A 2B 1≠0（C ）1122A B A B ≠ （D ）1212A AB B ≠ 5．已知点P (1，1)和直线l ：3x －4y －20=0，则过P 与l 平行的直线方程是 ；过P 与l 垂直的直线方程是 .6．设直线l 1：(m －2)x +3y +2m =0与l 2：x +my +6=0，当m = 时，l 1与l 2相交；当m = 时，l 1与l 2平行；当m = 时，l 1⊥l 2.7．设三条直线：x －2y =1，2x +ky =3，3kx +4y =5交于一点，求k 的值.8．直线l 1：ax +(1－a )y －3=0与l 2：(a －1)x +(2a +3)y =2互相垂直，求a 的值.答案：1.B2.C3.D4.B5. 3x－4y+1=0、4x+3y－7=06. m≠3且m≠－1、-1 、7. 解：解方程组：2123x yx ky-=⎧⎨+=⎩，解得6414kxkyk+⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩即前两条直线的交点为61(,)44kk k+++，因为三直线交于一点，所以第三条直线必过此定点，故613()4()544kkk k++=++，解得k=1或k=163-。
人教课标版高中数学必修2基础训练：空间中直线与直线之间的位置关系
2．1．2 空间中直线与直线之间的位置关系1．两条异面直线指的是①不能在任何一平面内的两条直线；②分别位于两个不同平面的两条直线；③在空间不相交的两条直线；④有一条在平面内，另一条在平面外的两条直线；⑤既不平行又不相交的两条直线，其中正确的个数是【 】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．正方体1111D C B A ABCD -中，与对角线1AC 异面的棱有【 】A ．3条B ．4条C ．6条D ．8条3．若C B A ABC '''=∠，且B A AB ''=，BA 与A B ''的方向又相同，则下列结论正确的是【 】A ．CB BC ''//且方向相同B ．C B BC ''//且方向不相同 C ．BC 与C B ''不一定平行D ．BC 与C B ''不平行4．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是【 】A ．异面B ．相交C ．平行D ．异面或相交5．已知b a 、是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系是【 】A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线6．两条直线a ,b 分别和异面直线c , d 都相交，则直线a ，b 的位置关系是【 】A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．可能是平行直线D ．可能是异面直线，也可能是相交直线7．在空间中，以下命题的个数是【 】①若两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线必平行；②若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线必平行；③若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线必平行；④没有公共点的两条直线必平行．A ．0B ．1C ．2D ．38．把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为【 】A ． 12B ． 24C ． 36D ． 489．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线的位置关系是【 】A ．平行或异面B ．相交或异面C ．异面D ．相交10．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角为______度．11．判断下列说法是否正确(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线． ( )(2)直线a 在平面α内，直线b 不在平面α内，则b a 、是异面直线． ( )(3)直线b a 、是异面直线，直线c b 、是异面直线，则直线c a 、是异面直线． () (4)已知一平面α，直线b a 、不同在平面α内，则b a 、是异面直线． ( )(5)在空间中，经过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行． ( )(6)在空间中，平行于同一条直线的两直线平行． ( )(7)在空间中，两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补． ( )(8)两条直线互相垂直，则这两条直线有且只有一个公共点． ( )(9)经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． ( )(10)直线外一点和直线上一点的连线段中，垂线段最短． ( )(11)两条平行线中有一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线． ()(12)垂直于同一条直线的两直线平行． ( )参考答案1．B 2．C 3．A 4．D 5．C 6．D 7．B; 8．B 9．B 10．6011．（1）×；（2）×；（3）×；（4）×；（5）√；（6）√；（7）√；（8）×；（9）×；（10）√；（11）√；（12）×．。
【优质文档】人教A版必修2第二章2.1.2《空间中直线与直线之间的位置关系》精选题高频考点(含答案)-1
（ 1）求异面直线 AB1与 C1N 所成的角； （ 2）求三棱锥 M C1CN 的体积 .
