高数上期中试卷(12级)

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12级数学期中考试试题参考答案

2012年第一学期12级数学第二次考试试题参考答案考试时间：120分钟试卷满分：150分命题学校：宝应中专校命题人：王勤审题学校：阜宁中专审题人：顾明强一、选择题：（每题4分，共48分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DBBCDABCADCB二、填空题：（每题4分，共24分）13、已知全集R U =，集合[)84，-=A ，则=A C U ()[)∞+-∞-，，84 。

14、不等式0652≤--x x 的解集为[]61，-。

15、函数()212+=x x f 的值域为⎥⎦⎤⎝⎛210，。

16、函数()1+x f 的定义域为[)52，，则()1-x f 的定义域为[)74，。

17、函数()()02<++=a c bx ax x f 是偶函数，则()x f 的单调增区间为(]0，∞-。

18、奇函数()x f 在()∞+，0上有最小值3，则()x f 在()0，∞-上有最大值3-。

三、解答题：19、已知集合(){}R x m x m x x A ∈=++-+=，012|2，{}0|≥=x x B ，且Φ=B A ，求实数m 的取值范围。

（10分）解：()()()()()()()[)()。

，即，，的取值范围是综上，故或）（∞+∞+≥->⇒>+=>⇒<-=+≥≤⇒≥-⇒≥-⇒≥+--=∆<<⇒<-⇒<-⇒<+--=∆088081010028008080142)2(8008080142121212222 m m m m x x m m x x m m m m m m m m m m m m m m m20、已知不等式02>++c bx ax 解集为{}32|<<=x x A ，求不等式02<-+c bx ax 解集。

