级联三能级系统混沌模型下的五阶非线性效应
物理学中的非线性现象和混沌理论
物理学中的非线性现象和混沌理论物理学是一门探究自然界的科学，它致力于研究万物运动规律及其本质。
而非线性现象和混沌理论则是物理学中的一个分支，它研究的是那些难以用线性方程描述和预测的现象。
下面我们就来谈谈物理学中的非线性现象和混沌理论。
一、非线性现象的概念和特点非线性现象是指现象的变化与作用于自身或其他物理对象的力的关系存在非线性，即呈现出非比例的关系。
例如，当振幅过大时，简单的弹簧系统会出现非线性现象。
这种现象并不是简单的加权平均，它的规律往往十分复杂，无法用线性方程描述。
非线性现象通常具有以下特点：1. 非线性现象是不可预测的。
由于存在着种种未知因素的干扰，非线性系统的运动是具有不确定性的，而且往往需要借助大量的计算才能求出其运动规律。
2. 非线性现象通常表现出现象的对称性破缺。
这种破缺是由于非线性系统中不同方向的势场不同，导致运动轨迹并不是呈现均匀性的。
3. 非线性现象具有自相似性。
例如，树枝的形状与分形具有自相似性的特点。
这种自相似性很容易让人联想到自然界中的许多现象，如云朵的形状、山的轮廓等。
4. 非线性现象是不稳定的。
这就是为什么冲天火箭在发射之后会发生电力黑出的原因。
在非线性系统中，稍有差池也会导致系统整体崩溃。
二、混沌理论的概念和应用混沌理论是一种研究非线性系统中产生的混沌现象的数学理论。
混沌现象在非线性系统中十分常见，它们往往表现为无规律、不可预测的运动。
混沌系统的随机性是由输入信号的微小变化而产生的。
在计算机模拟中，微小的误差往往会导致系统的输出结果与输入信号产生大幅度的偏差。
这导致混沌系统无法预测，任何误差都会导致其无法准确的预测结果，这种情况在天气预报中经常见到。
本质上，混沌现象是一种以相对稳定的方式存在的随机现象，它呈现出周期性、复杂性和非常的特性。
由于混沌现象具有这些独特的特性，因此混沌理论被应用于生态学、金融、天气预报以及神经科学等领域，并在这些领域取得了很大的成功。
非线性电路中的混沌现象实验报告
非线性电路中的混沌五：数据处理：1.计算电感L在这个实验中使用了相位测量。
根据RLC 谐振定律，当输入激励频率时LCf π21=，RLC 串联电路达到谐振，L 和C 的电压反向，示波器显示一条45度斜线穿过第二象限和第四象限。
实测：f=32.8kHz ；实验仪器标记：C=1.095nF 所以：mH C f L 50.21)108.32(10095.114.34141239222=⨯⨯⨯⨯⨯==-π估计不确定性：估计 u(C)=0.005nF ，u(f)=0.1kHz 但：32222106.7)()(4)(-⨯=+=CC u f f u L L u 这是mH L u 16.0)(=最后结果：mH L u L )2.05.21()(±=+2、有源非线性负电阻元件的测量数据采用一元线性回归法处理： (1) 原始数据：(2) 数据处理：根据RU I RR =流过电阻箱的电流，由回路KCL 方程和KVL 方程可知：RR R R U U I I =-=11对应的1R I 值。
对于非线性负电阻R1，将实验测量的每个（I ，U ）实验点标记在坐标平面上，可以得到：从图中可以看出，两个实验点（ 0.0046336 ，-9.8）和（ 0.0013899 ，-1.8）是折线的拐点。
因此，我们采用线性回归的方法，分别在V U 8.912≤≤-、 、 和8V .1U 9.8-≤<-三个区间得到对应的 IU 曲线。
0V U 1.8≤<-使用 Excel 的 Linest 函数找到这三个段的线性回归方程：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+-≤≤= 0U 1.72- 0.00079U - -1.72U 9.78- 30.000651950.00041U - 9.78U 12-20.02453093-0.002032U I经计算，三段线性回归的相关系数非常接近1（r=0.99997），证明区间IV 内的线性符合较好。
应用相关绘图软件可以得到U<0范围内非线性负电阻的IU 曲线。
KerrЧ
型三能级原子相互作用系统 的原子 占居态几率 ， 尚未有人涉及 ． 本文 研究充满 Ｋ ｒ介 质的高 Ｑ 腔 中 ｅ 级联型三能级原子与单模相干光场相互作用过程中， 原子 占居态几率随时间的演化规律 ． 讨论 了原子 与场模 间的耦合系数 、 初始场的平均光子数 （ 初始场强 ） 和 Ｋ ｒ 介质强度系数 对原子 占居态几率 ｅ
０ 引 言
自 １６ ９ ３年 Ｊｙ ｅ－ｕ ａｎ ｓ ｍｍｉｇ（— 模 型诞 生 以来 ， 多 研 究 者 的成 果 揭 示 了该 模 型 中丰 富 的非 经 Ｃ ｎｓＪＣ） 众 典 性 质 此后 人 们 又将 Ｊｙ ｅ－ ｕ ｎ ｓ 型推 广 至三 能级 多原 子 系统 中０ ， 近 ， ， ａｎｓＣ ｍｍｉｇ 模 一 最 又将 该模 型 进行 了 推广 ， 已经从 真 空环 境 引进 到 某些 介 质 环境 文献 ９ １ 、３ １ 究 了在 Ｋ ｒ 介 质 中三 能 级 原 子 与 一， 、０ １ ～ ６研 ｅ 相 干 态 光场 相互 作 用 的动 力学 性 质 ． 与 光场 作用 时 ， 被 等效 为 二次 谐振 子 的 Ｋｅ 介 质 ¨以及 Ｊｙ ｅ－ｕ 可 ｒ ａｎｓ ｍｍｉｇ 模 型 是量 子 光学 的两 Ｃ ｎｓ 个 最基 本 和 最典 型 的模 型 ， 它们 的研究 一 直都 十 分重 视 ． 