(新)江苏省南京市2017_2018学年高一数学上学期期中试题
江苏省南京市金陵中学2017-2018学年度第一学期高一数学期中考试 卷解析版
值范围是 【答案】 ,3 ；
．
【解析】 a 2 时，在 x 1 时， f x 是开口向下的二次函数，对称轴 x 因此在 x 1 时存在 x1 , x2 ；
a 1， 2
a 2 时， f x 在 ,1 递增，值域 , a 1 ，在 1, 递增，值域 3a 7, ，
f 5 f 5 lg 5 0 ， f 4 f 4 lg 4 1 0 ，则 f x 在 4,5 ， 5, 4 有零点，
．
则 k 的值的集合为 5, 4 ． 12. 函数 f x 在 0, 是增函数， g x f x ，若 g lg x g 1 ，则 x 的取值范围是
1 【答案】 0, 10
．
10, ；
1 或 x 10 ． 10
【解析】 g x 是偶函数，在 0, 是增函数，则 lg x 1 ，则 lg x 1 或 lg x 1 ，则 0 x
x 2 ax, x 1 13. 已知函数 f x ，若存在 x1 , x2 R 且 x1 x2 ，使得 f x1 f x2 成立，则实数 a 的取 3ax 7 , x 1
5.
个．
【答案】 8 ； 【解析】 f 1 0 或 1 ， f 0 0 或 1 ， f 1 0 或 1 ，映射共 23 8 个．
6.
1 若幂函数 f x 的图象经过点 2, ，则 f 6 的值为 4
．
【答案】
1 ； 36 1 1 ，则 2 ，则 f 6 62 ． 36 4
【解析】设 f x x ，则 2
2017-2018高一数学上学期期初试题带答案江苏启东中学
2017-2018高一数学上学期期初试题（带答案江苏启东中学）江苏省启东中学2017－2018学年度第一学期期初考试高一数学试卷【满分160分考试时间120分钟命题人：杨黄健】一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．不等式的解为．2．分解因式：＝．3．函数f(x)＝x＋1＋12－x的定义域是；4．化简：（式中字母都是正数）＝__________．5．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象过点(2,1)，则f(x)的值域为________．6．不等式的解为．7．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个根大于1、另一个根小于1，则实数a的取值范围为．8.已知集合M{2，3，5}，且M中至少有一个奇数，则这样的集合共有________个．9.若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且BA，则m的取值范围为．10.已知集合A＝xax－1x－a0，且2∈A，3A，则实数a的取值范围是________．11．已知f（x＋1x）＝x3＋1x3，则f（x）；12．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2，2]，f(mx－2)＋f(x)0恒成立，则x的取值范围为____________．13．已知函数在区间上的最大值与最小值的差是1，则实数的值为．14.函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数，②存在[a，b]D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]，那么y＝f(x)叫做闭函数，现有f(x)＝x＋2＋k 是闭函数，那么k的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本题满分14分）已知、是一元二次方程的两个实数根．（1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（2）求使的值为整数的实数的整数值．16.（本题满分14分）已知集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若A∪B＝A，求实数a，b满足的条件．17.（本题满分15分）(1)求函数f(x)＝2x＋41－x的值域；(2)求函数f(x)＝5x＋4x－2的值域．(3)函数f(x)＝x2－2x－3,x∈(－1,4]的值域．18.（本题满分15分）某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100台需要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500台，已知销售收入函数为：H(x)＝500x－12x2，其中x是产品售出的数量，且0≤x≤500.(1)若x为年产量，y为利润，求y＝f(x)的解析式；(2)当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？19.（本题满分16分）函数是定义在上的奇函数,且．（1）确定函数的解析式；（2）用定义证明在上是增函数；（3）解不等式．20.（本题满分16分）已知函数f(x)＝1ax－1＋12x3(a0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)0在定义域上恒成立．2017年江苏省启东中学高一年级开学考试数学答案1.答案：2.答案：3.{x|x≥－1且x≠2}4.a2．5.[1,9]6.7.8.69.{m|m≤3}10.13，12∪(2，3]11.f（x）＝x3－3x12.－2，2313.或14.－94，－215.答案：（1）由≠0和△≥0＜0，∵，∴，∴，而＜0，∴不存在。
南京市2017~2018学年度第一学期期中考试·数学参考答案
(这是边文，请据需要手工删加)南京市2017～2018学年度第一学期期中考试数学参考答案1. {2，3}2. －1－i3. 35 4. 600 5.2或5 6. 12 7. －2 8. 2－1 9. －4 10. －1411. 9 12. －4 13. ⎝⎛⎦⎤0，1e ＋1 14. y＝22x15. (1) a ＋b ＝(sin x －1，3cos x ＋1)． 因为(a ＋b )∥c ，所以sin x －1＝3cos x ＋1，则sin x －3cos x ＝2， 可得2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2，故sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝1.因为x ∈[0，π]，所以x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，故x －π3＝π2，解得x ＝5π6.(2) 因为a ·b ＝12，所以－sin x ＋3cos x＝12，即sin x －3cos x ＝－12， 可得2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝－12，故sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝－14.因为⎝⎛⎫x ＋π6－⎝⎛⎭⎫x －π3＝π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3. 由x ∈[0，π]，可得x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，又sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝－14<0，则x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，0，故可得cos ⎝⎛⎭⎫x －π3>0. 因为sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3＋cos 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝1，所以cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝1－⎝⎛⎭⎫－142＝154.16. (1) 如图，连结OE.由四边形ABCD 是正方形知O 为BD 的中点．因为PD ∥平面ACE ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面ACE ＝OE ，所以PD ∥OE.在△PBD 中，PD ∥DE ，O 为BD 为中点，所以E 为PB 的中点．(2) 在四棱锥PABCD 中，AB ＝2PC ， 因为四边形ABCD 是正方形， 所以AC ＝2AB ＝2OC ，则AB ＝2OC ，所以PC ＝OC.在△CPO 中，PC ＝OC ，G 为PO 的中点，所以CG ⊥PO.因为PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以PC ⊥BD.因为四边形AC ⊥BD ，因为AC ，PC ⊂所以BD ⊥平面因为CG ⊂平面因为PO ，BD ⊂O ，所以CG ⊥平面17. (1) ＝DB 1＝h ，则AC ＝12(AB －h ＝AC·tan 60故V(x)＝Sh ＝694x 2(30－x)，0<x<30. (2) V′(x)＝94(60x x ＝20.当x ∈(0，20)30)时，V ′(x)>0，所以V(x)在(030)单调递减， 所以当且仅当x 值9 000. cm 时，容318. (1) 316， 所以3a 4－16a 2a 2＝43.所以椭圆C y 2＝1.(2) 设F 2(c ，0)0)，B(－x 1，－y 1)，故M ⎝⎛⎭⎫x 1－c 2，y 12①由题意，得→因为函数h(x)的最小值为－1e ，所以x ＝－1是不等式f(x)≤g(x)的解， 所以－1＋a ≤－1e ，即a ≤1－1e .故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，1－1e . (3) 因为h(x)＝g(x)，所以g(x)≥f(x)恒成立，即x e x ≥x 3－ax 对一切x ∈R 恒成立．令p (x )＝x 2－e x ，即p ′＝2x －e x ，p ″(x )＝2－e x ，当x >ln 2，p ″(x )<0；当x <ln 2，p ″(x )>0， 所以p ′(x )max ＝2ln 2－2<0，所以p (x )＝x 2－e x 在R 上单调递减． x e x ≥x 3－ax 对一切x ∈R 恒成立等价于 ①当x >0时，问题转化为a ≥p (x )在R 上恒成立；②当x ＝0时，不等式恒成立，则a ∈R ； ③当x <0时，问题转化为a ≤p (x )在R 上恒成立．因为p (x )＝x 2－e x 是R 上的单调减函数， 所以当x >0时，p (x )<p (0)＝－1，所以a ≥－1；当x <0时，p (x )>p (0)＝－1，所以a ≤－1.综上所述，a ＝－1.20. (1) 由g ⎝⎛⎭⎫－12－g(1)＝f(0)，得(－2b ＋4c)－(b ＋c)＝－3，故b 、c 所满足的关系式为b －c －1＝0. (2) 方法一：由b ＝0，b －c －1＝0，可得c ＝－1.方程f(x)＝g(x)，即ax －3＝－x －2，可转化为ax 3－3x 2＋1＝0在(0，＋∞)上有唯一解．令h(x)＝ax 3－3x 2＋1，则h′(x)＝3ax 2－6x ＝3x(ax －2)．当a ≤0时，h ′(x)<0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减．又h(0)＝1>0，h(1)＝a －2<0，h(x)在(0，＋∞)上连续，由零点存性定理，知h(x)在(0，1)内存在唯一零点，即h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点；当a>0时，令h′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2a ，所以h(x)在⎝⎛⎭⎫0，2a 上单调递减，在(2a ，＋∞)上单调递增，所以h(x)min ＝h ⎝⎛⎭⎫2a ＝1－4a 2. 若h ⎝⎛⎭⎫2a ＝0，即a ＝2，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)≥0，当且仅当x ＝2a 时，h(x)＝0，即h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零点；若h ⎝⎛⎭⎫2a >0，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)>0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上不存在零点；若h ⎝⎛⎭⎫2a <0，因为h(0)＝1>0，h ⎝⎛⎭⎫3a ＝1>0， 所以h(x)在⎝⎛⎭⎫0，2a 和⎝⎛⎭⎫2a ，3a 内各有一个零点，即函数h(x)的零点不唯一．综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪{2}．方法二：由方法一可知a ＝3x －1－x －3.令x －1＝t ，则由题意可得a ＝3t －t 3在(0，＋∞)上有唯一解．令h(t)＝3t －t 3(t>0)，则由h′(t)＝3－3t 2＝0，可得t ＝1，当0<t<1时，由h′(t)>0，可知h(t)在(0，1)上是单调增函数；当t>1时，由h′(t)<0，可知h(t)是在(1，＋∞)上是单调减函数，故当t ＝1时，h(t)取得最大值2； 当0<t<1时，h(t)>h(0)＝0， 所以f(x)＝g(x)在(0，1)无解； 当t>1时，因为h(3)＝0，所以当t>3时，h(t)<0，由零点存在性定理可知h(t)在(1，＋∞)只有一个零点．故当a ＝2或a ≤0时，方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)有唯一解．从而所求a 的取值范围是{a|a ＝2或a ≤0}．(3) 由b ＝1，b －c －1＝0，可得c ＝0. 由A ＝{x|f(x)>g(x)且g(x)<0}得ax －3>1x 且x<0，即ax 2－3x －1<0且x<0.当a>0时，A ＝⎝⎛⎭⎪⎫3－9＋4a 2a ，0；当a ＝0时，A ＝⎝⎛⎭⎫－13，0； 当a<－94时，A ＝(－∞，0)；当－94≤a<0时，A ＝(－∞，3＋9＋4a 2a )∪(3－9＋4a2a，0)． 数学附加题21. B. 由题意知M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋a 2b －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝4，2b －1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123－1.由|M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪123－1＝－7得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤172737－17. C. 因为ρ＝2cos θ－2sin θ， 即ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ， 所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y ＋222＝1， 所以圆心的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22，－22. 