（10分）解：21、求函数()x x x f 22-=()30<≤x 的值域。

2023-2024学年佛山市顺德区高二数学上学期期中考试卷附答案解析

2023-2024学年佛山市顺德区高二数学上学期期中考试卷2023-11（试卷满分150分；考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线π2y =的倾斜角为（）A ．180B ．0C ．90D ．不存在2．点()3,2,1M -关于x 轴对称的点的坐标是（）A ．()3,2,1-B ．()3,2,1-C ．()3,2,1-D ．()3,2,1--3．抛掷一枚质地均匀的硬币，连续出现9次正面向上，则第10次出现正面向上的概率为（）A ．12B ．19C ．910D ．1104．已知向量i ，j，k 是一组单位向量，且两两垂直．若83m j k =+ ，54n i j k =-+- ，则m n ⋅ 的值为（）．A ．7B ．20-C ．28D ．115．已知随机事件A 和B 互斥,且()0.6P A B ⋃=,()0.3P B =,则()P A 等于（）A ．0.8B ．0.7C ．0.5D ．0.26．已知直线l 的斜率k ⎡∈-⎣，则该直线的倾斜角α的取值范围为（）A ．π3π,34⎡⎤⎢⎣⎦B ．π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C ．π3π,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π3π0,,π64⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭7．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若12AB BB ==，则点C 到直线1AB 的距离为（）A B ．2C ．143D ．1448．饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期.将青铜器中饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P 从点A 出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P 经过3次跳动后恰好沿着饕餮纹的路线到达点B 的概率为（）A ．116B ．18C ．14D ．38二、多项选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知(2,3,1)a =-- ，(2,0,4)b = ，(4,6,2)c =-- ，则（）A ．//a cB ．a b ⊥C ．//a bD ．b c⊥ 10．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少1名女生”与事件“全是男生”（）A ．是互斥事件B ．不是互斥事件C ．是对立事件D ．不是对立事件11．已知直线230x y ++=，则下列说法正确的是（）A ．直线过点()1,1-B ．直线的斜率为2-C ．直线在x 上的截距为3-D ．直线在y 上的截距为3-12．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11A C 的中点，Q 为线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（）A ．存在点Q ，使得//PQ BDB ．存在点Q ，使得PQ ⊥平面11AB C DC ．三棱锥Q APD -的体积是定值D ．存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为π6第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）三、填空跟．本题共4小题，每小题5分，共20分13．从长度为2,4,6,8,10的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为.14．无论实数λ取何值，直线()()()213110x y λλλ-++--=恒过定点.15．已知21,e e 是夹角为60°的两个单位向量，则12a e e =+与12e b e =-的夹角是．16．如图，某正方体的顶点A 在平面α内，三条棱AB ，AC ，AD 都在平面α的同侧.若顶点B ，C ，D到平面α2，则该正方体的表面积为.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量(,)a m n = ，(1,3)b =- .（1）求使得事件“a b ⊥”发生的概率；（2）求使得事件“a b≤ ”发生的概率.18．已知三角形的三个顶点是()()()4,0,6,7,0,3A B C .(1)求边AC 所在的直线方程；(2)求边AB 上的高所在直线的方程.19．已知A ，B 两个盒子中分别装有仅颜色不同的4个红球2个白球和2个红球2个白球.(1)若甲从A 盒中抽取2个球，求两个球颜色不同的概率；(2)若甲从A 盒中，乙从B 盒中分别有放回地抽取两次，每次每人抽取1球，求甲、乙共抽到3个红球的概率.20．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1222AA AB BC ===，M 是棱1CC 上任意一点．(1)求证：AM BD ⊥；(2)若M 是棱1CC 的中点，求异面直线AM 与BC 所成角的余弦值．21．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线,AC BD 交于点O ，3OA =，4OB =,3OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足12PM MC=．(1)求直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值；(2)求点P 到平面BDM 的距离．22．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD 为正方形，四边形ABFE ，CDEF 为两个全等的等腰梯形，4AB =，//EF AB ，2AB EF =，3EA ED FB FC ====．(1)当点N 为线段AD 的中点时，求证：直线AD ⊥平面EFN ；(2)当点N 在线段AD 上时（包含端点），求平面BFN 和平面ADE 的夹角的余弦值的取值范围．1．B【分析】由直线方程得出斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可解题.【详解】直线π2y =的斜率为0，所以倾斜角为0.故选：B.2．B【分析】数形结合得到关于x 轴对称的点的坐标.【详解】点()3,2,1M -关于x 轴对称的点的坐标是()3,2,1-.故选：B 3．A【分析】由正面向上或正面向下可能性相同，即可得出答案．【详解】第10次抛硬币结果不受前9次结果的影响，由于硬币正面向上或正面向下可能性相同，则第10次出现正面向上的概率为12，故选：A ．4．C【分析】由向量i ，j ，k是一组单位向量，且两两垂直，得||||1i|=j k == 且0i j j k i k ⋅=⋅=⋅= ，然后利用向量的数量积的运算性质求解m n⋅【详解】向量i ，j ，k 是一组单位向量，且两两垂直，所以|=|1i j k ==且0i j j k i k ⋅=⋅=⋅=．因为83m j k =+ ，54n i j k =-+- ，所以(83)(54)401228m n j k i j k ⋅=+⋅-+-=-= ．故选：C ．【点睛】此题考查平面向量的数量积运算性质的应用，属于基础题5．B【分析】因为A 和B 互斥,由()()()0.6P A B P A P B =+= 求出()P A ,再由()()()1P A A P A P A =+= 即可得到答案.【详解】因为A 和B 互斥,所以()()()0.6P A B P A P B =+= ,又()0.3P B =,所以()0.3P A =,因为()()()1P A A P A P A =+= ,所以()()110.30.7P A P A =-=-=.故选:B.6．B【分析】运用斜率公式将1k -≤≤转化为1tan α-≤≤[0,π)α∈），解不等式即可.【详解】直线倾斜角为α，则[0,π)α∈，由1k -≤≤可得1tan α-≤≤所以π3π[0,][,π)34α∈ .故选：B.7．B【分析】取AC 的中点O ，以O 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】取AC 的中点O，则,BO AC BO ⊥=以O 为原点，,OB OC 的方向分别为,x y 轴的正方向建立空间直角坐标系，则())()10,1,0,,0,1,0A B C -，所以)()1,0,2,0AB CA ==-，所以CA 在1AB上的投影的长度为11CA AB AB ⋅== ，故点C 到直线1AB的距离d =．故选：B.8．B【分析】先利用列举法得到共8种不同的跳法，再利用概率公式求解即可．【详解】点P 从A 点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，则有（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共8种不同的跳法（线路），符合题意的只有（下，下，右）这1种，所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B 的概率为1=8P ．故选：B ．9．ABD【分析】A 选项，由2c a = 得到A 正确；BD 选项，计算数量积为0得到垂直关系；C 选项，设b ka =，得到方程，方程无解，C 错误.【详解】A 选项，因为2c a =，所以//a c ，A 正确；B 选项，因为()2230140a b -⨯+⋅⨯=-+⨯=，所以a b ⊥ ，B 正确；C 选项，设b ka =，则22034k k k =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，无解，故,a b 不平行，C 错误；D 选项，(2,0,4)(4,6,2)8080b c ⋅--+⋅==-+= ，故b c ⊥，D 正确.故选：ABD10．AC【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可求解.【详解】从3男2女中人选2名同学，一共会出现的抽取情况为：2男，或者2女，或者1男1女，至少一名女生包括一名或两名女生，全是男生相当于女生数为零，两者间是互斥事件也是对立事件.故选：AC 11．BD【分析】根据直线230x y ++=，对各个选项分析判断即可求出结果.【详解】选项A ，因为2(1)1320⨯-++=≠，即直线不过点()1,1-，所以选项A 不正确；又由230x y ++=，得到23y x =--，所以直线斜率为2-，在y 上的截距为3-，所以选项BD 正确，又由直线230x y ++=，令0y =，得到32x =-，所以选项C 错误，故选：BD.12．B【分析】A 由11//BD B D 、11B D PQ P = 即可判断；B 若Q 为1BC 中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C 只需求证1BC 与面APD 是否平行；D 利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.【详解】A ：正方体中11//BD B D ，而P 为线段11A C 的中点，即为11B D 的中点，所以11B D PQ P = ，故,BD PQ 不可能平行，错；B ：若Q 为1BC 中点，则1//PQ A B ，而11A B AB ⊥，故1PQ AB ⊥，又AD ⊥面11ABB A ，1A B ⊂面11ABB A ，则1A B AD ⊥，故PQ AD ⊥，1AB AD A ⋂=，1,AB AD ⊂面11AB C D ，则PQ ⊥面11AB C D ，所以存在Q 使得PQ ⊥平面11AB C D，对；C ：由正方体性质知：11//BC AD ，而1AD 面APD A =，故1BC 与面APD不平行，所以Q 在线段1BC 上运动时，到面APD 的距离不一定相等，故三棱锥Q APD -的体积不是定值，错；D ：构建如下图示空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，(1,1,2)P ，(2,2,)Q a a -且02a ≤≤，所以(2,0,0)DA = ，(1,1,2)PQ a a =--，若它们夹角为θ，则2222(1)|1|cos 2(1)1(2)233a a a a a a θ=⨯-++-⋅-+令1[1,1]t a =-∈-，则22||1cos 112121t t t t t θ=⋅++⋅++当(0,1]t ∈，则[)11,t ∈+∞，6cos 6θ∈；当0=t 则cos 0θ=；当[1,0)t ∈-，则(]1,1t ∞∈--，2cos 2θ∈；所以πcos6=不在上述范围内，错.故选：B 13．310##0.3【分析】采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可得结果.【详解】从5条线段中任取3条，则有{}2,4,6，{}2,4,8，{}2,4,10，{}2,6,8，{}2,6,10，{}2,8,10，{}4,6,8，{}4,6,10，{}4,8,10，{}6,8,10，共10个基本事件；其中三条线段能够成三角形的基本事件有：{}4,6,8，{}4,8,10，{}6,8,10，共3个；∴所求概率310p =.故答案为：310.14．()2,3-【分析】将直线方程化为()()213110λ+----=x y x y ，进而分析求解.【详解】由()()()213110x y λλλ-++--=，可得()()213110λ+----=x y x y ，令2103110x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得23x y =⎧⎨=-⎩，所以直线()()()213110x y λλλ-++--=恒过定点()2,3-.故答案为：()2,3-.15．2π##90【分析】分别求出12a e e =+与12e b e =-的数量积与各自的模，利用数量积公式求解即可.【详解】由题21,e e是夹角为60°的两个单位向量,所以()()22121212eba e e e e e-⋅=+⋅=-=设,a b夹角大小为[],0,πθθ∈，则cos0a ba bθ⋅==⋅，所以π2θ=.故答案为：π216．54【分析】取空间的一个基底{},,AB AC AD，设正方体的棱长为a，n是平面α的一个方向向上的单位法向量.由题得,,AB AC AD在n2，得)212n ADa=+，由1n=r，得3a=，即可求得正方体的表面积.【详解】设正方体的棱长为a，取空间的一个基底{},,AB AC AD，设n是平面α的一个方向向上的单位法向量.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(,,)x y z，使得n xAB yAC zAD=++.由题意，,,AB AC AD在n2.于是n AB⋅=，即()xAB y AC z AD AB++⋅=，即2xa=，即x=.同理，2ya=，22za=，从而)212n ADa=+，由1n=r1=，2AD+===，即2131aa⋅=，解得3a=，所以正方体的表面积2654S a==.故答案为：54【点睛】思路点睛：考虑到可以利用空间向量表示条件中的点到平面的距离，所以选择基底，设单位法向量解决问题，得n AB⋅=，即()xAB yAC zAD AB++⋅，求得22xa=，即可得到)212n ADa=+，再根据数量积的运算律计算可得.17．（1）118；（2）16.【分析】（1）由题意，得到m 、n 的取值集合，可得点(m ，n)的总取法有36种，当a b ⊥ 时，解得m 与n 的关系，即可得满足条件的(m ，n)的个数，代入概率公式，即可得答案.（2）当a b≤ 时，解得m 与n 的关系，即可得满足条件的(m ，n)的个数，代入概率公式，即可得答案.【详解】（1）由题意知，{1,2,3,4,5,6}m ∈、{1,2,3,4,5,6}n ∈，故(m ，n)所有可能的取法共36种.当a b ⊥ 时，得m-3n=0，即m=3n ，满足条件共有2种：(3，1)，(6，2)，所以事件a b ⊥的概率213618P ==.（2）当a b≤ 时，可得m2+n2≤10，共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1)6种情况，其概率61366P ==.【点睛】本题考查古典概型概率求法，解题的关键是列出基本事件的个数，属基础题.18．(1)334y x =-+(2)237y x =-+【分析】（1）根据两点斜率公式求解斜率，进而由斜截式即可求解方程，（2）根据斜率公式以及垂直关系得高所在直线斜率，即可求解.【详解】（1）由题意可得303044AC k -==--,由斜截式可得AC 直线方程为334y x =-+；（2）707642AB k -==-,所以AB 边上的高所在直线的斜率为27-，由点(0,3)C ，所以AB 边上的高所在直线方程为237y x =-+.19．(1)815(2)13【分析】（1）运用列举法计算古典概型的概率即可.（2）由甲、乙共抽到3个红球的情况有：①甲第一次抽到红球，第二次抽到白球，乙两次都抽到红球，②甲第一次抽到白球，第二次抽到红球，乙两次都抽到红球，③甲两次都抽到红球，乙第一次抽到红球，第二次抽到白球，④甲两次都抽到红球，乙第一次抽到白球，第二次抽到红球，分别计算即可求得结果.【详解】（1）设A 盒中的4个红球分别为1a ，2a ，3a ，4a ，2个白球分别为1b ，2b ，则甲从A 盒中抽取2个球的基本事件有12(,)a a ，13(,)a a ，14()a a ,，11()a b ,，12()a b ,，23(,)a a ，24()a a ,，21()a b ,，22()a b ,，34()a a ,，31()a b ,，32()a b ,，41()a b ,，42()a b ,，12()b b ,共15个，两个球颜色不同的基本事件有11()a b ,，12()a b ,，21()a b ,，22()a b ,，31()a b ,，32()a b ,，41()a b ,，42()a b ,共8个，所以甲从A 盒中抽取2个球，两个球颜色不同的概率为815P =.（2）由题意知，甲、乙共抽到3个红球的情况有：①甲第一次抽到红球，第二次抽到白球，乙两次都抽到红球的概率为42221664418P =⨯⨯⨯=，②甲第一次抽到白球，第二次抽到红球，乙两次都抽到红球的概率为24221664418P =⨯⨯⨯=，③甲两次都抽到红球，乙第一次抽到红球，第二次抽到白球的概率为4422166449P =⨯⨯⨯=，④甲两次都抽到红球，乙第一次抽到白球，第二次抽到红球的概率为4422166449P =⨯⨯⨯=，所以甲、乙共抽到3个红球的概率为111111818993P =+++=.20．(1)证明过程见解析(2)3【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；（2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值.【详解】（1）证明：以A 为原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，因为1222AA AB BC ===，所以()()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,A B D M m ，02m ≤≤，()()1,1,,1,1,0AM m BD ==-，()()1,1,1,1,0110AM BD m ⋅=⋅-=-+=，所以AM BD ⊥；（2）M 是棱1CC 的中点，故()()1,1,0,1,1,1C M ，则()()1,1,1,0,1,0AM BC ==，设异面直线AM 与BC 所成角的大小为θ，则cos cos ,AM BC AM BC AM BCθ⋅====⋅，故异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为21．(1)1010(2)【分析】（1）以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面BDM 的一个法向量()2,0,1n =和向量()3,0,3PA =-，结合向量的夹角公式，即可求解；（2）求得()0,0,3OP =uu u r，结合向量的距离公式，即可求解.【详解】（1）解：因为平面ABCD 是菱形，可得AC BD ⊥，又因为OP ⊥底面ABCD ，,AC BD ⊂平面ABCD ，所以OP AC ⊥，OP BD ⊥，所以,,AC BD OP 两两垂直，以O 为坐标原点，以,,OA OB OP 为坐标轴建立空间直角坐标系O ABP -，如图所示；则()3,0,0A ，()0,4,0B ，()3,0,0C -，()0,4,0D -，()0,0,3P ，所以()3,0,3PA =-，()0,8,0DB =，()3,0,3PC =--，()0,4,3BP =-．因为12PM MC = ，所以()11,0,13PM PC ==-- ，()1,4,2BM BP PM =+=-- ．设平面BDM 的法向量(),,n x y z = ，则80420DB n y BM n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，令2x =，可得0,1y z ==，所以平面BDM 的一个法向量()2,0,1n = ，则cos ,10PA n PA n PA n ⋅<>===，所以直线PA 与平面BDM所成角的正弦值为．（2）解：由()0,0,3OP =uu u r，所以点P 到平面BDM的距离OP n d n⋅===．22．(1)证明见解析(2)⎣⎦【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求法求出平面BFN 和平面ADE 的夹角的余弦值的表达式，进行合理变形，结合二次函数的性质求得余弦的最值，即可求得答案.【详解】（1）证明：因为点N 为线段AD 的中点，且EA ED =，所以AD EN ⊥，因为//EF AB ，且四边形ABCD 为正方形，故AD AB ⊥，所以AD EF ⊥，而,,EN EF E EN EF =⊂ 平面EFN ，故AD ⊥平面EFN ；（2）设正方形ABCD 的中心为O ，分别取,,AB BC EF 的中点为,,P Q S ，设点H 为线段AD 的中点，由（1）知,,,E F H Q 四点共面，且AD ⊥平面EFH ，连接,OS OS ⊂平面EFH ，故AD OS ⊥，又AD ⊂平面ABCD ，故平面ABCD ⊥平面EFHQ ，且平面ABCD ⋂平面EFHQ HQ =，由题意可知四边形EFQH 为等腰梯形，故OS HQ ⊥,OS ⊂平面EFHQ ，故OS ⊥平面ABCD ，故以O 为坐标原点，,,OP OQ OS 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，因为4AB =，则(220)(220)(220)(2),,,,20,,,,,,,A B C D ----，又2AB EF =，故2EF =，设EF 到底面ABCD 的距离为h ，四边形ABFE ，CDEF 为两个全等的等腰梯形，且//EF AB ，故),,,,(0,1)(01E h F h -，又3EA ED FB FC ====，32,h =∴=，则),,,,(012)(02,1E F -，()2,1,2AE =- ，()()()400212,04,,,,,,,0AD BF BA =-=-=--，设[](),01440,,,,AN AD BN BA AN BA AD λλλλ=∈=+=+=--∴，设平面BFN 的一个法向量为(),,n x y z = ，则220440n BF x y z n BN x y λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令()222,,2,x n λλ=-∴=- ，设平面ADE 的一个法向量为(),,m a b c =，则40220m AD a m AE a b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令()1,1,,20c m ==∴- ，故|||cos ,|||||n m n m n m ⋅〈〉===令225,[,333m m λ=+∈，则|cos ,|n m 〈〉= 令1352,3t m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则|cos ,|n m 〈〉= 令()211632593f t t t =-+，则()f t 在35,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故当35t =时，()min 381525f t f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，当32t =时，()max 3182f t f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故105|cos ,|103n m ⎤〈〉∈⎢⎥⎣⎦ ，即平面BFN 和平面ADE的夹角的余弦值得取值范围为103,⎣⎦.【点睛】难点点睛：本题考查了线面垂直的证明以及空间面面角的向量求法，解答的难点在于求出平面夹角的余弦值之后，要对其表达式进行变形，从而结合二次函数的单调性求得余弦的最值，从而得到其取值范围.。

