利用目标函数的几何意义_巧解一类最值问题
谈谈解答最值问题的四个技巧
备考指南最值问题是高考试题中常见的考点之一.此类问题具有较强的综合性，且命题形式多种多样，在解题过程中若找不到恰当的方法，就会因为复杂冗繁的计算量而浪费大量的时间，甚至得不到正确的答案.如何选择合适的方法，如何灵活运用各个模块的知识，是解答最值问题所需要重点考虑的事情.本文举了四个典型的例题，并对其进行了分析、探究，总结出解答最值问题的技巧，供同学们参考.一、用函数的单调性求最值在求解最值问题时，我们通常可将目标式构造成函数式，将问题转化为函数最值问题，利用函数的单调性来求解最值.在解题时，需根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性求得最值.例1.设a 为实数，求x 2+||x -a +1的最小值.解：设f ()x =x 2+||x -a +1，(1)若x ≤a ，则f ()x =æèöøx -122+a +34，①当a <12时，函数f ()x 在(]-∞,a 上单调递减，可知函数在(]-∞,a 上的最小值为f ()a =a 2+1；②当a ≥12时，函数f ()x 在(]-∞,a 上的最小值为f æèöø12=34+a ，且f æèöø12≤f ()a .（2）若x >a ，则f ()x =æèöøx +122-a +34.①当a ≤-12时，则函数f ()x 在éëöø-12,+∞上单调递增，在éëöøa ,-12上单调递减，所以函数在[)a ,+∞上的最小值为f æèöø-12=34-a ，且f æèöø-12≤f ()a ；②当a >-12时，则函数f ()x 在[)a ,+∞上的最小值为f ()a =a 2+1.综上可得，当a ≤-12时，f ()x min =34-a ；当-12<a≤12时，f ()x min =a 2+1；当a >12时，f ()x min =a +34.将目标式看作二次函数式，便可根据x 与a 的大小关系，以及a 与函数对称轴-12的大小关系，确定二次函数的单调性，即可根据二次函数的单调性确定函数的最值.在解题时，需运用运动和变化的观点，构建关于变量、自变量的集合，通过类比、联想、转化的方式构造合适的函数.二、用基本不等式求最值基本不等式a +b 2≥ab ()a >0，b >0主要用于求函数的最值及证明不等式.在运用基本不等式求最值时，需把握“一正”“二定”“三相等”三个条件，重点关注或配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值.例2.求y =x +4x的值域.解：①当x >0时，x +4x ≥=4，当且仅当x =2时等号成立，②当x <0时，()-x +æèöø-4x ≥=4，当且仅当x =2时等号成立，所以x +4x ≤-4，故y =x +4x的值域是(]-∞,-4∪[)4,+∞.由于x 的取值不确定，而运用基本不等式的条件是各式均为正值，于是将x 分为x >0和x <0两种情况，分别运用基本不等式来求最值.三、利用线性规划思想求最值线性规划思想是指求线性约束条件下，目标函数的极值.运用线性规划思想求最值的基本步骤是：①根据题意建立数学模型，并作出可行域；②建立目标函数；③利用图形求出目标函数的最值.例3.已知ìíîïïx -y +2≥0，x +y -4≥0，2x -y -5≤0，求z =x 2+y 2-10y +25的最小值.解：作出可行域，如图中阴影部分所示.将直线x -y +2=0、x +y -4=0、2x -y -5=0两两联立可求出三个顶点的坐标A ()1,3、B ()3,1、C ()7,9，51备考指南而z =x 2+y 2-10y +25=x 2+()y -52表示可行域内任一点()x ,y 到定点M ()0,5的距离的平方，过M 作直线AC易知垂足N 在线段AC 上，则z 的最小值为||MN 2，由点到直线的距离公式可得||MN =，故z 的最小值为||MN 2=92.我们将不等式组看作线性约束条件，画出可行域，便可将问题看作线性规划问题，结合图形寻找到目标函数取得最小值的点，即可利用线性规划思想求得问题的答案.四、利用代数式的几何意义求最值大部分的代数式都有几何意义，如y =x 2表示的是一条抛物线，y =x 表示的是一条直线，y =1x表示的是两条双曲线，等等.在求最值时，可先挖掘代数式的几何意义，画出相应的几何图形，通过寻找图形中的临界情形，如相切、相交等情形，确定目标式的最值.例4.已知x ，y 满足x 225+y 29=1，求()x -42+y 2+()x -22+()y -22的最值.解：由方程x 225+y29=1易知，该曲线为椭圆，设P ()x ,y 为椭圆上的一点，B (2，2)，则a =5，b =3，c =4，右焦点A (4,0)，左焦点F 1(-4,0)，而||PA +||PB =()x -42+y 2+()x -22+()y -22，根据椭圆的定义可得|PF 1|+|PA |=10，则|PA |=10-|PF 1|，|PA |＋|PB |=10-|PF 1|+|PB |，根据三角形的性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边性质，可得10-|F 1B |≤|PF 1|-|PB |≤10+|F 1B |，又F 1B =210，故10-210≤|PA |+|PB |≤10+210.当且仅当P ，B ，A 共线时等号成立，故()x -42+y 2+()x -22+()y -22的最大值是10+210，最小值是10-210.解答此题，需将方程x 225+y 29=1看作椭圆，P 看作椭圆上的一个动点，那么目标式表示的是线段||PA +||PB ，问题就变为求两线段和的最大值、最小值.挖掘题目中代数式的几何意义，将问题转化为几何图形问题，利用几何图形的性质以及相关定理、公式即可解题.当然，求最值的方法还有很多，如导数法、转化法等.这就要求让同学们运用发散思维，去寻求、总结更多的解答最值问题的方法.（作者单位：安徽省临泉第二中学）（上接34页）三、引导学生关注时事，点评其中的人与事“文章合为时而著”，在写作教学中，我们要引导学生关注时事，多思考，多评论，让他们走进社会生活，理性地表达自己的观点。
几何最值问题解题技巧
几何最值问题解题技巧
几何最值问题是一个常见的数学问题，它涉及到在给定的几何形状中找到一个或多个点的最大或最小值。
解决这类问题需要一定的技巧和策略。
以下是一些解决几何最值问题的技巧：
1. 转化问题：将最值问题转化为几何问题，例如求点到直线的最短距离，可以转化为求点到直线的垂足。
2. 建立数学模型：根据问题的具体情况，建立适当的数学模型，例如利用勾股定理、三角函数等。
3. 寻找对称性：在几何图形中寻找对称性，例如利用轴对称、中心对称等性质，可以简化问题。
4. 利用基本不等式：利用基本不等式（如AM-GM不等式）可以求出某些量的最大或最小值。
5. 转化为一元函数：将问题转化为求一元函数的最大或最小值，然后利用导数等工具求解。
6. 构造辅助线：在几何图形中构造辅助线，可以改变问题的结构，从而更容易找到最值。
7. 尝试特殊情况：在某些情况下，尝试特殊情况（例如旋转、对称等）可以找到最值。
8. 逐步逼近：如果无法直接找到最值，可以尝试逐步逼近的方法，例如二分法等。
以上技巧并不是孤立的，有时候需要综合运用多种技巧来解决一个问题。
在解决几何最值问题时，需要灵活运用各种方法，不断尝试和调整，才能找到最合适的解决方案。
高中数学函数最值问题的求解思路与实例分析
高中数学函数最值问题的求解思路与实例分析在高中数学中，函数最值问题是一个常见且重要的考点。
解决这类问题需要掌握一定的数学知识和解题技巧。
本文将从求解思路和实例分析两个方面，详细介绍高中数学函数最值问题的解题方法。
一、求解思路要解决函数最值问题，首先需要明确函数的定义域和值域。
