1高中数学北师大必修课件： 两条直线的位置关系
两条直线的位置关系第2课时课件北师大版数学七年级下册
垂线的性质：(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (2)垂线段最短.
问题：两条相交直线在什么情况下是垂直的？ （（123））
新知生成
1.垂线的定义：当两条直线AB和CD所成的四个角中，如果有一个角是直角，
其他三个角也都为直角，此时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做
另一条直线的垂线. C
2.垂直的表示：垂直用符号 “⊥”来表示，读作
“垂直于”.如“直线AB垂直于直线CD”，就记作 A “AB⊥CD”,其中点O是垂足.
B O
D
任务二：学会利用工具点到直线的距离
自主探究：做一做.(1)你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直 的直线吗？你能归纳具体做法吗？
垂线的画法：一靠二移三画， 用工具（直尺、三角板）
(2)如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
方格纸上每一条横线和竖线 都是互相垂直的,我们可以 利用格线来画出两条互相垂
第二章 相交线与平行线
2.1 两条直线的位置关系 第2课时
1.能理解垂直与垂足的概念，会用几何符号表示垂直关系 2.能掌握垂线的相关性质，会作点到直线的距离
任务一：掌握垂线的相关概念
活动.在我们的身边随处可见“直线”的形象,其中有一些直线之间还具 有特殊的位置关系,请同学们观察下面三幅图片,你能找出其中相交的直线吗? 它们有什么特殊的位置关系?说说看.
A BO
C
垂线的性质2：直线外一点与直线上各点
连接的所有线段中，垂线段最短.
l
简单说成：垂线段最短 .
归纳小结
垂线的性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意 （1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； （2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件
11.3 两条直线的夹角
我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程，方程确定直线及其位置， 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
例3
为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路遥 知马力，日久见人心！
身体健康，学习进步！ 漫无目的的生活就像出海航行而没有指南针。
合理安排时间，就等于节约时间。——培根 书都读得来的人，还怕有什么做不来的。 能说不能做，不是真智慧。 一分耕耘，一分收获。孩子们，你想明天收获幸福吗？那今天就努力学习吧。——刘玉春
小结
本节课学习了哪பைடு நூலகம்内容？
萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 小时候画在手上的表没有动，却带走了我们最好的时光。 你身边总有这样一种人：你成功了，他（她）当面恭喜你，暗地里妒嫉你；你失败了，他（她）当面安慰你，背地里笑话你。 通过云端的道路，只亲吻攀登者的足迹。 君子赠人以言，庶人赠人以财。——荀况 我的财富并不是因为我拥有很多，而是我要求的很少。 要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃 时间总会过去的，让时间流走你的烦恼吧！ 这个是世界上没有天才，所谓的天才只是比普通人多了百分之一的天赋。如果这个天赋运用不好，那么他就可能变成百分之十的累赘。 如果要给美好人生一个定义，那就是惬意。如果要给惬意一个定义，那就是三五知己、谈笑风生。 世上的事，不如己意者，那是当然的。 生命假如给予你的是一颗柠檬，不要抱怨，下工夫把它榨成一杯柠檬汁吧。 当你被压力压得透不过气来的时候，记住，碳正是因为压力而变成闪耀的钻石。 愚痴的人，一直想要别人了解他。有智慧的人，却努力的了解自己。
(名师整理)最新北师大版数学七年级下册第2章第1节《两条直线的位置关系——对顶角、余角和补角》精品课件
× ）×
√
×
四、余角和补角的性质
打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球，反弹后的 红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图2-2抽象成图2-3，ON与DC 交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2。
D
O
C
1
2
34
图2—2
A
N
图2-3
小组合作交流，解决下列问题：在图2—3中 问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？ 问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？ 问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
A
证明： ∵∠1 +∠AOC =180° (平角定义)
∠2 +∠AOC =180°(平角定义) ∴∠1 =180°-∠AOC ∴∠2 =180°-∠AOC ∴∠1 = ∠2 (等式性质)
C
）2 1（ O
B D
算一算
(3)如图，已知∠DOE=90°，AB是经过点O的一条直线。如果 ∠AOC=700，那么∠BOF等于多少度?为什么?