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42．斜三棱柱 ABC A B C 中 ,底面是边长为 a 的正三角形 ,侧棱长为 b ,侧棱 AA 与底 面相邻两边 AB ? AC 都成 45 角 ,求此三棱柱的侧面积和体积 . 43．如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，已知它的底面边长为 10 ，高为 20 .
_________
29．正方体 ABCD A1B1C1D1 中，异面直线 B1C 与 AD1 所成的角的大小为
_________．
30 ．空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系可能是： 号）
________（选择正确的编
（ 1）平行；（ 2）相交；（ 3）异面；
31．在正四面体 ABCD 中， M ， N，P 分别为棱 AB， BC， BD 的中点，则异面直线 MN
AB 2BB1，则 AB1与 C1B 所成角的大小为（
）
A ． 60
B ． 90
C． 105
D ． 75
4．已知长方体 ABCD A1B1C1D1 , AB 1 , AD 2 , AA1 1 ,则异面直线 A1B1 与 AC1 所
成角的余弦值为 ( )
2
A．
3
B． 6 6
C． 6 3
1
D．
3
5．已知正四面体 ABCD 中， E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值 为( )
1
A．
人教新课标版数学高一-人教数学必修二练习2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
课后训练1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定()A．异面B．相交C．不相交D．不平行2．已知空间四边形的两条对角线互相垂直，那么顺次连接空间四边形各边中点所得的四边形是()A．菱形B．正方形C．矩形D．平行四边形3．已知异面直线a与b满足a⊂α，b⊂β，且α∩β＝c，则c与a，b的位置关系一定是()A．c与a，b都相交B．c至少与a，b中的一条相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条平行4．有两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形() A．全等B．相似C．有一个角相等D．无法判断5．如图所示，为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BE垂直．以上4个命题中，正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．③④D．②③④6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱AA1垂直且异面的棱有________．7．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面结论中，正确结论的编号是________(写出所有正确结论的编号)．8．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为________．9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点．求证：BF ED1．10．如图所示，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，MN＝5，求异面直线AC与BD所成的角．参考答案1答案：D2答案：C3答案：B4答案：B5答案：C6答案：BC，B1C1，CD，C1D17答案：①②④8答案：60°9答案：略10答案：异面直线AC与BD所成的角为90°。
人教A版高三数学必修二 第二章2.1-2.1.2空间中直线与直线之间的 位置关系 同步测试
人教A版高中数学必修二第二章2.1-2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系同步测试共13 题一、单选题1、空间两个角α, β的两边分别对应平行，且α=60 °, 则β为( )A. 60 °B. 120 °C. 30 °D. 60 °或120 °2、在正方体ABCDA 1B1C1D1中，异面直线BA 1与CC1所成的角为( )A. 30 °B. 45 °C. 60 °D. 90 °3、如图所示，在正方体ABCDA 1B1C1D1中，E ，F分别是AB ，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()A. 30 °B. 45 °C. 60 °D. 90 °4、如图，在三棱锥SABC中，与AB异面的棱为( )A. BCB. SAC. SCD. SB5、三棱锥的对角线互相垂直相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( )A. 梯形B. 矩形C. 平行四边形D. 正方形6、在三棱锥ABCD中，AB ，BC ，CD的中点分别是P ，Q ，R ，且PQ＝2 ，QR=F ，PR＝3 ，那么异面直线AC和BD所成的角是( )A. 90 °B. 60 °C. 45 °D. 30 °二、填空题7、在四棱锥PABCD中，各棱所在的直线互相异面的有对 .8、若AB∥A′B′，AC∥A′C′，有下列结论：①∠BAC = ∠B′A′C′ ；②∠ABC+∠A′B′C′＝180 °;③∠ACB = ∠A′C′B′或∠ACB+∠A′C′B′＝180 °.