高中数学第三章空间向量与立体几何32空间向量在立体几何中的应用325距离素材1新人教B版2-1!
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.2利用向量解决平行、垂直问题讲义
3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题1．用向量方法证明空间中的平行关系(1)证明线线平行设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔□01a∥b⇔□02 a＝λb⇔□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(2)证明线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔□04a⊥u⇔□05a·u＝0⇔□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(3)证明面面平行①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔□07u∥v⇔u＝λv⇔□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．2．用向量方法证明空间中的垂直关系(1)证明线线垂直设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2⇔□09u1⊥u2⇔□10u1·u2＝0⇔□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)证明线面垂直设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔□12 u∥v⇔□13u＝λv(λ∈R)⇔□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．(3)证明面面垂直若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔□15u ⊥v⇔□16u·v＝0⇔□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( )(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．( )答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若直线l 1的方向向量为u 1＝(1,3,2)，直线l 2上有两点A (1,0,1)，B (2，－1,2)，则两直线的位置关系是________．(2)若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则直线l 与平面α的位置关系为________．(3)已知两平面α，β的法向量分别为u 1＝(1,0,1)，u 2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________．(4)若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．答案 (1)垂直 (2)垂直 (3)垂直 (4)－10探究1 利用空间向量解决平行问题例1 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .[证明] (1)如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0，0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →， 即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→，得 ⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F . 拓展提升利用向量法证明平行问题的两种途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．【跟踪训练1】 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .证明 证法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)， PQ →＝(－3,2,1)，RS →＝(－3,2,1)，∴PQ →＝RS →，∴PQ →∥RS →，即PQ ∥RS . 证法二：RS →＝RC →＋CS →＝12DC →－DA →＋12DD 1→，PQ →＝PA 1→＋A 1Q →＝12DD 1→＋12DC →－DA →，∴RS →＝PQ →，∴RS →∥PQ →，即RS ∥PQ . 探究2 利用空间向量解决垂直问题例2 如图，在四棱锥E －ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°.求证：平面ADE ⊥平面ABE .[证明] 取BE 的中点O ，连接OC ，则OC ⊥EB ， 又AB ⊥平面BCE .∴以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .如图所示．则由已知条件有C (1，0,0)，B (0，3，0)，E (0，－3，0)，D (1,0,1)，A (0，3，2)． 设平面ADE 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，则n ·EA →＝(a ，b ，c )·(0,23，2)＝23b ＋2c ＝0，n ·DA →＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0.令b ＝1，则a ＝0，c ＝－3， ∴n ＝(0,1，－3)．∵AB ⊥平面BCE ，∴AB ⊥OC ，又OC ⊥EB ，且EB ∩AB ＝B ，∴OC ⊥平面ABE ， ∴平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)． ∵n ·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0， ∴n ⊥m ，∴平面ADE ⊥平面ABE . 拓展提升利用向量法证明几何中的垂直问题的两条途径(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的垂直关系． (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行证明．证明线面垂直时，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．在判定两个平面垂直时，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.【跟踪训练2】 如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明 证法一：设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→)＝12(AA 1→＋BD →)＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b .∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1，同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法二：设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1,1)．AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)，∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF →⊥AB 1→，EF →⊥AC →， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC . 又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .证法三：同法二得AB 1→＝(0,2,2)，AC →＝(－2,2,0)， EF →＝(－1，－1,1)．设面B 1AC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则AB →1·n ＝0，AC →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，－2x ＋2y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝－1，∴n ＝(1,1，－1)，∴EF →＝－n ，∴EF →∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC . 探究3 与平行、垂直有关的探索性问题例3 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得平面AMC ⊥平面BMC ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．[解] (1)证明：如图，以O 为原点，以射线OD 为y 轴的正半轴，射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .则O (0,0,0)，A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4,2,0)，P (0,0,4)， AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0)，由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)假设存在满足题意的M ，设PM →＝λPA →，λ≠1，则PM →＝λ(0，－3，－4)．BM →＝BP →＋PM →＝BP →＋λPA →＝(－4，－2,4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC →＝(－4,5,0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧BM →·n 1＝0，BC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－(2＋3λ)y 1＋(4－4λ)z 1＝0，－8x 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ.由⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AC →·n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＋4z 2＝0，－4x 2＋5y 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝54y 2，z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5,4，－3)，由n 1·n 2＝0，得4－3×2＋3λ4－4λ＝0，解得λ＝25，故PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－65，－85，AM →＝AP →＋PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，95，125，所以AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3. 拓展提升利用向量解决探索性问题的方法对于探索性问题，一般先假设存在，利用空间坐标系，结合已知条件，转化为代数方程是否有解的问题，若有解满足题意则存在，若没有满足题意的解则不存在．【跟踪训练3】 如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)求证：BC 1⊥平面AB 1C ；(2)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1.解 (1)证明：由已知AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，因而△ABC 是∠ACB 为直角的直角三角形，由三棱柱是直三棱柱，则CC 1⊥平面ABC ，以CA ，CB ，CC 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，从而CA →＝(3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)，则BC 1→·CA →＝(0，－4,4)·(3,0,0)＝0，则BC 1→⊥AC →，所以BC 1⊥AC .又四边形BCC 1B 1为正方形，因而BC 1⊥B 1C .又∵B 1C ∩AC ＝C ，∴BC 1⊥平面AB 1C .(2)假设存在点D (x ，y,0)，使得AC 1∥平面CDB 1，CD →＝(x ，y,0)，CB 1→＝(0,4,4)， 设平面CDB 1的法向量m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CD →＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧xa ＋yb ＝0，4b ＋4c ＝0.令b ＝－x ，则c ＝x ，a ＝y ，所以m ＝(y ，－x ，x )，而AC 1→＝(－3,0,4)，则AC 1→·m ＝0，得－3y ＋4x ＝0.① 由D 在AB 上，A (3,0,0)，B (0,4,0)得x －3－3＝y4，即得4x ＋3y ＝12，② 联立①②可得x ＝32，y ＝2，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，0，即D 为AB 的中点． 综上，在AB 上存在点D ，使得AC 1∥平面CDB 1，点D 为AB 的中点．1.利用向量证明线线平行的两种思路一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基底思路，通过向量的线性运算，利用共线向量定理证明.2.向量法证明线线垂直的方法用向量法证明空间中两条直线相互垂直，其主要思路是证明两条直线的方向向量相互垂直．具体方法为：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的空间直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表示出两条直线的方向向量，证明其数量积为0.(2)基向量法：利用向量的加减运算，结合图形，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来．利用数量积运算说明两向量的数量积为0.3.向量法证明线面垂直的方法(1)向量基底法，具体步骤如下：①设出基向量，用基向量表示直线的方向向量；②找出平面内两条相交直线的方向向量并分别用基向量表示；③分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.(2)坐标法，具体方法如下：方法一：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③将平面内任意两条相交直线的方向向量用坐标表示；④分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积.方法二：①建立空间直角坐标系；②将直线的方向向量用坐标表示；③求平面的法向量；④说明平面的法向量与直线的方向向量平行.4.证明面面垂直的两种思路一是证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；二是证明两平面的法向量垂直.1．