2016届高三理科数学一轮复习：高考数学微专题研究9-3
2016年高考数学一轮复习探究
（二）近两年各地方卷试题——综合研究，找特征
（三）归类相同考点的试题——纵向研究，找变化
三、研考题
明确复习思路
研究些什么？
（一）试题结构：15年课标1卷整体的试题结构，近三年 课标1卷中各知识点分值的变化及知识 点的变化 （二）重点知识：高频考点、主干知识 （三）考察特点：各考点的考查方式、规率，考查的题 型、方法，数学思想等 （四）评分标准：高考阅卷中的评分原则 （五）命题趋势：16年会如何考？
二、学考纲
把握高考方向
【2015 全国课标 I 卷文科 13 题】数列 an 中 a1 2, an1 2an , Sn 为 an 的前 n 项和，若 Sn 126 ，则 n .
an S n 【2015 全国课标 II 卷 16 题】设 是数列 的前 n 项和，
（一）试题结构
1.15年课标1卷整体的试题结构 （4）注重对数学思想方法的考查
数学思想方法是知识综合的统帅和纽带，是综合能力的 中心。近几年的数学试题均注重了考查学生对数学思想 方法的应用能力，今年也不例外，对几种常见的数学思 想方法考查的力度均有所体现，这也体现了命题整体思 路的稳定性。如第7题，第12题，第16题，第21题。
高效益。
一、谈认识
转变复习观念
试题内容选择： （1）选择的内容必须具有代表性，选择实际上意味 着“强调”。努力使试题都是若干可共选择的同类试题中的 代表，出一道好题应具有“触类旁通”的功能，使整个体系 抖动起来。 （2）选择的内容必须是重点，选择实际上意味着“ 强化”。努力使试题能找到实际教学的影子。 （3）选择的内容应是有利于学生巩固和加工经验。
三、研考题 明确复习思路
2. 近三年课标1卷中各知识点分值的变化及知识点的变化
【优化探究】2016届高考数学理科(人教A版)一轮复习课件_第九章_算法、统计、统计案例9-4
最新考纲展示
变量间的相关关系及统计案例
1．会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量
间的相关关系． 2. 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归 3.了解独立性检验(只要求2×2列 方程系数公式建立线性回归方程． 方法及其简单应用．
联表)的基本思想、方法及其简单应用．
4.了解回归分析的基本思想、
2 ∑ x －n i＝1 i n n n
y x
2
^＝ y －b ^ x ，其中，b ^是回归方程的 ，a
斜率 ，a ^是在
y 轴上的截距．
4．样本相关系数 r＝ 系． (1)当 r>0 时，表明两个变量 正相关 (2)当 r<0 时，表明两个变量 负相关 ． ． 接近于 ∑ xi－ x yi－ y i＝1 ∑ xi－ x i＝1
①画出散点图； ②试判断施化肥量x与水稻产量y是否线性相关？
解析
(1)由图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关；由图
(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关． (2)①散点图如图所示．
②观察散点图知，散点图中的点分布在一条直线附近，则施化肥
量x与水稻产量y之间具有线性相关关系． 答案 (1)C
其样本频数列联表(称2×2列联表)为：
2.K2 统计量
2 n ad － bc K2＝ (其中 n＝a＋b＋c＋d 为样本容量)． a＋bc＋da＋cb＋d
1．易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定 的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系， 而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 2．回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线 必过( x ， y )点，可能所有的样本数据点都不在直线上． 3．利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质 上是预测值(期望值)．
2016届高考数学理科一轮复习(北师大版)课件第6章高考专题突破三
c1 c2 cn (2)设数列{cn}对 n∈N＋均有b ＋b ＋…＋b ＝an＋1 成立，求 n 1 2 c1＋c2＋c3＋…＋c2 013.
c1 c2 cn 解 由b ＋b ＋…＋b ＝an＋1，得 n 1 2 cn－1 c1 c2 当 n≥2 时，b ＋b ＋…＋ ＝an. b 1 2 n－1 cn 两式相减得，b ＝an＋1－an＝2. n
a1 a2 4 4 4
1 1 1 当 n≥3 时，a ＝n2< n－1n n 1 1 ＝ － ， n－1 n 1 1 1 1 此时a ＋a ＋a ＋…＋a n 1 2 3
解析
思维升华
例 3 (3)证明：对一切正整数 n， 1 1 1 1 1 1 1 1 7 ＝1＋4＋32＋42＋…＋n2<1＋4 有a ＋a ＋…＋a <4. n 1 2
1 1 an 所以{ n }是以2为首项，2为公比的等比数列.
解析
思维升华
例2 (2)求通项an与前n项的
和Sn.
解析
思维升华
解
1 1 an 由{ n }是以2为首项，2
例2 (2)求通项an与前n项的
和Sn.
为公比的等比数列， an 1 1 n－1 得 n ＝2×(2) ， 1n 所以 an＝n×(2) . 1 12 13 ∴Sn ＝ 1· ( 2 ) ＋ 2· ( 2 ) ＋ 3· (2) 1n ＋…＋n· (2) ，
解析
思维升华
例1
(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝
(1) 正确区分等差数列和等
比数列，其中公比等于 1的
1,2，…，求数列{bn}的前n项
等比数列也是等差数列.
(2) 等差数列和等比数列可
【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第9章 第2节 统计课件 理 苏教版
(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； (2)分别估计该市的市民对甲、 乙两部门的评分高于 90 的概率； (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．
[思路点拨]
(1)把甲、 乙两部门的数据根据茎叶图从小到大排
列，可求出中位数，再估计总体中位数； (2)先分别计算甲、乙两 部门得分大于 90 的人数，然后得出高于 90 的频率，再估计总体； (3)根据茎叶图估计它们的标准差，从而得出结论．
(2)(2013· 江西高考改编)总体由编号为 01,02，„，19,20 的 20 个 个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从随机 数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字， 则选出来的第 5 个个体的编号为________. 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
[答案] (1)12 (2)13
考向 3 命题视角 角度有： (1)求众数、中位数； (2)求平均数、方差；
样本的数字特征(高频考点)
求样本的数字特征是统计中常考的内容， 主要命题
(3)由样本的数字特征估计概率．
【典例 3】 (2014· 课标全国卷Ⅱ)某市为了考核甲、乙两部门 的工作情况， 随机访问了 50 位市民． 根据这 50 位市民对这两部门 的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下： 甲部门 3 4 4 97 5 97665332110 6 98877766555554443332100 7 6655200 8 632220 9 10 乙部门 59 0448 122456677789 011234688 00113449 123345 011456 000
《高考导航》2016届新课标数学(理)一轮复习讲义第三章第5讲三角函数的图象与性质
第5讲 三角函数的图象与性质[做一做]1．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数答案：B2．函数y ＝tan 3x 的定义域为____________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π3，k ∈Z1．辨明三个易误点(1)y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数．(2)三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．(3)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx ＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解．2．求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图象写出函数的值域；(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决． [做一做]3．若函数f (x )＝－cos 2x ，则f (x )的一个递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，0 B.⎝⎛⎭⎫0，π2C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，π 解析：选B.由f (x )＝－cos 2x 知递增区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，故只有B 项满足．4．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( )A ．－1B ．－22C.22D ．0解析：选B.由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22.,[学生用书P 64～P 66])考点一__三角函数的定义域和值域____________(1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________；(2)(2014·高考大纲全国卷)函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________． [解析] (1)要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .(2)y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1，设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数可以化为y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫t －122＋32，∴当t ＝12时，函数取得最大值32. [答案] (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z (2)32本例(2)变为函数y ＝cos 2x ＋4sin x (|x |≤π6)的最大值为________． 解析：y ＝cos 2x ＋4sin x ＝－2sin 2x ＋4sin x ＋1，设t ＝sin x (－12≤t ≤12)，则原函数可以化为y ＝－2t 2＋4t ＋1＝－2(t －1)2＋3，∴当t ＝12时，函数取得最大值52.答案：52[规律方法] (1)三角函数定义域的求法：求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法：①利用sin x 和cos x 的值域直接求．②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域(本讲典例2(3))． ③把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域． ④利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．1.(1)函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域为________；(2)函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域为________． 解析：(1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0x ＞0tan x ≥0x ≠k π＋π2，k ∈Z ⇒⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤4，k π≤x ＜k π＋π2（k ∈Z ）.利用数轴可得函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜π2或π≤x ≤4.(2)设t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12(－2≤t ≤2)．y ＝t ＋12t 2－12＝12(t ＋1)2－1，当t ＝2时，y 取最大值为2＋12，当t ＝－1时，y 取最小值为－1. ∴函数值域为[－1，12＋2]．答案：(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜π2或π≤x ≤4 (2)[－1，12＋2]考点二__三角函数的单调性(高频考点)__________三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或解答题某一问出现，难度适中，多为中档题．高考对三角函数单调性的考查有以下四个命题角度： (1)求已知三角函数的单调区间； (2)已知三角函数的单调区间求参数；(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)； (4)利用三角函数的单调性比较大小．(1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )(2)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0，2)(3)(2015·江西南昌模拟)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2.①求f (x )的单调增区间；②当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值，最小值．[解析] (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )，故选B.(2)由π2<x <π，ω>0，得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4， 又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54，故选A.[答案] (1)B (2)A(3)解：①f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .②∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4，∴3π4≤2x ＋π4≤7π4，∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，∴－2≤f (x )≤1，∴当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.[规律方法] 三角函数单调性问题解题策略(1)已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)．形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 或可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决．2.(1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a(2)(2015·山东聊城期末测试)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32 C ．2D ．3(3)函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间为________．(4)函数y ＝|tan x |的单调增区间为________．解析：(1)a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7＝2sin 1021π，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＝2，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3，因y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上递增，则c <a <b .