不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术几何平均不等式课件新人教A版选修450803179
高中数学第一章不等式和绝对值不等式1.1.3三个正数的
立的条件是 a=b=c.
2.不等式的变形及其应用:
(1)a+b+c≥33 ������������������,当三个正数的积为定值时,它们的和有最小值;
(2)abc≤
������+������+������ 3
3
,当三个正数的和为定值时,它们的积有最大值.
做一做1 若正数a1,a2,a3满足a1a2a3=8,则有( )
≤
2������������������2������+������������������2������+������������������2������ 3
A.a1+a2+a3≥2
B.a1+a2+a3≥6
C.a1+a2+a3≥6 2
D.a1+a2+a3≥2 2
解析：由三个正数的算术-几何平均不等式可得������1
+������2+������3 3
≥
3 ������1������2������3 = 3 8=2(当且仅当 a1=a2=a3=2 时,等号成立),于是
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解：(1)因为 0<x<3,所以 3-x>0.
于是
y=x2(3-x)=4·���2���
·���2���·(3-x)≤4·
���2���+���2���+3-������ 3
3
=4,
当且仅当������
2
=
���2���=3-x,即
x=2
时,函数
y
取得最大值
4.
(2)因为 x>2,所以 x-2>0.
高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式 1.3 三个正数的
3．对于 n 个正数的算术平均 a1，a2，…，an，它们的算术
平
均
__不__小__于____
3 三个正数的算术—几何平均不等式
1.探索并了解三个正数的算术—几何平均不等式的证明过 程．
2.会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值． 3.会用平均不等式解决实际中的应用问题.
1.利用平均不等式比较代数式的大小及证明简单不等式是 常考内容．(难点)
2.利用平均不等式求函数的最值以及实际问题中的最值问 题，多以小题的形式进行考查．(重点、难点)
1．设 a，b，c 为正实数，求证：a13＋b13＋c13＋abc≥2 3. [思路点拨] 先观察式子的结构，再用平均不等式来证明 式子成立．
解析： 因为 a，b，c 为正实数，由平均不等式可得
a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13， 即a13＋b13＋c13≥a3bc(当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立)． 所以a13＋b13＋c13＋abc≥a3bc＋abc.
(2)∵a，b，c∈R＋， ∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥33 a＋bb＋cc＋a>0， a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥3 3 a＋1 b·b＋1 c·a＋1 c>0， ∴(a＋b＋c)a＋1 b＋b＋1 c＋a＋1 c≥92. 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
x＋1x≤－2， 当且仅当－x＝－1x即 x＝－1 时等号成立，C 正确．
D．∵x>0，∴1x>0，∴x＋1x≥2 x·1x＝2， 当且仅当 x＝1x即 x＝1 时等号成立，D 正确． 答案： A
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一第1课时不等式的基本性质课件新人教A版选修4_527
得 a·a1b＞b·a1b，得1b＞1a.
解答
(2)若 c＞a＞b＞0，则c－a a＞c－b b； 解 正确. 因为c－a＞0，c－b＞0，且c－a＜c－b， 所以c－1 a＞c－1 b＞0. 又 a＞b＞0，所以c－a a＞c－b b.
解答
(3)若ac＞bd，则 ad＞bc； 解 不正确.
因为ac＞bd，所以ac－bd＞0， ad－bc
梳理 (1)两个实数a，b的大小关系
(2)不等式的基本性质
①对称性：a＞b⇔ b＜a . ②传递性：a＞b，b＞c⇒ a＞c . ③可加性： a＞b ⇔a＋c＞b＋c. ④可乘性：如果a＞b，c＞0，那么 ac＞bc ； 如果a＞b，c＜0，那么 ac＜bc .
⑤乘方：如果a＞b＞0，那么an ＞ bn(n∈N，n≥2).
本课结束
12345
解析 答案
4.已知 12＜a＜60,10＜b＜20，则ba的取值范围是__16_＜__ba_＜__53___. 解析 由 12＜a＜60，得610＜1a＜112， 又10＜b＜20， 所以根据不等式的性质可得16＜ba＜53.
12345
解析 答案
5.设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x＞y，则实数a，b满足的条件是
12345
解析 答案
3.下列说法中，正确的个数是__4__. ①若a＞b，则ac2＞bc2；②若a≥b，则ac2≥bc2； ③若ac＞bc，则 ac＞bc； ④若ac≥bc，则 ac≥bc； ⑤若aa＞c＞bb，c， 则 c＞0；⑥若aa≥c≥bb，c， 则 c≥0.
解析 当c2＝0时，①不正确；②正确；③正确；④正确；⑤正确； 当a＝b时，⑥不正确.
解答
反思与感悟 (1)利用不等式的性质判断命题真假的技能 ①要判断一个命题为真命题，必须严格证明； ②要判断一个命题为假命题，或者举反例，或者由题中条件推出与结论 相反的结果.其中，举反例在解选择题时用处很大. (2)运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项 ①倒数法则要求两数同号； ②两边同乘以一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定； ③同向不等式可以相加，异向不等式可以相减.
高中数学 1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式课件 新人教A版选修45
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式
栏 目 链 接
1．会用三项的平均值不等式证明一些简单问题．
2．能够利用三项的平均值不等式求一些特定函数的 最值，从而学会解决简单的应用问题．
栏 目 链 接
1．三个正数的算术—几何平均不等式．
(1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正数的算
___几__何___平均数．
思考 2 若 x＞0，则x3＋x3＋x3＋2x73 ___≥___4.