因为直线的普通方程为x －y ＋42＝0，所以圆心C 到直线l 距离是⎪⎪⎪⎪22＋22＋422＝5，故直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是52－12＝2 6.22. (1) 如图，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A(0，0，0)，B(0，3，0)，A 1(0，0，4)，B 1(0，3，4)，C 1(4，0，4)．设平面A 1BC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B →＝0，n 1·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.取z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以平面A 1BC 1的一个法向量为n 1＝(0，4，3)．同理可得平面BB 1C 1的一个法向量为n 2＝(3，4，0)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝1625.因为〈n 1，n 2〉∈[0，π]，所以二面角A 1BC 1B 1的正弦值为34125.(2) 假设存在．设D (x ，y ，z )是线段BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→，0≤λ≤1，则(x ，y －3，z )＝λ(4，－3，4)，所以x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ，所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)． 因为AD ⊥A 1B ，所以AD →·A 1B →＝0， 即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0，1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，此时BD BC 1＝λ＝925.23. (1) 从7个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有C 37＝35(种)取法．其中X ＝3的三角形如△ABF ，这类三角形共有6个，所以P(X＝3)＝6 35.(2)由题意，X的可能取值为3，223，3 3.其中X＝3的三角形如△ABF，角形共有6个；其中X＝2的三角形有两类，如△个)，△PAB(6个)，共有9个；其中X＝6的三角形如△PBD，角形共有6个；其中X＝23的三角形如△CDF 三角形共有12个；其中X＝33的三角形如△BDF。
江苏省南京一中2017-2018学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省南京一中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每题3分，共42分）1．设全集A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B=．2．函数f（x）=的定义域为．3．函数f（x）=a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点．4．幂函数y=f（x）的图象经过点，则其解析式是．5．设，则a，b，c的大小关系是．（按从小到大的顺序）6．lg=．7．设函数f（x）=则f[f（﹣1）]的值为．8．x2﹣3x+1=0，则=．9．设P和0是两个集合，定义集合P•Q={x|x∈P，且x≠Q}，如果P={x|log2x＜1}，Q={x||x ﹣2|＜1}，那么P•Q等于．10．若函数f（x）=log a（x+）是奇函数，则a=．11．不等式：|x﹣1|+2x＞4的解集是．12．已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0]时，总有＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是．13．已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是．14．设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．二、解答题（本大题共5小题，共58分）15．（10分）分解下列因式（1）5x2+6xy﹣8y2（2）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a．16．（10分）设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}（1）求集合A，B；（2）若集合C={x|2x+a＜0}，且满足B∪C=C，求实数a的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=a x﹣1（x≥0）的图象经过点（2，），其中a＞0，a≠1．（1）求a的值；（2）求函数f（x）=a2x﹣a x﹣2+8，x∈[﹣2，1]的值域．18．（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数为R（x）=，其中x是仪器的产量（单位：台）；（1）将利润f（x）表示为产量x的函数（利润=总收益﹣总成本）；（2）当产量x为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？19．（14分）设函数f（x）=x2﹣2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，求实数a的取值范围；（3）若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤8，求t的取值范围．2016-2017学年江苏省南京一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每题3分，共42分）1．设全集A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B={﹣1，0，1，2} ．【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】直接利用并集运算得答案．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B={0，1，2}∪{﹣1，0，1}={﹣1，0，1，2}．故答案为：{﹣1，0，1，2}．【点评】本题考查了并集及其运算，是基础的会考题型．2．函数f（x）=的定义域为[﹣2，3] ．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据二次根式的性质得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：﹣2≤x≤3，故函数的定义域是[﹣2，3]，故答案为：[﹣2，3]．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．3．函数f（x）=a x+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点（0，2）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据指数函数恒过定点（0，1），结合图象的平移变换确定结果．【解答】解：因为y=a x恒过定点（0，1），而y=a x+1是由y=a x沿y轴向上平移1个单位得到的，所以其图象过定点（0，2）．故答案为（0，2）【点评】本题考查了指数函数过定点的性质以及图象的平移变换．属于基础题．4．幂函数y=f（x）的图象经过点，则其解析式是f（x）=x﹣2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；函数的性质及应用．【分析】幂函数的一般形式是f（x）=xα，再利用图象经过点（2，），得f（2）=，可以求出α，问题解决．【解答】解：设幂函数为f（x）=xα，因为图象经过点（2，）∴f（2）==2﹣2，从而α=﹣2函数的解析式f（x）=x﹣2，故答案为：f（x）=x﹣2．【点评】本题考查了幂函数的概念，属于基础题．值得提醒的是准确把握幂函数的表达式的形式和理解函数图象经过某点的意义是解决本题的关键．5．（2010秋•南通期中）设，则a，b，c的大小关系是b＜a＜c．（按从小到大的顺序）【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题．【分析】由0=log41＜a=log43＜log44=1，b=log0.34＜log0.31=0，c=0.3﹣2=＞1，能判断a，b，c的大小关系．【解答】解：∵0=log41＜a=log43＜log44=1，b=log0.34＜log0.31=0，c=0.3﹣2=＞1，∴b＜a＜c，故答案为：b＜a＜c．【点评】本题考查对数值、指数值大小的比较，是基础题，解题地要认真审题，注意指数函安息、对数函数性质的灵活运用．6．lg=lg6+．【考点】对数的运算性质．【专题】转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：原式===lg6+．故答案为：lg6+．【点评】本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（2014秋•建湖县校级期中）设函数f（x）=则f[f（﹣1）]的值为4．【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】由函数f（x）=，知f（﹣1）=（﹣1）2+1=2，所以f[f（﹣1）]=f（2），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣1）=（﹣1）2+1=2，∴f[f（﹣1）]=f（2）=22+2﹣2=4，故答案为：4．【点评】本题考查分段函数的函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8．x2﹣3x+1=0，则=11．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】推导出x﹣=3，由此能求出x2+的值．【解答】解：∵x2﹣3x﹣1=0，∴x﹣=3，两边平方得：（x﹣）2=x2+﹣2=9，则x2+=11．故答案为：11．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质、运算法则的合理运用．9．设P和0是两个集合，定义集合P•Q={x|x∈P，且x≠Q}，如果P={x|log2x＜1}，Q={x||x ﹣2|＜1}，那么P•Q等于（0，1] ．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】根据对数函数的定义域及单调性求出集合P中的不等式的解集，求出集合Q中的绝对值不等式的解集，然后根据题中的新定义即可求出P﹣Q．【解答】解：由集合P中的不等式log2x＜1=log22，根据2＞1得到对数函数为增函数及对数函数的定义域，得到0＜x＜2，所以集合P=（0，2）；集合Q中的不等式|x﹣2|＜1可化为：，解得1＜x＜3，所以集合Q=（1，3），则P•Q=（0，1]故答案为：（0，1]【点评】此题要求学生掌握对数函数的定义域的求法及对数函数的单调性，会求绝对值不等式的解集．学生做题时应正确理解题中的新定义．10．（2005•江西）若函数f（x）=log a（x+）是奇函数，则a=．【考点】函数奇偶性的性质；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】由函数是奇函数，将函数的这一特征转化为对数方程解出a的值．【解答】解：∵函数是奇函数，∴f（x）+f（﹣x）=0即log a（x+）+log a（﹣x+）=0∴log a（x+）×（﹣x+）=0∴x2+2a2﹣x2=1，即2a2=1，∴a=±又a对数式的底数，a＞0∴a=故应填【点评】考查奇函数的定义及利用对数的去处法则解对数方程，主要训练对定义与法则的理解与掌握．11．不等式：|x﹣1|+2x＞4的解集是{x|x≥1} ．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】综合题；转化思想；演绎法；不等式的解法及应用．【分析】把要解的不等式等价转化为与之等价的两个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：由不等式：|x﹣1|+2x＞4可得①，或．解①求得x≥1，解②求得x∈∅，故原不等式的解集为{x|x≥1}，故答案为{x|x≥1}．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．12．已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），当a，b∈（﹣∞，0]时，总有＞0（a≠b），若f（m+1）＞f（2m），则实数m的取值范围是（，1）．【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），可得f（x）的偶函数，当a，b∈（﹣∞，0]时，总有＞0（a≠b），可知f（x）在（﹣∞，0]是单调增函数．即可将f（m+1）＞f（2m）转化为等式求解．【解答】解：由题意：f（x）的偶函数，f（x）在（﹣∞，0]是单调增函数，∴f（m+1）＞f（2m）转化为|m+1|＞|2m|吗，两边平方得：（m+1）2＞4m2，解得：，所以实数m的取值范围是（，1）．故答案为：（，1）．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性运用能力．属于基础题．13．（2015秋•苏州校级期中）已知是（﹣∞，+∞）上的减函数，则a的取值范围是[，）．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】根据题意可得，从而可求得a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，∴解得≤a＜．故答案为：[，）．【点评】本题考查函数单调性的性质，得到（3a﹣1）×1+4a≥a1是关键，也是难点，考查理解与运算能力，属于基础题．14．设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为a≤﹣1或a≥8．【考点】函数奇偶性的判断．【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的对称性求出当x＞0时的解析式，利用基本不等式的性质求出函数f（x）的最值即可得到结论．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0．∵当x＜0时，，∴f（﹣x）=﹣x﹣+7．∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x+﹣7．∵f（x）≥a+1对一切x≥0成立，∴当x＞0时，x+﹣7≥a+1恒成立；且当x=0时，0≥a+1恒成立．①由当x=0时，0≥a+1恒成立，解得a≤﹣1．②由当x＞0时，x+﹣7≥a+1恒成立，可得：2|a|﹣7≥a+1解得a≤﹣8或a≥8．综上可得：a≤﹣1或a≥8．因此a的取值范围是：a≤﹣1或a≥8．