(2)∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32. (3)由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，得 2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )．(4)如图，观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z .答案：(1)B (2)B (3)⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) (4)⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z考点三__三角函数的奇偶性、周期性及对称性__(1)(2014·高考课标全国卷Ⅰ)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③(2)(2015·揭阳模拟)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ( )A ．是奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B ．是偶函数且图象关于点()π，0对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 [解析] (1)①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，T ＝π. ②由图象知，函数的周期T ＝π. ③T ＝π. ④T ＝π2.综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③. (2)∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )．∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4(k ∈Z )．∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x .∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称．[答案] (1)C (2)C[规律方法] (1)三角函数的奇偶性的判断技巧：首先要知道基本三角函数的奇偶性，再根据题目去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．(2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.③利用图象．(3)三角函数的对称性：正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．[提醒] 判断函数的奇偶性时，必须先分析函数定义域是否关于原点对称．3.(1)(2015·宁夏银川联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称D ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数(2)(2014·高考北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．解析：(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，故A 正确；易知函数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，C 错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，D 正确，故选C.(2)∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3.∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 答案：(1)C (2)π考题溯源——函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(2014·高考福建卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． [解] 法一：(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cosπ4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2. (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .[考题溯源] 本考题源于教材人教A 版必修4 P 147复习参考题A 组11题“已知函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )． (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)画出函数y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象．”(2015·河北高阳中学第一次月考)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域．解：(1)∵f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.∴函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，对称轴方程为x ＝π3＋k π2，k ∈Z .(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，∴当x ＝π3时，f (x )取最大值1.又∵f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－32<f ⎝⎛⎭⎫π2＝12，∴当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1.1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈ZC.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈ZD ．R解析：选C.∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 2．函数f (x )＝(1＋sin x )(sin 2x ＋cos 2x －sin x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数解析：选B.f (x )＝(1＋sin x )(1－sin x )＝1－sin 2x ＝cos 2x ＝12cos 2x ＋12，所以f (x )是最小正周期为π的偶函数．3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．－1－3B ．－1C ．0D ．2－ 3 解析：选D.∵0≤x ≤9，∴－π3≤πx 6－π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.4．如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选A.依题意得，sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，则π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π6(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.5．(2014·高考安徽卷)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( ) A.12 B.32C ．0D ．－12解析：选A.∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数． 又f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6，f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6－12.∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12.故选A.6．比较大小：sin ⎝⎛⎭⎫－π18________sin ⎝⎛⎭⎫－π10.解析：因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，0上为增函数且－π18＞－π10，故sin ⎝⎛⎭⎫－π18＞sin ⎝⎛⎭⎫－π10.答案：＞7．(2014·高考山东卷)函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 解析：∵y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，∴函数的最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π8．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3的值域为________，并且取最大值时x 的值为________．解析：∵0≤x ≤π3，∴π3≤2x ＋π3≤π，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－1≤1，即值域为[－1，1]，且当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1，即x ＝π12时，y 取最大值．答案：[－1，1]π129．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x . (1)求f (x )的单调减区间；(2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标． 解：f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)．(1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )得，k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )． (2)由sin(2x ＋π6)＝0，得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π2－π12(k ∈Z )．∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π12，0)．10．(2014·高考天津卷)已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值.解：(1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数．f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14，所以，函数f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.1．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，且|φ|<π2在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝( )A.12B.22C.32D ．1解析：选C.由题意得函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x＋φ)，将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入上式得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，于是f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝cos π6＝32.2．(2015·开封市第一次摸底)已知函数f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ(x ∈R )，其中φ为实数，且f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫2π9对任意实数R 恒成立，记p ＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，q ＝f ⎝⎛⎭⎫5π6，r ＝f ⎝⎛⎭⎫7π6，则p 、q 、r 的大小关系是( )A ．r <p <qB ．q <r <pC ．p <q <rD ．q <p <r解析：选C.f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ＝sin(2x ＋φ)， ∴f (x )的最小正周期T ＝π.∵f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫2π9，∴f ⎝⎛⎭⎫2π9是最大值． ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π18，∴p ＝sin 25π18，q ＝sin 31π18，r ＝sin 7π18，∴p <q <r .3．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x ) ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78. ∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.答案：7824．(2015·内蒙古包头一模)给出下列命题：①函数f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫－5π12，0；②已知函数f (x )＝min{sin x ，cos x }，则f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22； ③若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β. 其中所有真命题的序号是________． 解析：对于①，令x ＝－512π，则2x ＋π3＝－56π＋π3＝－π2，有f ⎝⎛⎭⎫－512π＝0，因此⎝⎛⎭⎫－512π，0为f (x )的一个对称中心，①为真命题；对于②，结合图象知f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－1，22，②为真命题；对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°＞60°，但sin 390°＝12＜sin 60°＝32，故③为假命题，所以真命题为①②. 答案：①②5．(2015·辽宁省五校联考)设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R .(1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期．解：由已知：f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4.(1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，∴f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z .即x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z .(2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点，∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z ，又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，此时其最小正周期为π.6．(选做题)已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b ，3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5，3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1， ∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
2023年新高考数学一轮复习9-3 椭圆(真题测试)含详解
