2018年高考广东卷理科数学试题及答案解析版 精品

2018年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A
数学（理科）
一 、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 设i 为虚数单位，则复数
56i
i
-= A 6+5i B 6-5i C -6+5i D -6-5i
2 设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则CuM= A .U B {1,3,5} C {3,5,6} D {2,4,6}
3 若向量BA
=（2,3），CA =（4,7），则BC =
A （-2,-4）
B (3,4)
C (6,10)
D (-6,-10)
4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是 A.y=ln （x+2） B.y=-1x + C.y=（
12）x D.y=x+1x
5.已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≤112
y x y x y ，则z=3x+y 的最大值为
A.12
B.11
C.3
D.-1
6,某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
A ．12π B.45π C.57π D.81π
7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是 A.
49 B. 13 C. 2
9
D. 19
8.对任意两个非零的平面向量α和β，定义β
ββ
αβα∙∙=
∙。

若平面向量a ，b 满足|a|≥|b|＞0，
a 与
b 的夹角⎪⎭⎫
⎝
⎛0,
∈4πθ，且a ·b 和b ·a 都在集合⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈Z n 2中，则b a ∙= A ．
12 B.1 C. 32 D. 5
2
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

（一）必做题（9-13题）
9.不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____。

10. 6
21⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+x x 的展开式中x ³的系数为______。

（用数字作答）
11.已知递增的等差数列{a n }满足a 1=1，423-=a a ，则a n =____。

12.曲线y=x 3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 。

13.执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为 。

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14，（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别
为)(为参数t t y t x ⎩⎨⎧==和)(sin 2cos 2为参数θθ
θ
⎪⎩⎪⎨⎧==y x ，则曲线C 1与C 2的交点坐标为_______。

15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠
ABC=30°，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA=_____________。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16.（本小题满分12分）
已知函数）6
x
2cos（wx f（x）+=，（其中ω＞0，x ∈R ）的最小正周期为10π。

（1）求ω的值；
（2）设，
）（，）（，，，17
16
65-5f 56-355a f 20==+
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈πβππβα求cos （α＋β）的值。

17. （本小题满分13分）
某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。

（1）求图中x 的值；
（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求得数学期望。

18.（本小题满分13分）
如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE 。

（1） 证明：BD ⊥平面PAC ；
（2） 若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A 的正切值； 19. （本小题满分14分）
设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足1-22S 1
n 1+=++n n a ，n ∈N ﹡,且a 1，a 2+5，a 3成等差数列。

（1） 求a 1的值；
（2） 求数列{a n }的通项公式。

（3） 证明：对一切正整数n ，有
2
3
1...1121<+++n a a a . 20.（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e=23
，且椭圆C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；
（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由。

21.（本小题满分14分）
设a ＜1，集合B A D ,06a a)x (13-2,02
⋂=>++∈=>∈=x R x B x R x A
（1）求集合D （用区间表示）
（2）求函数ax f 6a)x (13-2x (x)2
3++=在D 内的极值点。

2012年高考广东理科数学试题 从化中学：陈飞林 1． 难度略有下降，突出基础无难题。

2012年高考广东省理科数学题，总体来看难度略有下降，基础得分
题约103分（1-7题、9-15题，16-18题），基本功考查题约47分（8题、19题、20题、21题），无难
题，是近几年来考题最简单的一年。

2． 代数计算量大，方法技能做文章。

如16题角的计算，19题通项公式的求法，20题解析几何向函数不等式的转化。

21题的一元二次函数的分类讨论。

3． 知识结构隐定，创新题中有新意。

在整个试卷中，大体保持了近几年广东试题的命风格，如填空题与2011年结构和形式基本一致，并且比2011年填空题简单。

这一点为新一年的高考复习提供了一些有价值的参考信息。

第8题体现了较大创新，学生要有很好的理解能力和迁移能力以及推理能力（有点竞赛味）。

第19题数列问题隐中有新，看似复杂，其实简单一反近几年广东高考题，数列题的常规命题方式，命题思想更理性，有人味。

4． 难怪偏题减少，基本功考查加强。

整卷少了象2007年理20题、2008年理21题、2010年理21题、2011年理20题21题这样的怪偏题，是一份很有诚意的考试题，但是象20题、21题也考查了学生的基本功，对于平时只重难、偏、怪题的学生来说，并不是好事，虽然题难度不大，但要把分数拿到也非易事，对于数学复习来说，无疑释放了一个重要信息——就是基本功扎实是非常重要的。