对 近年 来 ，ｕｅ Ｂ ｚｋ和 Ｊｘ３ 这 两个 模 型 统 一 ｅ ｌ１ ．将 起来 考 虑 ， 即假设 一 个 二能 级 原子 处在 Ｋｅ 介 质 的包 围之 中 ． 论 了在 相 干 光 场 作 用 下 ， 子 和 光 场 ｒ 讨 原 的量子 性 质 ． 近 十 年来 ， 多 的研究 者 对 一个 三 能级 原 子 与各 种模 场 （ 如 相 干场 、 缩 真空 场 、 光 而 众 诸 压 热 场 、 模场 、 单 双模 场等 ） 的相 互作 用 问题 作 了大量 的研究 ， 到 了许 多令 人 满 意 的新 的非经 典 结 果 ． 得 这些 研究 对 揭示 原 子 与光 场 相互 作用 的本 质有 重 要 的理 论 价 值 ． 对 于 Ｋｅ 介 质 中单 模 相 干光 场 与级 联 但 ｒ
一个新五阶超混沌系统分析与电路仿真 (1)
一个新五阶超混沌系统分析与电路仿真-机电论文一个新五阶超混沌系统分析与电路仿真周小勇韩晓新（江苏理工学院电气信息工程学院，江苏常州213001）摘要：提出了一个新的五阶自治超混沌系统，通过系统的理论分析、数值仿真、Lyapunov指数和维数证明该超混沌系统的存在性，还利用Lyapunov指数谱和分岔图说明随着系统参数的改变，系统呈现复杂周期、混沌和超混沌状态，具有丰富的动力学特性。
最后，运用Multisim软件设计了系统的电路并进行了仿真实验，数值仿真和电路仿真证实了该超混沌系统与以往发现的混沌系统并不拓扑等价，是一个新的超混沌系统。
关键词：超混沌系统；Lyapunov指数谱；分岔图；超混沌电路项目名称：江苏省产学研前瞻性联合研究项目，项目编号：BY201302503 0引言现今，在混沌加密的保密通信研究中发现，低维混沌系统用作密钥时容易被破译，而高维的超混沌系统却难以破译［12］。
主要原因是低维系统产生的混沌信号频带较窄，容易被数字滤波器分离，失去加密保护作用，但对于高维混沌系统或超混沌系统来说，其混沌动力学特性较为复杂，产生的混沌序列信号具有比较宽的频率范围，难以被滤波器滤除［35］，这对于信息加密具有非常重要的应用价值，因此，围绕超混沌系统产生与应用的研究成为混沌理论的研究热点之一。
本文在一个三维混沌系统的基础上通过变量拓展与状态反馈构造了一个五阶自治超混沌系统。
通过理论推导、数值仿真、Lyapunov指数与维数、Lyapunov指数谱和分岔图等研究了该超混沌系统的动力学特性，验证了系统的超混沌特性。
最后，采用模块化电路设计方法，根据系统数学模型设计了系统的硬件电路原理图，并进行了电路的EWB 仿真实验，验证了系统的物理可实现性。
1新五阶超混沌系统的基本分析1.1新五阶超混沌系统模型本文提出的新五阶自治超混沌系统是在文献［6］的三维混沌系统的基础上，通过拓展系统变量并实施反馈控制来实现的，其数学模型描述为：式中的a、b、c、d是实常数，当a=25、b=35、c=30、d=35时，系统存在一个典型的混沌吸引子如图1所示，由图可见，吸引子的轨线在其吸引域中具有遍历性。
Newton—Leipnik系统混沌控制
混沌控 制方 法可 以分 为反馈 控制 和无 反馈 控制 ［ ． 馈控 制方 法可 以根 据受控 系 统的状 态进 行调 节 ， ５反 ］ 具 有微 扰较 小 的优 点 ， 但需 要 预先 了解 系统 的运 动 状态． 际的非 线性 系统 常常无 法 预先 了解 系统 的动力 实
在 Ｎｅ ｔｎＬ ｉｎｋ系 统 中 ， 口 ０ ４ ｂ ０ １ ５ 时 混 沌 运 动 状 态 ， 取 初 始 条 件 为 （ ｗ ｏ — ｅｐ ｉ 取 一 ． ，一 ．７ 选 ０
．
３ ４９， ０，
第 ３期
李 贤 丽 等 ： ｗ ｏ — ｅ ｎｋ系 统 混 沌 控 制 Ｎｅ ｔｎＩ ｉ ｉ ｐ
其 中 ： ２ ３个平衡 态处 于上 吸引 子 的中心 ， ４ ５个平 衡态处 于 下吸 引子 的 中心 ． 第 、 第 、 根据 线性 稳定性 分 析 ， 对第 １个平 衡态 ， 在平衡 点邻 域将 方程 线性化 ， 到 ３ 特征 值 ： 得 个
ｉ一 ０ １ ５ ０ ２一 一 ０ ４＋ ｉ ． ７ ， ． ， ３一 一 ０ ４一 ｉ ． ．
对 第 ２ ３个平 衡态 ， 到 ３个 特征值 ： 、 得
１一 一 ０． ９ Ａ ７ ９ ８， ｚ一 ０ ０８ ． ７ ４＋ １ ２１ ， ． １ ５ｉ ３— ０ ０８ ． ７ ４— １ ２１ ５ ． １ ．
对 第 ４ ５个平 衡态 ， 到 ３个 特征值 ： 、 得
１一 一 ０． ９ ２— ０ ０８ ７ ９ ５， ． ７ ３＋ ０． ５ ２ｉ ３— ０ ０ ８７ ， ． ８７ ３— ０ ８７ ｉ ． ５ ２．
非线性光学——精选推荐
复合技术以及空间投影技术，实现了角运动向小目标二维空间运动的转换；运用多媒体定时器技术实现了对电机的内部闭环控制；采用脉冲宽度调制(PW M)技术实现了对电机的速度控制，提高了目标的仿真精度。
小目标的运动速度可以达到l O。
／s，精度d0．1。
／s，归一化标准偏差0．09。
利用该装置实现了实验室内的目标运动闭环跟踪实验研究．目标捕获跟踪系统的跟踪标准偏差为0．2m r ad。
