广西桂林市中山中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)

广西桂林市中山中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题1.已知a ，集合{|2}A x x ≤＝，则下列表示正确的是( )． A. a A ∈ B. a ∉ AC. {}a A ∈D. a A ⊆【答案】A 【解析】因为{|2}A x x ≤＝，在集合中，是集合的一个元素，所以a A ∈，故选A ．2.已知集合 {}{}13579036912A B ==，，，，，，，，，，则N C )A B ⋂（（ ） A. {1，5，7} B. {3，5，7}C. {1，3，9}D. {0，6，9}【答案】A 【解析】因为={124,5,7,8,10,11,13,14}N C B ，，，，{}13579A =，，，，，所以N C )={1,5,7}A B ⋂（，故选A ．3.函数()()lg 2f x x =+的定义域为( ) A. ()2,1- B. []2,1-C. ()2,-+∞D. (2,1]-【答案】D 【解析】试题分析：函数()()lg 2f x x =+有意义等价于10{2120x x x -≥⇔-<≤+>，所以定义域为(2,1]-，故选D.考点：函数的定义域.4. 下面各组函数中为相同函数的是（ ）A. ()()1f x g x x ==-B. 0()()1f x x g x ==，C. 1()3()()3xxf xg x -==，D. 21()1()1x f x x g x x ，-=-=+【答案】C 【解析】试题分析：对于A ，两个函数的值域不同，不是相同函数；对于B ，函数的定义域不同，不是相同函数；对于C ，1()33xx g x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，与函数()f x 的定义域、值域、对应法则都相同，是相同函数；对于D ，两个函数的定义域不同，两个函数不是相同函数.故选C. 考点：函数的三要素.【名师点睛】本题考查函数的三要素；属容易题；函数的三要素为定义域、值域、对应法则，当且仅当两个函数定义域、值域、对应法则都相同时，两个函数是相同的函数.本题就是从这个角度去思考解决的.5.已知2log 3a =， 12log 3b =，123c -=，则A. c b a >>B. c a b >>C. a b c >>D. a c b >>【答案】D 【解析】因为102221122log 3log 21,0331,log 3log 10a c b -=>=<=<==<=，所以a c b >>，故选D ．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．6.在下列区间中函数()243x f x x =-+的零点所在的区间为（ ） A. 1(,1)2B. 1(0,)2C. 3(1,)2D. (1,2)【答案】A 【解析】因为1()(1)(323)02f f =--+<，所以函数零点在区间1(,1)2，故选A ．7.函数()2(1)mf x m m x =--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上为增函数，则实数m 的值是A. −1B. 2C. 3D. −1或2【答案】B 【解析】()2(1)m f x m m x =--是幂函数211m m ⇒--=1m ⇒=-或2m =．又()f x 在(0,)x ∈+∞上是增函数，所以2m =，故选B ．8.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. 3ln y x = B. 2y x =-C.D. y x x =【答案】D 【解析】试题分析：选项A 是非奇非偶函数，选项B 是偶函数，选项C 在(0,)+∞上是减函数，故选D. 考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性.9.已知函数2log (0)()3(0)xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1[()]4f f 的值是（ ） A. 19-B. -9C.19D. 9【答案】C 【解析】 分析：先求14f ⎛⎫⎪⎝⎭，再求14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得解.详解：由题得14f ⎛⎫⎪⎝⎭=2221log log 22,4-==-所以14f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=f(-2)=2139-=.故答案为：C. 点睛：（1）本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)类似这种求值，一般从里往外，逐层求值.10.函数y= | lg （x-1）| 的图象是【答案】A 【解析】函数y=|lg(x-1)|是由y=|lgx|的图像向右平移一个单位得到的.所以图像应选Ｃ.11.定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时， ()0f x >，则函数()f x 在[],m n 上有()A. 最小值()f mB. 最大值()f nC. 最大值2m n f +⎛⎫⎪⎝⎭D. 最小值()f n【答案】D 【解析】令0x y ==，则(0)0f =，用x -代替y 得：(0)()()0f f x f x =+-=，所以函数为奇函数，设,x y ∀∈R ，且x y <，则()()()()()()0f y f x f y f x f y x f x y -=+-=-=--<，所以函数是减函数，故()f x 在[],m n 上有最小值()f n ．