也就是不管高考题千变万变，我们的复习要以不变应万变，“考点和知识考查是不变的”。

5． 中间层面高兴，尖优生欲哭无泪。

整卷由于只顾考生的得分率和平均分，迎合社会的好评，因而少了
区分度较高的题，中间学生来说是该大欢喜，但对于高层学生来说就毫无优势。

2012年广东省理科数学详细答案
一 、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1 设i 为虚数单位，则复数
56i
i
-= A 6+5i B 6-5i C -6+5i D -6-5i
解：2
2565665i i i i i i
--=-=-+，故选C 2 设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则C M = A .U B {1,3,5} C {3,5,6} D {2,4,6}
选C
3 若向量BA
=（2,3），CA =（4,7），则BC =
A （-2,-4）
B (3,4)
C (6,10
D (-6,-10)
解：(2,3)(4,7)(2,4)BC BA AC =+=-=--
，故选 A
4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是 A.y=ln （x+2） B.y=-1x + C.y=（12）x D.y=x+1x
解：A
5.已知变量x ，y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
，则z=3x+y
的最大值为 A.12 B.11 C.3 D.-1
解：画约束区域如右，令z=0得3y x =-，化目标函数为
斜截式方程：3y x z =-+得，当3,2x y ==时
max 11z =，故选B
【评】1-5题是送分题，确是宽和仁厚的题。

6,某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
A ．12π B.45π C.57π D.81π
解：几何体直观图如右，几何体由一个圆柱和一个同底的圆锥构成。

圆锥的高23
1534PO =-=， 14594573
V V V πππ=+=+⨯⨯=圆柱圆锥 故选C
【评】此题难度圆锥的高如何求和由三视图恢复直观图这两个点，有少量的学生在这一题上会丢分。

7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 A.
49 B. 13 C. 29 D. 19
解：设个位数与十位数分别为,x y ，则21,1,2,3,4,5,6,7,8,9x y k k +=-=
所以,x y 分别为一奇一偶，
第一类x 为奇， y 为偶数共有5525C C ⨯=个数 第一类x 为偶， y 为厅数共有4520C C ⨯=个数
两类共有45个数，其中个位是0十位数是奇数的两位有10，30，50，70，90这5个数 所以其个位数为0的概率是
51
459
=，选D 。

【评】此题看似简单，但知识考查点却比较多，又涉及到分类与分步混合问题，对计数原理及排列组合学得不好的同学，难得分数，因而本题就成了一个得分率较低的题了，从而也是有区分度的题。

y =2
y =x -1
x +y =1
y =-3x
B(3,2)C(-1,2)
2
A(1,0)X
X
C
D B
O 1
A
P
斜截式方程：y x z =-+得，当x y ==时
11z =，故选B
【评】1-5题是送分题，确是宽和仁厚的题。

6,某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
A ．12π B.45π C.57π D.81π
解：几何体直观图如右，几何体由一个圆柱和一个同底的圆锥构成。

圆锥的高23
1534PO =-=， 14594573
V V V πππ=+=+⨯⨯=圆柱圆锥 故选C
【评】此题难度圆锥的高如何求和由三视图恢复直观图这两个点，有少量的学生在这一题上会丢分。

7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是 A.
49 B. 13 C. 29 D. 19
解：设个位数与十位数分别为,x y ，则21,1,2,3,4,5,6,7,8,9x y k k +=-=
所以,x y 分别为一奇一偶，
第一类x 为奇， y 为偶数共有11
5525C C ⨯=个数 第一类x 为偶， y 为厅数共有11
4520C C ⨯=个数
两类共有45个数，其中个位是0十位数是奇数的两位有10，30，50，70，90这5个数 所以其个位数为0的概率是
51
459
=，选D 。

【评】此题看似简单，但知识考查点却比较多，又涉及到分类与分步混合问题，对计数原理及排列组合学得不好的同学，难得分数，因而本题就成了一个得分率较低的题了，从而也是有区分度的题。