在明确了函数的定义域和值域后，我们可以采取以下步骤来求解函数的最值问题。
1. 找出函数的极值点函数的极值点是函数取得最大值或最小值的点。
要找出函数的极值点，可以先求出函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点的横坐标。
再将这些横坐标代入原函数中，求出对应的纵坐标，即可得到函数的极值点。
2. 检查边界点边界点是函数定义域的端点。
在求解函数的最值问题时，需要检查边界点是否可能成为函数的最值点。
将边界点代入函数中，与已经求得的极值点进行比较，找出最大值或最小值。
3. 比较极值点和边界点的大小将已经求得的极值点和边界点进行比较，找出其中的最大值或最小值。
这个值就是函数的最大值或最小值。
二、实例分析为了更好地理解函数最值问题的解题方法，我们来看一个具体的例子。
例题：求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1的最大值和最小值。
解题步骤：1. 求导数f'(x) = 6x^2 - 6x - 122. 求极值点的横坐标令f'(x) = 0，解方程得到x = -1和x = 3。
3. 求极值点的纵坐标将x = -1和x = 3代入原函数f(x)中，得到f(-1) = -8和f(3) = -32。
4. 检查边界点由于函数没有明确的定义域，我们需要检查函数的值域。
当x趋于正无穷大时，f(x)也趋于正无穷大；当x趋于负无穷大时，f(x)也趋于负无穷大。
因此，函数的边界点为正负无穷大。
5. 比较极值点和边界点的大小将已经求得的极值点和边界点进行比较，发现f(-1) = -8是最小值，f(3) = -32是最大值。
综上所述，函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1的最大值为-32，最小值为-8。
解决最值问题的两种方式
解决最值问题的两种方式
最值问题
中考频繁出现有关最值问题，常让很多同学束手无策，望而生畏，其实解这类试题关键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题化归与转化为相应的数学模型（函数增减性、线段公理、三角形三边关系等）进行分析与突破。
在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
最值问题的解决方法通常有两种：
（1）应用几何性质：
① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
② 两点间线段最短；
③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④ 定圆中的所有弦中，直径最长。
（2）运用代数证法：
① 运用配方法求二次三项式的最值；
② 运用一元二次方程根的判别式。
巧用目标函数的几何意义求最值
＼3z．t2y柑 ’ 图
解 析： 先 画出 约束 条 件所 对 应可 行 域如 图5 所示
z =13x+2y+91 2 13x+2y+91 ： ．怕 孑： 佩．何，它 的阴影部分(含边界)，构造点到直线的距离公式，得 、／32+22
X一 ～一 l ，
表示直线MP的斜率，由
IY 3x - y- 3 - - O
_… 彩 彳 2y“
≯秽…
_l ，’
一八 ：，O
Mj …‘
、
／
＼2x +v一2=O
图2
图2可知，当点P在可行域中的点A( 0．2) 处时，直线
MAI ! [ I MP，其斜率最大，目标函数取得最大值。同理。
目标函数在点c处取得最小值．所以，所求的最大值
练：( 2004年浙江) 设Z- - -- X—Y，其中变量x、Y满足条
件f 1+y一3≥o，则：的最小值为
I x一2y>s O
( A) 1
(B) 一1
( C) 3
() ( D) 一3
略解：因y=x—Z，一z是直线的纵截距，当纵截距最 大时，一z最大，此时z取最小 值( 可类比求其最大值) ． ( 答案：A)
●
●’‘——‘—’—‘——一
学校 口 冈
巧 用 目 标 函 数 的 J Lt ． - ?意 义 求 最 值
O双江县第一中学王先英
数学中求最值问题的题型比较多．方法十分灵
活， 涉及到 高中数 学知识 的方 方面面 ．其中 有一类 是
在线性约束条件下，求二元函数的最值问题即线性
规划 问题， 它具有 一定的 工具 性和应 用性， 同时也 可
岛一1I
从目标函数几何意义探求线性规划问题
从目标函数的几何意义探求线性规划问题新教材试验修订本中“简单的线性规划”是新增加的内容,在线性约束条件下研究目标函数的最值问题是一类常见题型。
在近几年高考试题中都有所体现,若能借助于目标函数的几何意义解题,可提供直观明了的解题思路,解题也显得迅速简捷。
本文通过对目标函数几何意义的诠释来解几类线性规划中的最值问题。
一、借助于平面向量的数量积解一类线性规划问题形如z=ax+by的目标函数,可以把它看成平面内的向量=(a,b)与向量=(x,y)的数量积即z==cosθ,因为为定值,所以z的最值主要由cosθ决定的,即向量在向量方向上的投影。
例1.(2005年山东卷15)设x、y满足约束条件x+y≤5,3x+2y≤12,0≤x≤3,0≤y≤4则使得目标函数z=6x+5y的值最大的点(x,y)是_______。
图1解析:作出可行域如图1,设n(x,y)为可行域内的任意一点,m(6,5),则z==cos∠mon,由数量积的几何意义(如图所示)得,当n(x,y)在a(2,3)时,在上的投影最大,即z=6x+5y取得最大值,zmax=27。
二、借助于两点间的距离解一类线性规划问题形如z=(x-a)2+(y-b)2的目标函数,可以把它看成点m(a,b)与点n(x,y)间距离的平方,即z=mn2,问题转化为研究m、n两点间距离平方的最值,又m为定点,所以z的最值主要由可行域内n点位置决定。
例2.已知2x+y-2≥0,x-2y+4≥0,3x-y-3≤0求z=x2+y2的最值,并求出z取得最值时x、y的值。
图2解析:作出满足约束条件的可行域如图2。
设p(x,y)为可行域内任意一点,目标函数z可视为o、p两点间的距离的平方,问题转化为研究距离平方的取值范围,由图易知可行域内,点c到原点o的距离最远,即:zmax=oc2=13,此时x=2,y=3。
又过o作直线ab:2x+y-2=0的垂线,垂足d(,),可知点d到原点的距离最近,即zmin=od2=。
利用几何知识求最值的几种方法
利用几何知识求最值的几种方法最值问题在中学数学教材中占有相当重要的地位，而与“不等式”“函数值域”都有着密切联系。
中学中我们学习了不少关于求最值的方法。
本文利用我们学过的知识把复数,几何等知识融合在一起给出了求最值的几种巧妙方法，诣在归纳总结，给以后学习最值问题提供参考。
1.用比较半径法求最值。
此方法主要是从代换的角度出发，巧妙应用圆的半径来探索求最值。
这类题目的特点是所求函数和限制条件一般由一个是二次曲线形式的。
利用坐标变换把二次曲线变成圆，再把目标函数变为直线，因在同一个坐标系内直线过圆，所以圆上的点到直线的距离小于等于半径。
根据公式.求得最值。
例1.已知求函数的最值。
分析:此题限制条件是一个二次曲线—椭圆。
目标函数为一直线，若令：则恰能得到一个圆的方程，而目标函数12X-5Y是一过圆心的直线,这些恰好符合我们给出的条件,所以我们不妨用此方法去解.解：令圆: 。
如图：显然圆上任一点P(X,Y)到直线：12X-5Y=0的距离即例2.已知x+3y-10=0,求函数的最小值。
解：设则直线方程：如图：圆：从而本题变为求圆半径的最小值。
当直线与圆相切时圆的半径取得最小值。
即：故.1.切线法求最值。
①利用“直线关系法”求最值。
这类题目的特点是点在平面上的二次曲线域（包括边界）上运动，求目标函数的最值。