高数1(2)12级B卷+答案

高数1(2)12级B 卷+答案制卷份数专业 2012级工科；本科 B 班级编号江汉大学 2012——2013 学年第 2 学期考试试卷）2（Ⅰ 学数等高课程名称：课程编号：分钟120 考试时间：卷、闭考试形式：开卷 B 、A 试卷类型：一、选择题（本大题共5小题；每题3分；共15分）1. 过点(1；3)且切线斜率为2x 的曲线方程y=y(x)应满足的关系式是 ( A ) A. 'y =2x ； y(1)=3 ; B. 'y =2x ; C. "y =2x ; D. "y =2x ； y(1)=3. 2. 设f(x+y ；x y )=x 2—y 2；则f(x ；y)= ( A ) A. y y x +-1)1(2 ; B. yy x -+1)1(2 ;C. x x y +-1)1(2 ;D. xx y -+1)1(2 .3.⎰⎰≤+122),(y x dxdy y x f =4⎰⎰-1102),(x dy y x f dx 在下列情况下成立的是 ( D )A. f(-x ；y)=-f(x ；y) ;B. f(-x ；y)=f(x ；y) ;C. f(-x ；-y)=f(x ；y) ;D.. f(-x ；y)=f(x ；y)且f(x ；-y)=f(x ；y) .4. 设L 为圆周222a y x =+在第一象限部分；则第一类曲线积分⎰+Ly x ds e22= ( B )A.a ae π41; B.aae π21; C.a π21 ; D. a π41.5. 下列级数中绝对收敛的有 ( C )A. ∑∞=-+-121)5()1(n n n n ; B; ∑∞=-1!2)1(2n nn n ; C. ∑∞=--1312)1(n nn n ; D. ∑∞=-+-113)1(n n n n .二、填空题（本大题共7小题；每题3分；共21分） 1. 微分方程-dx dy x2y=x 的通解为y= cx 2+x 2lnx . 2. 过点(1；1；2)且与平面x —2y+5z —1=0平行的平面方程为 x —2y+5z —9=0 .3. 设z x =y z ln ；则dz= zx z+dx -)(2z x y z +dy .4. 函数yxez 2=在点P(1； 0)处沿从点P(1； 0)到点Q(2； —1)方向的方向导数22-. 5. I=⎰⎰ex dy y x f dx 1ln 0),(；交换积分次序得I=⎰⎰10),(eey dx y x f dy .6. 设∑为锥面)(322y x z +=被z=0和平面z=3所截得的部分；则对面积的曲面积分⎰⎰∑+ds y x)(22= π9 .7. 函数f(x)=ln(1+x)展开成x-2的幂级数为f(x)= ln3+∑∞=---11)32(1)1(n n n x n .三、计算题（本大题共6小题；每题8分；共48分）1. 求微分方程x y y 2sin "=+的通解.解:特征方程012=+r 解为i r i r -==21,；对应齐次方程的通解为 x c x c Y sin cos 21+=x x f 2sin )(=；由观察法可设x a y 2sin *=；代人原方程得31-=a ；特解x y 2sin 31*-=；故所求通解为*y Y y +==x c x c sin cos 21+x 2sin 31-.2. 求过点（－3；2；5）且与两平面54=-z x 和752=--z y x 的交线平行的直线方程.解:)34(51240121k j i kj in n s ++-=---=⨯=故所求直线方程为 153243-=-=+z y x .3. 设u=f(x ；y x )；其中f 具有二阶连续导数；求x u ∂∂；22x u∂∂.解: xu ∂∂=1'f +y 12'f 22x u ∂∂=)(1'f x∂∂+)1('2f y x ∂∂=……=11"f +12''2f y +22"21f y . 4. 计算I=⎰⎰⎰Ωzdxdydz ；其中Ω由锥面z=22y x +与z=1所围成的闭区域. 解: 用柱面坐标计算I=⎰⎰⎰πθ20101rzdz rdr d =……=41π .5. 计算曲线积分⎰-+Ly ydx dy e x 2)(sin ；其中L 是从A(1；0)沿y=221x -上到点B(－1；0) 的上半椭圆.解: 由于y P ∂∂=―2；xQ ∂∂=1；故可补线路BA 用格林公式计算.⎰L=⎰+BAL ―⎰BA=⎰⎰--Ddxdy )]2(1[―⎰-+BAy ydx dy e x )(sin=3⎰⎰Ddxdy +0=3⨯21(21⋅⋅π)=3π . 6. 求级数∑∞=1n nnx 在收敛域内的和函数并求∑∞=12n nn . 解:∑∞=1n nnx =x ∑∞=-11n n nx ；nn n a a 1lim+∞→=1收敛域为)1,1(-；令S(x)=∑∞=-11n n nx；积分得⎰xdx x S 0)(=∑∞=1n n x =x x -1=―1+x-11；求导得 ∑∞=1n n nx =2)1(x x -；―1<x<1； ∑∞=12n nn =2)211(212=-.四、应用题（6分）求原点到曲面21)(22=--z y x 上的最短距离. 解:目标函数:d 2=x 2+y 2+z 2；约束条件为: ),,(z y x ϕ=(x ―y)2―z 2―21=0 作L(x ；y ；z ；λ)= x 2+y 2+z 2+λ[(x ―y)2―z 2―21] ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---==-==--==-+=021)(0220)(220)(2222z y x L z z L y x y L y x x L z yx λλλλ 解得 (42；―42；0)或(―42；4221；0)；故d 2=41；即d=21五、证明题（本大题共2小题；每题5分；共10分） 1. 设)(22y x xf z +=；f 为可导函数；证明：z xy x z y y z x=∂∂-∂∂. 证明：xz ∂∂= '2222)(f x y x f ++；y z ∂∂='2xyf ；代人左=z xy y x yf x z y y z x =+=∂∂-∂∂)(22=右 .六.综合题（5分）验证在区域{}0),(22>+=y x y x D ；2222222)()2()2(y x dyy xy x dx x xy y +-+--+为某函数),(y x u 的全微分；并求),(y x u .解:计算得xQ y P ∂∂=∂∂ ),(y x u ⎰+=),()0,1(y x QdyPdx =⎰⎰+yxdyy x Q dx x P 01),()]0,(=⎰-xdx xx 142+⎰+-+-ydy y x y xy x 022222)()2(=⎰⎰+-++--y y y x d y x dy y x x 0220221)(111…=122---y x y x （或),(y x u =c yx yx +--22）注：将试题答案或解答过程写在答题纸上常用公式：1.)('"x f qy py y =++:)()(x P e x f m x λ=；可令特解xm k e x Q x y λ)(*=k=0；1；2；]sin )(cos )([)()2()1(x x P x x P e x f n l x ωωλ+=；可令特解]sin )(cos )([)2()1(*x x R x x R e x y m m x k ωωλ+=； k=0；1；{}n l m ,m ax =2. 拉格朗日乘数法：目标函数：),,(z y x f u =；条件：0),,(=z y x ϕ；求可能的极值点时；可作拉格朗日函数),,(),,(),,,(z y x z y x f z y x L λϕλ+=3. 第一类曲线积分：))((),(),(βαωψϕ≤≤===t t z t y t x ；则dt t t t t t t f ds z y x f ⎰⎰Γ++=βαωψϕωψϕ)()()()](),(),([),,(2'2'2'第一类曲面积分：dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f y x D xy),(),(1)],(,,[),,(''++=⎰⎰⎰⎰∑4. 格林公式：⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L DQdy Pdx dxdy yPx Q )(5.)11(,110<<-=-∑∞=x x x n n；)11(,)1()1ln(11≤<--=+∑∞=-x x n x n n n高等数学 Ⅰ（2）B 卷答题纸一、选择题（本大题共5小题；每题3分；共15分）1. （）2. （）3. （）4. （）5. （）二、填空题（本大题共7小题；每题3分；共21分）1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. .三、计算题（本大题共6小题；每题8分；共48分）1.2.3.4.5.6.四、应用题（6分）五、证明题（5分）六、综合题（5分）。

高数(上册)期中试卷(同济)

浙江农林大学 2012 - 2013 学年第一学期期中考试卷课程名称：微积分Ｉ课程类别：必修考试方式：闭卷注意事项：1、本试卷满分100分。

2、考试时间 120分钟。

一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。

每小题3分，共30分）1．函数f (x )=2+x +ln(3-x )的定义域是 ( ) A ．[-3, 2] B ．[-3, 2) C ．[-2, 3) D ．[-2, 3]2.下列函数中为奇函数的是（）A. ()2x x e e f x -+=B. ()2x xe ef x --=C. 3()cos f x x x =-D. 5()sin f x x x =3.11lim(sin sin )n n n n n→∞-=（）A. -1B. 0C. 1D. ∞ 4. 当x→0时，下列函数哪个是x 的高阶无穷小? ( ) A.sinxxB. ln(x+1)C. 1－cosxD. ()1x 1x +5.设函数f(x)可导，且0(1)(1)lim1x f f x x→--=-，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 ( ) A. 1B. 0C. -1D. -26．已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤>0,00,1sin x x xx k在x =0处连续，则常数k 的取值范围为 ( ) A ．k ≤0 B ．k >0 C ．k >1 D ．k >27.设()e 1x f x x-=，则x =0是函数f (x )的 ( )题号一二三四五六七八得分得分评阅人学院：专业班级：姓名：学号：装订线内不要答题得分A. 连续点B. 可去间断点C. 跳跃间断点D. 无穷间断点8. 若 y=f(sinx)，则dy= ( ) A. f ′(sinx)sinxdx B. f ′(sinx)cosxdx C. f ′(sinx)dx D. f ′(sinx)dcosx 9．曲线y =2ln33-+xx 的水平渐近线为 ( ) A ．y = -3 B ．y = -1 C ．y = 0 D ．y = 210.函数f (x )= x 2+1在区间[1, 2]上满足拉格朗日中值公式的中值ξ= （） A. 1 B.65 C. 54 D. 32二、填空题（每小题3分，共18分）1. 曲线y=x 2－x 在x=1点处的切线方程是 .2.已知33lim 1nkn e n -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则k=______.3.设函数f (x )在x =x 0处可导，且0()4f x '=，则()()0002limh f x h f x h→+-=______.4.设函数f (x )=2(1), 0cos , 0x x x a x x ⎧⎪+>⎨⎪≤⎩在点x =0处连续，则a =_________.5.函数f (x )=x -2cos x 在区间[0,2π]上的最小值是_________.6.曲线35)2(-=x y的拐点是 _________.三、计算下列各题（每小题6分, 共24分）1. 求极限12sin lim 20--→x e xx x x得分得分2. 求极限2110lim (1)xx x ex -→+３. 设函数21ln(1)arctan 2x x x y e e e -=++, 求y '．4.设y =y (x )是由方程xy =e x+y 确定的隐函数，求d d y x.四. 试确定常数a,b的值，使函数3sin0 ()ln(1)0x xf xa xb x<⎧=⎨++≥⎩在点x=0处连续且可导. （本题８分）得分五．导数应用题（每小题5分, 共10分）1. 已知函数f(x)=asinx+13sin3x在x=3处取得极值，试确定a的值．并问它是极大值还是极小值？且求出此极值．２．求曲线y=ln(1+x2)的凹凸区间与拐点．得分六、证明题（每小题5分, 共10分）１.证明：方程x -2sin x =0在区间(,)2ππ内有且仅有一个实根.２.设0a b >>，证明：ln a b a a ba b b--<<．浙江农林大学 2012 - 2013 学年第一学期期中考试卷答案课程名称：微积分Ｉ课程类别：必修考试方式：闭卷一、单项选择题（每小题3分，共30分）ＣＢＡＣＣＢＢＢＡＤ二、填空题（每小题3分，共18分）21.1; 2.1; 3.8; 4.; 5.2; 6.(2,0)y x e =---三、计算下列各题（每小题6分, 共24分）1.220000sin sin cos sin cos limlim lim2122221sin 1lim(cos )42x x x x x x x x x x x x x xe x e x x x x →→→→++==---⋅=+= 2.222200111111ln(1)ln(1)011ln(1)11lim lim 22lim (1)lim lim x x x x x x x x x xx x x x xx x xe x e eeeee→→++---→→→-+-+-+=====３. 设函数21ln(1)arctan 2x x x y e e e -=++, 求y '． 2222arctan 1arctan 2(1)1x xx x x x x x xe e y e e e e e e e---⋅'=-+⋅=-++4.设y =y (x )是由方程xy =e x+y 确定的隐函数，求d d yx. (1),x y x yx ye yy xy ey y x e+++-'''+=+=-学院：专业班级：姓名：学号：装订线内不要答题四. 试确定常数a,b 的值，使函数3sin 0()ln(1)0xx f x a x b x <⎧=⎨++≥⎩在点x=0处连续且可导. （本题８分）解：lim ()lim 3sin 0,lim ()lim[ln(1)],(0),x x x x f x x f x a x b b f b --++→→→→===++== 函数()f x 在点x=0处连续, 得 b=0,00000()(0)3sin (0)lim lim 3,()(0)ln(1)(0)lim lim lim ,x x x x x f x f xf x xf x f a x b b a xf a x x x --+++-∆→∆→+∆→∆→∆→∆-∆'===∆∆∆-+∆+-⋅∆'====∆∆∆ 函数()f x 在点x=0处可导, 得 a=3.五．导数应用题（每小题5分, 共10分）1. 已知函数f(x)=asinx+13sin3x 在x=3π处取得极值，试确定a 的值．并问它是极大值还是极小值？且求出此极值．解：()cos cos3f x a x x'=+1()cos cos 10,2,332()sin 3sin32sin 3sin3,()2sin 3sin 30,33f a a a f x a x x x x f ππππππ'=+=-==''=--=--''=--=-<可知()3f π为极大值，且()33f π=２．求曲线y =ln(1+x 2)的凹凸区间与拐点．解：222222(1),,1(1)x x y y x x -'''==++ 令0y ''=，得1x =±．(,1)1(1,1)1(1,)00(1,ln 2)(1,ln 2)x y y-∞---+∞''-+--　拐点拐点可知曲线y =ln(1+x 2)的凹区间为(1,1)-，凸区间为(,1)-∞-和(1,)+∞, 拐点为(1,ln 2)-和(1,ln2).六、证明题（每小题5分, 共10分）１.证明：方程x -2sin x =0在区间(,)2ππ内有且仅有一个实根.证明: 作函数()2sin f x x x =-，()[,]()20,()2sin 0,222()(,)2()12cos 0,(,)2()[,]()0(,)222sin 0(,)2f x f f f x f x x x f x f x x x ππππππππππππππππππ=-<=-=>'=->∈=-=显然在区间上连续，且根据根的存在定理知，在区间上存在根．又因为，可知在区间　上严格单调递增，　因此在上有且仅有一个实根，即方程在区间内有且仅有一个实根．２.设0a b >>，证明：ln a b a a ba b b--<<．证明：()ln ()[,]()()()(),(,)1ln ln ()(,),111ln f x x f x b a f a f b f a b b a a b a b b a b a a ba b a a b a b bξξξξξξ='-=-∈-=-∈<<<<--<<令，则在区间上满足拉格郎日中值定理的条件，得　，即　，因为　即　，得，因此　．。