图l O参6(严寒)T N2492006054143圆管中激光激发表面瑞利波极性的有限元分析一A nal ysi s of l as er—i ndu ced sur f ace R a yl e i g h w av e’S pol ari t y i n ho l l o wcyl i nder s by f ini te e l e m e nt m et hod[刊，中]／何跃娟(江南大非线性光学概论学理学院．江苏，无锡(214122))，朱日宏…／／中国激光．一2006，33(6)．一765—769用有限元方法数值模拟了脉冲线源激光作用于厚铝管时产生的温升以及由此温升而产生的表面声波的情况，得到了逆时针向探测点和波源之间角度从9=5。
到妒= 180。
范围内一系列表面法向位移的时域波形，并对相同厚度不同外径的铝管的表面波进行对比。
数值结果表明不考虑衍射效应时，圆管中第一个瑞利波脉冲的极性和试样的尺寸无关．仅和探测点离波源的角度相关。
图3表1参13(严寒)非线性光学04372006054144高斯光束在克尔型非线性介质中的演化特性=Ev ol ut i on f eat ur e of G aus s i an beam pr opagat i ng i n abs or pt i ve K er r m edi um[刊，中]／刘雅洁(嘉兴学院物理教研室．浙江，嘉兴(314001))／／光散射学报．一2006，18(2)．一183-187由光束在克尔型吸收介质中传输的非线性薛定谔方程。
三阶非线性电容电路中的闭轨分岔与混沌
１ 电路 与 方 程
图ｌ 所示三阶 自治电路 ，Ｃ 是非线性 电容，其库一伏特性可分段线性化如图ｌｂ 所示 ，一 。 － （） Ｇ 描述 了一个线性负电阻，其他都是线性无源元件。以非线性电容 电荷ｇ 、线 性电容 电压 ， 、电感电流 为 状态变量，对 电路的状态方程 引进归一化因子Ｃ （ 为电容的量纲 ），其归一化方程为 ：
ｘ ， ， ）， （ ， ， ＝（ Ｙ Ｋ＝ 壳 ０ ０），
三
＝ （ ， ｙ ｍ） ＞ ， ＞ ， ＜ ｓ１ ＞ （ ｘ Ｄ－ Ｄ一 ， ０ Ｖ Ｅ ） ｛口 ， ， ｌ ０ｐ ｏ ０ ｙ ， ０ Ｖ Ｅ Ｕ １ ｍ＜ （ ｘ Ｄｏ｝ ａ ）
Ｍ（ ｘ—Ｋ ） ｘ ． ＥＤ
（） ５
ｌ ［ １ 】 （ ） ） ｙ ｇ －（
Ｇ
｛ （ ） 一
－ 一
，
（ ） １
Ｌ
ｃ：
牟一ｃ＋ Ｉ ＋ ｒ
ｌ
—
ｊ Ｉ 三
一
ｌ
（ ａ）电路 原理 图 （ ）非线性 电容的特性 曲线 ｂ 图 １ 具有 非线 性负 电容的三阶 自治 电路
维普资讯
第 ｌ 卷第 ３ ４ 期 ２０ ０ ７年 ６月
Ｊ ０Ｕ ＲＮＡＬ ＯＦ ＤＯＮ ＧＧＵＡＮ ｒ Ｉ ＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ ＯＦ ＴＥＣＨＮ ０Ｌ０ＧＹ
东 莞 理 工 学 院 学 报
Ｖ １ ４Ｎ ． ０． ｏ３ １
Ｊ ｎ ｕ ． ２ ００７
式 （ ）、（ ）中口 ，ｙ 及６ １ ２ ， ， 的变化，综合 反映 了电路 中实际元件参数的变化 。
收稿 日期： ０ ７ Ｏ ２ ０ 一 ３一Ｏ ９
作 者 简 介 ： 广 明（１ ６ 李 ９ ８一 ） 男 ， 南 信 阳 人 ， 师 ， 要 从 事 非 线 性 电 路 理 论 与 应 用 研 究 ． ， 河 讲 主
非线性物理和系统和混沌现象
非线性物理和系统和混沌现象物理学是自然科学的一个重要分支，涉及到各种物质和现象的研究。
在物理学的发展过程中，人们逐渐认识到线性系统和非线性系统的区别。
线性系统是指系统的输入与输出之间呈现出线性关系。
而非线性系统则是指系统的输入与输出之间呈现出非线性关系。
近年来，非线性物理和系统和混沌现象的研究成为了物理学中一个重要的研究领域。
一、非线性物理和系统非线性物理和系统的研究对象主要是非线性系统，包括混沌系统、非线性振动系统、非线性光学系统等。
相对于线性系统，非线性系统更加复杂，但性质也更加丰富多彩。
非线性系统的研究是为了深入理解物质和现象的本质，进一步推动物理学的发展。
非线性系统的行为是由相互作用体系的非线性因素所决定的。
对于非线性系统的行为，人们往往采用数值模拟方法进行研究。
随着计算机技术的不断发展，数值模拟方法已经成为了非线性物理和系统研究的常用工具。
二、混沌现象混沌现象是指在非线性系统中出现的一种非周期、无序、随机的运动行为。
混沌现象最初是在天体物理中被观察到的。
由于天体运动的复杂性，天体运动在某些情况下呈现出了混沌现象。
随后，人们将混沌现象引入到物理学的其他领域中，研究非线性振动系统、非线性光学系统等中出现的混沌现象。
混沌现象的一个重要特征是灵敏依赖。
假设有一个小幅度扰动加在混沌系统中，随着时间的推移，原始运动轨迹与扰动轨迹之间的差距将不断扩大，最终形成两条完全不同的运动轨迹。
这意味着混沌现象对初始条件的微小变化具有极强的灵敏度，而这种灵敏度也是混沌现象的一个重要特征和表现形式。
三、应用前景非线性物理和系统和混沌现象的研究已经在很多领域中得到了广泛应用。
尤其是在自然界中，非线性系统和混沌现象的存在极为普遍。
比如地球的自然灾害，就包括了许多混沌现象，如地震、洪水等。
此外，在工程领域中，非线性物理和系统和混沌现象的研究也具有很高的应用价值。
比如，人们可以通过非线性振动系统和混沌现象来分析和控制结构的振动，加强工程结构的耐震能力，以应对自然灾害的影响。
非线性混沌现象及其在激光原子相互作用和玻色爱因斯坦凝聚中的表
•What happens if we replace the ultra-cold atom with the BEC?