栏 目 链 接
题型一 利用定理3证明不等式
例 1 设 a，b，c∈R＋，求证：(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥9.
分析：观察式子的结构，通过变形转化来证明．
证明：：∵a，b，c∈R＋，
∴a＋b＋c≥33 abc，1a＋1b＋1c≥33 abc －1，两不等式相乘，
有：(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥33 abc×33 abc －1＝9. ∴(a＋b＋c)(1a＋1b＋1c)≥9. 当且仅当 a＝b＝c＝0 时，等号成立．
点评：不等式的证明方法比较多．关键是从式子的 结构入手进行分析．多联想定理3的形式以便用好它．
变式 训练
1．已知 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明：∵a，b，c∈R＋，a＋b＋c≥33 abc.又 a＋b＋c＝1，∴3 abc
解析：y2＝14sin4θcos2θ＝18×2sin2θ sin2θ cos2θ
≤81sin2θ＋sin32θ＋2 cos2θ3＝217. 当且仅当 sin2 θ＝2cos2θ＝2－2sin2θ.
即
sin
Hale Waihona Puke θ＝36时取等号，此时
2019秋高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.3三个正数的算术—几何平均不等式课件新人教A版选修4_5
所以x4(1－x2)＝12x2·x2(2－2x2)≤
12x2＋x2＋3 2－2x23＝247，
当且仅当x2＝x2＝2－2x2，即x＝
6 3
时，函数y＝x4(1
－x2)取得最大值247.
答案：247
6 3
类型1 利用平均不等式求最值(自主研析) [典例❶] 求函数y＝(1－3x)2·x0＜x＜13的最大值．
1 2
(x－1)＝12(x－1)＝（x－4 1）2，即x＝3时，等号成立．
所以ymin＝4.
类型2 利用平均不等式证明不等式
[典例2]
设a，b，c为正实数，求证：
1 a3
＋
1 b3
＋
1 c3
＋
abc≥2 3.
解：因为a，b，c为正实数，
由三个正数的算术—几何平均不等式可得：
a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13，即a13＋b13＋c13≥a3bc，
第一讲 不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[学习目标] 1.探索并了解三个正数的算术—几何平 均不等式的证明过程，会用三项的平均值不等式证明一 些简单问题(难点)． 2.能够利用三项的平均值不等式求 一些特定函数的最值(重点)． 3.会建立函数不等式模 型，会解决简单的应用问题(重点)．
[变式训练] 已知x>0，y>0，求证：(1＋x＋y2)(1＋x2 ＋y)≥9xy.
3
证明：因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3 xy2 >0，1＋
3
3
3
x2＋y≥3 xy2>0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3 xy2·3 x2y＝
高中数学人教A版选修课件：1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式
2
3时,y 取最小值;错解 2 中当且仅当
1
2
x2 = x = x 时,y 取最小值,但 x ≠ x , 所以等号不成立,即 y 不能取
3
得 3 2.
3
3
正解:∵x>0,∴y=x2 + 2 + 2
≥3
3
3 3
2 ·2 ·2
当且仅当 x2 =
=3
9
4
3
=
3
, 即x=
2
3
3 18
∴函数的最小值为 2 .
≤32 ·
3
3
=
2
,
108
当且仅当 2sin2θ=cos2θ 时,等号成立,
即
tan2θ=
1
,tan
2
θ=
2
,∴
2
sin
2
当h=2tan θ= 2时,E 最大.
∴当灯的高度 h为 2 m 时,才能使桌子边缘处最亮.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思处理此类求最值的实际问题,应正确找到各变量之间的关系,
4
4
+ 2 =
4
4
2
+
2
+
2
2
2
2
, 其中把x 拆成 2 和 2 两个数,这样可满足不等式成立的条件,若
2
4
4
2 3
这样变形:y= 4 + 2 = 4 + 4 + 4 2,
虽然满足了乘积是定值这个要求,但“三相等”这个要求就无法实现
4
了,这是因为取等号的条件是 4
=
2
4
【精选】高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.3三个正数的算术_几何平均不等式自主训练新人教A
1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式自主广场我夯基我达标1.若x>0，则4x+的最小值是（）A.9B.C.13D.不存在思路解析：因为x>0,所以4x+=2x+2x+≥，当且仅当2x=,即x=时等号成立.答案：B2.若实数x,y满足xy>0，且x2y=2,则xy+x2的最小值是（）A.1B.2C.3D.4思路解析：xy+x2=2xy+xy+x2≥=1.答案：A3.已知a,b∈R+，则(++)(++)≥____________.思路解析：(++)(++)=3+≥3+=9.答案：94.设a,b,c∈R+，求证：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc.证明：左边=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)≥=6abc.∴a、b、c∈R+,∴原式成立.5.如果a,b∈R+，且a≠b,求证：a3+b3>a2b+ab2.证明：∵a、b∈R+,且a≠b,则a3+b3=［(a3+a3+b3)+(a3+b3+b3)］> (）=a2b+ab2.∴a3+b3>a2b+ab2.6.求函数y=4sin2x-cosx的最值.解：∵y2=16sin2xsin2x·cos2x,=8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8()3=8×.∴y2≤,当且仅当sin2x=2cos2x,即tanx=±时取“=”号.∴y大=,y小=。