此解法关键是把约束条件恒等变形，化成二次曲线上或形内的适合条件，再令（为非零实数），转化成求的最值，则可求出的最值。
这种思路主要应用了斜率不变的直线系来解决问题。
例1. 若点的坐标适合求。
分析:由题我们可以看出所适合的条件是在这个圆形区域内,所求函数恰好为一直线,故我们可以用此方法去解.解：变形为，适合条件的点为圆周上和圆内的点。
设目标函数，这是斜率为的平行直线系，如图：此题转化为求斜率为的直线与圆相切的方程。
又因为我们有代入则得即：，解之得所以的最大值是5，最小值是。
②斜率法求最值。
这类题的特点是所求目标函数一般为分式,如根据的关系我们把它写成是二次曲线上点,从而这个式子可以看做是点(a,b)到曲线上任一点的斜率的最值,在根据二次曲线的切线求得最值.此法能形象地说明该式最值的几何意义。
高中数学函数最值问题的解题思路与举例
高中数学函数最值问题的解题思路与举例在高中数学中，函数最值问题是一个常见且重要的考点。
解决这类问题需要运用一定的解题思路和技巧。
本文将介绍一些常见的函数最值问题及其解题思路，并通过具体的例子来说明。
一、函数最值问题的基本概念和解题思路函数最值问题是指在一定的条件下，求函数的最大值或最小值。
解决这类问题的基本思路是找到函数的极值点，然后比较这些极值点的函数值，得出最值。
对于一元函数，我们可以通过求导数的方法来求解极值点。
具体步骤如下：1. 求函数的导数；2. 令导数等于零，解方程得到极值点；3. 比较这些极值点的函数值，得出最值。
对于二元函数，我们可以通过偏导数的方法来求解极值点。
具体步骤如下：1. 求函数的偏导数；2. 令偏导数等于零，解方程得到极值点；3. 比较这些极值点的函数值，得出最值。
二、函数最值问题的举例及解析1. 求函数 y = x^2 在区间 [0, 2] 上的最大值和最小值。
解析：首先，我们求函数的导数：y' = 2x。
令导数等于零，得到 x = 0。
将 x = 0 代入函数，得到 y = 0。
所以函数在 x = 0 处取得最小值 0。
然后，我们比较区间的两个端点和极值点的函数值。
将 x = 0、x = 2 代入函数，得到 y(0) = 0，y(2) = 4。
所以函数在区间 [0, 2] 上的最大值为 4。
综上所述，函数 y = x^2 在区间 [0, 2] 上的最大值为 4，最小值为 0。
2. 求函数 y = x^3 - 3x 在区间 [-2, 2] 上的最大值和最小值。
解析：首先，我们求函数的导数：y' = 3x^2 - 3。
令导数等于零，解方程得到 x = ±1。
将 x = ±1 代入函数，得到 y(1) = -2，y(-1) = 2。
所以函数在 x = ±1 处取得极值。
然后，我们比较区间的两个端点和极值点的函数值。
将 x = -2、x = 2 代入函数，得到 y(-2) = -14，y(2) = 10。
中考数学最值问题解题
中考数学最值问题解题技巧中考数学最值问题是指在一组或若干个变量中，要求找到一个或几个变量的最大值或最小值。
这类问题在中考数学中比较常见，通常涉及到函数、不等式、方程等知识点。
下面将介绍几个解题技巧：1.观察法观察法是最直接、最简单的方法，通过观察题目中的条件和结论，寻找其中的规律和趋势，从而得出结论。
例如，在求一个二次函数的最值时，可以通过观察函数的开口方向、对称轴和顶点位置等特征，从而得出函数的最大值或最小值。
2.函数法函数法是指利用函数的概念和性质来解决最值问题。
通常需要建立一个函数模型，如一次函数、二次函数等，然后通过求导数或分析函数的单调性来找到最大值或最小值。
例如，在求一个关于x的二次函数y=x^2+2ax+b的最值时，可以通过配方将函数转化为顶点式，再利用二次函数的性质进行求解。
3.不等式法不等式法是指利用不等式的性质来解决最值问题。
通常需要先找到一个不等式，然后通过分析不等式的性质来找到最大值或最小值。
例如，在求一个关于x的一元二次不等式ax^2+bx+c>0的最大值时，可以通过分析不等式的开口方向、对称轴和判别式等特征，从而找到最大值。
4.数形结合法数形结合法是指将数量关系和空间形式结合起来解决问题。
通常需要先分析题目中的数量关系，然后借助图形将数量关系直观地表现出来，再通过观察图形找到最大值或最小值。
例如，在求一个关于x的一元二次不等式ax^2+bx+c>0的最大值时，可以通过将不等式转化为二次函数，再结合图形进行分析。
总之，解决中考数学最值问题需要掌握一定的解题技巧和思维方式。
在解题过程中要善于观察、分析、归纳和总结，同时要注意灵活运用所学知识进行综合分析和解题。
用函数思想解决几何最值问题 (共18张PPT)
y
l B P
N
O
M
E
A
F
P
M
B
A
xD
NC
中考题赏析
(2012广州中考25题)
如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10， F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α ＜90°）．当60°＜α＜90°时，连接CF，求 CE2﹣CF2 的最大值．
y
A(a, b) F(5+a, b)
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己， 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气； 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争， 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同， 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运， 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有着太多不为人知的 学习。不管学习什么，语言，厨艺，各种技能。注意自己的修养，你就是孩子的第一位老师。孝顺父母。不只是嘴上说说，即使多打几个电话也是很好的。爱父母，因为他 爱的最无私的人。
借助目标函数的几何意义解线性规划问题
借助目标函数的几何意义解线性规划问题
线性规划问题是企业决策分析中常见的问题，它利用目标函数的几何意义来求解，目标函数的几何意义就是通过特定的函数曲线使得所求的最优解能够达到的最佳的位置及形状，以达到实现优化的最大化或者最小化的目的。
下面以做公司生产原料决策为例，讲解目标函数几何意义。
企业要求以X1和X2为两种原料采购，采购成本分别为1元和2元，通过原材料加工生产制成品，售价为3元每台。
线性规划问题就是在一定的条件下，如何选择X1和X2的采购量，用更少的采购成本来达到最高的利润。
假设有约束条件，比如最多只能采购3个X1和2个X2，那么，目标函数的几何意义表示的是把X1和X2的采购量作为变量，利润作为函数的函数曲线，在X1和X2的采购量满足约束条件的前提下，把曲线微调，把利润最大化，称为最佳曲线。
因此，结合目标函数几何意义，最终企业可以从曲线最高点处，获得最优原材料采购量，比如最高点处极大值为9，则最优解是，X1=3，X2=2，则最高利润为27元。
线性规划问题可以借助目标函数的几何意义来解决，也就是说，解决线性规划问题的问主要就是把函数曲线的极大值调整到可以实现最大化或最小化的结果位置。
从而可以有效的获得最优解。
巧妙设元,构建函数求解最值问题
巧妙设元，构建函数求解最值问题在数学优化领域，求解最值问题十分常见，因而探索如何巧妙设元、构建函数求解最值问题显得尤为重要。
一般来讲，首先要确定目标函数，指明要求解的最值问题；其次，为了使该函数易于求解，要巧妙设元，表示有效问题。
比如，对于极小值——最小值等问题，可以将目标函数取负，这样问题就变成了求极大值的问题，从而可以采用相应的优化方法，这是一种巧妙的设元。