故答案为：a≤﹣1或a≥8．【点评】本题主要考查函数恒成立问题，根据函数的奇偶性求出函数的解析式，以及利用基本不等式求出最小值是解决本题的关键．二、解答题（本大题共5小题，共58分）15．（10分）分解下列因式（1）5x2+6xy﹣8y2（2）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a．【考点】因式分解定理．【专题】计算题；转化法．【分析】（1）利用十字相乘法，可进行分解；（2）利用十字相乘法和提公因式法，可进行分解；【解答】解：（1）5x2+6xy﹣8y2=（5x﹣4y）（x+2y）（2）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a=（x+5）（x﹣3）﹣a（x+5）=（x+5）（x﹣3﹣a）【点评】本题考查的知识点是因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．16．（10分）（2015秋•张家港市校级期中）设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={y|y=﹣x2+2x ﹣2，x∈R}（1）求集合A，B；（2）若集合C={x|2x+a＜0}，且满足B∪C=C，求实数a的取值范围．【考点】对数函数的定义域；并集及其运算；函数的值域．【专题】计算题．【分析】（1）集合A即函数y=log2（x﹣1）定义域，B即y=﹣x2+2x﹣2，x∈R的值域．（2）先求出集合C，由B∪C=C 可得B⊆C，∴﹣＞﹣1，解不等式得到实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|y=log2（x﹣1）}={x|（x﹣1）＞0}=（1，+∞），B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}={y|y=﹣（x﹣1）2﹣1，x∈R}=（﹣∞，﹣1]．（2）集合C={x|2x+a＜0}={x|x＜﹣}，∵B∪C=C，∴B⊆C，∴，∴实数a的取值范围（﹣∞，2）．【点评】本题考查函数的定义域、值域的求法，利用集合间的关系求参数的取值范围．17．（12分）（2015秋•苏州校级期中）已知函数f（x）=a x﹣1（x≥0）的图象经过点（2，），其中a＞0，a≠1．（1）求a的值；（2）求函数f（x）=a2x﹣a x﹣2+8，x∈[﹣2，1]的值域．【考点】指数函数的图象与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）代入值计算即可，（2）根据函数的单调性，即可求其值域．【解答】解：（1）把代入f（x）=a x﹣1，得．（2）由（1）得f（x）=（）2x﹣（）x﹣2+8=∵x∈[﹣2，1]∴，当时，f（x）max=8，当时，f（x）min=4∴函数f（x）的值域为[4，8]．【点评】本题主要考查了质数函数的单调性和利用函数的最值求值域，属于基础题．18．（12分）（2014秋•高邮市期中）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益函数为R（x）=，其中x是仪器的产量（单位：台）；（1）将利润f（x）表示为产量x的函数（利润=总收益﹣总成本）；（2）当产量x为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（1）利润=收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；（2）分段求最大值，两者大者为所求利润最大值．【解答】解：（1）当0≤x≤400时，当x＞400时，f（x）=80000﹣100x﹣20000=60000﹣100x所以…（7分）（2）当0≤x≤400时当x=300时，f（x）max=25000，…（10分）当x＞400时，f（x）=60000﹣100x＜f（400）=20000＜25000…（13分）所以当x=300时，f（x）max=25000答：当产量x为300台时，公司获利润最大，最大利润为25000元．…（15分）【点评】本题考查函数模型的应用：生活中利润最大化问题．函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．19．（14分）设函数f（x）=x2﹣2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，求实数a的取值范围；（3）若对任意的x1，x2∈[0，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤8，求t的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）判断f（x）在[0，4]上的单调性，根据单调性求出f（x）的最值，得出值域；（2）令g（x）=f（x）﹣5，根据对称轴与区间[a，a+2]的关系求出g（x）的最大值，令g max （x）＜0解出a的取值范围．（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，对任意的x1，x2∈[0，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤8等价于M﹣m≤8，结合二次函数的性质可求【解答】解：（1）当t=1时，f（x）=x2﹣2x+2，∴f（x）的对称轴为x=1，∴f（x）在[0，1]上单调递减，在（1，4]上单调递增，∴当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1，当x=4时，f（x）取得最大值f（4）=10．∴f（x）在区间[0，4]上的取值范围是[1，10]．（2）∵f（x）＜5，∴x2﹣2x+2＜5，即x2﹣2x﹣3＜0，令g（x）=x2﹣2x﹣3，g（x）的对称轴为x=1．①若a+1≥1，即a≥0时，g（x）在[a，a+2]上的最大值为g（a+2）=a2+2a﹣3，∵对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，∴g（x）=x2﹣2x﹣3＜0恒成立，∴a2+2a﹣3＜0，解得0≤a＜1．②若a+1＜1，即a＜0时，g（x）在[a，a+2]上的最大值为g（a）=a2﹣2a﹣3，∵对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）＜5，∴g（x）=x2﹣2x﹣3＜0恒成立，∴a2﹣2a﹣3＜0，解得﹣1＜a＜0，综上，实数a的取值范围是（﹣1，1）．（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，所以“对任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤8”等价于“M﹣m≤8”．①当t≤0时，M=f（4）=18﹣8t，m=f（0）=2．由M﹣m=18﹣8t﹣2=16﹣8t≤8，得t≥1．从而t∈∅．②当0＜t≤2时，M=f（4）=18﹣8t，m=f（t）=2﹣t2．由M﹣m=18﹣8t﹣（2﹣t2）=t2﹣8t+16=（t﹣4）2≤8，得．，⇒③当2＜t≤4时，M=f（0）=2，m=f（t）=2﹣t2．由M﹣m=2﹣（2﹣t2）=t2≤8，得﹣2≤t≤2⇒2＜t≤2；④当t＞4时，M=f（0）=2，m=f（4）=18﹣8t．由M﹣m=2﹣（18﹣8t）=8t﹣16≤8，得t≤3．从而t∈∅．综上，t的取值范围为区间[4﹣2，2]【点评】本题考查了二次函数的单调性与最值，函数恒成立问题，常根据对称轴与区间的关系来判断单调性，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．。
江苏省南京市鼓楼区2022-2023学年度第一学期期中高一数学试题(原卷版)
高一数学试题第 1 页 (共 6 页)高一(上)期中试卷数 学 2022.11注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分为150分，考试形式为闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 第 Ⅰ 卷 (选择题 共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{－1，1}，B ＝{0，1}，则A ∪B ＝( )A ．{－1，1}B ．{1}C ．{－1，0}D ．{－1，0，1}2．已知p ：x ≥1，q ：x ＝1，则( )A ．p 是q 的充分条件但不是必要条件B ．p 是q 的必要条件但不是充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 不是q 的充分条件也不是必要条件3．不等式1x －1＜1的解为( ) A ．1＜x ＜2 B ．－2＜x ＜－1 C ．x ＞2或x ＜1 D ．x ＞－1或x ＜－24．已知命题：(1)任何实数的平方都是非负数；(2)有些三角形的三个内角都是锐角；(3)每一个实数都有相反数；(4)所有数与0相乘，都等于0．其中存在量词命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 5．计算823＋9－12的结果是( )高一数学试题第 2 页 (共 6 页)A ．113B ．133C ．56D ．766．在下列图象表示的函数中，既是奇函数又是增函数的可以是( )A ．B ．C ．D ．7．已知函数f (x )＝|x |＋x 2＋1，g (x )＝f (x －2)＋1，则不等式f (x )＞g (x )的解集为( ) A ．(－∞，2) B ．(1，2) C ．(1，＋∞) D ．(2，＋∞)8．设a ＝202122020×2022，b ＝202222021×2023，c ＝202322022×2024，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．c ＞b ＞a C ．a ＞c ＞b D ．c ＞a ＞b二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．已知a ＞b ＞0，则( )A ．a 2＞b 2B ．2a －b ＞3a －2bC ．1b ＞1aD ．a －1b ＞b －1a10．若U ＝Z ，A ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，则( )A ．A ∩B ＝{0} B ．A ∪B ＝UC ．C U B ＝AD ．A ⊂≠B11．约定：如果一个函数的图象上存在一个点，该点的横坐标和纵坐标相等，那么就称该点为该函数的一个回归点，称该函数是一个具有回归点的函数．如果一个函数有且仅有n 个回归点，那么就称该函数为一个具有n 个回归点的函数．例如，点(0，0)和(1，1)都是函数f (x )＝x 2的回归点，函数f (x )＝x 2是一个具有两个回归点的函数．根据约定，下列选项中止确的是( )高一数学试题第 3 页 (共 6 页)A ．函数f (x )＝x 5是个具有回归点的函数B ．具有回归点的函数有无数个C ．存在无数个具有无数个回归点的函数D ．已知点(a ，a )是函数f (x )的一个回归点，则点(2a ，2a )也是函数f (x )的一个回归点12．已知函数f (x )＝x 2＋1x(x ＞0)，则( ) A ．f (x )的图象与x 轴有且仅有1个交点B ．g (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上单调递增C ．f (x )的最小值为334D ．f (－x )的图象在h (x )＝2x(x ＜0)的图象的上方 第 Ⅱ 卷 (非选择题 共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在对数式log a (2－x )＝b (a ＞0，a ≠1)中，实数x 的取值范围是 ▲ ．14．写出命题“所有的矩形都是平行四边形”的否定： ▲ ．15．多种原因导致国际原材料价格不断上涨．2021年11月，海关总署统计了当年前10个月我国主要大宗商品进口情况，数据如下表：高一数学试题第 4 页 (共 6 页)原材料价格的不断上涨导致终端产品被动提价．由于钢材和铜材这两种原料价格上涨，某出口企业决定根据这两种原料的增幅，对某种产品分两次提价，现有三种提价方案： 方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：第一次提价q %，第二次提价p %方案丙：第一次提价p ＋q 2%，第二次提价p ＋q 2%． 其中p ＞q ＞0，那么在三种方案中，提价多的是方案 ▲ ．16．已知a ，b ∈R ，若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝－2对称，且对于任意正数x 都有x 2－ax ＋t ≥bx 成立，则a ＋b ＝ ▲ ，实数t 的最小值是 ▲ ．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)解不等式：1－x 2－16＜x ＋12； (2)证明不等式：a 2＋b 2≥2a ＋4b －5．.18．(本小题满分12分)(1)求(lg2)2＋lg2lg50＋2lg5的值；(2)已知a 是非零实数，满足a －a －1，分别求a ＋a －1，a 2＋a －2的值．19．(本小题满分12分)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，其中a∈R．(1)若A∩B＝{x|－2≤x≤1}，求a的值；(2)若“x∈B”是“x∈A”的必要条件，求a的取值范围．20．(本小题满分12分)某单位要建造一间地面面积为12m2的背靠墙的长方体形小房，房屋正面留有一扇宽为1m 的小门，房屋的墙和门的高度都是3m，房屋正面的单位面积造价为1200元/m2，房屋侧面的单位面积造价为800元/m2，屋顶的造价为5800元．若不计房屋背面的费用和门的费用，问：怎样设计房屋能使总造价W(单位：元)最低?最低总造价是多少?高一数学试题第5页(共6页)高一数学试题第 6 页 (共 6 页) 21．(本小题满分12分)我们知道，函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x )为奇函数．有同学发现可以将其推广为如下结论：函数y ＝f (x )的图象关于点P (a ，b )成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )－b 为奇函数．已知该结论是真命题．(1)求函数h (x )＝x 3－6x 2图象的对称中心；(2)还有同学提出了如下两个命题：命题① 已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，如果函数y ＝f (x ＋1)为偶函数，那么函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1成轴对称图形；命题② 已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，如果函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1成轴对称图形，那么函数y ＝f (x ＋1)为偶函数；请你在这两个命题中选择一个，判断它是否是真命题，并给出理由．(若两个都选，则只对你选的第一个评分)22．(本小题满分12分)已知f (x )＝x 2－2ax ，a ∈R ．(1)当0≤x ≤1时，求f (x )的最小值；(2)若任意x ≥0，f (x )≥12ax 2－1，求a 的取值范围．。