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面( ) A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交答案 C解析 因为AB →＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB ∥平面yOz .2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确 答案 A解析 ∵v ＝－3u ，∴α∥β.3．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )A ．3B ．6C ．－9D ．9 答案 C解析 ∵l ⊥α，v 与平面α平行，∴u ⊥v ，即u ·v ＝0，∴1×3＋3×2＋z ×1＝0，∴z ＝－9.4．在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，在如图所示的空间直角坐标系中，下列向量中是平面PAB 的法向量的是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12 B ．(1，2，1) C ．(1,1,1) D ．(2，－2,1) 答案 A解析 PA →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，设平面PAB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则x －2＝0，即x ＝2；－x ＋y ＝0，即y ＝x ＝2.所以n ＝(2,2,1)．因为⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12＝12n ，所以A正确．5．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱BB 1的中点，在棱DD 1上是否存在点P ，使MD ⊥平面PAC?解 如图，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12.假设存在P (0,0，x )满足条件，则PA →＝(1,0，－x )，AC →＝(－1,1,0)．设平面PAC 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ PA →·n ＝0，AC →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－xz 1＝0，－x 1＋y 1＝0.令x 1＝1得y 1＝1，z 1＝1x ，即n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，1x ， 由题意MD →∥n ，由MD →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1，－12，得x ＝2， ∵正方体棱长为1，且2>1，∴棱DD 1上不存在点P ，使MD ⊥平面PAC .。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.3_3.2.4预习导航学案新
3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量预习导航课程目标学习脉络1.掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所成的角．2．掌握最小角定理及公式 cos θ＝cos θ1cos θ2，并会利用这一公式解决相关问题．3．掌握二面角的概念，理解二面角的平面角和直二面角的定义．4．会利用向量法解决二面角的计算问题.1．直线与平面所成的角思考 1直线与平面的夹角的取值范围是什么？斜线与平面夹角的取值范围是什么？ππ 提示：直线与平面的夹角的取值范围是[0， 2]，斜线与平面的夹角的取值范围是(0， 2).2．最小角定理(1)线线角、线面角的关系式：cos θ＝cos_θ1cos_θ2，如图，θ 是 OA 与 OM 所成的角，1θ1是OA与OB所成的角，θ2是OB与OM所成的角．(2)最小角定理：斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角．思考2一平面的斜线在平面内的射影是一条线段吗？它唯一吗？提示：不是，应是一条直线，斜线在平面内的射影是唯一的．思考3将公式cos θ＝cos θ1cos θ2中角的余弦值换成正弦值是否成立？提示：不成立．3．二面角及其度量思考4二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有什么关系？提示：二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角大小相等或互补．点拨 1.二面角的平面角必须具备三个条件：(1)二面角的平面角的顶点在二面角的棱上；(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内；2(3)二面角的平面角的两条边都与棱垂直，且平面角的大小与平面角的顶点在棱上的位置无关．2．二面角的范围是[0，π]．3。
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量的坐标讲义(含解析)湘教版选修2-1-湘教版高
3．2空间向量的坐标[读教材·填要点]1．定理1设e1，e2，e3是空间中三个两两垂直的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.2．定理2(空间向量基本定理)设e1，e2，e3是空间中三个不共面的单位向量，则(1)空间中任意一个向量v可以写成这三个向量的线性组合：v＝xe1＋ye2＋ze3.(2)上述表达式中的系数x，y，z由v唯一决定，即：如果v＝xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，则x＝x′，y＝y′，z＝z′.3．空间向量运算的坐标公式(1) 向量的加减法：(x1，y1，z1)＋(x2，y2，z2)＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)，(x1，y1，z1)－(x2，y2，z2)＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)．(2)向量与实数的乘法：a(x，y，z) ＝(ax，ay，az)．(3)向量的数量积：(x1，y1，z1)·(x2，y2，z2)＝x1x2＋y1y2＋z1z2.(4)向量v＝(x，y，z)的模的公式：|v|＝x2＋y2＋z2.(5)向量(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)所成的角α的公式：cos α＝x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21x22＋y22＋z22.4．点的坐标与向量坐标(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．(2)两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)的距离d AB 为：d AB ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.(3)线段的中点坐标，等于线段两端点坐标的平均值．[小问题·大思维]1．空间向量的基是唯一的吗？提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一组基，所以空间的基有无数个，因此不唯一．2．命题p ：{a ，b ，c }为空间的一个基底；命题q ：a ，b ，c 是三个非零向量，则命题p 是q 的什么条件？提示：p ⇒q ，但qp ，即p 是q 的充分不必要条件．3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置是否有关系？提示：空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，因为一个确定的几何体，其线线、线面、面面的位置关系是固定的，坐标系的不同，只会影响其计算的繁简．4．平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别？提示：平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算，数乘运算，数量积运算，其算理是相同的．但空间向量要比平面向量多一竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的．空间向量基本定理的应用空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG ―→和GH ―→.[自主解答] ∵OG ―→＝OA ―→＋AG ―→， 而AG ―→＝23AD ―→，AD ―→＝OD ―→－OA ―→.∵D 为BC 的中点， ∴OD ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)∴OG ―→＝OA ―→＋23AD ―→＝OA ―→＋23(OD ―→－OA ―→)＝OA ―→＋23·12(OB ―→＋OC ―→)－23OA ―→＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)＝13(a ＋b ＋c )． 而GH ―→＝OH ―→－OG ―→，又∵OH ―→＝23OD ―→＝23·12(OB ―→＋OC ―→)＝13(b ＋c )∴GH ―→＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .∴OG ―→＝13(a ＋b ＋c )；GH ―→＝－13a .本例条件不变，若E 为OA 的中点，试用a ，b ，c 表示DE ―→和EG ―→. 解：如图，DE ―→＝OE ―→－OD ―→＝12OA ―→－12(OB ―→＋OC ―→) ＝12a －12b －12c . EG ―→＝OG ―→－OE ―→＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)－12OA ―→ ＝－16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→＝－16a ＋13b ＋13c .用基表示向量时：(1)若基确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．(2)若没给定基时，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．1.如图所示，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，P 是CA 1的中点，M 是CD 1的中点．用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AP ―→；(2)AM ―→. 解：连接AC ，AD 1， (1)AP ―→＝12(AC ―→＋AA 1―→)＝12(AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→) ＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM ―→＝12(AC ―→＋AD 1―→)＝12(AB ―→＋2AD ―→＋AA 1―→) ＝12a ＋b ＋12c . 空间向量的坐标运算已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB ―→，b ＝AC ―→.(1)设|c |＝3，c ∥BC ―→，求c .(2)若ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k .[自主解答] (1)∵BC ―→＝(－2，－1,2)且c ∥BC ―→， ∴设c ＝λBC ―→＝(－2λ，－λ，2λ)． ∴|c |＝－2λ2＋－λ2＋2λ2＝3|λ|＝3.解得λ＝±1，∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝AB ―→＝(1,1,0)，b ＝AC ―→＝(－1,0,2)， ∴ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(ka ＋b )⊥(ka －2b )，∴(ka ＋b )·(ka －2b )＝0.即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－52.本例条件不变，若将(2)中“互相垂直”改为“互相平行”，k 为何值？ 解：∵ka ＋b ＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，设ka ＋b ＝λ(ka －2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧k －1＝λk ＋2，k ＝λk ，2＝－4λ，∴k ＝0.已知两个向量垂直(或平行)时，利用坐标满足的条件可得到方程(组)进而求出参数的值．这是解决已知两向量垂直(或平行)求参数的值的一般方法．在求解过程中一定注意合理应用坐标形式下的向量运算法则，以免出现计算错误．2．若a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．分别求满足下列条件的实数k 的值： (1)(ka ＋b )∥(a －3b )； (2)(ka ＋b )⊥(a －3b )．解：ka ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)． (1)若(ka ＋b )∥(a －3b )， 则k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.(2)若(ka ＋b )⊥(a －3b )，则(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0， 解得k ＝1063.点的坐标与向量坐标在直三棱柱ABO A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO ―→，A 1B ―→的坐标．[自主解答] (1)∵DO ―→＝－OD ―→＝－(OO 1―→＋O 1D ―→) ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤OO 1―→＋12（OA ―→＋OB ―→）＝－OO 1―→－12OA ―→－12OB ―→.又|OO 1―→|＝4，|OA ―→|＝4，|OB ―→|＝2， ∴DO ―→＝(－2，－1，－4)．(2)∵A 1B ―→＝OB ―→－OA 1―→＝OB ―→－(OA ―→＋AA 1―→) ＝OB ―→－OA ―→－AA 1―→.又|OB ―→|＝2，|OA ―→|＝4，|AA 1―→|＝4， ∴A 1B ―→＝(－4,2，－4)．用坐标表示空间向量的方法步骤为：3．如图所示，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AB ＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN ―→的坐标．解：∵PA ＝AB ＝AD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴AB ―→，AD ―→，AP ―→是两两垂直的单位向量．设AB ―→＝e 1，AD ―→＝e 2，AP ―→＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系Axyz .