专题9.3 椭圆（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习（文））已知椭圆22214x y C a +=：的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．2D ．32．（2017·浙江·高考真题）椭圆22194x y +=的离心率是（ ）A B C ．23D ．593．（全国·高考真题（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=4．（2020·山东·高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ） A ．3B ．6C ．8D ．125．（2019·北京·高考真题（理））已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（ ）A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b6.（2018·全国·高考真题（文））已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．1B ．2CD 17．（2018·全国·高考真题（理））已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b ab+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A ．23B ．12 C ．13 D ．148．（2021·全国·高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（ ）A ．⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）设圆锥曲线C 的两个焦点分别为12,F F ，若曲线C 上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线C 的离心率可以是（ ） A ．12B ．23C ．32D ．210.（2022·广东·高三开学考试）已知椭圆C ：2212516x y +=，1F 、2F 是椭圆C 的两个焦点，M 、N 是椭圆C 上两点，且M 、N 分别在x 轴两侧，则（ ） A ．若直线MN 经过原点，则四边形12MF NF 为矩形 B ．四边形12MF NF 的周长为20 C ．12MF F △的面积的最大值为12D ．若直线MN 经过2F ，则1F 到直线MN 的最大距离为811．（2022·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1，F 2分别是椭圆22:142x y C +=的左，右焦点，点A ，B 是椭圆C 上异于长轴端点的两点，且满足11AF F B λ=，则（ ） A ．△ABF 2的周长为定值 B ．AB 的长度最小值为1 C ．若AB ⊥AF 2，则λ=3D ．λ的取值范围是[1，5]12．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）设1F ，F 为椭圆221204x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点(1,2,3)i P i =，1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的递增等差数列，则（ ）A ．FP 的最大值为4B ．1F PF △的面积最大时，14tan 3F PF ∠=-C ．d 的取值范围为10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．椭圆上存在点P ，使134F PF π∠= 三、填空题13．（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．14．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））椭圆C ：22221x y a b +=（a >b >0)的焦距为2c ，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，以OA 为直径的圆与圆222x y c +=交于P ，Q 两点，若|PQ |=|OA |，则椭圆C 的离心率为______.15．（2019·全国·高考真题（理））设12F F ，为椭圆22:+13620x yC =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.16．（2022·全国·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________． 四、解答题17. （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，过椭圆的左焦点F l与椭圆交于A 、B 两点（A 点在B 点的上方），若有2AF FB =，求椭圆的离心率．18.（陕西·高考真题（理））已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程． 19.（2019·天津·高考真题（理））设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.20.（2019·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．21．（2021·天津·高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，且BF =（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．22.（2018·天津·高考真题（文））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心AB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM△的面积是BPQ 面积的2倍，求k 的值．专题9.3 椭圆（真题测试）一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习（文））已知椭圆22214x y C a +=：的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．2D ．32．（2017·浙江·高考真题）椭圆22194x y +=的离心率是（ ）A B C ．23D ．593．（全国·高考真题（文））已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=c e a ==22b ∴=，所以方程为4．（2020·山东·高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．12【答案】B【分析】根据椭圆中,,a b c 的关系即可求解. 【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8， 所以210a =，28c =，可得5a =，4c =， 所以22225169b a c =-=-=，可得3b =， 所以该椭圆的短轴长26b =， 故选：B.5．（2019·北京·高考真题（理））已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（ ）A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b6.（2018·全国·高考真题（文））已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．1B ．2CD 1290,PF ∠1,||PF =故选D.7．（2018·全国·高考真题（理））已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，则C的离心率为（）A．23B．12C．13D．148．（2021·全国·高考真题（理））设B是椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的上顶点，若C上的任意一点P都满足||2PB b≤，则C的离心率的取值范围是（）A．⎫⎪⎪⎣⎭B．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．⎛⎝⎦D．10,2⎛⎤⎥⎝⎦二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）设圆锥曲线C 的两个焦点分别为12,F F ，若曲线C 上存在点P 满足1122::4:3:2PF F F PF =，则曲线C 的离心率可以是（ ）A ．12 B ．23C ．32D ．210.（2022·广东·高三开学考试）已知椭圆C ：2212516x y +=，1F 、2F 是椭圆C 的两个焦点，M 、N 是椭圆C 上两点，且M 、N 分别在x 轴两侧，则（ ） A ．若直线MN 经过原点，则四边形12MF NF 为矩形 B ．四边形12MF NF 的周长为20 C ．12MF F △的面积的最大值为12D ．若直线MN 经过2F ，则1F 到直线MN 的最大距离为811．（2022·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1，F 2分别是椭圆22:142x y C +=的左，右焦点，点A ，B 是椭圆C 上异于长轴端点的两点，且满足11AF F B λ=，则（ ）A ．△ABF 2的周长为定值B ．AB 的长度最小值为1C ．若AB ⊥AF 2，则λ=3D ．λ的取值范围是[1，5]【详解】因为11AF F B λ=，则A 三点共线，2ABF 周长21=≠，B 错．，则12AF AF ⊥，A 在上、下顶点处，不妨设A解得0x =⎧⎪⎨或，422,-12．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）设1F ，F 为椭圆221204x y +=的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点(1,2,3)i P i =，1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的递增等差数列，则（ ）A ．FP 的最大值为4B ．1F PF △的面积最大时，14tan 3F PF ∠=-C ．d 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．椭圆上存在点P ，使134F PF π∠=三、填空题13．（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m+--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．【答案】【分析】由于22670x my m +--=是圆，可得1m =，通过圆心和半径计算,,a b c ，即得解 【详解】由于22670x my m +--=是圆，1m ∴= 即：圆22670x y x +--= 其中圆心为()3,0，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即3c =，4a =，b ==那么短轴长为故答案为：14．（2022·全国·南宁二中高三期末（文））椭圆C ：22221x y a b +=（a >b >0)的焦距为2c ，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，以OA 为直径的圆与圆222x y c +=交于P ，Q 两点，若|PQ |=|OA |，则椭圆C 的离心率为______.15．（2019·全国·高考真题（理））设12F F ，为椭圆22:+13620x yC =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.16．（2022·全国·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________． 称性将ADE 的周长转化为【详解】∵椭圆的离心率为2213y c =，即2a OF c =，两点，DE 为线段∴ADE 的周长等于24a a a +=四、解答题17. （2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>，过椭圆的左焦点F l与椭圆交于A 、B 两点（A 点在B 点的上方），若有2AF FB =，求椭圆的离心率．【答案】23由2AF FB =可得x 的坐标代入椭圆方程中化简可求出离心率 【详解】因为2AF FB =，设A 4⋅⋅⋅⋅⋅⋅①②①-②得：，1220y y +=，18.（陕西·高考真题（理））已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．（Ⅰ）求椭圆E 的离心率；（Ⅱ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程． 【答案】（Ⅰ）32；（Ⅱ）221123x y +=．19.（2019·天津·高考真题（理））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4 （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.5520.（2019·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:222(1)4x y a-+=交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=52．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．43因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，21．（2021·天津·高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，且BF =（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．因此，椭圆2215x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.22.（2018·天津·高考真题（文））设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心AB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM△的面积是BPQ 面积的2倍，求k 的值．的面积是BPQ 面积的23,x y y kx +=⎧⎨=⎩所以，k 的值为12-．。
2016届高三理科数学一轮复习：高考数学微专题研究4-1
第21页
第四章
三角函数
第二十一页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
高考调研
新课标版 ·数学 理 ·高三总复习
(2)求函数 y＝6cos4x＋cos52sxin2x－4的值域． 【解析】 原函数可化为 y＝6cos4x－co5s2cxos2x＋1＝2cos2x－c1os23xcos2x－1. ∴y＝3cos2x－1，(cos2x≠12)． ∴－1≤y≤2，且 y≠12. 【答案】 [－1，12)∪(12，2]．
【答案】 [－4,5]
第10页
第四章
三角函数
第十页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
高考调研
新课标版 ·数学 理 ·高三总复习
(3)设函数 f(x)＝2cos2x＋2 3sinxcosx＋m(x∈R)． ①化简函数 f(x)的表达式，并求函数 f(x)的最小正周期； ②若 x∈[0，π2]，是否存在实数 m，使函数 f(x)的值域恰 为[12，72]？若存在，请求出 m 的取值范围；若不存在，请说 明理由．
第15页
第四章
三角函数
第十五页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
高考调研
新课标版 ·数学 理 ·高三总复习
【答案】 当a>0时，y取最小值，ymin＝－a； 当a≤0时，y取最小值，ymin＝a
第16页
第四章
三角函数
第十六页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
高考调研
新课标版 ·数学 理 ·高三总复习
第22页
第四章
三角函数
第二十二页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
高考调研
新课标版 ·数学 理 ·高三总复习
题型三 数形结合求三角函数的值域
例 3 (1)求函数 f(x)＝22＋－csoinsxx的值域． (2)已知 f(x)＝12(sinx＋cosx)－12|sinx－cosx|，求 f(x)的值 域．
2016届高三理科数学一轮复习：高考数学微专题研究9-1
(2)设动直线l垂直x轴，且与椭圆x2＋2y2＝4交于A，B两 →· → ＝1的点，求点P的轨迹方程． 点，P是l上满足PA PB 【解析】 A，B两点的坐标分别为
A x， 4－x2 ， B x，－ 2
4－x2 . 2
设P(x，y)，则
→ PA＝ 0， 4－x2 → －y，PB＝0，－ 2
(xA，yA)，则AP＝(x－xA，y－yA)． → ＝(x －1，y )． 因为F的坐标为(1,0)，所以FA A A
→ ＝－2FA → ，得(x－x ，y－y )＝－2(x －1，y )， 由AP A A A A
x－xA＝－2xA－1， 即 y－yA＝－2yA， xA＝2－x， 解得 yA＝－y.