接着，在求解最值问题时，需要根据不同问题的特性，构造合理的函数，这是一个很重要的步骤。
总的来说，要多考虑如何把复杂的问题简单化，把非线性的问题变成线性的问题，从而使其易于求解。
例如，我们要求解一个复杂的最小值问题。
我们首先可以将目标函数取负，转化为求极大值的问题，然后给出约束，构造相应的函数。
约束的形式可能是凸函数、凹函数、线性函数，甚至可以由多个函数构成，也可以由组合决策变量形成，可以根据问题的特点进行选择。
接下来，由于函数求解最值问题有其自身的特点，如果是凸函数或者凹函数，可以采用拉格朗日乘数法、梯度下降法、阻尼梯度下降法等方法求解；如果是线性函数，则可以采用解线性方程组的方法来求解；如果函数既包含有线性函数又包含有非线性函数，则可以采用拉格朗日乘数法、阻尼梯度下降法等混合求解器来求解来求解。
总而言之，求解最值问题，需要先确定目标函数，巧妙设元、构建函数，为了求解最优解，必要时要把复杂的问题简单化，并根据问题的性质运用不同的优化方法。
在求解最值问题时，还要考虑到问题空间的大小，即该问题包含的变量数量。
传统的函数求解通常采用多项式型函数，其变量数量是固定的，但实际问题往往包含多个变量，甚至可以动态增加，如果考虑问题空间的大小，将会大大改变求解过程。
对于一般最值问题，一般可以采用两种方法求解：分支定界法和随机搜索法。
分支定界法是一种常用的搜索方法，该方法通过将问题分割成子问题，以便有效地搜索最小值。
而随机搜索法则是一种经典的求解最值问题的方法，虽然无法保证求解结果的准确性，但可以快速地获得近似最优解。
目标函数的几何意义
目标函数的几何意义目标函数的几何意义目标函数在数学中是用来描述最优化问题的数学函数。
在最优化问题中，我们希望通过对给定条件下的多个可行解进行比较，找到使目标函数取得最优值的解。
目标函数的几何意义是通过对函数的图像进行分析和解释，来理解和说明问题的最优解。
首先，我们来看一元函数的情况。
对于一个一元的目标函数，其图像是一个曲线。
我们可以通过绘制目标函数的图像来直观地观察函数的特点。
例如，如果目标函数是一个二次函数，它的图像是一个抛物线。
我们可以看到抛物线的顶点是函数的极小值点，这是最优解的可能位置。
在图像上，我们可以推断出目标函数的最优解将在极小值点处取得。
对于多元函数的情况，我们需要将目标函数的图像表示在更高维的空间中。
我们可以将目标函数表示为一个曲面，其中曲面的高度表示目标函数的值。
通过观察这个曲面，我们可以获得一些有关最优解位置和形式的信息。
在多元函数的情况下，最优解的位置是曲面上的一个点，使得点的邻域中没有其他点比它更好。
这个点被称为最优解点或最小值点。
在图像上，最小值点就是曲面的一个局部最低点。
最优化问题的目标就是在这个曲面上找到这个最低点，寻找其它点比这个点更低的可能性非常小。
除了寻找最低点，目标函数的几何意义还包括判断函数的性质和拓扑结构。
通过分析目标函数的曲面，我们可以确定函数的凸性、连续性和存在最优解的区域等性质。
例如，对于一个凸函数，其曲面呈现一个凸状。
这意味着任意两点连线上的曲面点都位于该曲线下方。
因此，凸函数的最低点也是全局最低点。
总结来说，目标函数的几何意义可以帮助我们直观地理解最优化问题，并帮助我们找到问题的最优解。
通过对函数图像的观察和分析，我们可以获得关于函数的性质和拓扑结构的信息。
理解目标函数的几何意义可以为我们设计和优化问题的解决方案提供指导。
浅析利用几何知识求函数最值
浅析利用几何知识求函数最值摘要：在我们数学学习过程中有一个重要的点，那就是函数，同时，它也是整个数学体系中重要组成成分。
函数的学习从我们初中开始接触一直到现在，甚至是将来都贯穿着我们的数学学习生涯。
而函数又有大大小小很多性质和要点，其中比较重要且突出的一个就是最值问题。
往往函数的最值是函数的一个重要体现因素。
因此，求最值这个问题就成了函数问题里面的热点问题了。
接下来我们就开始分析如何利用几何知识求函数的最值。
关键词：几何知识；函数；最值引言：几何是一个很能体现数学特点的知识，它抽象又具体。
几何知识在我们整个数学知识中也占据了很大的一个地位。
函数和几何都是数学这门学科中不可或缺的重要组成部分。
函数最值的求解又是一个难倒很多人的难题，在很多人心中，函数最值的求解就是一座大山。
而几何恰恰能解决数学中很多“疑难杂症”，因此，我们不妨试着利用几何知识求函数最值。
1 函数最值中的几何知识函数最值隐含"形"的问题主要是指利用函数的几何特征(形状、大小、相互位置关系)来解决最值问题。
这类题型不仅考查我们对知识的融会贯通程度,还考查对知识迁移交叉应用的能力(如运用几何特征解决代数问题)。
目前,受教材知识体系编排的制约,我们所使用数学教材的重中之重仍是代数。
以前所学习的平面几何,基本上是从公理到定理、从定理到定理的反复演练,与代数的交叉、沟通极其有限[1]。
而现在的考试加强对这类题的考查,一是弥补了教材编排的不足,二是督促我们建立"数形结合"的意识,提高迁移交叉应用能力。
函数在生活中的应用十分广泛，而实际上能应用在生活中的函数又很复杂，因此面对如此复杂的函数，求最值就又是一个大难题。
我们想到利用几何知识来求解，实际上将几何知识套用在函数上有两个基本类别[２]。
一是数形结合，二是向量法。
数形结合又可以细分为图像截距问题，距离问题，构造立体几何图形，斜率等问题。
接下来，我们通过几个实例来说明这几种方法的实际应用效果如果。
三种目标函数的几何意义
三种目标函数的几何意义一、 教学目标：知识目标：1. 了解线性规划意义，并会简单的运用；2. 能解决一些非线性目标函数的最值问题。
能力目标：提高学生的作图能力、分析能力，培养学生运动变化的数学思维。
情感目标：通过自主学习、合作学习培养学生的团队合作精神。
二、教学重点：三种目标函数的几何意义。
教学难点：非线性函数最值问题。
三、教学工具：powerpoint 课件、几何画板 四、教学过程：我们已经学习过线性规划的有关知识，请看下面的问题：【问题】求y x z +=2的最大值，使x ，y 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y 。
（学生自行解答，教师巡视并作个别辅导。
在大部分学生完成后，提问学生：） 1. 题目中给出的是关于x ，y 的代数表达式，做题时依据什么能转化为图形？2. 要正确解答问题，首先要弄清楚z 的意义，你能给大家分享一下你的想法吗？其他同学还有没有不同想法？3. 在得出z 的最值时，要说清x 与y 的取值，那么x 与y 应该在什么范围内取值呢？不等式组表示的区域我们在线性规划里面称作什么？（多媒体给学生演示z 的变化过程，让学生体会“运动变化”的数学思想。
然后给出上述问题的详细解答过程）【变式1】在上述问题中，如果把目标函数改写成y x z 32+=，那么z 的几何意义又是什么呢？如果改成y x z -=2呢？上述题目和变式1中提到的目标函数为直线型：By Ax z +=，即y A B x z B z B=-+，为直线在y 轴上的截距。
z 的几何意义就是直线在y 轴上截距的B 倍。
至于z 与截距是否同时取到最值，还要看B 的符号。
【变式2】如果把题目中目标函数改写成23++=x y z ，那么z 的几何意义会是什么？最值如何呢？如果是改写成xy z 2+=，最值又如何？ 学生分组探究，寻找解决问题的方法。
找学生分享自己的想法。
（多媒体演示，z 的变化过程）在解决变式2中两个函数最值时，不同之处是什么？（当定点与区域内的点连线斜率都存在时，z 有最值；当定点与区域内的点连线斜率有不存在情况时，z 没有最值，但可以把z 的取值范围写出来。
目标函数的几何意义