7.已知：a,b,c都是小于1的正数，求证：(1-a)b、(1-b)c、(1-c)a中至少有一个不大于. 证明：假设(1-a)b>,(1-b)c>,(1-c)a>.则(1-a)b(1-b)c(1-c)a>1[]64.①又(1-a)b(1-b)c(1-c)a≤［］6=()6=,这与①矛盾.∴假设不成立.即原结论正确.8.已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证：≥4.证明：=4.当且仅当a=b=c=d时取等号，得证.我综合我发展9.如果圆柱轴截面的周长l为定值，则此圆柱体积的最大值为___________.思路解析：设圆柱的底面半径为r,高为h,则4r+2h=l,v=πr2h≤π()3=π()3当且仅当r=h=时取“=”号.答案：10.已知x∈R+，有不等式x+≥2,x+≥3,…,由此启发我们可以推广为：x+≥n+1(n∈N +).则a=__________.思路解析：从n=1,n=2,…归纳得出：x+≥n+1.答案：n n11.若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b=,则两边均含有运算“*”和“+”，且对任意3个实数a,b,c都能成立的一个等式可以是___________.思路解析：a+(b*c)=(a+b)*(a+c),∵a+(b*c)=a+,①又∵(a+b)*(a+c)=,②由①②，可知a+(b*c)=(a+b)*(a+c).答案：a+(b*c)=(a+b)*(a+c)12.若a,b,c∈R+，且a+b+c=1,求证：.证明：∵a、b、c∈R+且a+b+c=1,∴2=(a+b)+(b+c)+(c+a).∴［(a+b)+(b+c)+(c+a)］·()≥=9.∴原式得证.13.用边长为60厘米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四面分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转90°，再焊接而成，问小正方形的边长为多少时，水箱容积最大，最大的容积为多少？解：设正方形的边长为x cm.V=x(60-2x)2=·4x(60-2x)(60-2x)≤()3=16 000.当4x=60-2x即x=10时取等号.∴小正方形的边长为10 cm时，最大容积为16 000 cm3.14.已知矩形ABCD的两个顶点A、B在函数y=-2(x-1)2+4(0≤x≤2)的图象上，另两个顶点C、D在x轴上，求这个矩形面积的最大值.解：设A(x0,y0),且不妨设x0>1,则矩形ABCD的面积S=|AB|·|AD|=2(x0-1)y0.∵y0=-2(x0-1)2+4且1<x0≤2,∴S=-4(x0-1)3+8(x0-1)=4(x0-1)［2-(x0-1)2］=≤.当且仅当2(x0-1)2=2-(x0-1)2,即x0=1+时，取“=”号.∴矩形ABCD的面积的最大值为.。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术_几何平均不等式优化练习新人教A版选修4_
3 三个正数的算术-几何平均不等式[课时作业] [A 组 基础巩固]1．设x ，y ，z >0且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg 6] B ．(－∞，3lg 2] C ．[lg 6，＋∞)D ．[3lg 2，＋∞)解析：∵lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )， 而xyz ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y ＋z 33＝23，∴lg x ＋lg y ＋lg z ≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，取等号． 答案：B2．函数y ＝x 2·(1－5x )(0≤x ≤15)的最大值为( )A.4675B.2657C.4645D.2675解析：∵0≤x ≤15，∴1－5x ≥0，∴y ＝x 2·(1－5x )＝425[52x ·52x ·(1－5x )]≤425[52x ＋52x ＋1－5x 3]3＝4675. 当且仅当52x ＝1－5x ，即x ＝215时取“＝”，故选A.答案：A3．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列不等式正确的是( ) A ．V ≥π B ．V ≤π C ．V ≥18πD ．V ≤18π解析：如图，设圆柱半径为R ，高为h ，则4R ＋2h ＝6，即2R ＋h ＝3.V ＝S ·h ＝πR 2·h ＝π·R ·R ·h ≤π⎝⎛⎭⎪⎫R ＋R ＋h 33＝π，当且仅当R ＝R ＝h ＝1时取等号．答案：B4．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，若M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1，则必有( )A ．0≤M <18B.18≤M <1 C ．1≤M <8 D ．M ≥8解析：M ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c b －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c c －1＝b ＋ca ＋ca ＋babc≥8bc ·ac ·ab abc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 答案：D5．已知x 为正数，下列各题求得的最值正确的是( ) A ．y ＝x 2＋2x ＋4x3≥33x 2·2x ·4x3＝6，∴y min ＝6B ．y ＝2＋x ＋1x ≥332·x ·1x＝332，∴y min ＝332C ．y ＝2＋x ＋1x≥4，∴y min ＝4D ．y ＝x (1－x )(1－2x )≤13[3x ＋1－x ＋1－2x 3]3＝881，∴y max ＝881解析：A ，B ，D 在使用不等式a ＋b ＋c ≥33abc (a ，b ，c ∈R ＋)和abc ≤(a ＋b ＋c 3)3(a ，b ，c∈R ＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C 中，∵x >0，∴y ＝2＋x ＋1x ＝2＋(x ＋1x)≥2＋2＝4，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．答案：C6．若x >0，则函数y ＝4x 2＋1x的最小值是________．解析：∵x >0，∴y ＝4x 2＋1x ＝4x 2＋12x ＋12x≥334x 2·12x ·12x＝3.当且仅当4x 2＝12x (x >0)，即x ＝12时，取“＝”，∴当x ＝12时，y ＝4x 2＋1x(x >0)的最小值为3.答案：37．若a >2，b >3，则a ＋b ＋1a －2b －3的最小值为________．解析：∵a >2，b >3，∴a －2>0，b －3>0， ∴a ＋b ＋1a －2b －3＝(a －2)＋(b －3)＋1a －2b －3＋5 ≥33a －2·b －3·1a －2b －3＋5＝3＋5＝8(当且仅当a ＝3，b ＝4时等号成立)． 答案：88．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为________． 解析：设底面边长为x ，高为h ，则 34x 2·h ＝V ， 所以h ＝43V3x 2，又S 表＝2·34x 2＋3xh ＝32x 2＋3x ·43V 3x 2＝32x 2＋43V x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8V x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4V x ＋4V x ≥32×3316V 2＝33×32V 2， 当且仅当x 2＝4V x，即x ＝34V 时，S 表最小．