故选D ．点睛：本题主要考查函数的奇偶性的判定，函数单调性的定义法证明，同时考查了单调性的应用，属于中档题．解题时，一定要注意判断奇偶性时，先分析函数的定义域是否关于原点对称，单调性定义法证明时，作差后一定要变形到位，一般为几个因式相乘的形式，然后判断差的正负作出结论．12.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[2,0]x ∈-时，()1x f x =-，若在区间(2,6)-内关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=（0a >且1a ≠）有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1(,1)4B. (1,4)C. (1,8)D. (8,)+∞【答案】D 【解析】由(2)(2)f x f x +=-，得()(4f x f x =-，又()f x 是定义在R 上偶函数，所以(4)()(f x f x f x -==-，即(4)()f x f x +=，则函数()f x 是以4为周期的函数，结合题意画出函数()f x 在(2,6)x ∈-上的图象与函数log (2)a y x =+的图象，结合图象分析可知，要使()f x 与log (2)a y x =+的图象有4个不同的交点，则有1,{log (62)1,a a >+<由此解得8a >，即a 的取值范围是(8)+∞，选D .考点：函数的奇偶性、周期性，函数的零点，函数的图象.13.已知集合{{}=,1,,,A B m A B A m =⋃==则_____________. 【答案】0或3 【解析】因为{}{}2131?,A m B m A B A ⋃=＝，，，＝，，所以3m =或2m m =，解得0m =或1m =（舍去），故填0或3．的14.设22? (1)(){? (12)2? (2)x x f x x x x x +≤-=-<<≥，若()3=f x ，则x = .【解析】当23x +=，解得1x =（舍去），当23x =，解得xx =，当23x =，解得32x =（舍去）．15.函数()22()log 23f x x x =+-的单调递减区间是______．【答案】()-3∞-，【解析】设2log y t =，223t x x =+-，（0t >）因为2log y t =是增函数，要求原函数的递减区间，只需求223t x x =+-（0t >）的递减区间，由二次函数知(,3)x ∈-∞-，故填(,3)x ∈-∞-．16.已知()y f x =是定义在()2,2-上的增函数，若()()112f m f m -<-，则m 的取值范围是____． 【答案】12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】试题分析：由已知可得．考点：函数的单调性.17. 化简或求值：(1)0.52071(2)0.193π-+-+；(2)2(lg 2)lg 2lg5+【答案】解:(1)原式=………………… 3分=="101 " ………………… 6分（2）解：原式=………………… 9分=………………… 12分【解析】试题分析：（1）根据实数指数幂的运算法则化简求值；（2）根据对数的运算法则化简即可． 试题解析：（1）原式1225151()100110011019333=+-+=+-+=（2）原式lg 2(lg 2lg5)lg 2(1lg 2)1=++=+-=18.已知集合{}|27A x x =≤<，{}|310B x x =<≤，{}|5C x a x a =-<<. （1）求A B ⋂，A B ⋃；（2）若非空集合()C A B ⊆⋃，求a 的取值范围.【答案】（1）{}|37A B x x ⋂=<<,{}|210A B x x ⋃=≤≤；（2）710a ≤≤. 【解析】试题分析：（1）由{}{}|27,|310,A x x B x x =≤<=<≤直接根据交集与并集的定义求出A B 和A B即可；（2）根据C ≠∅且()C A B ⊆U ，得出5210a a -≥⎧⎨≤⎩，解不等式组即可得结果.试题解析：(1){}|37A B x x ⋂=<<,{}|210A B x x ⋃=≤≤.(2)由（1）知{}|210A B x x ⋃=≤≤，集合C 为非空集合，要满足()C A B ⊆⋃,则5210a a -≥⎧⎨≤⎩，解得710a ≤≤.19.已知二次函数满足f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），满足f （x +1）﹣f （x ）＝2x ，且f （0）＝1， （1）函数f （x ）的解析式：（2）函数f （x ）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值：【答案】（1）2()1f x x x =-+；（2）3[,3]4【解析】 【分析】（1）设函数f （x ）的解析式，利用待定系数法求解．（2）利用二次函数的性质求解在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值：【详解】解：（1）由题意：f （x ）为二次函数，设f （x ）＝ax 2+bx +c ，∵f （0）＝1， ∴c ＝1．则f （x ）＝ax 2+bx +1又∵f （x +1）﹣f （x ）＝2x ，∴a （x +1）2+b （x +1）+1﹣ax 2﹣bx ﹣1＝2ax +a +b ，即2ax +a +b ＝2x ，由22a ab =⎧⎨+=⎩，解得：a ＝1，b ＝﹣1．