2017-2018高一数学上学期期末考试试题及答案
2017－2018学年度第一学期期末考试高一数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，共４页,满分120分．考试限定用时100分钟．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．答卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考籍号分别填写在试卷和答题纸规定的位置．第Ⅰ卷（选择题 共48分)参考公式：1．锥体的体积公式1,,.3V Sh S h =其中是锥体的底面积是锥体的高 2．球的表面积公式24S R π=，球的体积公式343R V π=，其中R 为球的半径。
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{0,1,2,3},{1,3}U A ==，则集合U C A = ( ）A ．{}0B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,1,2 2．空间中,垂直于同一直线的两条直线 （ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能3．已知幂函数()αx x f =的图象经过点错误!，则()4f 的值等于 ( ）A ．16B 。
错误!C ．2D 。
错误!4。
函数()lg(2)f x x =+的定义域为 （ )A 。
（—2，1）B 。
［-2,1]C 。
()+∞-,2 D. (]1,2- 5．动点P 在直线x+y-4=0上,O 为原点,则|OP ｜的最小值为 （ ）AB ．CD ．26.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 （ ）A ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αB ．若α⊥β，m ∥α,则m ⊥βC ．若α⊥β,m ⊥β，则m ∥αD ．若m ⊥n ,m ⊥α， n ⊥β，则α⊥βＯＯＯ Ｏ１ １１１7．设()x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，()x x x f -=22，则()1f 等于 （ )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 8．函数y ＝2-+212x x⎛⎫⎪⎝⎭的值域是 （ ）A ．RB ．错误!C ．(2，＋∞）D 。
2017-2018学年江苏省常州市高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共56.0分）1.已知集合A={1，2}，集合B={a，1-a2}，若A∩B={2}，则实数a的值为______．2.若＜＜，则点P（tanθ，sinθ）位于第______象限．3.若点P是线段AB上靠近A的三等分点，则=______．4.已知函数，则f（-2）=______．5.函数的值域为______．6.弧长为3π，圆心角为π的扇形的面积为______．7.若函数f（x）=2x+x-2的零点在区间（k，k+1）（k∈Z）中，则k的值为______．8.已知幂函数y=xα的图象经过点（2，），则的值为______．9.已知向量=（sinθ，cosθ），=（2，-1），若 ∥，则tan2θ=______．10.若，，则sin（α+β）=______．11.已知是定义在（-∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是______．12.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（-∞，0]上单调递减，若f（1）=0，则不等式f（ln x）＜0的解集为______．13.在△ABC中，已知B=，=2，则的取值范围是______．14.已知当x∈（0，1）时，函数y=（mx-1）2的图象与y=x+m的图象有且只有一个交点，则实数m的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共64.0分）15.已知向量=（3，-4），=（4，3）．（1）求的值；（2）若（2+）⊥（+k），求实数k的值．16.已知函数∈的定义域为集合A，函数g（x）=2x+1的值域为集合B．（1）当a=3时，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．17.已知，且α为第四象限角，求下列各式的值．（1）；（2）．18.设函数，其中0＜ω＜3，．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（2）将函数f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在（，）上的值域．19.如图，某校生物兴趣小组计划利用学校角落处一块空地围出一个周长为10米的直角三角形ABC作为试验地，设∠ABC=θ，△ABC的面积为S．（1）求S关于θ的函数关系式；（2）当θ为何值时，试验地的面积最大？求出该面积的最大值．20.已知m∈R，函数．（1）若函数g（x）=f（x）+lg x2有且仅有一个零点，求实数m的值；（2）设m＞0，任取x1，x2∈[t，t+2]，若不等式|f（x1）-f（x2）|≤1对任意t∈[，1]恒成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】2【解析】解：∵A∩B={2}，∴a=2或1-a2=2，解得a=2，a=2时，B={2，-3}，满足题意．故答案为：2．由A∩B={2}，得方程a=2或1-a2=2，解得a=2，需验证a=2．本题考查集合间的基本运算，本题转化成对应的方程是关键．2.【答案】二【解析】解：∵，∴tanθ＜0，sinθ＞0，故点P（tanθ，sinθ）位于第二象限，故答案为：二．tanθ＜0，sinθ＞0，故点P（tanθ，sinθ）位于第二象限．本题考查三角函数值的符号，考查象限角的概念及应用，属于基础题．3.【答案】【解析】解：如图，P是线段AB上靠近A的三等分点，则：．故答案为：．可根据条件画出图形，根据条件及图形即可得出．考查线段三等分点的概念，以及向量数乘的几何意义．4.【答案】3【解析】解：∵函数，∴f（-2）=f（0）=f（2）=22-1=3．故答案为：3．推导出f（-2）=f（0）=f（2），由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算与求解能力，是基础题．5.【答案】[0，1]【解析】解：因为0≤sin2x≤1，所以1≤sin2x+1≤2，又根据y=log2x为递增函数，得0≤log2（sin2x+1）≤1，故答案为：[0，1]．因为0≤sin2x≤1，所以1≤sin2x+1≤2，再根据对数函数为增函数可得f（x）的值域为[0，1]．本题考查了对数函数的值域与最值，属中档题．6.【答案】6π【解析】解：设扇形的半径是r，根据题意，得：=3π，解，得r=4．则扇形面积是=6π．故答案为：6π．根据扇形面积公式，则必须知道扇形所在圆的半径，设其半径是r，则其弧长是，再根据弧长是3π，列方程求解．此题考查了扇形的面积公式以及弧长公式，求出扇形的半径是解题关键．7.【答案】0【解析】解：函数f（x）=2x+x-2，可得f（x）在R上递增，由f（0）=1+0-2=-1＜0，f（1）=2+1-2=1＞0，可得f（x）在（0，1）内存在零点，则k=0．故答案为：0．判断f（x）在R上递增，计算f（0），f（1）的符号，由函数零点存在定理即可得到所求值．本题考查函数零点存在定理的运用，考查运算能力和推理能力，属于基础题．8.【答案】【解析】解：幂函数y=xα的图象经过点（2，），∴2α=，∴α=，∴=cos（-）=cos=．故答案为：．根据幂函数y=xα的图象过点（2，），求出α的值，再计算的值．本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．9.【答案】【解析】解：∵；∴-sinθ-2cosθ=0；∴tanθ=-2；∴．故答案为：．根据即可得出-sinθ-2cosθ=0，从而得出tanθ=-2，根据二倍角的正切公式即可求出tan2θ的值．考查向量平行时的坐标关系，以及二倍角的正切公式．10.【答案】【解析】解：若，，则4sin2α+9cos2β-12sinαcosβ=①，4cos2α+9sin2β-12cosαsinβ=②，①+②可得4+9-12sin（α+β）=，求得sin（α+β）=，故答案为：．由条件利用同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式，求得sin（α+β）的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．11.【答案】[，）【解析】解：∵f（x）是定义在R上的减函数；∴；解得；∴实数a的取值范围是．故答案为：．分段函数f（x）是R上的减函数，从而得出每段函数都是减函数，并且左段函数的右端点大于右段函数的左端点，即得出，解出a的范围即可．考查减函数的定义，分段函数、一次函数和对数函数的单调性．12.【答案】（，e）【解析】解：根据题意，f（x）是定义在R上的偶函数，且在（-∞，0]上单调递减，则f（x）在[0，+∞）上递增，又由f（1）=0，则f（lnx）＜0⇒f（|lnx|）＜f（1）⇒|lnx|＜1⇒-1＜lnx＜1，解可得：＜x＜e，即不等式的解集为（，e），故答案为：（，e）．根据题意，分析可得f（x）在[0，+∞）上递增，结合函数的特殊值分析可得f（lnx）＜0⇒f（|lnx|）＜f（1）⇒|lnx|＜1⇒-1＜lnx＜1，解可得x的值，即可得答案．本题考查抽象函数的应用，涉及函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题．13.【答案】[-，）【解析】解：由=2，可得BC=a=2，以B为原点，以BA所在的直线为x轴，建立直角坐标系∵B=，且BC=2，∴C（1，），设A（x，0），则=（-x，0）•（1-x，）=x2-x=，即取值范围是[-，+∞）．故答案为：[-，+∞）由=2，可得BC=a=2，以B为原点，以BA所在的直线为x轴，建立直角坐标系，由已知结合三角函数的定义可表示C（1，），然后设A（x，0），代入利用，结合向量数量积的坐标表示及二次函数的性质可求．本题主要考查了平面向量数量积的运算，解题的关键是坐标系的建立．14.【答案】（0，1]∪[3，+∞）【解析】解：根据题意，由于m为正数，y=（mx-1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，函数y=x+m为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，在区间[0，1]上，y=（mx-1）2为减函数，且其值域为[（m-1）2，1]，函数y=x+m为增函数，其值域为[m，1+m]，此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；②、当m＞1时，有＜1，y=（mx-1）2在区间（0，）为减函数，（，1）为增函数，函数y=x+m为增函数，其值域为[m，1+m]，若两个函数的图象有1个交点，则有（m-1）2≥1+m，解可得m≤0或m≥3，又由m为正数，则m≥3；综合可得：m的取值范围是（0，1]∪[3，+∞）；故答案为：（0，1]∪[3，+∞）．根据题意，由二次函数的性质分析可得：y=（mx-1）2为二次函数，在区间（0，）为减函数，（，+∞）为增函数，分2种情况讨论：①、当0＜m≤1时，有≥1，②、当m＞1时，有＜1，结合图象分析两个函数的单调性与值域，可得m的取值范围，综合可得答案．本题考查函数图象的交点问题，涉及函数单调性的应用，关键是确定实数m的分类讨论．15.【答案】解：（1），；∴；（2），，，；∵⊥；∴；解得k=-2．【解析】（1）可求出，从而可求出的值；（2）可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k的值．考查向量坐标的减法和数量积运算，向量垂直的充要条件，根据向量坐标可求向量长度．16.【答案】解：∵ ，∴0＜x＜a，∴A=（0，a）∵2x＞0，∴2x+1＞1，∴B=（1，+∞）（1）当a=3时，A=（0，3），A∪B=（0，+∞）；（2）A≠∅时，，∴0＜a≤1，综上可知：实数a的取值范围为（0，1]．【解析】（1）确定出A与B，利用并集定义可求A∪B；（2）根据当A≠∅得a的范围即可．本题考查了集合间的基本运算及应用，集合中的参数问题，考查了函数定义域和值域的求法，难度中档．17.【答案】解：（1）∵，∴cos，∵α为第四象限角，∴sinα=，则tan，∴tan（）=；（2）==．【解析】（1）由已知利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值；（2）化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．18.【答案】解：（1）∵函数=sinωx-cosωx-cosωx=sinωx-cosωx=sin（ωx-），其中0＜ω＜3．∵=sin（-），∴-=kπ，k∈Z，∴ω=2，f（x）=sin（2x-）．令2kπ-≤2x-≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，故函数f（x）的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．（2）将函数f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得y=sin（x-）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到函数g（x）=sin（x+-）=sin（x-）的图象，在（，）上，x-∈（-，），故当x-=时，函数g（x）取得最大值为，当x-=-时，函数g（x）=-，故g（x）的值域为（-，]．【解析】（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）在（，）上的值域．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．19.【答案】解：（1）设BC=L，则AB=L cosθ，AC=L sinθ，∴L+L sinθ+L cosθ=10，则L=，∴S==，θ∈（0，）；（2）设sinθ+cosθ=t，则t=∈（1，]，sin．∴S=．∵当t∈（1，]时，S为增函数，∴当t=，即时，．答：当时，试验地的面积最大，为平方米．【解析】（1）设BC=L，则AB=Lcosθ，AC=Lsinθ，由周长列式求得L，然后由三角形面积公式可得S关于θ的函数关系式；（2）设sinθ+cosθ=t，则t=∈（1，]，sin，把面积转化为含有t的函数式，利用分离常数法求最值．本题考查函数解析式的求解及常用方法，训练了利用换元法求三角函数的最值，是中档题．20.【答案】解：（1）g（x）=lg（m+）+lg x2=lg（mx2+2x），由g（x）=0，可得mx2+2x=1有且只有一个解，当m=0时，x=成立；当m≠0时，△=4+4m=0，即m=-1，x=1成立．