江苏省兴化中学高二数学期中考试
2022-2023学年江苏省泰州市兴化市高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年江苏省泰州市兴化市高二上学期期中数学试题一、单选题1．设直线123:210,:30,:30l x y l x y l x +-=-=-=的倾斜角分别为,,αβγ，则（ ） A ．αβγ<< B ．βαγ<< C ．αγβ<< D ．βγα<<【答案】D【分析】首先根据直线方程分别求解每条直线斜率，然后根据斜率判断倾斜角的范围，根据范围比较大小即可.【详解】1:210l x y +-=，12k ∴=-，即tan 20α=-<，,2παπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭；2:30l x y -=，213k ∴=，即1tan 03β=>，0,2πβ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭；3:30l x -=为垂直于x 轴的直线，2πγ∴=.综上所述可得：βγα<<. 故选：D 2．抛物线214x y =的焦点到准线的距离是（ ） A ．18B ．14C ．1D ．2【答案】A【分析】根据抛物线方程确定焦准距p 的值，即得答案.【详解】因为抛物线方程为214x y =，故焦准距18p =， 即焦点到准线的距离是18，故选：A.3．过点()0,0A 、()2,2B 且圆心在直线24y x =-上的圆的标准方程为（ ） A ．()2224x y -+= B ．()2224x y ++= C ．()()22448x y -+-= D ．()()22448x y ++-=【答案】A【解析】设圆心的坐标为(),24a a -，根据圆心到点A 、B 的距离相等可得出关于实数a 的等式，求出a 的值，可得出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出所求圆的标准方程.【详解】设圆心为(),24C a a -，由AC BC =整理可得20a -=，解得2a =，所以圆心()2,0C ，所求圆的半径为2AC =，因此，所求圆的标准方程为()2224x y -+=.故选：A.【点睛】方法点睛：求圆的方程常见的思路与方法如下：（1）求圆的轨迹方程，直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于x 、y 的方程即可； （2）根据几何意义直接求出圆心坐标和半径，即可写出圆的标准方程；（3）待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般方程，再根据所给条件求出参数即可. 4．若圆C 的方程为22924405x y mx y m ⎛⎫++++-= ⎪⎝⎭，则圆C 的最小周长为（ ）A ．36π5B C D 【答案】D【分析】根据圆的方程求出圆的半径的最小值，即可求得答案. 【详解】因为圆C 的方程为22924405x y mx y m ⎛⎫++++-= ⎪⎝⎭，故2293636(2)164(4)4(2)555m m m +--=-+≥，2m =时取等号，故圆的半径的最小值为12=，则圆C 的最小周长为2π=， 故选：D.5．已知点F 为双曲线22:(0)C x my m m -=>的一个焦点，则点F 到双曲线C 一条渐近线的距离为（ ）A B ．1 C D 【答案】B【分析】首先根据题意得到a =1b =，c =x 轴，再根据点到直线的距离求解即可。
高二数学期中考试试卷
高二数学期中考试试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(1)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知向量a=(3,-1)，向量b=(2,1)，则向量a与向量b的点积为：A. 4B. 3C. 2D. 13. 若方程x^2-6x+8=0的两个根为x1和x2，则x1+x2的值为：A. 4B. 6C. 8D. 104. 函数y=2^x的反函数为：A. y=log2xB. y=2^(1/x)C. y=1/(2^x)D. y=2^(-x)5. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a^2+b^2=c^2，该三角形为：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形6. 若函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)的值为：A. 3x^2-3B. x^2-3xC. 3x^2-3x+1D. x^3-3x^2+17. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 48. 若直线l的方程为y=2x+1，则该直线的斜率为：A. 1B. 2C. 3D. 49. 函数y=sin(x)的周期为：A. πB. 2πC. 3πD. 4π10. 已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则a3的值为：A. 6B. 18C. 54D. 162二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知数列{an}的通项公式为an=2n-1，则a5的值为______。
12. 若函数f(x)=x^2-6x+8，则f(x)的最小值为______。
13. 已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-1)，则向量a与向量b的叉积为______。
14. 函数y=x^2+2x+1的顶点坐标为______。
15. 已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点在x轴上，则a和b的关系为______。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的导数f'(x)，并求出f'(x)=0的解。
江苏2022学年高二数学上学期中测试卷(含答案解析)
江苏地区2021~2022学年高二上期中测试数学卷测试时间：120分钟满分：150分一、单选题1.设x∈R，则“ x2−5x<0”是“ |x−1|<1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由|x−1|<1得，0<x<2由x2−5x<0得0<x<5由“小范围”推出“大范围”得出0<x<2可推出0<x<5故“ 0<x<5”是“ |x−1|<1”的必要而不充分条件.故答案为：B【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义，再由“小范围”推出“大范围”判断即可.2.不等式2x+1<1的解集是（）．A．(−∞,−1)B．(1,+∞)C．(−∞,−1)∪(1,+∞)D．(−1,1)【答案】C【考点】其他不等式的解法【解析】由题意，不等式2x+1<1，可化为2x+1−1=1−xx+1<0，即x−1x+1>0，解得x<−1或x>1，即不等式2x+1<1的解集是(−∞,−1)∪(1,+∞).故答案为：C．【分析】化简不等式为x−1x+1>0，结合分式不等式的解法，即可求解.3.已知数列{a n}中，a1=2，a n=1−1a n−1(n≥2)，则a2021等于（）A． -1B．−12C．12D．2【答案】C【考点】数列递推式【解析】因为a1=2，所以a2=1−1a1=12,a3=1−1a2=−1,a4=1−1a3=2,......所以a n+3=1−1a n+2=1−11−1a n+1=1−11−11−1an=1−11−a na n−1=1−a n−1−1=a n，所以{a n}是周期为3的周期数列，所以a2021=a3×673+2=a2=12，故答案为：C．【分析】先计算出{a n}的前几项，然后分析{a n}的周期性，根据周期可将a2021=a3×673+2= a2，结合a1=2求解出结果.4.已知a>b>c，ac>0，则下列关系式一定成立的是（）A．c2>bc B．bc(a−c)>0C．a+b>c D．a2>b2【答案】B【考点】不等式的基本性质【解析】ac>0，∴a,c同号，又a>b>c，从而a,b,c同号，所以bc>0，而a−c> 0，所以bc(a−c)>0，B符合题意．c>0时，A不符合题意，a<0时，C,D都错．故答案为：B．【分析】根据不等式性质求解．5.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？A．6斤B．7斤C．9斤D．15斤【答案】D【考点】等差数列的前n项和【解析】因为每一尺的重量构成等差数列{a n}，a1=4，a5=2，∴a1+a5=6，数列的前5项和为S5=5×a1+a52=5×3=15．即金锤共重15斤，故答案为：D．【分析】直接利用等差数列的求和公式求解即可.6.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=2，a5=2a4+3a3，则a6=（）A．2B．54C．162D．243【答案】C【考点】等比数列的通项公式【解析】设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，由题意可得{a1q=2a1q4=2a1q3+3a1q2，解得q=3，∴a6=a2q4=162.故答案为：C【分析】由题意可得{a1q=2a1q4=2a1q3+3a1q2，解可得q的值，结合等比数列的通项公式分析可得答案.7.已知等差数列{a n}的公差为d，关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9]，则使数列{a n}的前n项和S n取得最大值的正整数n的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】∵关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9]，∴0，9分别是一元二次方程dx2+2a1x=0的两个实数根，且d<0．∴−2a1d=9，可得：2a1+9d=0，∴a1=−9d2．∴a n=a1+(n−1)d=(n−11d2)，可得：a5=−d2>0，a6=d2<0．∴使数列{a n}的前n项和S n最大的正整数的值是5．故答案为：B．【分析】关于x的不等式dx2+2a1x≥0的解集为[0,9],可得:0，9分别是一元二次方程dx2+2a1x=0的两个实数根，且d<0，可得−2a1d =9，a1=−9d2，于是a n=a1+(n−1)d=(n−11d2)即可判断出结论.8.设S n是数列{a n}的前n项和，满足a n2+1=2a n S n，且a n>0，则S100=（）A．10B．3√11C．10−3√11D．11【答案】A【考点】数列递推式【解析】∵a n2+1=2a n S n∴a12+1=2a1S1∴a12=1∵a n>0∴a1=1∵a n2+1=2a n S n∴(S n−S n−1)2+1=2(S n−S n−1)S n,(n≥2)∴S n2−S n−12=1,(n≥2)因此数列{S n2}为等差数列，首项为1，公差为1，即S n2=1+(n−1)⋅1=n∵a n>0∴S n>0∴S n=√n∴S100=10故答案为：A【分析】首先求出数列的首项，进一步利用数列的递推关系式的应用整理出S n2−S n−12= 1,(n≥2)(常数),最后求出数列的通项公式，进一步确定结果.二、多选题9..关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(−∞,−2)∪(3,+∞)，则下列正确的是（）A．a<0B．关于x的不等式bx+c>0的解集为(−∞,−6)C．a+b+c>0D ． 关于x 的不等式 cx 2−bx +a >0 的解集为 (−∞,−13)∪(12,+∞)【答案】 A,C,D【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】【解答】A ．由已知可得 a <0 且 −2,3 是方程 ax 2+bx +c =0 的两根，A 符合题意，B ．由根与系数的关系可得： {−2+3=−ba −2×3=c a，解得 b =−a,c =−6a ，则不等式 bx +c >0 可化为： −ax −6a >0 ，即 x +6>0 ，所以 x >−6 ，B 不符合题意，C ．因为 a +b +c =a −a −6a =−6a >0 ，C 符合题意，D ．不等式 cx 2−bx +a >0 可化为： −6ax 2+ax +a >0 ，即 6x 2−x −1>0 ，解得 x >12 或 x <−13 ，D 符合题意， 故答案为：ACD ．【分析】 先由已知可得a <0且b =−a,c =−6a ，然后代入各个选项验证是否正确即可得出答案.10.当 x ≥1 时，下列函数的最小值为4的有（ ） A ． y =4x +1x B ． y =4x 2−4x+52x−1C ． y =x 2+5√x 2+1D ． y =5x −1x【答案】 B,C,D 【考点】平均值不等式【解析】【解答】A ．根据对勾函数的单调性可知： y =4x +1x 在 [1,+∞) 上单调递增，所以函数最小值为： 4×1+11=5 ，故不符合；B ． y =4x 2−4x+52x−1=(2x−1)2+42x−1=(2x −1)+42x−1≥2√(2x −1)⋅42x−1=4 ，取等号时 {2x −1=42x−1x ≥1，即 x =32，所以函数的最小值为4，故符合； C ． y =2√x 2+1=2√x 2+1=√x 2+1+√x 2+1≥2√√x 2+1⋅√x 2+14 ，取等号时 {√x 2+1=√x 2+1x ≥1，即 x =√3 ，所以函数的最小值为4，故符合； D ． y =5x −1x 在 [1,+∞) 为单调递增函数，所以函数的最小值为 5×1−1×1=4 ，故符合；故答案为：BCD ．【分析】 直接利用不等式的性质和均值不等式的应用和函数的单调性判断A 、B 、C 、D 的结论.11.设首项为1的数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=2S n+n−1，则下列结论正确的是（）A．数列{S n+n}为等比数列B．数列{a n}的通项公式为a n=2n−1−1 C．数列{a n+1}为等比数列D．数列{2S n}的前n项和为2n+2−n2−n−4【答案】A,D【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和，等比关系的确定【解析】因为S n+1=2S n+n−1，所以S n+1+n+1S n+n =2S n+2nS n+n=2．又S1+1=2，所以数列{S n+n}是首项为2，公比为2的等比数列，A符合题意；所以S n+n=2n，则S n=2n−n．当n≥2时，a n=S n−S n−1=2n−1−1，但a1≠21−1−1，B不符合题意；由a1=1,a2=1,a3=3可得a1+1=2,a2+1=2,a3+1=4，即a3+1a2+1≠a2+1a1+1，C不符合题意；因为2S n=2n+1−2n，所以2S1+2S2+...+2S n=22−2×1+23−2×2+...+2n+1−2n=22+23+...+2n+1−2(1+2+...+n)=4(1−2n)1−2−2[n+n(n−1)2]=2n+2−n2−n−4所以数列{2S n}的前n项和为2n+2−n2−n−4，D符合题意．故答案为：AD．【分析】首先由上来的递推公式代入数值即可得出数列数列{S n+n}是等比数列，结合等比数列的通项公式即可得出数列{a n}的前n项和公式，再由数列前n项和公式与项之间的关系即可得出数列{a n}的通项公式，由数列的通项公式即可得出该数列为等比数列，借助等比数列的前n项和公式整理即可得出数列{2S n}的前n项和公式；由此对选项逐一判断即可得出答案.12.已知{a n}为等比数列，下列结论正确的是（）A．若a3=−2，则a22+a42≥8B．a32+a52≥2a42C．若a3=a5，则a1=a2D．若a5>a3，则a7>a5【答案】A,B,D【考点】基本不等式，等比数列的性质【解析】【解答】A．因为a22+a42≥2a2a4=2a32=8，取等号时a2=a4=±2，故正确；B．因为a32+a52≥2a3a5=2a42，取等号时a3=a5，故正确；C．设等比数列的公比为q，因为a3=a5，所以q2=a5a3=1，所以q=±1，当q=−1时，a1=−a2，故错误；D．设等比数列的公比为q，因为a5>a3且q2>0，所以a5⋅q2>a3⋅q2，所以a7> a5，故正确；故答案为：ABD．【分析】对于A,利用基本不等式及等比数列的性质即可判断得解；对于B,利用基本不等式及等比数列的性质即可判断得解；对于C,由a3=a5，得q=±1，当q=−1时，a1=−a2可判断C；由a5>a3且q2>0，所以a5⋅q2>a3⋅q2，所以a7>a5，即可判断D.三、填空题13..命题“ ∃x>0，x3+x<0”的否定为1．【答案】∀x>0，x3+x≥0【考点】命题的否定【解析】【解答】解：命题“ ∃x>0，x3+x<0”的否定为“ ∀x>0，x3+x≥0” 故答案为：∀x>0，x3+x≥0．【分析】特称命题的否定是全称命题，直接写出结果即可.14..已知实数x，y满足y>32且6xy−9x+2y−4=0，则3x+y的最小值是1.【答案】2√2+12【考点】基本不等式【解析】由6xy−9x+2y−4=0，可得y=9x+46x+2，∵y>32，∴9x+46x+2>32，解不等式可得，x>−13，则3x+y=3x+9x+46x+2=3x+3(3x+1)+12(3x+1)=3x+12(3x+1)+32，=3x+1+12(3x+1)+12⩾2√12+12=√2+12，当且仅当3x+1=12(3x+1)即x=√2−26时上式取等号，∴3x+y的最小值是√2+12，故答案为√2+12．【分析】由6xy-9x+2y-4=0，化为y=9x+46x+2，根据y>32求出x的取值范围，把3x+y化为只含有x的式子，根据x的取值范围求出3x+y的最小值.15..数列 {a n } 满足 a 1+2a 2+22a 3+⋅⋅⋅+2n−1a n =12n 2−72n ，若对任意 λ>0 ，所有的正整数n 都有 λ2−kλ+2>a n 成立，则实数k 的取值范围是 1 ． 【答案】 (−∞,√312)【考点】基本不等式，数列的函数特性【解析】【解答】记 b n =2n−1a n ，设 S n =a 1+2a 2+222a 3+⋅⋅⋅+2n−1a n =12n 2−72n ， 当 n =1 时， b 1=12−72=−3 ；当 n ≥2 时， b n =S n −S n−1=12n 2−72n −[12(n −1)2−72(n −1)]=n −4 ． 当 n =1 时， b 1=−3 也满足上式，所以 b n =n −4(n ∈N *) ，即 a n =n−42n−1 ． 显然当 n ≤3 时， a n <0 ， a 4=0 ，当 n ≥5 时， a n >0 ，因此 a n 的最大值若存在，必为正值． 当 n ≥5 时，a n+1a n=n−32(n−4) ，因为a n+1a n−1=5−n 2(n−4)≤0 ，当且仅当 n =5 时取等号．所以 a n 的最大值为 116．故 λ2−kλ+2>(a n )max =116，变形得， k <λ+3116λ，而 λ+3116λ≥2√3116=√312，当且仅当 λ=√314时取等号，所以 k <√312．故答案为： (−∞,√312) ．【分析】 先由题设求得a n ,然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意λ> 0，所有的正整数n 都有λ2−kλ+2>a n 成立转化为k <λ+3116λ， 对任意λ> 0恒成立，再利用基本不等式求得λ+3116λ的最小值，即可得到答案.16.已知数列 {a n } 满足： a n ={12,(n =1)[1+2⋅(−1)λ]a n−1+2(n ≥2) ， {a n } 的前 n 项和为 S n ，则当 λ=1 时， S 11= ________；当 λ=2 时，数列 {a n } 的通项公式为 a n = ________. 【答案】212；a n =3n 2−1【考点】数列的函数特性，数列的求和【解析】【解答】当 λ=1 时， a n =−a n−1+2 ，即 a n +a n−1=2 ，所以 S 11=(a 11+a 10)+(a 9+a 8)+(a 7+a 6)+(a 5+a 4)+(a 3+a 2)+a 1=2×5+12=212，λ=2 时， a n =3a n−1+2 ， 所以有 a n +1=3(a n−1+1) ，所以{a n+1}是以a1+1=32为首项，以3为公比的等比数列，所以a n+1=32⋅3n−1，所以a n=3n2−1，故答案为：①212；②a n=3n2−1.【分析】根据题意分情况讨论；当λ=1时，由数列的通项公式整理即可得出a n+a n−1=2结合已知计算出结果即可；当λ=2时，整理数列的通项公式即可得出a n+1=3(a n−1+1)进而得出数列{a n+1}为等比数列，由等比数列的通项公式即可求出a n+1=32⋅3n−1整理即可得到a n=3n2−1，从而得出答案.四、解答题17.已知关于x的不等式ax2−2x+a<0的解集为空集，函数f(x)=x+22x+1+m在x∈(−12,+∞)上的值域为B．（1）.求实数a的取值集合A及函数f(x)的值域B；（2）.对（1）中的集合A，B，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）1°若a=0，则−2x<0不符合；2°若a>0，则Δ=4−4a2≤0，则a≤−1或a≥1，∴a≥1；3°若a<0不成立；综上，a≥1，∴A=[1,+∞)．令t=2x+1∈(0,+∞)，则x=t−12．∴g(t)=t−12+2t+m=t2+2t+m−12≥2√t2⋅2t+m−12．当且仅当t2=4即t=2时等号成立，此时g(t)min=32+m．∴B=[32+m,+∞)．（2）∵x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴B是A的真子集，则32+m>1，解得m>−12．【考点】集合关系中的参数取值问题，基本不等式【解析】【分析】(1)通过讨论a的范围,求出集合A,根据函数的单调性求出B即可;(2)求出B是A的真子集,得到关于m的不等式，求出m的范围即可.18.已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=12，且2a1,a2,a3+1成等比数列.（1）.求{a n}的通项公式；（2）.设b n=a n3n，记数列{b n}的前n项和为T n，求T n【答案】（1）设公差为d，则∵S3=12，，即a1+a2+a3=12，∴3a2=12，∴a2=4，又∵2a 1 ， a 2 ， a 3+1成等比数列，∴a 22=2（a 2-d ）（a 2+d+1），解得d=3或d=-4（舍去）， ∴a n =a 2+（n -2）d=3n -2 （2）b n =a n 3n =3n−23n，∴ T n =1×13+4×132+7×133+⋯+(3n −2)×13n①①× 13得 13T n =1×132+4×133+7×134+⋯+(3n −5)×13n +(3n −2)×13n+1②①-②得 23T n =13+3×132+3×133+⋯+3×13n −(3n −2)×13n+1 =13+3×132×(1−13n−1)1−13−(3n −2)×13n+1=56−12×13n−1−(3n −2)×13n+1，∴ T n =54−14×13n−2−3n−22×13n =54−6n+54×13n ．【考点】数列的求和，等差数列的性质，等比数列的性质【解析】 (1)利用等差数列的性质以及S 3=12求出a 2=4，再由 2a 1,a 2,a 3+1 成等比数列求出公差即可求 {a n } 的通项公式； (2)把(1)的结论代入 b n =a n 3n,再利用错位相减法求T n .19..小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x 万件时，该产品需另投入流动成本 W(x) 万元．在年产量不足8万件时， W(x)=13x 2+x ，在年产量不小于8万件时， W(x)=6x +100x−38 ．每件产品的售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完，设年利润为 L(x) （单位：万元）．（1）.若年利润 L(x) （单位：万元）不小于6万元，求年产量x （单位：万件）的范围． （2）.年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】 （1）由题意得： L(x)=5x −W(x)−3当 x ∈(0,8) 时， L(x)=5x −(13x 2+x)−3=−13x 2+4x −3 ．