12级-高等数学A1期中考试试卷(基础卷)

（3）在点处可微；（4）在点处的两个偏导数存在．
若用表示可由性质推出性质，则有（）．
．；．；
．；．．
4．曲面被割下的有限部分的面积 =( )．
．；．；．；．．
5.若区域为，则 ( )．
．；．；
．；（D） .
三、（本题共8小题，每小题6分，满分48分）
2012-2013学年第二学期
《高等数学A2》期中考试试卷（基础）
姓名学号教学班号专业级班
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
1．一直径的两端为，数单位向量，则方向导数
（）．
4．曲面在点（1，1，2）处的切平面方程为（）．
5．设是由与围成的闭区域，试将化为柱面坐标下的三次积分为（）．
二、单选题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）
1.如果垂直的充要条件是（）．
．；．；．；． .
2.设平面：，直线：，则它们的位置
关系是（）
．直线与平面平行；．直线与平面垂直；
．直线与平面斜交；．直线在平面上.
3.考虑二元函数的下面4条性质：
（1）在点处连续；（2）在点处的两个偏导数连续；
8．计算，其中是由曲面及平面所围成的闭区域
四、（满分16分）
1.在上求一点，使其到的距离最近，并求此最近距离．
2.求由曲面与所围成的立体体积。
五、（本题满分6分）
设二元函数．求、，并说明在（0，0）处连续性及可微性．
1.设平面π过点且与直线Ｌ：垂直，求（１）直线Ｌ的方向向量；（２）平面π的方程．
2．设函数，其中具有连续的二阶连续偏导数，求．

1483-江苏省常州市武进区2012届高三上学期期中考试数学试卷,

2012届常州市武进区高三上学期期中考试数学卷高三数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共7 0分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1.已知集合若则▲ .2.已知平面向量且则▲ .3.函数的定义域为▲ .41.已知函数若则▲ .5.若二次函数满足且则实数的取值范围是▲ .6.满足不等式组则目标函数的最大值为▲ .7.若规定：例如：则函数的奇偶性为▲ .8.等差数列前项和为若则▲ .9.在中，若则面积的最大值为▲ .10.若的最小值为-2，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为又图像过点则其解析式是▲ .11.若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象，则称为“可连数”；如：32是“可连数”，因为不产生进位现象，23不是“可连数”，因为产生进位现象，那么自然数中小于100的“可连数”的个数为▲ .12. 已知定义在上偶函数且当时有则不等式解集为▲ .13. 已知且则的最小值是▲ .14. 已知集合定义函数且点若AABC 的内切圆圆心为且则下列结论正确的有____▲ .（填上你认为正确的命题的序号）①必是等腰三角形；②必是直角三角形；③满足条件的实数有3个；④满足条件的函数有l2个.二、解答题：（本大题共6道题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.在平面直角坐标系中，已知点其中(1)若求证：(2)若求的值.16.（本题满分14分）设函数(1)求的单调区间；(2)证明：对任意的都有17.（本题满分14分）我们将具有下列性质的所有函数组成集合函数对任意均满足当且仅当时等号成立。

(1)若定义在上的函数试比较与大小；(2)给定两个函数：证明：(3)试利用(2)的结论解决下列问题：若实数满足求的最大值。

18.（本题满分16分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）.现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？19.（本题满分16分）已知数列是等差数列，(1)判断数列是否是等差数列，并说明理由；(2)如果为常数），试写出数列的通项公式；(3)在(2)的条件下，若数列得前项和为，问是否存在这样的实数使当且仅当时取得最大值。

高等数学期中考试试卷及答案

高等数学期中考试试卷及答案XXX2005-2006学年第一学期高等数学期中考试试卷一、判断题（每题2分，共10分）1、若数列{x_n}收敛，数列{y_n}发散，则数列{x_n+y_n}发散。

（×）2、limf(x)存在的充分必要条件是limf(x+)和limf(x-)都存在。

（×）3、limx→1 sin(πx/2) = limx→1 πx/2 = π/2.（√）4、limx→∞ sinx/x = 0.（√）5、若f(x)在闭区间[a,b]上有定义，在开区间(a,b)内连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a,b)内有零点。

（√）二、填空题（每题2分，共10分）1、已知f'(3)=2，则lim(h→0) [f(3-h)-f(3)]/h = 2.（答案为2）2、y=π+xn+arctan(x)，则y'|x=1 = n+1.（答案为n+1）3、曲线y=e^x在点(0,1)处的切线与连接曲线上两点(0,1),(1,e)的弦平行。

（答案为(1.e^1)）4、函数y=ln[arctan(1-x)]，则dy/dx = -1/(x^2-2x+2)。

（答案为-1/(x^2-2x+2)）5、当x→0时，1-cosx是x的阶一无穷小。

（答案为x^2/2）三、单项选择题（每题2分，共10分）1、数列有界是数列收敛的(必要条件)。

2、f(x)在x=x处有定义是limx→x f(x)存在的(必要条件)。

3、若函数f(x)=(x-1)^2/2(x+1)，则limx→1 f(x)≠f(1)。

(以上等式都不成立)4、下列命题中正确的是(无界变量必为无穷大)。

5、lim(n→∞) (1+1/n)^n+1000的值是(e^1000)。

四、计算下列极限（每题6分，共18分）1、lim(x+1-x^-1) = 2.2、lim(x→+∞) [sec(x)-cos(x)]/x = 0.3、lim(x→0) ln(1+x^2)/x = 0.五、计算下列各题（每题6分，共18分）1、y=e^(sin^2x)。

12级期中数学试卷(1)

2012春学期12级数学期中试卷1. 如果A={}1≤x x ，…………（）A.0⊆AB.{}0∈AC.0∈AD.{}0⊇ A 2. 全集U={}9,7,6,5,3,1,集合M={}5,3,1,集合N ＝{}7,6,5则()MC U N =…………（）A.{}6,5,3,1B.{}9,7,5,3,1C. {}9,7,6,5D.{}7,6,5 3. 命题甲：1x =，是命题乙：21x =的…………（）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要4. 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->≤223x x 的解集为…………（）A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤23x x B.{}2->x x C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-232x x D.∅ 5. 已知集合{(,)|2}M x y x y =+=，集合{(,)|4}N x y x y =-=，则M N = …（）A.3,1x y ==B.()1,3 C.()1,3- D.(){}1,3-6. 下列函数即是奇函数又是增函数的是…………（）Ａ．3y x = Ｂ．1y x = Ｃ．22y x = Ｄ．13y x =-7. 一元二次方程042=+-mx x 有实数解的条件是m ∈（）A.]()[∞+-∞-,44,B.()4,4-C.()()+∞-∞-,44,D.[]4,4-8. 下列各对函数中表示同一函数的是…………（）Ａ．2y x y ==与Ｂ．y x y ==与Ｃ．2x y x y x==与Ｄ．3y x y ==与9. 已知函数()(21)5f x k x =++在(),-∞+∞上是减函数，则（）Ａ．12k >Ｂ．12k >- Ｃ． 12k < Ｄ．12k <- 10. 若,a b c >为实数，下列不等式成立的是…………（）Ａ．ac bc > Ｂ．ac bc <Ｃ．22ac bc > Ｄ．22ac bc ≥二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分。

河北省石家庄十二中2021-2022学年高二上学期期中数学试题

10.抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件： “点数为i”，其中，2，3，4，5，6， “点数不大于3”， “点数大于3”， “点数大于4”， “点数为奇数”， “点数为偶数”，判断下列结论，错误的有（）
A. B. 为对立事件C. D. 为对立事件
AB
利用互斥事件、对立事件和事件间关系分析判断即可
14.若A､B满足，则 ___________.
##0.3
由已知可得事件A､B相互独立，然后利用相互独立事件的性质和概率公式求解即可
因为A､B满足，
所以，所以事件A､B相互独立，
所以
，
故答案为：
15.直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝________.
对于②：若非零向量，，满足，，，则与不一定共线，故②不正确；
对于③：由可得：
，可得，即，所以，反向共线，故充分性成立，若，共线则，当时，不成立，故是，共线充分不必要条件，故③正确；
对于④：若，共线，则或与重合，故④不正确；
所以正确的有①③，
故答案为：①③.
故选：C.
4.已知向量，，且，那么等于（）
A. B. C. D. 5
B
由，得
解：因为向量，，且，
所以，解得，
所以，
所以，故选：B
5.先后抛掷2枚质地均匀的一角､五角的硬币，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件中包含3个样本点的是（）
A. “至少一枚硬币正面向上”B. “只有一枚硬币正面向上”

山东省临沂市2012届高三数学上学期期中考试试题理.doc

山东省临沂市2012届高三上学期期中考试数学试题（理）本试卷分为选择题和非选择题两部分，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如果需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

2．非选择题必须用0.5毫米黑色的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{|32}A m Z m =∈-<<，{|13}B n N n =∈-<≤，则A B I = （） A ．{0，1} B ．{-1，0，1} C ．{0，1，2}D ．{-1，0，1，2}2．下列命题中的假命题是（） A ．1,20x x R -∀∈>B ．,lg 1x R x ∃∈<C ．2,0x R x ∀∈>D ．,tan 2x R x ∃∈=3．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a -=，则42S S = （） A ．5B ．8C ．-8D ．154．ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，2sin sin cos a A B b A +=，则b a=（）ABC． D．5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线3y x =上，则cos2θ=（）A ．45-B ．35-C ．35D ．456．已知0t >，若(22)8t x dx -=⎰，则t =（）A ．1B ．2C ．4D ．2或47．设112250.5,0.3,log 0.3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>8．已知4cos()sin 365παα-+=，则4cos()3πα-的值是（）A ．235B ．235-C ．45D ．45-9．已知0x 是11()()2xf x x=+的一个零点。

