不等式-江苏西亭高级中学

解三角形（一）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.(二) 应用.正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．第1课时 三角形中的有关问题1．正弦定理：利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：⑴ 已知两角和一边，求其他两边和一角；⑵ 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．2．余弦定理：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．⑴ 已知三边，求三角；⑵ 已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角．3．三角形的面积公式：例1. 在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 及边c ．解 A 1＝60° C 1＝75° c 1＝226+A 2＝120° C 2＝15° c 2＝226-变式训练1：(1)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =_______.解：34提示：利用余弦定理（2）在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）A.020,45,80b A C === B.030,28,60a c B === C.014,16,45a b A ===D. 012,15,120a c A ===解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解.（3）在△ABC 中，已知5cos 13A =，3sin 5B =，则cosC 的值为_______. 解：1665.提示:在△ABC 中，由sin sin A B A B >⇔> 知角B 为锐角（4）若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ．解：02a << 提示：由222(1)(2)3(1)(2)(3)a a a a a a +++>+⎧⎨+++<+⎩可得（5）在△ABC 中，060,1,sin sin sin ABCa b cA b SA B C++∠===++则= ．解：3提示：由面积公式可求得4c =，由余弦定理可求得a =例2. 在△ABC 中，若 sinA ＝2sinB cos C ， sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状．解：sinA ＝2sinBcosC ⇒sin(B ＋C)＝2sinBcosC ⇒sin(B －C)＝0⇒B ＝Csin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇒a 2＝b 2＋c 2⇒∠A ＝90°∴ △ABC 是等腰直角三角形。

变式训练2：在△ABC 中，sinA=CB CB cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a=abcb a ca b ac c b 22222222-++-++，所以b （a 2－b 2）+c （a 2－c 2）=bc （b+c ）.所以（b+c ）a 2=（b 3+c 3）+bc （b+c ）.所以a 2=b 2－bc+c 2+bc.所以a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形.例3. 已知在△ABC 中，sinA(sinB ＋cosB)－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C ．解：由sinA(sinB ＋cosB)－sinC ＝0，得sinAsinB ＋sinAcosB －sin(A ＋B)＝0，所以sinB(sinA －cosA)＝0∵B ∈(0, π), ∴sinB≠0, ∴cosA ＝sinA ，由A ∈(0, π)，知A ＝4π从而B ＋C ＝π43，由sinB＋cos2C ＝0得sinB ＋cos2(π43－B)＝0cos ＝(23π－2B)＝c os[2π－(2π＋2B)]＝cos(2π＋2B)＝－sin2B 得sinB －sin2B ＝0，亦即sinB －2sinBcosB ＝0，由此各cosB ＝21，B ＝3π，C ＝125π∴A ＝4π B ＝3π C ＝π125变式训练3：已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sinB ，△ABC 外接圆半径为2.（1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值.解：（1）由22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）·sinB 得22（224R a －224R c ）=（a －b ）Rb2.又∵R=2，∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c 2=ab.∴cosC=ab c b a 2222-+=21.又∵0°＜C ＜180°，∴C=60°.（2）S=21absinC=21×23ab=23sinAsinB=23sinAsin （120°－A ）=23sinA （sin120°cosA －cos120°sinA ）=3sinAcosA+3sin 2A =23sin2A －23cos2A+23=3sin （2A －30°）+23.∴当2A=120°，即A=60°时，S max =233.例4. 如图，已知△ABC 是边长为1的正三角形，M 、N 分别是边AB 、AC 上的点，线段MN 经过△ABC 的中心G ．设∠MGA ＝α(323παπ≤≤)．(1)试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2）表示为α的函数；(2)求y ＝222111S S +的最大值与最小值．解 (1) AG ＝33，∠6π=MAG由正弦定理得)6sin(63πα+=GM ，)6sin(63πα-=GN )6sin(12sin 1παα-=S ，)6sin(12sin 2παα-=S (2))cot 3(721122221α+=+=S S y∵323παπ≤≤∴当240323max ===y 时或παπα当2162min ==y 时πα变式训练4：在在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，，且1cos 3A =（1）求2sin cos22B C A +⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）若a =bc 的最大值；解：（1）因为1cos 3A =，故2sin cos22B C A +⎛⎫+ ⎪⎝⎭21[1cos()](2cos 1)2B C A =-++- 21(1cos )(2cos 1)2A A =++-1121(1)(1)2399=++-=- （2）2221cos 23b c a A bc +-==2222223bc b c a bc a ∴=+-≥-又94a bc =∴≤，当且仅当32b c ==时，94bc = 故bc 的最大值是941．已知两边和其中一边的对角求其他的边和角，这种题型可能无解、一解、两解等，要特别注意．2．三角形中含边角的恒等变形问题，通常是运用正弦定理或余弦定理，要么将其变为含边的代数式做下去，要么将其变为含角的三角式做下去，请合理选择．3．对于与测量和与几何计算有关的实际问题，可以考虑转化为解三角形的问题.第2课时 应用性问题1．三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）；２．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；３．实际问题中有关术语、名称．（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．例1．(1)某人朝正东方走x km 后，向左转1500，然后朝新方向走3km ，结果它离出发点恰好3km ，那么x 等于 （ ）（A ）3 （B ）32 （C ）3或 32 （D ）3解：C 提示：利用余弦定理（2）甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为030，则甲、乙两楼的高分别是 （ ）AB,C,m D解：A（3）一只汽球在2250m 的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A 点处的俯角为018，汽球向前飞行了2000m 后，又测得A 点处的俯角为082，则山的高度为（ ） A 1988m B 2096m C 3125m D 2451m 解： B（4）已知轮船A 和轮船B 同时离开C 岛，A 向北偏东025方向，B 向西偏北020方向，若A 的航行速度为25 nmi/h ，B 的速度是A 的35，过三小时后，A 、B 的距离是 ． 解：90.8 nmi(5) 货轮在海上以40km/h 的速度由B 到C 航行， 航向为方位角0140NBC ∠=，A 处有灯塔， 其方位角0110NBA ∠=，在C 处观测灯塔A 的 方位角035MCA ∠=，由B 到C 需航行半小时， 则C 到灯塔A 的距离是解：km 提示：由题意知 075BCA ∠=，利用余弦定理或解直角三角形可得变式训练1：如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1）？解：连接BC,由余弦定理得BC 2=202+102－2×20×10×cos120°=700. 于是,BC=107.∵sin 20ACB ∠=, ∴sin ∠ACB=73,北2010 A B∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41° ∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援.例2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南(cos )10θθ=方向300 km 的海面P 处，并以20 km / h 的速度向西偏北 45的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h 的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？解：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km) 若在时刻t 城市O 受到台风的侵袭,则6010+≤t OQ由余弦定理知OPQ PO PQ PO PQ OQ ∠⋅-+=cos 2222由于PO=300,PQ=20t()5445cos cos =-=∠ θOPQ 故2222203009600OQ t t =+-()21060t ≤+ 即2362880t t -+≤ 解得 2412≤≤t答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时．变式训练2：如图所示,海岛A 周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B 处测得岛A 在船的南偏东030方向上，船航行30海里后，在C 处测得岛A 在船的南偏东045方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？解：由题意得，在△ABC 中，BC=30，030B =，0135ACB ∠= 所以 015A =，由正弦定理可知：sin sin BC ACA B=0030sin15sin 30AC ∴= 所以060cos15AC =， 于是A 到BC 所在直线的距离为000sin 4560cos15sin 45AC =40.9838≈>所以船继续向南航行无触礁危险。