小关系是________∠_2，=∠理3由：______同_角__的__补__角__相. 等
1 23
作业：
如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝∠COF＝90 。 ∠AOF与∠DOE、∠BOF与∠COE有怎样的大小关系？为什 么？
E F
D
A
0
B
C
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
4.不相交的两条直线一定是平行线吗？.
相交
平行
大家来找茬
1.判断下面说法同一是平否面内正确:
（1）不相交的两条直线叫做平行线。 （ ×）
（2）在同一平面内，不相交的两条线段
2-1-3两条直线的位置关系课件(北师大版必修二)
【题后反思】 由 C、 两点的横坐标， D 可知 l2 的斜率一定存在， 由 A、B 两点的横坐标，可知 l1 的斜率可能存在也可能不存在， 因此应注意对 a 的取值的讨论． ①由 l1∥l2 比较 k1，k2 时，应首先考虑斜率是否存在，当 k1＝ k2 时，还应排除两直线重合的情况． ②由 l1⊥l2 比较 k1，k2 时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑 斜率是否为 0.
想一想：为什么斜率相等的两条直线不一定平行呢？ 提示 我们知道确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要 素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角．斜率相等，说明它 们的倾斜角相等，而倾斜角相等的直线不一定平行，还有可能 重合，这是由于还需要确定它们是否经过一个不同的定点．通 常验证这两条直线与 y 轴的交点，即在 y 轴上的截距是否相等 即可．
即
A B －A B ＝0， 1 2 2 1 B1C2－B2C1≠0.
当 B1＝0，B2＝0 时，直线 l1、l2 分别可化为： C1 C2 l1：x＝－ ，l2：x＝－ . A1 A2 C1 C2 若 l1∥l2，则－A ≠－A ，即 A2C1≠A1C2. 1 2 综上可知， l1∥l2， A1B2－A2B1＝0 且 B1C1－B2C1≠0 或 A1C2 若 则 －A2C1≠0.
k2 ＝ 7 －0 6
3 ＝4.
k2 ＝
7 0－－8
7 －0 6
3 ＝ . 4
∵k1≠k2，k1·2≠－1， k ∴两直线既不平行，也不垂直． －3 3－2 3 (3)由题意知，k1＝tan 60° 3，k2＝ ＝ ＝ 3. －2－3 因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2 或 l1 与 l2 重合．
3 【变式 3】 已知直线 l1 的斜率 k1＝4，直线 l2 经过点 A(3a，－ 2)，B(0，a2＋1)，且 l1⊥l2，求实数 a 的值．
高中数学课件-2.1.3两条直线的位置关系课件( 北师大版必修2 )
4.已知经过两点(3，2)和(m,n)的直线l. (1)若l与x轴平行，则m,n的取值情况是__________; (2)若l与x轴垂直，则m,n的取值情况是__________.
【解析】(1)∵l与x轴平行,由图①可知m∈R且m≠3,n=2. (2)∵l与x轴垂直,由图②可知m=3,n∈R且n≠2.
【例2】如图,在平行四边形OABC中， 点A(3,0),点C(1,3). (1)求AB所在直线的方程; (2)过点C作CD⊥AB于点D， 求CD所在直线的方程. 【审题指导】已知四边形OABC是平行四边形，可以利用 平行四边形的有关性质求AB的斜率，利用两条直线垂直的 条件求CD的斜率,进而求相应直线的方程.
解得h≈14.92(m).
故灯柱高h约为14.92 m.
【典例】(12分)已知A(0，3)、B(-1，0)、C(3，0)，求D点 的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A、B、C、D按逆时针方 向排列). 【审题指导】解答本题可先对直角梯形中哪个角为直角进 行讨论，然后借助于平行、垂直的关系列方程组求D点的坐 标.