综上可得m=0或-1；（2）当x＞0，设u=m+，可得函数u在x＞0递减，由m＞0，可得u＞0，y=lg u递增，即f（x）在（0，+∞）递减，任取x1，x2∈[t，t+2]，若不等式|f（x1）-f（x2）|≤1对任意t∈[，1]恒成立，可得f（t）-f（t+2）=lg（m+）-lg（m+）≤1对任意t∈[，1]恒成立，即m+≤10（m+）对任意t∈[，1]恒成立，整理可得9mt2+18（m+1）t-4≥0对任意t∈[，1]恒成立，由m＞0可得y=9mt2+18（m+1）t-4在t∈[，1]递增，可得当t=时，y的最小值为9m•+18（m+1）•-4≥0，解得m≥．【解析】（1）由对数的运算性质和方程解法，讨论m是否为0，结合二次函数的判别式即可得到所求值；（2）由题意可得m＞0，x＞0，f（x）递减，由题意可得m+≤10（m+）对任意t∈[，1]恒成立，整理可得9mt2+18（m+1）t-4≥0对任意t∈[，1]恒成立，运用二次函数的单调性，解不等式即可得到所求范围．本题考查函数的零点个数问题，注意运用分类讨论思想和方程思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用复合函数的单调性，以及转化思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+13．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=412．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= ．三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．下列说法中正确的是（）A．共线向量的夹角为0°或180°B．长度相等的向量叫做相等向量C．共线向量就是向量所在的直线在同一直线上D．零向量没有方向【考点】向量的物理背景与概念．【分析】根据共线向量、平行向量、相等向量以及零向量的概念便可判断每个说法的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．共线向量的方向相同或相反；方向相同时，夹角为0°，相反时的夹角为180°，∴该说法正确；B．长度相等，方向相同的向量叫做相等向量，∴该说法错误；C．平行向量也叫共线向量，∴共线向量不是向量所在直线在同一直线上；∴该说法错误；D．零向量的方向任意，并不是没有方向，∴该说法错误．故选：A．2．下列函数中为奇函数的是（）A．y=sin|x| B．y=sin2x C．y=﹣sinx+2 D．y=sinx+1【考点】函数奇偶性的判断．【分析】要探讨函数的奇偶性，先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，然后探讨f（﹣x）与f（x）的关系，即可得函数的奇偶性．【解答】解：选项A，定义域为R，sin|﹣x|=sin|x|，故y=sin|x|为偶函数．选项B，定义域为R，sin（﹣2x）=﹣sin2x，故y=sin2x为奇函数．选项C，定义域为R，﹣sin（﹣x）+2=sinx+2，故y=sinx+2为非奇非偶函数偶函数．选项D，定义域为R，sin（﹣x）+1=﹣sinx+1，故y=sinx+1为非奇非偶函数，故选：B．3．已知角的终边经过点（4，﹣3），则tanα=（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵角α的终边经过点P（4，﹣3），∴tanα==，故选：B．4．函数y=cos（4x﹣π）的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据余弦函数的最小正周期的求法，将ω=4代入T=即可得到答案．【解答】解：∵y=cos（4x﹣π），∴最小正周期T==．故选：D．5．在直角坐标系中，直线3x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由已知方程得到直线的斜率，根据斜率对于得到倾斜角．【解答】解：由已知直线的方程得到直线的斜率为﹣，设倾斜角为α，则tanα=﹣，α∈[0，π），所以α=；故选：D．6．函数的单调递减区间（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）【考点】正弦函数的单调性．【分析】利用y=sinx的单调性，求出函数的单调递减区间，进而可求函数的单调递减区间．【解答】解：利用y=sinx的单调递减区间，可得∴∴函数的单调递减区间（k∈Z）故选D．7．函数y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程是（）A．x=﹣B．x=0 C．x=πD．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象的对称性，求得y=3sin（2x+）+2图象的一条对称轴方程．【解答】解：∵对于函数y=3sin（2x+）+2图象，令2x+=kπ+，求得x=+，可得函数图象的一条对称轴方程为x=π，故选：C．8．下列选项中叙述正确的是（）A．终边不同的角同一三角函数值可以相等B．三角形的内角是第一象限角或第二象限角C．第一象限是锐角D．第二象限的角比第一象限的角大【考点】命题的真假判断与应用．【分析】分别举例说明四个选项的正误得答案．【解答】解：对于A，终边不同的角同一三角函数值可以相等，正确，如；对于B，三角形的内角是第一象限角或第二象限角，错误，如是终边在坐标轴上的角；对于C，第一象限是锐角，错误，如是第一象限角，不是锐角；对于D，第二象限的角比第一象限的角大，错误，如是第二象限角，是第一象限角，但．故选：A．9．如果点P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据象限得出sinθ，cosθ的符号，得出θ的象限．【解答】解：∵P（sinθcosθ，2cosθ）位于第二象限，∴sinθcosθ＜0，cosθ＞0，∴sinθ＜0，∴θ是第四象限角．故选：D．10．向量+++化简后等于（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解：向量+++=，故选：D．11．已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则（）A．A=4 B．ω=1 C．φ=D．B=4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ．【解答】解：如图根据函数的最大值和最小值得求得A=2，B=2函数的周期为（﹣）×4=π，即π=，ω=2当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+φ=2kπ﹣∵∴φ=故选C．12．给出下列说法：①终边相同的角同一三角函数值相等；②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】任意角的概念．【分析】由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．【解答】解：①由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等，正确．②在三角形中，若sinA=sinB，则有A=B，故正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，正确，④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，故不正确．⑤若cosα＜0，则α是第二或第三象限角或α的终边落在x轴的非正半轴上，故不正确．其中正确的个数为3个，故选：C．二、填空（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．以点（0，2）和（4，0）为端点的线段的中垂线的方程是2x﹣y﹣3=0 ．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：设A（0，2）、B（4，0）．=﹣，所以线段AB的中垂线得斜率k=2，又线段AB的中点为（2，1），直线AB的斜率 kAB所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=2（x﹣2）即2x﹣y﹣3=0，故答案为：2x﹣y﹣3=0．14．圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离最小值为 3 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r，从而可求．【解答】解：∵圆心（0，0）到直线3x+4y﹣25=0的距离d==5，∴圆x2+y2=4上的点到直线3x+4y﹣25=0距离的最小值是AC=5﹣r=5﹣2=3故答案为：3．15．已知=， =， =， =， =，则+++﹣= ．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】利用向量的三角形法则与多边形法则即可得出．【解答】解： +++﹣=+++﹣=﹣=，故答案为：．16．已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）= 1 ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】观察三个函数中的角，发现=﹣（），故tan（）的值可以用正切的差角公式求值【解答】解：∵=﹣（），∴tan（）===1故答案为1三、解答题（本大题共6小题，17题10分其余每题12分共70分）17．已知角α的终边经过一点P（5a，﹣12a）（a＞0），求2sinα+cosα的值．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义可求得sinα与cosα，从而可得2sinα+cosα．【解答】解：由已知r==13a…∴sinα=﹣，cosα=，…∴2sinα+cosα=﹣…18．已知△ABC的三个顶点A（0，4），B（﹣2，6），C（8，2）；（1）求AB边的中线所在直线方程．（2）求AC的中垂线方程．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）利用中点坐标公式、斜截式即可得出．（2）利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、斜截式即可得出．【解答】解：（1）∵线段AB的中点为（﹣1，5），∴AB边的中线所在直线方程是=，即x+3y﹣14=0．（2）AC的中点为（4.3）==﹣，∵KAC∴y﹣3=4（x﹣4）即y=4x﹣13，∴AC的中垂线方程为y=4x﹣13．19．若圆经过点A（2，0），B（4，0），C（1，2），求这个圆的方程．【考点】圆的一般方程．【分析】设出圆的一般式方程，把三个点的坐标代入，求解关于D、E、F的方程组得答案．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得．∴圆的方程为：．20．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求cosβ的值．【考点】二倍角的正切；两角和与差的余弦函数．【分析】（1）利用已知及同角三角函数基本关系式可求sinα，进而可求tanα，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，利用同角三角函数基本关系式可求sin（α﹣β），由β=α﹣（α﹣β）利用两角差的余弦函数公式即可计算求值．【解答】解：（1）∵由cosα=，0＜α＜，得sinα===，∴得tan=∴于是tan2α==﹣．…（2）由0＜β＜α＜，得0＜α﹣β＜，又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）==，由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）==．…21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的对称轴方程和对称中心坐标．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的对称轴方程和对称中心坐标．【解答】解：（Ⅰ）由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A=2， ==+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•（﹣）+φ=，∴φ=，函数f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）由2x+=kπ+，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z．令2x+=kπ，求得x=﹣，可得函数的图象的对称轴中心为（﹣，0），k∈Z．22．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1（ω＞0）的周期为π．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用降幂公式降幂，再由辅助角公式化简，由x的范围求得相位的范围，则函数的取值范围可求；（2）利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间．【解答】解：（1）f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx﹣1==．∵ω＞0，∴T=，则ω=1．∴函数f（x）=sin（2x﹣）﹣．由0，得，∴，∴．∴f（x）的取值范围[﹣1，]；（2）令，得：，（k∈Z），∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．。
江苏省南京市第一中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题含答案解析
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断函数的单调性，结合函数的奇偶性判断函数的函数值的正负情况，即可得答案.
【详解】由题意定义在 上的奇函数 ， ，则 ，
对任意 且 ，都有 ，
则 在 时单调递减，
则当 时， ，此时 ；当 时， ，此时 ；
根据奇函数的对称性可知，当 时， ，此时 ；当 时， ，此时 ；
14.已知 , ,用 , 表示 _________.（结果用 , 表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据换底公式找到 和 之间的等式关系,将 用换底公式换为 的形式,代换成 即可.
【详解】解:由题知, , ,
, ,
,
故答案为: .
15.若任意 ，不等式 恒成立，则实数 的范围为_________.
【答案】
C.若 ，则 是偶函数
D.若 为奇函数且满足任意 ，都有 ，则 在 上是增函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数单调性的性质，结合函数奇偶性的性质、函数图象变换的性质逐一判断即可.
【详解】A：若 在 上是减函数，显然由 ，不可能有 成立，所以 在 上不是减函数，因此本选项说法正确；
B：因为 是偶函数，所以函数 的图象关于纵轴对称，
∴ ；
当 时，由 得： ，
若不等式恰有两个整数解，由于 ，则整数解为 和 ，
又 ，
∴ ，
综上所述：实数m的取值范围为 ,
故答案为∶ .
【点睛】本题考查了分段函数性质的应用，考查了根据一元二次型不等式的解的情况求参数范围问题，综合性较强，解答时要注意数形结合以及分类讨论的思想方法，解答的关键是确定不等式解集中的整数解，从而确定参数范围.