1 2 2 根，同理－ k 是方程(x2 － 9) x － 2 x y x ＋ y 3)的另 0 0 0 0－4＝0(x0≠± 一个根．
1 y2 0－4 2 2 － ＝ 2 所以k· ，得 x 3. 0＋y0＝13，其中x0≠± k x0－9
2 所以此时点P的轨迹方程为x0 ＋y2 3)． 0＝13(x0≠± 2 因为P(± 3，± 2)满足x2 ＋ y 0 0＝13， 2 所以综上可知，点P的轨迹方程为x0 ＋y2 0＝13.
∴|MA|＝ x ＋y－b ，|MB|＝ |MN| ＋|BN| ＝ a ＋y . 所以x2－2by＋b2－a2＝0.
• 【答案】 x2－2by＋b2－a2＝0
• 例2 自抛物线y2＝2x上任意一点P向其准线l 引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和 连接焦点F与Q的直线交于R点，求R点的轨迹 【解析】 相关点法：设P(x1，y1)，R(x，y)， 方程．
时，设其斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题设可得点A，B的坐标(x1， y＝kx＋1， y1)，(x2，y2)是方程组 2 y2 x ＋ 4 ＝1 ① ② 的解．
2016届高三理科数学一轮复习：高考数学微专题研究9-2
综上所述，当t＝－
235 ，即k＝－
43 时，|MN|的最小值是
8 5
2. 【答案】
(1)x2＝4y
8 (2)5 2
第12页
第九章
解析几何
第十二页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
思考题2 椭圆C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为
36，短轴一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆C的方程； (2)设存在斜率的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原
第17页
第九章
解析几何
第十七页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
【解析】 由抛物线和圆的对称性知，当A，B重合时，三 角形ABF的周长达到最小值的极限，此时，值为4；当A为抛物 线 的 顶 点 ， B 在 x 轴 上 时 ， 三 角 形 ABF 的 周 长 达 到 最 大 值 的 极 限，此时，值为6.故△ABF的周长的取值范围是(4,6)．
【解析】 由题意知：B(c，ba2)， b2
∴k＝c＋a a＝a－a c＝1－e.又13<k<12，
∴13<1－e<12，解得12<e<23.
【答案】 (12，23)
第21页
第九章
解析几何
第二十一页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
例4 已知点G是△ABC的重心，A(0，－1)，B(0,1)，在 x轴上有一点M，满足|M→A|＝|M→C|，G→M＝λA→B(λ∈R)．
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
2016届高三理科数学一轮复习：高考数学微专题研究3
专题讲解
第3页
第三章 导数及应用
第三页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
题型一 导数与函数图像
例 1 (2015·潍坊模拟)已知 f(x)＝14x2＋sin(π2＋x)，f′(x) 为 f(x)的导函数，则 y＝f′(x)的图像大致是( )
第4页
第三章 导数及应用
第四页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
【解析】 因为 f(x)＝14x2＋cosx，所以 f′(x)＝12x－sinx， f′(x)为奇函数，排除 B，D，令 g(x)＝12x－sinx，则 g′(x) ＝12－cosx，当 0<x<π3时，g′(x)<0，f′(x)单调递减，当π3<x<53π 时，g′(x)>0，f′(x)单调递增，当53π<x<2π 时，g′(x)<0，f′(x) 单调递减，故选 A.
第19页
第三章 导数及应用
第十九页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
①当 m>23时，函数 g(x)无零点；
②当 m＝23时，函数 g(x)有且只有一个零点；
③当 0<m<23时，函数 g(x)有两个零点；
④当 m≤0 时，函数 g(x)有且只有一个零点．
【答案】 C
第8页
第三章 导数及应用
第八页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
题型二 导数与不等式
例2 (2015·沧州七校联考)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋ 2a，x∈R.
2016届高三理科数学一轮复习：高考数学微专题研究7-2
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋…＋
1 2k2k＋2
＋
1 2k＋1[2k＋1＋2]
＝4k＋k 1＋4k＋11k＋2 ＝4kk＋k＋12k＋＋12＝4k＋k＋11k＋2 2
第11页
第七章 不等式及推理与证明
第十一页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
高考调研
新课标版 ·数学（理 ·高三总复习
＝4[k＋k＋11＋1]， 即n＝k＋1时等式成立． 由(1)，(2)可知，对任意n∈N*等式均成立． 【答案】 略
第26页
第七章 不等式及推理与证明
第二十六页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
高考调研
新课标版 ·数学（理 ·高三总复习
<16＋12(2×1 3＋3×1 4＋…＋nn1＋1)
＝16＋12(12－13＋13－14＋…＋1n－n＋1 1)
＝16＋12(12－n＋1 1)<16＋14＝152.
【答案】 (1)a2＝6，a3＝12，a4＝20，b2＝9，b3＝16，b4 ＝25，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2，证明略
第23页
第七章 不等式及推理与证明
第二十三页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
高考调研
新课标版 ·数学（理 ·高三总复习
思考题3 在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且 an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．
(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项 公式，并证明你的结论；
第22页
第七章 不等式及推理与证明
第二十二页，编辑于星期五：二十点 三十七分。
高考调研
新课标版 ·数学（理 ·高三总复习
2016届高三理科数学一轮复习：高考数学微专题研究6-2
第22页
第六章
数列
第二十二页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
高考调研
新课标版 ·数学 理 ·高三总复习
①＋②，得2S＝[f(2
0115)＋f(22
001145)]＋[f(2
0215)＋f(22
013 015)]
＋…＋[f(22 001145)＋f(2 0115)]＝2 014.
∴S＝2 0214＝1 007.
第六章
数列
第二十四页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
高考调研
新课标版 ·数学 理 ·高三总复习
思考题3
设f(x)＝
x2 1＋x2
，求f(
2
1 016
)＋f(
2
1 015
)
＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)．
【解析】 ∵f(x)＝1＋x2x2，∴f(x)＋f(1x)＝1.
令S＝f(2 0116)＋f(2 0115)＋…＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)．①
新课标版 ·数学 理 ·高三总复习
思考题2
已知直线(3m＋1)x＋(1－
m)y－4＝0所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第
一项与第二项，若bn＝
1 an·an＋1
，数列{bn}的前n项和为Tn，则
T10＝( )
9
10
A.21
B.21
11
20
C.21
D.21
第11页
第六章
数列
第十一页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
新课标版 ·数学 理 ·高三总复习
探究3 (1)如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个 等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法．
2016届高三理科数学一轮复习：高考数学微专题研究6-1
第19页
第六章
数列
第十九页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
题型四 待定系数法(构造新数列法)
例4 (1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求通项公 式an.
第20页
第六章
数列
第二十页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
第10页
第六章
数列
第十页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
【解析】 原式可化为[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.
∵an＋1＋an>0，∴aan＋n 1＝n＋n 1.
则aa21＝12，aa23＝23，
aa43＝34
，…， an ＝ an－1
即a2n＋1＝23a2n＋13.∴a2n＋1－1＝23(an2－1)．
令bn＝an2－1－1，∴bn＋1＝23bn.
又b1＝a12－1＝－34，
第25页
第六章
数列
第二十五页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
∴数列{bn}是首项为－34，公比为23的等比数列．
第14页
第六章
数列
第十四页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
题型三〓换元法
例3
已知数列{an}，其中a1＝
4 3
，a2＝
13 9
，且当n≥3
时，an－an－1＝13(an－1－an－2)，求通项公式an.
2016届高三理科数学一轮复习：高考数学微专题研究2
第9页
第二章 函数与基本初等函数
第九页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
思考题1 某企业为打入国际市场，决定从A，B两 种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品 的有关数据如下表所示：(单位：万美元)
类别
项目
年固定成 本
每年最多
每件产品成 每件产品销
第17页
第二章 函数与基本初等函数
第十七页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
(2)每件样品的销售利润 h(t)与上市时间 t 的关系为 h(t)
＝36t0，，02≤0<t≤t≤2400，. 故国外和国内的日销售利润之和 F(t)与上市时间 t 的关
系为
3t－230t2＋8t，0≤t≤20， F(t)＝60－230t2＋8t，20<t≤30，
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
探究1 二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型 可以求出函数的值域或最值．解决实际中的优化问题时，一定 要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注意 对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对 称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称 轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得．
可生产的
本
售价
件数
A产品
20
m
10
200
B产品
40
8
18
120
第10页
第二章 函数与基本初等函数
第十页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
2016届高三理科数学一轮复习：高考数学微专题研究6-3
第24页
第六章
数列
第二十四页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
【解析】 (1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝ λSn＋1－1，
两式相减，得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. (2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1. 由(1)知，a3＝λ＋1. 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4. 由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝ 4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.