法一：∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12PC ―→＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AC ―→)＝－12AB ―→＋AP ―→＋12(PA ―→＋AB ―→＋AD ―→)＝12AD ―→＋12AP ―→＝12e 2＋12e 3， ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.法二：如图所示，连接AC ，BD 交于点O . 则O 为AC ，BD 的中点，连接MO ，ON ， ∴MO ―→＝12BC ―→＝12AD ―→，ON ―→＝12AP ―→，∴MN ―→＝MO ―→＋ON ―→ ＝12AD ―→＋12AP ―→ ＝12e 2＋12e 3. ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且PM ―→＝2MC ―→，N 为PD 的中点，求满足MN ―→＝x AB ―→＋y AD ―→＋z AP ―→的实数x ，y ，z 的值．[解] 法一：如图所示，取PC 的中点E ，连接NE ，则MN ―→＝EN ―→－EM ―→.∵EN ―→＝12CD ―→＝12BA ―→＝－12AB ―→，EM ―→＝PM ―→－PE ―→＝23PC ―→－12PC ―→＝16PC ―→，连接AC ，则PC ―→＝AC ―→－AP ―→＝AB ―→＋AD ―→－AP ―→， ∴MN ―→＝－12AB ―→－16(AB ―→＋AD ―→－AP ―→)＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.法二：如图所示，在PD 上取一点F ，使PF ―→＝2FD ―→，连接MF ， 则MN ―→＝MF ―→＋FN ―→， 而MF ―→＝23CD ―→＝－23AB ―→，FN ―→＝DN ―→－DF ―→＝12DP ―→－13DP ―→＝16DP ―→＝16(AP ―→－AD ―→)， ∴MN ―→＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→.∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.法三：MN ―→＝PN ―→－PM ―→＝12PD ―→－23PC ―→＝12(PA ―→＋AD ―→)－23(PA ―→＋AC ―→) ＝－12AP ―→＋12AD ―→－23(－AP ―→＋AB ―→＋AD ―→)＝－23AB ―→－16AD ―→＋16AP ―→，∴x ＝－23，y ＝－16，z ＝16.[点评] 利用基向量表示空间中某一向量的方法步骤为： ①找到含有空间向量的线段为一边的一个封闭图形；②结合平行四边形法则或三角形法则，用基向量表示封闭图形的各边所对应的向量； ③写出结论．1．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC ，OB ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 是MN 的中点，则OG ―→等于( )A.16OA ―→＋13OB ―→＋13OC ―→B.14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)C.13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)D.16OB ―→＋13OA ―→＋13OC ―→ 解析：如图，OG ―→＝12(OM ―→＋ON ―→)＝12OM ―→＋12×12(OB ―→＋OC ―→) ＝14OA ―→＋14OB ―→＋14OC ―→ ＝14(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)． 答案：B2．已知a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b 等于( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2) D ．(2,1，－3)解析：b ＝(a ＋b )－a＝(－1,2，－1)－(1，－2,1)＝(－2,4，－2)． 答案：B3．a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，如果a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32解析：∵a ＝(2x,1,3)与b ＝(1，－2y,9)共线，故有2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.答案：C4．已知点A (－1,3,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP ―→＝2PB ―→，则|PD ―→|的值是________． 解析：设点P (x ，y ，z )，则由AP ―→＝2PB ―→， 得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x,3－y,4－z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1,3,3)， 则|PD ―→|＝－1－12＋3－12＋3－12＝12＝2 3. 答案：2 35．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB ―→与CA ―→的夹角θ的大小是________．解析：AB ―→＝(－2，－1,3)，CA ―→＝(－1,3，－2)，cos 〈AB ―→，CA ―→〉＝－2×－1＋－1×3＋3×－214·14＝－714＝－12， ∴θ＝〈AB ―→，CA ―→〉＝120°. 答案：120°6．已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的三等分点且|PN ―→|＝2|NC ―→|，|AM ―→|＝2|MB ―→|，PA ＝AB ＝1，求MN ―→的坐标．解：法一：∵PA ＝AB ＝AD ＝1，且PA 垂直于平面ABCD ，AD ⊥AB ，∴可设DA ―→＝i ，AB ―→＝j ，AP ―→＝k ，以i ，j ，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．∵MN ―→＝MA ―→＋AP ―→＋PN ―→ ＝－23AB ―→＋AP ―→＋23PC ―→＝－23AB ―→＋AP ―→＋23(－AP ―→＋AD ―→＋AB ―→)＝13AP ―→＋23AD ―→＝13k ＋23(－DA ―→) ＝－23i ＋13k ，∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13.法二：设DA ―→＝i ，AB ―→＝j ，AP ―→＝k ，以i ，j ，k 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，过M 作AD 的平行线交CD 于点E ，连接EN .∵MN ―→＝ME ―→＋EN ―→＝AD ―→＋13DP ―→＝－DA ―→＋13(DA ―→＋AP ―→)＝－i ＋13(i ＋k )＝－23i ＋13k ，∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13.一、选择题1．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基的一组向量是( ) A ．3a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －2a ，b ＋2a C ．a,2b ，b －cD ．c ，a ＋c ，a －c解析：对于A ，有3a ＝2(a －b )＋a ＋2b ，则3a ，a －b ，a ＋2b 共面，不能作为基；同理可判断B 、D 错误．答案：C2．以正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则与DB 1―→共线的向量的坐标可以是( )A ．(1，2，2)B ．(1,1，2)C ．(2，2，2)D ．(2，2，1)解析：设正方体的棱长为1，则由图可知D (0,0,0)，B 1(1,1,1)， ∴DB 1―→＝(1,1,1)，∴与DB 1―→共线的向量的坐标可以是(2，2，2)． 答案：C3．空间四边形OABC 中，OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，点M 在OA 上，且OM ―→＝2MA ―→，N 为BC 中点，则MN ―→为( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c 解析：MN ―→＝MA ―→＋AB ―→＋BN ―→ ＝13OA ―→＋OB ―→－OA ―→＋12(OC ―→－OB ―→) ＝－23OA ―→＋12OB ―→＋12OC ―→＝－23a ＋12b ＋12c .答案：B4．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255解析：因为a ·b ＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，又因为a ·b ＝|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝5＋λ2·9·89＝835＋λ2，所以835＋λ2＝6－λ.解得λ＝－2或255.答案：C 二、填空题5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝________. 解析：∵a ＋b ＝(－2,1，x ＋3)， ∴(a ＋b )·c ＝－2－x ＋2(x ＋3)＝x ＋4. 又∵(a ＋b )⊥c ， ∴x ＋4＝0，即x ＝－4. 答案：－46．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a ，b ，c 三个向量共面，则实数λ＝________.解析：由a ，b ，c 共面可得c ＝xa ＋yb ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10.答案：107．若a ＝(x,2,2)，b ＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x 的取值X 围是________． 解析：a ·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cosθ＝a ·b|a ||b |<0，又|a |>0，|b |>0，所以a ·b <0，即2x ＋4<0，所以x <－2，所以实数x 的取值X 围是(－∞，2)．答案：(－∞，－2)8．已知M 1(2,5，－3)，M 2(3，－2，－5)，设在线段M 1M 2上的一点M 满足M 1M 2―→＝4MM 2―→，则向量OM ―→的坐标为________．解析：设M (x ，y ，z )，则M 1M 2―→＝(1，－7，－2)，MM 2―→＝(3－x ，－2－y ，－5－z )．又∵M 1M 2―→＝4MM 2―→，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝43－x ，－7＝4－2－y ，－2＝4－5－z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝114，y ＝－14，z ＝－92.答案：⎝⎛⎭⎪⎫114，－14，－92三、解答题9．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (1,2,3)，B (2，－1，5)，C (3,2，－5)． (1)求△ABC 的面积； (2)求△ABC 中AB 边上的高．解：(1)由已知得AB ―→＝(1，－3,2)，AC ―→＝(2,0，－8)， ∴|AB ―→|＝ 1＋9＋4＝14， |AC ―→|＝4＋0＋64＝217，AB ―→·AC ―→＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，cos 〈AB ―→，AC ―→〉＝AB ―→·AC ―→|AB ―→|·|AC ―→|＝－1414×217＝－14217，sin 〈AB ―→，AC ―→〉＝1－1468＝2734. ∴S △ABC ＝12|AB ―→|·|AC ―→|·sin〈AB ―→，AC ―→〉＝12×14×217×2734＝321. (2)设AB 边上的高为CD ， 则|CD ―→|＝2S △ABC |AB ―→|＝3 6.10.如图，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫32，12，0，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°.(1)求向量OD ―→的坐标；(2)设向量AD ―→和BC ―→的夹角为θ，求cos θ的值．解：(1)如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.∴DE ＝CD ·sin 30°＝32. OE ＝OB －BD ·cos 60°＝1－12＝12，∴D 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32，即向量OD ―→的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32.(2)依题意：OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，OB ―→＝(0，－1,0)，OC ―→＝(0,1,0)． 所以AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，32，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(0,2,0)． 设向量AD ―→和BC ―→的夹角为θ，则 cos θ＝AD ―→·BC―→|AD ―→|·|BC ―→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×0＋－1×2＋32×0⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322·02＋22＋02＝－210＝－105.∴cos θ＝－105.。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 3.2.1 直线的方向向量及平面