C
D
B
O 1
A
P
O
没有变化题，看命题人真是好人。

11.已知递增的等差数列{}n a 满足132,4a a a =-，则_____________n a =。

解：
【评】此题与2011年广东理科第11题“等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和。

若141,0k a a a =+=，则k =____________”比较就是一道没有变化题，看命题人真是好人。

12.曲线y=x 3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 。

解：点（1，3）在.曲线y=x 3-x+3上。

231,2y x k '=-∴=
由点斜式方程可得点（1，3）处的切线方程为：21y x =+
【评】此题与2011年广东理科第12题“．函数2()31f x x x =-+在x =____________处取得极小值．”比较就是一道没有变化题，看命题人真是好人。

13.执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8， 则输出s 的值为 。

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14，（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为
,()x t t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数和2cos ,()2sin x y θ
θθ⎧=⎪⎨
=⎪⎩为参数，则曲线C 1与C 2的交点坐标为_______。

解：曲线C 1的普通方程为2
0x y =≥，C 2的普通方程为2
2
2x y +=，联立222
02x y x y ⎧=≥⎨+=⎩
解得1
1
11
x x y y ⎧==-⎧⎨
⎨
==⎩⎩或则曲线C 1与C 2的交点坐标为（-1，1）或（1，1）
15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA=_____________。

解：连OA 得∠AOP=60°，所以OP=2，PC=1 所以2(2)13,3PA PC PC PA =⨯+=⨯∴=
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16.（本小题满分12分）
已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，（其中ω＞0，x ∈R ）的最小正周期为10π。

（1）求ω的值；
（2）设55516
,[0,
],(5),(5)236617
f f π
ππαβαβ∈+
=--=，求cos （α＋β）的值。

解：（1）,201015
T ππωω===> （2）由（1）得1
()2cos 5
6f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭，
6515(5)2cos[(5)]2cos()2sin 535362
f ππππ
αααα-
=+=++=+=-
34sin ,cos 55
αα∴==
16515815(5)2cos[(5)]2cos ,cos ,sin 1765661717
f πππβββββ=-=-+=∴== ()4831513
cos cos cos sin sin 51751785
αβαβαβ∴+=-=⨯-⨯=-
【评】此题与2011年广东理科第16题“．已知函数f (x )=2sin(31x -6π),x ∈R..（1）求f (4
5π
)的值；（2）
设,αβ∈[0,2π]，(3f α+2
π)=1310
，(32)f βπ+=56，求cos()αβ+的值。

”比较就是一道没有变化题，
也前三年三角考试题变化不大，但是三角函数如此命题看似做好人。

其实在“角上还是做足了功夫”，如果对角的观察不细，或是有心理压力，此题也不好得分。

P
O
A B
C
17. （本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。

（1）求图中x 的值；
（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，
求得数学期望。

解：（1）图中x 所在组为[80，90]即第五组
5110(0.0540.0130.006)10.820.18,0.018f x =-++⨯=-=∴=
（2）成绩不低于80分的学生所占的频率为10(0.0180.006)0.24f =+= 所以成绩不低于80分的学生有：50500.2412f =⨯=人 成绩不低于90分的学生人数为：50100.0063⨯⨯= 所以为的取值为0，1，2
292126(0)11C P C ξ===，11
932129(1)22C C P C ξ⨯===，232
121
(2)22
C P C ξ=== 所以为的分布列为：
ξ
0 1 2
P
12
22 922 122
所以为的数学期望()0121921111
22222
E ξ⨯+⨯+⨯===
18.（本小题满分13分）
如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形， PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE 。

（1） 证明：BD ⊥平面PAC ；
（2） 若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A 的正切值；
（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，,BD ABCD BD PA ⊆∴⊥平面 又因为PC ⊥平面BDE ，,BD BD PC ⊆∴⊥平面BDE
而PA PC P = ，所以：BD ⊥平面PAC ；
（2）由（1）BD ⊥平面PAC ，所以BD ⊥AC ，又四边形ABCD 为矩形 所以四边形ABCD 是正方形。

设AC 交BD 于O 点，因为PC ⊥平面BDE ，所以BEO ∠即二面角B-PC-A 的平面角 1,2,22,2
P A A D A C B O O C ==∴=== 2213PC PA AC ∴=+=， 又2
13
OE CO OE PA PC =
==
在直角三角形BEO 中，2
tan 13213
BO
BEO EO
∠=
== 所以二面角B-PC-A 的正切值为13。