非线性混沌现象及其在 激光原子相互作用和玻 色爱因斯坦凝聚中的表
2021/1/4
非线性混沌现象及其在激光原子相互 作用和玻色爱因斯坦凝聚中的表
•概要 •1、非线性动力学混沌现象简介 • 保守系统的混沌 • 耗散系统的混沌 • 量子混沌 •2、应用于强激光的原子电离 •3、应用于波色---爱因斯坦凝聚体 •4、应用于纳米材料（如有时间）
非线性混沌现象及其在激光原子相互 作用和玻色爱因斯坦凝聚中的表
一、非线性系统的混沌现象
• 保守系统与耗散系统 区别点
相体积收缩与否
相同点
•混沌轨道有李雅谱诺夫指数描述
非线性混沌现象及其在激光原子相互 作用和玻色爱因斯坦凝聚中的表
•保守系统的标准映象
非线性混沌现象及其在激光原子相互 作用和玻色爱因斯坦凝聚中的表
hing
•Chirped pulse amplification
非线性混沌现象及其在激光原子相互 作用和玻色爱因斯坦凝聚中的表
强激光场中的原子----引言
• 近些年来，强场与原子相互作用问题引起人们的广泛 关注。这主要由于在过去几十年里激光技术和实验技 术的飞速发展使得①电磁场强度与库仑场(原子玻尔半 径处)在同．一量级(甚至超过)；②可以非常精确地测 量光电子的能量及角分布等物理量。
作用和玻色爱因斯坦凝聚中的表
What is BECs good for
• Too new and we know too little • Potential application: Sensitive
measurement, tiny instrument, atom laser, quantum information, etc.
一个电力系统三阶模型的混沌与控制
电力系统是由发电、输电、变电、配电和用电等环节组成的一个复杂的非线性系统，在研究系统的 动力学行为和控制之前，必须要选择和建立合适的数学模型。在数学上可以用一组微分方程展示电力系 统的非线性特性。为了便于理解与分析，图 1 给出了一个单机无穷大系统的示意图，同步发电机(G)的功 率可以通过变压器电抗( xT )和传输线电抗( xL )传送到无穷大母线电压( Vs ) [2]。其中，G 代表同步发电机， xT 是变压器电抗， xL 是传输线电抗， Vs 表示无穷大母线电压， Vt 表示同步发电机端电压。
Dynamical Systems and Control 动力系统与控制, 2019, 8(3), 191-204 Published Online July 2019 in Hans. /journal/dsc https:///10.12677/dsc.2019.83021
本文采用了文献[16]中的电力系统的三阶数学模型，并利用已有文献[17]进一步简化了系统模型，分 析了该系统的非线性动力学行为，在控制方案设计上不仅对参数已知时提出了自适应控制与非线性反馈
DOI: 10.12677/dsc.2019.83021
192
动力系统与控制
华存，刘辉昭
控制两种控制方案，而且针对以前的文献很少考虑参数未知或只考虑一个参数是未知的情况，设计了某 些参数是未知的控制设计方案。自适应控制和非线性反馈控制这两种控制方法比较简单，易操作，具有 通用性，不仅应用于整数阶系统，并且也可以推广到分数阶系统。本文的总体设计是在考虑负阻尼系数、 同步角速度对系统的动力学行为产生的影响上，对参数已知和未知两种情况进行控制器设计。
式中： B = 1 ， X= xd′ Σ
非线性系统的混沌现象分析
非线性系统的混沌现象分析正文：非线性系统的混沌现象分析一、引言非线性系统是指系统的输出与输入不满足线性关系的系统，而混沌现象是在某些非线性系统中常常出现的一种特殊现象。
本文旨在分析非线性系统中的混沌现象，探讨其产生机制和应用价值。
二、混沌现象的定义与特征混沌现象最早由美国数学家洛伦兹在20世纪60年代发现，并以其姓氏来命名。
混沌现象意味着一个系统在初始条件微小变化下会产生巨大的结果变化。
混沌系统具有以下几个特征：1. 灵敏依赖于初始条件：小的初始条件变化会导致系统长期演化的完全不同结果。
2. 系统是无周期的：混沌系统的演化没有任何规律可循，无法进行精确预测。
3. 混沌系统是确定的：系统的演化完全由所选的非线性方程决定，不受任何随机性的影响。
三、混沌现象的产生机制混沌现象的产生机制十分复杂，目前还没有完全解释清楚。
然而，研究表明，以下几个因素在混沌现象的产生中起到重要作用：1. 非线性项的存在：当系统中存在非线性项时，就会出现混沌现象。
线性系统不存在混沌现象。
2. 正反馈作用：正反馈作用使得系统的输出进一步增大，从而导致系统进入混沌状态。
3. 系统的复杂性：系统的复杂性是产生混沌现象的基础。
越复杂的系统越容易产生混沌。
四、混沌现象的应用价值混沌现象在科学研究和应用领域中具有重要意义：1. 信息加密：混沌现象具有高度随机性和不可预测性，可以用于信息的加密传输，保护信息的安全性。
2. 系统控制：混沌现象可以应用于控制系统中，通过合适的控制手段，将系统从混沌状态引向稳定状态。
