2019届中考数学系统复习 第五单元 四边形 滚动小专题(七)与四边形(多边形)有关的计算与证明练习
广西2019届中考数学总复习_第五单元_四边形单元测试卷_含答案
单元测试(五) 四边形(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共24分)1．已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是( B )A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形2．下列四个命题中，正确的是( D )A．菱形的对角线相等B．矩形的对角线互相垂直C．平行四边形的每条对角线平分一组对角D．正方形的对角线互相平分3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为( A )A．4 B．3 C．2 D．14．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是( B )A．∠A＝∠C，∠B＝∠DB．AB∥CD，AD＝BCC．AB∥CD，∠A＝∠CD．AB∥CD，AB＝CD5．(2016·河北)关于▱ABCD的叙述，正确的是( C )A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形6．(2015·本溪)如图，▱ABCD的周长为20 cm，AE平分∠BAD，若CE＝2 cm，则AB的长度是( D ) A．10 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm7．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为( A )A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE ＝BF ＝1，CE ，DF 交于点O.下列结论：①∠DOC＝90°；②OC＝OE ；③tan ∠OCD ＝43；④S △ODC ＝S 四边形BEOF 中，正确的有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题(每小题4分，共16分)9．如果菱形的两条对角线的长为a 和b ，且a ，b 满足(a －5)2＋b －4＝0，那么菱形的面积等于10．10．(2016·巴中)如图，▱ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，AD ＝a ，则a 的取值范围是1<a<7．11．(2015·本溪)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝8，BD ＝6，OE ⊥BC ，垂足为点E ，则OE ＝125．12．(2016·岑溪一模)如图，正方形ABCD 的边长为8，O 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PO ＋PB 的最小值为45．三、解答题(共60分)13．(10分)在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点O 作直线EF 分别交线段AD ，BC 于点E ，F. (1)根据题意，画出图形，并标上正确的字母； (2)求证：DE ＝BF.解：(1)如图所示．(2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，OB ＝OD. ∴∠EDO ＝∠OFB.在△DOE 和△BOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOD ＝∠FOB ，OD ＝OB ，∠EDO ＝∠FBO ，∴△DOE ≌△BOF (ASA )． ∴DE ＝BF.14．(12分)如图，已知点E ，F 分别是▱ABCD 的边BC ，AD 的中点，且∠BAC＝90°. (1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若∠B＝30°，BC ＝10，求菱形AECF 面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD 綊BC.∵E ，F 分别为BC ，AD 中点．∴AF 綊EC.∴四边形AECF 为平行四边形．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点E 是BC 边的中点，∴AE ＝12BC ＝CE.∴AE ＝CE ＝CF ＝AF. ∴四边形AECF 是菱形． (2)方法一：在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°∠B ＝30°，BC ＝10∴AC ＝12BC ＝5，AB ＝3AC ＝5 3.∵E 是BC 中点， ∴S △ABE ＝S △AEC .∴S 菱形AECF ＝S △ABC ＝12×5×53＝2532.方法二：∵四边形ABCD 是▱，E ，F 分别为BC ，AD 中点． ∴四边形AFEB 也是平行四边形． ∴EF ＝AB ＝5 3. ∵E 是BC 中点， ∴S △ABE ＝S △AEC .∴S 菱形AECF ＝S △ABC ＝12×5×53＝2532.15．(12分)(2015·鄂州)如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，连接BE ，CE. (1)求证：BE ＝CE ； (2)求∠BEC 的度数．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°. ∵三角形ADE 为等边三角形， ∴AE ＝AD ＝DE ，∠EAD ＝∠EDA ＝60°. ∴∠BAE ＝∠CDE ＝150°. 