成都市高2012级第一学期期中7校联考试题数学

郫县一中高2012级第一学期期中试题数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1.B2.A3.B4.A5.C6.A7.C8.C9. C 10.A 11.C 12.C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13.0 14. 1,112≥-≤≥y y y 则或若 15.[0,1] 16.[a,1-a] 三、解答题：本大题共6小题，共74分。

17、(本小题满分12分)（1）解：原式=)(31321)37(21)23(312931⨯-⨯-⨯⨯⋅÷⋅a a a a-------------(2分) =613)67()63(69----+a - ------------(2分)=0a (∵0≠a )=1 ------------- (2分)（2）解：设01032=+-k x x 的根为1x ，2x由1x +3102=x ⋅1x 32k x = ------------- (3分) 由条件⎪⎩⎪⎨⎧>>⨯-03034102k k 3250<<⇔k ------------- (3分) 18、(本小题满分12分) 设，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-∈=x x x x R x B 11，{}02<++∈=b x ax R x C ，若Φ=⋂⋃C B A )(，R C B A =⋃⋃)(，求b a , 解：{}{}031⋃≤≤=x x A -------------(3分) {}10<≤=x x B -------------(3分) ∵Φ=⋂⋃C B A )( R C B A =⋃⋃)( ∴{}30><=x x x C 或 -------------(3分) ∴0，3是方程02=++b x ax 的两根由韦达定理：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠=⨯-=+030130a a b a -------------(2分) 解得 31-=a ， 0=b -------------(1分)19、(本小题满分12分)解：设宽为x m ，则长为m x )336(21-，记面积为S 2m -------------(4分) 则)120)(336(21<<-=x x x S ------------ (3分) 54)6(232+--=x -------------(3分) ∴当x=6时，)(542max m S = -------------(2分)∴所围矩形面积的最大值为542m20、(本小题满分12分)（1）证明：∵定义域为(－∞, +∞)取2,121==x x ，则21x x <又∵8)2(,1)1(==f f ∴)()(21x f x f <∴21x x <时，)()(21x f x f <∴)(x f 在定义域上不是减函数 -------------(3分) 取1,243=-=x x ，则43x x <又∵1)1(,8)2(==-f f ∴)()(43x f x f >即43x x <时，)()(43x f x f < -------------(3分) ∴)(x f 在定义域上不是增函数综上：)(x f 在定义域上不具有单调性。

【配套K12】高三数学上学期期中考试(扫描版) 理

湖北省部分重点中学2011届高三第一次联考理科数学试卷参考答案及评分细则一、选择题二、填空题11．8312． 5413．214．114,,0,333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 15． 25， 17， 8三、解答题 16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()2cos 2cos 12cos2f x x x x x xωωωωω=+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2πωx . …………………………………………………………………2分 21,2=∴=ωπT .()⎪⎭⎫⎝⎛+=∴6sin 2πx x f .…………………………………………4分由6π≤x ≤3π，得3π≤x+6π≤2π，于是3≤)(x f ≤2.即f (x)的取值范围为[3，2] ． ……………………………………………8分（Ⅱ）∵56)66sin(2)6(=+-=-πππx x f ，即53sin =x ．………………………10分 ∴54sin 1cos 2±=-±=x x ． ……………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品.∴第一天通过检查的概率为53410491==C C P . ……………………………………4分（Ⅱ）两天的所得分ξ的可取值分别为0，1，2. …………………………………5分第二天通过检查的概率为31410482==C C P ，………………………………………7分 ∵15852313253)1(,1543252)0(=⨯+⨯===⨯==ξξP P ,513153)2(=⨯==ξP .…………10分∴151451215811540=⨯+⨯+⨯=ξE . ……………………………………………12分18. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）直三棱柱111C B A ABC -，底面三边长5,4,3===AB BC AC .222AC BC AB +=，∴BC AC ⊥. ………………………………………………………2分又1CC AC ⊥，且1BC C C C =，∴ AC ⊥平面1BCC . …………………………………4分又1BC ⊂平面1BCC ，∴1BC AC ⊥ . . …………………………………………………………5分（Ⅱ）取BC 中点E ，过D 作1DF B C ⊥于F ，连接EF .D 是AB 中点，∴//DE AC .又AC ⊥平面11BB C C ，∴DE ⊥平面11BB C C .又1DF B C ⊥，∴C B EF 1⊥.∴EFD ∠是二面角1D B C B --的平面角. ………………………………………………………8分在DEF ∆中，求得32DE =，562543=⨯⨯=EF .∴45tan ==∠EF DE EFD .∴二面角1D B C B --的大小为45arctan. ……………………………………12分19．（本小题满分12分）F EDC 1B 1A 1CBA解：（Ⅰ）由已知得，22221=+=PF PF a ，2=∴a .1,1=∴=b c .∴所求椭圆的方程为2212+=x y .………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得()0,11-F .当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)=+y k x ，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，()y x P ,.联立()⎪⎩⎪⎨⎧=++=.12,122y x x k y消元，得2222(12)4220+++-=k x k x k .……………………………………………8分 ∴2221214k k x x +-=+.从而121222(2)12+=++=+k y y k x x k . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=∴.21,212222k k y k k x 当0=k 时，中点P 就是原点.0≠k 时，0≠x 且0≠y .则y x k 2-=，代入()02,21222=+++=x y x y k k y 得.因为0≠y ，所以0222=++x y x . …………………………………………10分当直线l 的斜率不存在时，线段MN 的中点为1F .所以，所求轨迹方程为0222=++x y x . ……………………………………12分20． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）11=a ，32=a ，73=a ，154=a . ………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）推测数列{}n a 的通项公式为12-=nn a .…………………………………………6分下面用数学归纳法证明如下：①当1=n 时，从B 杆移到A 杆上只有一种方法,即11=a ，这时1211-==n a 成立；………7分②假设当()1≥=k k n 时，12-=kka 成立. 则当1+=k n 时，将B 杆上的1+k 个碟片看做由k 个碟片和最底层1张碟片组成的，由假设可知，将B 杆上的k 个碟片移到C 杆上有12-=kk a 种方法，再将最底层1张碟片移到A 杆上有1种移法，最后将C 杆上的k 个碟片移到A 杆上(此时底层有一张最大的碟片)又有12-=k k a 种移动方法，故从B 杆上的1+k 个碟片移到A 杆上共有()12112212111-=+-=+=++=++k k k k k k a a a a种移动方法.所以当1+=k n 时12-=nna 成立. 由①②可知数列{}n a 的通项公式是12-=n n a .……………………………9分（说明：也可由递推式()1,12,111>∈+==*-N N n a a a n n ，构造等比数列()1121n n a a -+=+求解）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，12-=nn a ，所以111111++++=+=n n nn n n n a a a a a a b=()()()()()()12112112121212121221111---=-----=--++++n n n n n n n n n . ………………10分 n S =n b b b +++ 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛---12112121+⎪⎭⎫ ⎝⎛---12112132+…+⎪⎭⎫ ⎝⎛---+1211211n n=12111--+n . ………………………………………………………………………11分因为函数()12111--=+x x f 在区间[)+∞,1上是增函数，∴()32121111min =--=+n S .………………………………………………………12分又11211lim lim 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++∞→+∞→n n n n S ，1<∴n S . 所以132<≤n S ．…………………………………………………………………13分21．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）()2af x x x =-‘，()021=-='∴a f ，2=∴a .………………2分()x x x g 2-=∴.由()011>-='xx g ，得1>x ；由()011<-='xx g ，得10<<x .∴()x g 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞.………………………4分（Ⅱ）∵21x e <<，∴0ln 2x <<，∴2ln 0x ->.欲证x x x ln 2ln 2-+<，只需证明x x x x ln 2ln 2+<-，即只需证()112ln +->x x x .记()()112ln +--=x x x x F ，则()()()2211+-='x x x x F .当1x >时，()0>'x F ，∴()x F 在(1,)+∞上是增函数.∴()()01=>F x F ，∴()0>x F ，即2(1)ln 01x x x -->+.∴2(1)ln 1x x x ->+.故结论成立． ………………………………………………………8分（Ⅲ）由题意知()62:1+-=x x x h C . 问题转化为()()22ln 60G x x x x =---=在()0,+∞上解的个数. …10分()'1221G x x x =--==)()1222x x+.由()0>'x G ，得1>x ；由()0<'x G ，得10<<x .∴()x G 在区间()1,+∞上单调递增，在区间()0,1上单调递减.又()041<-=G ，所以()()22ln 60G x x x x =---=在()0,+∞上有2个解.即1C 与()x f 对应曲线2C 的交点个数是2. ………………………………………14分。

高二数学上学期期中试题理_1_2(共30页)

第十二中学2021-2021学年高二数学上学期(xuéqī)期中试题理〔无答案〕考试时间是是：100分钟满分是120分第一局部: 阅读理解〔一共20小题；每一小题2分, 满分是40分〕第一节:〔一共15小题，每一小题2分，满分是30分〕阅读以下短文，从每一小题所给的四个选项(A、B、C、D)中，选出最正确选项，并在答题卡上将此题涂黑。

AThe National Postal Museum is divided into galleries that explore America's postal history. Visitors will have a full picture of the creation and fantastic varieties of postage stamps.World of StampsVideo images bring stamps to life and attract visitors who explore the surrounding displays. Visitors encounter the world’s first postage stamp —the 1840 Penny Black and learn how it revolutionized communication. Stamp images, including Dr. Martin Luther King’s “I have a dream〞 speech and the stamp that helped raise almost $72 million dollars for breast cancer research, explain how stamps have shaped history and honored people and places worldwide.Gems of American PhilatelyVisitors have the opportunity of examining 13 of the most rare and highly valued stamps in the world of the stamp collection, including the most famous American stamp of all, the 1918 Inverted Jenny. A video explains why theInverted Jenny and other stamps displayed here are the most valuable. The treasures in this area are rarely available for public viewing. Each tells a story about an important event in US history.Mail Marks HistoryThe markings on mail provide valuable clues to the surprising ways mail has been transported over time, including challenges and even disasters encountered along the way. You will understand these markings by following the journeys of three historic letters.Connect with US StampsVisitors explore their own connections with stamps. At three touch screen tables, they create their own stamp collection based on the topics thatinterest them most. They can also create their own stamp designs. Visitors have the chance to view videos in which stamp designers talk about their craft,stamp collectors explain what they collect and why, and footage(片段(piàn duàn)) shows the process of making stamps.1. What can you do at World of Stamps?A. Photograph some nice stamps on display.B. Learn more about the great importance of stamps.C. Donate money to cancer research.D. Listen to a speech by Martin Luther King on video2. What can you see at Gems of American Philately?A. Some famous designers in the US.B. Some newly released stamps in the US.C. Some of the most valuable US stamps.D. Some important public reviews of stamps.3. Where can you see how stamps are created?A. Connect with US StampsB. Gems of American PhilatelyC. Mail Marks HistoryD. World of Stamps4. Where does this text come from?A. An official report.B. An exhibition guide.C. An announcement.D. An art show review.【答案(dá àn)】1. B 2. C 3. A 4. B【解析】【分析】本文是说明文，介绍了HY国家邮政博物馆几个展厅的展览内容。