∴ −13x 2+4x −3≥6 ，整理得： x 2−12x +27≤0 ，解得 3≤x ≤9 ．又∵ x ∈(0,8) ，∴ 3≤x <8 ． 当 x ∈[8,+∞) 时， L(x)=5x −(6x +100x−38)−3=35−(x +100x) ，∴ 35−(x +100x)≥6 ，整理得 x 2−29x +100≤0 ，解得 4≤x ≤25 ，又∵ x ∈[8,+∞) ，∴ 8≤x ≤25 ． 综上，x 的取值范围为 3≤x ≤25 ．（2）由（1）可知当 x ∈(0,8) 时， L(x)=−13x 2+4x −3=−13(x −6)2+9 ． ∴当 x =6 时， L(x)max =9 ． 当 x ∈[8,+∞) 时， L(x)=35−(x +100x)≤35−2√x ⋅100x=15 ．当且仅当 x =100x即 x =10 时， L(x)max =15 ．∵9<15，∴年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获得利润最大，且最大利润是15万元．【考点】二次函数的性质，根据实际问题选择函数类型，基本不等式【解析】(1)由题意可知L(x)=5x−W(x)−3，分段求出L(x)的解析式，令L(x)≥6,即可求出x的取值范围；(2)由(1)可知当x∈(0,8)时L(x)=5x−(13x2+x)−3=−13x2+4x−3，利用二次函数的性质求出L(x)的最大值，当x∈[8,+∞)时L(x)=5x−(6x+100x−38)−3=35−(x+ 100x)，利用基本不等式求出L(x)的最大值，再比较两者的大小，较大者即为L(x)的最大值.20.设函数f(x)=ax2−(3a+2)x+6．（1）.若f(x)>(a−2)x2−(a+1)x+1在x∈[−1,+∞)恒成立，求实数a的取值范围；（2）.解关于x的不等式ax2−(3a+2)x+6>0．【答案】（1）∵f(x)>(a−2)x2−(a+1)x+1，∴2x2−(2a+1)x+5>0在x∈[−1,+∞)恒成立．令g(x)=2x2−(2a+1)x+5，则g(x)的最小值大于0，1°当2a+14≤−1，则a≤−52，x=−1时，g(x)min=g(−1)=8+2a>0，则a>−4，∴−4<a≤−522°当2a+14>−1，则a>−52，x=2a+14时，g(x)min=g(2a+14)>0，即Δ=(2a+1)2−40<0，∴−2√10<2a+1<2√10，−2√10−12<a<2√10−12，∴−52<a<2√10−12．综上−4<a<2√10−12．（2）1°当a=0时，则−2x+6>0，∴x<32°当a>0时，Δ=(3a+2)2−24a=(3a−2)2≥0，所以(ax−2)(x−3)>0，方程根为x1=2a或x2=3，①2a <3，即a>23时，x<2a或x>3；②2a >3，即0<a<23时，x<3或x>2a；③2a =3，即a=23时，x≠3．3°当a<0时，则x1=2a ，x2=3，∴2a<x<3．综上， a <0 解集为 (2a ,3) ； a =0 解集为 (−∞,3) ； 0<a <23 解集为 (−∞,3)∪(2a ,+∞) ； a =23 解集为 {x ∣x ≠3} ； a >23 解集为 (−∞,2a )∪(3,+∞) ． 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】 (1)将不等式化简归零,然后构造函数,研究函，数的单调性，令该函数的最小值大于零即可;(2)求出不等式对应方程的两个根，然后讨论两个根的大小结合函数的单调性求出不等式的解.21.设数列 {a n } 的前n 项和为 S n ，满足 S n +a n =An 2+Bn +1 ．且 a 1=1 ， a 2=32 ．（1）.求证：数列 {a n −n +1} 是等比数列并求数列 {a n } 的通项公式；（2）.令 b n =1a n −n+1 ，求数列 {b n(b n +1)(b n+1+1)} 的前n 项和 T n ，若对任意n 都有 T n >m ，求实数m 的取值范围．【答案】 （1）解：分别令 n =1、2 ，代入条件，得 {2a 1=A +B +12a 2+a 1=4A +2B +1又 a 1=1 ， a 2=32 ，解得 A =12 ， B =12 ． ∴ a n +S n =12n 2+12n +1 ，n ≥2 时， a n−1+S n−1=12(n −1)2+12(n −1)+1 ，∴ 2a n −a n−1=12(2n −1)+12=n ，∴ a n−1=2a n −n ，∵ a 1−1+1=1≠0 ，∴ a n −n+1a n−1−(n−1)+1=a n−n+12a n −2n+2=12 （常数）． ∴ {a n −n +1} 为等比数列且首项为1，公比为 12 ， ∴ a n −n +1=(12)n−1 ，∴ a n =n +(12)n−1−1 ． （2）b n =1an −n+1=2n−1 ∴ b n (b n +1)(b n+1+1)=2n−1(2n−1+1)(2n +1)=12n−1+1−12n +1 ∴ T n =(120+1−121+1)+(121+1−122+1)+(122+1−123+1)+⋅⋅⋅+(12n−1+1−12n +1)=12−12n +1又∵ T n 在 n ∈N ∗ 递增，∴ n =1 时， (T n )min =12−13=16 ．∴ m <16 ．【考点】数列的求和，数列递推式【解析】(1)根据数列的递推关系和等比数列的定义及通项公式可求出通项公式；(2)利用裂项相消法求出数列的和，进步利用恒成立问题的应用和函数单调性求出参数的范围.22.设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知数列{a n}满足na n+1−(n+ 1)a n=1(n∈N∗)，且a1=1．（1）.求数列{a n}的通项公式；（2）.求λ的值使数列{√4S n+4n+λ}为等差数列；（3）.数列{b n}满足b n=14S n−1，T n为数列{b n}的前n项和，是否存在正整数m，k(1< m<k)，使得T k=3T m2？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）na n+1−(n+1)a n=1，两边同时除以n(n+1)得：a n+1 n+1−a nn=1n−1n+1，从而有：a nn −a n−1n−1=1n−1−1n，……，a22−a11=1−12．叠加可得：a nn −a11=1−1n，a n=2n−1(n≥2)．又n=1满足等式，从而a n=2n−1．（2）因为a n+1−a n=2，所以{a n}是首项为1，公差为2为等差数列，所以S n=n+n(n−1)2×2=n2，假设√4S1+4+λ，√4S2+8+λ，√4S3+12+λ成等差数列，所以2√4S2+8+λ= √4S1+4+λ+√4S3+12+λ，解得λ=1．检验当λ=1时，√4S n+4n+λ=2n+1，√4S n+1+4(n+1)+λ=2n+3，√4S n+1+4(n+1)+λ−√4S n+4n+λ=2，∴当λ=1时，{√4S n+4n+λ}为等差数列．（3）∴b n=14n2−1=12(12n−1−12n+1)，∴T n=b1+b2+⋅⋅⋅+b n，=12[(1−13)+(13−15)+⋅⋅⋅+(12n−3−12n−1)+(12n−1−12n+1)]，=12(1−12n+1)=n2n+1，若T k=3T m2，则k2k+1=3m2(2m+1)2，整理得k=3m24m+1−2m2，又k>m>1，∴{3m24m+1−2m2>mm>1，整理得{2m2−m−14m+1−2m2>0m>1，解得1<m<1+√62又m∈N∗，∴m=2，∴k=12∴存在m=2，k=12满足题意【考点】数列的求和，等差数列的性质【解析】(1)直接利用关系式的变换的应用和叠加法的应用求出数列的通项公式；(2)利用关系式的变换和存在性问题的应用求出参数的值；(3)利用裂项相消法和存在性问题的应用求出结果.。
高二上学期期中考试数学试卷含答案
高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。
江苏省兴化中学2024-2025学年高二(强基班)上学期10月学情调研测试数学试卷
江苏省兴化中学2024-2025学年高二（强基班）上学期10月学情调研测试数学试卷一、单选题1．已知m R ∈，则“1m =-”是“直线()2120mx m y +-+=与直线330x my ++=垂直”的 A ．充要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分而不必要条件 D ．既不充分也不必要条件2．抛物线21:4E y x =的焦点到其准线的距离为（ ） A ．18B ．14C ．2D ．43．已知点()2,0P ，点Q 在圆221x y +=上运动，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是（ ）. A ．()2211x y -+= B ．()2211x y +-= C ．()224141x y -+=D ．()224411x y +-=4．若直线4(0)y kx k =+>与曲线y =有两个交点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．2⎤⎦D ．2⎤⎦5．已知()2,0A -，()2,0B ，若圆22(1)(32)4x a y a --+-+=上存在点P 满足5PA PB ⋅=u u u r u u u r，则a 的取值范围是（ ） A ．[]1,2-B ．[]2,1-C ．[]2,3-D ．[]3,2-6．已知点 M 在椭圆 22143x y +=上，点 ()30,1,04A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则 MA MB +的最大值为（ ） A ．114B ．4C ．214D ．57．数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e ω=（其中ω=）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，，若以原点O 为圆心，短轴长为直径作,O P e 为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过P 作O e 的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 与,x y轴分别交于,M N 两点，则2222||||b a OM ON +=（ ）A ．1ωB ．ωC ．ω-D ．1ω-8．已知12F F ､为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，点P 在C 上且位于第一象限，圆1O 与线段1F P 的延长线､线段2PF 以及x 轴均相切，12PF F V 的内切圆的圆心为2O .若圆1O 与圆2O 外切，且圆1O 与圆2O 的面积之比为9，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．35C D二、多选题9．已知曲线22:1C mx ny +=，下列说法正确的是（ ）A ．若0m n =>，则CB ．若0m >，0n =，则C 是两条直线C ．若0n m >>时，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上D ．若0mn <时，则C 是双曲线，其渐近线方程为y = 10．抛物线()220y px p =>的焦点为F ，P 为其上一动点，当P 运动到()2,t 时，4PF =，直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，点()4,1M ，下列结论正确的是（ ）A ．抛物线的方程为28y x =B ．存在直线l ，使得A 、B 两点关于60x y +-=对称C ．PM PF +的最小值为6D ．当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与y 轴相切 11．已知曲线||:||14y y C x x -=，()00,P x y 为C 上一点，则以下说法正确的是（ ） A ．曲线C 关于原点中心对称B ．2200x y +的取值范围为[1,)+∞C ．存在点()00,P x y ，使得0021x y -=-D ．002x y -三、填空题12．已知圆的方程是2222(2)20x y ax a y +-+-+=，则圆心的轨迹方程为. 13．设P x 0,y 0 为直线320x y ++=上的动点，若圆221x y +=上存在两点,A B ，使60APB ∠≥︒，则0x 的取值范围是．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22122x y -=的左焦点为F ，直线(2)y k x =-与双曲线的右支交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，且k 的取值范围为(,1)(1,)-∞-+∞U ，记AOB V 的面积为1,S CFD V面积为2S ，则21S S 取值范围为．四、解答题15．已知两直线1:240l x y -+=，2:4350l x y ++= (1)求直线1l 和2l 的交点P 的坐标；(2)若过点P 作圆()2221x m y m -+=+的切线有两条，求m 的取值范围； (3)若直线260ax y +-=与1l ，2l 不能构成三角形，求实数a 的值.16．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F E的一条渐近线方程为y ，过1F 且与x 轴垂直的直线与E 交于A B 、两点，且2ABF △的周长为16.(1)求E 的方程；(2)过2F 作直线l 与E 交于C D 、两点，若223CF F D =u u u r u u u u r，求直线CD 的斜率．17．如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆,且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处,点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸),tan ∠BCO=43.（1）求新桥BC 的长;（2）当OM 多长时,圆形保护区的面积最大?18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上点()00,x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=，①过直线:2l x =上一点M 引C 的两条切线，切点分别是P Q ､，求证：直线PQ 恒过定点N ； ②是否存在实数λ，使得PN QN PN QN λ+=⋅，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由.19．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． (1)求C 的方程；(2)设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．。
2022-2023学年江苏省泰州市兴化市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省泰州市兴化市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设直线l 1：2x +y ﹣1＝0，l 2：x ﹣3y ＝0，l 3：x ﹣3＝0的倾斜角分别为α，β，γ，则（ ） A ．α＜β＜γB ．β＜α＜γC ．α＜γ＜βD ．β＜γ＜α2．抛物线x 2=14y 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2B ．4C ．18D ．123．过点A （0，0），B （2，2）且圆心在直线y ＝2x ﹣4上的圆的标准方程为（ ） A ．（x ﹣2）2+y 2＝4 B ．（x +2）2+y 2＝4 C ．（x ﹣4）2+（y ﹣4）2＝8D ．（x +4）2+（y ﹣4）2＝84．若圆C 的方程为x 2+y 2+2mx +4y +(4m −95)=0，则圆C 的最小周长为（ ） A ．36π5B ．18√5π5C ．12√5π5D ．6√5π55．已知点F 为双曲线C ：x 2﹣my 2＝m （m ＞0）的一个焦点，则点F 到双曲线C 一条渐近线的距离为（ ） A ．√mm+1B ．1C ．√2D ．√m +16．与圆x 2+y 2＝4及圆x 2+y 2﹣8x ﹣6y +24＝0都外切的圆的圆心在（ ） A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上D ．一个圆上7．已知椭圆C ：x 225+y 29=1，设点M 的轨迹为曲线C ，已知点N(1，√3)与点F （﹣4，0），则|MF |+|MN |的最小值为（ ） A ．2√3 B ．2√7C ．10−2√3D ．10−2√78．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝kx （k ＞0）与椭圆C 交于M ，N 两点，其中点M 在第一象限，若M ，F 1，N ，F 2四点共圆，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．(√22，1)B ．(√32，1) C ．[√3−12，1) D ．(0，√22]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知直线l 1：（t +1）x ﹣（t +2）y +（2t +5）＝0，l 2：3x ﹣4y +8＝0（t ∈R ），则（ ） A ．直线l 1过定点（1，3） B ．当t ＝1时，l 1⊥l 2C ．当t ＝2时，l 1∥l 2D ．当l 1∥l 2时，两直线l 1，l 2之间的距离为110．已知椭圆C ：x 225+y 29=1，F 1，F 2分别为它的左、右焦点，A ，B 为椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，则下列结论中正确的有（ ） A ．△F 1PF 2的周长为15B ．若∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为9C ．PF 1→⋅PF 2→−PA →⋅PB →为定值D ．直线P A 与直线PB 斜率的乘积为定值 11．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上一点P 满足|PF 1|=52|PF 2|，则该双曲线的离心率可以是（ ） A ．73B ．√5C ．√7D ．212．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣2，0），B （4，0），点P 满足|PA||PB|=12，则点P 所构成的曲线为C 为阿氏圆．下列结论正确的是（ ） A ．曲线C 的圆心在x 轴上 B ．曲线C 的半径为4C ．从点（0，3）向圆C 引切线，切线长是3D ．曲线C 与圆C '⋅x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3＝0相外切 三、填空题：每题5分，共4题.13．点M （﹣3，4）关于直线l ：x ﹣y +3＝0对称的点N 的坐标为 ． 14．直线x −√3y +2√3=0被圆C ：x 2+y 2＝4截得的弦长为 ．15．若直线y ＝2x ﹣1与抛物线y 2＝2x 交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则OA →⋅OB →的值为 ． 16．已知椭圆x 24+y 2=1上有两点A ，B ，坐标原点为点O ，若两直线OA ，OB 斜率存在，且它们的积为−14，则|OA |2+|OB |2＝ ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1，1），B （5，1），点C 在x 轴上，且∠CAB =π．（1）求直线AC 的斜率； （2）求直线BC 的方程．18．（12分）已知圆x 2+y 2＝9内有一点P （1，﹣2），过点P 且倾斜角为α的直线交圆于A ，B 两点． （1）当α=3π4时，求弦AB 的长；（2）若弦AB 被点P 平分，求直线AB 的方程．19．（12分）经过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点． （1）判断以AB 为直径的圆与该抛物线准线的位置关系，并说明理由；（2）过点N （n ，0）的直线与抛物线交于P ，Q 两点，若OP ⊥OQ ，求n 的值．20．（12分）已知圆C 与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于A （2，0），B （0，6）两点，圆心C 在第二象限．（1）若圆C 与x 轴的另一个交点坐标为（﹣12，0），求圆C 的标准方程； （2）若|OC|=√26，求圆C 的标准方程．21．（12分）已知双曲线C ：3x 2﹣y 2＝m （m ≠0），F 为右焦点． （1）求双曲线C 的渐近线方程及两条渐近线所夹的锐角；（2）当m ＝3时，设过点P(12，0)的直线l 与双曲线C 交于点M ，N ，且△FMN 的面积为9√38，求直线l 的斜率．22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，且F 1F 2＝4，点P 为椭圆E 上一点，满足△PF 1F 2的周长等于12． （1）求椭圆E 的方程；（2）过点P 作x 轴的垂线（不过点F 2）交椭圆E 于点N ，连接PF 2延长交椭圆于点Q ，连接NQ ，试判断直线NQ 是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，请说明理由．2022-2023学年江苏省泰州市兴化市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设直线l 1：2x +y ﹣1＝0，l 2：x ﹣3y ＝0，l 3：x ﹣3＝0的倾斜角分别为α，β，γ，则（ ） A ．α＜β＜γB ．β＜α＜γC ．α＜γ＜βD ．β＜γ＜α解：直线l 1：2x +y ﹣1＝0，l 2：x ﹣3y ＝0，l 3：x ﹣3＝0的斜率分别为：﹣2，13，不存在， 故对应的倾斜角α＞90°，β＜90°，γ＝90°，故α＞γ＞β， 故选：D ．2．抛物线x 2=14y 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2B ．4C ．18D ．12解：抛物线x 2=14y 的焦点到准线的距离为：P =18． 故选：C ．3．过点A （0，0），B （2，2）且圆心在直线y ＝2x ﹣4上的圆的标准方程为（ ） A ．（x ﹣2）2+y 2＝4 B ．（x +2）2+y 2＝4 C ．（x ﹣4）2+（y ﹣4）2＝8D ．（x +4）2+（y ﹣4）2＝8解：根据题意，要求圆经过点A （0，0），B （2，2），则AB 的中点为（1，1），其斜率k ＝1，故AB 的垂直平分线为x +y ＝2， {x +y =2y =2x −4，解可得{x =2y =0，即圆心为坐标为（2，0），其半径r ＝2， 则其标准方程为（x ﹣2）2+y 2＝4， 故选：A ．4．若圆C 的方程为x 2+y 2+2mx +4y +(4m −95)=0，则圆C 的最小周长为（ ） A ．36π5B ．18√5π5C ．12√5π5 D ．6√5π5解：∵圆C 的方程为x 2+y 2+2mx +4y +(4m −95)=0，∴圆C 的半径r =12•√(2m)2+42−4×(4m −95)=√(m −2)2+95≥3√55，则圆C 的最小周长为2πr =6√55π． 故选：D ．5．已知点F 为双曲线C ：x 2﹣my 2＝m （m ＞0）的一个焦点，则点F 到双曲线C 一条渐近线的距离为（ ）A ．√m m+1B ．1C ．√2D ．√m +1解：双曲线C ：x 2﹣my 2＝m （m ＞0）化为：x 2m−y 2＝1，∴c =√m +1，不妨取焦点F （√m +1，0），取渐近线y =1√m x ，即x −√m y ＝0，则点F 到双曲线C 一条渐近线的距离d =|√m+1|1+m=1，故选：B ．6．与圆x 2+y 2＝4及圆x 2+y 2﹣8x ﹣6y +24＝0都外切的圆的圆心在（ ） A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上D ．