★高中数学必修模块5第10期第三章 不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（诠释重点直击热点）目标函数的几何意义解决简单线性规划问题的方法是图解法．求目标函数的最值、取值范围等问题，应转化为在可行域中求解，并充分挖掘目标函数的几何意义．一、运用直线的截距例1：已知z x y =-，且,x y 满足线性约束条件210,20,250,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩求z 的最大值和最小值．分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．解析：作出可行域如图1所示，△ABC 内部及边界上的点的坐标为可行解，作出直线0x y -=，易知，线段AB 上的点使z 取最小值的最优解，故把（0，2）代入得min 2z =-．而C 点是使z 取最大值的最优解，解方程组210,250,x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得C （3，－1），∴max 3(1)4z =--=．点评：1.对线性目标函数z Ax By =+（0A >）中的B 的符号一定要注意，当0B >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；当0B <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大．2.若最优解有无穷多个，则目标函数所表示的直线与可行域的一条边平行或重合．变式：（2008·广东）若,x y 满足240,250,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩则32z x y =+的最大值是（ ）A.90B.80C.70D.40解析：作出可行域如图2所示，作出直线42-2-55yxCBAOy=xx+2y-1=02x+y-5=0x-y+2=0（图1）504020-203x+2y=0AyxOx+2y-50=02x+y-40=0（图2）320x y +=，易知A 点是使z 取最大值的最优解，由240,250,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得A （10，20），∴max 70z =，答案：C ．点评：可从几何角度理解z 的最大值，此题中，z 为直线在纵轴上的截距，直线在纵轴上的截距越大，z 值越大．二、运用直线的斜率、两点距离公式（或平方）、点到直线的距离例2：已知一元二次方程220x ax b ++=有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，求：（1）点(,)a b 对应的平面区域；（2）21m a b =+-的取值范围； （3）21b n a -=-的取值范围；（4）22(1)(2)q a b =-+-的取值范围； 分析：由一元二次方程根的分布情况求出,a b 满足的条件，充分理解目标函数的几何意义是解决此题的关键．解析：方程220x ax b ++=的两根在区间（0，1）和（1，2）内的几何意义是：函数2()2y f x x ax b ==++与x 轴的两个交点的横坐标分别在（0，1）和（1，2）内，由此得不等式组(0)0,(1)0,(2)0,f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩即0,210,20.b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩由210,20,a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得A （－3，1）；由0,20,b a b =⎧⎨++=⎩解得B （－2，0）；由0,210,b a b =⎧⎨++=⎩解得C （－1，0）．（1）在如图3所示的aOb 坐标平面内，满足满足约束条件的点(,)a b 对应的平面区域为△ABC （不包括边界）．（2）215m a b =+-=，其几何意义为区域内的点到直线210a b +-=A ，点C 分别是到直线210a b +-=的最大、最小值，此时max 6z =，min 2z =，∴(2,6)m ∈．-52ba2a+b-1=0ODCBAa+2b+1=0a+b+2=0（图3）（3）21b n a -=-的几何意义点(,)a b 和点D （1，2）连线的斜率．因为211134AD k -==+ 20,111CDk -==+，由图3可知21AD CD b k n k a -<=<-，∴1(,1)4n ∈． （4）因为22(1)(2)q a b =-+-表示区域内的点(,)a b 和点D （1，2）之间的距离的平方，其最小值为222(11)28CD =++=，最大值为222(13)(21)17AD =++-=，∴(8,17)q ∈．点评：本题把直线、线性规划问题、方程等知识点结合起来，在求解是要注意“几何问题代数化，代数问题几何化”的转化思想的应用．变式：已知20,40,250.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩求：（1）24z x y =+-的最大值；（2）221025m x y y =+-+的最小值；（3）211y n x +=+的范围． 解析：作出可行域如图4所示，并求出顶点的坐标A （1，3）、B （3，1）、C （7，9）．（1）易知可行域内各点均在直线240x y +-=的上方，故将C （7，9）代入得z 的最大值为21．（2）22221025(5)m x y y x y =+-+=+-表示可行域内任一点(,)x y 与点M （0，5）距离的平方，易知M 点到直线AC 距离就是m的最小值，故min m =（3）21(0.5)21(1)y y n x x +--==+--表示可行域内任一点(,)x y 与定点Q (1,0.5)--连线的斜率的两倍，因为74QA k =，38QB k =，故37(,)42n ∈． 点评：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方）、点到直线的距离、过已知两点的直线斜率．。
线性规划中目标函数的几何意义
线性规划中目标函数的几何意义课例名称：《线性规划中目标函数的几何意义》授课教师：梁耀冬（罗定实验中学）课型：高三复习【教学设计】一、教材分析1 ．教学背景分析简单的线性规划是高中数学知识的重要内容,也是高考的主要考点之一，而且对线性规划的要求也越来越灵活，以考查线性目标函数的最值为重点,兼顾考查代数式的几何意义(如斜率、距离、面积等).多以选择题、填空题出现, 它是本质是“以形助数”即主要利用形的直观性来解决问题．具有应用的多样性.其中也对学生的数形结合思想进行全方位考查. 所以我们要认真研究目标函数的几何意义，使目标函数具体化和明朗化．下面笔者对平时教学中出现的线性规划问题进行分类与剖析,旨在拓展学生思维同时,教给学生掌握一些解题的方法与技巧.2 ．教学目标知识与技能目标：（ 1 ）能正确理解目标函数所表示的几何意义（ 2 ）能运用数形结合的数学思想解决线性规划中目标函数的几种基本的类型过程与方法目标：（ 1 ）培养学生的数学意识，增强学生数形结合的思想；（ 2 ）理解数学的转化思想，提高分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：（ 1 ）通过学生的主动参与、学生的合作交流，培养学生的探索方法与精神；（ 2 ）体会数形结合的美。
3 ．教学重、难点重点：数形结合；难点：能运用数形结合的思想方法解决目标函数中的几何意义问题。
二、教法、学法设计1 ．教法设计本节课的教学通过具体实例采用了启发引导，讲练结合的教学方法，注重学生数学思维方法以及研究问题方法的渗透。
2 ．学法设计在学习中，让其以主体的态度，而不是被动的接受。