3．2.1 直线的方向向量及平面的法向量1．用向量表示直线的位置条件直线l上一点A表示直线l方向的向量a(即直线l的□01方向向量)形式在直线l上取AB→＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t使得AP→＝□02tAB→作用定位置点A和向量a可以确定直线的位置定点可以具体表示出l上的任意一点(1)通过平面α上的一个定点和两个向量来确定条件平面α内两条□03相交直线的方向向量a，b和交点O形式对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)，使得OP→＝□04x a＋y b(2)通过平面α上的一个定点和法向量来确定平面的法向量□05直线l⊥α，直线l的方向向量，叫做平面α的法向量确定平面位置过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的3．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则线线平行l∥m⇔□06a∥b⇔□07a＝k b(k∈R)线面平行l∥α⇔□08a⊥u⇔□09a·u＝0面面平行α∥β⇔□10u∥v⇔□11u＝k v(k∈R)线线垂直 l ⊥m ⇔□12a ⊥b ⇔□13a ·b ＝0 线面垂直 l ⊥α⇔□14a ∥u ⇔□15a ＝λu (λ∈R ) 面面垂直 α⊥β⇔□16u ⊥v ⇔□17u ·v ＝01．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线上任意两个不同的点A ，B 表示的向量AB →都可作为该直线的方向向量．( ) (2)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．( )(3)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( ) (4)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量的坐标可以是________．(2)已知a ＝(2，－4，－3)，b ＝(1，－2，－4)是平面α内的两个不共线向量．如果n ＝(1，m ，n )是α的一个法向量，那么m ＝________，n ＝________.(3)(教材改编P 104T 2)设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k )，若α∥β，则k ＝________.(4)已知直线l 1，l 2的方向向量分别是v 1＝(1,2，－2)，v 2＝(－3，－6,6)，则直线l 1，l 2的位置关系为________．答案 (1)(2,4,6) (2)120 (3)4 (4)平行探究1 点的位置向量与直线的方向向量例1 (1)若点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，72在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23，13(2)已知O 为坐标原点，四面体OABC 的顶点A (0,3,5)，B (2,2,0)，C (0,5,0)，直线BD ∥CA ，并且与坐标平面xOz 相交于点D ，求点D 的坐标．[解析] (1)AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，72－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12＝(1,2,3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，1＝13(1,2,3)＝13AB →，又因为与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量．故选A.(2)由题意可设点D 的坐标为(x,0，z )， 则BD →＝(x －2，－2，z )，CA →＝(0，－2,5)．∵BD ∥CA ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，z ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，z ＝5，∴点D 的坐标为(2,0,5)． [答案] (1)A (2)见解析 拓展提升求点的坐标：可设出对应点的坐标，再利用点与向量的关系，写出对应向量的坐标，利用两向量平行的充要条件解题．【跟踪训练1】 已知点A (2,4,0)，B (1,3,3)，在直线AB 上有一点Q ，使得AQ →＝－2QB →，求点Q 的坐标．解 由题设AQ →＝－2QB →，设Q (x ，y ，z )，则(x －2，y －4，z )＝－2(1－x,3－y,3－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－2(1－x )，y －4＝－2(3－y )，z ＝－2(3－z )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，∴Q (0，2，6).z ＝6，探究2 求平面的法向量例2 如图，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA 的法向量．[解]∵AD ，AB ，AS 是三条两两垂直的线段，∴以A 为原点，分别以AD →，AB →，AS →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的法向量，设平面SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，则n ·DC →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.n ·DS →＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0，∴u ＝12，∴n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12. 综上，平面SCD 的一个方向向量为n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，12，平面SBA 的一个法向量为AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0.拓展提升设直线l 的方向向量为u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2，其中k ∈R ，平面的法向量的求解方法：①设出平面的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．②找出(或求出)平面内的两个不共线的向量的坐标：a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．③依据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.④解方程组，取其中的一个解，即得法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．【跟踪训练2】 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：DB 1→是平面ACD 1的一个法向量．证明 设正方体的棱长为1，分别以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则DB 1→＝(1,1,1)，AC →＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．于是有DB 1→·AC →DB 1→⊥AC →，即DB 1⊥AC . 同理，DB 1⊥AD 1，又AC ∩AD 1＝A ，所以DB 1⊥平面ACD 1，从而是平面ACD 1的一个法向量． 探究3 利用方向向量、法向量判断线、面 关系例3 (1)设a ，b 分别是不重合的直线l 1，l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1与l 2的位置关系：①a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)； ③a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)．(2)设u ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系： ①u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12；②u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)； ③u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．(3)设u 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量(l ⊄α)，根据下列条件判断α和l 的位置关系：①u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)； ②u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)； ③u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)．[解] (1)①因为a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)，所以a ＝－13b ，所以a ∥b ，所以l 1∥l 2.②因为a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)，所以a ·b ＝0， 所以a ⊥b ，所以l 1⊥l 2.③因为a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)，所以a 与b 不共线，也不垂直，所以l 1与l 2的位置关系是相交或异面．(2)①因为u ＝(1，－1,2)，v ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－12，所以u ·v ＝3－2－1＝0，所以u ⊥v ，所以α⊥β.②因为u ＝(0,3,0)，v ＝(0，－5,0)，所以u ＝－35v ，所以u ∥v ，所以α∥β.③因为u ＝(2，－3,4)，v ＝(4，－2,1)．所以u 与v 既不共线，也不垂直，所以α，β相交．(3)①因为u ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)，所以u ·a ＝－6＋8－2＝0， 所以u ⊥a ，所以直线l 和平面α的位置关系是l ∥α.②因为u ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)，所以u ＝－14a ，所以u ∥a ，所以l ⊥α.③因为u ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)，所以u 和a 不共线也不垂直，所以l 与α斜交． 拓展提升利用向量判断线、面关系的方法(1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．【跟踪训练3】 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)；(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； (4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)． 解 (1)因为a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)，所以a ·b ＝8－6－2＝0，所以a ⊥b ，所以l 1⊥l 2.(2)因为u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)，所以v ＝－3u ，所以v ∥u ，所以α∥β. (3)因为a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)，所以a ≠k u (k ∈R )且a ·u ≠0，所以a 与u 既不共线也不垂直，即l 与α相交但不垂直．(4)因为a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)，所以a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u ，所以l ⊂α或l ∥α.1.空间中一条直线的方向向量有无数个.2.线段中点的向量表达式：对于AP →＝tAB →，当t ＝12时，我们就得到线段中点的向量表达式．设点M 是线段AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)，这就是线段AB 中点的向量表达式.，求出向量的横、纵、竖坐标是具有某种关系的，而不是具体的值，可设定某个坐标为常数，再表示其他坐标.(1)设n 是平面α的一个法向量，v 是直线l 的方向向量，则v ⊥n 且l 上至少有一点A ∉α，则l ∥α.(2)根据线面平行的判定定理：“如果平面外直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量.(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明平面外一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.(1)在一个平面内找到两个不共线的向量都与另一个平面的法向量垂直，那么这两个平面平行.(2)利用平面的法向量，证明面面平行，即如果a ⊥平面α，b ⊥平面β，且a ∥b ，那么α∥β.1．若平面α，β的法向量分别为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3，b ＝(－1,2，－6)，则( ) A ．a ∥β B ．α与β相交但不垂直 C ．α⊥β D ．α∥β或α与β重合 答案 D解析 ∵b ＝－2a ，∴b ∥a ，∴α∥β或α与β重合．2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1，平面BCC 1B 1的中心，以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线EF 的方向向量可以是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，22B ．(1,0，2) C ．(－1,0，2) D ．(2,0，－2) 答案 D解析 由已知得E (1,1，2)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，22，所以|EF →|＝⎝⎛⎭⎪⎫2，1，22－(1,1，2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－22，结合选项可知，直线EF 的方向向量可以是(2,0，－2)．3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫33，33，－33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33 答案 D解析 由AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)，结合选项，验证知应选D.4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，则m ＝________.答案 －8解析 因为直线l ∥α，所以直线l 的方向向量与平面α的法向量垂直，所以(2，m,1)·⎝⎛⎭⎪⎫1，12，2＝2＋m 2＋2＝0，解得m ＝－8.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：OB →1是平面PAC 的法向量．证明 建立空间直角坐标系如右图所示，不妨设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，O (1,1,0)，于是OB 1→＝(1,1,2)，AC →＝(－2,2,0)，AP →＝(－2，0,1)，∴OB 1→·AC →＝－2＋2＝0，OB 1→·AP →＝－2＋2＝0. ∴OB 1→⊥AC →，OB 1→⊥AP →，即OB 1⊥AC ，OB 1⊥AP . ∵AC ∩AP ＝A ，∴OB 1⊥平面PAC ，即OB 1→是平面PAC 的法向量．。
高中数学第3章空间向量与立体几何32空间向量的应用322空间线面关系的判定课件苏教版选修2
6
[基础自测]
1．思考辨析
(1)若向量 n1，n2 为平面 α 的法向量，则以这两个向量为方向向
量的两条不重合直线一定平行．
()
(2)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该
直线与平面平行．
()
7
(3)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内所有直
线的方向向量的数量积为 0.