2023-2024学年河北省承德市部分高中高三上学期12月期中数学试题+答案解析

2023-2024学年河北省承德市部分高中高三上学期12月期中数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足，则z的虚部为()A. B. C. D.2.已知正方体为下底面ABCD的中心，P为棱的中点，则下列说法错误的是()A.直线与直线所成角为B.直线与直线OP所成角为C.直线平面PACD.直线与底面ABCD所成角为3.在中，，则()A. B. C. D.4.当时，函数取得最大值，则()A. B. C. D.15.已知，则p成立的一个必要不充分条件是()A. B. C. D.6.将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是()A. B. C. D.7.设是公差为d的等差数列，是其前n项和，且，，则()A. B. C. D.8.已知函数，若函数恰有两个零点，则a的取值范围为()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知函数，则下列判断正确的是()A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.在区间上单调递增D.当时，11.如图，已知二面角的棱l上有A，B两点，，，，，且，则下列说法正确的是()A.B.当二面角的大小为时，CD与平面所成的角为C.若，则四面体ABCD的体积为D.若，则二面角的余弦值为12.已知数列满足，，则()A.数列单调递减B.C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若x，，且，则xy的最大值为__________.14.已知，，则__________.15.河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是我国建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证.一名身高的同学假期到河北省正定县旅游，他在A处仰望须弥塔尖，仰角为，他沿直线假设他的行走路线和塔底在同一条直线上向塔行走了17m后仰望须弥塔尖，仰角为，据此估计该须弥塔的高度约为__________参考数据：，，结果保留整数16.如图，在直三棱柱中，，，，若P为空间一动点，且，则满足条件的所有点P围成的几何体的体积为__________;若动点P在侧面内运动，且，则线段BP长的最小值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。

配套K12高三数学上学期期中试卷(含解析)4

2015-2016学年河北省保定市定兴县北河中学高三（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．22．“x=1”是“x2﹣2x+1=0”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．B（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y ﹣1）2=24．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或125．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A．3 B．6 C．9 D．126．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A．±B．±C．±1D．±7．过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A ．B ．2C ．6D ．48．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A ．（﹣1，0）B ．（1，0）C ．（0，﹣1）D ．（0，1）9．已知椭圆+=1（m ＞0 ）的左焦点为F 1（﹣4，0），则m=（） A ．2B ．3C ．4D ．910．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （2，0），且双曲线的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=3相切，则双曲线的方程为（）A ．﹣=1B ．﹣=1C ．﹣y 2=1D ．x 2﹣=111．若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12．下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x 的是（）A ．B ．﹣y 2=1C ．x 2﹣=1D ．﹣y 2=1二.填空题：13．若直线3x ﹣4y+5=0与圆x 2+y 2=r 2（r ＞0）相交于A ，B 两点，且∠AOB=120°，（O 为坐标原点），则r= ．14．若点P （1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为．15．已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b= ．16．椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．三.解答题：17．如图，椭圆E： =1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．求椭圆E的方程．18．如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（Ⅰ）圆C的标准方程为？（Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距？19．已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程．20．已知点F为抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|=3，（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）已知点G（﹣1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．21．已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．22．如图，已知抛物线C1：y=，圆C2：x2+（y﹣1）2=1，过点P（t，0）（t＞0）作不过原点O 的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．（1）求点A，B的坐标；（2）求△PAB的面积．2015-2016学年河北省保定市定兴县北河中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解．【解答】解：A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，17，…}，则A∩B={8，14}，故集合A∩B中元素的个数为2个，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．“x=1”是“x2﹣2x+1=0”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【专题】简易逻辑．【分析】先求出方程x2﹣2x+1=0的解，再和x=1比较，从而得到答案．【解答】解：由x2﹣2x+1=0，解得：x=1，故“x=1”是“x2﹣2x+1=0”的充要条件，故选：A．【点评】本题考察了充分必要条件，考察一元二次方程问题，是一道基础题．3．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（）A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1 B．B（x+1）2+（y+1）2=1 C．（x+1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y ﹣1）2=2【考点】圆的标准方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程．【解答】解：由题意知圆半径r=，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．故选：D．【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．4．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】由直线与圆相切得到圆心到直线的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到b的值．【解答】解：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0可化为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1∵直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，∴圆心（1，1）到直线的距离d==1，解得：b=2或12．故选：D．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．5．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的离心率以及抛物线的焦点坐标，求出椭圆的半长轴，然后求解抛物线的准线方程，求出A，B坐标，即可求解所求结果．【解答】解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合，可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x=﹣2，由，解得y=±3，所以a（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．|AB|=6．故选：B．【点评】本题考查抛物线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．6．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A．±B．±C．±1D．±【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣），利用A1B⊥A2C，可得，求出a=b，即可得出双曲线的渐近线的斜率．【解答】解：由题意，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣），∵A1B⊥A2C，∴，∴a=b，∴双曲线的渐近线的斜率为±1．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．7．过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A． B．2 C．6 D．4【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．【解答】解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得y A=2，y B=﹣2，∴|AB|=4．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．8．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0） C．（0，﹣1）D．（0，1）【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），∴=1，∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．故选：B．【点评】本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础．9．已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A．2 B．3 C．4 D．9【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出a，b的关系，结合焦点为F（2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程．【解答】解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，∵双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，∴，∴b=a，∵焦点为F（2，0），∴a2+b2=4，∴a=1，b=，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故选：D．【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b的值，是解题的关键．11．若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得=．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．12．下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把曲线的方程化为标准方程，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．【解答】解：A，曲线方程是：，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．正确；B，曲线方程是：﹣y2=1，其渐近线方程是﹣y2=0，整理得y=±x．错误；C，曲线方程是：x2﹣=1，其渐近线方程是x2﹣=0，整理得y=±x．错误；D，曲线方程是：﹣y2=1，其渐近线方程是﹣y2=0，整理得y=±x．错误；故选：A．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．二.填空题：13．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r= 2 ．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案为：2．【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r是解答的关键．14．若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为x+2y﹣5=0 ．【考点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜式求出该圆在点P处的切线的方程．【解答】解：由题意可得OP和切线垂直，故切线的斜率为﹣==﹣，故切线的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即 x+2y﹣5=0，故答案为：x+2y﹣5=0．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．15．已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b= ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得双曲线x2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），可得b的方程，即可得到b的值．【解答】解：双曲线x2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0），由题意可得=2，解得b=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点的求法，属于基础题．16．椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．【解答】解：设Q（m，n），由题意可得，由①②可得：m=，n=，代入③可得：，解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2=1，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．三.解答题：17．如图，椭圆E： =1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．求椭圆E的方程．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可得b=1，e==，结合a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程．【解答】解：由题意可得b=1，e==，由a2﹣c2=b2，解得c=1，a=，即有椭圆方程为+y2=1．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题．18．如图，已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．（Ⅰ）圆C的标准方程为？（Ⅱ）圆C在点B处的切线在x轴上的截距？【考点】直线与圆的位置关系；圆方程的综合应用．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）确定圆心与半径，即可求出圆C的标准方程；（2）求出圆C在点B处切线方程，令y=0可得圆C在点B处切线在x轴上的截距．【解答】解：（1）由题意，圆的半径为=，圆心坐标为（1，），∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2；（2）由（1）知，B（0，1+），∴圆C在点B处切线方程为（0﹣1）（x﹣1）+（1+﹣）（y﹣）=2，令y=0可得x=﹣1﹣．【点评】本题考查圆的标准方程，考查圆的切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．19．已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程．【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），与圆C1，联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3．【点评】本题考查求圆的方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于中档题．20．已知点F为抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|=3，（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）已知点G（﹣1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】解法一：（I）由抛物线定义可得：|AF|=2+=3，解得p．即可得出抛物线E的方程．（II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x2﹣5x+2=0，解得B．又G（﹣1，0），计算k GA，k GB，可得k GA+k GB=0，∠AGF=∠BGF，即可证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．解法二：（I）同解法一．（II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x2﹣5x+2=0，解得B．又G（﹣1，0），可得直线GA，GB的方程，利用点到直线的距离公式可得：点F（1，0）到直线GA、GB的距离，若相等即可证明此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．【解答】解法一：（I）由抛物线定义可得：|AF|=2+=3，解得p=2．∴抛物线E的方程为y2=4x；（II）证明：∵点A（2，m）在抛物线E上，∴m2=4×2，解得m=，不妨取A，F（1，0），∴直线AF的方程：y=2（x﹣1），联立，化为2x2﹣5x+2=0，解得x=2或，B．又G（﹣1，0），∴k GA=．k GB==﹣，∴k GA+k GB=0，∴∠AGF=∠BGF，∴x轴平分∠AGB，因此点F到直线GA，GB的距离相等，∴以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．解法二：（I）同解法一．（II）证明：点A（2，m）在抛物线E上，∴m2=4×2，解得m=，不妨取A，F （1，0），∴直线AF的方程：y=2（x﹣1），联立，化为2x2﹣5x+2=0，解得x=2或，B．又G（﹣1，0），可得直线GA，GB的方程分别为： x﹣3y+2=0， =0，点F（1，0）到直线GA的距离d==，同理可得点F（1，0）到直线GB的距离=．因此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．【点评】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．21．已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的离心率；（2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；（2）通过令直线AE的方程中x=3，得点M坐标，即得直线BM的斜率；（3）分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可．【解答】解：（1）∵椭圆C：x2+3y2=3，∴椭圆C的标准方程为： +y2=1，∴a=，b=1，c=，∴椭圆C的离心率e==；（2）∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴，∴可设A（1，y1），B（1，﹣y1），∵E（2，1），∴直线AE的方程为：y﹣1=（1﹣y1）（x﹣2），令x=3，得M（3，2﹣y1），∴直线BM的斜率k BM==1；（3）结论：直线BM与直线DE平行．证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由（2）知k BM=1，又∵直线DE的斜率k DE==1，∴BM∥DE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y﹣1=（x﹣2），令x=3，则点M（3，），∴直线BM的斜率k BM=，联立，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0，由韦达定理，得x1+x2=，x1x2=，∵k BM﹣1====0，∴k BM=1=k DE，即BM∥DE；综上所述，直线BM与直线DE平行．【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22．如图，已知抛物线C1：y=，圆C2：x2+（y﹣1）2=1，过点P（t，0）（t＞0）作不过原点O 的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．（1）求点A，B的坐标；（2）求△PAB的面积．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x﹣t）（k≠0），与抛物线方程联立化为x2﹣4kx+4kt=0，利用△=0，解得k=t，可得A坐标．圆C2的圆心D（0，1），设B（x0，y0），由题意可知：点B与O关于直线PD得出，可得，解得B坐标．（2）由（1）可得：（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0，可得点P到直线AB的距离d，又|AB|==t2．即可得出S△PAB．【解答】解：（1）由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x﹣t）（k≠0），联立抛物线，化为x2﹣4kx+4kt=0，∵△=16k2﹣16kt=0，解得k=t，∴x=2t，∴A（2t，t2）．圆C2的圆心D（0，1），设B（x0，y0），由题意可知：点B与O关于直线PD得出，∴解得x0=，y0=．∴B（，）．（2）由（1）可得：k AB=，直线AB的方程为：y﹣t2=（x﹣2t），化为（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0，∴点P到直线AB的距离d==t，又|AB|==t2．∴S△PAB=．【点评】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题。

【配套K12】高二数学上学期期中考试(扫描版)