在△BAE 和△CD E 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△BAE ≌△CDE (SAS )． ∴BE ＝CE.(2)∵AB ＝AD ，AD ＝AE ， ∴AB ＝AE. ∴∠ABE ＝∠AEB. 又∵∠BAE ＝150°， ∴∠ABE ＝∠AEB ＝15°. 同理：∠CED ＝15°.∴∠BEC＝60°－15°×2＝30°.16．(12分)如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.(1)求证：AE＝DF；(2)若添加条件∠BAC＝90°(答案不唯一)，则四边形AEDF是矩形；若添加条件AD平分∠BA C(答案不唯一)，则四边形AEDF是菱形；若添加条件△AED是等腰直角三角形且∠AED＝90°(答案不唯一)，则四边形AEDF是正方形．证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．∴AE＝DF.17．(14分)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4.(1)求证：BE＝DE；(2)求△BED的面积．解：(1)证明：∵△BDC′是由△BDC沿直线BD折叠得到的，∴∠C′BD＝∠CBD.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠CBD＝∠EDB.∴∠C′BD＝∠EDB.∴BE＝DE.(2)设DE＝x，则AE＝AD－DE＝8－x.∵∠A＝90°，BE＝DE＝x，∴BE 2＝AB 2＋AE 2，即x 2＝42＋(8－x )2. ∴x ＝5.∴S △BED ＝12DE·AB ＝12×5×4＝10.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
滚动小专题(七) 与四边形(多边形)有关的计算与证明
1．已知一个多边形的最小的一个内角是120°，比它稍大的一个内角是125°，以后依次每一个内角比前一个内角多5°，且所有内角的和与最大的内角的度数之比是63∶8，试求这个多边形的边数．解：设这个多边形的边数为n，则最大内角为120°＋(n－1)·5°，由题意，得
[(n－2)·180°]∶[120°＋(n－1)·5°]＝63∶8，
解得n＝9.
答：这个多边形的边数为9.
2．(2018·大庆)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC 交BC的延长线于F.
(1)求证：四边形CDEF是平行四边形；
(2)若四边形CDEF的周长是25 cm，AC的长为5 cm，求线段AB的长度．
解：(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，F是BC延长线上的一点，
∴ED是Rt△ABC的中位线．
∴ED∥FC，BC＝2DE.
又∵EF∥DC，
∴四边形CDEF是平行四边形．
(2)∵四边形CDEF是平行四边形，∴DC＝EF.
∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AB＝2DC.
∴四边形DCFE的周长为AB＋BC.
∵四边形DCFE的周长为25 cm，AC的长5 cm，
∴BC＝25－AB.
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB2＝BC2＋AC2，
即AB2＝(25－AB)2＋52，解得AB＝13.
∴线段AB的长度为13 cm.
3．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE＝CD，连接AE.
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)连接OE，若∠ABC＝60°，且AD＝DE＝4，求OE的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵DE＝CD，∴AB＝DE.
∴四边形ABDE是平行四边形．
(2)∵AD＝DE＝4，∴AD＝AB＝4.
∴平行四边形ABCD是菱形．
∴AB ＝BC ，AC ⊥BD ，BO ＝12BD ，∠ABO ＝1
2∠ABC.
又∵∠ABC ＝60°，∴∠ABO ＝30°.
在Rt △ABO 中，AO ＝AB ·sin ∠ABO ＝2，BO ＝AB ·cos ∠ABO ＝2 3.∴BD ＝4 3.
∵四边形ABDE 是平行四边形， ∴AE ∥BD ，AE ＝BD ＝4 3. 又∵AC ⊥BD ，∴AC ⊥AE.
在Rt △AOE 中，OE ＝AE 2
＋AO 2
＝213.
4．如图，在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于E ，过E 作EF ⊥AD 于F ，连接BF 交AE 于P ，连接PD.
(1)求证：四边形ABEF 是正方形；
(2)如果AB ＝4，AD ＝7，求tan ∠ADP 的值 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠FAB ＝∠ABE ＝90°，AF ∥BE.
∵EF ⊥AD ，∴∠FAB ＝∠ABE ＝∠AFE ＝90°. ∴四边形ABEF 是矩形． ∵AE 平分∠BAD ，AF ∥BE ， ∴∠FAE ＝∠BAE ＝∠AEB. ∴AB ＝BE.
∴四边形ABEF 是正方形． (2)过点P 作PH ⊥AD 于H. ∵四边形ABEF 是正方形，
∴BP ＝PF ，BA ⊥AD ，∠PAF ＝45°. ∴AB ∥PH.
∵AB ＝4，∴AH ＝PH ＝2.
∵AD ＝7，∴DH ＝AD －AH ＝7－2＝5. 在Rt △PHD 中，∠PHD ＝90°， ∴tan ∠ADP ＝PH HD ＝2
5
.