经历知识的形成和发展过程，通过观察、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。
三、教学过程设计1 ．提出问题 ①直线型：z ax by =+例1、(2008年广东卷)若变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-0,0010502y x y x y x ,则z=2x+y的最大值是________.（学生自行解答，教师巡视并作个别辅导。
利用几何知识求函数最值
1. 数形结合法1.1 利用数轴上的截距解函数最值截距是指函数与所有坐标轴交点的坐标之差, 可取正数也可取负数或0.求形如)()(x g x f y ±=的函数最值, 可以把)(),(x g x f 当作是变量, 即令)(),(x g u x f v ==, 方程0),(=v u F 一般表示一条曲线, 则y 可以当作是y u v +±=的直线在纵坐标轴上的截距, 因此截距的最值也即是函数的最值.]1[例1 已知数y x ,满足03422=+-+x y x , 求y x +的最值.解 令,b y x =+则.b x y +-= 因为1)2(22=+-y x 的圆心为)0,2(, 以及它到直线b x y +-=的距离为1, 所以111|12|22=+-⨯b , 可得22±=b . 于是,22max +=b .22min -=b例2 求函数3424322+---+=t t t t S 的最值.解 令⎪⎩⎪⎨⎧-+=+-=,43,34222t t y t t x有x y S -=又).0,0(,1624433422222≥≥=+⇔⎪⎩⎪⎨⎧-+=+-=y x y x tt y t t x 因此S 可看成是直线系S x y +=和椭圆162422=+y x 在第一象限相交直线在轴上的截距（如图所示）, 可得2图1.62,6min max -==S S例3 求函数2310)(2-+-+=x x x x f 的最值. 解 设整理可得)0(,2)5(22≥=+-v v u . （1）因此, 可看出方程（1）表示uov 平面上的一个半圆()如图1O 且它与x 轴在)0,25(-A 与)0,25(+B 处相交.图2进一步原函数可以写成v u x f +=)(, （2）方程（2）表示uov 平面上斜率为-1的直线系, ()x f 表示此直线系在u 轴上的截距,通过计算可得函数与半圆相切的直线在u 轴上的最大截距为7, 即,(0).u x v v =⎧⎪≥⎨=⎪⎩37)(max =x f 而过)0,25(-A 直线在u 轴上的最小截距为,25- 即25)(min -=x f1.2 利用两点间的距离公式解函数最值两点间的距离公式分为平面和空间两种形式, 在平面内设1122(,),(,),A x y B x y 则||AB =在空间中, 可设111222(,,),(,,),A x y z B x y z 则||AB =例4求函数)y x R =∈的最小值. 解 如图所示.图3由于2565222++++-=x x x x y=且y 是点(,0)x 到点(1,2),(3,4)A B -的距离之和, B 关于x 轴的对称点为(3,4)B '--, 因此AB ==故132max =y .4例5 已知:如图所示, 点Q P ,分别在棱长为1的正方形的对角线AB 和棱CD 上运动, 求Q P ,两点间的距离的最小值.解 根据几何知识中空间相异的两条直线间公垂线最短可知:图4当PQ 为公垂线段的两端点时, Q P ,两点之间的距离是最小的, 又因为直线AB 和CD 的公垂线为两者中点的连线. 从而, 根据图形可知P 为111(,,),222Q 为1(0,,0),2因此 222min 11112||(0)()(1)22222PQ =-+-+-=例6求函数1725422++++-=x x x x z 的最小值，并求出此时的x 值. 解 将已知函数进行整理可得.)40()1()10()2(2222++++-+-=x x z上式表明z 是点)0,(x p 到点(2,1),(1,4)A B --的距离之和（如下图所示），••)1,2(A )4,1(--B xy图5要求其最小值，只需在x 轴上找到一点p ，使得p 到A , B 的之间距离之和达到5最小即可. 通过进一步的求解, 有34)41()12(||22min =+++==AB z .并且, 可得直线AB 的方程3154+=+x y , 令0=y , 通过求解可得45=x ，因此此当45=x 时，.34min =z注1 空间两点间的距离是平面两点间距离的推广, 其应用广泛, 应熟练掌握.1.3 构造法1.3.1 利用直线的斜率构造根据一些题中给出的代数式可联想到平面几何中两点坐标求直线斜率的公式, 设11(,),A x y 22(,)B x y 两点所确定的直线斜率为K , 则.1212x x y y K --=61.3.2 利用直线与圆的位置关系构造在一般情况下, 直线和圆的位置关系有三种：相交, 相离或相切.通过二者之间的位置关系可以求解函数的最值.例 8 求函数34222+-+=x x y 的最值.解 令[],2,2,4,2-∈-==x x v x u 可知[][],2,0,2,2∈-∈v u 且422=+v u 因此322++=v u y , (1)3221-+-=y u v , (2)这表明()2式是与直线u v -=平行的一个平行线系.从而, 问题转化成为平行线系和圆422=+v u 相交的直线中, 在v 轴上的截距最大和最小者, 通过下图可知,经过(2,0)A -与)2,2(B 的直线在v 轴上可以取得最小与最大值, 将两点分别代入)1(式可得.243,1max min +=-=y y1.3.3 利用矩形的特性构造例9 已知:R z y x ∈,,,1=++z y x , 求222222x z z y y x +++++的最小值.7解 由于 R z y x ∈,,1=++z y x , 构造边长为1的正方形, 并将一组邻边中的一条分成3部分, 长度分别为z y x ,,, 另一条为x z y ,,, 如下图所示.图7可得,,2222z y AB y x OA +=+=211,2232=+=+=OC x z BC ,即2222222≥+++++x z z y y x ,根据上式可知, 当且仅当31===z y x 时, 函数取到最小值2.1.3.4 利用立方体特性构造例10 已知γβα,,均为锐角且,2cos cos cos 222=++γβα求γβαcot cot cot 的最小值.'A ABC D'B 'C 'D图8解 设长方体的长、宽、高分别为c b a ,,, 可知8b c a 22cot +=α,a c b 22cot +=β,cb a 22cot +=γ, 因此=γβαcot cot cot b c a 22+a c b 22+⋅cb a 22+⋅cab a bc b ac 222⋅⋅≥22=(当c b a ==时取等号). 上式表明, 当且仅当c b a ==时, min (cot cot cot )αβγ=2. 向量法在学习向量的过程中由||||cos a b a b θ⋅=可知, 有以下几个结论：]8[1) ||||,a b a b ⋅≤当a 与b同向时取等号; 2) ||||||a b a b ⋅≤,当a 与b平行时等号成立; 3) 222()||||,a b a b ⋅≤当a 与b平行时等号成立;4) ||||||||||,a b a b a b ⋅≤+≤+ 当a 与b 反向且||||a b ≥时左边不等式取等号, 当a与b同向时右边不等式取等号;5) ||||||||||,a b a b a b ⋅≤⋅≤+当a 与b 同向且||||a b ≥时左边不等式取等号, 当a与b反向时右边不等式取等号.以上这些结论都是用向量不等式求函数最值的依据.