答案：34V9．已知x ，y 均为正数，且x >y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.证明：因为x >0，y >0，x －y >0， 2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y＝2(x －y )＋1x －y2＝(x －y )＋(x －y )＋1x －y2≥33x －y21x －y2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.10．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器的容积最大值．解析：设正六棱柱容器底面边长为x (x >0)，高为h ，由图可有2h ＋3x ＝3， ∴h ＝32(1－x )， V ＝S 底·h ＝6×34x 2·h ＝332x 2·32·(1－x )＝23×332×x 2×x2×(1－x ) ≤9×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋x 2＋1－x 33＝13.当且仅当x 2＝x2＝1－x ，即x ＝23时，等号成立．所以当底面边长为23时，正六棱柱容器的容积最大，为13.[B 组 能力提升]1．已知a ，b ，c ∈R ＋，x ＝a ＋b ＋c3，y ＝3abc ，z ＝a 2＋b 2＋c 23，则( )A ．x ≤y ≤zB ．y ≤x ≤zC ．y ≤z ≤xD ．z ≤y ≤x解析：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b ＋c3≥3abc ，∴x ≥y ，又x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac9，z 2＝3a 2＋3b 2＋3c 29，∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 三式相加得：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . ∴3a 2＋3b 2＋3c 2≥(a ＋b ＋c )2， ∴z 2≥x 2，∴z ≥x ，即y ≤x ≤z . 答案：B2．若实数x ，y 满足xy >0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：xy ＋x 2＝12xy ＋12xy ＋x 2≥3 312xy ·12xy ·x 2＝3 314x 2y2＝3344＝3.答案：C3．设x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝4sin 2x ·cos x 的最大值为________．解析：∵y 2＝16sin 2x ·sin 2x ·cos 2x＝8(sin 2x ·sin 2x ·2cos 2x )≤8(sin 2x ＋sin 2x ＋2cos 2x 3)3＝8×827＝6427，∴y 2≤6427，当且仅当sin 2x ＝2cos 2x ，即tan x ＝2时，等号成立．∴y max ＝839.答案：8394．设正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值为________．解析：∵a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)＝9.∴(13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2)·[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥ 3·313a ＋23b ＋23c ＋2·333a ＋23b ＋23c ＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立．即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2≥1. 故13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2的最小值为1. 答案：15．设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3.证明：因为a ，b ，c 为正实数，由算术—几何平均不等式可得 1a3＋1b 3＋1c 3≥3 31a3·1b 3·1c3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc(当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立)．所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc＋abc .而3abc＋abc ≥23abc·abc ＝23(当且仅当a 2b 2c 2＝3时，等号成立)，所以1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥23(当且仅当a ＝b ＝c ＝63时，等号成立)．6．已知某轮船速度为每小时10千米，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和为最小．解析：设船速为V 千米/小时，燃料费为A 元/小时，则依题意有A ＝k ·V 3，且有30＝k ·103，∴k ＝3100.∴A ＝3100V 3.设每千米的航行费用为R ，需时间为1V小时，∴R ＝1V (3100V 3＋480)＝3100V 2＋480V＝3100V 2＋240V ＋240V ≥333100V 2·240V ·240V＝36. 当且仅当3100V 2＝240V，即V ＝20时取最小值．答：轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行费用总和最小．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术几何平均不等式课件
≥3
3
1 1 1 3 · · ×3 （a－b）（b－c）（c－d）＝9， a－b b－c c－d
1 1 1 9 即 ＋ ＋ ≥ ，当且仅当 a－b＝b－c＝c－d 时， a－b b－c c－d a－d 等号成立．
a＋b＋c 3 abc≤ ，当且仅当 3
3
a＝b＝c 时取等号．
3．用定理 3 求最值时的关注点 一“正”：项或因式为正． 二“定”：项(因式)的和或积为定值． 三“相等”：各项相等或各因式相等时等号成立．
1．正实数 x，y，z 满足 xyz＝2，则( A．x＋y＋z 的最大值是 3 2 B．x＋y＋z 的最大值是 3 2 C．x＋y＋z 的最小值是 3 2 D．x＋y＋z 的最小值是 3 2
证明不等式的方法 (1)首先观察所要证的式子的结构特点及题目所给条件， 看是否 满足“一正、二定、三相等”的条件．若满足即可利用平均不 等式证明． (2)若题目不满足该条件， 则可灵活利用已知条件构造出能利用 三个正数的平均不等式的式子．
1.已知 x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋ y)≥9xy.