第9页
第六章
数列
第九页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
高考调研
新课标版 ·数学（理） ·高三总复习
思考题1 已知等比数列{an}的公比为q，前n项的和 为Sn，且S3，S9，S6成等差数列．
(1)求q3；
(2)求证：a2，a8，a5成等差数列．
第10页
第六章
数列
第十页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
【思路】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn与相邻两项an，an ＋1间的递推关系式anan＋1＝λSn－1，要证an＋2－an＝λ，故考虑利 用an＋1＝Sn＋1－Sn消去Sn进行证明．
(2)若{an}为等差数列，则有2a2＝a1＋a3，故可由此求出λ， 进而由an＋2－an＝4验证{an}是否为等差数列即可．
∴a12n＝1＋4(n－1)，∴a2n＝4n1－3.
∵an>0，∴an＝ 4n1－3(n∈N*)．
第21页
第六章
数列
第二十一页，编辑于星期五：二十点 三十六分。
2016届人教A版高考数学大一轮复习课件 探究课3
解 (1)f(x)＝ 23－ 3sin2ωx－sin ωxcos ωx
＝ 23－
1－cos 3· 2
2ωx－12sin
2ωx
＝
3 2 cos
2ωx－12sin
2ωx
＝－sin2ωx－π3. 因为 y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离
为π4，故该函数的周期 T＝4×π4＝π.又 ω＞0，所以22ωπ＝π，因
第二十二页，编辑于星期五：十八点 四十一分。
解 (1)由题意知，f(x)＝2cos2x－ 3sin 2x＝1＋cos 2x－ 3sin 2x＝1＋2cos2x＋π3， ∴f(x)的最小正周期 T＝π， ∵y＝cos x 在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减， ∴令 2kπ≤2x＋π3≤2kπ＋π， 得 kπ－π6≤x≤kπ＋π3. ∴f(x)的单调递减区间为kπ－π6，kπ＋π3，k∈Z.
又 h(x)为奇函数，则 2φ＋π3＝kπ，∴φ＝k2π－π6(k∈Z)．
∵φ＞0，∴当 k＝1 时，φ 取最小值π3.
(12 分)
第五页，编辑于星期五：十八点 四十一分。
构建模板 求三角函数单调递增区间的一般步骤 第一步：将 f(x)化为 asin ωx＋bcos ωx 的形式． 第二步：构造 f(x)＝ a2＋b2·(sin ωx· a2a＋b2＋cos ωx· a2b＋b2)． 第三步：利用三角恒等变换转换表达式为 f(x)＝ a2＋b2sin(ωx＋φ)的形式． 第四步：令 ωx＋φ∈－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)． 第五步：解得 x 的范围． 第六步：下结论．
第七页，编辑于星期五：十八点 四十一分。
【训练 1】 设函数 f(x)＝ 23－ 3sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)， 且 y＝f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求 ω 的值； (2)求 f(x)在区间π，32π上的最大值和最小值．
浙江专用2016届高考数学一轮复习9.2导数在研究函数中的应用理
第2讲 导数在研究函数中的应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2015·九江模拟)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析 函数f (x )＝(x －3)e x的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x]′＝e x＋(x －3)e x＝(x －2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )＞0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x＞0，解得x ＞2. 答案 D2．函数y ＝x e x的最小值是( )A ．－1B ．－eC ．－1eD ．不存在解析 y ′＝e x＋x e x＝(1＋x )e x，令y ′＝0，则x ＝－1，因为x ＜－1时，y ′＜0，x ＞－1时，y ′＞0，所以x ＝－1时，y min ＝－1e .答案 C3.(2013·浙江卷)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )解析 由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f (x )的图象为增函数，且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢． 答案 B4．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a ＜－1B ．a ＞－1C ．a ＞－1eD ．a ＜－1e解析 ∵y ＝e x＋ax ，∴y ′＝e x＋a . ∵函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x＋a ＝0有大于零的解， ∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x＜－1. 答案 A5．(2014·青岛模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C ．(－3,6)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)＞0，即a 2－3a －18＞0. ∴a ＞6或a ＜－3. 答案 B 二、填空题6．已知函数f (x )＝x 3－12x ＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M －m ＝________.解析 由题意，得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，得x ＝±2，又f (－3)＝17，f (－2)＝24，f (2)＝－8，f (3)＝－1，所以M ＝24，m ＝－8，M －m ＝32. 答案 327．(2015·广州模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a －b ＝________.解析 由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7. 答案 －78．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19. 所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞三、解答题9．(2014·湘潭检测)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx ＋c 在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝－3x ＋1.(1)若函数f (x )在x ＝－2时有极值，求f (x )的解析式； (2)函数f (x )在区间[－2,0]上单调递增，求实数b 的取值范围．解 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，函数f (x )在x ＝1处的切线斜率为－3，所以f ′(1)＝－3＋2a ＋b ＝－3，即2a ＋b ＝0，又f (1)＝－1＋a ＋b ＋c ＝－2得a ＋b ＋c ＝－1.(1)函数f (x )在x ＝－2时有极值，所以f ′(－2)＝－12－4a ＋b ＝0，解得a ＝－2，b ＝4，c ＝－3，所以f (x )＝－x 3－2x 2＋4x －3.(2)因为函数f (x )在区间[－2,0]上单调递增，所以导函数f ′(x )＝－3x 2－bx ＋b 在区间[－2,0]上的值恒大于或等于零，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′－2＝－12＋2b ＋b ≥0，f ′0＝b ≥0，得b ≥4，所以实数b 的取值范围是[4，＋∞)．10．(2014·安徽卷)设函数f (x )＝1＋(1＋a )x －x 2－x 3，其中a ＞0.(1)讨论f (x )在其定义域上的单调性；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值． 解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a 3，x 2＝－1＋4＋3a3，x 1＜x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)．当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＜0；当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增． (2)因为a ＞0，所以x 1＜0，x 2＞0.①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a ＜4时，x 2＜1，由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2,1]上单调递减，所以f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝1处取得最小值；当a ＝1时，f (x )在x ＝0处和x ＝1处同时取得最小值； 当1＜a ＜4时，f (x )在x ＝0处取得最小值．能力提升题组 (建议用时：35分钟)11．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析 因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)令f ′(x )＝0得x ＝±1，可知－1,1为函数的极值点．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间[－3,2]上f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19.由题设知在区间[－3,2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20. 答案 A12．(2015·杭州质量检测)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52C.⎝⎛⎭⎪⎫2，103D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103解析 若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上无极值，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，y ＝x ＋1x 的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x 恒成立，a ≤2；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，实数 a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫2，103，故选C. 答案 C13．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析 由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－x －1x －3x，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3. 答案 (0,1)∪(2,3)14．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0. (1)求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝a x＋(1－a )x －b . 由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝ax＋(1－a )x －1＝1－a x ⎝⎛⎭⎪⎫x －a 1－a (x －1)． ①若a ≤12，则a1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1的充要条件为f (1)＜a a －1，即1－a 2－1＜aa －1，解得－2－1＜a ＜2－1.②若12＜a ＜1，则a 1－a ＞1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )＞0.f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＜aa －1. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 221－a ＋a a －1＞a a －1，所以不合题意． ③若a ＞1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12＜a a －1.综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)． 15．(2013·广东卷)设函数f (x )＝(x －1)e x－kx 2(k ∈R )．(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M .解 (1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x－x 2，∴f ′(x )＝e x＋(x －1)e x－2x ＝x e x－2x ＝x (e x－2)． 令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝ln 2， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表：X (－∞，0)0 (0，ln 2)ln 2 (ln 2，＋∞)f ′(x ) ＋－＋f (x )极大值极小值(ln 2，＋∞)．(2)f ′(x )＝e x＋(x －1)e x－2kx ＝x e x－2kx ＝x (e x－2k )， ∵12<k ≤1，∴1<2k ≤2， 由(1)可知f (x )在(0，ln 2k )上单调递减，在(ln 2k ，＋∞)上单调递增．设g (x )＝x －ln 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<x ≤1， 则g ′(x )＝1－22x ＝1－1x，∵12<x ≤1，∴1≤1x <2，∴－1<1－1x≤0， ∴g (x )＝x －ln 2x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上单调递减，∵12<k ≤1，∴g (x )>g (1)＝1－ln 2>0， ∴k －ln 2k >0即k >ln 2k ，∴f (x )在(0，ln 2k )上单调递减，在(ln 2k ，k )上单调递增， ∴f (x )在[0，k ]上的最大值应在端点处取得． 而f (0)＝－1，f (k )＝(k －1)e k －k 3， 下面比较f (0)与f (k )的大小．