则一定成立的是(填序号) .9、已知正方体ABCD﹣A 1B 1C 1D 1中，E为C 1D 1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为 .10、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60 °角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD ，其中正确的是三、解答题11、如图，已知长方体的长和宽都是cm ，高是4 cm.(1) 求BC和A′C′所成的角的度数 .(2) 求AA′和BC′所成的角的度数 .12、在空间四边形ABCD中，AB＝CD ，AB与CD成30 °角，E ，F分别为BC ，AD的中点，求EF与AB所成的角 .13、若空间四边形ABCD的各个棱长都相等，E为BC的中点，求异面直线AE与CD所成的角的余弦值 .参考答案一、单选题1、【答案】D【解析】【解答】如图，∵空间两个角α, β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α=60Â °, ∴β=60Â °或120Â °. 故选：D .【分析】根据平行公理知道当空间两个角α与β的两边对应平行，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到β的度数 .2、【答案】B【解析】【解答】如图所示，在正方体ABCD-AB1C1D1 中，BB1//CC1 ，故就是异面直线BA1 与所成的角，由正方体的性质可知 ,故答案为：B.【分析】构建三角形，所求所求角，解三角形，即可得出答案。
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《空间中直线与直线的位置关系》习题
一、选择题
1. 一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是 ( )
A.相交．
B.异面
C.平行．
D.相交或异面．
2.a 、b 是两条异面直线，c 、d 小也是两条异面直线，则a 、c 的位置关系是( )
A.相交、平行或异面．
B.相交或平行．
C.异面
D.平行或异面．
3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各侧面对角线所在的直线中与B 1D 成异面直线的条数是()
A.3．
B.4．
C.5．
D.6．
4.异面直线a 、b 分别在平面α和β内，若l =βα 则直线l 必定( )
A.分别与a 、b 相交．
B.与a 、b 都不相交．
C.至多与a 、b 中的一条相交．
D.至少与a 、b 中的一条相交．
5. 空间四边形ABCD 中AB=CD ，且AB 与CD 成60°角，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，则EF 与AB 所成角的度数为( )
A ．30° B．45° C．60° D．30°或60°
二、填空题
6.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线．②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是______．(把符合要求的命题序号都填上)
7.异面直线a ，b 所成角为80º，过空间一点作与直线a ，b 所成角都为θ的直线只可以作2条，则θ的取值范围为_________.
8.如果把两条异面直线看成“一对”，那么在正方体的十二条棱所在的直线中，共有_____对异面直线．
9. 正四棱锥ABCD V -的侧棱长与底面边长相等，E 是V A 中点，O 是底面中心，则异面直线EO 与BC 所成的角是___________.
10. 已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 ①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是__________________(写出所有正确结论的编号)．
三、解答题
11.已知直线a 和b 是异面直线，直线c ∥a ，直线b 与c 不相交，求证b 和c 是异面直线．
12.空间四边形ABCD ，已知AD =1，BD ，且AD ⊥BC ，对角线BD ，
AC AC和BD所成的角。
答案与解析
1.D
2.A
3.D
4.D
5.D
π
6.②
7.40º<θ<50º
8.24.
9.
3
10.对于命题①，经过两条平行直线分别作两个平面垂直于平面 ，则在这两个平面内可以作出两条不垂直的异面直线．所以①为真．
对于命题②，过平面α内两条互相垂直的直线分别作两个垂直于平面α的平面，则在这两个平面内也可以作出两条异面但不垂直的直线，即②亦真．
对于命题③，当射影为同一条直线时，两条直线同在过这条直线并与平面口垂直的平面內，即共面．故③为假．
同样可推知④为真．
答案：①②④
11.证明：假设b 和c 不是异面直线，则b 和c 共面，∵直线b 与c 不相交，∴b ∥c .
又直线c ∥a ，∴b ∥a .这与已知直线a 和b 是异面直线与矛盾.故b 和c 是异面直线．
12.解：取AB 、AD 、DC 、BD 中点为E 、F 、G 、M ，连EF 、FG 、GM 、ME 、EG .
则
MG 12
BC EM 12
AD ∵AD ⊥BC ∴EM ⊥MG
在R t △EMG 中，有EG =在RFG 中，∵EF =12BD 12FG AC =∴EF 2 +FG 2 = EG 2
∴EF ⊥FG ，即AC ⊥BD
∴AC 和BD 所成角为90°.
∥ ＝ ∥ ＝。