1 1 2 仅当 x＝1－2x， 即 x＝ 时等号成立． 故 x (1－2x)的最大值为 . 3 27 1 答案： 27
4 4．当 x>0 时，(1)求 y＝x＋ 2的最小值． x 27 (2)求 y＝x＋ 3 的最小值． x
4 x x 4 解：(1)因为 x>0，所以 y＝x＋ 2＝ ＋ ＋ 2 x 2 2 x ≥3
的应用是一样的． (3)将不等式 a3＋b3＋c3≥3abc 中的 a，b，c 分别以 a， b， c a＋b＋c 3 代替就可得到 ≥ abc. 3
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一3.三个正数的算术—几何平均不等式教案(含解析)新人教A版选修4_5
3．三个正数的算术—几何平均不等式1．定理3如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．(1)不等式a ＋b ＋c3≥3abc 成立的条件是：a ，b ，c 均为正数，而等号成立的条件是：当且仅当a ＝b ＝c .(2)定理3可变形为：①abc ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc .(3)三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”．2．定理3的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．用平均不等式证明不等式[例1] ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＋1c 2(a ＋b ＋c )2≥27. [思路点拨] 本题考查平均不等式的应用，解答本题需要先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用平均不等式证明的问题．[证明] ∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b ＋c ≥33abc >0， 从而(a ＋b ＋c )2≥93a 2b 2c 2>0， 又1a 2＋1b 2＋1c 2≥331a 2b 2c2>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2＋1b2＋1c 2(a ＋b ＋c )2≥331a 2b 2c2·93a 2b 2c 2＝27.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．证明不等式的方法与技巧(1)观察式子的结构特点，分析题目中的条件．若具备“一正，二定，三相等”的条件，可直接应用该定理．若题目中不具备该条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．(2)三个正数的算术—几何平均不等式是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此凡是利用该不等式证明的不等式，一般可用比较法证明．1．设a ，b ，c ∈R ＋，求证(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥9.证明：∵当a ，b ，c ∈R ＋时，a ＋b ＋c ≥33abc ， 1a ＋1b ＋1c ≥331abc.∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥9，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．已知a 1，a 2，…，a n 都是正数，且a 1a 2…a n ＝1，求证： (2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n.证明：因为a 1是正数，根据三个正数的平均不等式，有2＋a 1＝1＋1＋a 1≥33a 1. 同理2＋a j ≥3 3a j (j ＝2,3，…，n )． 将上述各不等式的两边分别相乘即得 (2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n ) ≥(33a 1)(33a 2)…(33a n ) ＝3n·3a 1a 2…a n .∵a 1a 2…a n ＝1，∴(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n. 当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝1时，等号成立.用平均不等式求最值[例2] (1)求函数y ＝(x －1)2(3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1<x <32的最大值．(2)求函数y ＝x ＋4(x －1)2(x >1)的最小值．[思路点拨] (1)对于积的形式求最大值，应构造和为定值； (2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值． [解] (1)∵1<x <32，∴3－2x >0，x －1>0.y ＝(x －1)2(3－2x )＝(x －1)(x －1)(3－2x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋x －1＋3－2x 33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127， 当且仅当x －1＝x －1＝3－2x ，即x ＝43∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32时等号成立，即y max ＝127.(2)∵x ＞1，∴x －1>0，y ＝x ＋4(x －1)2＝12(x －1)＋12(x －1)＋4(x －1)2＋1 ≥3312(x －1)·12(x －1)·4(x －1)2＋1＝4，当且仅当12(x －1)＝12(x －1)＝4(x －1)2，即x ＝3时等号成立．即y min ＝4.(1)利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件：即“一正二定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．3．设x >0，则f (x )＝4－x －12x2的最大值为( ) A ．4－22B ．4－ 2C ．不存在D.52解析：选D ∵x >0，∴f (x )＝4－x －12x 2＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋12x 2≤4－33x 2·x 2·12x 2＝4－32＝52，当且仅当x 2＝x 2＝12x 2，即x ＝1时等号成立，故f (x )的最大值为52. 4．已知a >b >c ，求a －c －1b 2－ab ＋c (a －b )的最小值．解：由a >b >c ，得a －b >0，b －c >0， 则a －c －1b 2－ab ＋c (a －b )＝(a －b )＋(b －c )＋1(a －b )(b －c )≥33(a －b )·(b －c )·1(a －b )(b －c )＝3，当且仅当a －b ＝b －c ＝1(a －b )(b －c )时等号成立，所以当a －b ＝b －c ＝1(a －b )(b －c )时，a －c －1b 2－ab ＋c (a －b )取得最小值3.用平均不等式解应用题[例3] 一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr2. 这里k 是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？