一个圆上解：圆x 2+y 2＝4的圆心F 1坐标为（0，0），半径为2，圆x 2+y 2﹣8x ﹣6y +24＝0可化为（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝1，圆心F 2坐标为（4，3），半径为1， 设所求圆的圆心P ，半径为r ， 由题意可知|PF 1|＝r +2，|PF 2|＝r +1， 则|PF 1|﹣|PF 2|＝1＜|F 1F 2|，故由双曲线的定义可知在，所求圆的圆心的轨迹为双曲线的一支． 故选：B ． 7．已知椭圆C ：x 225+y 29=1，设点M 的轨迹为曲线C ，已知点N(1，√3)与点F （﹣4，0），则|MF |+|MN |的最小值为（ ） A ．2√3B ．2√7C ．10−2√3D ．10−2√7解：椭圆C ：x 225+y 29=1，F （﹣4，0）为C 的左焦点，设C 的右焦点为F '（4，0），则|MF |+|MF '|＝10，从而|MF |+|MN |＝10﹣|MF ′|+|MN |≥10﹣|NF ′|＝10−√(1−4)2+(√3−0)2=10﹣2√3， 当M ，N ，F '共线，且N 在线段MF '上时取等号， 故选：C ．8．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝kx （k ＞0）与椭圆C 交于M ，N 两点，其中点M 在第一象限，若M ，F 1，N ，F 2四点共圆，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．(√22，1)B ．(√32，1) C ．[√3−12，1) D ．(0，√22]解：设椭圆的半焦距为c ，由椭圆的中心对称性和M ，F 1，N ，F 2四点共圆， 则四边形MF 1NF 2为矩形，所以以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有公共点， 则c ＞b ， 所以2c 2＞a 2， 故√22＜e ＜1． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知直线l 1：（t +1）x ﹣（t +2）y +（2t +5）＝0，l 2：3x ﹣4y +8＝0（t ∈R ），则（ ） A ．直线l 1过定点（1，3） B ．当t ＝1时，l 1⊥l 2 C ．当t ＝2时，l 1∥l 2D ．当l 1∥l 2时，两直线l 1，l 2之间的距离为1 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，直线l 1：（t +1）x ﹣（t +2）y +（2t +5）＝0即t （x ﹣y +2）+（x ﹣2y +5）＝0， 它经过直线x ﹣y +2＝0和直线x ﹣2y +5＝0的交点（1，3），故A 错误； 对于B ，当t ＝1时，直线l 1即2x ﹣3y +7＝0，而直线l 2：3x ﹣4y +8＝0， 它们的斜率之积不等于﹣1，故两直线不垂直，故B 错误；对于C ，当t ＝2时，直线l 1即3x ﹣4y +9＝0，而直线l 2：3x ﹣4y +8＝0， 它们的斜率相等且它们不重合，故它们平行，故C 正确； 对于D ，当l 1∥l 2时，由于直线l 1经过定点（1，3）， 故两直线l 1，l 2之间的距离，即点（1，3）到直线l 2的距离为√32+42=15，D 不正确；故选：AC ． 10．已知椭圆C ：x 225+y 29=1，F 1，F 2分别为它的左、右焦点，A ，B 为椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，则下列结论中正确的有（ ） A ．△F 1PF 2的周长为15B ．若∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为9C ．PF 1→⋅PF 2→−PA →⋅PB →为定值D ．直线P A 与直线PB 斜率的乘积为定值 解：对于A ，由椭圆C ：x 225+y 29=1，F 1，F 2分别为它的左、右焦点， 可得a 2＝25，b 2＝9，c 2＝a 2﹣b 2＝16，∴c ＝4，∴△F 1PF 2的周长为|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|＝2a +2c ＝10+8＝18，故A 不正确； 对于B ，∵∠F 1PF 2＝90°，∴|PF 1|2+|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝64 ③， ∵|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝10 ④， ∴联立③④可得，|PF 1||PF 2|＝18，∴△F 1PF 2的面积为12×|PF 1||PF 2|＝9，故B 正确．对于C ：由椭圆方程知两焦点的坐标为F 1（﹣4，0），F 2（4，0），两顶点坐标为（﹣5，0），5，0）， 设P （x ，y ），PF 1→=（﹣4﹣x ，﹣y ），PF 2→=（4﹣x ，﹣y ），PA →=（﹣5﹣x ，﹣y ），PB →=（5﹣x ，﹣y ）， PF 1→⋅PF 2→−PA →⋅PB →=x 2﹣16+y 2﹣（x 2﹣25+y 2）＝9为定值．故C 正确； 对于D ，设P （x 0，y 0） （x 0≠±5）， ∵A （﹣5，0），B （5，0），∴k P A =y 0x 0+5，k PB =y0x 0−5，∴k P A •k PB =y 0x 0+5×y 0x 0−5=y 02x 02−25①，∵P （x 0，y 0） （x 0≠±5）在椭圆上， ∴x 0225+y 029=1，即y 02=−925（x 02﹣25）②， ∴联立①②可得，k P A •k PB =−925，故D 正确． 故选：BCD ． 11．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线上一点P 满足|PF 1|=52|PF 2|，则该双曲线的离心率可以是（ ） A ．73B ．√5C ．√7D ．2解：∵双曲线上一点P 满足|PF 1|=52|PF 2|， ∴|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， 解得|PF 1|=103a ，|PF 2|=43a ， 在△PF 1F 2中，2c +|PF 2|＞|PF 1|，或|PF 2|+|PF 1|＞2c ， ∴c ＞a ，或143a ＞2c ，∴1＜e ＜73，因此该双曲线的离心率可以是√5，2． 故选：BD ．12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，A （﹣2，0），B （4，0），点P 满足|PA||PB|=12，则点P所构成的曲线为C 为阿氏圆．下列结论正确的是（ ） A ．曲线C 的圆心在x 轴上 B ．曲线C 的半径为4C ．从点（0，3）向圆C 引切线，切线长是3D ．曲线C 与圆C '⋅x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3＝0相外切解：由题意可设点P （x ，y ），由A(−2，0)，B(4，0)，|PA||PB|=12， 得√(x+2)2+y 222=12，化简得x 2+y 2+8x ＝0，即（x +4）2+y 2＝16，故得曲线C 为以（﹣4，0）为圆心，半径r ＝4的圆，故选项A 、B 均正确； 如图，设A （3，0），圆心C （﹣4，0），过A 点做曲线C 的切线，切点为H ， 得：|AC|=√(−4)2+(−3)2=5，∵CH ⊥AH ，∴|AH|=√|AC|2−|CH|2=√52−42=3， 故从（0，3）向圆C 引切线，切线长为3，故选项C 正确； 由C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3＝0，整理得C ′：（x +2）2+（y ﹣3）2＝16， 得圆心C ′（﹣2，3），半径r ′＝4，|CC ′|=√(−2)2+(−3)2=√13，r +r′=4+4=8， ∵|CC ′|≠r +r ′，故曲线C 与C ′不相外切，故选项D 错误． 故选：ABC ．三、填空题：每题5分，共4题.13．点M （﹣3，4）关于直线l ：x ﹣y +3＝0对称的点N 的坐标为 （1，0） ． 解：设点M （﹣3，4）关于直线l ：x ﹣y +3＝0对称的点N 的坐标（x ，y ） 则MN 中点的坐标为（x−32，y+42），利用对称的性质得：K MN =y−4x+3=−1，且x−32−y+42+3＝0，解得：x ＝1，y ＝0， ∴点N 的坐标（1，0）， 故答案为：（1，0）．14．直线x −√3y +2√3=0被圆C ：x 2+y 2＝4截得的弦长为 2 ． 解：根据题意，圆x 2+y 2＝4的圆心为（0，0），半径r ＝2， 圆心到直线x −√3y +2√3=0的距离d =|2√3|1+3=√3， 则直线x −√3y +2√3=0被圆截得的弦长l ＝2×√r 2−d 2=2√4−3=2， 故直线x −√3y +2√3=0被圆x 2+（y ﹣2）2＝4截得的弦长为2． 故答案为：2．15．若直线y ＝2x ﹣1与抛物线y 2＝2x 交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则OA →⋅OB →的值为 −34． 解：联立直线y ＝2x ﹣1与抛物线y 2＝2x 可得4x 2﹣6x +1＝0， 则x 1+x 2=32，x 1x 2=14，y 1y 2＝（2x 1﹣1）（2x 2﹣1）＝4x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+1＝4×14−2×32+1＝﹣1， 所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=14−1=−34， 故答案为：−34． 16．已知椭圆x 24+y 2=1上有两点A ，B ，坐标原点为点O ，若两直线OA ，OB 斜率存在，且它们的积为−14，则|OA |2+|OB |2＝ 5 ． 解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由已知可得y 1y 2x 1x 2=−14，代入椭圆的方程可得{x 124+y 12=1x 224+y 22=1， 所以y 12•y 22＝（1−x 124）（1−x 224）＝1−x 12+x 224+x 12x 2216=x 12x 2216， 所以x 12+x 224=1，由已知得y 1x 1×y 2x 2=−14，点A ，B 在椭圆上，所以|OA |2+|OB |2＝x 12+y 12+x 22+y 22＝x 12+x 22+1−x 124+1−x 224＝4+2−x 12+x 224=5，故答案为：5．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1，1），B （5，1），点C 在x 轴上，且∠CAB =π4．（1）求直线AC 的斜率； （2）求直线BC 的方程．解：（1）由∠CAB =π4，知直线AC 的倾斜角为3π4，所以直线AC 的斜率为﹣1． （2）设点C 为（m ，0）， 因为直线AC 的斜率为﹣1，所以1−01−m=−1，解得m ＝2，即C （2，0），所以直线BC 的斜率为1−05−2=13，所以直线BC 的方程为y =13（x ﹣2），即x ﹣3y ﹣2＝0．18．（12分）已知圆x 2+y 2＝9内有一点P （1，﹣2），过点P 且倾斜角为α的直线交圆于A ，B 两点． （1）当α=3π4时，求弦AB 的长； （2）若弦AB 被点P 平分，求直线AB 的方程．解：（1）根据题意，圆x 2+y 2＝9的圆心为（0，0），半径r ＝3， 当α=3π4时，过P （1，﹣2）的直线方程为y +2＝﹣1（x ﹣1），即x +y +1＝0， 圆心到直线x +y +1＝0的距离d =|1|√2=√22， 则直线y ＝x 被圆截得的弦长l ＝2×√r 2−d 2=2√9−12=√34， 故弦长|AB |=√34．（2）当弦AB 被点P 平分时，AB ⊥PO ，又PO 的斜率为−2−01−0=−2，直线AB 的方程为y +2=12（x ﹣1），即x ﹣2y ﹣5＝0．19．（12分）经过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点． （1）判断以AB 为直径的圆与该抛物线准线的位置关系，并说明理由；（2）过点N （n ，0）的直线与抛物线交于P ，Q 两点，若OP ⊥OQ ，求n 的值． 解：（1）如图所示，y 2＝4x 的焦点F （1，0），准线方程为：x ＝﹣1.设直线l 的方程为my ＝x ﹣1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点C （x 0，y 0）， 联立{my =x −1y 2=4x ，化为：y 2﹣4my ﹣4＝0，Δ＞0，y 1+y 2＝4m ＝2y 0，∴y 0＝2m ，x 0＝my 0+1＝2m 2+1，∴点M 到准线的距离d ＝2m 2+2，而|AB |＝x 1+x 2+p ＝m （y 1+y 2）+2+2＝4m 2+4＝2d ， ∴以AB 为直径的圆与该抛物线准线相切．（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），过点N （n ，0）的直线方程为ty ＝x ﹣n ， 联立{ty =x −n y 2=4x ，化为：y 2﹣4ty ﹣4n ＝0，Δ＞0，y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝﹣4n ， ∵OP ⊥OQ ， ∴x 1x 2+y 1y 2＝0，∴（ty 1+n ）（ty 2+n ）+y 1y 2＝0，化为（t 2+1）y 1y 2+tn （y 1+y 2）+n 2＝0， 代入可得：﹣4n （t 2+1）+tn ×4t +n 2＝0， ∴n （n ﹣4）＝0，n ≠0， 解得n ＝4．20．（12分）已知圆C 与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于A （2，0），B （0，6）两点，圆心C 在第二象限．（1）若圆C 与x 轴的另一个交点坐标为（﹣12，0），求圆C 的标准方程； （2）若|OC|=√26，求圆C 的标准方程．解：（1）由题意知A （2，0），（﹣12，0）在圆上，故圆心在直线x =2−122=−5上， 又直线AB 的斜率为6−00−2=−3，故其垂直平分线方程为y −3=13(x −1)，令x ＝﹣5得y ＝1，即圆心为（﹣5，1），则半径r =√(−5−2)2+12=5√2，所以圆C 的标准方程为（x +5）2+（y ﹣1）2＝50；（2）由（1）可知，圆心在AB 的垂直平分线y −3=13(x −1)上， 又因为|OC|=√26，则圆心在x 2+y 2＝26上，联立{y −3=13(x −1)x 2+y 2=26，由于圆心C 在第二象限，解得x =−5，y =1，(x =175舍去），故圆心为（﹣5，1），则半径r =√(−5−2)2+12=5√2， 故圆C 的标准方程为（x +5）2+（y ﹣1）2＝50．21．（12分）已知双曲线C ：3x 2﹣y 2＝m （m ≠0），F 为右焦点． （1）求双曲线C 的渐近线方程及两条渐近线所夹的锐角；（2）当m ＝3时，设过点P(12，0)的直线l 与双曲线C 交于点M ，N ，且△FMN 的面积为9√38，求直线l 的斜率．解：（1）由双曲线C ：3x 2﹣y 2＝m （m ≠0），令m ＝0，则3x 2﹣y 2＝0，得y =±√3x ， 所以双曲线的渐近线方程为y =±√3x ，他们所夹的锐角为π3；（2）当m ＝3时，双曲线C ：x 2−y 23=1，已知直线经过点P(12，0)，可设直线方程x =ky +12，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{x =ky +12x 2−y23=1，消去x ，整理得(3k 2−1)y 2+3ky −94=0， 由3k 2﹣1≠0，Δ＝（3k 2）+9（3k 2﹣1）＞0，化简得k ＜−12或k ＞12且k ≠±√33， 所以y 1+y 2=3k 1−3k2，y 1y 2=94(1−3k 2)，又|PF|=32，所以△FMN 的面积S =|PF|⋅|y 1−y 2|2=|PF|⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 22=34⋅3√4k 2−1|3k 2−1|=9√4k 2−14|3k 2−1|， 即9√4k 2−14|3k 2−1|=9√38，解得k ＝±1或k =±√219，满足题意，所以直线l 的斜率为±1或±3√217． 22．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，且F 1F 2＝4，点P 为椭圆E 上一点，满足△PF 1F 2的周长等于12． （1）求椭圆E 的方程；（2）过点P 作x 轴的垂线（不过点F 2）交椭圆E 于点N ，连接PF 2延长交椭圆于点Q ，连接NQ ，试判断直线NQ 是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，请说明理由． 解：（1）∵|F 1F 2|＝4，∴2c ＝4，c ＝2，又∵△PF 1F 2的周长等于12，即2a +2c ＝12，∴2a ＝8，即a ＝4， ∴b 2＝a 2﹣c 2＝16﹣4＝12， 故椭圆E 的方程为：x 216+y 212=1．（2）依题意设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），N （x 1，﹣y 1），由于直线PQ 经过点F 2（2，0），故设直线PQ 方程为x ＝ty +2（t ≠0）， 联立{x =ty +23x 2+4y 2−48=0，得3（ty +2）2+4y 2﹣48＝0， 整理得（3t 2+4）y 2+12ty ﹣36＝0， Δ=(12t)2+144(3t 2+4)＞0，y 1+y 2=−12t 3t 2+4，y 1y 2=−363t 2+4， |y 2−y 1|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√144t 2(3t 2+4)2+1443t 2+4=24√t 2+13t 2+4， ∵k NQ =y 2+y1x 2−x 1，∴l NQ ：y +y 1=y 2+y1x 2−x 1(x −x 1)，∵x 1＝ty 1+2，x 2＝ty 2+2，∴l NQ ：y +y 1=y 2+y1t(y 2−y 1)(x −ty 1−2) 整理得：（y 1+y 2）x ﹣t （y 2﹣y 1）y ﹣2ty 1y 2﹣2（y 1+y 2）＝0， 代入得：−12t 3t 2+4⋅x ±24t√t 2+13t 2+4⋅y +72t 3t 2+4+24t 3t 2+4=0，∵t ≠0，∴整理得：−12x ±24√t 2+1⋅y +96=0， 令y ＝0，得x ＝8，故直线NQ 恒过定点（8，0）．。
兴化期中考试数学试卷答案
1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(3)的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：A解析：将x=3代入函数f(x) = x^2 - 2x + 1中，得f(3) = 3^2 - 23 + 1 = 4。
2. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x + 3 > x - 4B. 3x - 5 < 2x + 1C. 4x + 2 > 3x - 1D. 5x - 2 < 4x + 3答案：C解析：A选项移项得x > -7，B选项移项得x < 6，D选项移项得x < 5，只有C选项移项得x > -3。
3. 已知等差数列{an}的前三项分别为1，2，3，则该数列的通项公式为（）A. an = nB. an = n + 1C. an = n - 1D. an = n - 2答案：A解析：由等差数列的定义可知，公差d = 2 - 1 = 1，首项a1 = 1，所以通项公式为an = n。
4. 若直角三角形斜边长为5，直角边长分别为3和4，则该直角三角形的面积S为（）A. 6B. 8C. 10D. 12答案：C解析：根据勾股定理，得3^2 + 4^2 = 5^2，所以该直角三角形为直角三角形。
面积S = 1/2 3 4 = 6。
5. 下列命题中，正确的是（）A. 若a > b，则a + c > b + cB. 若a > b，则ac > bcC. 若a > b，则a^2 > b^2D. 若a > b，则ac < bc答案：A解析：A选项是等式性质，正确；B选项当c < 0时不成立；C选项当a < 0时不成立；D选项当c < 0时不成立。
二、填空题（每题5分，共25分）6. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值，则a、b、c之间的关系为（）答案：a > 0，b = 0，c > 0解析：由于函数f(x) = ax^2 + bx + c在x = 1时取得最小值，所以a > 0，且对称轴x = -b/2a = 1，解得b = 0，又因为c是函数的常数项，所以c > 0。
江苏高二高中数学期中考试带答案解析
江苏高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.过点且倾斜角为45°的直线方程为______2.已知动直线，则其倾斜角的取值范围是___________．3.若直线过圆的圆心，则实数的值为________4.圆截直线所得的弦长为8，则的值是________5.已知圆心，一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是________6.如果直线和直线都平行于直线，则之间的距离为_______7.已知圆的方程为，过点的圆的三条弦的长分别为，若成等比数列，则其公比的最大值为_________．8.已知直线，直线，点关于的对称点为，点关于直线的对称点为，则过点的圆的方程为_________9.设，若直线与圆相切，则的取值范围是_________10.已知，，若方程有且只有两个不同的实数根，则实数的取值范围是_______11.已知，，，点是直线上的动点，若恒成立，则最大负整数的值为________12.设直线：，圆：，若在圆上存在两点，，在直线上存在一点，使得，则的取值范围是_________13.已知圆和两点，（），若圆上存在点，使得，则实数的取值范围是__________14.如图，在平面直角坐标系中，圆与轴的正半轴交于点，以点为圆心的圆与圆交于两点，若是圆上的动点且交轴与，则的最大值为________．15.如图，已知点为圆与圆在第一象限内的交点．过的直线被圆和圆所截得的弦分别为，（，不重合），若，则直线的方程是______．二、解答题1.已知圆，直线与圆相交于不同的两点，．（1）求实数的取值范围；（2）若弦的垂直平分线过点，求实数的值．2.已知圆．（1）若，过点作圆的切线，求该切线方程；（2）若为圆的任意一条直径，且（其中为坐标原点），求圆的半径．3.已知圆：，过原点作两条不同的直线，与圆都相交．（1）从分别作，的垂线，垂足分别为，，若，，求直线的方程；（2）若，且，与圆分别相交于，两点，求△面积的最大值．4.已知圆的圆心在轴上，半径为1，直线被圆所截的弦长为，且圆心在直线的下方．（1）求圆的方程；（2）设，若圆是的内切圆，求的面积的最大值和最小值．5.已知直线：，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方．（1）求圆的方程；（2）若直线过点且与圆交于，两点（在轴上方，在轴下方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．6.已知⊙和点.过作⊙的两条切线，切点分别为且直线的方程为．(1)求⊙的方程；(2)设为⊙上任一点，过点向⊙引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．7.已知圆，圆，经过原点的两直线满足，且交圆于不同两点交，圆于不同两点，记的斜率为（1）求的取值范围；（2）若四边形为梯形，求的值．8.已知圆，两个定点，，其中，．为圆上任意一点，且（为常数)．（1）求常数的值；（2）过点作直线与圆交于两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围．江苏高二高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.过点且倾斜角为45°的直线方程为______【答案】【解析】斜率,由直线的点斜式方程可得,即.2.已知动直线，则其倾斜角的取值范围是___________．【答案】【解析】斜率，令，为上的奇函数，当时，有，当时，有，∵，∴，∴当时，的值域为，因此，动直线的倾斜角的范围为．3.若直线过圆的圆心，则实数的值为________【答案】【解析】由题可知，圆的一般方程化成标准方程为，圆心坐标为（-1,2），将圆心坐标代入到直线方程中，得出。