令h (k )＝f (k )－f (0)＝(k －1)e k－k 3＋1， 则h ′(k )＝k (e k－3k )，再令φ(k )＝e k－3k ，则φ′(k )＝e k－3<e －3<0，∴φ(k )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上递减，而φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·φ(1)＝⎝⎛⎭⎪⎫e －32(e －3)<0， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1使得φ(x 0)＝0，且当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0时，φ(k )>0，当k ∈(x 0,1)时，φ(k )<0，∴h (k )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0上单调递增，在(x 0,1)上单调递减． 又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12 e ＋78>0，h (1)＝0. ∴h (k )≥0在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上恒成立，当且仅当k ＝1时取“＝”． 综上，函数f (x )在[0，k ]上的最大值M ＝(k －1)e k －k 3. 16．(2014·浙江卷)已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a ∈R )．(1)若f (x )在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M (a )，m (a )，求M (a )－m (a )； (2)设b ∈R .若[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1,1]恒成立，求3a ＋b 的取值范围．解 (1)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋3x －3a ，x ≥a ，x 3－3x ＋3a ，x <a ，所以f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3，x ≥a ，3x 2－3，x <a .由于－1≤x ≤1，①当a ≤－1时，有x ≥a ，故f (x )＝x 3＋3x －3a ，此时f (x )在(－1,1)上是增函数，因此，M (a )＝f (1)＝4－3a ，m (a )＝f (－1)＝－4－3a ，故M (a )－m (a )＝(4－3a )－(－4－3a )＝8. ②当－1<a <1时，若x ∈(a,1)，f (x )＝x 3＋3x －3a ，在(a,1)上是增函数；若x ∈(－1，a )，f (x )＝x 3－3x ＋3a ，在(－1，a )上是减函数，所以，M (a )＝max{f (1)，f (－1)}，m (a )＝f (a )＝a 3. 由于f (1)－f (－1)＝－6a ＋2，因此，当－1<a ≤13时，M (a )－m (a )＝－a 3－3a ＋4；当13<a <1时，M (a )－m (a )＝－a 3＋3a ＋2. ③当a ≥1时，有x ≤a ，故f (x )＝x 3－3x ＋3a ，此时f (x )在(－1,1)上是减函数，因此，M (a )＝f (－1)＝2＋3a ，m (a )＝f (1)＝－2＋3a ，故M (a )－m (a )＝(2＋3a )－(－2＋3a )＝4. 综上，M (a )－m (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧8，a ≤－1，－a 3－3a ＋4，－1＜a ≤13，－a 3＋3a ＋2，13<a <1，4，a ≥1.(2)令h (x )＝f (x )＋b ，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋3x －3a ＋b ，x ≥a ，x 3－3x ＋3a ＋b ，x <a ，h ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋3，x ≥a ，3x 2－3，x <a .因为[f (x )＋b ]2≤4对x ∈[－1,1]恒成立， 即－2≤h (x )≤2对x ∈[－1,1]恒成立， 所以由(1)知，①当a ≤－1时，h (x )在(－1,1)上是增函数，h (x )在[－1,1]上的最大值是h (1)＝4－3a ＋b ，最小值是h (－1)＝－4－3a ＋b ，则－4－3a ＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2，矛盾； ②当－1＜a ≤13时，h (x )在[－1,1]上的最小值是h (a )＝a 3＋b ，最大值是h (1)＝4－3a＋b ，所以a 3＋b ≥－2且4－3a ＋b ≤2，从而－2－a 3＋3a ≤3a ＋b ≤6a －2且0≤a ≤13.令t (a )＝－2－a 3＋3a ，则t ′(a )＝3－3a 2>0，t (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是增函数，故t (a )≥t (0)＝－2，因此－2≤3a ＋b ≤0；③当13<a ＜1时，h (x )在[－1,1]上的最小值是h (a )＝a 3＋b ，最大值是h (－1)＝3a ＋b ＋2，所以a 3＋b ≥－2且3a ＋b ＋2≤2，解得－2827<3a ＋b ≤0；④当a ≥1时，h (x )在[－1,1]上的最大值是h (－1)＝2＋3a ＋b ，最小值是h (1)＝－2＋3a ＋b ，所以3a ＋b ＋2≤2且3a ＋b －2≥－2，解得3a ＋b ＝0. 综上，得3a ＋b 的取值范围是－2≤3a ＋b ≤0.。
2016届高考数学理科一轮复习(北师大版)题库第3章3.2导数在研究函数中的应用
§3.2导数与函数的单调性、极值、最值1．函数的单调性如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是增加的；如果在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)<0，则在这个区间上，函数y＝f(x)是减少的．2．求函数极值点的步骤(1)求出导数f′(x)；(2)解方程f′(x)＝0；(3)对于f′(x)＝0的每一个解x0：①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(×)(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(√)(3)函数的极大值不一定比极小值大．(√)(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(×)(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(√)(6)函数f(x)＝x sin x有无数个极值点．(√)1．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是( ) A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1,1)答案 A解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x (x >0)．∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．2．(2013·浙江)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( ) A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值 C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值 D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 答案 C解析 当k ＝1时，f ′(x )＝e x ·x －1，f ′(1)≠0， ∴x ＝1不是f (x )的极值点．当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x －2)， 显然f ′(1)＝0，且x 在1附近的左边f ′(x )<0， x 在1附近的右边f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C.3．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)， ∵m ′(x )＝f ′(x )－2>0， ∴m (x )在R 上是增函数． ∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}， 即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞)．4．设1<x <2，则ln x x ，(ln x x )2，ln x 2x 2的大小关系是__________________．(用“<”连接)答案 (ln x x )2<ln x x <ln x 2x2解析 令f (x )＝x －ln x (1<x <2)， 则f ′(x )＝1－1x ＝x －1x >0，∴函数y ＝f (x )(1<x <2)为增函数， ∴f (x )>f (1)＝1>0，∴x >ln x >0⇒0<ln xx <1，∴(ln x x )2<ln x x.又ln x 2x 2－ln x x ＝2ln x －x ln x x 2＝(2－x )ln x x 2>0， ∴(ln x x )2<ln x x <ln x 2x2.题型一 利用导数研究函数的单调性 例1 已知函数f (x )＝e x －ax －1. (1)求f (x )的单调增区间；(2)是否存在a ，使f (x )在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．思维点拨 函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论． 解 f ′(x )＝e x －a ，(1)若a ≤0，则f ′(x )＝e x －a ≥0， 即f (x )在R 上单调递增，若a >0，令e x －a ≥0，则e x ≥a ，x ≥ln a . 因此当a ≤0时，f (x )的单调增区间为R ， 当a >0时，f (x )的单调增区间为[ln a ，＋∞)．(2)∵f ′(x )＝e x －a ≤0在(－2,3)上恒成立． ∴a ≥e x 在x ∈(－2,3)上恒成立． ∴e －2<e x <e 3，只需a ≥e 3.当a ＝e 3时，f ′(x )＝e x －e 3<0在x ∈(－2,3)上恒成立， 即f (x )在(－2,3)上为减函数，∴a ≥e 3.故存在实数a ≥e 3，使f (x )在(－2,3)上为减函数． 思维升华 (1)利用导数的符号来判断函数的单调性；(2)已知函数的单调性求参数范围可以转化为不等式恒成立问题；(3)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为零．应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(1)设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，则f (x )的单调减区间为________________________________________________________________________． (2)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在[－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．答案 (1)(2,2a ) (2)(－∞，－1]解析 (1)f ′(x )＝x 2－2(1＋a )x ＋4a ＝(x －2)(x －2a )， 由a >1知，当x <2时，f ′(x )>0， 故f (x )在区间(－∞，2)上是增函数； 当2<x <2a 时，f ′(x )<0， 故f (x )在区间(2,2a )上是减函数； 当x >2a 时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(2a ，＋∞)上是增函数． 综上，当a >1时，f (x )在区间(－∞，2)和(2a ，＋∞)上是增函数， 在区间(2,2a )上是减函数． (2)转化为f ′(x )＝－x ＋bx ＋2≤0在[－1，＋∞)上恒成立，即b ≤x (x ＋2)在[－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1， 所以g (x )min ＝－1，则b 的取值范围是(－∞，－1]． 题型二 利用导数求函数的极值例2 (2014·福建)已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2<e x .(1)解 由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a . 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.当x <ln2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >ln2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln2时，f (x )取得极小值， 且极小值f (ln2)＝e ln2－2ln2＝2－ln4， f (x )无极大值．(2)证明 令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得g ′(x )＝f (x )≥f (ln2)>0.故g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0， 因此，当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x .思维升华 (1)导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．题型三 利用导数求函数的最值例3 (2014·四川改编)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数．设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值． 解 由f (x )＝e x －ax 2－bx －1， 有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e2时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减， 在区间[ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .思维升华 (1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在(a ，b )内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． (2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况．已知函数f (x )＝(x －k )e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值． 