【评】2012年广东省立体几何考试题是实行新课程标准以来最简单的一年。

但是对于只会用坐标法同学来说，复杂的计算也会占用很多时间。

19. （本小题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和为S n ，满足11221,,n n n S a n N +*+=-+∈且123,5,a a a +成等差数列。

（1） 求1a 的值；
（2） 求数列{}n a 的通项公式。

（3） 证明：对一切正整数n ，有
123111132
n a a a a ++++< . 解：（1）1
122
1,,n n n S a n N +*+=-+∈ 又123,5,a a a +成等差数列，
12112322133
231
227521019
a a a a a a a a a a a =-=⎧⎧⎪⎪
+=-⇒=⎨⎨⎪⎪∴+=+=⎩⎩
(2) 1
122
1,n n n S a ++=-+ 1221,
n
n n S a -∴=-+
（2）假设点M （m,n ）存在，则有221m n +>
22
1||21AB m n =-+ 222222*********(1)2o A B S m n m n m n m n ∆∴=
-=-++++ 22
2222
111,01,10m n m n m n +>∴<<∴->++ 当且仅当2222111m n m n =-++即2221m n +=>时oAB S ∆有最大值12 联立222
2223221332m m n m n n ⎧=⎪⎧+=⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩ 所以所求M 点的坐标为32323232(,),(,),(,),(,)22222222
---- 【评】2012年广东省理科解析几何题，体现了与广州市的水平测试题的有效结合，与2011年高二水平测试析其相似。

21.（本小题满分14分）
设1a <，集合2{|0},{|23(1)60},A x R x B x R x a x a D A B =∈>=∈-++>=
（1）求集合D （用区间表示）
（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点。

解：（1）设2()23(1)6g x x a x a =-++，其对称轴方程为：3(1)4x a =
+ 当1a ≤-时，3(1)04
x a =+≤，(0)60g a =<，方程2()23(1)60g x x a x a =-++= 有解为22123(1)93093(1)9309044
a a a a a a x x +--+++-+=<<= 223(1)9309(,)(,)4
a a a D x ++-+∴=+∞=+∞ 当10a -<≤时，3(1)04
x a =+>，(0)60g a =<，方程2()23(1)60g x x a x a =-++= 有解为22123(1)93093(1)9309044
a a a a a a x x +--+++-+=<<= 223(1)9309(,)(,)4
a a a D x ++-+∴=+∞=+∞
当103a <≤时，3(1)04
x a =+>，(0)60g a =<，方程2()23(1)60g x x a x a =-++= 有解为22123(1)93093(1)9309044
a a a a a a x x +--+++-+<=<=
22123(1)93093(1)9309(0,)(,)(0,)(,)44
a a a a a a D x x +--+++-+∴=+∞=+∞ 当113
a <<时，方程2()23(1)60g x x a x a =-++=的判别式293090a a ∆=-+< (0,)D ∴=+∞
综上所述：当0a ≤时，23(1)9309(,)4
a a a D ++-+=+∞ 当103a <≤时，223(1)93093(1)9309(0,)(,)44
a a a a a a D +--+++-+=+∞ 当113
a <<时， (0,)D ∴=+∞ （2）2()6[[(1)]6()(1)f x x a x a x a x '=-++=-- ，又1a <，
32()23(1)6f x x a x ax ∴=-++的极值点为,1a
当0a ≤时， 只须考虑23(1)930914
a a a ++-+<，解得13a >矛盾。

当103a <≤时，23(1)930914
a a a +--+< 显然成立，23(1)930914a a a ++-+<不成立 若23(1)93094
a a a a +--+<成立，则239309a a a ->-+ 解得1(3)0(0,]3a a a -<⇒∈，
32()23(1)6f x x a x ax ∴=-++在D 内有一个极值点a 当113
a <<时，(0,)D ∴=+∞， 32()23(1)6f x x a x ax ∴=-++在D 内有肉个极值点a 和1。

【评】将三次多项函数与二次结合，并考查分类讨论思想和数形结合思想，但代数推理繁，增加运算难度。