【例3】已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0,求满足下 列条件的a的值：
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
【审题指导】直线l1和l2的方程均以一般式的形式给出，要
判断l1∥l2及l1⊥l2时，参数a的取值，求解思路有二：一是把
方程均化成斜截式利用斜率及在y轴上截距的关系求解；二
答案：(1)m∈R且m≠3,n=2 (2)m=3,n∈R且n≠2
5.已知P(2,1),直线l:x-y+4=0. (1)求过点P与直线l平行的直线方程; (2)求过点P与直线l垂直的直线方程. 【解析】(1)设过点P与直线l平行的直线方程为x-y+m=0. 由题意可知2-1+m=0,解得m=-1. 所以过点P与直线l平行的直线方程为x-y-1=0. (2)设过点P与直线l垂直的直线方程为x+y+n=0. 由题意可知2+1+n=0,解得n=-3. 所以过点P与直线l垂直的直线方程为x+y-3=0.
2.1 两条直线的位置关系 北师大版数学七年级下册导学课件
2. 相交线
判断两直线相交的依据.
若两条直线只有一个公共点, 我们称这两条
直线为相交线. 如图2-1-1, 直线AB 与CD
相交于点O.
感悟新知
3. 平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 如图21-2, 直线AB 与直线CD 平行. 无公共交点 注意：平行线是指“两条直线”, 而不是两条线段或射 线. 线段或射线平行是指它们所在的直线平行.
感悟新知
特别解读 1. 平行线必须满足三个条件：(1) 在同一平面内；(2) 不
相交；(3) 两条直线. 要特别注意“在同一平面内”这 一前提. 2. 判断两条线段、射线之间的位置关系就是判断它们所 在直线的位置关系.
感悟新知
例 1 下列说法中正确的是( D ) A. 不相交的两条直线是平行线 B. 在同一平面内, 不相交的两条射线叫做平行线 C. 在同一平面内, 两条直线不相交就重合 D. 在同一平面内, 没有公共点的两条直线是平行线
感悟新知
特别解读 1. 互余、互补是指两个角之间的数量关系，它们是成对
出现的. 2. 互余、互补只与数量有关，而与位置无关，但若将直
角分成两个角，则这两个角互余；若将平角分成两个 角，则这两个角互补.
感悟新知
3. 一个角的余角(或补角)可以有多个，但它们的度数是相 等的，互余、互补是指具有一定数量关系的两个角，一 个角或三个及三个以上的角之间不存在互余或互补的关 系，如∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3=90°，但不能说这三个角互余.
感悟新知
3-1. [中考·武威] 若∠ A ＝ 40°，则∠ A 的余角的大小是
( A) A. 50°来自B. 60°C. 140°
D. 160°
2.1.3《两条直线的位置关系》课件(北师大版必修2),
【解析】（1）∵直线BC的斜率kBC = 3-7 = 2 , 0-6 3 ∴BC边上的高的斜率 k=- 1 =- 3 . k BC 2 ∴BC边上的高所在的直线方程为：y-0= - 3 (x-4), 2 即3x+2y-12=0. (2)∵BC的中点坐标为Q（3，5），
线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为_________. 【解析】由题意可知kAB=-2,又 k AB = 4-m , m+2 所以 4-m =-2,得m=-8. m+2 答案：-8
6.已知点A（1，5），B（-1，1），C（3，2），则平行四边 形ABCD的两边AD和CD所在直线的方程分别是___、___. 【解析】由题意可知AD∥BC,CD∥AB.
)
(D)1或2
4.已知A（-1，3），B（3，1），点C在坐标轴上,若
∠ACB=90°，则这样的点C的个数为(
（A）1 （B）2 （C）3
)
（D）4
【解题提示】由于题目只告诉点C在坐标轴上，没明确x 轴还是y轴，因此求解时应分类讨论.
【解析】选C.①设C（x,0），则由kAC·kBC=-1, 得
3 3 3 倾斜角α=150°. x+ , k= , 3 3 3 又∵两直线平行, y=-
∴所求直线的倾斜角为150°.