[思路点拨] 根据题设条件建立r 与θ的关系式→将它代入E ＝k sin θr2→得到以θ为自变量，E 为因变量的函数关系式 →用平均不等式求函数的最值→获得问题的解 [解] ∵r ＝2cos θ，∴E ＝k ·sin θcos 2θ4⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2. ∴E2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k 232·(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ≤k 232·⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108.当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ时取等号， 即tan 2θ＝12，tan θ＝22.∴h ＝2tan θ＝2， 即h ＝2时，E 最大．本题获解的关键是在获得了E ＝k ·sin θcos 2θ4后，对E 的表达式进行变形求得E 的最大值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解．5．已知圆锥的底面半径为R ，高为H ，求圆锥的内接圆柱体的高h 为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个最大的体积．解：设圆柱体的底面半径为r ，如图，由相似三角形的性质可得H －h H ＝rR， ∴r ＝RH(H －h )．∴V 圆柱＝πr 2h ＝πR 2H2(H －h )2h (0<h <H )．根据平均不等式可得V 圆柱＝4πR 2H 2·H －h 2·H －h 2·h ≤4πR 2H 2⎝ ⎛⎭⎪⎫H 33＝427πR 2H .当且仅当H －h 2＝h ， 即h ＝13H 时，()V 圆柱max ＝427πR 2H .1．设x >0，则y ＝x ＋4x2的最小值为( )A ．2B ．2 2C ．3 2D ．3解析：选D y ＝x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3·3x 2·x 2·4x 2＝3，当且仅当x 2＝4x2，即x ＝2时取“＝”号．2．设x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg 6] B ．(－∞，3lg 2] C ．[lg 6，＋∞)D ．[3lg 2，＋∞)解析：选B ∵lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )， 而xyz ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y ＋z 33，∴lg(xyz )≤lg 8＝3lg 2， 当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，等号成立．3．若实数x ，y 满足xy >0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C xy ＋x 2＝12xy ＋12xy ＋x 2≥3 312xy ·12xy ·x 2＝3 314(x 2y )2＝3，当且仅当12xy ＝x 2，x 2y ＝2，即x ＝1，y ＝2时取“＝”号． 故xy ＋x 2的最小值为3. 4．已知a ，b ，c ∈R ＋，x ＝a ＋b ＋c3，y ＝3abc ，z ＝a 2＋b 2＋c 23，则x ，y ，z 的大小关系是( )A ．x ≤y ≤zB ．y ≤x ≤zC ．y ≤z ≤xD ．z ≤y ≤x解析：选B ∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b ＋c3≥3abc ， ∴x ≥y ，又x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac9，z 2＝3a 2＋3b 2＋3c 29，∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， ∴3a 2＋3b 2＋3c 2≥(a ＋b ＋c )2， ∴z 2≥x 2，∴z ≥x ，即y ≤x ≤z .5．设0<x <1，则x (1－x )2的最大值为 ________. 解析：∵0<x <1，∴1－x >0. 故32x (1－x )(1－x ) ≤2x ＋(1－x )＋(1－x )3＝23.∴x (1－x )2≤427，当且仅当x ＝13时取等号．答案：4276．设x ，y ，z 均大于0，且x ＋3y ＋4z ＝6，则x 2y 3z 的最大值为________．解析：∵6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x 2＋y ＋y ＋y ＋4z ≥66x 2y 3z .∴x 2y 3z ≤1，当且仅当x2＝y ＝4z 时取“＝”号．∴x 2z 3z 的最大值为1. 答案：17．设三角形三边长为3,4,5，P 是三角形内的一点，则P 到该三角形三边距离乘积的最大值是________．解析：设P 到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x ，y ，z ，三角形的面积为S . 则S ＝12(3x ＋4y ＋5z )，又∵32＋42＝52，∴这个直角三角形的面积S ＝12×3×4＝6.∴3x ＋4y ＋5z ＝2×6＝12.∴333x ·4y ·5z ≤3x ＋4y ＋5z ＝12.∴(xyz )max ＝1615.当且仅当x ＝43，y ＝1，z ＝45时等号成立．答案：16158．设a ，b ，c ∈R ＋，求证： (a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴2(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥ 33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )>0.1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c ＞0， ∴(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．9．若θ为锐角，求y ＝sin θ·cos 2θ的最大值． 解：y 2＝sin 2θ·cos 2θ·cos 2θ ＝12·2sin 2θ(1－sin 2θ)·(1－sin 2θ) ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝427. 当且仅当2sin 2θ＝1－sin 2θ， 即sin θ＝33时取等号． 此时y max ＝239.10．已知某轮船速度为每小时10千米时，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和最小．解：设船速为v 千米/小时，燃料费为A 元/小时．则依题意有A ＝k ·v 3，且有30＝k ·103，∴k ＝3100.∴A ＝3100v 3.设每千米的航行费用为R ，则需时间为1v小时，∴R ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫3100v 3＋480＝3100v 2＋480v ＝3100v 2＋240v ＋240v ≥333100v 2·240v ·240v ＝36.当且仅当3100v 2＝240v ，即v ＝20时取最小值．∴轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行费用总和最小．。
2019版高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一第3课时三个正数的算术_几何平均不等式学案新人教A版选修4_5
(2) 应用平均不等式定理，要注意三个条件“一正，二定，三相等”同时具备时，方可取得
最值， 其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，
如：配系
数、拆项、分离常数、平方变形等．
跟踪训练 1
求函数
y＝
(1
－3x)
2
·
x
1 0＜ x＜ 3
的最大值．
解
y＝
(1
－
3x)
2·
1 x＝6·(1
a＋ b＋c 3
答案
3 ≥ abc.