3. 数据压缩：混沌现象提供了一种高效的数据压缩方法，可以将大量数据用较少的存储空间进行存储和传输。
五、混沌现象的数学模型为了对混沌现象进行研究和理解，研究者们提出了多种数学模型，其中最著名的是洛伦兹模型和摆动模型。
1. 洛伦兹模型：洛伦兹模型是描述大气对流运动的非线性模型，由三个关联方程组成。
该模型展现了混沌现象的典型特征。
2. 摆动模型：摆动模型是描述摆动运动的非线性模型，通过调整摆线长度和重力加速度等参数，可以观察到不同的混沌现象。
混沌效应非线性混沌电路（精）
混沌效应一、实验名称 非线性电路振荡周期的分岔与混沌二、实验原理⒈分岔与混沌 ⑴ 逻辑斯蒂映射考虑一条单位长度的线段，线段上的一点用0和1之间的数x 表示。
逻辑斯蒂映射是)1(x kx x -→其中k 是0和4之间的常数。
迭代这映射，我们得离散动力学系统 )1(1n n n x kx x -=+ ，0=n ，1，2…我们发现：①当k 小于3时，无论初值是多少经过多次迭代,总能趋于一个稳定的不动点; ②当k 大于3时，随着k 的增大出现分岔，迭代结果在两个不同数值之间交替出现，称之为周期2循环；k 继续增大会出现4，8，16，32…周期倍化级联；③很快k 在58.3左右就结束了周期倍增，迭代结果出现混沌,从而无周期可言。
④在混沌状态下迭代结果对初值高度敏感，细微的初值差异会导致结果巨大区别，常把这种现象称之为“蝴蝶效应”。
⑤迭代结果不会超出0～1的范围称为奇怪吸引子。
以上这些特点可用图示法直观形象地给出。
逻辑斯蒂映射函数是一条抛物线，所以先画一条)1(x kx y -=的抛物线，再画一条x y =的辅助线，迭代过程如箭头线所示（图1）。
图 1—A 不动点 图1—B 分岔周期2 图1—C 混沌 图1—D 蝴蝶效应图1⑵逻辑斯蒂映射的分岔图 以k 为横坐标，迭代200次以后的x 值为纵坐标，可得到著名的逻辑斯蒂映射分岔图。
X 0X A X B图2逻辑斯蒂映射的分岔图。
k 从2.8增大到4。
⒉ 非线性负阻电路振荡周期的分岔与混沌 ⑴非线性电路与非线性动力学实验电路如图3所示。
它由有源非线性负阻器件R ；LC 振荡器和移相器三部分构成。
图中只有一个非线性元件R ，它是一个有源非线性负阻器件；电感器L 和电容器C2组成一个损耗可以忽略的振荡回路；可变电阻Rv1+Rv2和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
较理想的非线性元件R 是一个三段分段线性元件。
图4所示的是该电阻的伏安特性曲线，从特性曲线显示加在此非线性元件上的电压与通过它的电流极性是相反的。
混沌动力学模型
混沌动力学模型混沌动力学模型是一种描述非线性系统行为的数学模型。
它的核心概念是混沌现象，即系统的微小变化会引起巨大的效应，使系统表现出不可预测的行为。
混沌动力学模型的研究对于理解和揭示自然界中复杂系统的行为规律具有重要意义。
混沌动力学模型的起源可以追溯到20世纪60年代，由美国数学家Edward Lorenz提出。
他在研究大气环流系统时，发现微小的初始条件变化会导致天气预报的巨大误差。
这一发现引发了他对非线性系统的研究，最终形成了混沌动力学模型。
混沌动力学模型的核心方程是著名的洛伦兹方程，它描述了一个简化的大气对流系统。
洛伦兹方程是一个三维非线性常微分方程组，它的解决过程展现了混沌现象。
洛伦兹方程的形式如下：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = x(ρ - z) - ydz/dt = xy - βz其中，x、y、z是系统的三个状态变量，t是时间，σ、ρ、β是系统的参数。
通过调节参数的值，可以观察到不同的系统行为，包括稳定状态、周期运动和混沌运动。
混沌动力学模型的研究揭示了非线性系统的一些重要特性。
首先是灵敏依赖于初值条件，微小的初始条件变化会导致系统演化出完全不同的轨迹。
这意味着我们无法准确预测系统的未来行为，只能给出可能的演化趋势。
其次是周期倍增现象，系统在某些参数值下会表现出周期倍增的行为，即周期长度不断加倍，最终进入混沌状态。
最后是拓扑混沌，非线性系统的相空间结构呈现出复杂的拓扑特征，例如奇异吸引子和分岔图等。
混沌动力学模型的研究不仅在天气预报、气候学等领域有重要应用，还在物理学、生物学、经济学等多个学科中发挥着重要作用。
通过混沌动力学模型，我们可以更好地理解和解释自然界中的复杂现象，为科学研究和实践提供指导。
混沌动力学模型的研究也给我们带来了一些启示。
首先是复杂系统的不可预测性，即使是简单的非线性系统也可能表现出混沌行为，我们无法准确预测系统的未来演化。
其次是系统的微小变化可能引起巨大效应，这对于控制和管理复杂系统具有挑战性。
非线性混沌系统的理论与应用
非线性混沌系统的理论与应用混沌理论是20世纪60年代初期起步的一个新兴领域，其研究对象是动态系统的非线性行为。