高中数学练习题 2022-2023学年江苏省泰州市兴化市高二(下)期中数学试卷
（VIP&校本题库）2022-2023学年江苏省泰州市兴化市高二（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）A ．1B ．1，3C ．0，3D ．0，11．（5分）已知实数a ∈{1，3，a 2}，则a 的值为（ ）A ．25B ．-25C ．15D ．-152．（5分）复数i1+2i（i 是虚数单位）的实部是（ ）A ．1B ．2C ．2D ．43．（5分）已知a =（1，n ），b =（-1，n ），若2a -b 与b 垂直，则|a |=（ ）→→→→→→√A ．2B ．4C ．6D ．84．（5分）若数列{a n }的前n 项和S n =2n -1，则a 3=（ ）A ．200B ．2000C ．180D ．18005．（5分）学校为了调查高三学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[80，90）元的同学有60人，则n 的值为（ ）A ．命题“若x 2-3x +2=0，则x =1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2-3x +2≠0”B ．“x >2”是“x 2-3x +2>0”的充分不必要条件6．（5分）下列命题错误的是（ ）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题p ：∃x ∈R ，x 2+x +1<0，则￢p ：∀x ∈R ，x 2+x +1≥0A ．（-∞，-1）∪（0，1）B ．（-1，1）C ．（-1，0）∪（0，1）D ．（1，+∞）7．（5分）设f （x ）=V Y Y W Y Y X 1x ，x >0x 2，x ≤0，则不等式f （x ）>1的解集为（ ）A ．a 2+b 2>1B ．a 2+b 2≥1C ．a 2+b 2≤1D ．a 2+b 2<18．（5分）若关于x ,y 的方程组V W X ax +by =1x 2+y 2=1有实数解，则实数a ,b 满足（ ）A ．3πB ．6πC ．7πD ．14π9．（5分）长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线AC 1在各个面上的投影分别是长为1，2，3的线段，则该长方体外接球的表面积为（ ）A ．38B ．23C ．14D ．3410．（5分）已知Ω={（x ,y ）|3x +y ≤4，x ≥0，y ≥0}，A ={（x ,y ）|x ≤y }，若向区域Ω内随机投入一点P ，则点P 落入区域A 的概率为（ ）11．（5分）函数f （x ）=sin （12x +π3）的周期是．12．（5分）甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位：环）甲108999乙1010799如果甲、乙两人只有1人入选，则入选的应是．13．（5分）设F 1，F 2是双曲线x 2−y 224=1的两个焦点，P 是双曲线上的点，且|PF 1|+|PF 2|=14，则△PF 1F 2的面积等于．。
泰州市兴化市第一中学2022-2023学年高二下学期期初考试数学试题
兴化市第一中学2023春学期期初考试卷高二年级数学学科一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，1.已知两条平行直线12:210,:4220l x y l x y +-=++=,则1l 与2l的距离为（）A.5B.5C.D.2.已知{}n a 为等差数列，1233a a a ++=-，55a =，则10a =（）A.5B.10C.13D.153.抛物线24y x =的焦点坐标是（）A.()0,1 B.()1,0 C.10,16⎛⎫⎪⎝⎭D.1,016⎛⎫⎪⎝⎭4.已知定义在(]0,3上的函数()f x 的图象如图，则不等式()0f x '<的解集为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()()0,12,3 5.双曲线E 与椭圆22162x y C +=：焦点相同且离心率是椭圆C 则双曲线E 的标准方程为（）A .2213y x -= B.2221y x -= C.22122x y -= D.2213x y -=6.设函数()22ln f x x a x x=--在()1,2上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A.[]4,5 B.()5,+∞ C.[)4,+∞ D.[)5,+∞7.在等比数列{}n a 中，37,a a 是函数321()4413f x x x x =-+-的极值点，则a 5＝（）A.2-或2B.2- C.2D.8.已知数列{}n a 满足()()111N n n n a na n *+-+=∈，且前n 项和为nS，若N n *∀∈，6n S S ≥，则6S 的取值范围为（）A.73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]0,3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分.部分选对的特2分，有选错的得0分.9.若函数()f x 导函数的部分图像如图所示，则（）A.1x 是()f x 的一个极大值点B.2x 是()f x 的一个极小值点C.3x 是()f x 的一个极大值点D.4x 是()f x 的一个极小值点10.已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20182019S S <且20192020S S >，则（）A.在数列{}n a 中，1a 最大；B.在数列{}n a 中，2019a 最大C.20200a > D.当2020n ≥时，0n a <11.已知圆M ：223330x y x y +--+=与圆N ：22220x y x y +--=的交点为A ，B ，则（）A.直线AB 的方程为30x y +-= B.线段AB 的中垂线方程为10x y +-=C.在过A ，B 的所有圆中，圆M 的半径最小D.线段AB 312.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 是首项和公比均为2的等比数列，将数列{}n a 和{}n b 中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列{}n c ，则下列结论正确的是（）A.1216c =B.数列{}n c 中n b 与1n b +之间共有12n -项C .22nn b a = D.121n n n b c -+-=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在由正数组成的等比数列{}n a 中213424a a a a +=+=，，则56a a +=___________.14.已知双曲线C 过点()1,2，且与双曲线2212y x -=有共同的渐近线，则双曲线C 的方程为______.15.已知x a =是函数32()(3)5f x x a x x =-++的极小值点，则=a _____．16.“牛顿迭代法”是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设r 是()0f x =的根，选取0x 作为r 初始近似值，过点()()00,x f x 作()y f x =的切线,l l 与x 轴的交点横坐标为()()()()010000f x x x f x fx ''=-≠，称1x 是r 的一次近似值；过点()()11,x f x 作()y f x =的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为()()()()121110f x x x f x f x '=-≠'，称2x 是r 的二次近似值； 重复以上过程，得到r 的近似值序列{}n x 为“牛顿数列”，即()()1n n n n f x x x f x +=-'.已知函数()228f x x =-，数列{}n x 为“牛顿数列”，设2ln 2n n n x a x +=-，且11,2n a x =>.数列{}n a 的前n 项和n S =__________.四、解析题：本题共6小题，共70分.解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆C 经过坐标原点O 和点（4，0），且圆心在x 轴上（1）求圆C 的方程；（2）已知直线l ：34110x y +-=与圆C 相交于A 、B 两点，求所得弦长AB 的值．18.已知数列{}n a 满足212n n n a a a ++=，且1411,381a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设31212111()log ,()()(),n n n nf x x b f a f a f a T b b b ==+++=+++ ，求2017T .19.已知函数()3233f x x x bx c =-++在=0x 处取得极大值1.（1）求函数()y f x =的图象在=1x -处的切线方程；（2）求过点()1,1-与曲线()y f x =相切的直线方程.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22114426,4n n nn a S a a a S ++++===.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列13n n a +⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .21.已知函数()()212ln 22f x x a x x a =+-∈R ．（1）若函数()f x 在区间()1,2上不单调，求a 的取值范围；（2）令()()F x f x ax =-，当0a >时，求()F x 在区间[]1,2上的最大值．22.已知()16,0F -，()26,0F ，点P 满足218PF PF -=，记点P 的轨迹为曲线C .斜率为k 的直线l 过点2F ，且与曲线C 相交于A ，B 两点.（1）求斜率k 的取值范围；（2）在x 轴上是否存在定点M ，使得无论直线l 绕点2F 怎样转动，总有22MBF MAF MA S MB S ⋅=⋅△△成立？如果存在，求点M 的坐标；如果不存在，请说明理由.兴化市第一中学2023春学期期初考试卷高二年级数学学科一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知两条平行直线12:210,:4220lx y l x y +-=++=,则1l 与2l的距离为（）A.5B.5C.D.【答案】B 【解析】【分析】先将直线进行化简,再利用平行线间的距离公式即可得出结果.【详解】解:由题知2422:0l x y ++=,即2:210l x y ++=,由1:210l x y +-=,根据平行线间的距离公式可得:5d ==.故选:B2.已知{}n a 为等差数列，1233a a a ++=-，55a =，则10a =（）A.5B.10C.13D.15【答案】D 【解析】【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】由等差中项得12322331a a a a a -=+=⇒=-+，所以5253a a d==+，故2d =，所以105551015a a d =+=+=，故选：D 3.抛物线24y x =的焦点坐标是（）A.()0,1 B.()1,0 C.10,16⎛⎫⎪⎝⎭D.1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】将抛物线方程化为标准方程，由此可得抛物线的焦点坐标．【详解】将抛物线24y x =的化为标准方程为214x y =，18p =，开口向上，焦点在y 轴的正半轴上，所以焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭．故选：C ．4.已知定义在(]0,3上的函数()f x 的图象如图，则不等式()0f x '<的解集为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()()0,12,3 【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象得到单调性，从而确定不等式()0f x '<的解集.【详解】由图象可知：()f x 在()0,1，()2,3上单调递增，在()1,2上单调递减，故等式()0f x '<的解集为()1,2.故选：B5.双曲线E 与椭圆22162x y C +=：焦点相同且离心率是椭圆CE 的标准方程为（）A.2213y x -= B.2221y x -= C.22122x y -= D.2213x y -=【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的方程求出焦点坐标与离心率，设双曲线E 的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>，可得2222243a b c a c a b ⎧+=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，求解即可.【详解】椭圆22162x y C +=：的焦点坐标为()2,0±,3=.设双曲线E 的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由题意可得2222243a b ca c ab ⎧+=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩a b ==所以双曲线E 的标准方程为22122x y -=.故选:C.6.设函数()22ln f x x a x x=--在()1,2上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A.[]4,5 B.()5,+∞ C.[)4,+∞ D.[)5,+∞【答案】D 【解析】【分析】由函数单调递增，可得()2220a f x x x '=+-≤在()1,2上恒成立，孤立参数22a x x ≥+，再设()22h x x x=+，确定()h x 的单调性求最值，即可得实数a 的取值范围.【详解】解：函数()22ln f x x a x x=--在()1,2上单调递减，则()2220af x x x '=+-≤在()1,2上恒成立，所以22a x x ≥+，在()1,2上恒成立，设函数()22h x x x =+，则()()()22222112222x x x h x x x x +--='=-=，所以()0h x '>在()1,2x ∈上恒成立，所以()h x 在()1,2上单调递增，所以()()25h x h <=，所以5a ≥，则实数a 的取值范围是[)5,+∞.故选：D.7.在等比数列{}n a 中，37,a a 是函数321()4413f x x x x =-+-的极值点，则a 5＝（）A.2-或2B.2- C.2D.【答案】C 【解析】【分析】根据题意可知：37,a a 是方程()0f x '=的两根，利用韦达定理和等比数列的性质即可求解.【详解】因为321()4413f x x x x =-+-，所以2()84f x x x '=-+.又因为37,a a 是函数321()4413f x x x x =-+-的极值点，即37,a a 是方程2()840f x x x '=-+=的两根，则有374a a =，由{}n a 为等比数列可知：25374a a a ==，因为3780a a +=>，且374a a =，所以370,0a a >>，则有50a >，所以52a =，故选：C .8.已知数列{}n a 满足()()111N n n n a na n *+-+=∈，且前n 项和为n S ，若N n *∀∈，6n S S ≥，则6S 的取值范围为（）A.73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.90,2⎡⎤⎢⎣⎦C.92,2⎡⎤⎢⎣⎦D.[]0,3【答案】A 【解析】【分析】利用递推关系可得122n n n na na na ++-=，即数列{}n a 是等差数列，结合条件得67150160a d a d =+≥⎧⎨=+≤⎩，再利用等差数列求和公式即得.【详解】∵()()111N n n n a na n *+-+=∈，当1n=时，11a =，又()111n n n a na +-+=①，∴()2111n n na n a +++=+②，由①－②，得122n n n na na na ++-=，即122n n n a a a ++=+，∴数列{}n a 是等差数列.由6n S S ≥，设d为公差，则67150160a d a d =+≥⎧⎨=+≤⎩，解得1156d -≤≤-，则6736152S d ≤=+≤.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分.部分选对的特2分，有选错的得0分.9.若函数()f x 导函数的部分图像如图所示，则（）A.1x 是()f x 的一个极大值点B.2x 是()f x 的一个极小值点C.3x 是()f x 的一个极大值点D.4x 是()f x 的一个极小值点【答案】AB 【解析】【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断.【详解】对于A 选项，由图可知，在1x 左右两侧，函数()f x 左增右减，1x 是()f x 的一个极大值点，A 正确.对于B 选项，由图可知，在2x 左右两侧，函数()f x 左减右增，2x 是()f x 的一个极小值点，B 正确.对于C 选项，由图可知，在3x 左右两侧，函数()f x 单调递增，3x 不是()f x 的一个极值点，C 错误.对于D 选项，由图可知，在4x 左右两侧，函数()f x 左增右减，4x 是()f x 的一个极大值点，D 错误.故选：AB.10.已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20182019S S <且20192020S S >，则（）A.在数列{}n a 中，1a 最大； B.在数列{}n a 中，2019a 最大C.20200a > D.当2020n ≥时，0n a <【答案】AD 【解析】【分析】由题得201920200,0a a ><，即可解决.【详解】由题知，无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，20182019S S <且20192020S S >，所以201920200,0a a ><，所以等差数列{}n a 为递减数列，所以在数列{}n a 中，1a 最大；当2020n ≥时，0n a <；故选：AD11.已知圆M ：223330x y x y +--+=与圆N ：22220x y x y +--=的交点为A ，B ，则（）A.直线AB 的方程为30x y +-=B.线段AB 的中垂线方程为10x y +-=C.在过A ，B 的所有圆中，圆M 的半径最小D.线段AB 3【答案】AC 【解析】【分析】求得直线AB 的方程判断选项A ；求得线段AB 的中垂线方程判断选项B ；求得以线段AB 为直径的圆判断选项C ；求得线段AB 的长度判断选项D.【详解】圆M 的方程为：223330x y x y +--+=，圆心M 3322⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径2圆N 的方程为：22220x y x y +--=圆心N ()11，∵两圆相交于A ，B ，联立上述两方程得30x y +-=，圆心3322⎛⎫⎪⎝⎭，在直线30x y +-=上，则直线30x y +-=与圆M 相交则直线AB 的方程为：30x y +-=，选项A 判断正确；∵线段AB 的中垂线过N 点，又()1,1N ，与直线AB 垂直的直线斜率为1∴AB 的中垂线方程为()111y x -=´-，即y x =，则选项B 判断错误；∵33,22M⎛⎫⎪⎝⎭满足30x y +-=，∴M 在公共弦AB 上，∴AB 的长为圆M 的直径，即AB =D 不对，选项C 对.故选：AC.12.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 是首项和公比均为2的等比数列，将数列{}n a 和{}n b 中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列{}n c ，则下列结论正确的是（）A.1216c = B.数列{}n c 中n b 与1n b +之间共有12n -项C.22nn b a = D.121n n n b c -+-=【答案】AB 【解析】【分析】根据题意可得：数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，则21n a n =-，2n n b =，然后根据数列的性质逐项判断即可求解.【详解】由题意可知：数列{}n a 的前n 项和2n S n =，当1n =时，111aS ==；当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-；经检验，当1n =时也满足，所以21n a n =-；又因为数列{}n b 是首项和公比均为2的等比数列，所以2n n b =.则数列{}n c 为：1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,17,19,21,23, ，所以1216c =，故选项A 正确；数列{}n a 是由连续奇数组成的数列，1,n n b b +都是偶数，所以n b 与1n b +之间包含的奇数个数为112222n n n +--=，故选项B 正确；因为2n nb=，则222n n b =为偶数，但1222121n n n a +=⨯-=-为奇数，所以22n n b a ≠，故选项C 错误；因为2n nb=，前面相邻的一个奇数为21n -，令2121n k a k =-=-，解得：12n k -=，所以数列{}n c 从1到2n 共有12n n -+，也即122n n n nc b -+==，故选项D 错误，故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在由正数组成的等比数列{}n a 中213424a a a a +=+=，，则56a a +=___________.【答案】8【解析】【分析】根据等比数列的通项公式求解.【详解】设公比为q ，因为213424a a a a +=+=，，所以11311224a a a a q q q =++=，，所以13221112a a q a a q q q ++==，所以45225611133412a q a a a a a a a q q q q+===+++，则()563428a a a a =++=，故答案为:8.14.已知双曲线C 过点()1,2，且与双曲线2212y x -=有共同的渐近线，则双曲线C 的方程为______.【答案】2212y x -=【解析】【分析】由题意设双曲线C 方程为222y x λ-=，()0λ≠，再由双曲线C 过点()1,2求解.【详解】解：因为与双曲线2212y x -=有共同的渐近线，所以设双曲线C 方程为：222y x λ-=，()0λ≠，又因为双曲线C 过点()1,2，所以将()1,2代入上式中得1λ=-，∴所求双曲线C 的方程为：2212y x -=，故答案为：2212y x -=15.已知x a =是函数32()(3)5f x x a x x =-++的极小值点，则=a _____．【答案】5【解析】【分析】求导()()23235f x x a x '=-++，根据x a =是函数()f x 的极小值点，由()0f a ¢=求解，并检验即可.【详解】解：因为函数()()3235f x x a x x =-++，所以()()23235f x x a x '=-++，因为x a =是函数()()3235f x x a x x =-++的极小值点，所以()()232350f a a a a '=-++=，即2650a a -+=，解得1a =或5a =，当1a=时，()2385f x x x '=-+，当1x <或53x >时，()0f x ¢>，当513x <<时，()0f x '<，所以，()f x 在区间()5,1,,3⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭上单调递增，()f x 在51,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，不符合题意；当5a =时，()23165f x x x '=-+，当13x <或5x >时，()0f x ¢>，当153x <<时，()0f x '<，所以，()f x 在区间()1,,5,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()f x 在1,53⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，当5x =时，函数()f x 取得极小值，符合题意；所以5a =，故答案为：516.