所以函数f （x ）的解析式：f （x ）＝x 2﹣x +1． （2）由（1）知()22131()24f x x x x =-+=-+， 根据二次函数的性质可知：开口向上，对称轴x 12=， ∴当12x =时，f （x ）有最小值34， 当x ＝﹣1时，f （x ）有最大值3；∴()f x 值域为3[,3]4【点睛】本题考查了二次函数的解析式求法和最值的讨论问题．属于中档题．20.已知函数f （x ）=（c常数），且f （1）=0．（1）求c 的值；（2）证明函数f （x ）在[0，2]上是单调递增函数；（3）已知函数g （x ）=f （e x），判断函数g （x ）的奇偶性． 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）g （x ）为奇函数． 【解析】试题分析：（1）根据f （1）==0，解得c=1；（2）运用单调性定义证明；的（3）运用奇偶性定义证明． 解：（1）因为f （1）==0，所以c=1，即c 的值为1； （2）f （x ）==1﹣，在[0，2]单调递增，证明如下：任取x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2， 则f （x 1）﹣f （x 2）=（1﹣）﹣（1﹣）=2[﹣]=2•＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以，f （x ）在[0，2]单调递增； （3）g （x ）=f （e x）=，定义域为R ，g （﹣x ）===﹣=﹣g （x ），所以，g （x ）为奇函数．考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．21. 某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护需50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 【答案】（1）88（2）当4050x =时，()f x 最大，最大值为(4050)307050f =元．【解析】解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：=12，所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为：f （x ）=（100－）（x －150）－×50，整理得：f （x ）=－+162x －21000=－（x －4050）2+307050.所以，当x =4050时，f （x ）最大，其最大值为f （4050）=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.22.已知指数函数()y g x =满足()327g =，定义域为R 的函数()()()3n g x f x m g x -=+是奇函数.（1）求函数()(),y g x y f x ==的解析式；（2）若函数()()h x kx g x =-在()0,1上有零点，求k 的取值范围；（3）若对任意的()1,4t ∈，不等式()()230f t f t k -+->恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）()3xg x =，113()33xx f x +-=+；（Ⅱ）（3，+∞）；（Ⅲ） [9，+∞）． 【解析】试题分析：（1）根据指数函数利用待定系数法求()g x ，利用奇函数用特值法求m,n ，可得到()f x 解析式；（2）根据函数零点的存在性定理求k 的取值范围；（3）分析函数()f x 的单调性，转化为关于t 恒成立问题，利用分离参数法求k 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）设()x g x a =()01a a >≠且,则327a =，∴a=3, ∴()3x g x =，∴()133xx n f x m +-=+，因为()f x 是奇函数，所以(0)0f =，即1012n n m -=⇒=+ ,∴()1133xx f x m +-=+，又()(1)1f f -=-，11133=319m m m --∴-⇒=++；∴()11333xx f x +-=+．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()3x g x =，又因()()h x kx g x =-在（0，1）上有零点，从而(0)(1)0h h ⋅<，即(01)(3)0k -⋅-<，∴30k ->， ∴3k >，∴k 取值范围为(3,)+∞．（Ⅲ）由（Ⅰ）知()113131121··333313331x x x x x f x +--==-=-++++，∴()f x 在R 上为减函数（不证明不扣分）．又因()f x 是奇函数，()()230f t f t k -+->所以()()23f t f t k ->--=()f k t -，因()f x 减函数，由上式得：23t k t -<-,即对一切(1,4)t ∈，有33t k -<恒成立，的令m(x)=33-t ,[1,4]t ∈,易知m(x)在[1,4]上递增，所以max 3439y =⨯-=，∴9k ≥，即实数k 的取值范围为[)9,+∞．点睛：本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．解决已知函数奇偶性求解析式中参数问题时，注意特殊值的使用，可以使问题简单迅速求解，但要注意检验，在处理恒成立问题时，注意利用分离参数求参数的取值范围，注意分离参数后转化为求函数最值问题．。