5．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点O ，与BC 相交于N ，连接BM ，DN.
(1)求证：四边形BMDN 是菱形； (2)若AB ＝2，AD ＝4，求MD 的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠A ＝90°. ∴∠MDO ＝∠NBO.
在△DMO 和△BNO 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠MDO ＝∠NBO ，DO ＝BO ，
∠MOD ＝∠NOB ，
∴△DMO ≌△BNO(ASA)． ∴OM ＝ON. 又∵OB ＝OD ，
∴四边形BMDN 是平行四边形．
又∵MN ⊥BD ，∴平行四边形BMDN 是菱形． (2)∵四边形BMDN 是菱形，∴MB ＝MD. 设MD 长为x ，则MB ＝DM ＝x.
在Rt △AMB 中，BM 2＝AM 2＋AB 2
， 即x 2＝(4－x)2＋22
，解得x ＝52.
∴MD ＝52
.
6．如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，分别过点C ，D 作CE ∥BD ，DE ∥AC ，CE 和DE 交于点E ，连接AE.
(1)求证：四边形ODEC 是矩形；
(2)当∠ADB ＝60°，AD ＝23时，求tan ∠EAD 的值．
解：(1)证明：∵CE ∥BD ，DE ∥AC ， ∴四边形ODEC 是平行四边形． 又∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ，即∠DOC ＝90°. ∴四边形ODEC 是矩形．
(2)过点E 作EF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F. ∵AC ⊥BD ，∠ADB ＝60°，AD ＝23， ∴OD ＝3，AO ＝OC ＝3. ∵四边形ODEC 是矩形， ∴DE ＝OC ＝3，∠ODE ＝90°.
又∵∠ADO ＋∠ODE ＋∠EDF ＝180°， ∴∠EDF ＝30°.
在Rt △DEF 中，∠F ＝90°，∠EDF ＝30°， ∴EF ＝12DE ＝32.∴DF ＝3
2 3.
在Rt △AFE 中，∠AFE ＝90°， ∴tan ∠EAD ＝EF AD ＋DF ＝32
23＋32
3
＝37
.
7．(2018·广州)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，∠D ＝30°，AB ＝BC.
(1)求∠A ＋∠C 的度数；
(2)连接BD ，探究AD ，BD ，CD 三者之间的数量关系，并说明理由；
(3)若AB ＝1，点E 在四边形ABCD 内部运动，且满足AE 2＝BE 2＋CE 2
，求点E 运动路径的长度．
解：(1)在四边形ABCD 中，∵∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝360°，∠B ＝60°，∠C ＝30°， ∴∠A ＋∠C ＝360°－60°－30°＝270°.
(2)结论：DB 2＝DA 2＋DC 2
.
理由：如图1，以BD 为边向下作等边三角形△BDQ.∵∠ABC ＝∠DBQ ＝60°， ∴∠ABD ＝∠CBQ.
∵AB ＝BC ，DB ＝BQ ，∴△ABD ≌△CBQ(SAS)． ∴AD ＝CQ ，∠A ＝∠BCQ.
∵∠A ＋∠BCD ＝∠BCQ ＋∠BCD ＝270°，
∴∠DCQ ＝90°.∴DQ 2＝DC 2＋CQ 2
. ∵CQ ＝DA ，DQ ＝DB ，
∴DB 2＝DA 2＋DC 2
.
(3)如图2，将△BCE 绕点B 逆时针旋转60°得到△BAF ，连接EF.则CE ＝AF ，BE ＝BF ，∠EBF ＝60°， ∴△BEF 是等边三角形． ∴EF ＝BE ，∠BFE ＝60°.
∵AE 2＝BE 2＋CE 2，∴AE 2＝EF 2＋AF 2
. ∴∠AFE ＝90°.
∴∠BFA ＝∠BFE ＋∠AFE ＝150°. ∴∠BEC ＝150°.
∴动点E 在四边形ABCD 内部运动，满足∠BEC ＝150°，
以BC 为边向外作等边△OBC ，则点E 是在以O 为圆心，OB 为半径的圆周上运动，运动轨迹为弧BC ，∵OB ＝BC
＝AB ＝1，则lBC ︵＝60°×π×1180°＝π
3.。