解 (1)由题意知f ′(x )＝(x －k ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1. f (x )与f ′(x )的情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)． (2)当k －1≤0，即k ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在[0，k －1]上单调递减，在[k －1,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1； 当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为 f (1)＝(1－k )e.综上，当k ≤1时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当1<k <2时，f (x )在[0,1]上的最小值为 f (k －1)＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.利用导数求函数的最值问题典例：(12分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．思路点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论． 规范解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．[2分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，1a ， 单调递减区间为⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞.[4分] (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln2－2a .[5分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[6分]③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln2－a ，所以当12<a <ln2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln2－2a .[10分] 综上可知，当0<a <ln2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln2时，函数f (x )的最小值是ln2－2a .[12分]答题模板用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以 下几步答题：第一步：求导数：求函数f (x )的导数f ′(x )；第二步：求极值：求f (x )在给定区间上的单调性和极值； 第三步：求端点值：求f (x )在给定区间上的端点值；第四步：求最值：将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； 第五步：反思：反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．温馨提醒 (1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间[1,2]上的最值，属常规题型． (2)本题的难点是分类讨论．考生在分类时易出现不全面，不准确的情况． (3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题．方法与技巧1．注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想．2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．失误与防范1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点.A组专项基础训练(时间：45分钟)1．函数y＝(3－x2)e x的单调递增区间是()A．(－∞，0) B．(0，＋∞)C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)答案 D解析y′＝－2x e x＋(3－x2)e x＝e x(－x2－2x＋3)，由y′>0⇒x2＋2x－3<0⇒－3<x<1，故函数y＝(3－x2)e x的单调递增区间是(－3,1)．2．若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像可能为()答案 C解析 根据f ′(x )的符号，f (x )图像应该是先下降后上升，最后下降，排除A ，D ；从适合f ′(x )＝0的点可以排除B.3．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则( )A ．a <－1B ．a >－1C ．a >－1eD ．a <－1e 答案 A解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a .∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解，∵x >0时，－e x <－1，∴a ＝－e x <－1.4．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0<a ≤3答案 A解析 ∵f (x )＝12x 2－9ln x ，∴f ′(x )＝x －9x(x >0)， 当x －9x≤0时，有0<x ≤3，即在(0,3]上原函数是减函数， ∴a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.5．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( )A ．－13B ．－15C ．10D ．15 答案 A解析 对函数f (x )求导得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4，f ′(x )＝－3x 2＋6x ，易知f (x )在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又∵f ′(x )＝－3x 2＋6x 的图像开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.6．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________． 答案 (0,1]解析 y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x －1)(x ＋1)x(x >0)． 令y ′≤0，得0<x ≤1.∴函数的单调递减区间为(0,1]．7．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________． 答案 －173解析 f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0，x ∈[0,2]，得x ＝1.比较f (0)＝－4，f (1)＝－173， f (2)＝－103，可知最小值为－173. 8．已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取得极大值，则a 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 若a ＝0，则f ′(x )＝0，函数f (x )不存在极值；若a ＝－1，则f ′(x )＝－(x ＋1)2≤0，函数f (x )不存在极值；若a >0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )<0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值；若－1<a <0，当x ∈(－1，a )时，f ′(x )>0，当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在x ＝a处取得极大值；若a <－1，当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，－1)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，所以a ∈(－1,0)．9．已知函数f (x )＝1x＋ln x ，求函数f (x )的极值和单调区间． 解 因为f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2， 令f ′(x )＝0，得x ＝1，又f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以x ＝1时，f (x )的极小值为1.f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．10．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x )．若x <0，则1－e x >0，∴f ′(x )<0；若x >0，则1－e x <0，∴f ′(x )<0；若x ＝0，则f ′(x )＝0.∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)．(2)由(1)知f (x )在[－2,2]上单调递减，∴[f (x )]min ＝f (2)＝2－e 2.∴当m <2－e 2时，不等式f (x )>m 恒成立．B 组 专项能力提升(时间：30分钟)11．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集是( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．|x |x <－1或x >1|D ．{x |x <－1或0<x <1} 答案 A解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x －1，求导得到g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]．由已知f (x )＋f ′(x )>1，可得到g ′(x )>0，所以g (x )为R 上的增函数；又g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0，所以e x ·f (x )>e x ＋1，即g (x )>0的解集为{x |x >0}．12．已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (1)<e f (0)，f (2016)>e 2016f (0)B ．f (1)>e f (0)，f (2016)>e 2016f (0)C ．f (1)>e f (0)，f (2016)<e 2016f (0)D ．f (1)<e f (0)，f (2016)<e 2016f (0)答案 D解析 令g (x )＝f (x )e x ， 则g ′(x )＝(f (x )e x )′＝f ′(x )e x －f (x )e x e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x<0， 所以函数g (x )＝f (x )e x 是单调减函数， 所以g (1)<g (0)，g (2016)<g (0)，即f (1)e 1<f (0)1，f (2016)e 2016<f (0)1， 故f (1)<e f (0)，f (2016)<e 2016f (0)．13．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论： ①f (0)f (1)>0；②f (0)f (1)<0；③f (0)f (3)>0；④f (0)f (3)<0.其中正确结论的序号是________．答案 ②③解析 ∵f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，由f ′(x )<0，得1<x <3，由f ′(x )>0，得x <1或x >3，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．又a <b <c ，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0，∴y 极大值＝f (1)＝4－abc >0，y 极小值＝f (3)＝－abc <0，∴0<abc <4.∴a ，b ，c 均大于零，或者a <0，b <0，c >0.又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，如图． ∴f (0)<0，∴f (0)f (1)<0，f (0)f (3)>0，∴正确结论的序号是②③.14．(2013·福建)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)， 因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －a x，x >0知： ①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．15．(2014·山东)设函数f (x )＝e x x 2－k (2x＋ln x )(k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)． (1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．解 (1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k (－2x 2＋1x) ＝x e x －2e x x 3－k (x －2)x 2＝(x －2)(e x －kx )x 3. 由k ≤0可得e x －kx >0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0,2)内单调递减，故f (x )在(0,2)内不存在极值点；当k >0时，设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈(0，＋∞)．所以g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ，当0<k ≤1时，当x ∈(0,2)时，g ′(x )＝e x －k >0，y ＝g (x )单调递增．故f (x )在(0,2)内不存在两个极值点．当k >1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减；x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增．所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )．函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)>0，g (ln k )<0，g (2)>0，0<ln k <2.解得e<k <e 22. 综上所述，函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为(e ，e 22)．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因为4－k2＜0， 所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)． 又因为m2＝4(k2－4)， 所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点． 因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E x2 y2 的方程为 4 －16＝1.