例12求函数y =(,,a b c 为正常数)的最小值. 方法1 通过上式可联想到两点间的距离公式, 然后由三点共线距离最短求出最小值, 为此构造三个点.解 ()2222b c x a x y +-++==设(,0),(0,),(,)P x A a B c b , 则原问题可转化为在x 轴上求一点P , 使||||AP BP +的和最小. 设点B 关于x 轴的对称点为(,)B c b '-, 根据对称性可知9||||||||||,AP BP AP B P AB ''+=+≥当且仅当B P A ',,三点共线时等号成立. 此时 |'|||||||P B AP BP AP +=+ 22)(|'|b a c AB ++==.因此, 函数2222)(b c x a x y +-++=的最小值为22)(b a c ++.方法 2 函数式的结构呈现出两个向量模的形式, 一次构造两个向量, 并使它们的和的模恰为定值, 为使用向量不等式创造了必要的条件.解 设),(),,(b x c n a x m -==, 则,)(||||2222b c x a x n m y +-++=+=|),(),(|||b x c a x n m -+=+|(,)|c a b =+= 由于|,|||||n m n m +≥+则≥当m 与n同向, 即 (,)(,),x a k c x b =-ba ac x k +=>,0时, 不等式取等号.从而函数y =注3 方法1是通过构造两点间的距离公式, 利用几何意义来解决. 方法2是利用构造向量, 通过向量不等式来解决. 两种方法各有千秋, 尤其是利用向量不等式的方法, 较为新颖、明快. 此例说明了通过巧妙的利用向量可以解决某些无理函数的最值问题.z y x ++的最大值.101101>≤k k 且, 即1max =k .注4 利用向量内积求函数最值的问题，关键是要找到题目的结构特征, 并由此构造出两个适当的向量. 在构造向量时, 应考虑到向量模和内积这三个量, 必须有两个向量是确定的量，另一个正好是所要求的函数式, 从而直接求出函数的最值.。
用函数思想解决几何最值问题
用函数思想解决几何最值问题初中最值问题在三年的初中学习中经常遇见，一般可以分为代数最值问题和几何最值问题，常见的几何最值问题有：线段最值问题，线段和差最值问题，周长最值问题、面积最值问题等；①两点之间线段最短（应用三角形的三边关系）②利用函数关系求最值首先我们来利用：两点之间线段最短（应用三角形的三边关系）的方法解决几个几何最值问题如图，已知点A（4，3），点B（0，1）。
若点C是x轴上一动点，当AC+BC的值最小时，求C点坐标.如图，已知点A（4，3），点B（0，-1）。
若点C是x轴上一动点，当∣AC-BC∣的值最大时，求C点坐标.（2012中考题）点A 、B 均在由面积为1的相同小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得|PA ﹣PB |的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA+QB 的值最小的点，则OP•OQ = ．利用函数关系求最值2006中考题如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，线段EF ＝10.在EF 上取一点M ，分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD .令MN ＝x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？2013中考题如图，已知抛物线c bx x y ++=2的图像与x 轴的一个交点为B （5,0），另一个交点为A ，且与y 轴交于点C (0,5).（1）求直线BC 与抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线在x 轴下方图像上的一动点，过点M 作MN //y 轴交直线BC 于点N ，求MN 的最大值。
2013中考题如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），点B的坐标为（1，－3），已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过三点A、B、O（O为原点）．（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．yx思维拓展：2009中考题如图，已知反比例函数的图像经过点P（－1，－2）．（1）写出反比例函数的关系式；（2）如图，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．yx。
巧用函数模型解决最值问题
巧用函数模型解决最值问题 江苏省江阴长泾中学 刘云彬函数最值是函数概念的一个重要组成部分，在研究函数图象、性质及实际问题中非常有用。
求函数最值问题的方法有很多，如观察法、配方法、图象法、判别式法、换元法等等。
但广大师生仍普遍感到非常困难，本文将巧用数学模型，将问题化归到某一模型上去讨论，可以收到出奇制胜的效果。
例1． 若实数x ，y 满足3x-2y-5=0 （1≤x ≤3），求xy 的最值。
方法1.构造函数模型1,32321,252565,312523),31(0523,min max -==≤=≤-∴≤≤∴≤≤-=∴≤≤=--=）（）即（，满足、实数设x y x y x y t x x xx y x y x y x x y t ΘΘ 方法2.构造斜率模型xy 是分式函数，其结构与斜率公式相似，由此可视此式为定点（0，0）与线段3x-2y-5=0 （1≤x ≤3）上动点P （x ，y ）连线的斜率，易知32,1=-=OB OA k k 1,32min max -==）（）（xy x y 归纳：对一类化归为b ax d cy ++的函数最值问题，运用斜率模型求解不失为一种行之有效的方法。
例2.若点P （a ，b ）在直线x+y+1=0上，求22222+--+b a b a 的最小值。
方法一.构造函数模型22222+--+b a b a 中a ，b 均为变量，化为单参数问题即可。
29)21(22)1(22)1(2221,010122222++=+----++=+--+∴--=∴=++∴=++a a a a a b a b a a b b a y x b a P 上，）在直线，（点Θ223)222(min 22=+--+∴b a b a 方法二：构造距离模型 2222)1()1(222-+-=+--+b a b a b a可考虑两点间距离模型，上式可看成求动点（a ，b ）到（1，1）的距离的最小值。
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| 3x + 2y + 9 | · 32 + 22 , 所以 z的最小值可 32 + 22
理解为可行域中点到直线 3x + 2y + 9 = 0的距
离的最小值的 32 + 22 倍. 而由于直线 3x + 2y + 9 = 0与直线 3x + 2y - 6 = 0平行 , 且两 平行线 3x + 2y + 9 = 0与 3x + 2y - 6 = 0间
第 3期 高中数学教与学
利用目标函数的几何意义 巧解一类最值问题
林晓岚
(广东省汕头市澄海区实验高级中学 , 515824)
最值问题中有一类是在线性约束条件下 求二元函数最值. 在这类问题中 , 当目标函数 是线性函数时 , 就是通常所说的二元线性规 划问题 ,当目标函数不是线性函数时 , 其中不 少也可以用 解 决线 性规 划 问题 的 方法 去 解 决. 解决这类问题时 , 利用目标函数的几何意 义是关键. 以下谈谈如何运用目标函数的几 何意义求解这类二元函数最值问题.