高二数学参考答案一、选择题：DDCDB CAABD BC 二、填空题13. ⎩⎨⎧≥-==)2(,34)1(,2n n n a n 14. 12或13 15. -1 16. 2三、解答题17解：（1）依题意有2111111()2()a a a q a a q a q ++=++ ………………………3分由于10a ≠，故220q q += 又0q ≠，从而12q =-…………………6分（2）由已知得2111()32a a --= 故 14a = ………………………8分从而14[1()]812[1()]1321()2n n n S --==---- ………………………12分 18解: x x x x y 22cos 3cos sin 32sin ++=22cos 132sin 322cos 1xx x +⋅++-= ……3分)62sin(22)2sin 232cos 21(222sin 32cos 2π++=++=++=x x x x x , ………6分当1)62sin(=+πx 时，,4m a x =y 此时Zk k x ∈+=+,2262πππ，即Z k k x ∈+=,6ππ; ………………………9分当1)62sin(-=+πx 时，,0m i n=y 此时Zk k x ∈-=+,2262πππ，即Z k k x ∈-=,3ππ. ………………………12分19解：由,534sin )3sin(-=++απα可得534cos 23sin 23-=+αα，………2分 ,54)6sin(-=+πα ………………………4分又,02<<-απ所以,663ππαπ<+<-于是,53)6cos(=+πα ………………………8分所以10433]6)6cos[(cos -=-+=ππαα. ………………………12分 20解（1）A C B A A B sin sin cos sin cos sin -=- ………………………2分A AB A B sin )sin()sin(-+=-⇒ ………………………4分A AB sin sin cos 2-=-⇒21cos =⇒B ， 60=∴B 6分（先用余弦定理也一样）（2）343360sin 21=⇒==ac ac S ，且5=+c a ………………………8分又321260cos 222222=-+⇒=-+=b c a ac b c a，………………………10分所以4162=⇒=b b12分21解：如图所示，设到C 点甲船追上乙船，乙到C 地用的时间为t ，乙船的速度为v ,则BC=tv ，AC=3tv ，B=120°， ……2分,sin sin B AC CAB BC =∠由正弦定理知,120sin 3sin 1︒=∠∴CAB ……5分,30,21sin ︒=∠∴=∠∴CAB CAB ……7分 ︒=∠∴30ACB ，∴BC=AB=a ， ……9分∴AC 2=AB 2+BC 2-2AB·BCcos 120° ……10分.3,3)21(22222a AC a a a a =∴=-⋅-+= ……11分答：甲船应取北偏东30度方向追乙船，追上时甲船行驶了a 3海里. ……12分22解：(Ⅰ) ∵ 312a a d -=， ∴ (1)(1)2f d f d d +--=.即 22(2)2d d d --=，解得 d =2.∴ 1(21)0a f =-=. ∴ 2(1)n a n =-. ………………………………… 3分∵ 231b q b =, ∴ 222(1)(1)(2)f q q q f q q +==--. ∵ 0, 1q q ≠≠, ∴ 3q =.又1(1)1b f q =-=， ∴ 13n n b -=.………………………………………… 6分 (Ⅱ) 由题设知 121c a b =， ∴1212c a b ==. ………………………7分当2n ≥时, 31121123123(1)n n n n nc c cc c a b b b n b nb -+-+++++=-,3112123123(1)n n n c c c c a b b b n b --++++=-, ………………………8分两式相减,得12n n n nc a a nb +=-=.小初高试卷教案类K12小学初中高中 ∴ 1322-⋅==n n n n nb c (1122c b a ==适合).…………………… 10分设T =13521n c c c c -++++,22423)24(310362-⋅-++⨯+⨯+=∴n n T =T 23n n n n 2226423)24(3)64(3103632⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯- 两式相减 ,得=-T 8n n n 222423)24(3434342⋅--⋅++⨯+⨯+- …………12分 19(91)24(42)991n n n --=+⨯---1929(42)922n n n =+⨯---⨯ n n n 9492525⋅-⨯+-= n n T 23)1652(165⋅-+=∴ ……………………………………14分。

数学--山东省济宁市2023届高三12月份期中考试

综上所述，时，有且仅有两个零点；或时，有唯一一个零点；时，没有零点.…………………………….6分
（2）证明：不等式即为，
即证明，
令，只需证明即可.…………….7分
又，则时，；时， .
则时，取得极大值，且，也即为最大值.
由得，
则时，；时， .
则时，取得极小值，且，也即为最小值.……….10分
2022—2023学年第一学期期中质量检测
高三数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，集合，则
A. B. C. D.
2.给出的下列条件中能成为的充要条件的是
A. B. C. D.
3.已知数列成等差数列，其前n项和为，若，则
因为，所以，所以，取可得，所以，又，所以，所以，所以，故函数为周期为4的函数，
因为，所以，，所以，所以
，
所以，
由已知无法确定的值，故的值不一定为0，D错；
因为，所以，，
所以，故函数为周期为4的函数，
所以函数为周期为4的函数，
又，，，，
所以，所以，C对，故选：AC.
由已知，即，所以，，
所以，，
即
，所以， .………………………….12分
所以 …………………………….12分
20.（1）根据题意，，即，
设茶水从降至大约用时t分钟，则，
即，即 ……………2分
两边同时取对数： …………….3分
解得，所以从泡茶开始大约需要等待分钟…………….5分