2.已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2过点A（1，2），
B（-5，-4），则l1与l2的位置关系是( （A）平行 （C）垂直 （B）相交但不垂直 （D）平行或重合 )
【解析】选D.由题意可知l1的斜率k1=tan45°=1， l2的斜率 k2 = 2-(-4)= 6 =1. 1=k2, ∴k 1-(-5) 6 又由于直线l1与l2在y轴上的截距无法判断，故l1与l2可能平行 或重合.
《两条直线的位置关系》第2课时示范公开课PPT教学课件【七年级数学下册北师大版】
A
B
C
D
垂直的表示方法：
通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如图，直线AB与直线CD垂直.
记作：
AB⊥CD
读作：AB垂直于CD ， 垂足为O.
【注意】“⊥”是“垂直”的记号，而“┐”是图形中“垂直”(直角)的标记.
直线l与直线m互相垂直，记作：l⊥m ，垂足为O．
∵AB⊥CD∴∠1=90 °
直角(90°)
线 垂直
直角(90°)
线 垂直
∵∠1=90°(已知)∴AB⊥CD(垂直的定义)
垂直的性质、定义判定的应用格式:
问题1：你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂 直的直线吗？
问题2：如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相 垂直的直线吗？
问题3：你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！
1.折叠长方形纸片的一个角；
2.沿①中的折痕对折，使它与①中的折痕互相重合；
3.展开长方形纸片，则两次折叠所形成的折痕互相垂直.
①
②
③
如图 ，已知直线 l ，用三角尺或量角器画直线 l 的垂线，你能画出多少条？
这样画l的垂线可以画无数条.
l
O
C
B
直线外一点与直线上各点所连的所有线段中垂线段最短.
问题：体育课上老师是怎样测量跳远成绩的？你能说说其中的道理吗？
线段PO的长度即为所求.
根据：直线外一点与直线上各点所连的所有线段中垂线段最短.
如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
B
对顶角相等.
余角和补角的性质：
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.
2.1.3 两条直线的位置关系 课件(北师大必修2)
[错因]
两直线垂直⇔k1k2＝－1的前提条件是k1、k2均
存在且不为零，本题出错的原因正是忽视了前提条件，这
类问题的解决方式应分斜率存在和不存在两种情况讨论． [正解] ∵A、B两点纵坐标不等，
∴AB与x轴不平行． ∵AB⊥CD，∴CD与x轴不垂直，－m≠3，m≠－3.
①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，
3．若两条直线垂直，它们斜率之积一定为－1吗？ 提示：不一定．两条直线垂直，只有在斜率都存在 时，斜率之积才为－1.若其中一条直线斜率为0，而
另一条直线斜率不存在，两直线垂直，但斜率之积
不是－1.
[研一题]
[例1] 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平
行或垂直．
(1)直线l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，直线l2经过C(3，－2)， D(8，－7)； (2)直线l1平行于y轴，直线l2经过P(0，－2)，Q(0，5)； (3)直线l1经过E(0,1)，F(－2，－1)，直线l2经过G(3，4)，
(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
[自主解答] (1)法一：利用直线方程的点斜式求解． 3 由 l：3x＋4y－20＝0，得 kl＝－ . 4 设过点 A 且平行于 l 的直线为 l1， 3 则 kl1＝kl＝－ ， 4 3 所以 l1 的方程为 y－2＝－ (x－2)， 4 即 3x＋4y－14＝0.
H(2,3)；
(4)直线l1：5x＋3y＝6，直线l2：3x－5y＝5； (5)直线l1：x＝3，直线l2：y＝1.
5－1 4 [自主解答] (1)直线 l1 的斜率 k1＝ ＝－ ， 5 －3－2 －7－－2 直线 l2 的斜率 k2＝ ＝－1， 8－3 显然 k1≠k2，直线 l1 与 l2 不平行； ∵k1·1≠－1，∴l1 与 l2 不垂直． k (2)直线 l2 的斜率不存在，就是 y 轴，所以直线 l1 与 l2 平行；
2.1.3 两条直线的位置关系 课件(北师大必修2)
k2，那么l1⊥l2⇔
k1·2＝－1 k
.
(2)如果两直线l1，l2中的一条斜率不存在，另一 个是零，那么l 与l 的位置关系是 l1⊥l2 .