梳理 (1) 三个正数的算术—几何平均不等式
( 定理 3)
a＋ b＋ c 3 如果 a， b， c∈ R＋，那么 3 ≥ abc，当且仅当 a＝ b＝ c 时，等号成立．
(2) 基本不等式的推广
对于 n 个正数 a1，a2，…， an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即
3
3
证明 ∵1＋ x＋ y≥３ xy＞ 0,1 ＋ x＋ z≥３ xz＞ 0，
3 1＋ y＋ z≥３ yz＞ 0，
3 ∴(1 ＋ x＋ y)(1 ＋ x＋z)(1 ＋ y＋ z) ≥27
xyz 2.
又∵ xyz＝ 1，
∴(1 ＋ x＋ y)(1 ＋ x＋z)(1 ＋ y＋ z) ≥27，
当且仅当 x＝ y＝ z＝1 时，等号成立．
x－
1)
＋
x－1
2＋ 1
31
1
4
≥3
2 x－1 ·2 x－ 1 · x－ 1 2＋ 1＝ 4，
1
1
4
当且仅当 2( x－ 1) ＝2( x－ 1) ＝ x－ 1 2，
即 x＝ 3 时等号成立．即 ymin＝ 4.
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.6三个正数的算术_几何平均不等式二课后导练新人教A版选修
1.1.6 三个正数的算术—几何平均不等式（二）课后导练基础达标1下列不等式的证明过程正确的是( )A.若a、b∈R,则=2B.若x、y是正实数,则lgx+lgy≥C.若x是负实数,则x+=4D.若a、b∈R且ab<0,则=-2解析:只有D正确.∵ab<0,∴>0.>0∴.∴A、B、C三个选项忽视了各项为负值的情形.答案:D2函数y=的最小值是_____________.解析:y=,设t=≥2,则y=t+在［2,+∞)上是增函数.∴y min=2+.答案:3设a、b∈R,已知命题p:a=b;命题q:()2≤.则p是q成立的…( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:命题p:a=b是命题q:()2≤成立的充分不必要条件.故选B. 答案:B4函数y=x(1-3x)(0<x<)的最大值是…( )A. B.C.0D.无最大值解析:y=·3x·(1-3x)≤·()2=,即y max=.此时3x=1-3x x=.答案:B5如果x2+xy+y2=1(x、y∈R),那么n=x2+y2适合的条件是( )A.0<n≤1B.2≤n≤3C.n≥2D.≤n≤2解析:令y=mx,于是x2+mx2+m2x2=1,∴x2=.∴x2+y2=.∵m+≥2或m+≤-2,∴≤n≤2.答案:D综合应用6已知m=a+(a>2),n=(x<0),则m、n的大小关系是________.解析:∵a>2,x<0,∴a-2>0,x2-2>-2.又m=a-2++2≥4(当且仅当a=3时取等号),n=<()-2=4,∴m≥4,n<4.∴m>n.答案:m>n。
高中数学 1.1.3 三个正数的算术 几何平均不等式课件 新人教A版选修45
【分析】 (1)目标函数是积的形式，应构造和为定值．sinθ ＋cos2θ 不为定值，联想到 sin2θ＋cos2θ＝1，可考虑 y2＝sin2θcos4θ ＝12·2sin2θ·cos2θ·cos2θ 从而可解．
(2)依据 x2y3z 中 x2 要出现两个 x，y3 要出现 3 个 y，各项系 数依“相等”考虑．可拆项变为“x＋3y＋4z＝2x＋2x＋y＋y＋y ＋4z”．
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2．基本不等式的推广 对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它 们的几何平均，即a1＋a2＋n …＋an________n a1a2…an，当且仅 当________时，等号成立.
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答
1.(1)≥3abc
a＝b＝c
3 (2) abc
a＝b＝c
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2．应用均值不等式应注意的条件 用均值不等式求函数的最大(小)值，像用基本不等式求最 值一样，三个必要条件一定要满足，一正(各项的值为正，可在 题设中找到)、二定(各项的和或积为定值，这往往需要变形， 凑出和或积为定值)、三相等(即取等号的条件，只要验证就行 了)．在这三个条件中，定值决定着均值不等式应用的可能性， 它需要一定的灵活性和变形技巧，因此，这是解题成功的关键 也是难点．
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【变式训练 2】 (1)实数 x，y 满足 xy>0，且 x2y＝4，求 xy＋x2 的最小值．
(2)已知 x，b，c∈R＋，求ab＋bc＋acba＋bc＋ac的最小值．
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解 (1)∵xy>0，x2y＝4， ∴y＝x42>0，x>0. ∴xy＋x2＝x·x42＋x2＝4x＋x2 ＝2x＋2x＋x2≥3 3 2x·2x·x2＝33 4. 当且仅当 2x＝x2，即 x＝3 2时， xy＋x2 取得最小值 33 4.
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a b c b c a 2．已知 a，b，c>0，则(b＋c ＋a)(a＋b＋c )≥____________.
a b c b c a 解析：(b＋ c＋a)(a＋b＋ c ) bc ac ab a2 b2 c2 ＝3＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＋bc＋ca＋ab a b c 6 bc ac ab a2 b2 c2 ≥3＋6 · · · · · ＝9. a2 b2 c2 bc ca ab 当且仅当 a＝b＝c 时取等号．
2．已知 x，y∈R＋且 x2y＝4，试求 x＋y 的最小值及达到最小值时 x、y 的值．
3 1 3 1 1 1 解析：∵x，y∈R＋且 x2y＝4，∴x＋y＝ x＋ x＋y≥3 x2 y ＝ 3 ×4＝3， 2 2 4 4 x x 当且仅当 ＝ ＝y 时等号成立． 2 2 又∵x2y＝4. ∴当 x＝2，y＝1 时，x＋y 取最小值 3.