方法二：(1)同方法一． x2 y2 (2)由(1)知，双曲线E的方程为a2－4a2＝1. 设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 1 1 依题意得－2＜m＜2.
【解析】 (1)依题意可设AB方程为y＝kx＋2，代入x ＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8， y1 直线AO的方程为y＝x x；BD的方程为x＝x2. 1
y1x2 解得交点D的坐标为(x2， x )． 1 y1x1x2 －8y1 2 注意到x1x2＝－8及x1＝4y1，则有y＝ x2 ＝ 4y ＝－2. 1 1 因此D点在定直线y＝－2(x≠0)上． (2)依题设，切线l的斜率存在且不等于0， 设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y，得 x2＝4(ax＋b)，即x2－4ax－4b＝0. 由Δ＝0，得(4a)2＋16b＝0，化简整理，得b＝－a2. 故切线l的方程可写为y＝ax－a2.
当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：x＝2.又易知 x2 y2 l：x＝2与双曲线E： 4 －16＝1有且只有一个公共点． 综上所述，存在总与l有且只有—个公共点的双曲线E， x2 y2 且E的方程为 4 －16＝1.
x2 y2 【答案】 (1) 5 (2)存在. 4 －16＝1
•
已知椭圆C1，抛物线C2的焦点 均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O， 从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于 下表中：
kx＋m， y＝ 由x2 y2 得(4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0. － ＝1， a2 4a2 因为4－k2＜0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当 且仅当Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋4a2)＝0， 即(k2－4)(a2－4)＝0，所以a2＝4. x2 y2 所以双曲线E的方程为 4 －16＝1.
即4m2a2＋t2－a2＝0，即4m2a2＋4(1－4m2)－a2＝0. 即(1－4m2)(a2－4)＝0，所以a2＝4. 因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E x2 y 2 的方程为 4 －16＝1.
方法三：(1)同方法一． (2)当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋m， A(x1，y1)，B(x2，y2)． 依题意，得k＞2或k＜－2.
8x2 8y2 【答案】 (1) 5 ＋ 3 ＝1 (2)点P在定直线x＋y＝1上
•
(2014·江西文)如图，已知抛物 Байду номын сангаасC：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相 交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线 AO相交于点D(O为坐标原点)．
思考题2
• (1)证明：动点D在定直线上； • (2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y ＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点 N2.证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此 定值． 2
x2 y2 (2)由(1)知，双曲线E的方程为a2－4a2＝1. 设直线l与x轴相交于点C. 当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点， 则|OC|＝a，|AB|＝4a. 又因为△OAB的面积为8， 1 所以2|OC|· |AB|＝8. 1 因此2a· 4a＝8，解得a＝2.
x2 y2 此时双曲线E的方程为 4 －16＝1. 若存在满足条件的双曲线E， x2 y2 则E的方程只能为 4 －16＝1. x2 y2 以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E： 4 － 16 ＝ 1也满足条件． 设直线l的方程为y＝kx＋m.依题意，得k＞2或k＜－2.
思考题1
【解析】 (1)∵|CC1|＝r＋1，|CC2|＝3－r，∴|CC1|＋ |CC2|＝4. ∴点C的轨迹是以C1，C2为焦点(c＝1)，长轴长2a＝4的 x2 y2 椭圆，∴点C的轨迹T的方程是 ＋ ＝1. 4 3 (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋m代入椭圆方 程，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. －8km 4m2－12 ∴x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ 2 .① 4k ＋3 4k ＋3
• (1)求双曲线E的离心率； • (2)如图，O为坐标原点， 动直线l分别交直线l1，l2 于A，B两点(A，B分别在 第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是 否存在总与直线l有且只有 一个公共点的双曲线E？ 若存在，求出双曲线E的 方程；若不存在，说明理 由．
【解析】 方法一：(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝ c2－a2 b 2x，y＝－2x，所以a＝2，所以 a ＝2，故c＝ 5a. c 从而双曲线E的离心率e＝a＝ 5.
专题研究三
定值、定点与存在
性问题
专题讲解
题组层级快练
专题讲解
题型一
定点、定值问题
• 例1 (2013·陕西)已知动圆过定点A(4,0)，且 在y轴上截得弦MN的长为8. • (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； • (2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与 轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l过定点．
m 由于直线l：y＝kx＋m与x轴的交点为(－ ，0)， k m 当 k ＝－2时，直线l恒过定点(2,0)，不合题意舍去． m 2 2 2 ∴ ＝－ ，直线l：y＝k(x－ )恒过定点( ，0)． k 7 7 7
x2 y2 2 【答案】 (1) 4 ＋ 3 ＝1 (2)(7，0)
x2 y2 例2 (2013· 安徽)设椭圆E： a2 ＋ 2 ＝1的焦点在x轴 1－a 上． (1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程； (2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第 一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证 明：当a变化时，点P在某定直线上．
cy0 cy0 当x＝0时，y＝ ，即点Q坐标为(0， )． c－x0 c－x0 y0 因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝ . c－x0 y0 y0 由于F1P⊥F1Q，所以kF1P· kF1Q＝ · ＝－1. x0＋c c－x0
2 2 化简，得y0 ＝x2 － (2 a －1)．① 0
将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限， 解得x0＝a2，y0＝1－a2，即点P在定直线x＋y＝1上．
• 【解析】 (1)如图，设动圆圆心O1(x，y)， 由题意，|O1A|＝|O1M|.
当O1不在y轴上时， 过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点， ∴|O1M|＝ x2＋42.又|O1A|＝ x－42＋y2， ∴ x－42＋y2＝ x2＋42，化简，得y2＝8x(x≠0)． 又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满 足方程y2＝8x， ∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
• 探究1 定值、定点问题是指曲线变化或参 数值变化时，某一个量不变或某一个点不变， 解决的方法都是用参数把有关量表示出来， 进行化简变形得出要求的定值．这类问题考 查的是代数运算能力．
•
(2015·山东淄博期末)已知动圆 C与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1相外切，与圆C2：(x －1)2＋y2＝9相内切，设动圆圆心C的轨迹为 T，且轨迹T与x轴右半轴的交点为A. • (1)求轨迹T的方程； • (2)已知直线l：y＝kx＋m与轨迹T相交于M， N两点(M，N不在x轴上)．若以MN为直径的 圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定 点的坐标．
• • • •
即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0. ∴(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0. ∴2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0.③ 将①，②代入③，得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋ 2k2b＝0. • ∴k＝－b，此时Δ>0. • ∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点 (1,0)． • 【答案】 (1)y2＝8x (2)恒过定点(1,0)
• (2)由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)， P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将y＝kx＋b代入y2＝8x中， 得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0. 其中Δ＝－32kb＋64>0. 8－2bk 由求根公式，得x1＋x2＝ k2 ，① b2 x1x2＝k2 .② 因为x轴是∠PBQ的角平分线， y1 y2 所以 ＝－ . x1＋1 x2＋1
x＝my＋t， 由 y＝2x，
－2t 2t 得y1＝ .同理，得y2＝ . 1－2m 1＋2m
设直线l与x轴相交于点C，则C(t,0)．
1 由S△OAB＝2|OC|· |y1－y2|＝8，得 2t 1 2t ＋ | t |· ＝8. 1 － 2 m 1 ＋ 2 m 2 所以t2＝4|1－4m2|＝4(1－4m2)． my＋t， x＝ 由x2 y2 得(4m2－1)y2＋8mty＋4(t2－a2)＝0. 2－ 2＝1， a 4a 因为4m2－1＜0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点 当且仅当Δ＝64m2t2－16(4m2－1)(t2－a2)＝0，
y＝kx＋m， 由 2 2 4x －y ＝0，
得(4－k2)x2－2kmx－m2＝0.
2 － m 因为4－k2＜0，Δ＞0，所以x1x2＝ 2. 4－k
又因为△OAB的面积为8，
1 所以2|OA|· |OB|· sin∠AOB＝8. 4 又易知sin∠AOB＝5， 2 2 2 2 2 所以5 x1＋y1· x2＋y2＝8，化简，得x1x2＝4. －m2 2 2 所以 ＝ 4 ，即 m ＝ 4( k －4)． 2 4－k x2 y2 由(1)得双曲线E的方程为a2－4a2＝1，