“牛顿迭代法”是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设r 是()0f x =的根，选取0x 作为r 初始近似值，过点()()00,x f x 作()y f x =的切线,l l 与x 轴的交点横坐标为()()()()010000f x x x f x fx ''=-≠，称1x 是r 的一次近似值；过点()()11,x f x 作()y f x =的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为()()()()121110f x x x f x f x '=-≠'，称2x 是r 的二次近似值； 重复以上过程，得到r 的近似值序列{}n x 为“牛顿数列”，即()()1n n n n f x x x f x +=-'.已知函数()228f x x =-，数列{}n x 为“牛顿数列”，设2ln 2n n n x a x +=-，且11,2n a x =>.数列{}n a 的前n 项和n S =__________.【答案】21n -##12n-+【解析】【分析】求出()f x '代入1n x +计算，再计算1122n n x x +++-得21122()22n n n n x x x x ++++=--，左右两边同时取对数得到12n n a a +=，即{}n a 是等比数列，进而求得{}n a 的前n 项和n S .【详解】∵2()28f x x =-，∴()4f x x '=，∴221()284()42n n n n n n n n nf x x x x x x f x x x +-+=-=-='，∴222212221422244(2)2(4244(2)222n n n n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x x x x x +++++++++====+--+---又∵2n x >∴211222lnln()2ln 222n n nn n n x x x x x x +++++==---又∵2ln2n nn x a x +=-，∴12n n a a +=，又∵11a =，∴{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，∴{}n a 的前n 项和1(1)1221112n n nna q S q --===---，故答案为：21n-.四、解析题：本题共6小题，共70分.解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知圆C 经过坐标原点O 和点（4，0），且圆心在x 轴上（1）求圆C 的方程；（2）已知直线l ：34110x y +-=与圆C 相交于A 、B 两点，求所得弦长AB的值．【答案】（1）()2224x y -+=（2）【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.【小问1详解】由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为()2224x y -+=；【小问2详解】由（1）可知：圆C 半径为2r =，设圆心（2，0）到l 的距离为d ，则61115d-==，由垂径定理得：AB ==．18.已知数列{}n a 满足212n n n a a a ++=，且1411,381a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设31212111()log ,()()(),n n n nf x x b f a f a f a T b b b ==+++=+++ ，求2017T .【答案】（1）1(3nna=（2）20171009-【解析】【分析】(1)根据等比数列的定义求解通项公式；(2)利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】因为数列{}n a 满足212n n n a a a ++=，所以112n n nn a a a a +++=，所以数列{}n a 是等比数列，首项为13，设公比为q ，由1411,381a a ==，可得：311813q =⨯，解得13q =.1111(()333n n n a -∴=⨯=.【小问2详解】31()log ()3n n f a n ==-，12(1)()()()122n n n n b f a f a f a n +∴=+++=----=-，1112()1n b n n ∴=--+，1211111111122(1)()()2(1)234111n n n T b b b n n n n -⎡⎤=+++=--+-++=--=⎢⎥+++⎣⎦ ，201720171009T -∴=.19.已知函数()3233f x x x bx c =-++在=0x 处取得极大值1.（1）求函数()y f x =的图象在=1x -处的切线方程；（2）求过点()1,1-与曲线()y f x =相切的直线方程.【答案】（1）960x y -+=（2）320x y +-=【解析】【分析】（1）根据题意结合导数与极值的关系求,b c ，再根据导数的几何意义求切线方程；（2）先设切点坐标，根据导数的几何意义求切线方程，根据题意列式求解0x ，进而可得结果.【小问1详解】()3233f x x x bx c =-++，则()2363f x x x b '=-+，由题意可得()()03001f b f c ⎧'==⎪⎨==⎪⎩，解得01b c =⎧⎨=⎩，即()3231f x x x =-+，()236f x x x '=-，令()0f x ¢>，解得2x >或0x <，故()f x 在()(),0,2,-∞+∞上单调递增，在()0,2上单调递减，则()f x 在=0x 处取得极大值1，即0,1bc ==符合题意.∵()()13,19f f '-=--=，则切点坐标为()1,3--，切线斜率9k =，∴函数()y f x =的图象在=1x -处的切线方程为()391y x +=+，即960x y -+=.【小问2详解】由（1）可得：()3231f x x x =-+，()236f x x x '=-，设切点坐标为()3200,31x x x -+，切线斜率20036kx x =-，则切线方程为()()()32200003136y x x x x x x --+=--，∵切线过点()1,1-，则()()()32200000131361x x x x x ---+=--，整理得()3010x -=，即01x =，∴切线方程为()131y x +=--，即320x y +-=.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22114426,4n n nn a S a a a S ++++===.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列13n n a +⎧⎫⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）132n -⨯（2）2nnTn =⨯【解析】【分析】(1)根据n a 与n S 的关系可得120n n a a +-=，从而确定数列{}n a 为等比数列，即可求通项公式；(2)根据错位相减法求和.【小问1详解】由21444n n nn a S a S ++++=得21444n n n n a a S S +++-=即2144n n n a a a +++=，所以()211222n n n n a a a a +++-=-，因为2126a a ==，所以322120,20,a a a a -=-= ，即120n n a a +-=，所以12n na a +=，所以数列{}n a 是以13a =为首项，2为公比的等比数列，所以11132nn n aa q --==⨯.【小问2详解】由（1）得()11132n n n n a -++⋅=，前n 项和0121223242(1)2n n T n -=⨯+⨯+⨯+++⨯ ，1232223242(1)2n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯ ，两式相减得11212(12)2222(1)22(1)212n n nnn T n n ----=++++-+⨯=+-+⨯- ，即222(1)22n n nn T n n -=+--+⨯=-⨯，所以2n nTn =⨯.21.已知函数()()212ln 22f x x a x x a =+-∈R ．（1）若函数()f x 在区间()1,2上不单调，求a 的取值范围；（2）令()()F x f x ax =-，当0a >时，求()F x 在区间[]1,2上的最大值．【答案】（1）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）利用导函数讨论()f x 单调性，求a 的范围即可；（2）利用导函数求解()F x 在[]1,2上的单调性，按照a 的不同取值分类讨论，即可求得最大值.【小问1详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+()22222a x x a f x x x x-+=+='-令()222g x x x a =-+，其对称轴为1x =，因为函数()f x 在区间()1,2上不单调，所以(1)0(2)0g g <⎧⎨>⎩即12020a a -+<⎧⎨>⎩，解得102a <<，所以a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【小问2详解】()212ln 22F x x a x x ax =+--，函数()F x 的定义域为()0,∞+()()()222222x x a a x x ax a F x x a x x x----+='=+--=①01a <≤时，令()0F x '>得0x a <<或2x >，令()0F x '<得2a x <<，所以函数()F x 在[]1,2上单调递减，所以()max 3()12F x F a==--②12a <<时，由①知()F x 在()1,a 上单调递增，在(),2a 上单调递减，所以()2max 1()2ln 22F x F a a a a a ==--③2a=时，()0F x '≥，所以()F x 在[]1,2上单调递增，所以()max ()22ln222F x F a a ==--④2a>时，令()0F x '>得02x <<或x a >，令()0F x '<得2x a <<，所以函数()F x 在[]1,2上单调递增，所以()max ()22ln222F x F a a ==--综上：01a <≤时，()max 3()12F x F a==--12a <<时，()2max 1()2ln 22F x F a a a a a ==--2a ≥时，()max ()22ln222F x F a a ==--22.已知()16,0F -，()26,0F ，点P 满足218PF PF -=，记点P 的轨迹为曲线C .斜率为k 的直线l 过点2F ，且与曲线C 相交于A ，B 两点.（1）求斜率k 的取值范围；（2）在x 轴上是否存在定点M，使得无论直线绕点2F 怎样转动，总有22MBF MAF MA S MB S ⋅=⋅△△成立？如果存在，求点M 的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）,,22⎛⎫⎛⎫+∞⋃-∞-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）存在，8,03M⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意可得点P 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线的右支，从而可得曲线C 的方程，则可求得其渐近线方程，从而可求出斜率k 的取值范围；（2）将直线l 的方程代入双曲线方程化简利用根与系数的关系，设(),0M t ，由22MBF MAF MA S MB S ⋅=⋅△△，得0AM BM k k +=，即()()()()12211212120y x t y x t y yx t x t x t x t -+-+==----，化简结合前面的式子可求出t 的值，从而可得答案.【小问1详解】依题意12128PF PF F F -=<，所以点P 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线的右支.则6c=，28a =，4a =，b ==，所以曲线C 的方程为()22141620x y x -=≥.曲线C 的方程()22141620x y x -=≥为对应的渐近线方程为2y x=±，根据渐近线的性质可知，要使直线():6l y k x =-与曲线C 有2个交点，则k 的取值范围是,,22⎛⎫⎛⎫+∞⋃-∞-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】由题意得直线l 为(6)y k x =-，由22(6)11620y k x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并化简得()22225448144800k x k x k -+--=，其中4x ≥，,22k ⎛⎫⎛⎫∈+∞-∞- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设()11,A x y ，()22,B x y ，则21224845k x x k +=-，21221448045k x x +⋅=-，设(),0M t ，因为22MBF MAF MA S MB S ⋅=⋅△△，即0AM BM k k +=，则()()()()12211212120y x t y x t y yx t x t x t x t -+-+==----，()()12210y x t y x t -+-=，()()()()1221660k x x t k x x t --+--=，0k ≠，()()()()1221660x x t x x t --+--=，所以()()121226120x x t x x t -+++=，所以()22221448048261204545k k t t k k +⋅-+⋅+=--，()()()22222144804861245045k t k t k k ⋅+-++-=-，()()222144802466450k t k t k +-++-=，80300t -=，83t =，所以存在8,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，使22MBF MAF MA S MB S ⋅=⋅ △△成立。
江苏省苏州市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题含解析
2023~2024学年第一学期高二期中调研试卷数学（答案在最后）注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共4页、包含单项选择题（第1题~第8题），多项选择题（第9题~第12题）.填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的学校、班级、姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整，笔迹清楚．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.直线320x y +-=的方向向量为（）A.()1,3- B.()1,3 C.()3,1- D.()3,1【答案】A 【解析】【分析】根据直线的斜率得到直线的一个方向向量为()1,k ，再求其共线向量即可.【详解】由题意得直线320x y +-=的斜率为-3，所以直线的一个方向向量为()1,3-，又()()1,31,3-=--，所以()1,3-也是直线320x y +-=的一个方向向量.故选：A.2.等差数列{}n a 中，若39218a a +=，则263a a +的值为（）A.36B.24C.18D.9【答案】B 【解析】【分析】由等差数列通项公式求基本量得5146d a a +==，再由2639532a a a a a +=++即可求值.【详解】令{}n a 的公差为d ，则3911122(2)831218a a a d a d a d +=+++=+=，即5146d a a +==，则2624683953218624a a a a a a a a a +=+++=++=+=.故选：B3.与直线3x﹣4y+5=0关于y 轴对称的直线方程是（）A.3x+4y+5=0 B.3x+4y﹣5=0C.3x﹣4y+5=0D.3x﹣4y﹣5=0【答案】B 【解析】【分析】分别求出直线3450x y -+=与坐标轴的交点，分别求得关于y 轴的对称点，即可求解直线的方程．【详解】令0x =，则54y =，可得直线3450x y -+=与y 轴的交点为5(0,)4，令0y =，则53x =-，可得直线3450x y -+=与x 轴的交点为5(,0)3-，此时关于y 轴的对称点为5(,0)3，所以与直线3450x y -+=关于y 轴对称的直线经过两点55(0,),(,0)43，其直线的方程为15534x y +=，化为3450x y +-=，故选B ．【点睛】本题主要考查了直线方程点的求解，以及点关于线的对称问题，其中解答中熟记点关于直线的对称点的求解，以及合理使用直线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.经过原点和点()3,1-且圆心在直线350x y +-=上的圆的方程为（）A.()()22510125x y -++= B.()()22125x y ++-=C.()()22125x y -+-= D.2252539x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】令圆心为(,53)x x -，由圆所经过的点及两点距离公式列方程求出圆心坐标，即可写出圆的方程.【详解】由题设，令圆心为(,53)x x -，又圆经过原点和点()3,1-，所以()()()2222253363r x x x x =+-=-+-，整理可得53x =，故圆心为5(,0)3，所以半径平方2259r =，则圆的方程为2252539x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.故选：D5.设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的通项公式和一次函数性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可.【详解】令{}n a 公差为d 且0d ≠的无穷等差数列，且11(1)()n n d a a a dn d =+-=+-，若{}n a 为递减数列，则0d <，结合一次函数性质，不论1a 为何值，存在正整数0N ，当0n N >时0n a <，充分性成立；若存在正整数0N ，当0n N >时0n a <，由于0d ≠，即{}n a 不为常数列，故1()n a dn a d =+-单调递减，即0d <，所以{}n a 为递减数列，必要性成立；所以“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a <”的充分必要条件.故选：C6.已知点()4,3P ，点Q 在224x y +=的圆周上运动，点M 满足PM MQ =，则点M 的运动轨迹围成图形的面积为（）A.πB.2πC.3πD.4π【答案】A 【解析】【分析】设(,)M x y ，00(,)Q x y ，由动点转移法求得M 点轨迹方程，由方程确定轨迹后可得面积．【详解】设(,)M x y ，00(,)Q x y ，由PM MQ =得M 是线段PQ 中点，∴002423x x y y =-⎧⎨=-⎩，又Q 在圆224x y +=上，22(24)(23)4x y -+-=，即223(2)()12x y -+-=，∴M 点轨迹是半径为1的圆，面积为πS =，故选：A ．7.等比数列{}n a 中，123453a a a a a ++++=，222221234515a a a a a ++++=，则12345a a a a a -+-+=（）A.5-B.1-C.5D.1【答案】C 【解析】【分析】由等比数列前n 项和公式写出已知与待求式后，进行比较，已知两式相除即得.【详解】设公比为q ，显然1q ≠±，则由题意得5121012(1)31(1)151a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，两式相除得51(1)51a q q +=+，所以551112345[1()](1)51()1a q a q a a a a a q q--+-+-+===--+，故选：C.8.过点()2,0P 作圆2241x y y +-=的两条切线，设切点分别为,A B ，则PAB 的面积为（）A.8B.2C.8D.【答案】A 【解析】【分析】写出圆的标准方程得圆心为(0,2)C，半径r =，进而有||CP =，由圆的切线性质得||||BP AP ==，sin BPC BPC ∠=∠=，2BPA BPC ∠=∠，最后应用倍角正弦公式、三角形面积公式求PAB 面积.【详解】由题设，圆的标准方程为22(2)5x y +-=，圆心为(0,2)C，半径r =，所以||CP =，如下图示，切点分别为,A B，则||||BP AP ===，所以||||sin ||||BC BP BPC BPC CP CP ∠==∠==2BPA BPC ∠=∠，所以15sin sin 22sin cos 4BPA BPC BPC BPC ∠=∠=∠∠=，所以11||||sin 2248PAB S BP AP BPA =∠==.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9.已知直线:0l x my m ++=，若直线l 与连接()()3,2,2,1A B -两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角可以是（）A.2π3 B.π2C.π4D.π6【答案】ABC 【解析】【分析】求出直线l 过的定点，从而求得,AC BC k k ，进而利用数形结合可得直线l 倾斜角的范围，由此得解.【详解】因为直线:0l x my m ++=可化为()10x y m ++=，所以直线l 过定点()0,1C -，又()()3,2,2,1A B -，所以()21130AC k --==---，()11120BC k --==-，故直线AC 的倾斜角为3π4，直线BC 的倾斜角为π4，结合图象，可知直线l 的倾斜角范围为π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故ABC 正确，D 错误.故选：ABC.10.设,n n S T 分别是等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的前()*Nn n ∈项和，下列说法正确的是（）A.若15160a a +>，15170a a +<，则使0n S >的最大正整数n 的值为15B.若5nn T c =+（c 为常数），则必有1c =-C.51051510,,S S S S S --必为等差数列D.51051510,,T T T T T --必为等比数列【答案】BCD 【解析】【分析】A 由已知可得129152d a d -<<-，且0d <，再应用等差数列前n 项和公式及0n S >得1201a n d<<-，即可判断；B 由等比数列前n 项和公式有11511n n n b b q T c q q =-=+--，即可判断；C 、D 根据等差、等比数列片段和的性质直接判断.