1 2
[小问题·大思维] 1．l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是什么？
提示：(1)两条直线的斜率存在，分别为k1，k2；(2)l1
与l2不重合． 2．若两条直线平行，斜率一定相等吗？ 提示：不一定．只有在两条直线的斜率都存在时， 斜率相等．若两条直线都垂直于x轴，它们平行，但 斜率不存在．
已知A(－m－3,2)，B(－2m－4,4)，C(－m，m)， D(3,3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
[错解] 由斜率公式 4－2 2 kAB＝ ＝ ， －2m－4－－m－3 －m＋1 3m＋2－m 2m＋1 kCD＝ ＝ . 3－－m m＋3 ∵AB⊥CD， ∴kAB·CD＝－1， k 2m＋1 2 即 · ＝－1， －m＋1 m＋3 解得m＝1，∴m的值为1.
l2：2x－12y－1＝0，显然l1与l2不平行．
(2)当m＝3时，l1：5x＋4＝0，l2：2x－1＝0， l1与l2的斜率均不存在， ∴l1∥l2.
(3)当 m≠0 且 m≠3 时， m＋2 4 l1：y＝－ 2 x－ 2 ， m －3m m －3m 2 1 l2：y＝－ x＋ . 4m－3 4m－3 ∵l1∥l2， m＋2 2 ∴－ 2 ＝－ . m －3m 4m－3 1 1 1 1 解得 m＝－4，此时 l1：y＝ x－ ，l2：y＝ x－ ， 14 7 14 28 l1 与 l2 平行但不重合． 综上所述：m＝3 或 m＝－4.
[悟一法]
在应用两条直线平行或垂直求直线方程中的参数时，
若能直观判断两条直线的斜率存在，则可直接利用平行或
2014届北师大版高中数学必修二(高一)课件 第二章§1.3
＋m＝0，m∈R.
栏目 导引
第二章
解析几何初步
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 两直线平行、垂直的判定 例1 判断下列直线是否平行或垂直： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，
N(2,1)；
(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)； (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10),l2经过点M(5，－2),N(5,5)．
第二章
解析几何初步
1．3 两条直线的位置关系
栏目 导引
第二章
解析几何初步
学习导航
学习目标 实例 ― ― → 两条直线平行 ― ― →
掌握 掌握
两条直线垂直 重点难点 重点：利用斜率之间关系判断两直线平行、 垂直． 难点：含有参数的两直线平行、垂直问题．
栏目 导引
第二章
解析几何初步
新知初探思维启动
栏目 导引
第二章
解析几何初步
题型二 应用直线的平行、垂直求参数
例2 求a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直
线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
【解】 法一：(1)若 1－ a＝0，即 a＝1 时，直线 l1：3x －1＝0 与直线 l2：5y＋ 2＝0 显然垂直； 3 (2)若 2a＋3＝0，即 a＝－ 时，直线 l1：x＋ 5y－2＝0 与 2 直线 l2：5x－4＝0 不垂直；
栏目 导引
第二章
解析几何初步
【名师点评】
(1)两条直线平行的实质是两条直线的倾斜角
相等，那么它们的斜率或相等，或同时不存在．抓住这个本
北师大版数学七年级下册两条直线的位置关系课件
阅读 我分析
视察上面三个图片，你能快速找出其中的相交线吗？它们有什么特殊位置关系吗？
预习展示
新知 我体验
1. 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这 两条直线互相垂直，通常用“⊥”表示两直线垂直。
如右图，记AB⊥CD，垂足为点O.记作l⊥m，垂足为点O.