()
法二：A→B＝(1,0,0)，A→E＝41， 43，12，设平面 ABE 的一个法向
x＝0， 量为 n＝(x，y，z)，则41x＋ 43y＋12z＝0， 令 y＝2，则 z＝－ 3，
∴n＝(0,2，－ 3)．
∵P→D＝0，2
3
3，－1，显然P→D＝
3 3 n.
∴P→D∥n，∴P→D⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
32
[跟踪训练] 2．在例 2 中，平面 ABE 与平面 PDC 是否垂直，若垂直，请证 明；若不垂直，请说明理由．
33
[跟踪训练] 2．在例 2 中，平面 ABE 与平面 PDC 是否垂直，若垂直，请证 明；若不垂直，请说明理由．
34
[解]
由例
2，可知C→D＝－12，
63，0，P→D＝0，2
B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(2，2,2)，C1(0,2,2)，
D1(0,0,2)，O1(1,1,2)，O(1,1,0)．
(1)由上可知B→O1＝(－1，－1,2)，O→D1＝(－1， －1,2)，
∴B→O1＝O→D1，∴B→O1∥O→D1， 又直线 BO1 与 OD1 无公共点，∴BO1∥OD1.
31
[规律方法] 1．证明线线垂直常用的方法 证明这两条直线的方向向量互相垂直． 2．证明线面垂直常用的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量； (2)证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 3．证明面面垂直常用的方法 (1)转化为线线垂直、线面垂直处理； (2)证明两个平面的法向量互相垂直．
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体
3.2.5 距离(选学)1．理解图形F 1与图形F 2的距离的概念．2．掌握四种距离的概念．3．会解决一些简单的距离问题．1．距离的概念一个图形内的任一点与另一图形内的任一点的距离中的________，叫做图形与图形的距离．此概念中的图形不仅仅是平面图形，也包括空间图形．【做一做1】空间直角坐标系中，已知A (2,3,4)，B (－2,1,0)，C (1,1,1)，则C 到AB 中点的距离为( )A ．1B ． 3C ．2D ． 52．点到平面的距离一点到它在一个平面内________的距离，叫做点到这个平面的距离．求点到平面的距离时，一般是过该点作平面的垂线，也可利用等积法求解．【做一做2】在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点A 1到平面BB 1D 1D 的距离为( )A ．aB ．12a C ．34a D ．22a 3．直线与它的平行平面的距离一条直线上的任一点，与它平行的平面的距离，叫做直线与这个平面的距离．求线面距离时，注意在l 上所取一点的位置，通常借助于面面垂直的性质过这一点作平面的垂线，从而转化为点到面的距离求解．【做一做3】正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则BC 到AB 1C 1D 的距离为( )A ．1B ．22C ． 2D ． 34．两个平行平面的距离(1)和两个平行平面________的直线，叫做两个平面的公垂线．(2)公垂线________平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段． (3)两平行平面的公垂线段的长度，叫做两平行平面的距离．两平行平面的公垂线段就是在一个平面内取一点作另一个平面的垂线段，这样公垂线段的长就是点到平面的距离，所以两平行平面的距离，可转化为点到平面的距离，可以用点到平面的距离求解．【做一做4】已知平面α∥平面β，空间一点到α的距离是4，到平面β的距离是2，则平面α与平面β的距离是( )A ．2B ．6C ．2或6D ．以上都错如何求点到平面的距离？剖析：如图，BO ⊥平面α，垂足为O ，则点B 到平面α的距离就是线段BO 的长度． 若AB 是平面α的任一条斜线段，则在Rt△BOA 中，|BO |＝|AB |·cos∠ABO . 如果令平面α的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面α的距离为|BO |＝||||AB n n ⋅.因此要求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．由于n |n |＝n 0可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段向量的数量积的绝对值，即d ＝|AB ·n 0|.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．题型一 用向量求两点间的距离【例1】已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，求A 与C ′的距离．分析：解答本题可先用基底表示AC ′，然后平方求|AC ′|.反思：空间距离本质上是点与点的距离，求空间两点的距离常常转化为求向量的模；点与直线的距离可以运用三垂线定理作直线的垂线，再运用解三角形求．题型二 求点到平面的距离【例2】直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1＝3，在底面△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，求点B 1到平面A 1BC 的距离．分析：直接作平面的垂线较难，故可考虑建立平面直角坐标系求解．反思：点到平面的距离的求法：①定义法即直接求所作公垂线段的长；②等体积转化法；③利用法向量求一个点到平面的距离可用点到平面的距离公式d ＝|PA ·n 0|＝||||PA n n ⋅，其中d 为点P 到平面的距离，A 为平面内的一点，n 0为平面的单位法向量，n 为平面的法向量．题型三 求平行平面的距离【例3】正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离．反思：求两平面之间的距离首先要判定两平面的位置关系即证明它们平行然后再求．面面距离通常转化为点面距离来求．1在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离为( )A ．63aB ．36aC ．34aD ．66a2已知矩形ABCD 的一边CD 在平面α内，AC 与α所成角为60°，若AB ＝2，AD ＝4，则AB 到α的距离为( )A ．15B ． 5C ．10D ．33已知正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上、下底面边长分别为2和4，侧面与下底面所成的角为45°，则两底面的距离为( )A ． 2B ．1C ．2D ．2 24把边长为a 的正三角形ABC 沿高AD 折成60°的二面角B －AD －C ，则点A 到直线BC 的距离等于________．5平面α内的∠MON ＝60°，PO 是α的斜线段，PO ＝3，且∠POM ＝∠PON ＝45°，则点P 到α的距离为________．答案：基础知识·梳理1．最小值【做一做1】B 用空间两点间的距离公式可求得距离为 3.2．正射影【做一做2】D 设B 1D 1中点为O ，则A 1O 即为点A 1到平面BB 1D 1D 的距离．可求得A 1O ＝22a .【做一做3】C 设AB 1中点为O ，则BO 即为BC 到AB 1C 1D 的距离．4．(1)同时垂直 (2)夹在【做一做4】C 这一点可能在两平面之间也可能在两平面的外侧．典型例题·领悟【例1】解：如图，因为AC →′＝AB ＋AD ＋AA →′，所以|AC ′→|2＝(AB ＋AD ＋AA →′)·(AB ＋AD ＋AA →′)＝|AB |2＋|AD |2＋|AA →′|2＋2(AB ·AD ＋AB ·AA →′＋AD ·AA →′)＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85，因此|AC →′|＝85.【例2】解：如图，建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，A 1(1,0，3)，B 1(0,1，3)，C 1(0,0，3)．则BC →＝(0，－1,0)，A 1C →＝(－1,0，－3)．设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即－x －3z ＝0，－y ＝0，令x ＝－3，则y ＝0，z ＝1，所以平面A 1BC 的一个法向量为n ＝(－3，0,1)．所以点B 1到平面A 1BC 的距离d ＝|n ·A 1B 1→||n |＝32. 【例3】解：建立坐标系如图，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，D (0,0,0)，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )，B 1(a ，a ，a )．∴AB 1→＝(0，a ，a )，AD 1→＝(－a ，0，a )，BC 1→＝(－a,0，a )，DC 1→＝(0，a ，a )． 设n ＝(x ，y ，z )为平面AB 1D 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB 1→＝a y ＋z ＝0，n ·AD 1→＝a －x ＋z ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－z ，x ＝z .取z ＝1，则n ＝(1，－1,1)．又∵AD 1∥BC 1，AB 1∥DC 1，AD 1∩AB 1＝A ，DC 1∩BC 1＝C 1，∴平面AB 1D 1∥平面BDC 1. ∴两平面间的距离可转化为点C 1到平面AB 1D 1的距离d .∵C 1B 1→＝(a,0,0)，平面AB 1D 1的法向量为n ＝(1，－1,1)，∴d ＝|C 1B 1→·n ||n |＝|a |3＝33a . 随堂练习·巩固1．D 点A 1到平面MBD 的距离等于点A 到平面MBD 的距离，利用V M －ABD ＝V A －MBD 求解．2．A 如图，作AE ⊥α于点E ，由三垂线逆定理可得ED ⊥DC ，AC ＝42＋22＝25，AE ＝AC sin 60°.3．B4．154a 5． 3。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.5 距离素材1 新人教B版选修21
3.2.5 距 离课前导引问题导入已知ABCD 是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=a,AD=2a,P 是平面ABCD 外一点，PA⊥平面ABCD ，且PA=a ，求点A 到面PCD 的距离.思路分析：以、、分别为x 、y 、z 轴的非负半轴，建立空间直角坐标系A-xyz ，设AH⊥面PCD ，H 为垂足.=x +y +z =x(0,0,a)+y(0,2a,0)+x(a,a,0)=(za,2ay+az,xa),=(0,2a,0)-(a,a,0)=(-a,a,0)，P =(0,2a,0)-(0,0,a)=(0,2a,-a). 由⊥CD ，得（za,2ay+az,xa ）·（-a,a,0）=0,∴y=0. 由AH ⊥D P ，得（za,2ay+az,xa ）·（0，2a,-a ）=0,∴4y+2z -x=0.又x+y+z=1,得x=23,y=0,z=31. ∴=(31a,31a,32a), ||=a a a a 36)32()31()31(222=++, 故点A 到面PCD 的距离为36a. 知识预览1.求距离的一般步骤（1）________________________________________________________________________.(2)___________________________________________________________________________.（3）________________________________________________________________________. 答案：(1)找出或作出有关距离的图形(2)证明它们就是所求的距离(3)利用平面几何和解三角形的知识在平面内计算求解2.求点到直线的距离，经常应用___________作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解.也可以借助于_______________求出点到直线的距离.答案：三垂线定理面积相等3.求两条异面直线间距离，一般先找出其_____________，然后求其公垂线段的长.在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为____________求解（这种情形高考不作要求）.答案：公垂线线面距离4.求点到平面的距离，一般找出（或作出）_____________，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算.答案：过此点与已知平面垂直的平面。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用7b21b高二21数学
A.0
B.3
70 70
C.－3
70 70
D.