【详解】令{}n a 的公差为d ，则11(1)()n n d a a a dn d =+-=+-，所以151611517122902300a a a d a a a d +=+>⎧⎨+=+<⎩，故129152d a d -<<-，且0d <，使211(1)()0222n n n d dS na d n a n -=+=+->，则1201a n d <<-，而122930a d <-<，即121(30,31)ad-∈，故030n <≤，所以使0n S >的最大正整数n 的值为30，A 错；令{}n b 的公比为q 且0q ≠，则()11115111nnn n b q b b q T c qq q-==-=+---（公比不能为1），所以1511q b q =⎧⎪⎨=-⎪-⎩，即1c =-，B 对；根据等差、等比数列片段和的性质知：51051510,,S S S S S --必为等差数列，51051510,,T T T T T --必为等比数列，C 、D 对.故选：BCD11.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前()*Nn n ∈项和为nS，前()*Nn n ∈项积为nT ，若1132a=，56T T =，则（）A.2q = B.当且仅当6n =时，n T 取得最小值C.()*11N ,11n n T T n n -=∈< D.n n S T >的正整数n 的最大值为11【答案】AC 【解析】【分析】根据56T T =确定6a ，561a q a =求出q 的值确定A ，根据数列项的变化，确定B ，利用等比数列的基本量运算判断C ，根据n n S T >转化二次不等式，从而确定正整数n 的最大值判断D.【详解】对于A ，因为56T T =，所以6651T a T ==，因为56132a q a ==，解得2q =，故A 正确；对于B ，注意到61a =，故15,Z n n ≤≤∈时，01n a <<，7,Z n n ≥∈时，1n a >，所以当5n =或6n =时，n T 取得最小值，故B 错误；对于C ，()()()21111215*221231222N ,11n n n nnn n n n T a a a a a q n n --+++--===⋅=∈< ，()()()()2111011111112105*221112111222N ,11n n n n nn n n n T a a a a q n n -----+++----===⋅=∈< ，所以()*11N ,11n n T T n n -=∈<，故C 正确；对于D ，()1512112n n n a q S q--==-，21122n n n T -=，因为n n S T >，所以211252212n nn -->，即211102212n n n -+->，所以211102212n n n -+->，即211102n n n -+>，所以131322n <<，正整数n 的最大值为12，故D 错误，故选：AC.12.已知圆22:4C x y +=，圆22:860M x y x y m +--+=（）A.若8m =，则圆C 与圆M 相交且交线长为165B.若9m =，则圆C 与圆M 有两条公切线且它们的交点为()3,4--C.若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则16m >D.若圆M 恰好平分圆C 的周长，则4m =-【答案】AD 【解析】【分析】A 、B 将圆M 化为标准形式，确定圆心和半径，判断圆心距与两圆半径的关系，再求相交弦长判断；C 由题意知两圆相离，根据圆心距大于两圆半径之和及圆的方程有意义求参数范围；D 由题意相交弦所在直线必过(0,0)C ，并代入相交弦方程求参数即可.【详解】A ：8m =时圆22:(4)(3)17M x y -+-=，则(4,3)M，半径r =，而圆22:4C x y +=中(0,0)C ，半径2r '=，所以||5CM =，2||2CM -<<+，即两圆相交，此时相交弦方程为4360x y +-=，所以(0,0)C 到4360x y +-=的距离为65d =，故相交弦长为1625=，对；B ：9m =时圆22:(4)(3)16M x y -+-=，则(4,3)M ，半径4r =，同A 分析知：42||42CM -<<+，故两圆相交，错；C ：若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则两圆相离，则||2CM r r r '>+=+，而圆22:(4)(3)25M x y m -+-=-，即r =所以250162525m m ->⎧⎪⇒<<⎨<⎪⎩，错；D ：若圆M 恰好平分圆C 的周长，则相交弦所在直线必过(0,0)C ，两圆方程相减得相交弦方程为8640x y m +--=，将点代入可得4m =-，对.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡相应的位置上．13.若{}n a 是公差不为0的等差数列，248,,a a a 成等比数列，11a =，n S 为{}n a 的前()*Nn n ∈项和，则1210111S S S +++ 的值为___________．【答案】2011【解析】【分析】由等差数列中248,,a a a 成等比数列，解出公差为d ，得到n a ，求出n S ，裂项相消求1210111S S S +++ 的值.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，248,,a a a 成等比数列，由2428a a a =，则()()()211137a d a d a d +=++，即()()()213117d d d +=++，由0d ≠，得1d =，所以()11n a a n d n =+-=，则有()()1122n n n a a n n S ++==，得()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以121011111101111112021211221311S S S ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- .故答案为：201114.平面直角坐标系xOy 中，过直线1:7310l x y -+=与2:430l x y +-=的交点，且在y 轴上截距为1的直线l 的方程为_______________．（写成一般式）【答案】9550x y +-=【解析】【分析】设交点系方程，结合直线过(0,1)求方程即可.【详解】由题设，令直线l 的方程为731(43)0x y x y λ-+++-=，且直线过(0,1)，所以031(043)02λλ-+++-=⇒=，故直线l 的方程为9550x y +-=.故答案为：9550x y +-=15.如图，第一个正六边形111111A B C D E F 的面积是1，取正六边形111111A B C D E F 各边的中点222222,,,,,A B C D E F ，作第二个正六边形222222A B C D E F ，然后取正六边形222222A B C D E F 各边的中点333333,,,,,A B C D E F ，作第三个正六边形，依此方法一直继续下去，则前n 个正六边形的面积之和为_______________．【答案】3414n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据题设分析出前n 个正六边形的面积是首项为1，公比为34的等比数列，应用等比数列前n 项和公式求面积和.【详解】由题设知：后一个正六边形与前一个正六边形的边长比值为2，故它们面积比为34，所以前n 个正六边形的面积是首项为1，公比为34的等比数列，所以前n 个正六边形的面积之和31()344[1()]3414nn S -==--.故答案为：34[1()]4n-16.已知实数,,a b c 成等差数列，在平面直角坐标系xOy 中，点()4,1A ，O 是坐标原点，直线:230l ax by c ++=．若直线OM 垂直于直线l ，垂足为M ，则线段AM 的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质及直线方程有:()(3)0l a x y c y +++=，求出直线所过的定点，结合已知M 在以||OB 为直径的圆上，且圆心33(,22C -，半径为2，问题化为求()4,1A 到该圆上点距离的最小值.【详解】由题设2b a c =+，则:()30l ax a c y c +++=，即:()(3)0l a x y c y +++=，令03303x y x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩，即直线l 恒过定点(3,3)B -，又OM l ⊥，所以M 在以||OB 为直径的圆上，且圆心33(,)22C -，半径为2，要求AM 的最小值，即求()4,1A 到该圆上点距离的最小值，而52||2CA =，所以min 22AM =-=四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线()1:2120l x a y ---=，()()()2:22130R l a x a y a ++++=∈．（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）若1//l 2l ，求12,l l 之间的距离．【答案】（1）1a =-或52；（2【解析】【分析】（1）由两线垂直的判定列方程求参数即可；（2）由两线平行的判定列方程求参数，注意验证是否存在重合情况，再应用平行线距离公式求距离.【小问1详解】由12l l ⊥，则2(2)(1)(21)0a a a +--+=，即22350a a --=，所以(25)(1)0a a -+=，可得1a =-或52.【小问2详解】由1//l 2l ，则22121a a a++=-，可得250a a +=，故0a =或5-，当0a =，则1:220l x y +-=，2:230l x y ++=，此时满足平行，且12,l l=；当5a =-，则1:310l x y +-=，2:310l x y +-=，此时两线重合，舍；综上，1//l 2l 时12,l l18.已知等差数列{}n a ，前()*Nn n ∈项和为n S ，又294,90a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设9n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2n a n =（2）()()228,14,N 832,5,N n n n n n T n n n n **⎧-≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩【解析】【分析】（1）根据等差数列的求和公式和等差数列的通项公式即得.（2）由992n n b a n =-=-，令920n c n =->求出n 的取值范围，再分段求出数列{}n b 的前n 项和nT 【小问1详解】设等差数列的公差为d ，首项为1a ，因为990S =，所以()199599902a a S a +===，所以510a =，由5231046a a d -==-=，解得2d =，又24a =，所以()()224222n a a n d n n =+-=+-⨯=；【小问2详解】992n n b a n=-=-设92n c n =-，{}n c 的前n 项和为n S ，得()279282n n S n n n +-=⨯=-，920n c n =->，得92n <当14n ≤≤时，0n c >，即n n b c =，所以214,8n n n T S n n≤≤==-当5n ≥时，得0n c <，所以n n b c =-，则()()12456n n T c c c c c c =+++-+++ ()()224442328832n n S S S S S n n n n =--=-=--=-+综上所述：()()228,14,N 832,5,N n n n n n T n n n n **⎧-≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩19.已知数列{}n a 的首项123a =，且满足121n n na a a +=+．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）设()11n n n b a --=，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．【答案】（1）证明见解析（2）4134n n-⨯【解析】【分析】（1）121n n n a a a +=+，取倒数得1112n n n a a a ++=，化简整理即可判断11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）法一：将2n S 转化为()1111n n a +⎧⎫⎛⎫⎪⎪--⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭的前n 项和，结合（1）中结论即可得解；法二：结合（1）中结论得()1112n n n b -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，应用分组求和及等比数列的前n 项和公式即可得解.【小问1详解】因为1122,13n n n a a a a +==+，所以0n a ≠，所以11111222n n n n a a a a ++==+，所以1111122n n a a +-=-，即11111(1)2n na a +-=-因为11211,1032a a =-=≠，1111121n na a +-=-，所以11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列；【小问2详解】法一：21234212111111n n nS a a a a a a -=-+-++- 1234212111111111111n n a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+---++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭易知()1111n n a +⎧⎫⎛⎫⎪⎪--⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以12为首项，12-为公比的等比数列，所以2221111122412133412n n n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪- ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦⎝⎭===⨯⎛⎫-- ⎪⎝⎭；法二：由（1）1112n n a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1112n n a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()111112n nn n n b a ---⎛⎫==--- ⎪⎝⎭所以22211111224120133412n n n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎣⎦⎝⎭=-==⨯⎛⎫-- ⎪⎝⎭．20.如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，28AB CD ==，,AB CD 间的距离为4，以线段AB 的中点为坐标原点O ，建立如图所示的平面直角坐标系，记经过,,,A B C D 四点的圆为圆M ．（1）求圆M 的标准方程；（2）若点E 是线段AO 的中点，P 是圆M 上一动点，满足24PO PE ≥，求动点P 横坐标的取值范围．【答案】（1）2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（2）652,2⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）根据圆所过点的坐标求解圆的方程即可.（2）根据P 是圆M 上一动点，满足24PO PE ≥，设P 点坐标带入化简求解，依据图像即可得出答案.【小问1详解】如图，因为28AB CD ==，,AB CD 间的距离为4，所以()()()()4,0,4,0,2,4,2,4A B C D --，经过,,,A B C D 四点的圆即经过,,A B C 三点的圆，法一：AB 中垂线方程即0x =，BC 中点为()3,2，04242BC k -==--，所以BC 的中垂线方程为()1232y x -=-，即1122y x =+，联立01122x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩，得圆心坐标10,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2216540022MB ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；法二：设圆M 的一般方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，代入()()()4,0,4,0,2,4A B C -，4160416024200D F D F D E F -++=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩解得0116D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；法三：以AB 为直径的圆方程为()()2440x x y +-+=，直线:0AB y =，设圆M 的方程为()()2440x x y y λ+-++=，代入()2,4C ，解得1λ=-，所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；【小问2详解】()2,0E -，设圆M 上一点(),P x y ，()(),,2,PO x y PE x y =--=--- ，因为24PO PE ≥，所以()()()224x x y y ---+--≥，即222240x y x ++-≥，由222240x y x ++-≥对应方程为圆()22222240125x y x x y ++-=⇒++=所以P 点在圆()22125x y ++=上及其外部，22221602240x y y x y x ⎧+--=⎨++-=⎩解得122,4x x ==，所以两圆交点恰为()()4,0,2,4B C ，结合图形，当圆M 上一点纵坐标为12时，横坐标为342x =>，所以点P横坐标的取值范围是2,2⎡⎢⎣⎦．.21.平面直角坐标系xOy 中，直线0:3213x y l +-=，圆M ：22128480x y x y +--+=，圆C 与圆M 关于直线l 对称，P 是直线l 上的动点．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，设线段AB 的中点是Q ，是否存在定点H ，使得QH 为定值，若存在，求出该定点H 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=（2）存在；64,1313H ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用对称求出C 点坐标，即可得到圆C 的标准方程；（2）设P 点坐标，,A B 在以PC 为直径的圆N 上，由圆C 与圆N 求公共弦AB ，得直线AB 过定点T ，Q 点是在以CT 为直径的圆上，所以存在点H 是CT 的中点，使得QH 为定值．【小问1详解】圆M 化成标准方程为()()22644x y -+-=，圆心()6,4M ，半径为2，设圆心()00,C x y ，圆C 与圆M 关于直线l 对称，直线0:3213x y l +-=的斜率为32-，所以00004263643213022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⨯+⨯-=⎪⎩，解得0000x y =⎧⎨=⎩，所以()0,0C ，圆C 的方程为224x y +=.【小问2详解】因为P 是直线l 上的动点，设132,32P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,PA PB 分别与圆C 切于,A B 两点，所以,CA PA CB PB ⊥⊥，所以,A B 在以PC 为直径的圆N上，圆N 的方程()22221331334242t t x t y t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即22132302x y tx t y ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭AB 为圆C 与圆N 的公共弦，由222240132302x y x y tx t y ⎧+-=⎪⎨⎛⎫+-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，作差得AB 方程为1323402tx t y ⎛⎫---= ⎪⎝⎭即()1323402t x y y -+-=令23013402x y y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩得1213813x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，设128,1313T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线AB 过定点128,1313T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又Q 是AB 中点，所以CQ AB ⊥，则有Q 点是在以CT 为直径的圆上，所以存在点H 是CT 的中点，使得12QH CT =为定值，坐标为64,1313H ⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.记首项为1的递增数列为“W -数列”．（1）已知正项等比数列{}n a ，前()*Nn n ∈项和为n S ，且满足：222n n a S +=+．求证：数列{}n a 为“W -数列”；（2）设数列{}()*Nn b n ∈为“W -数列”，前()*N n n ∈项和为n S ，且满足()32*1N n i n i b S n ==∈∑．（注：3333121n i n i bb b b ==+++∑ ）①求数列{}n b 的通项公式n b ；②数列{}()*N n c n ∈满足33n n n b b c =，数列{}n c 是否存在最大项？若存在，请求出最大项的值，若不存在，请说明理由．（参考数据： 1.44≈≈）【答案】（1）证明见解析（2）①n b n =；②存在；最大项为31c =【解析】【分析】（1）利用等比数列中,n n a S 的关系求解；（2）利用等差数列的定义以及,n n a S 的关系求解，并根据数列的单调性求最值.【小问1详解】设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为222n n a S +=+，则3122n n a S ++=+，两式相减得3212n n n a a a +++-=，即()()()2112210n n a q q a q q ++--=-+=,因为0,0n a q >>，所以2q =，222n n a S +=+中，当1n =时，有3122=+a a ，即11422a a =+，解得11a =，因此数列{}n a 为“W -数列”；【小问2详解】①因为()32*1N n i n i bS n ==∈∑所以3211b b =，又{}n b 为“W -数列”，所以11b =，且1n n b b +>，所以{}n b 各项为正，当2n ≥，321n i ni b S ==∑①，13211n i n i b S --==∑②，①一②得：3221n n n b S S -=-，即()()311n n n n n b S S S S --=-+，所以21n n n b S S -=+③，从而211n n n b S S ++=+④，④-③得：2211n n n n b b b b ++-=+，即()()111n n n n n n b b b b b b ++++-=+，由于{}n b 为“W -数列”，必有10n n b b ++>，所以11n n b b +-=，()2n ≥，又由③知2221b S S =+，即22122b b b =+，即22220b b --=得22b =或21b =-（舍）所以211b b -=，故()*11n n b b n N +-=∈所以{}n b 是以1为首项，公差是1的等差数列，所以n b n =；②303n n n c =>，所以31113n n c n c n ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，令311113n n c n c n ++⎛⎫=< ⎪⎝⎭，得 2.27n >≈，。