线斜率 , 充分利用了目标函数的几何意义及
斜率公式 k = y2 - y1 , 使问题迎刃而解. x2 - x2
三 、活用两点满足约束条件 x + y ≥ 1,
2x - y ≤ 1. ( 1) 求 z = x2 + y2 的最小值 ;
(2) 求 k = ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 的最
距离 AB = | 9 - ( - 6) | = 15 , 所以 z最小
32 + 22
13
值 zm in = 15.
评注 注意 z = | 3x + 2y + 9 | 与点到直 线的距离公式
d = | A x0 + B y0 + C | A2 + B2
“形似 ”的特点 , 充分运用了目标函数的几何 意义 , 将目标函数理解为可行域中点到直线
二 、活用斜率公式
x + 3y - 3 ≤ 0, 例 3 已知 x、y满足 x ≥ 1,
y ≥ 0.
求 z = y + 2 的取值范围. x- 1
z = y + 2 = y - ( - 2) 可理解为可行域
x- 1
x- 1
中点与点 ( 1, - 2) 连线的斜率 , 易知可行域中
点 B ( 3, 0) 与点 ( 1, - 2) 连线的斜率最小为
评注 ( 1) 解线性规划问题要先正确判
断点所在的可行域.
( 2) 例 1中 z = 3x + y可化为 y = - 3x +
z, z为 y = - 3x + z在 y轴上的截距. 进行平移 , 找出最值的位置 , 截距最大 (或最小 ) , z即取 得最大 (或最小 ) 值.
例 2中 , 由于 y = x - z, - z才是直线在 y 轴上的截距 , 当截距最大 (或最小 ) 时 , - z最 大 (或最小 ) , 此时 z取得最小 (或最大 ) 值.
小值.
解 ( 1) x、y满足的约束条件所对应的可
行域如图 4所示. z = x2 + y2 可理解为可行域
中点到原点之间的距离的平方. 由题知过原
点向直线 x + y = 1引垂线 , 垂足刚好在可行域
中 ,所以原点到直线的距离的平方即为可行
域中点到原点距离平方的最小值 , 此时
zm in =
一 、活用直线的截距 例 1 已知 x、y满足条件
x + 2y - 2 ≥ 0, 2x + y - 1 ≥ 0, x ≥ 0, y ≥ 0, 求 z = 3x + y的最小值. 解 约束条件所表示的可行域如图 1中 的阴影部分所示. z = 3x + y可变形为 y = - 3x + z, 此时 z可理解为直线 y = - 3x + z的截距. 现作直线 l: y = - 3x, 再作一组与 l平行的直 线. ∵x, y是上面不等式组所表示的区域内的 点的横纵坐标 , ∴当直线 y = - 3x + z通过点 P ( 0, 1) 时 , z取最小值即 zm in = 3 ×0 + 1 = 1.
km in
= |- 1 - 1 - 1| 1 +1
= 3 2. 2
四 、活用点到直线的距离公式
x ≤ 3,
例 5 x、y满足约束条件 2y ≥ x, 3x + 2y ≥ 6,
3y ≤ x + 9,
求 z = | 3x + 2y + 9 | 的最小值.
解 x、y 满足的约束条件所对应的可行
域如图 5 所 示. 由 于 z = | 3x + 2y + 9 | =
zm in
= 0 - ( - 2) 3- 1
= 1, 而随着点 ( x, y) ( ( x, y)
·21·
高中数学教与学 2007年
为可行域内的点 ) 位置的变化 , 可知 z不断增 大至正无穷 ,所以 z ∈ [ 1, + ∞) .
评注 本例将目标函数理解为两点的连
3x + 2y + 9 = 0的距离的 13倍 , 使 z的最值 求法十分清晰.
| 0 +0 - 1 | 2 = 1.
1 +1
2
( 2) 同理 , k = ( x + 1) 2 + ( y + 1) 2 可 理解为可行域中的点到点 ( - 1, - 1) 的距离 , 过点 ( - 1, - 1) 向直线 x + y = 1作垂线 , 垂足 还是在可行域中 ,所以点 ( - 1, - 1) 到直线 x + y - 1 = 0的距离即为 k的最小值 , 所以
例 2 ( 2004年浙江高考题 ) 设 z = x - y, 式中变量 x、y满足条件 x + y - 3 ≥ 0, 则 z的
x - 2y ≥ 0, 最小值为 ( )
(A ) 1 (B ) - 1 ( C) 3 (D ) - 3
解 满足条件 x + y - 3 ≥ 0的点所对 x - 2y ≥ 0
应的可行域如图 2所示 ,其中直线 x + y - 3 = 0与 x - 2y = 0的交点为 A ( 2, 1) ,考察直线 y = x - z, 当将其平移到过 A点时 , 直线 y = x z在 y轴上的截距 - z最大 , 此时 z取最小 zm in = x - y = 2 - 1 = 1, 所以选 A.