70 70
2.（2017·全国卷二）在正四棱锥 S-ABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱 SD 的中 点，且 SO＝OD，则直线 BC 与平面 PAC 的夹角是
(A )
A．30° B．45° C．60° D．75°
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三.课堂小结： 用空间向量(xiàngliàng)解决立体几何问题的“三步曲”。
解得 2 x y z , 2
∴可取 m ( 2,1, 1)
A
B
x
∴ MA 在 n 上的射影长 d MA n a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a .
n2
2
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[总结] 求点面距时，(一)可由点 P 向平面作垂线，找 出垂足 P′，转化为求线段长 PP′；(二)可用等积法求解； (三)设平面 α 的法向量为 n，平面 α 内已知点 A，则点 P 到平面 α 的距离 d＝|P→A|n·|n|；(四)可转化为线面距，利用过 已知点与已知平面平行的直线上任一点到平面距离都相等 求解．
（回到图形问题）
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四、作业布置(bùzhì)： 课本P121 第 2、6 题
选做题：已知四边形ABCD是边长为4的正方形， E、F分别是边AB、AD的中点，GC垂直于正方形 ABCD所在的平面(píngmiàn)，且GC＝2，求点B到平 面EFG的距离．
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(2)∵P→A＝(2,0，－2 3)，B→C＝(－2，－3,0)， ∴cos〈P→A，B→C〉
2×－2＋0×－3＋－2
＝
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在
3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量自我小测1．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，则直线A 1B 与平面BDE 所成的角为( )A.π6 B.π3 C.π2 D.5π62．已知ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，将△DAE 和△CBE 分别沿DE ，CE 折起，使AE 与BE 重合，A ，B 两点重合后记为点P ，那么二面角P CD E 的大小为( )A ．30° B．45° C．60° D．90°3．在三棱锥P ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝12PA ，点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A.216 B.833C.21060 D.210304．AB ⊥平面α于B ，BC 为AC 在α内的射影，CD 在α内，若∠ACD ＝60°，∠BCD ＝45°，则AC 和平面α所成的角为( )A ．90° B．60° C．45° D．30°5．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150° B．45° C．60° D．120°6．AB ∥α，AA ′⊥α， A ′是垂足，BB ′是α的一条斜线段，B ′为斜足，若AA ′＝9，BB ′＝63，则直线BB ′与平面α所成角的大小为__________．7．如图所示，将边长为a 的正三角形ABC 沿BC 边上的高线AD 将△ABC 折起，若折起后B ，C ′间距离为a2，则二面角B AD C ′的大小为__________．8．等腰直角△ABC 的斜边AB 在平面α内，若AC 与α成30°角，则斜边上的中线CM 与平面α所成的角为__________．9．如图所示，ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求SC 与平面ABCD 所成的角．10．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .(1)证明：PA ⊥BD ；(2)设PD ＝AD ，求二面角A PB C 的余弦值．11．正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的棱长等于2，E ，F 分别是B ′D ′，AC 的中点．求：(1)直线AB ′和平面ACD ′所成角的正弦值； (2)二面角B ′CD ′A 的余弦值．参考答案1．解析：以D 为原点建立空间直角坐标系，如图，可得平面BDE 的法向量n ＝(1，－1,2)，而BA 1→＝(0，－1,1)，∴cos 〈BA 1→，n 〉＝1＋223＝32，∴〈BA 1→，n 〉＝30°.∴直线A 1B 与平面BDE 成60°角． 答案：B 2．答案：A3．解析：以O 为原点，射线OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，设AB ＝a ，则OP ＝72a ，OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－24a ，0，144a ，可求得平面PBC 的法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，17， ∴cos 〈OD →，n 〉＝OD →·n |OD →||n |＝21030，设OD →与平面PBC 所成的角为θ， 则sin θ＝21030，故选D. 答案：D4．解析：设AC 和平面α所成的角为θ，则cos 60°＝cos θcos 45°，故cos θ＝22，所以θ＝45°.答案：C5．解析：由条件知，CA→·AB→＝0，AB→·BD→＝0，CD→＝CA→＋AB→＋BD→.∴|CD→|2＝|CA→|2＋|AB→|2＋|BD→|2＋2CA→·AB→＋2AB→·BD→＋2CA→·BD→＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈CA→，BD→〉＝(217)2，∴cos〈CA→，BD→〉＝－12，即〈CA→，BD→〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C.答案：C6．答案：60°7．答案：60°8．答案：45°9．解：AS→是平面ABCD的法向量，设CS→与AS→的夹角为φ.∵CS→＝CB→＋BA→＋AS→，∴AS→·CS→＝AS→·(CB→＋BA→＋AS→)＝AS→·AS→＝1.|AS→|＝1，|CS→|＝CB→＋BA→＋AS→2＝|CB→|2＋|BA→|2＋|AS→|2＝3，∴cos φ＝AS→·CS→|AS→|·|CS→|＝33.∴φ＝arccos33.从而CS与平面ABCD所成的角为π2－arccos33.10．(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝3AD. 从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD ， 所以BD ⊥平面PAD . 故PA ⊥BD .(2)解：如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，P (0,0,1)．AB →＝(－1，3，0)，PB →＝(0，3，－1)，BC →＝(－1,0,0)．设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，3y －z ＝0，因此可取n ＝(3，1，3)．设平面PBC 的法向量为m ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝0，m ·BC →＝0.可取m ＝(0，－1，－3)，cos 〈m ，n 〉＝－427＝－277.故二面角A PB C 的余弦值为－277.11．解：如图建立空间直角坐标系Dxyz ，∵正方体的棱长等于2，E ，F 分别是B ′D ′，AC 的中点，∴A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D ′(0,0,2)，B ′(2,2,2)，E (1,1,2)，F (1,1,0)． (1)AD ′→＝(－2,0,2)，AC →＝(－2,2,0)，AB ′→＝(0,2,2)， 设n ＝(x ′，y ′，z ′)是平面ACD ′的一个法向量，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD ′→＝0，n ·AC →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′，y ′，z －2，0，＝0，x ′，y ′，z－2，2，＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z ′＝x ′，y ′＝x ′，取x ′＝1，得平面ACD ′的一个法向量n ＝(1,1,1)， 设直线AB ′和平面ACD ′所成角的大小为θ， 则sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·AB ′→|n |·|AB′→|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪，1，，2，3×8＝63， ∴直线AB ′和平面ACD ′所成角的正弦值是63. (2)D ′B ′→＝(2,2,0)，D ′C →＝(0,2，－2)， 设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面B ′CD ′的一个法向量， 则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·D ′B ′→＝0，m ·D ′C →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－y 0，z 0＝y 0，取y 0＝1得平面B ′CD ′的一个法向量m ＝(－1,1,1)，由cos θ＝n·m|n|·|m|＝，1，－1，1，3×3＝13， 故二面角B ′CD ′A 的余弦值是13.。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.5 距离(选学)自
3.2.5 距离自我小测1．已知A ，B 两点到平面α的距离分别为1和2，线段AB 在α内的射影线段长为3，则直线AB 与平面α的夹角为( )A.π6 B.π3C.π6或π3D.π4或π32．在直角坐标系中，A (－2,3)，B (3，－2)，沿x 轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB 的长度为( )A. 2 B ．211 C ．3 2 D ．4 23．在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点M 到平面BDD 1B 1的距离是( )A ．a B.a 2 C.22a D.32a4．如图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长都是2，E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 的长是( )A ．2 B. 3 C. 5 D.75．在三棱锥P ABC 中，侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则点P 到平面ABC 的距离等于__________．6．如图，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为__________．7．如图所示，在直平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，BD ⊥DC ，BD ＝DC ＝1，点E 在AA 1上 ，且AE ＝14AA 1＝12.DC 1⊥BE ，则点B 到平面EDC 1的距离为__________．8．在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝BB1＝1，直线B1C与平面ABC所成的角为30°.