江苏省兴化市2022-2023学年高二下学期期中数学试题(含解析)
江苏省兴化市2022-2023学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．899091100⨯⨯⨯⨯ 可以表示为( )．A ．10100A B ．11100A C ．12100A D ．13100A 2．从7本书中任意选取2本，不同的选法种数为（ ）．A ．84B ．42C ．30D ．213．已知()2,0,2a =，()3,0,0= b 分别是平面α，β的法向量，则平面α，β交线的方向向量可以是（ ）A ．()1,0,0B ．()0,1,0C ．()0,0,1D ．()1,1,14．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排1人，问天实验舱与梦天实验舱各安排2人，且甲、乙两人被安排在同一个舱内，则共有（ ）种方案．A ．3B ．6C ．30D ．605．若a b c，，构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ）A ．a b a c b +- ,,B ．c b c b c +- ,,C ．b c a b c a+++ ,,D ．a a b a b+- ,,6．某单位安排甲、乙、丙、丁四人去A 、B 、C 三个劳动教育基地进行社会实践，每个人去一个基地，每个基地至少安排一个人，则乙被安排到A 基地的排法总数为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．367．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成A ．36B ．39C ．16D ．198．已知()()()()112,mnf x x x m n =+++∈∈N N **，()f x 的展开式中含x 的项的系数为则()f x 的展开式中含2x 的项的系数的最小值是（ ）A ．18B ．25C ．27D ．30二、多选题四、解答题17．计算（写出计算过程，结果用数字作答）：(1)23454A 5A +；(2)2222310C C C +++ ．18．从6名男生和5名女生中选出4人去参加某项大赛．(1)如果要求4人中男生和女生都要有，那么有多少种选法（用数字作答）？(2)如果男生甲和女生乙最多只能选1人，那么有多少种选法（用数字作答）？19．已知在正三棱锥P －ABC 中，点M ，N 分别是线段AB ，PC 的中点，记PA a =，PB b = ，PC c = ．(1)分别用a ，b ，c 来表示向量PM ，BN；(2)若a ，b ，c两两垂直，求直线PM 与BN 所成角的余弦值．EF PF，求PD的长；(1)若⊥(2)若平面DEF与平面ABCD 值.22．已知数列{}n a的首项为(1)若{}a为常数列，求(8f参考答案：1．C【分析】根据排列数的计算公式()()()12··1mn A n n n n m ⋅-⋅-- ＝＋即可判断﹒【详解】899091100⨯⨯⨯⨯ ＝12100A ，故选：C ﹒2．D【分析】利用组合数求解即可.【详解】从7本书中任意选取2本，不同的选法种数为2721C =故选：D 3．B【分析】根据平面的交线都与两个平面的法向量垂直求解.【详解】因为四个选项中，只有()()()0,1,02,0,20,1,00⋅=⋅=a ，()()()0,1,03,0,00,1,00⋅=⋅=b ，所以平面α，β交线的方向向量可以是()0,1,0故选：B 4．B【分析】先考虑天和核心舱，然后再考虑剩下的两个舱即可.【详解】先除甲、乙外的3名航天员种挑1人到天和核心舱有13C 种情况，然后剩下的2名航天员一组，甲乙一组分配到剩下的两个舱有22A 种情况，所以共有1232C A 6=.故选：B.5．A【分析】根据空间向量共面定理可知BCD 选项中的向量共面，无法作为一组基底；假设A 中向量共面，可知不存在满足条件的实数,λμ，由此知假设错误，则A 中向量可以作为基底.【详解】对于A ，假设a b a c b +-，， 共面，则可设()(),a b a c b λμλμ+=-+∈R【详解】如图建立空间直角坐标系，()1,1,0A ，E )1,0-，()1,1,2AG =--u u u r，CQ = 1AEGD 的法向量为()111,,m x y z =对于A, ()a b c a c +⋅=⋅+ 对于B ，a b AB AD +=+易知112AC AD CD ===）a ，b ，c两两垂直，所以又因为()21122PM a ba =+=u u u r r r r cos ,PM BN PM BN PM BN ⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r2421,0,,,,,2333m m DE DF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令2z =，得,2mx m y =-=-，所以若平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角为。
江苏省兴化中学高二数学期中考试
江苏省兴化中学高二数学期中考试 试卷分析兴化中学 孙健一、数学试卷基本特点（1）整卷共20道题，满分160分，考试时间为120分钟。
其中“简易逻辑、直线与圆、圆锥曲线”三个知识领域分值比例约为1:3:4。
容易题、中等题、难题分值比例约为7:1:2。
(2)试卷重在考查《数学课程标准》所设置的课程目标的落实情况，重在对学生学习数学知识与技能以及数学思维能力等方面发展状况的评价。
（3）试卷中第14题渗透了解析法的思想，第19题是2010年江苏高考题改编题，它们是整份试卷中的亮点。
下面就阅卷抽样调查的192份的得分情况进行分析.(48本试卷，每本座位号末尾为3的作为抽象对象)二、总体考试情况及各题得分情况统计一)、填空题1——14）：(小数部)从表中可以看出，填空题、15、16、17得分率较高，14、18、19、20题得分较差。
三、答题情况及部分试题分析从答卷情况来看，大部分学生都能较好地掌握了本学期的基础知识。
阅卷过程发现学生答题中不泛简捷、精彩的解法，富有个性，显示了思维的广阔性。
但同时也发现学生在做题过程中存在不少问题。
例如：第1题考察含有一个量词的否定，由于平时训练到位,得分较高.第2题考察充要条件与椭圆的概念，部分学生对椭圆概念理解不够,导致得分较低。
第3题考察三点共线，做法是直接代入公式。
第4题考察棱柱、棱台的概念，由于学生刚接触立体几何，得分不佳。
第5题考察圆与圆相交，相交弦的有关问题。
第6题考察圆的几何性质，理解任意一点关于圆的对称点还在圆上的含义即可。
第7题考察直线与圆的位置关系，能作出圆心到直线的距离是此题的关键所在。
第8题是需要学生思考过圆内一点的弦最长和最短的问题，对于开发学生的思维有很大的好处。
第9题抛物线与圆相结合，考察抛物线的方程。
第10题对双曲线的渐近线以及点到直线的距离进行考察，学生出错的主要原因是认为双曲线的顶点在x轴上。
第11题是椭圆与双曲线相结合，考察概念的一个好题。
兴化中学期中考试数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. $\sqrt{2}$B. $\pi$C. $-3\sqrt{3}$D. $\frac{1}{2}$2. 已知等差数列$\{a_n\}$的第三项$a_3=7$，第五项$a_5=13$，则该数列的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列函数中，是奇函数的是（）A. $f(x) = x^2$B. $f(x) = |x|$C. $f(x) = \frac{1}{x}$D. $f(x) = x^3$4. 已知函数$f(x) = 2x^2 - 3x + 1$，若$f(a) = f(b)$，则$a$和$b$的关系是（）A. $a = b$B. $a + b = \frac{3}{2}$C. $a - b = \frac{3}{2}$D. $a^2 + b^2 = \frac{5}{4}$5. 下列各式中，正确的是（）A. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2ab$B. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 - 2ab$C. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab$D. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 + 2ab$6. 在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于原点对称的点是（）A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（-2，3）D.（3，-2）7. 已知等腰三角形底边长为8，腰长为10，则该三角形的面积为（）A. 32B. 40C. 48D. 568. 在直角坐标系中，直线$y = 2x - 1$与$y$轴的交点坐标是（）A.（0，1）B.（0，-1）C.（1，0）D.（-1，0）9. 若等比数列$\{a_n\}$的首项为2，公比为$\frac{1}{2}$，则第10项$a_{10}$为（）A. $2^9$B. $2^8$C. $2^7$D. $2^6$10. 若方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的两根为$a$和$b$，则$a^2 + b^2$的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 若$a + b = 5$，$ab = 6$，则$a^2 + b^2$的值为________。
2023-2024学年江苏省苏州市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．直线3x +y ﹣2＝0的方向向量为（ ） A ．（﹣1，3）B ．（1，3）C ．（﹣3，1）D ．（3，1）2．等差数列{a n }中，若2a 3+a 9＝18，则a 2+3a 6的值为（ ） A ．36B ．24C ．18D ．93．与直线3x ﹣4y +5＝0关于y 轴对称的直线方程是（ ） A ．3x +4y ﹣5＝0B ．3x +4y +5＝0C ．3x ﹣4y +5＝0D ．3x ﹣4y ﹣5＝04．经过原点和点（3，﹣1）且圆心在直线3x +y ﹣5＝0上的圆的方程为（ ） A ．（x ﹣5）2+（y +10）2＝125 B ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝5C ．（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5D ．(x −53)2+y 2=2595．设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递减数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知点P （4，3），点Q 在x 2+y 2＝4的圆周上运动，点M 满足PM →=MQ →，则点M 的运动轨迹围成图形的面积为（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π7．等比数列{a n }，满足a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝3，a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=15，则a 1﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5的值是（ ）A ．3B ．√5C ．−√5D ．58．过点P （2，0）作圆x 2+y 2﹣4y ＝1的两条切线，设切点分别为A ，B ，则△P AB 的面积为（ ） A ．3√158B ．√152C ．5√158D ．√15二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 9．已知直线l ：x +my +m ＝0，若直线l 与连接A （﹣3，2），B （2，1）两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角可以是（ ） A ．2π3B ．π2C ．π4D ．π610．设S n ，T n 分别是等差数列{a n }和等比数列{b n }的前n （n ∈N *）项和，下列说法正确的是（ ）A ．若a 15+a 16＞0，a 15+a 17＜0，则使S n ＞0的最大正整数n 的值为15B ．若T n =5n +c （c 为常数），则必有c ＝﹣1C ．S 5，S 10﹣S 5，S 15﹣S 10必为等差数列D ．T 5，T 10﹣T 5，T 15﹣T 10必为等比数列11．已知等比数列{a n }的公比为q ，前n （n ∈N *）项和为S n ，前n （n ∈N *）项积为T n ，若a 1=132，T 5＝T 6，则（ ） A ．q ＝2B ．当且仅当n ＝6时，T n 取得最小值C ．T n ＝T 11﹣n （n ∈N *，n ＜11）D ．S n ＞T n 的正整数n 的最大值为1112．已知圆C ：x 2+y 2＝4，圆M ：x 2+y 2﹣8x ﹣6y +m ＝0（ ） A ．若m ＝8，则圆C 与圆M 相交且交线长为165B ．若m ＝9，则圆C 与圆M 有两条公切线且它们的交点为（﹣3，﹣4） C ．若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则m ＞16D ．若圆M 恰好平分圆C 的周长，则m ＝﹣4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡相应的位置上．13．若{a n }是公差不为0的等差数列，a 2，a 4，a 8成等比数列，a 1＝1，S n 为{a n }的前n （n ∈N *）项和，则1S 1+1S 2+⋯+1S 10的值为 ．14．平面直角坐标系xOy 中，过直线l 1：7x ﹣3y +1＝0与l 2：x +4y ﹣3＝0的交点，且在y 轴上截距为1的直线l 的方程为 ．（写成一般式）15．如图，第一个正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的面积是1，取正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1各边的中点A 2，B 2，C 2，D 2，E 2，F 2，作第二个正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，然后取正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2各边的中点A 3，B 3，C 3，D 3，E 3，F 3，作第三个正六边形，依此方法一直继续下去，则前n 个正六边形的面积之和为 ．16．已知实数a ，b ，c 成等差数列，在平面直角坐标系xOy 中，点A （4，1），O 是坐标原点，直线l ：ax +2by +3c ＝0．若直线OM 垂直于直线l ，垂足为M ，则线段|AM |的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线l 1：2x ﹣（a ﹣1）y ﹣2＝0，l 2：（a +2）x +（2a +1）y +3＝0（a ∈R ）． （1）若l 1⊥l 2，求实数a 的值； （2）若l 1∥l 2，求l 1，l 2之间的距离．18．（12分）已知等差数列{a n }，前n （n ∈N *）项和为S n ，又a 2＝4，S 9＝90． （1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）设b n ＝|9﹣a n |，求数列{b n }的前n 项和T n ． 19．（12分）已知数列{a n }的首项a 1=23，且满足a n−1=2a na n +1． （1）求证：数列{1a n−1}为等比数列；（2）设b n =(−1)n−1a n，求数列{b n }的前2n 项和S 2n ．20．（12分）如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝8，AB ，CD 间的距离为4，以线段AB 的中点为坐标原点O ，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，记经过A ，B ，C ，D 四点的圆为圆M ． （1）求圆M 的标准方程；（2）若点E 是线段AO 的中点，P 是圆M 上一动点，满足PO →•PE →≥24，求动点P 横坐标的取值范围．21．（12分）平面直角坐标系xOy 中，直线l ：3x +2y ﹣13＝0，圆M ：x 2+y 2﹣12x ﹣8y +48＝0，圆C 与圆M 关于直线l 对称，P 是直线l 上的动点． （1）求圆C 的标准方程；（2）过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，设线段AB 的中点是Q ，是否存在定点H ，使得|QH |为定值，若存在，求出该定点H 的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（12分）记首项为1的递增数列为“W ﹣数列”．（1）已知正项等比数列{a n }，前n （n ∈N *）项和为S n ，且满足：a n +2＝2S n +2． 求证：数列{a n }为“W ﹣数列”；（2）设数列{b n }(n ∈N ∗)为“W ﹣数列”，前n （n ∈N *）项和为S n ，且满足∑b i 3=S n 2(n ∈N ∗)ni=1．（注：∑b i 3=b 13+b 23+⋯+b n 3ni=1） ①求数列{b n }的通项公式b n ； ②数列{c n }(n ∈N ∗)满足c n =b n33bn，数列{c n }是否存在最大项？若存在，请求出最大项的值，若不存在，请说明理由．（参考数据：√2≈1.41，√33≈1.44）2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．直线3x+y﹣2＝0的方向向量为（）A．（﹣1，3）B．（1，3）C．（﹣3，1）D．（3，1）解：根据直线方程3x+y﹣2＝0，可得直线的斜率为﹣3，所以直线的一个方向向量为（1，﹣3），又（1，﹣3）＝﹣（﹣1，3），所以（﹣1，3）也是直线的一个方向向量．故选：A．2．等差数列{a n}中，若2a3+a9＝18，则a2+3a6的值为（）A．36B．24C．18D．9解：设等差数列{a n}的公差为d，2a3+a9＝18，则2（a1+2d）+a1+8d＝3a1+12d＝18，即a1+4d＝6，a2+3a6＝a1+d+3（a1+5d）＝4a1+16d＝4（a1+4d）＝4×6＝24．故选：B．3．与直线3x﹣4y+5＝0关于y轴对称的直线方程是（）A．3x+4y﹣5＝0B．3x+4y+5＝0C．3x﹣4y+5＝0D．3x﹣4y﹣5＝0解：令x＝0，则y=54，可得直线3x﹣4y+5＝0与y轴的交点(0，54)．令y＝0，可得x=−53，可得直线3x﹣4y+5＝0与x轴的交点(−53，0)，此点关于y轴的对称点为(53，0)．∴与直线3x﹣4y+5＝0关于y轴对称的直线经过两点：(0，54)，(53，0)．其方程为：x53+y54=1，化为：3x+4y﹣5＝0．故选：A．4．经过原点和点（3，﹣1）且圆心在直线3x+y﹣5＝0上的圆的方程为（）A．（x﹣5）2+（y+10）2＝125B．（x+1）2+（y﹣2）2＝5C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5D．(x−53)2+y2=259解：设圆心C（a，5﹣3a），则由所求的圆经过原点和点（3，﹣1），即√a 2+(5−3a)2=√(a −3)2+(5−3a +1)2，求得a =53，可得圆心为（53，0），半径为√a 2+(5−3a)2=53，故圆的方程为（x −53）2+y 2=259． 故选：D ．5．设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递减数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为{a n }是公差不为0的无穷等差数列，若“{a n }为递减数列”，可得{a n }的通项公式为一次函数且一次项系数小于0，一定有a n ＜0，即“{a n }为递减数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”的充分条件；若“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”，设通项公式为a n ＝pn +q ，则p ＜0，n ∈N +， 即{a n }为递减数列，所以“{a n }为递减数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”的必要条件， 综上所述：“{a n }为递减数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”的充要条件． 故选：C ．6．已知点P （4，3），点Q 在x 2+y 2＝4的圆周上运动，点M 满足PM →=MQ →，则点M 的运动轨迹围成图形的面积为（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解：设M （x ，y ），点P （4，3），点M 满足PM →=MQ →， 可得Q （2x ﹣4，2y ﹣3）， 点Q 在x 2+y 2＝4的圆周上运动， 可得（2x ﹣4）2+（2y ﹣3）2＝4， 即（x ﹣2）2+（y −32）2＝1，点M 的运动轨迹是以（2，32）为圆心，1为半径的圆，点M 的运动轨迹围成图形的面积为π． 故选：A ．7．等比数列{a n }，满足a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝3，a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=15，则a 1﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5的值是（ ）A ．3B ．√5C ．−√5D ．5解：设数列{a n }的公比为q ，且q ≠1，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=a 1(1−q 5)1−q=3①，a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=a 12(1−q 10)1−q 2=15②∴②÷①得a 12(1−q 10)1−q 2÷a 1(1−q 5)1−q=a 1(1+q 5)1+q=5，∴a 1﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5=a 1(1+q 5)1+q=5． 故选：D ．8．过点P （2，0）作圆x 2+y 2﹣4y ＝1的两条切线，设切点分别为A ，B ，则△P AB 的面积为（ ） A ．3√158B ．√152C ．5√158D ．√15解：由题设，圆的标准方程为x 2+（y ﹣2）2＝5， 圆心为C （0，2），半径r =√5，所以|CP|=2√2，如图所示，切点分别为A ，B ，则|BP|=|AP|=√8−5=√3， 所以sin ∠BPC =|BC||CP|=√52√2，cos ∠BPC =|BP||CP|=32√2，又∠BP A ＝2∠BPC ，所以sin ∠BP A ＝sin2∠BPC ＝2sin ∠BPC cos ∠BPC =2√52√2×32√2=√154，所以S △PAB =12|BP||AP|sin∠BPA =12×√3×√3×√154=3√158． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 9．已知直线l ：x +my +m ＝0，若直线l 与连接A （﹣3，2），B （2，1）两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角可以是（ ） A ．2π3B ．π2C ．π4D ．π6解：直线l ：x +my +m ＝0，即x +（y +1）m ＝0，故直线l 过定点C （0，﹣1）， A （﹣3，2），B （2，1）， 则k AC =2−(−1)−3−0=−1，k BC =1−(−1)2−0=1， 直线AC 的倾斜角为3π4，直线BC 的倾斜角为π4，直线l 与连接A （﹣3，2），B （2，1）两点的线段总有公共点， 则直线l 的倾斜角范围为[π4，3π4]．