预习展示
新知 我体验
问题1:你能借助三角尺或者量角器，在一 张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？问题2:如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？请说出你的画法问题3:你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗，试试看吧！请说明理由。
2.动手画一画：
探究一
新知 我体验
问题1：请画出直线m和点A，你有几种画法？问题2：过点A画直线m的垂线。你能画出多少条？请用你自己的语言概括你的发现。
3.动手画一画：
归纳 我总结：
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
探究二
新知 我体验
点P是直线m外一点，PO⊥m，O是垂足，A，B，C在直线上，比较线段PO、PA、PB、PC的长短，你发现了什么？
三、想一想：1、如何测量跳远成绩？ 2、测量图形中PA、PB、PC、PD的长，比较哪条线段最短？ 3、你得到什么启示？
探究新知
1.如图1，已知直线AB、CD和AB上一点M，过点M分别画直线AB、CD的垂线.2.如图2，污水处理厂A要把处理过的水引入排水沟PQ，应如何铺设排水管道，才能使用料最短，试画出铺设管道路线，并说明理由. 图1 图2
4.动手画一画：
探究三
反馈 我挑战
当堂检测
3、如图：已知∠ACB＝90°若 BC＝4cm， AC＝3cm，AB＝5cm， （1）点B到直线AC的距离等于 。 （2）点A到直线BC的距离等于 。（3）A、B两点间的距离等于 。（4）你能求出点C到AB的距离吗？你是怎样做的？小组合作交流.
北师大版七下《2.1 两条直线的位置关系》课件1
六、学有所思， 反馈巩固
1.你学到了哪些知识？ 2.你学会了哪些方法？ 3.你认为应注意哪些问题， 反馈巩固
线段与线段垂 1. 如图：∠B AC＝ 90°，AD⊥B C于点D， 则下面结论中正确的有（ 直是指他们所 ）个. . ①点B 到AC的垂线段是线段在的直线垂直 AB；
P
线段PO的长 度叫做点P到 直线m的距离
垂线性质2： 直线外一点与 直线上各点所 连的所有线段 中垂线段最短
A
B
O
C
m
三、学以致用 一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，M、N 分别是位于公路AB两侧的两个学校，如图所示. M 当汽车由 A向 B行 在AP 这段路上，对两个 驶时，在哪一段 村庄影响越来越大； 上对两个学校影 在QB 这段路上，对两个 响越来越大？越 村庄影响越来越小 . 来越小？
3、垂线的性质：
问题1：请画出直线m和点A，你有几种画法？
点A和直线m的位置关系 有两种：点A可能在直线 m上，也可能在直线m外.
A
m
m
A
问题2：过点A画直线m的垂线.你能画出 多少条？请用你自己的语言概括你的发 现.
垂线的性质1：
平面内，过一点有且只有
一条直线与已知直线垂直.
点P是直线m外一点，PO⊥m， O是垂足，A，B，C在直线上， 比较线段PO、PA、PB、PC的 长短，你发现了什么？
l C m
A
O D
B
互相垂直的两条直线的交点叫做垂足（如图 中的o点）.
练习 你能找到生活中的垂直吗？
a
b c
二、动手画一画
问题1:
①你能借助三角尺，在 一张白纸上画出两条互 相垂直的直线吗？ ②怎样用量角器画出 两条互相垂直的直线
高中数学课件-第2讲 两条直线的位置关系
第2讲 两条直线的位置关系1.能根据斜率判定两条直线的平行或垂直.2.能用解方程组考试要求的方法求两条直线的交点坐标. 3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.01聚焦必备知识1.两条直线的位置关系知识梳理(1)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.拓展(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.3.三种距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝ __________________________.(2)点到直线的距离公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝______________.(3)两平行直线间的距离公式两条平行直线A x＋B y＋C1＝0与A x＋B y＋C2＝0间的距离d＝________________.1.与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直或平行的直线方程可设为：(1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0；(2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0(n ≠C ).2.有关对称点的结论常用结论点关于点、线对称点(x ，y )(a ，b )(2a －x ，2b －y )x ＝a(2a －x ，y )y ＝x(y ，x )x ＋y ＝k(k －y ，k －x )x －y ＝k (k ＋y ，x －k )夯基诊断××√√2.回源教材(1)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程为________.答案：3x ＋4y ＋5＝0设所求对称直线的点的坐标(x ，y )，关于x 轴的对称点的坐标(x ，－y )在已知的直线上，所以所求对称直线方程为3x ＋4y ＋5＝0.