试求点C1到平面AB1C的距离．9．如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．(1)证明：DE∥平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离．参考答案1．解析：按照A ，B 两点在平面α的同侧和异侧分别讨论． 答案：C2．解析：过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为A ′，B ′，则|AA ′→|＝3，|BB ′→|＝2，|A ′B ′→|＝5，又AB →＝AA ′→＋A ′B ′→＋B ′B →，∴|AB →|2＝32＋52＋22＋2×3×2×12＝44，∴|AB →|＝211，故选B. 答案：B3．解析：方法一：由线面关系知AA 1∥平面BDD 1B 1， ∴只需求B 点到平面BDD 1B 1的距离， 而AC ⊥平面BDD 1B 1， ∴d ＝22a . 方法二：建立以D 为坐标原点的空间直角坐标系，DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2，n ＝(－1,1,0)，∴d ＝|DM →·n ||n |＝a 2＝22a .答案：C4．解析：方法一：建立如图所示直角坐标系，则A 1(0，－1,2)，C 1(0,1,2)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，F (0,0,2)． 则EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，2，|EF →|＝34＋14＋4＝ 5. 方法二：设AC 中点为G ，连GE ，GF ，在Rt △FGE 中，|EF |2＝|FG |2＋|GE |2＝4＋1＝5，∴EF ＝ 5.答案：C5．解析：利用V A PBC ＝V P ABC 可求得点P 到平面ABC 的距离为233.答案：2336．解析：VB 1ABC 1＝VA BB 1C 1，VA BB 1C 1＝1311BB C S×32AB ＝312， ∴VB 1ABC 1＝1311AB C S·h ，1ABC S＝12AB ·172＝174，∴h ＝217. 答案：2177．解析：建立如图所示的坐标系，则D (0,0,0)，A (1，－1,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，C 1(0,1,2)，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，12，∴DC 1→＝(0,1,2)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，12.设平面EDC 1的法向量为n ＝(x ，y,1)，∴⎩⎨⎧DE →·n ＝x －y ＋12＝0，DC 1→·n ＝y ＋2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－52，y ＝－2.∴n 可取为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－2，1，∴点B 到平面EDC 1的距离为d ＝|n ·DB →||n |＝52325＝53.答案：538．解：建立如图所示的空间直角坐标系，在Rt △B 1BC 中，BB 1＝1，∠B 1CB ＝30°， ∴BC ＝3，B 1C ＝2，∴A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0，2，0)，A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)，C 1(0，2，1)， 设n ＝(x ，y ，z )是由C 1向平面AB 1C 所作垂线上的方向单位向量，则n ⊥AB 1→，且n ⊥AC →.即⎩⎨⎧x ×1＋y ×0＋z ×1＝0，x ×0＋y ×2＋z ×0＝0，x 2＋y 2＋z 2＝1，解得n ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，0，－22(另一种情况舍去)，∴B 1C 1→·n ＝(－1，2，0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，－22＝－22，则d ＝|B 1C 1→·n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－22＝22为所求的距离．9．(1)证明：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则P (0,0,2)，F (1,0,0)，B (2,2,0)，E (0,1,1)，FP →＝(－1,0,2)，FB →＝(1,2,0)，DE →＝(0,1,1)，∴DE →＝12FP →＋12FB →，∴DE →∥平面PFB .又∵DE ⊄平面PFB ，∴DE ∥平面PFB . (2)解：∵DE ∥平面PFB ，∴E 到平面PFB 的距离等于D 到平面PFB 的距离． 设平面PFB 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FB →＝0，n ·FP →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，－x ＋2z ＝0，令x ＝2，得y ＝－1，z ＝1. ∴n ＝(2，－1,1)，FD →＝(－1,0,0)，∴D 到平面PFB 的距离为d ＝|FD →·n ||n |＝26＝63，即点E 到平面PFB 的距离为63.。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.13.2.2 自我
3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示自我小测1．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝( )A ．2B ．－4C ．4D ．－22．若直线l 的方向向量为a ＝(－1,0，－2)，平面α的法向量为u ＝(4,0,8)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥αC ．l αD ．l 与α斜交3．已知向量a ＝(2,3,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝92，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝92，y ＝1524．若异面直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(0，－2，－1)，b ＝(2,0,4)，则异面直线l 1与l 2的夹角的余弦值等于( )A ．－25 B.25 C ．－255 D.2555．已知平面α过点A (1，－1,2)，其法向量n ＝(2，－1,2)，则下列点在α内的是( ) A ．(2,3,3) B ．(3，－3,4)C ．(－1,1,0)D ．(－2,0,1)6．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，则( ) A ．平面AED ∥平面A 1FD 1 B ．平面AED ⊥平面A 1FD 1C ．平面AED 与平面A 1FD 相交但不垂直 D ．以上都不对7．已知A ，B ，P 三点共线，则对空间任一点O ，OP →＝αOA →＋βOB →，那么α＋β＝__________.8．已知直线l 的方向向量v ＝(2，－1,3)，且过A (0，y,3)和B (－1,2，z )两点，则y ＝__________，z ＝__________.9．已知如图所示的正四棱锥，在向量PA →－PB →＋PC →－PD →，PA →＋PC →，PB →＋PD →，PA →＋PB →＋PC →＋PD →中，不能作为底面ABCD 的法向量的向量是__________．10．已知三棱锥O ABC 中，OA ＝OB ＝1，OC ＝2，OA ，OB ，OC 两两垂直，试找出一点D ，使BD ∥AC ，DC ∥AB .11．如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值； (2)求证：BN ⊥平面C 1MN .12．如图所示，ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ，M ，N ，Q 分别是PC ，AB ，CD 的中点，求证：(1)MN ∥平面PAD ； (2)平面QMN ∥平面PAD ； (3)MN ⊥平面PCD .参考答案1．解析：∵α∥β，∴1－2＝2－4＝－2k ，∴k ＝4. 答案：C2．解析：∵u ＝－4a ，∴u∥a ，∴a ⊥α，∴l ⊥α. 答案：B3．解析：∵l 1∥l 2，∴a∥b ，∴32＝x 3＝y5，∴x ＝92，y ＝152.答案：D4．解析：a·b ＝－4，|a |＝5，|b |＝25， cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a·b |a||b|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－410＝25.答案：B5．解析：设M (x ，y ，z )为平面内一点，则AM →·n ＝0， 即2(x －1)－(y ＋1)＋2(z －2)＝0. 又因为A 项中坐标满足上式，故选A. 答案：A6．解析：以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设平面AED 的法向量为n 1，平面A 1FD 1的法向量为n 2.可得n 1·n 2＝0，∴n 1⊥n 2，∴平面AED ⊥平面A 1FD 1. 答案：B 7．答案：18．解析：因为AB →＝(－1,2－y ，z －3)，AB →∥v ， 故－12＝2－y －1＝z －33， 故y ＝32，z ＝32.答案：32 329．解析：因为PA →－PB →＋PC →－PD →＝BA →＋DC →＝0，不能作为这个平面的法向量，对其他三个化简后可知均与PO →共线．而PO ⊥平面ABCD ，它们可作为这个平面的法向量．答案：PA →－PB →＋PC →－PD →10．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)，设所求点D (x ，y ，z )．由BD ∥AC ，DC ∥AB ⇒BD →∥AC →，DC →∥AB →，因此⎩⎪⎨⎪⎧x ，y －1，z ＝k 1－1，0，2，－x ，－y ，2－z ＝k 2－1，1，0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝2.即D 点的坐标为(－1,1,2)．11．解：以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系Oxyz .(1)依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B (0,1,0)，B 1(0,1,2)， ∴BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)，∴BA 1→·CB 1→＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5， ∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→|·|CB 1→|＝3010.(2)证明：依题意得C 1(0,0,2)，N (1,0,1)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，2， ∴C 1M →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1N →＝(1,0，－1)，BN →＝(1，－1,1)，∴C 1M →·BN →＝12×1＋12×(－1)＋1×0＝0，C 1N →·BN →＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0， ∴C 1M →⊥BN →，C 1N →⊥BN →， ∴BN ⊥C 1M ，BN ⊥C 1N ， ∴BN ⊥平面C 1MN .12．证明：(1)如图，以A 为原点，以AB ，AD ，AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设B (b,0,0)，D (0，d,0)，P (0,0，d )，则C (b ，d,0)． ∵M ，N ，Q 分别是PC ，AB ，CD 的中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，d 2，d 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，d ，0， ∴MN →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－d 2，－d 2.∵平面PAD 的一个法向量为m ＝(1,0,0)， ∴MN →·m ＝0，即MN →⊥m . 又∵MN 不在平面PAD 内， ∴MN ∥平面PAD .(2)QN →＝(0，－d,0)，QN →⊥m ， 又QN 不在平面PAD 内，∴QN ∥平面PAD . 又∵MN ∩QN ＝N ， ∴平面MNQ ∥平面PAD .(3)PD →＝(0，d ，－d )，DC →＝(b,0,0)， ∴MN →·PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－d 2d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－d 2(－d )＝0，MN →·DC →＝0，∴MN →⊥PD →，MN →⊥DC →， ∴MN ⊥PD ，MN ⊥DC . 又PD ∩DC ＝D ， ∴MN ⊥平面PCD .。