江苏省南京市鼓楼区2022-2023学年度第一学期期中高一数学试题(参考答案)
高一(上)数学期中考试参考答案和评分标准 2022.11说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．D 2．B 3．C 4．A 5．B 6．D 7．C 8．A二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．AC 10．BC 11．ABC 12．BCD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(－∞，2)或x<2 14．有的矩形不是平行四边形(存在矩形不是平行四边形、有些矩形不是平行四边形等) 15．丙 16．23，5294四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(1)化简得x 2＋3x －4＞0， ……………………………………………………………2分 解得x ＞1或x ＜－4， …………………………………………………………………5分 所以原不等式的解集为{ x | x ＞1或x ＜－4}(2)左－右=a 2＋b 2－2a －4b ＋5……………………………………………………………7分 =(a －1)2＋(b －2)2……………………………………………………………………………9分 ≥0，所以原不等式成立．………………………………………………………………………10分 法二因为(a －1)2≥0，(b －2)2≥0，……………………………………………………………7分 所以a 2≥2a －1，b 2≥4b －4，……………………………………………………………8分 所以a 2＋b 2≥2a ＋4b －5．………………………………………………………………10分 法三因为，m 2＋n 2≥2mn ，所以a 2＋1≥2a ，b 2＋4≥2b ，……………………………………………………………7分 所以a 2≥2a －1，b 2≥4b －4，……………………………………………………………9分 所以a 2＋b 2≥2a ＋4b －5．………………………………………………………………10分18．(1) (lg2)2＋lg2 lg50＋2lg5＝(lg2)(lg2＋lg50)＋2lg5……………………………………………………………………2分 ＝2lg2＋2lg5…………………………………………………………………………………4分 ＝2×(lg2＋lg 5)＝2；…………………………………………………………………………………………6分(2)因为a －a －1＝1，所以(a －a －1)2＝1，所以a 2＋a －2＝3，……………………………………………………………………………9分 因为(a ＋a －1)2＝a 2＋a －2＋2＝5，所以a ＋a －1＝±5，………………………………………………………………………12分 (±5，少一个，则扣1分)19．解二次不等式x 2－4≤0，可得A ＝{x |－2≤x ≤2}，……………………………………2分解一次不等式2x ＋a ≤0，可得B ＝{x |x ≤－a 2}，…………………………………………3分 (1)因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a 2＝1，……………………………………………5分 所以a ＝－2；………………………………………………………………………………6分(2)因为“x ∈B ”是“x ∈A ”的必要条件，所以“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以集合A 是B 的子集，……8分(三句话至少说一句，否则扣1分)所以－a 2≥2，………………………………………………………………………………10分 所以a ≤－4．………………………………………………………………………………12分20．设房屋正面的长为x m ，则房屋侧面的长为12xm ，……………………………………2分 因为小房的墙的高度是3m ，所以房屋正面的需要费用部分的面积为3(x －1)m 2，房屋侧面的面积为36xm 2， 因为房屋正面的单位面积造价为1200元/m 2，房屋侧面的单位面积造价为800元/m 2，………………………………………………………………………………………………4分所以W ＝3600(x －1)＋2×36x×800＋5800…………………………………………………6分 ＝3600x ＋2×36x×800＋2200≥28800＋2200…………………………………………………8分 ＝31000，当且仅当3600x ＝2×12x×3×800，即x ＝4时等号成立，………………………………10分 所以，房屋正面的长为4 m ，房屋侧面的长为3 m 时，总造价W 最低，最低总造价是 31000元．…………………………………………………………………………………12分法二 设房屋侧面的长为x m ，则房屋正面的长为12xm ，……………………………2分 因为小房的墙的高度是3m ，所以房屋侧面的面积为6x m 2，房屋正面的需要费用部分的面积为3×(12x－1) m 2， 因为房屋侧面的单位面积造价为800元/m 2，房屋正面的单位面积造价为1200元/m 2， ………………………………………………………………………………………………4分所以W ＝4800x ＋(12x－1)×3×1200＋5800…………………………………………………6分 ＝4800x ＋12x×3×1200＋2200≥28800＋2200………………………………………………8分 ＝31000，当且仅当4800x ＝2×12x×3×1200，即x ＝3时等号成立．………………………………10分 所以，房屋正面的长为4 m ，房屋侧面的长为3 m 时，总造价W 最低，最低总造价是 31000元．…………………………………………………………………………………12分21．(1)显然h (x )的定义域为R ，假设函数h (x )＝x 3－6x ²图象关于点P (a ，b )成中心对称图形，因为函数y ＝f (x )的图象关于点P (a ，b )成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )－b 为奇函数，所以y ＝h (x ＋a )－b 是奇函数，……………………………………………………………2分 所以h (x ＋a )－b ＝－[h (－x ＋a )－b ]，……………………………………………………3分 即h (x ＋a )＋h (－x ＋a )－2b ＝0，(x ＋a )3－6(x ＋a )²＋(－x ＋a )3－6(－x ＋a )²－2b ＝0，即(6a －12)x ²＋2a 3－12a ²－2b ＝0关于x ∈R 恒成立，…………………………………4分 所以，a ＝2，b ＝－16，……………………………………………………………………5分 可以证明函数h (x )＝x 3－6x ²图象关于点P (2，－16)成中心对称图形，………………6分 所以函数h (x )＝x 3－6x ²图象的对称中心为点(2，－16)；(2)选择①命题①是真命题，…………………………………………………………………………7分 法一因为函数y ＝f (x )的定义域为R ，函数y ＝f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)，…………………………………………………………………8分 设点P (x ，f (x ))为y ＝f (x )的图象上的任意一点，则由垂直平分线知识得：点P 关于直线x ＝1的对称点为可以为点P ′(2－x ，f (x ))，……………………………9分 因为f (2－x )＝f (1＋1－x )＝f [(1－x )＋1]＝f [－(1－x )＋1]＝f (x )，所以点(2－x ，f (2－x ))就是点P ′(2－x ，f (x ))，…………………………………………10分 因为点(2－x ，f (2－x ))在y ＝f (x )的图象上，所以点P ′(2－x ，f (x ))也在y ＝f (x )的图象上，即点P 关于直线x ＝1的对称点P ′(2－x ，f (x ))在y ＝f (x )的图象上，…………………11分 因为点P (x ，f (x ))为y ＝f (x )的图象上的任意一点，所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1成轴对称图形．………………………………12分法二因为函数y＝f(x)的定义域为R，函数y＝f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，…………………………………………………………………8分因为f(x＋1)是y＝f(x)图象上横坐标为(x＋1)的点M的纵坐标，f(－x＋1)是y＝f(x)图象上横坐标为(－x＋1)的点M′的纵坐标，所以点M和点M′的纵坐标相等，所以直线x＝1和直线MM′垂直，………………………………………………………9分因为|(x＋1)－1|＝|x|＝|(－x＋1)－1|，所以点M和点M′到直线x＝a的距离相等，所以直线x＝1是线段MM′的垂直平分线，……………………………………………10分所以点M和点M′关于直线x＝1对称，即点M′是点M关于直线x＝1的对称点，因为点M′在y＝f(x)的图象上，所以点M关于直线x＝1的对称点在y＝f(x)的图象上，………………………………11分因为点M是y＝f(x)的图象上的任意一点，所以y＝f(x)的图象上的任意一点关于直线x＝1的对称点都在y＝f(x)的图象上，所以函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1成轴对称图形．………………………………12分法三因为y＝f(x＋1)为偶函数，故y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称，………………………8分将y轴向右平移1个单位便可得到直线x＝1，设将y＝f(x＋1)图象向右平移1个单位便可得到y＝k(x)的图象，所以y＝k (x)的图象关于x＝1对称；……………………………………………………9分设点P(x，f(x＋1))为y＝f(x＋1)的图象上的任意一点，把点P向右平移1个单位，设得到的点为点R，则点R在y＝k(x)的图象上，且坐标为(x＋1，f(x＋1))，由点R的横坐标和纵坐标知，点R也在y＝f(x)的图象上，由点R的任意性且y＝f(x)和y＝k(x)的定义域相同，可得y＝f(x)和y＝k(x)是相同函数，…………………………………………………11分因为y＝k (x)的图象关于x＝1对称，…………………………………………12分所以y＝f (x)的图象关于x＝1对称；【下面的说法，可得5分中的2分．选①：因为y＝f(x＋1)为偶函数，故f(x＋1)的图象关于y轴对称，将其图象向右平移1个单位便可得到y＝f(x)的图象，所以y＝f(x)的图象关于x＝1对称；】选择②命题②是真命题，…………………………………………………………………………7分已知函数y＝f(x)的定义域为R，设点P(x，f(x))为y＝f(x)的图象上的任意一点，则由垂直平分线知识得：点P关于直线x＝1的对称点可以为点P′(2－x，f(x))，…………………………………8分因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1成轴对称图形，所以点P′(2－x，f(x))在y＝f(x)的图象上，………………………………………………9分在函数y＝f(x)的图象上，横坐标为2－x的点为P′′(2－x，f(2－x))，由函数定义可知，自变量确定时，函数值也确定，所以f(x)＝f(2－x)，………………………………………………………………………10分令x＝t＋1，则t∈R，2－x＝－t＋1，代入f(x)＝f(2－x)，得f(t＋1)＝f(－t＋1)，令f (t ＋1)＝g (t )，则g (t )＝g (－t )，………………………………………………………11分 即对于t ∈R ，g (t )＝g (－t )，所以函数g (t )是偶函数，…………………………………………………………………12分 所以函数f (t ＋1)是偶函数，所以函数y ＝f (x ＋1)为偶函数．【下面的说法，可得5分中的2分．选②：因为y ＝f (x )的图象关于y ＝1对称，将其图象向左平移1个单位便可得到y ＝f (x ＋1)的图象，所以y ＝f (x ＋1)的图象关于x=0对称，即关于y 轴对称，所以y ＝f (x ＋1)为偶函数；】22．(1)因为f (x )＝x 2－2ax ＝(x －a )2－a 2，对称轴为x ＝a ．①当a ＜0时，f (x )在[0，1]上是增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝0．②当0≤a ≤1时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2．③当a ＞1时，f (x )在[0，1]上是减函数，所以f (x )min ＝f (1)＝1－2a ．…………………………………………………………………3分(2)任意x ≥0，f (x )≥－1＋12ax 2， 等价于任意x ≥0，x 2－2ax ≥－1＋12ax 2， 等价于任意x ≥0，(a －2)x 2＋4ax －2≤0，………………………………………………4分 令g (x )＝(a －2)x 2＋4ax －2，法一①当a ＝2时，g (x )＝8x －2，g (1)＝6＞0，不合题意，所以a ≠2；…………………5分 ②当a ＞2时，g (1)＝5a －4＞0 (或g (x )的图像开口向上)，不合题意；………………6分③当a ＜2时，g (x )的图像的对称轴为直线x ＝－2a a －2， 若a ＝0，g (x )＝－2x 2－2，符合题意；…………………………………………………7分若0＜a ＜2，－2a a －2＞0， g (x )的图像开口向下，对称轴在y 轴右边，顶点的纵坐标是－2－16a 24(a －2)， 令－2－16a 24(a －2)≤0，解得－17－14≤a ≤17－14， 所以0＜a ≤17－14，…………………………………………………………………9分 若a ＜0，－2a a －2＜0，g (x )的图像开口向下，对称轴在y 轴左边， g (x )在x ≥0时单调递减， 又因为g (0)＝－2＜0， 所以当x ≥0时，g (x )≤0， 所以a ＜0符合题意；………………………………………………………………11分 综上，a ≤17－14．………………………………………………………………………12分(2)法二 任意x ≥0，f (x )≥－1＋12ax 2， 等价于任意x ≥0，x 2－2ax ≥－1＋12ax 2， 等价于任意x ≥0，(a －2)x 2＋4ax －2≤0，令g (x )＝(a －2)x 2＋4ax －2，特别地，取x ＝1，则g (1)＝a －2＋4a －2≤0，即a ≤45，(类似地，也可以取x ＝2等)， 以下同法一③．。
高一数学上学期期末考试试题(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省实验中学2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】则故选2. 直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线的斜率为直线的倾斜角为：，可得：故选3. 计算，其结果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】原式故选4. 已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，取的中点，连接，，则，（或补角）是与所成的角，，，，，而故选5. 直线在轴上的截距是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直线在轴上的截距就是在直线方程中，令自变量，直线在轴上的截距为故选6. 已知，是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线，使得，；②存在两条平行直线，，使得，，，；③存在两条异面直线，，使得，，，；④存在一个平面，使得，．其中可以推出的条件个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】当，不平行时，不存在直线与，都垂直，，，故正确；存在两条平行直线，，，，，，则，相交或平行，所以不正确；存在一个平面，使得，，则，相交或平行，所以不正确；故选7. 已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，原高为而横向长度不变，且梯形是直角梯形，故选8. 经过点的直线到，两点的距离相等，则直线的方程为（）A. B.C. 或D. 都不对【答案】C【解析】当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的斜率为则直线为，即由到直线的距离等于到直线的距离得：，化简得：或（无解），解得直线的方程为综上，直线的方程为或故选9. 已知函数的图象与函数（，）的图象交于点，如果，那么的取值X围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知中两函数的图象交于点，由指数函数的性质可知，若，则，即，由于，所以且，解得，故选D.点睛：本题考查了指数函数与对数函数的应用，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质，以及不等式关系式得求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，构造关于的不等式是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.10. 矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，球心到四个顶点的距离相等，球心在对角线上，且其半径为长度的一半为故选11. 若关于的方程在区间上有解，则实数的取值X围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：函数在区间上的值域为实数的取值X围是故选点睛：本小题考查的是学生对函数最值的应用的知识点的掌握。