河北省保定市联考2023-2024学年高一上学期12月期中考试数学含解析

保定市高一年级1+3联考（答案在最后）数学试题注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名､班级等信息填写在试卷规定的位置，一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，1.使2230x x --<成立的一个充分不必要条件是（）A.13x -<<B.102x -<<C.31x -<< D.16x -<<2.已知角α终边上有一点()sin2,cos2P ，则πα-是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3.已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥,90,2,1,BC ADC AD DC BC P ∠==== 是DC 的中点，则PA PB +=（）C.3D.94.若函数()()22log 3f x x ax a =-+在区间[)2,∞+上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A.(],4∞-B.(]4,4-C.()[),42,∞∞--⋃+D.[)4,2-5.在ABC 中，π,3,4AB ABC BC AD ∠===为BC 边上的高，O 为AD 上靠近点A 的三等分点，且AO AB AC λμ=+，其中,R λμ∈，则λμ-=（）A.12B.16C.19D.136.记,,A B C 为ABC 的内角，若cos ,cos B C 是方程25310x x --=的两根，则cos A =（）A.35B.35-C.15D.15+7.著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.黄金分割比510.6182t =≈，现给出三倍角公式3cos34cos 3cos ααα=-，则t 与sin18 的关系式正确的为（）A.23sin18t =B.2sin18t =C.3sin18t =D.4sin18t =8.若函数()223,0(2),0x x f x x x a⎧+≤=⎨-<≤⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（）A.(]0,1 B.()0,1 C.()1,4 D.()2,4二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知向量()()1,3,,2a b x =-=，且()2a b a -⊥ ，则（）A.()1,2b =B.225a b -=C.向量a与向量b 的夹角是45D.向量a在向量b上的投影向量坐标是()1,210.已知函数()()[]2cos (0,0,π)f x x ωϕωϕ=+>∈，则（）A.若()0f =π3ϕ=B.若函数()y f x =为偶函数，则2cos 1ϕ=C.若函数()y f x =在[],a b 上单调，则π2b a ω-≤D.若π2ϕ=时，且()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦11.已知向量,a b 满足||1,||2a b == ，则有关||||a b a b ++-的最值下列结论正确的是（）A.最小值为2B.最小值为4C.最大值为4D.最大值为12.给出下列四个命题，其中正确的选项有（）A.在ABC 中，13||3,||2,24AB AC AD AB AC ===+，则直线AD 通过ABC 的内心.B.在ABC 中，点O 20OB OC ++= ，若2BC =，则7OA =.C.若单位向量,a b 的夹角为120，则当()2a xb x R +∈ 取最小值时1x =.D.若()()()3,4,6,3,5,3,OA OB OC m m ABC ∠=-=-=--- 为锐角，则实数m 的取值范围是34m >-.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（第16.题第一空2分，第二空3分）13.若()()()12x xe ef x x x a --=++为奇函数，则a =__________.14.tan204sin20+= __________.15.设O 为ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为__________.16.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭.如图，直线2y =与曲线()y f x =交于,A B 两点，π6AB =，则ϕ=__________.()y f x =在区间()π,4t t t R ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值的差的范围是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3π10,cos πcos 022B b a b A ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求角B ；（2）若__________，求ABC 的面积.请在①2sin sin sin 1sin sin sin sin B C AC B B C+=+；②3πtan 24A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭tan 3A =这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答.18.（本题满分12分）已知向量()()cos ,sin ,sin ,cos a b αααα==- ，设3,3m a b n a b =+=+.（1）求a b +的值；（2）求,m n 夹角的大小.19.（本题满分12分）已知函数()()sin (0,0,π)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式及对称中心；（2）先将()f x 的图象的纵坐标缩短到原来的12（横坐标不变），再向右平移π12个单位长度后得到()g x 的图象，求函数()y g x =在π3π,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间和最值.20.（本题满分12分）在扇形OAB 中，60,AOB C ∠=为弧AB 上一动点，若OC xOA yOB =+，求3x y +的取值范围.21.（本题满分12分）已知锐角ABC 内角,,A B C 及对边,,a b c ，满足22cos c b a B -=.（1）求A 的大小；（2）若1a =，求ABC 周长的取值范围.22.（本题满分12分）已知平面四边形ABDC 中，对角线CB 平分角,ACD CB ∠与AD 相交于点O ，且5AC =，7,4AD CA CD =⋅=-（1）求CO 的长；（2）若BC BD =，求ABD 的面积.保定市高一年级1+3联考数学参考答案1.【B 】解：将不等式2230x x --<化为()()130x x +-<解得13x -<<，所以结合选项知，使不等式2230x x --<成立的一个充分不必要条件是102x -<<.故选B.2.【C 】解：sin20,cos20,><∴ 角α是第四象限角，α-是第一象限角，πα-是第三象限角.故选C.3.【C 】解：取AB 的中点Q ，连接PQ ，由题意有||2||||||3PA PB PQ DA CB +==+=.故选C.4.【B 】解：由题意有2222230a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩解得44a -<≤.故选B.5.【C 】解：在ABC 中，()()111111211,2,33333399AD BD DC AO AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC ⎛⎫⎡⎤==∴=∴==+=+=+-=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦211,,999λμλμ∴==∴-=.故选C .6.【D 】解：由题知有31cos cos ,cos cos .sin sin 55B C B C B C +=⋅=-∴=75=()71cos cos sin sin cos cos 5A B C B C B C +∴=-+=-=.故选D.7.【B 】解：由三倍角公式有3cos544cos 183cos18sin362sin18cos18=-== ，化简得24cos 1832sin18-= ，24sin 182sin1810∴+-= ，解得51sin184-=（负值舍去），2sin18t ∴= .故选B .8.【B 】解：由题意可知，函数()f x 的定义域为{}xx a ≤∣，当0x ≤时，()(]233,4xf x =+∈，要使得定义域和值域的交集为空集，则03a <≤.又0x a <≤时，()2(2)f x x =-.①若()2,20a f ≥=，此时显然不满足题意；②若02a <<，则()f x 在(]0,a 上单调递减，())2(2),4f x a ⎡∈-⎣，故())(]2(2),43,4f x a ⎡∈-⋃⎣，则有2(2)02a a a ⎧<-⎨<<⎩，解得01a <<.故选B .9.【ACD 】解：()()()()()1,3,,2,21,32,2,12,1a b x a b x x =-=∴-=--=---.()2,1230a b a x -⊥∴+-= ，解得1x =，选项A 正确；()23,1,2a b a b -=--∴-=B 错误；cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉== .向量a 与向量b 的夹角是45 ，选项C 正确；向量a在向量b 上的投影向量()()21,2||a b bb ⋅= ，选项D 正确.故选ACD.10.【BD 】解：()[]()π02cos cos 0,π26f ϕϕϕϕ===∈⇒=.选项A 错误.若函数()y f x =为偶函数()2π0,πcos 1k k Z ϕϕϕ⇒=∈⇒=⇒=.选项B 正确.若函数()y f x =在[],a b 上单调π2T b a ω⇒-≤=.选项C 错误.若π2ϕ=时，()π2cos 2sin 2f x x x ωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调ππ3420ππ232ωωω⎧≤⎪⎪⇒⇒<≤⎨⎪-≥-⎪⎩.选项D 正确.故选BD.11.【BD 】解析：法一：由向量三角不等式得，|||||()()|2||4a b a b a b a b b ++-≥+--==.又||||||||2a b a b a b a b ++-≤=++- 的最小值为4，最大值为法二：设,a b的夹角为||1,||2,||||a b a b a b θ∴==++-= .令y =210y =+.[][]][220,π,cos 0,1,16,20,4,2y y θθ⎡∈∴∈∴∈∴∈⎣ .即||||a b a b ++-的最小值为4，最大值为故选BD.12.【ABC 】解：对于选项A ，由题知，133242AB AC == .设13,24AE AB AF AC == ，则||||AE AF = .因为1324AD AB AC AE AF =+=+，所以AD 平分EAF ∠，即AD 平分BAC ∠，所以直线AD 通过ABC 的内心.故A 正确.对于选项B ，设ABC 外接圆的半径是R 20OB OC ++= 得2OB OC =--，则有222244OA OB OC OB OC⋅=++⋅ ，即2222244cos R R R R BOC ∠=++，化简得3cos 4BOC ∠=-.设2BOC ∠θ=，则在等腰三角形BOC 中，易得sin 4θ=，所以2sin 7BC R OA θ===.故B 正确.对于选项C ，2222222|2|4444cos12024(1)3a xb a xa b x b x x x x x +=+⋅+=++=-+=-+ ，故2a xb +取最小值时1x =.故C 正确.对于选项D ，()()()()()()3,46,33,15,36,31,BA OA OB BC OC OB m m m m =-=---=--⋅=-=-----=---.又ABC ∠为锐角，0BA BC ∴⋅> ，即3330,4m m m ++>∴>-.又当BA 与BC同向共线时，12m =.故当ABC ∠为锐角时，m 的取值范围是34m >-且12m ≠.故D 不正确.故选ABC .13.-2解：()f x 为奇函数，定义域关于原点对称易得2a =-.解：sin20sin202sin40tan204sin204sin20cos20cos20++=+=方法一：上式()()3cos10sin10sin 30102sin 301022cos20cos20cos20+-++===.方法二：上式sin20sin40sin402sin30cos10sin40cos10sin40cos20cos20cos20++++===sin80sin402sin60cos20cos20cos20+===15.4解：不妨设ABC 的外接圆半径长为2.由22AO AB AC BO AO AB AC =+⇒=-=，()2212()()2AO AO AB AC AO AB AC AB ⋅=+⋅=+⇒=延长,OC BA 交于点P ，在ACP中，1,2AC AB AP OC CP =====.由余弦定理得222610cos sin sin 44PAC BAC PAC ∠∠∠==⇒==.16.π12；12⎡-⎢⎣解：()()π2ππππ263336B A B A AB x x x x ωϕωϕωωω=⇒+-+=-=-==⇒=πππ22π,24212k k Z ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⇒⋅-+=∈<⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（第一空2分）()πsin 212f x x ⎛⎫⇒=- ⎪⎝⎭.显然，结合函数的周期，当区间()π,4t t t R ⎡⎤+∈⎢⎣⎦两个端点对应的函数()f x 图像上的两个点关于函数()f x 的某条对称轴对称且相邻时，最大值与最小值的差最小为12-；当函数()y f x =区间()π,4t t t R ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦上单调（不妨设为单调递增）时，最大值与最小值的差最大.此时()πππππππsin 2sin 2cos 2sin 2244121212126f t f t t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+---=---=+≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.()y f x ∴=在区间()π,4t t t R ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值的差的范围是212⎡-⎢⎣⎦.（第二空3分）17.解：（1）依题意，得cossin 02Ba b A -+=.由正弦定理有sin cossin sin 2BA B A ⋅=⋅，又因为sin 0A ≠，所以cossin 2B B =，故cos 2sin cos 222B B B =.因为()0,π,cos 02B B ∈≠，所以1πsin ,223B B ==.（2）若选①：依题意，得222sin sin sin sin sin B C A B C +=+，由正弦定理得222b c a bc +=+，所以2221cos 22b c a A bc +-==.又因为()0,πA ∈，所以π3A =.又π3B =，所以ABC 为等边三角形.故ABC的面积24S ==.若选②：3πtan tan3πtan 14tan 23π41tan 1tan tan 4A A A A A +-⎛⎫+===- ⎪+⎝⎭-解得tan A =.又因为()0,πA ∈，所以π3A =.又π3B =，所以ABC 为等边三角形.故ABC的面积24S ==.若选③：由22sin tan 3,sin cos 1cos AA A A A==+=，解得31010sin 1010A A ==，由正弦定理sin sin a b A B=3103102=a =，而()1sin sin sin cos cos sin 10210220C A B A B A B =+=+=⨯+⨯，故ABC的面积1131030sin 10152220S ab C ==⨯⨯=.18.解：（1）()cos sin ,sin cos a b αααα+=-+，a b ∴+=（2）由题意得：sin cos sin cos 0,||||1a b a b αααα⋅=-+===，)()224m n b a a b ∴⋅=+⋅+=+⋅+=，2,2m n === ，3cos ,||||2m n m n m n ⋅∴<>==⋅，又,[0,],,6m n m n ππ<>∈∴<>= .19.解：（1）根据题意可得32π5ππ2,4123A ω=⋅=+，解得2ω=.根据五点法作图，得5ππ2122ϕ⋅+=，所以π3ϕ=-，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.根据题图可得，点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的图象的一个对称中心，故函数()f x 的对称中心为()ππ,023k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.（2）先将()f x 的图象的纵坐标缩短到原来的12（横坐标不变），可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再向右平移π12个单位长度，得到πππsin 2sin 2cos21232y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，即()cos2g x x =-.令()2ππ22πk x k k Z -≤≤∈，解得()πππ2k x k k Z -≤≤∈，可得()g x 的单调递减区间为()ππ,π2k k k Z ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，结合π3π,124x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()g x 在π3π,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦.又π3π2,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故当2πx =，即π2x =时，()g x 取得最大值，即max ()1g x =；当π26x =，即π12x =时，()g x 取得最小值，即min 3()2g x =-.20.解：设1OA OB ==，以O 为原点，OA 为x 轴正方向建立平面直角坐标系，如图.则()131,0,,22OA OB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭不妨设OC 与x 轴的夹角为θ，则()πcos ,sin 03OC θθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ .因为OC xOA yOB =+ ，所以1cos ,23sin ,2x y y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得3cos ,323sin ,3x y θθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩333cos 3x y θθ+=-在π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以当0θ=时，33x y +=，为最大值；当π3θ=时，33331232x y +=-=，为最小值.所以3x y +的取值范围是[]1,3.注：本题不建系，由OC xOA yOB =+ ，两边分别点乘OA OB ､的解法参考评分标准给与相应的分数.21.解：（1）因为22cos c b a B -=，由正弦定理可得2sin sin 2sin cos C B A B -=，又因为()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+，所以sin 2sin 2sin cos 2cos sin B C A B A B =-=，可得1cos 2A =，由()0,πA ∈，可得π3A =.（2）因为π1,3a A ==，由正弦定理sin sin 32b c B C ===，可得2πsin ,sin sin 3333b B c C B ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，可得2π1πsin sin sin sin cos 2sin 333226b c B B B B B B B B ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-=++=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，因为锐角三角形ABC 中，所以2ππ032π02B B ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得ππ62B <<，所以ππ2π363B <+<，所以π3sin 62B ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，可得π2sin 26b c B ⎛⎫⎤+=+∈ ⎪⎦⎝⎭.ABC ∴周长的取值范围为1,3⎤+⎦.22.解：（1）设ACD ∠α=，在ACD 中，由余弦定理2222cos CA CD AD CA CD α+-=⋅，又2224,||||cos 4.572(4)CA CD CA CD CD α⋅=-∴=-∴+-=⋅- ，解得4CD =.1cos ,sin 55αα∴=-=.又对角线CB 平分角21,cos 12sin 5ACD ACO ∠α∠∴=-=-，解得sin sin 5ACO DCO ∠∠==，111,sin sin sin 222ACD ACO DCO S S S CA CD CA CO ACO CO CD DCO α∠∠=+∴⋅=⋅+⋅ .解得9CO =.（2）在ACD 中，由正弦定理可得5sin sin sin 265AC AD ADC ACD ADC ∠∠∠=⇒=则26sin 7ADC ∠=.由于ADC ∠在为锐角，所以5cos 7ADC ∠=.因为BD BC =，所以BDC BCD ∠∠=.所以1510sin sin cos 55BDC BCD BDC ∠∠∠===.在等腰BDC 中，11022cos 5CD BDC BD BD∠⋅===，解得10BD BC ==.因为5cos 7ADC ∠=，所以()sin sin sin cos cos sin ADB BDC ADC BDC ADC BDC ADC ∠∠∠∠∠∠∠=-=⋅-⋅15510615575735=⋅-=，。

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中国矿业大学徐海学院2012～2013学年第1学期
经管《高等数学》期中考试试卷
考试时间： 120 分钟考试方式：闭卷
班级姓名学号
注：数学计算题和证明题按步骤给分，必须明确写出解题步骤。

一、填空题（共21分，每小题3分）
1.函数
3
arcsin
4
x y -=
+的定义域是________________. 2.105
156(21)(1)lim 6421
x x x x x →∞++=+- ________________. 3.2lim(
)8x
x x a a x a
→∞+==-设，则________________ .
4.=∞→n n n x
3
sin 3lim . 5.设)(x f 在2=x 处连续，且3)2(=f ，则极限
=---→)4
4
21)(
(lim 22
x x x f x _ _____.
6.曲线(y x x =+-在点(2,3处
的切线方程为 .
7.已知0
()
(0)0,(0)2,lim
x f x f f x
→'===则________________.
二.求下列各题极限（共24分，每小题6分）
1. lim )x x x →+∞
2. ()
2
121lim
n n n
→∞
++
+-
3. 220arctan 1)lim sin ln(1)
x x x x →⋅+
4. 10
lim(cos sin )x
x x x →+
三．计算题（共28分，每小题7分）
1．设2
sin e x y x =+dy
dx
．
2．设sin x y x =y '．
3．设⎩⎨⎧-==t
t t y t x cos sin cos ln ，求dx dy ，22d y dx ．
4．2()610y y y x e xy x =++-=已知函数由方程确定，求(0),(0)y y '''．
四．综合题（共27分，每小题9分）
1
．设函数2
(),ln(1)0
x x f x x x ≤=+>⎪⎩，，求()f x '．
2．试224
()56
x f x x x -=-+确定的间断点，并判定其类型．
3．已知232(
),(),32x y f f x x x -'==+求0
x dy
dx
=．。