高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示课后训练1．设O (0,0,0)，M (5，－1,2)，A (4,2，－1)，若OM u u u u r ＝AB u u u r ，则点B 的坐标为( )A ．(－1,3，－3)B ．(9,1,1)C ．(1，－3,3)D ．(－9，－1，－1)2．设l 1的方向向量为a ＝(2,4,5)，l 2的方向向量为b ＝(3，x,3y )，若l 1∥l 2，则x ，y 的值分别是( )A ．6,15B ．6，52C ．3,15D ．3，52 3．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．14．已知直线l 的方向向量为v ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－4,5,2)，则l 与α的关系是( )A ．l ⊥αB ．l ∥αC ．l αD ．l ∥α或l α5．已知平面α过点A (1，－1,2)，法向量有n ＝(2，－1,2)，则下列点在α内的是( )A ．(2,3,3)B ．(3，－3,4)C ．(－1,1,0)D ．(－2,0,1)6．已知A ，B ，P 三点共线，则对空间任一点O ，OP uuu r ＝αOA u u u r ＋βOB uuu r ，那么α＋β＝__________.7．已知直线l 的方向向量v ＝(2，－1,3)，且过A (0，y,3)和B (－1,2，z )两点，则y ＝__________，z ＝__________.8．直角三角形ABC 的斜边BC 在平面α内，顶点A 在平面α外，则三角形ABC 的两条直角边在平面α内的射影与斜边所成的图形可能是__________．9．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点M ，N 分别是棱BB ′与对角线CA ′的中点，求证：MN ⊥BB ′；MN ⊥A ′C .10．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB 和BC 的中点，试在棱B 1B 上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.参考答案1. 答案：B 由OM u u u u r ＝AB u u u r 得(5，－1,2)＝(x －4，y －2，z ＋1)，可得点B (9,1,1)．2. 答案：B a ∥b 24533x y ⇔==，故x ，y 的值分别是6，52. 3. 答案：A ∵|a |＝22224=6x ++，∴x ＝±4.又∵a ·b ＝2×2＋4×y ＋2×x ＝0，∴y ＝－1±2，∴x ＋y ＝－3或1.4. 答案：D 因为v ·u ＝0，所以l ∥α或l α.5. 答案：A 设M (x ，y ，z )为平面内一点，∴AM u u u u r ·n ＝0，即2(x －1)－(y ＋1)＋2(z －2)＝0.又∵A 项中坐标满足上式，∴选A.6. 答案：17. 答案：32 32 因为AB u u u r ＝(－1,2－y ，z －3)，AB u u u r ∥v ，故123213y z ---==-，故32y =，32z =. 8. 答案：一条线段或一个钝角三角形9. 答案：证明：不妨设已知正方体的棱长为1，以A 为坐标原点，AB u u u r ，AD u u u r ，AA u u u r ′的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz .由已知条件得M 11,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，B (1,0,0)，C (1,1,0)，A ′(0,0,1)，111,,222N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ′(1,0,1)．所以MN u u u u r ＝11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭，A'C u u u u r ＝(1,1，－1)，BB 'u u u r ＝(0,0,1)．因为MN u u u u r ·A'C u u u u r ＝0，所以MN ⊥A ′C .又MN u u u u r ·BB u u u r ′＝0，所以MN ⊥BB ′.10. 答案：解：以D 为坐标原点，DA u u u r ，DC u u u r ，1DD u u u u r 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz ，则A (1,0,0)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，11,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点M (1,1，m )，则EF u u u r ＝11,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭，1B E u u u r ＝10,,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1D M u u u u u r＝(1,1，m －1)．∵D 1M ⊥平面EFB 1，∴D 1M ⊥EF u u u r 且1B E u u u r ⊥1D M u u u u u r ， ∴1D M u u u u u r ·EF u u u r ＝0，1D M u u u u u r ·1B E u u u r＝0， ∴11100,2211010,2m m ⎧-++(-)⋅=⎪⎪⎨⎪⨯-+-=⎪⎩ ∴12m =.故取B 1B 的中点M ，能满足D 1M ⊥平面EFB 1.。
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.2 平面的法向量
1．平面的法向量的概念 如果一个向量 n 的基线与平面 α 垂直，则向量 n 叫做 _平__面___α_的__法__向__量_________，或说向量 n 与平面 α 正交． 2．平面向量的表示式 A 是空间任一点，n 为空间内任一非零向量，则__A_→M__·_n_＝__0__表 示通过空间内一点 A 并且与一个向量 n垂直的平面．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体
利用法向量证明垂直或平行问题 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别是 BB1、CD 的 中点，求证：平面 AED⊥平面 A1FD1.
【证明】 如图，建立空间直角坐标系 Dxyz. 设正方体棱长为 1， 则 E1，1，12、D1(0，0，1)、F0，12，0， A(1，0，0)，A1(1，0，1)． 所以D→A＝(1，0，0)，D→E＝1，1，12， D→1F＝0，12，－1，D→1A1＝(1，0，0)．
3．斜线 b 在平面 α 内的射影为 c 且直线 a⊥c，则 a 与 b________ 垂直. (填“一定”或“不一定”) 解析：因为 a 不一定在平面 α 内，所以 a 与 b 不一定垂直． 答案：不一定
求平面的法向量 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥ 平面 ABCD，E 为 PD 的中点，AB＝AP＝1，AD＝ 3，试建立 恰当的空间直角坐标系，求平面 ACE 的一个法向量．
4．斜线的相关概念 如果一条直线 AB 和平面 α 相交于点 B，但不和 α 垂直，那么 直线 AB 叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点 B 叫做斜足， 斜线上一点 A 与斜足 B 之间的线段叫做斜线段 AB. 5．三垂线定理及其逆定理 如果在_平__面___内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的 _射__影___垂直，则它也和这条_斜__线___垂直；反之，如果平面内的 一条直线和这个平面的一条_斜__线___垂直，则它也和这条斜线在 平面内的_射__影___垂直．
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3.2.5 距 离
课前导引
问题导入
已知ABCD 是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=a,AD=2a,P 是平面ABCD 外一点，PA⊥平面ABCD ，且PA=a ，求点A 到面PCD 的距离.
思路分析：以、、分别为x 、y 、z 轴的非负半轴，建立空间直角坐标系A-xyz ，设AH⊥面PCD ，H 为垂足.
AH =x AP +y AD +z AC =x(0,0,a)+y(0,2a,0)+x(a,a,0)=(za,2ay+az,xa),
=(0,2a,0)-(a,a,0)=(-a,a,0)，
P =(0,2a,0)-(0,0,a)=(0,2a,-a). 由⊥，得（za,2ay+az,xa ）·（-a,a,0）=0,∴y=0. 由AH ⊥D P ，得
（za,2ay+az,xa ）·（0，2a,-a ）=0,
∴4y+2z -x=0.
又x+y+z=1,得x=23,y=0,z=
31. ∴=(31a,31a,3
2a), ||=a a a a 3
6)32
()31
()31
(222=++, 故点A 到面PCD 的距离为3
6a. 知识预览
1.求距离的一般步骤
（1）________________________________________________________________________.
(2)___________________________________________________________________________.
（3）________________________________________________________________________. 答案：(1)找出或作出有关距离的图形
(2)证明它们就是所求的距离
(3)利用平面几何和解三角形的知识在平面内计算求解
2.求点到直线的距离，经常应用___________作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解.也可以借助于_______________求出点到直线的距离.
答案：三垂线定理面积相等
3.求两条异面直线间距离，一般先找出其_____________，然后求其公垂线段的长.在不能直接作出公垂线的情况下，可转化为____________求解（这种情形高考不作要求）.
答案：公垂线线面距离
4.求点到平面的距离，一般找出（或作出）_____________，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算.
答案：过此点与已知平面垂直的平面。