故选：ABC ．10．设S n ，T n 分别是等差数列{a n }和等比数列{b n }的前n （n ∈N *）项和，下列说法正确的是（ ） A ．若a 15+a 16＞0，a 15+a 17＜0，则使S n ＞0的最大正整数n 的值为15 B ．若T n =5n +c （c 为常数），则必有c ＝﹣1 C ．S 5，S 10﹣S 5，S 15﹣S 10必为等差数列D ．T 5，T 10﹣T 5，T 15﹣T 10必为等比数列解：令{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝dn +（a 1﹣d ）， 所以{a 15+a 16=2a 1+29d ＞0a 15+a 17=2a 1+30d ＜0，故−292d ＜a 1＜−15d ，且d ＜0，使S n =na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d2)n ＞0， 则0＜n ＜1−2a1d ， 而29＜−2a 1d＜30， 即1−2a 1d∈(30，31)，故0＜n ≤30， 所以使S n ＞0的最大正整数n 的值为30，故A 错；令{b n }的公比为q 且q ≠0，则T n =b 1(1−q n )1−q =b 11−q −b 1⋅q n1−q =5n +c （公比不能为1），所以{q =5b 11−q=−1，即c ＝﹣1，故B 对；根据等差、等比数列片段和的性质知：S 5 S 10﹣S 5，S 15﹣S 10必为等差数列，T 5，T 10﹣T 5，T 15﹣T 10必为等比数列，C 、D 对． 故选：BCD ．11．已知等比数列{a n }的公比为q ，前n （n ∈N *）项和为S n ，前n （n ∈N *）项积为T n ，若a 1=132，T 5＝T 6，则（ ）A ．q ＝2B ．当且仅当n ＝6时，T n 取得最小值C ．T n ＝T 11﹣n （n ∈N *，n ＜11）D ．S n ＞T n 的正整数n 的最大值为11 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若T 5＝T 6，则a 6=T6T 5=1，又由a 1=132，则q 5=a6a 1=32，则q ＝2，A 正确；对于B ，由A 的结论，当1≤n ≤5时，a n ＜1，a 6＝1，当n ＞6时，a n ＞1，故当n ＝5或6时，T n 取得最小值，B 错误；对于C ，由A 的结论，a 6＝1，则有a n a 12﹣n ＝（a 6）2＝1， 当n ＜6时，11﹣n ＞n ，则有T 11−n T n =a n +1a n +2……a 10﹣n a 11﹣n ＝1，即T n ＝T 11﹣n ，同理：当6≤n ＜11时，也有T n ＝T 11﹣n ， 故T n ＝T 11﹣n （n ∈N *，n ＜11）成立，C 正确； 对于D ，若S n ＞T n ，即a 1(1−q n )1−q＞a 1a 2a 3……a n ，即2n −125＞2n 2−11n 2，当n ＝12时，S 12=212−125=27−132，T 12＝26，此时S n ＞T n ，D 错误．故选：AC ．12．已知圆C ：x 2+y 2＝4，圆M ：x 2+y 2﹣8x ﹣6y +m ＝0（ ） A ．若m ＝8，则圆C 与圆M 相交且交线长为165B ．若m ＝9，则圆C 与圆M 有两条公切线且它们的交点为（﹣3，﹣4） C ．若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则m ＞16D ．若圆M 恰好平分圆C 的周长，则m ＝﹣4解：对于A ，m ＝8时，圆M ：（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝17，则M （4，3），半径r =√17． 而圆C ：x 2+y 2＝4中C （0，0），半径r ＝2，所以|CM |=√42+32=5， 故√17−2＜|CM|＜√17+2，即两圆相交，此时相交弦方程为4x +3y ﹣6＝0， 所以C （0，0）到4x +3y ﹣6＝0的距离d =65，故相交弦长为2×√22−(65)2=165，故A 正确； 对于B ，当m ＝9时，圆M ：（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝16，则M （4，3），半径r ＝4， 类似于A 的分析，可得4﹣2＜|CM |＜4+2，故两圆相交，故B 错误；对于C ，若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则两圆相离，可得|CM |＞r +r ′＝2+r ， 而圆M ：（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝25﹣m ，即r =√25−m ，所以{25−m ＞02+√25−m ＜5，解得16＜m ＜25，故C 错误；对于D ，若圆M 恰好平分圆C 的周长，则相交弦所在直线必过C （0，0），两圆方程相减，可得相交弦方程为8x +6y ﹣m ﹣4＝0，将点代入可得m ＝﹣4，故D 正确． 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡相应的位置上．13．若{a n }是公差不为0的等差数列，a 2，a 4，a 8成等比数列，a 1＝1，S n 为{a n }的前n （n ∈N *）项和，则1S 1+1S 2+⋯+1S 10的值为2011．解：设数列{a n }是公差d 不为0的等差数列，a 2，a 4，a 8成等比数列，a 1＝1， 故(a 1+3d)2=(a 1+d)(a 1+7d)，整理得（1+3d ）2＝（1+d ）（1+7d ），解得d ＝1； 故a n ＝1+（n ﹣1）＝n ， 所以S n =1+2+3+...+n =n(n+1)2， 故1S n=2n(n+1)=2(1n −1n+1)；所以1S 1+1S 2+⋯+1S 10=2(1−12+12−13+...+110−111)=2×1011=2011．故答案为：2011．14．平面直角坐标系xOy 中，过直线l 1：7x ﹣3y +1＝0与l 2：x +4y ﹣3＝0的交点，且在y 轴上截距为1的直线l 的方程为 9x +5y ﹣5＝0 ．（写成一般式）解：联立{7x −3y +1=0x +4y −3=0，解得x =531，y =2231，即直线l 1，l 2的交点（531，2231），由题意设l 的方程为：y ＝kx +1，即2231=531k +1，即k =−95，所以直线l 的方程为y =−95x +1， 即9x +5y ﹣5＝0． 故答案为：9x +5y ﹣5＝0．15．如图，第一个正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的面积是1，取正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1各边的中点A 2，B 2，C 2，D 2，E 2，F 2，作第二个正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，然后取正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2各边的中点A 3，B 3，C 3，D 3，E 3，F 3，作第三个正六边形，依此方法一直继续下去，则前n 个正六边形的面积之和为 4[1−(34)n ] ．解：由题设知：后一个正六边形与前一个正六边形的边长比值为√32， 故它们面积比为34， 所以前n 个正六边形的面积是首项为1，公比为34的等比数列， 所以前n 个正六边形的面积之和S =1−(34)n 1−34=4[1﹣（34）n ]． 故答案为：4[1﹣（34）n ]． 16．已知实数a ，b ，c 成等差数列，在平面直角坐标系xOy 中，点A （4，1），O 是坐标原点，直线l ：ax +2by +3c ＝0．若直线OM 垂直于直线l ，垂足为M ，则线段|AM |的最小值为 √2 ．解：因为实数a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a +c ，所以直线l ：ax +2by +3c ＝0为ax +（a +c ）y +3c ＝0，整理得a （x +y ）+c （y +3）＝0，令{x +y =0y +3=0，解得x ＝3，y ＝﹣3， 即直线l 过定点（3，﹣3），设该点为点P ，如图所示，因为OM ⊥l ，所以点M 在以OP 为直径的圆上，该圆的圆心为Q （32，−32），半径为r =12|OP |=3√22， 所以|AM |≥|AQ |﹣r =√(4−32)2+(1+32)2−3√22=√2，当且仅当A ，M ，Q 三点共线时，等号成立， 所以线段|AM |的最小值为√2．故答案为：√2．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线l1：2x﹣（a﹣1）y﹣2＝0，l2：（a+2）x+（2a+1）y+3＝0（a∈R）．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）若l1∥l2，求l1，l2之间的距离．解：（1）因为l1⊥l2，可得2（a+2）﹣（a﹣1）（2a+1）＝0，即2a2﹣3a﹣5＝0，解得a＝﹣1或a=−5 2；（2）因为l1∥l2，则2（2a+1）＝（a+2）[﹣（a﹣1）]，且﹣2（2a+1）＝﹣（a﹣1）×3＝0，解得：a＝0或a＝﹣5（舍），所以直线l1的方程为：2x+y﹣2＝0，直线l2的方程：2x+y+3＝0．所以l1，l2之间的距离d=|−2−3|√2+1=√5．18．（12分）已知等差数列{a n}，前n（n∈N*）项和为S n，又a2＝4，S9＝90．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n＝|9﹣a n|，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）等差数列{a n}，前n（n∈N*）项和为S n，又a2＝4，S9＝90．设首项为a1，公差为d，所以{a1+d=49a1+9×82d=90，解得{a1=2d=2．故a n＝2n；（2）由（1）得：b n＝|9﹣a n|＝|9﹣2n|；当n≤4时，T n=7+9−2n2⋅n=8n−n2，当n≥5时，T n＝（b1+b2+b3+b4）﹣（b5+b6+...+b n）＝32﹣（8n﹣n2）＝n2﹣8n+32．故T n={8n−n2(n≤4的正整数)n2−8n+32(n≥5的正整数)．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1=23，且满足a n−1=2a na n+1．（1）求证：数列{1a n−1}为等比数列；（2）设b n=(−1)n−1a n，求数列{b n}的前2n项和S2n．证明：（1）因为a n+1=2a n a n +1，a 1=23，所以a n ≠0， 所以1a n+1=a n +12a n =12a n +12，所以1a n+1−1=12a n −12， 因为a 1=23，1a 1−1=12≠0，1a n+1−11a n −1=12， 所以{1a n −1}是以12为首项，12为公比的等比数列； （2）S 2n =1a 1−1a 2+1a 3−1a 4+⋯+1a 2n−1−1a 2n=(1a 1−1)−(1a 2−1)+(1a 3−1)−(1a 4−1)+⋯+(1a 2n−1−1)−(1a 2n−1)． 又{1a n −1}是以12为首项，−12为公比的等比数列， 所以S 2n =12[1−(−12)2n ]1−(−12)=1−(12)2n 3=4n−13×4n ． 20．（12分）如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝8，AB ，CD 间的距离为4，以线段AB 的中点为坐标原点O ，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，记经过A ，B ，C ，D 四点的圆为圆M ．（1）求圆M 的标准方程；（2）若点E 是线段AO 的中点，P 是圆M 上一动点，满足PO →•PE →≥24，求动点P 横坐标的取值范围．解：（1）如图，因为AB ＝2CD ＝8，AB ，CD 间的距离为4，所以A （﹣4，0），B （4，0），C （2，4），D （﹣2，4），则经过A ，B ，C ，D 四点的圆即经过A ，B ，C 三点的圆，又AB 中垂线方程为x ＝0，BC 中点为（3，2），k BC =0−44−2=−2， 所以BC 的中垂线方程为y −2=12(x −3)，即y =12x +12，联立{x =0y =12x +12，得圆心坐标M(0，12)， 则MB =√(4−0)2+(0−12)2=√652，所以圆M 的标准方程为x 2+(y −12)2=654；（2）由已知可得E （﹣2，0），设圆M 上一点P （x ，y ），则PO →=(−x ，−y)，PE →=(−2−x ，−y)，因为PO →⋅PE →≥24，所以﹣x （﹣2﹣x ）+（﹣y ）（﹣y ）≥24，即x 2+y 2+2x ﹣24≥0，所以P 点在圆（x +1）2+y 2＝25上及其外部，联立{x 2+y 2−y −16=0x 2+y 2+2x −24=0， 解得x 1＝2，x 2＝4，所以两圆交点恰为B （4，0），C （2，4），结合图形，当圆M 上一点纵坐标为12时，横坐标为x 3=√652＞4，所以点P 横坐标的取值范围是[2，√652]．21．（12分）平面直角坐标系xOy 中，直线l ：3x +2y ﹣13＝0，圆M ：x 2+y 2﹣12x ﹣8y +48＝0，圆C 与圆M 关于直线l 对称，P 是直线l 上的动点．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，设线段AB 的中点是Q ，是否存在定点H ，使得|QH |为定值，若存在，求出该定点H 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）圆M ：（x ﹣6）2+（y ﹣4）2＝4，圆心M （6，4），设圆心C （x 0，y 0），由圆C 与圆M 关于直线l ：3x +2y ﹣13＝0对称，所以{y 0−4x 0−6=233×x 0+62+2×y 0+42−13=0，即{3y 0=2x 03x 02+y 0=0， 解得{x 0=0y 0=0，所以C （0，0），又r ＝2， 故圆C 的方程为x 2+y 2＝4；（2）因为P 是直线l 上的动点，设P(2t ，132−3t)， P A ，PB 分别与圆C 切于A ，B 两点，所以CA ⊥P A ，CB ⊥PB ， 所以A ，B 在以PC 为直径的圆N 上，圆N 的方程x(x −2t)+y[y −(132−3t)]=0， 即x 2+y 2−2tx +(3t −132)y =0，又AB 为圆C 与圆N 的公共弦，由{x 2+y 2−4=0x 2+y 2−2tx +(3t −132)y =0， 作差可得AB 的方程为2tx −(3t −132)y −4=0，即t(2x −3y)+132y −4=0， 令{2x −3y =0132y −4=0，得{x =1213y =813， 设T(1213，813)，则直线AB 过定点T(1213，813)， 又Q 是AB 中点，所以CQ ⊥AB ，所以Q 点是在以CT 为直径的圆上，所以存在点H （613，413）是CT 的中点，使得QH 为定值．22．（12分）记首项为1的递增数列为“W ﹣数列”．（1）已知正项等比数列{a n }，前n （n ∈N *）项和为S n ，且满足：a n +2＝2S n +2． 求证：数列{a n }为“W ﹣数列”；（2）设数列{b n }(n ∈N ∗)为“W ﹣数列”，前n （n ∈N *）项和为S n ，且满足∑b i 3=S n 2(n ∈N ∗)ni=1．（注：∑b i 3=b 13+b 23+⋯+b n 3n i=1） ①求数列{b n }的通项公式b n ；②数列{c n }(n ∈N ∗)满足c n =b n 33b n ，数列{c n }是否存在最大项？若存在，请求出最大项的值，若不存在，请说明理由．（参考数据：√2≈1.41，√33≈1.44）证明：（1）设正项等比数列{a n }的公比为q （q ＞0），因为a n +2＝2S n +2，则a n +3＝2S n +1+2，两式相减得a n +3﹣a n +2＝2a n +1， 即a n+1(q 2−q −2)=a n+1(q −2)(q +1)=0因为a n ＞0，q ＞0，所以q ＝2，a n +2＝2S n +2中，当n ＝1时，有a 3＝2a 1+2，即4a 1＝2a 1+2，解得a 1＝1， 因此数列{a n }为“W ﹣数列”；解：（2）①因为∑b i 3=S n 2(n ∈N ∗)ni=1所以b 13=b 12，得又{b n }为“W ﹣数列”， 所以b 1＝1，且b n +1＞b n ，所以{b n }各项为正数，当n ≥2，∑b i 3=S n 2n i=1①，∑b i 3=S n−12n−1i=1②，①一②得：b n 3=S n 2−S n−12，即b n 3=(S n −S n−1)(S n +S n−1)，所以b n 2=S n +S n−1③，从而b n+12=S n+1+S n ④，④﹣③得：b n+12−b n 2=b n+1+b n ， 由于{b n }为“W ﹣数列”，必有b n +1+b n ＞0，所以b n +1﹣b n ＝1，（n ≥2），又由③知b 22=S 2+S 1，即b 22=2b 1+b 2，解得b 2＝2或b 2＝﹣1（舍）；所以b 2﹣b 1＝1，故b n+1−b n =1(n ∈N ∗)，所以{b n }是以1为首项，公差是1的等差数列，所以b n ＝n ；②c n =n 33n ＞0，所以c n+1c n =13(n+1n)3＜1， 整理得n √33−1≈2.27，所以当n ≥3时，c n +1＜c n ，即c 3＞c 4＞c 5＞⋯，又c 1=13，c 2=89，c 3=1，所以{c n }中存在最大项，为c 3＝1．。
2024-2025学年江苏省泰州市兴化中学强基班高二(上)学情调研数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年江苏省兴化中学强基班高二（上）学情调研数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知m∈R，则“m=−1”是“直线mx+(2m−1)y−2=0与直线3x+my+3=0垂直”的( )A. 充要条件B. 必要而不充分条件C. 充分而不必要条件D. 既不充分也不必要条件2.抛物线E：y=14x2的焦点到其准线的距离为( )A. 18B. 14C. 2D. 43.已知点P(2,0)，点Q在圆x2+y2=1上运动，则线段PQ的中点M的轨迹方程是( )A. (x−1)2+y2=1B. x2+(y−1)2=1C. 4(x−1)2+4y2=1D. 4x2+4(y−1)2=14.若直线y=kx+4(k>0)与曲线y=4−x2有两个交点，则实数k的取值范围为( )A. (3,+∞)B. [3,+∞)C. [3,2]D. (3,2]5.已知A(−2,0)，B(2,0)，若圆(x−a−1)2+(y−3a+2)2=4上存在点P满足PA⋅PB=5，则a的取值范围是( )A. [−1,2]B. [−2,1]C. [−2,3]D. [−3,2]6.已知点M在椭圆x24+y23=1上，点A(0,−34),B(1,0)，则|MA|+|MB|的最大值为( )A. 114B. 4 C. 214D. 57.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e=ω(其中ω=5−12)的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为x2a2+y2b2=1,(a>b>0)，若以原点O为圆心，短轴长为直径作⊙O，P为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与x，y轴分别交于M，N两点，则b2|OM|2+a2|ON|2=( )A. 1ωB. ω C. −ω D. −1ω8.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点P在C上且位于第一象限，圆O1与线段F1P的延长线，线段PF2以及x轴均相切，△PF1F2的内切圆为圆O2.若圆O1与圆O2外切，且圆O1与圆O2的面积之比为9，则C的离心率为( )A. 12B. 35C. 22D. 32二、多选题：本题共3小题，共18分。
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江苏省兴化中学高二数学期中考试
兴化中学孙健
一、数学试卷基本特点
（1）整卷共20道题，满分160分，考试时间为120分钟。
其中“简易逻辑、直线与圆、圆锥曲线”三个知识领域分值比例约为1:3:4。
容易题、中等题、难题分值比例约为7:1:2。
(2)试卷重在考查《数学课程标准》所设置的课程目标的落实情况，重在对学生学习数学知识与技能以及数学思维能力等方面发展状况的评价。
（3）试卷中第14题渗透了解析法的思想，第19题是2010年江苏高考题改编题，它们是整份试卷中的亮点。
下面就阅卷抽样调查的192份的得分情况进行分析.(48本试卷，每本座位号末尾为3的作为抽象对象)
二、总体考试情况及各题得分情况统计
从表中可以看出，填空题、15、16、17得分率较高，14、18、19、20题得分较差。
三、答题情况及部分试题分析
从答卷情况来看，大部分学生都能较好地掌握了本学期的基础知识。
阅卷过程发现学生答题中不泛简捷、精彩的解法，富有个性，显示了思维的广阔性。
但同时也发现学生在做题过程中存在不少问题。
例如：
第1题考察含有一个量词的否定，由于平时训练到位,得分较高.
第2题考察充要条件与椭圆的概念，部分学生对椭圆概念理解不够,导致得分较低。
第3题考察三点共线，做法是直接代入公式。
第4题考察棱柱、棱台的概念，由于学生刚接触立体几何，得分不佳。
第5题考察圆与圆相交，相交弦的有关问题。
第6题考察圆的几何性质，理解任意一点关于圆的对称点还在圆上的含义即可。
第7题考察直线与圆的位置关系，能作出圆心到直线的距离是此题的关键所在。
第8题是需要学生思考过圆内一点的弦最长和最短的问题，对于开发学生的思维有很大的好处。
第9题抛物线与圆相结合，考察抛物线的方程。
第10题对双曲线的渐近线以及点到直线的距离进行考察，学生出错的主要原因是认为双曲线的顶点在x轴上。
第11题是椭圆与双曲线相结合，考察概念的一个好题。
第12题是直线与半圆有公共点的问题。
学生平时并不缺乏此类题的训练，但考试还是粗心的认为是整圆，导致得分很低。
第13题求椭圆的离心率，部分学生找不到关于基本量的式子，导致失分。
第14 题，此题的难度较大，需设出点坐标，得到距离平方和的函数关系，再求最值，从而求出三点坐标，再求面积
第15题是简易逻辑、椭圆、圆相结合，题目并不难，但暴露出学生对集合交、并、补的遗忘以及计算的软肋
第16题求直线方程，直接代入公式即可，比较容易。
第17题是2008年江苏高考题，学生得分较好
第18题考察直线与圆的位置关系，涉及到韦达定理、相关点法、消参法，得分情况不好
第19题第一小问比较容易，第二小问涉及到已知椭圆上一点，求另一点的问题，学生未掌握方法，导致算不出来。
第20题是课本上一道习题改编，考察了设而不求的思想，由于这种思想平时强调不够，导致得分很差！
四、改进措施
1．夯实基础，努力实现课标的基本要求。
要切实抓好基本概念及其性质、基本技能和基本思想方法的教学，让学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，并形成合理的知识网络结构。
不能脱离课标、教材大搞“题海战术”。
2．加强数学思想方法的教学。
数学思想方法的教学应渗透在教学全过程中，
使学生不仅学好概念、定理、法则等内容，而且能体会数学知识的发生、发展，把握蕴含其中的数学思想方法，并通过不断积累，逐渐内化为自己的经验，形成解决问题的自觉意识。
3．注重能力培养，加强过程教学。
高考对“双基”的考查，是将数学作为一个整体，进行多方位的全面考查，要求学生能够灵活、准确地运用数学知识和数学思想方法分析问题和解决问题。
所以能力培养应落实在平时教学过程中，突出过程教学，真正做到结论和过程并重。
4．面向全体，加强学法指导。
鼓励学生自主探索和合作交流，促使学生将知识构成网络、形成系统，帮助学生认识自我，树立信心，提高综合应用知识的能力，努力实现让不同的学生得到不同的发展的教学目标。
5．联系实际，重视数学应用的教学。
加强解题过程规范表述的训练，加强高二学生的应用技能的培养。
6．研读《课程标准》，将标准所倡导的教学理念落实到自己的教学中。
设计探索性和开放性的问题，留给学生更多的探索、发挥的空间，激发学生的学习积极性。
7.教给学生答题技巧，掌握好时间，不要顾此失彼，造成不必要的失分现象。