(2)已知直线l 过点(0，3)，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是________.答案：x －y ＋3＝0由题意，设直线l 的方程为x －y ＋a ＝0，又过点(0，3)，则0－3＋a ＝0，得a ＝3，故直线l 的方程为x －y ＋3＝0.(3)两条平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为________.02突破核心命题例1 (1)(2024·合肥质检)若l 1：3x －my －1＝0与l 2：3(m ＋2)x －3y ＋1＝0是两条不同的直线，则“m ＝1”是“l 1∥l 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考 点 一两条直线的平行与垂直CC 若l1∥l2，则3×(－3)＝－m×3(m＋2)，解得m＝1或m＝－3，而当m＝－3时，l1，l2重合，故舍去，则“m＝1”是“l1∥l2”的充要条件.(2)(2024·宿迁调研)若直线l 1：ax ＋2ay ＋1＝0与直线l 2：(a －1)x －(a ＋1)y －1＝0垂直，则a 的值为( )A.0B.－1C.－2D.－3D D 因为直线l 1：ax ＋2ay ＋1＝0与直线l 2：(a －1)x －(a ＋1)y －1＝0垂直，所以a (a －1)－2a (a ＋1)＝0，解得a ＝0或a ＝－3.当a ＝0时，直线l 1不存在，故舍去；当a ＝－3时，满足题意.故选D.判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况.(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.反思感悟训练1 (1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2C(2)已知a 2－3a ＋2＝0，则直线l 1：ax ＋(3－a )y －a ＝0和直线l 2：(6－2a )x ＋(3a －5)y －4＋a ＝0的位置关系为( )A.垂直或平行B.垂直或相交C.平行或相交 D.垂直或重合D例2 (1)两条平行直线2x －y ＋3＝0和ax －3y ＋4＝0间的距离为d ，则a ，d 分别为( )考 点 二两条直线的交点与距离问题D(2)(2024·广州调研)直线l经过原点，且经过两条直线2x＋3y＋8＝0，x －y－1＝0的交点，则直线l的方程为________.法二：设所求直线l的方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0(λ∈R)，因为直线l经过原点，所以2×0＋3×0＋8＋λ(0－0－1)＝0，解得λ＝8.所以直线l的方程为2x－y＝0.答案：2x－y＝01.求过两直线交点的直线方程的方法：先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.2.利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等.反思感悟(2)已知直线经过点(1，2)，并且与点(2，3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________.此时直线方程为4x－y－2＝0.若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题设条件.故所求直线的方程为4x－y－2＝0或x＝1.答案：4x－y－2＝0或x＝1考 点 三 对称问题考向 1 中心对称例3 过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y ＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l 的方程为________.设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.答案：x＋4y－4＝0例4 如图，一束平行光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，则反射光线所在的直线的方程为________.2轴对称因为反射光线所在的直线过点A(4，3)，且反射光线过点P(－4，3)，点A和点P的纵坐标相等，所以反射光线所在直线的方程为y＝3.答案：y＝3对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.训练3 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程.(3)法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1，1)，N(4，3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上.易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.法二：设Q(x，y)为l′上任意一点，则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y).∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即直线l′的方程为2x－3y－9＝0.03限时规范训练(五十八)A级 基础落实练A1.两条直线l1：x＝2和l2：3x＋2y－12＝0的交点坐标是( )A.