江苏省南京市2017_2018学年高一数学上学期期中试题
江苏省南京市2017-2018学年高一数学上学期期中试题一.填空题: （本大题共14个小题，每小题5分，共70分）1.集合{1,1},{0,1,-2}P Q =-=，则P Q ⋂= _______________.2.2lg 2lg 25+=______________ .3.已知函数()f x 与()g x 分别由下表给出，那么((4))g f =_______________ .4.已知集合{}()|1,,A x x B a =>=+∞，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ..5.设20.40.50.6,2,log 2a b c ===，则c b a ,,的大小关系是 ____________（从小到大排列）.6.函数2()23f x x x =--的零点是 __________________.7.已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，若()1f a =,则a 的值是 ____________. 8.已知函数75()5f x x ax bx =++-，且(3)5f -=，那么(3)f = ________.9.已知函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()2x f x x a =++，那么(1)f -= .10.已知1123,2a b m a b==+=且，则实数m 的值为 . 11.若方程062ln =-+x x 在Z n n n ∈+),1,(内有一解，则n = _____________.12.某老师2014年九月十日用8100元买一台笔记本. 由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低， 每经过一年计算机的价格降低三分之一，到2017年九月十日该老师这台笔记本还值 ________元．13.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上为增函数，()20f =，则不等式()2log 0f x >的解集为 .14．已知函数(21)72(1)() (1)x a x a x f x a x -+-<⎧=⎨≥⎩在R 上单调递减，则a 的取值范围是 .二、解答题：15.（本题满分14分）U R =，{}{}。
2017-2018学年江苏省南京市玄武区高一(上)期中数学试卷
2017-2018学年江苏省南京市玄武区高一（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）集合A={1，2}的子集个数为．2．（5分）函数y=的定义域为．3．（5分）已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于．4．（5分）已知幂函数f（x）=xα的图象经过点，则f（2）的值是．5．（5分）方程lg（2x+1）=lg（x+4）的解是．6．（5分）已知f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+2x，则f（1）的值是．7．（5分）已知为奇函数，则实数m的值是．8．（5分）已知y=f（x）是定义在R上的减函数，若f（m﹣1）＞f（1﹣2m），则实数m的取值范围是．9．（5分）已知a=log32，b=log45，c=log30.3，则a，b，c的大小关系是（用“＜”连接）10．（5分）方程log2x+x=4的解在区间（k，k+1）内，k∈Z，则k的值是．11．（5分）函数f（x）=log a（x﹣2）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则P 点的坐标是．12．（5分）已知函数为减函数，则a的取值范围是．13．（5分）若f（x）=x（|x|﹣2）在区间[﹣2，m]上的最大值为1，则实数m 的取值范围是．14．（5分）已知f（x）=x2﹣2x，g（x）=x+m，对任意x1∈[﹣1，2]，都存在x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），则实数m的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知全集U=R，集合A={x|x＞1}，B={x|2a+x≥3﹣x}．（1）若a=1，求A∪B，（∁U A）∩B．（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．16．（14分）（1）已知lg2=a，lg3=b，试用a，b表示lg12的值．（2）计算：．17．（14分）已知二次函数f（x）=ax2+bx﹣2（a≠0）图象的对称轴为，且f（2）=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若方程f（x）=m（x+1）的一个根在区间（0，1）上，另一个根在区间（1，2）上，求实数m的取值范围．18．（16分）经市场调查，某商品在过去30天内的日销售量（单位：件）和销售价格（单位：元/件）均为时间t的函数，日销售量近似地满足g（t）=﹣t+50（1≤t≤30，t∈N），销售价格近似满足于f（t）=40﹣|t﹣20|，（1≤t≤30，t∈N）．（1）试写出该种商品的日销售额y与时间t的函数关系式．（2）求该种商品的日销售额y的最大值．19．（16分）已知函数，a∈R．（1）判断函数的奇偶性，并证明．（2）若a=﹣1，f（2x）=2，求x的值．（3）若不等式f（x）≥a﹣2x在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．20．（16分）定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数．（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，并说明理由．（2）若函数f（x）在x∈[0，+∞）上是以2为上界的有界函数，求实数a的取值范围．2017-2018学年江苏省南京市玄武区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）集合A={1，2}的子集个数为4．【分析】集合{1，2，}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．【解答】解：集合A={1，2}的子集有∅，{1}，{2}，{1，2}共4个．故答案为4．【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．2．（5分）函数y=的定义域为{x|x≥1} ．【分析】由函数的解析式和偶次根号下被开方数大于等于0，列出不等式求出x 即可．【解答】解：要是函数有意义，须x﹣1≥0，解得x≥1，故函数的定义域为{x|x≥1}．故答案为：{x|x≥1}．【点评】本题考查了求函数定义域的主要方法，属于简单题．3．（5分）已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣1），则实数a的值等于2．【分析】由分段函数，求出f（1），f（﹣1），解方程即可．【解答】解：f（x）=，∴f（1）=a，f（﹣1）=2；∵f（1）=f（﹣1），∴a=2故答案为：2，【点评】本题分段函数及运用，考查分段函数值应注意各段的自变量的取值范围，属于基础题．4．（5分）已知幂函数f（x）=xα的图象经过点，则f（2）的值是．【分析】把点的坐标代入f（x）=xα，求得函数解析式，再计算f（2）的值．【解答】解：将点代入f（x）=xα，得，解得：，∴f（x）==，∴f（2）=．故答案为：．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．5．（5分）方程lg（2x+1）=lg（x+4）的解是x=3．【分析】利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：由题意方程lg（2x+1）=lg（x+4），知，2x+1=x+4，解得x=3．经检验可知x=3是方程的解．故答案为：x=3．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，对数运算法则的应用，考查计算能力．6．（5分）已知f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+2x，则f（1）的值是1．【分析】由已知求得f（﹣1），再由奇函数的定义得答案．【解答】解：：∵当x＜0时，f（x）=x2+2x，∴f（﹣1）=﹣1，又f（x）是奇函数，故f（1）=﹣f（﹣1）=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数奇偶性性质的应用，考查函数值的求法，是基础题．7．（5分）已知为奇函数，则实数m的值是2．【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（﹣x）+f（x）=（1﹣）+（1﹣）=2﹣m=0，解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=（1﹣）+（1﹣）=2﹣m=0，解可得m=2，经检验，m=2时，f（x）=1﹣，为奇函数，符合题意；故答案为：2．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义．8．（5分）已知y=f（x）是定义在R上的减函数，若f（m﹣1）＞f（1﹣2m），则实数m的取值范围是（﹣∞，）．【分析】根据题意，由函数单调性的性质可得若f（m﹣1）＞f（1﹣2m），则有m﹣1＜1﹣2m，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，y=f（x）是定义在R上的减函数，若f（m﹣1）＞f（1﹣2m），则有m﹣1＜1﹣2m，解得，即m的取值范围是（﹣∞，）；故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题考查函数的单调性的性质以及应用，关键是理解函数单调性的定义．9．（5分）已知a=log32，b=log45，c=log30.3，则a，b，c的大小关系是c＜a＜b（用“＜”连接）【分析】判断三个数与0，1的大小关系，然后求出结果．【解答】解：b=log45＞1，a=log32∈（0，1），c=log30.3＜0，∴c＜a＜b，故答案为：c＜a＜b．【点评】本题考查对数值的判断，大小比较，是基础题．10．（5分）方程log2x+x=4的解在区间（k，k+1）内，k∈Z，则k的值是2．【分析】利用零点判断定理推出函数的零点的范围，即可得到k的值．【解答】解：设f（x）=log2x+x﹣4，易知，f（2）=log22+2﹣4=﹣1＜0，f（3）=log33﹣1＞0，由零点定理知，f（x）在区间[2，3]内一定有零点，即方程log2x+x=4一定有解．故答案为：2．【点评】本题考查函数的零点判断定理的应用，是基本知识的考查．11．（5分）函数f（x）=log a（x﹣2）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则P 点的坐标是（3，1）．【分析】由对数函对数y=log a x的图象恒过（1，0）及函数的图象的平移即可求解．【解答】解：由于对数函对数y=log a x的图象恒过（1，0），而y=1+log a（x﹣2）的图象可由数函数y=log a x的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，∴y=1+log a（x﹣2）的图象经过定点（3，1），故答案为：（3，1）．【点评】本题主要考查了对数函数的图象的性质及函数的图象的平移的简单应用，属于基础试题12．（5分）已知函数为减函数，则a的取值范围是（0，] ．【分析】由题意可知，y=a x递减，y=（a﹣3）x+4a递减，且a0≥（a﹣3）×0+4a，由此可得关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：因为函数f（x）为减函数，所以y=a x递减，y=（a﹣3）x+4a递减，且a0≥（a﹣3）×0+4a，所以，解得0＜a，故答案为：（0，]．【点评】本题考查函数单调性的性质，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．13．（5分）若f（x）=x（|x|﹣2）在区间[﹣2，m]上的最大值为1，则实数m 的取值范围是[﹣1，+1] ．【分析】作函数f（x）=x（|x|﹣2）的图象，由图象知当f（x）=1时，x=﹣1或x=+1；从而由图象求解．【解答】解：作函数f（x）=x（|x|﹣2）的图象如下，当f（x）=1时，x=﹣1或x=+1；故由图象可知，实数m的取值范围是[﹣1，+1]．故答案为：[﹣1，+1]．【点评】本题考查了函数的图象的应用及最值的求法，属于基础题．14．（5分）已知f（x）=x2﹣2x，g（x）=x+m，对任意x1∈[﹣1，2]，都存在x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），则实数m的取值范围是[0，1] ．【分析】求出两个函数的值域，利用已知条件转化为A⊆B，然后求解即可．【解答】解：由题意知，对任意x1∈[﹣1，2]，都存在x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0）等价于g（x）在[﹣1，2]上的值域A⊆f（x）在[﹣1，2]上的值域B，易知，A=[﹣1+m，2+m]，根据二次函数的图象可知，B=[﹣1，3]，∵A⊆B，∴0≤m≤1．故答案为：[0，1]．【点评】本题考查函数的最值的求法，转化思想的应用，考查计算能力．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知全集U=R，集合A={x|x＞1}，B={x|2a+x≥3﹣x}．（1）若a=1，求A∪B，（∁U A）∩B．（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据并集、补集和交集的定义，计算即可；（2）化简集合B，根据集合的包含关系，写出实数a的取值范围．【解答】解：（1）全集U=R，集合A={x|x＞1}，B={x|2a+x≥3﹣x}，a=1时，B={x|2+x≥3﹣x}={x|x≥}，∴A∪B={x|x≥}，（∁U A）∩B={x|x≤1}∩{x|x≥}={x|≤x≤1}；（2）A={x|x＞1}，B={x|2a+x≥3﹣x}={x|x≥﹣a}，若A⊆B，则﹣a≤1，解得a≥，∴实数a的取值范围是a≥．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．16．（14分）（1）已知lg2=a，lg3=b，试用a，b表示lg12的值．（2）计算：．【分析】（1）根据对数的运算性质即可求出，（2）根据对数和指数幂的运算性质可得．