非线性动态系统存在着所谓的混沌现象，这种现象表现为系统从无序状态突然转为有序状态，随后又突然变为无序状态，出现了一种规律性的、互不重复的无序状态，这种状态被称为“混沌”。
非线性动态系统的混沌现象，是一种介于确定性和随机性之间的物理规律。
一、非线性混沌系统的定义混沌理论将复杂有机体、经济市场、天气预报、流体运动等问题，抽象成数学模型，建立了数学模型之间的混沌性，从而为对自然世界的理解和掌握提供了一种新的思路。
非线性混沌系统是一种特殊的非线性动态系统。
非线性系统是指在系统内部不存在任何线性关系，非线性系统中任何物理变量之间的关系都不能用简单的线性方程表示。
非线性系统中存在着许多别具特点的动态行为，如分岔、突跃、混沌等。
混沌现象是一种介于稳定和随机之间的动态行为，直接体现非线性混沌系统的特点。
二、非线性混沌系统的经典模型1. 鱼群模型鱼的群体行为是一种典型的非线性系统。
研究表明，鱼的群体行为是有一定规律的，且具有自组织的性质。
鱼的群体行为的规律性与混沌现象密切相关，鱼群模型被广泛应用于海洋生物学、水产养殖等领域。
2. 自激振荡系统自激振荡系统是一种典型的非线性系统。
该系统中的任何两个部分之间的关系都不能用线性模型来表示。
自激振荡系统的研究主要集中在微波振荡器、交流机和振动电路等领域，同时也被应用于信号处理、图像处理和噪声过滤等方面。
3. 三体问题三体问题是一个经典的非线性系统。
该问题可以通过描述太阳、地球和月亮之间的引力相互作用来演示。
在这个问题中，三个天体之间的动力学关系非常复杂，非线性质因素很强，甚至无法用简单的数学公式来精确计算其轨道。
三体问题在宇宙物理、动力学等领域中得到广泛应用。
三、非线性混沌系统的应用1. 模拟电路建立基于非线性混沌系统的电路已被广泛采用。
非线性混沌电路能够用于噪声点、低位数和通信中的随机化生成和随机滤波器等领域。
贺凯芬-将混沌理论应用于非线性波动系统的几点思考
0.05
0.10
0.15
ε
|v | k
|v | k
Hopf不稳定性： 牵涉到一对非线性共振的模式，随参数改变
它们的本征运动状态发生了交换，先是共振模式之一从正能
变成负能态，而后另一个模式从
负能态变为正能态，Hopf 不稳定性与共振模式的负
1 .5
|V (+)| 1 1 .0
|V (-)| 2
1 .0 5
能态激发相关。
Ω = 0.60
0.5 |V (-)| 1
0 .0 0 .0 0
1 .0 0
|V (+)| 2 0 .9 5
0 .0 5
0 .0 8
ε
0.10
ε
0 .1 0
0 .1 2
0.15
全局分岔时（主模式）运动也出现了对称性质的 改变，但这是在统计意义上的改变。
δES k=1
(a) Ω=0.65, ε=0.19
1.5 Ω =0.54
|V (-)| k=2
1.0
(a) 1.5
1.0
0.5
0.0 0.00
|V (+)| k=2
along the lower branch of the hysteresis
0.05
0.10
0.15
ε
0.5
0.0 0.00
(b) |V (+)|
k=2
|V (-)| k=2
along the higher branch of the hysteresis
0.0050
0.025
(b) Ω=0.65, ε=0.22
0.020
0.015
0.0025
洛伦兹方程的混沌效应
洛伦兹方程的混沌效应洛伦兹方程是描述非线性动力学系统的一种数学模型，它由爱德华·洛伦兹于1963年提出。
这个方程组起初是为了研究大气对流而建立的，但后来发现它具有混沌效应，引起了科学家们的广泛关注。
洛伦兹方程的混沌效应是指系统在微小扰动下产生无法预测的、极其复杂的行为。
1. 洛伦兹方程的基本形式洛伦兹方程由三个耦合非线性偏微分方程组成：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = x(ρ - z) - ydz/dt = xy - βz其中，x、y和z是状态变量，t是时间。
σ、ρ和β分别代表控制参数，它们决定了系统的行为特征。
2. 洛伦兹吸引子洛伦兹方程描述了一个三维相空间中的轨迹，这些轨迹形成了一个奇异吸引子，即洛伦兹吸引子。
洛伦兹吸引子具有分叉结构和无限细节，呈现出自相似性和分形特征。
这意味着即使在不同的尺度上观察，洛伦兹吸引子的形状和结构都是相似的。
3. 混沌现象洛伦兹方程的混沌效应表现在系统对初始条件极其敏感，微小扰动会导致系统轨迹的巨大偏离。
这意味着无法精确预测系统未来的行为，因为微小误差会在演化过程中被放大。
洛伦兹方程还具有周期倍增、分岔等特征，使得系统呈现出复杂多样的行为。
4. 混沌与确定性混沌并不等同于随机性或不确定性。
洛伦兹方程是一个确定性模型，即给定了初始条件和参数值后，系统的演化轨迹是唯一确定的。
然而，由于非线性耦合以及对初始条件极端敏感，微小误差会导致轨迹分离，并最终产生混沌行为。
5. 混沌与应用混沌理论在许多领域具有广泛应用。