3 三个正数的算术几何平均不பைடு நூலகம்式
考
纲
定
位
重
难
突
破
重点：1.了解三个正数的算术－几何 1.理解定理3、定理4，会用两个定理 平均不等式．
解决函数的最值或值域问题．
2.能运用三个正数的算术－几何平均 不等式解决简单的实际问题.
2.会用平均不等式求一些特定
函数的最大(小)值． 难点：会用不等式解决实际中的应用 问题.
1．已知
1 1 1 a，b，c∈R＋，证明：a2＋b2＋c2(a＋b＋c)2≥27.
3 证明：因为 a，b，c∈R＋，所以 a＋b＋c≥3 abc>0. 所以(a＋b＋c) ≥9 a b c .
2
3
2 2 2
3 1 1 1 1 又 2＋ 2＋ 2≥3 >0， a b c a2b2c2 1 3 2 2 2 · 9 a b c ＝27. a2b2c2
答案：9
1 3．函数 y＝x＋ 2(x>0)的最小值为________． 2x
1 x x 1 解析：∵x>0，y＝x＋ 2＝ ＋ ＋ 2≥ 2x 2 2 2x 3 x x 1 3 3 × × ＝ ， 2 2 2x2 2 1 3 ∴函数 y＝x＋ 2的最小值为 . 2x 2 3 答案： 2
探究一 [例 1]
1 1 1 9 ＋ ＋ ∴(a＋b＋c)a＋b b＋c a＋c≥ . 2
3
当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
三个正数的算术－几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证 出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证 明， 只是在具备条件时， 直接应用该定理会更简便． 若不直接具备“一正、 二定、 三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明． 连续多次使用平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致．
a1a2„an，当且仅当a1＝a2＝„＝an 时，等号成立．
[双基自测] a b c 1．已知 a，b，c 为正数，则b＋c ＋a有( A．最小值 3 C．最小值 2 )
B．最大值 3 D．最大值 2
abc b· c· a＝3，故选 A.
a b c 解析：∵a，b，c∈R＋，∴b＋c ＋a≥3
答案：A
探究三 [例 3]
平均不等式的实际应用
如图所示，在一张半径是 2 米的圆桌的正中央上空挂一盏
电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得 太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一 点处的亮度 E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦 sin θ 成正比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 E＝k 2 ， r 这里 k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度 h，才能 使桌子边缘处最亮？
01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理] 一、三个正数的算术—几何平均不等式 1．如果 a，b，c∈R＋，那么 a3＋b3＋c3≥ 3abc，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立． a＋b＋c ≥ 3 R 2．定理 3：如果 a，b，c∈ ＋，那么 abc，当且仅当 a＝b＝c 时， 3 等号成立．即：三个正数的算术平均 不小于 它们的几何平均． 二、基本不等式的推广 对于 n 个正数 a1，a2，„，an，它们的算术平均 不小于 a1＋a2＋„＋an ≥ n n 它们的几何平均，即
用平均不等式求最值的条件 (1)利用三个正数的算术—几何平均不等式求最值， 可简记为“积定和最小， 和定 积最大”． (2)应用平均不等式，要注意三个条件即“一正、二定、三相等”同时具备时，方 可取得最值．其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定 的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等． (3)当不具备使用平均不等式的条件时，求函数的最值可考虑利用函数的单调性．
用平均不等式证明不等式
设 a，b，c∈R＋，求证：
1 1 1 9 ＋ ＋ (a＋b＋c)a＋b b＋c a＋c≥ . 2
[证明]
∵a，b，c∈R＋，
∴(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a) ≥3 a＋bb＋cc＋a>0， 3 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ≥3 · · >0， a＋b b＋c a＋c a＋b b＋c a＋c
y＝(x－1)2(3－2x) x－1＋x－1＋3－2x 3 1 3 1 ＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤( ) ＝( ) ＝ ， 3 3 27 当且仅当 x－1＝x－1＝3－2x 等号成立， 4 3 1 即 x＝ ∈(1， )时，ymax＝ . 3 2 27
4 1 1 4 (2)∵x>1，∴x－1>0，y＝x＋ ＝ (x－1)＋ (x－1)＋ ＋1≥ 2 x－12 2 x－12 3 1 1 4 1 1 4 3 x－1·x－1· 2＋1＝4，当且仅当 (x－1)＝ (x－1)＝ 2， 2 2 2 2 x－1 x－1 即 x＝3 时等号成立，即 ymin＝4.
3 1 1 1 2 所以a2＋b2＋c2(a＋b＋c) ≥3
当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
1 1 1 所以a2＋b2＋c2(a＋b＋c)2≥27.
探究二 [例 2]
2
用平均不等式求最值
3 (1)求函数 y＝(x－1) (3－2x)(1<x< )的最大值； 2
4 (2)求函数 y＝x＋ (x>1)的最小值． x－12 3 [解析] (1)∵1<x< ，∴3－2x>0，x－1>0， 2