(2，3)B.(－2，3)C.(3，－2)D.(－3，2)2.已知直线l1经过点A(2，a－1)，B(a，4)，且与直线l2：2x＋y－3＝0C平行，则a等于( )A.－2B.2C.－1D.13.过点P(4，－1)且与直线3x－4y＋6＝0垂直的直线方程是( )A A.4x＋3y－13＝0 B.4x－3y－19＝0C.3x－4y－16＝0D.3x＋4y－8＝0A5.(2024·绍兴调研)平面直角坐标系中与直线y＝2x＋1关于点(1，1)对D称的直线方程是( )A.y＝2x－1B.y＝－2x＋1C.y＝－2x＋3D.y＝2x－36.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x －2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于( )B7.(多选)设直线l1：y＝px＋q，l2：y＝kx＋b，则下列说法正确的是( BC )A.直线l1或l2可以表示平面直角坐标系内任意一条直线B.l1与l2至多有无穷多个交点C.l1∥l2的充要条件是p＝k且q≠bD.记l1与l2的交点为M，则y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0可表示过点M的所有直线BC 对于A，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝m(m为直线与x 轴交点的横坐标)，此时直线l1或l2的方程无法表示，故A错误；对于B，当p＝k且q＝b时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B正确；对于C，当p＝k且q≠b时，l1∥l2，故C正确；对于D，记l1与l2的交点为M，则M的坐标满足l1：y＝px＋q且满足l2：y＝kx＋b，则y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0不表示过点M的直线l2，故D错误.A A.2 B.－2C.3D.－3。
高一数学：1.3两条直线的位置关系 课件 (北师大必修2)
2 2 6 16 k 4, , ,1, 3 3 3
2 斜率存在时两直线垂直．
y
y
y
l2
l1 2
O
l2 1
x
l1
l1 1
x
O
l2 2
x
1
O
2
甲
乙
丙
结论3： 如果两ห้องสมุดไป่ตู้线的斜率为k1, k2,那么,这两条直线垂直
k1·k2= -1
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才成立的， 缺少这个前提，结论并不成立．
与
(a 1) x (2a 3) y 2 0 互相垂直，求的值
a 1
小结：
两直线平行 两直线垂直
例3.判断下列各组中的两条直线是否垂直 （1）2x-4y-7=0与2x+y-5=0
1 （2）y=3x+1与y= x+5 3
（3）2x＝7与3y-5=0
例4.求证：直线Ax+By+ C1 直线 C 2 Bx-Ay+ =0垂直. 证明：因为 AB＋B(-A)＝0 所以这两条直线垂直
=0与
结论4：
1 斜率存在时两直线平行．
y
l1 l2
1
O
2
x
结论1: 如果直线L1,L2的斜率为k1,k2 那么 L1∥L2 k1=k2 且b1 b2
l1与l2重合 k1 k2且b1 b2
注意:上面的等价是在两直线斜率存在的前提下才 成立的，缺少这个前提，结论并不成立． 特殊情况下的两直线平行:
当B 0时，已知 1 C 2，所以 C
BC2 BC1 0,因此两直线平行；
两直线的位置关系-高中数学总复习课件
（2）直线 l 1： A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1＝0与直线 l 2： A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2＝0平
行或重合的充要条件是 A 1 B 2－ A 2 B 1＝0.
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高中总复习·数学
3. 与对称问题相关的六个结论
（1）点（ x ， y ）关于原点（0，0）的对称点为（－ x ，－ y ）；
无解 ；
（2）相交⇔方程组有
（3）平行⇔方程组
（4）重合⇔方程组有
无数个解 .
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高中总复习·数学
3. 三种距离公式
（2 − 1 ）2 ＋（2 − 1 ）2
（2）点到直线的距离公式：点 P 0（ x 0， y 0）到直线 l ： Ax ＋ By ＋
｜0 ＋0 ＋｜
2 ＋2
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高中总复习·数学
2. 已知直线 l 1： ax ＋2 y －1＝0，直线 l 2：8 x ＋ ay ＋2－ a ＝0，当 l 1∥
l 2时， a ＝ －4 .
解析：因为 l 1∥ l 2，由结论2得 a ·a －2×8＝0，解得 a ＝±4.当 a ＝4
时，直线 l 1：4 x ＋2 y －1＝0，直线 l 2：8 x ＋4 y －2＝0，即4 x ＋2 y
C ＝0的距离 d ＝
；
提醒
利用点到直线的距离公式时，需要先将直线方程化为
一般式.
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高中总复习·数学
（3）两条平行直线间的距离公式：两条平行直线 Ax ＋ By ＋ C 1＝0
｜1 −2 ｜
2 ＋2
与 Ax ＋ By ＋ C 2＝0间的距离 d ＝