在天气预报中，由于大气系统是一个复杂非线性系统，微小扰动可能导致预测结果差异很大。
混沌理论的引入可以帮助我们理解和解释这种不确定性。
混沌现象还在通信、密码学、生物学等领域有着重要的应用。
6. 混沌控制由于混沌系统的不可预测性，研究如何控制混沌行为成为一个重要课题。
混沌控制旨在通过调节系统参数或施加外部干扰来使系统从混沌状态转变为有序状态。
三阶三次幂非线性混沌电路的自适应反馈控制和H_(∞)控制
三阶三次幂非线性混沌电路的自适应反馈控制和H_(∞)控制付景超;杨阳
【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》
【年(卷),期】2024(62)3
【摘要】针对三阶三次幂非线性混沌电路,研究其控制问题.首先,给出系统的Lyapunov指数和混沌吸引子,验证系统存在复杂的混沌现象;其次,用自适应反馈控制方法和H_(∞)状态反馈控制方法,设计参数已知和参数未知的自适应反馈控制器以及H_(∞)状态反馈控制器,将混沌系统状态稳定到平衡点上;最后,通过MATLAB 软件进行数值仿真验证控制器的有效性,并对两种控制器的控制效果进行比较.【总页数】8页(P713-720)
【作者】付景超;杨阳
【作者单位】东北电力大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O415.5
【相关文献】
1.基于双非线性反馈控制的五维超混沌系统的分析与电路实现
2.利用异结构同步对铁磁混沌电路的非线性反馈控制
3.蔡氏电路混沌系统的自适应反馈控制
4.反馈控制非线性电容双涡卷混沌电路
5.Colpitts混沌电路的线性反馈控制及自适应反馈控制
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
几种光纤放大器的比较
几种光放大器的比较一、引言光纤放大器的研制成功是光纤通信史上的一个重要里程碑，是新一代光纤通信系统中不可缺少的关键技术，它解决了衰减对光网络传输距离的限制，又开创了1550nm波段的波分复用系统。
从而将使超高速、超大容量、超长距离的波分复用（WDM、密集波分复用（DWDM）全光网络传输等成为现实，自从1987年第一台EDFA光纤放大器开发成功以来，光纤放大器在光通信系统中应用越来越广泛。
目前光纤放大器要有三类：掺稀土类光放大器（如EDFA PDFA TDFA等）、半导体光纤放大器（SOA非线性效应光放大器（如喇曼光纤放大器.布里渊光纤放大器等）。
二、掺铒光纤放大器（EDFA掺铒光纤放大器（EDFA是目前应用最为广泛的光纤放大器，主要由掺饵光纤（EDF、泵浦光源、光耦合器、光隔离器.光滤波器等组成，如图1所示。
掺铒为增益介质，光耦合器的作用是把输入光信号和泵浦光耦合进掺铒光纤，通过掺铒光纤的作用把泵浦光的能量转移到输入光信号中，实现光信号的能量放大。
光隔离器的作用是抑制反射光，保证光放大器工作稳定。
光滤波器的作用是滤除铒离子由于自发辐射产生的噪声（ASE o光隔离器光耦合器EDF 光隔离器光滤波器光信号输出光信号图一EDFA勺基本组成光隔离器光耦合器EDF 光隔离器EDF光滤波器—I—I ―»I―a__Q———►光信号信号输出图二、双级EDFA吉构其工作原理是利用波长为980nm或1480nm的泵浦光源，使饵离子Er3+粒子数反转，信号光入射使亚稳态Er3+粒子受激辐射，产生信号放大。
EDFA的结构现已发展成很多类型，由单级结构发展到双级和多级结构（如图二为双级结构），多级结构主要应用于中级接入，目的是实现监控、OADM DCM等功能。
EDFA的优点是：1）通常工作在1530—1565nm光纤损耗最低的窗口；2）增益高，通常为10—35dB;且在较宽的波段内提供较为平坦的增益，3）噪声系数较低，980nm泵浦为3.2 — 3.4 dB,接近3 dB的量子极限，1480nm泵浦,噪声系数通常为4—8 dB,各个信道间的串扰极小，可级联多个放大器；4）与线路耦合损耗小（小于1dB ）; 5）具有透明性，放大特性与系统比特率、信号格式和编码无关；6）成本低，与再生电路相比，EDFA具有较大的成本优势。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
电 子 ・ 撒
第 １卷 ３
第１ 期 ２０ 年 １ ０２ 月
］ ｕ ａ ｏ ｔｅｅ ｔｏ 蛇ｓ・Ｌ ｓ ｒ Ｖｏ ． ３ Ｎ０ １ １ ｎ ２ ０ ｏ ｍ ｔ ｆ ０口 ０ Ｉｃｆ ｎ ａ ｅ １ １ ． ａ ０ ２
级 联 三能 级 系统 混沌 模 型 下 的五 阶 非线 性 效应
ＬＩ Ｙｕ ｎ ｙ ａ Ｓ Ｎ Ｗ ａ — ｈ ｎ ． ＨＡ ＮＧ ａ ｐ ｎ 。 ａ —ｕ ｎ ． Ｕ ｎｓｕ Ｚ Ｙａ — ｅ ｇ ，ＧＡＮ ｅ —ｉ Ｃｈ ａ ｔ
（ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｆ ｈ ｓｃ ， ｎ ｘ ａ Ｇｕ ｕ ｎＴｅ ｃ ｅ ｓＣｏ ｌｇ ， ｎ ｘａ Ｇｕ ｕ ｎ ７ ６ ０ Ｃｈ ｎ １ ｐ ｒｍｅ ｔｏ ｙ ｉ ｓ Ｎｔｇ ｉ Ｐ ｙａ ａｈ ｒ ｌｅ ｅ Ｎｉ ｇ ｉ ｙ ａ ５ ０ ０， ｉ ａ；２ Ｎｉ ｇ — ． ｎ ｘ Ｌ Ｇｕ ｕ ｎ Ｖｏ ａ ｉｎ ｌ ｎ ｃ ｎ ｃ ｌ ｃ ｏ ｌ Ｎｉ ｇ ｉ ｙ ａ ５ ０ ０ Ｃｈ ｎ ３ Ｄ ｐ ｒ ｍｅ ｔｏ ｅ ｔｏ ｉ ａ ｙ ａ ｃ ｔｏ ａ ｄ Ｔｅ ｈ ｉ ｈ ｏ ， ｎ ｘ ａＧｕ ｕ ｎ ７ ６ ０ ， ｉ ａ ， ａ ａ Ｓ ｅ ａ ｔ ｎ ｆＥｌｃ ｒ ｎｃ
李 院院 ，孙 万顺。 ，张 彦鹏。 ，甘 琛 利
（． １ 宁夏固原 师专物理系 ， 宁夏 固原 ７６ ０ ； ． ５０ ０ ２ 宁夏固原职业 中专学校 ， 宁夏 固原 ７ ６ ０ ； ． ５０ ０ ３ 西安交通大学 电子科学 与技术
系 ， 西 西安 ７ ０ ４ ） 陕 １ ０ ９
摘要 ： 文 采 用 四 阶相 关 函数 理 论 研 究 了 级联 三能 级 系统 混 沌 模 型 下 的 五 阶非 线 性 效 应 。 过 对 泵浦 光 本 通
Ｓ ｉｎ ｅａ ｄ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ Ｘｉａ ｉｏ ｏ ｇＵ ｎｖ ｒｉｙ Ｘｉａ １ ０ ９Ｃｈｎ ） ｃｅ ｃ ｎ ｅ ｈ ｏｏ ｙ． ｎＪａ ｔｎ ｉｅｓｔ ， ’ ｎ７ ０ ４ ， ｉａ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔｈ ｏ ｒｈ ｏ ｄ ｒｃ ｈ ｒ ｎ ｅ ｆ ｎ ｔｏ ｈ ｏ ｙ ｈ ｓ ｂ ｅ ｐ ｌ ｅ ｏ ｓ ｕ ｙ ｔ ｅ ｎ ｎ ｉｅ ｒｅ ｆ ｃ ｓ ｏ ｓｒ ｃ ： ｅ ｆ ｕ ｔ — ｒ ｅ ｏ ｅ ｅ ｃ ｕ ｃ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ａ ｅ ｎ ａ ｐ ｙ ｄ ｔ ｔ ｄ ｈ ｏ ｌ ａ ｆｅ ｔ ｆ ｎ ｆｆｈ ｏ ｄ ｒ ｏ ｏａ ｉａ ｉ ｎ ｂ ａ ｓ ｏ ａ ｃ ｄ ｈ ｅ ｅ ｅ ｙ ｔ ｍ ｈ ｏ — ｅ ｄ Ｂｙ ａ ａ ｙ ｅ ｈ ａ ｅ ｈ ｔ ｉ — ｒ ｅ ｎ ｐ ｌ ｒ ｔｏ ｅ ｔ ｆａｃ ｓ ａ ｅｔ ｒ ｅ ｌｖ ｌ ｓ ｅ ｉ ｃ ａ ｓ ｆ ｌ ｎ ｌ ｚ ｄ ｔ ｅ ｃ ｓ ｓ ｔ ａ ｔ ｚ ｓ ｎ ｉ ｐ ｍｐ ｂ ａ ａ ｅｅ ｔ ｅ ａ ｒ ｗｂ ｎ ｒ ｂ ｏ ｄ ａ ｄ ｌ ｅ ｄ ｈ， ｏ ｎ ｈ ｔｆ ｒ ｂ ｔ ａ ｅ ｈ ｅ ｔｓｇ ｕ ｅ ｍｓ ｈ ｖ ｉｈ ｒｎ ｒ ｏ ａ ｄ ｏ ｒ ａ ｂ ｎ ｉ ｗｉｔ ｗｅｆ ｕ ｄ ｔ ａ ｏ ｏ ｈ ｃ ｓ ｓ ｔ ｅ ｂ ａ ｉ — ｎ ｈ ｌ ｆｔ ｅ ｄｆｅ ｅ ｔｔ ｍｐ ｒ ｌｂ ｈ ｖ ｏ ｅ ｅ ｄ ｎ ｔ ｅ ｓ ｏ ｈ ｓ ｉ ｐ ｏ ｅ ｔ ｓ ｏ ｈ ａ ｅ ｓａ ｄ ｔ ａ ｓ ｅ ｓ ａ ｈ ｉ ｒ ｎ ｅ ｏ ａ ｅ ａ ｉｒ ｄ ｐ ｎ ｓ ｏ ｈ ｔ ｃ ａ ｔ ｒ ｐ ｒ ｉ ｆ ｔ ｅ ｌｓ ｒ ｎ ｒ ｎ ｖ ｒ ｅ ｏ ｃ ｅ ｒ ｌｘ ｔ ｎ ｒ ｔ ｆ ｈ ｒ ｎ ｉｉｎ Ｗ ｅａ ｓ ｏ ｎ ｈ ｔ ｐ ｌ ｒｆ ｅ ｒ ｃ ｓｏ ｓ ｅ ａ ｈ ｅ ｅ ｎ ｔ ｅ ｆ ｕ ｄ ｔ ａ Ｄｏ ｐ ｅ —ｒ ｅ ｐ ｅ ｉ ｎ ｃ ｎ ｂ ｃ ｉ ｖ ｄ ｉ ｈ ｎ ｏ ｔ ａ ｉ ｓ ｒ ｍ ｅ ｔ ｏ ｈ ｎ ｒ ｙ ｌｖ ｌ ｉ ｅ ｅ ｃ ． ｅ ｓ ａ ｉｌ ｕ ｅ ｎ ｆｔ ｅ ｅ ｅ ｇ — ｅ ｆ ｒ ｎ ｅ Ｔｈ ｐ ｔ ｄ ｌ ｔ ｎ ｂ ｈ ｖｏ ｆｔ ｅ ｂ ａ ｉ ｎ ｌｈ ｓ ａ ｓ ｅ ｎ ｅ ｄ ｆ ａ ｍｏ ｕ ａ ｉ ｅ ａ ｉ ｒｏ ｈ ｅ ｔｓｇ ａ ａ ｌｏ ｂ ｅ ｏ
中围 分 类 号 ： ４ １ ２ Ｏ ３ ． 文献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ５ ０ ８ （ ０ ２ ０ ０ ０ ０ １ ０ — ０ ６ ２ ０ ） １０ ８ — ４
Ｎｏ ｉ ｅ ｒ Ｅｆ ｅ ｔ ｆ Ｆｉ ｔ ｏ ｄ ｒ ｏ Ｉ ｒｚ ｔ０ ａ ｓ ｏ ｓ ａ ｅ Ｔｈ ｅ — ｎｌｎ ａ ｆ ｃ ｓ ｏ ｆ ｈ— ｒ ｅ ｎ Ｐ０ ａ ｉａ ｉ ｎ Ｂｅ ｔ ｆ ａ Ｃａ ｃ ｄ ｒ ｅ ｌ ｖ ｌＳｙ ｔ ｍ ｎ Ｃｈ ｏ — ｉｌ ｅ ｅ ｓ ｅ ｉ ａ ｓ ｆｅ ｄ
为宽带及窄带情形的分析 ， 发现 五阶极化拍频信 号的强度 随时间的变化取决于 激光的统计特性和跃迁
的横向驰豫率 ， 从而在测量 原于饨级分裂时可以得 到消 睬多普勒极限增竟的精度 。另外 ， 对信号 的空 间
调 翩 也进 行 了分 析 。
美鼍 词 ： 非线性效 应 ； 极化拍颤 ； 六波混额