【解答】解：（1）lg12=lg3+lg4=lg3+2lg2=b+2a．（2）原式=．【点评】本题考查了对数和指数幂的运算性质，属于基础题．17．（14分）已知二次函数f（x）=ax2+bx﹣2（a≠0）图象的对称轴为，且f（2）=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若方程f（x）=m（x+1）的一个根在区间（0，1）上，另一个根在区间（1，2）上，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用函数的对称轴以及函数值，列出方程组求解a，b即可得到结果．（2）构造函数，利用零点判断定理列出不等式组求解即可．【解答】解：（1）由题意知，，解得：，故：f（x）=7x2﹣13x﹣2．（2）设g（x）=7x2﹣13x﹣2﹣m（x+1）=7x2﹣（13+m）x﹣（m+2），由题意知，函数g（x）在（0，1）内有一个零点，在（1，2）内有一个零点，故需满足：，即：，解得：﹣4＜m＜﹣2．实数m的取值范围：（﹣4，﹣2）．【点评】本题考查函数的零点判断定理的应用，函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力．18．（16分）经市场调查，某商品在过去30天内的日销售量（单位：件）和销售价格（单位：元/件）均为时间t的函数，日销售量近似地满足g（t）=﹣t+50（1≤t≤30，t∈N），销售价格近似满足于f（t）=40﹣|t﹣20|，（1≤t≤30，t∈N）．（1）试写出该种商品的日销售额y与时间t的函数关系式．（2）求该种商品的日销售额y的最大值．【分析】（1）利用已知条件，通过日销售额y=日销售量×销售价格，直接写出该种商品的日销售额y与时间t的函数关系式．（2）利用分段函数，分段求解求该种商品的日销售额y的最大值．【解答】解：（1）销售价格，故日销售额y=日销售量×销售价格为：．（2）①当1≤t＜20，t∈N时，y=﹣t2+30t+1000=﹣（t﹣15）2+1225，由二次函数性质可知，当1≤t＜15，t∈N时，y是x的单调递增函数．当15≤t＜20，t∈N时，y是x的单调递减函数．故当t=15时，y max=1225．②当20≤t≤30，t∈N时，y=t2﹣110t+3000=（t﹣55）2﹣25，由二次函数性质可知，当20≤t≤30，t∈N时，y是x的单调递减函数．故当t=20时，y max=1200．∵1225＞1200，∴当t=15时，日销售额y最大为1225元．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，考查实际问题的成立方法，考查转化思想以及计算能力．19．（16分）已知函数，a∈R．（1）判断函数的奇偶性，并证明．（2）若a=﹣1，f（2x）=2，求x的值．（3）若不等式f（x）≥a﹣2x在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）f（x）是奇函数，用定义证明f（x）是定义域上的奇函数；（2）利用换元法，求出a=﹣1时f（x）=2的解x0，再求2x=x0的解；（3）不等式f（x）≥a﹣2x在[1，+∞）上恒成立，化为（x﹣1）a≤3x2；讨论x=1和x＞1时，求出不等式恒成立时对应a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）是奇函数；由题意知，f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），定义域关于原点对称；又，∴是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数；（2）当a=﹣1时，，令f（x）=2，即：，解得：，，又∵2x＞0，∴，∴；（3）由题意知，在[1，+∞）上恒成立，即（x﹣1）a≤3x2；①当x=1时，显然（x﹣1）a≤3x2对于a∈R成立；②当x＞1时，原式可化简为在[1，+∞）上恒成立，设，t=x﹣1（t＞0），则x=t+1，，根据单调性定义可证明：函数g（t）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴g min（x）=g（1）=12，∴实数a的取值范围是a≤12．【点评】本题考查了函数的定义与性质的应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．20．（16分）定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数．（1）当a=1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，并说明理由．（2）若函数f（x）在x∈[0，+∞）上是以2为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a=1时，，x∈（﹣∞，0）．设，则，由二次函数的性质可知，函数f（t）在t＞1上单调递增，求出函数的值域，即可判断f（x）在（﹣∞，0）不是有界函数．（2）由题意知，在x∈[0，+∞）恒成立，可等价为：①，在x∈[0，+∞）恒成立，令，则原式可化简为：，利用函数的单调性判断即可．②在x∈[0，+∞）恒成立，令，则原式可化简为：，求解函数的最小值，推出结果．【解答】解：（1）当a=1时，，x∈（﹣∞，0）．设，则，由二次函数的性质可知，函数f（t）在t＞1上单调递增，故f（t）＞f（1）=3，故f（x）在（﹣∞，0）的值域为：（3，+∞）．∵f（x）的值域为（3，+∞），∴不存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，故f（x）在（﹣∞，0）不是有界函数．（2）由题意知，在x∈[0，+∞）恒成立，可等价为：①，在x∈[0，+∞）恒成立，令，则原式可化简为：，设，t∈（0，1]，利用单调性的定义易证，g（t）是（0，1]上的单调递增函数，故：g max（x）=g（1）=﹣4，故需满足：a≥﹣4．②在x∈[0，+∞）恒成立，令，则原式可化简为：，设，t∈（0，1]，利用单调性的定义易证，h（t）是（0，1]上的单调递减函数．故：h min（x）=h（1）=0，故需满足：a≤0，综上所述：﹣4≤a≤0．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，函数恒成立体积的应用，考查分析问题解决问题的能力．。
江苏省南京市高二上学期数学期中考试试卷
江苏省南京市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017高一上·河北期末) 集合P={﹣1，0，1}，Q={y|y=cosx，x∈R}，则P∩Q=（）A . PB . QC . {﹣1，1}D . [0，1]2. （2分）与椭圆共焦点，且渐近线为的双曲线方程是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高一下·温州期末) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+5y的最小值为（）A . 6B . 8C . 10D . 124. （2分） (2019高二上·大庆月考) 设甲是乙的必要条件；丙是乙的充分但不必要条件，那么（）A . 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B . 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C . 丙是甲的充要条件D . 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件5. （2分）已知直线∥平面，，那么过点P且平行于直线的直线（）A . 只有一条，不在平面内B . 有无数条，不一定在内C . 只有一条，且在平面内D . 有无数条，一定在内6. （2分） (2016高二下·清流期中) 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定正确的序号是（）A . ①②B . ①③C . ③④D . ①④7. （2分）已知且，则tanα=（）A . -B .C . -D .8. （2分） (2016高一上·温州期中) 设函数，集合M={x|f（x）=0}={x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5}⊆N* ，设c1≥c2≥c3 ，则c1﹣c3=（）A . 6B . 8C . 2D . 49. （2分） (2017高三下·深圳模拟) 已知棱长为2的正方体，球与该正方体的各个面相切，则平面截此球所得的截面的面积为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一上·宁波期中) 已知则下列命题成立的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2016高一上·武汉期中) 若f（x﹣1）=1+lgx，则f（9）=________．12. （1分） (2019高一下·哈尔滨月考) 点到直线的距离的最大值为________.13. （1分）一个正四棱锥的三视图如图所示，则此正四棱锥的侧面积为________14. （1分） (2020高一下·广东月考) 某人在C点测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为________m.15. （1分）(2014·上海理) 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆 + =1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．16. （1分） (2019高一上·惠州期末) 已知函数，则的最小值为________.17. （1分） (2016高二下·连云港期中) 已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则• 的值为________．三、解答题 (共5题；共30分)18. （10分） (2017高二下·瓦房店期末) 已知函数 .（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，求函数的最大值和最小值.19. （5分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，M分别是线段BC，CC1 ， AB的中点，AA1=2AB=4．（1）求证：DE∥平面A1MC；（2）在线段AA1上是否存在一点P，使得二面角A1﹣BC﹣P的余弦值为？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．20. （5分）已知数列{ an}是等差数列，其中 a3=9，a9=3（1）求数列{ an}（2）数列{ an}从哪一项开始小于0．21. （5分）(2020·济宁模拟) 已知椭圆的离心率为e，若椭圆的长轴长等于的直径，且，成等差数列（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设、是椭圆E上不同的两点，线段的垂直平分线交轴于点，试求点P的横坐标的取值范围．22. （5分） (2018高一下·苏州期末) 已知函数 .（1）当，时，求满足的的值；（2）若函数是定义在上的奇函数.①存在，使得不等式有解，求实数的取值范围；②若函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：二、填空题 (共7题；共7分)答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共30分)答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
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江苏省南京市2017-2018学年高一数学上学期期中试题
一.填空题: （本大题共14个小题，每小题5分，共70分）
1.集合{1,1},{0,1,-2}P Q =-=，则P Q ⋂= _______________.
2.2lg 2lg 25+=______________ .
3.已知函数()f x 与()g x 分别由下表给出，那么((4))g f =_______________ .
4.已知集合{}()|1,,A x x B a =>=+∞，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ..
5.设20.40.50.6,2,log 2a b c ===，则c b a ,,的大小关系是 ____________（从小到大排列）.
6.函数2()23f x x x =--的零点是 __________________.
7.已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3
log )(2)0()0(≤>x x ，若()1f a =,则a 的值是 ____________. 8.已知函数75()5f x x ax bx =++-，且(3)5f -=，那么(3)f = ________.
9.已知函数()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()2x f x x a =++，那么(1)f -= .
10.已知1
123,2a b m a b
==+=且，则实数m 的值为 . 11.若方程062ln =-+x x 在Z n n n ∈+),1,(内有一解，则n = _____________.
12.某老师2014年九月十日用8100元买一台笔记本. 由于电子技术的飞速发展，计算机成本不断降低， 每经过一年计算机的价格降低三分之一，到2017年九月十日该老师这台笔记本还值 ________元．
13.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上为增函数，()20f =，则不等式()2log 0f x >的解集为 .
14．已知函数(21)72(1)() (1)x a x a x f x a x -+-<⎧=⎨
≥⎩在R 上单调递减，则a 的取值范围是 .
二、解答题：
15.（本题满分14分）U R =，{}{}。
42|,31|≤<=≤≤=x x B x x A
求：（1）A B ⋂
（2）A B ⋃
16.计算：（本题满分14分）
（1）2
102
3213(2)(9.6)(3)(1.5)48-----+
（2）()
()3722log 22lg 5lg 2lg 50⨯+⨯.
17．(本题满分14分)设321
21
=+-x x ，
求值（1）1-+x x
（2）21
21
--x x ．
18.（本题满分16分）已知函数(),(0,1)x
f x a b a a =+>≠,()f x 的图像如图所示 (1)求,a b 的值；
(2)画出()y f x =在区间-+∞∞（，）上的图像.
(3)写出()y f x =在区间[]0,4上的值域.
19.（本题满分16分）已知函数141
4)(+-=x x x f （x ∈R ）．
（1）证明函数()f x 是奇函数；
（2）判断函数()f x 的单调性并用定义证明；
（3）解不等式0)2()12(<-++m f m f ．
20.（本题满分16分）已知二次函数2()f x ax bx =+，同时满足条件:
①(1)(3)f f -=,② 2)()(x x f x g -=是奇函数,试解决下列两个问题:
（1）求)(x f 的解析式；
（2）若函数()f x 在区间[]0,b 上的最小值是()f b ，求b 的取值范围 .
（3）,m R ∈求关于x 的方程()f x m =的解的个数.
高一数学期中考试参考答案
一、 填空题
1、{}1
2、2
3、2
4、2a ≤
5、c a b <<
6、3与1- 7
、
2和0 8、-15 9、-2 10 11、2 12、2400 13、()102+4⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，， 143
182⎡⎫
⎪⎢⎣⎭，
二、 解答题
15.（1）(]2,3A B =
（2）[]1,4A B =
16.（1）1
2
（2）10.
17．（1）7
（2）
18.（1）3a b ==
（2）图略
（3）值域[]0,6
19.（1）证明略
（2）()f x 为R 上增函数，证明略
（3）1
3m <
20.（1）2()2f x x x =-
（2）{22(01)
1(1)()b b b b f b -<≤->=
（3）略。