江苏省启东中学高中数学必修五学案：第2章 课时2 等差数列1 精品
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.2.1 等差数列的概念》
等差数列复习目标：1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；高考要求：C 级一、知识梳理1.等差数列的概念：(1)如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母d 表示。
(2)若b A a ,,成等差数列，则A 叫做b a ,的等差中项，且A =2.等差数列的通项公式及其前n 项和：(1)若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则其通项公式为n a =通项公式的推广：n a =m a + ),(+∈N n m(2) 等差数列的前n 项和： =n S = （其中+∈N n ，1a 是首项，d 是公差，n a 为第n 项）3.等差数列的有关性质已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和.(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有(2)数列m m m m m S S S S S 232,,--…也是等差数列.(3)数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 也是等差数列. 二、基础自测1.(P39练习2改编)已知等差数列5,2,1,--，则该数列的第2021 ．2.(P39练习3改编)若等差数列{}n a 中，12a =-，公差2d =，则该数列的通项公式为n a = ．3.(P39例题3改编)若1a ，32,a a …1,+n n a a …, n a 2是公差为d 的等差数列,则数列{}n a 2的公差为 .4.（P39练习3改编)已知等差数列2,1,13--+，则该等差数列的项数为 ．5．（P44练习5改编)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5a A =（常数），则9S = ．6．（P48习题11改编)在数列{}n a 中，118a =-，13n n a a +=+（*n N ∈），则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值为 ． 三、典例精讲考点1 基本量的计算例1 在等差数列{}n a 中，已知1a =1，33-=a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的前k 项和35-=k S ，求k 的值。
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等差数列【教学目标】1．理解等差数列的定义，掌握等差数列通项公式的推导方法以及简单应用．2．在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维能力．3．通过自主的探索活动，获得新知识，感受到成功的喜悦，培养理性思维和创新意识．【学情分析】本节内容选自江苏教育出版社出版的?普通高中课程标准实验教科书?必修5第2章“数列〞第2节“等差数列〞第一课时．对于本节内容学生在小学和初中已有初步的浅层次的认识。
对于新学内容，学生容易理解是等差数列定义的数学文字语言表述及等差数列通项公式的简单运用．学生不容易理解的的等差数列定义的数学符号语言表述及等差数列通项公式的推导方法．为此，教学中需培养学生数学抽象能力和数学语言表达能力，在时间和空间上给予学生更多的探究时机．【教学重点】等差数列的定义，等差数列通项公式的推导及应用．【教学难点】等差数列通项公式的推导以及通项公式的函数意义的理解．【教学过程】一、问题情境1．情境：教材P29 2．1节开头第一个问题：某剧场有30排座位，第一排有2021位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20212，24，26，28，…．2．问题：说出第30排有多少个座位？设计意图：①从学生熟悉的问题情境引入实际生活中等差数列的模型．②让学生再次理解数列通项的概念．二、学生活动活动一：设计自主学习方式，引导学生对定义初步认识．问题1：观察以下数列有何共同特点？怎样用数学语言刻画你所观察出来的数列的特点？1 ；2 ；3 ；4 ．活动二：设计探究学习方式，引导学生对定义再认识．问题2：在等差数列中，假设公差为，请根据等差数列的定义，写出与相邻两项相关的等式．活动三：选择合作学习方式，引导学生对定义再拓展〔即等差数列通项公式的推导〕．问题3：设是一个首项为，公差为的等差数列，你们能得出更一般的结论，写出它的第项的表达式吗？设计意图：根据学生的身心特征，针对不同的教学内容，设计不同的学习方式，鼓励学生在参与的过程中获得体验，产生学习数学的积极情感．三、意义建构〔一〕关于等差数列定义的学习过程1、等差数列定义的初认识以问题1为背景，教师首先指出：“具有上述规律的数列，我们称之为等差数列，你能给出等差数列的定义吗？〞然后教师在学生归纳表达的根底上，完整揭示等差数列的定义，并对定义中关键字词进行重点说明，出示课题．再次提出新问题，引出公差的概念及符号表示，“以上四个等差数列从第2项起，每一项与前一项的差是多少？〞2、等差数列定义的再认识以问题2为载体，首先让学生就等差数列定义进行数学文字语言与符号语言的互译．课堂巡视发现学生大致会写出如下两种形式的等式：一是根据定义列出具体两项之间的等量关系，如：，，…；或，，…；或，，…；或，，…．二是能列出连续两项之间的一般关系，如或．然后教师选择有代表性的列式让学生进行自我投影展示，相互评述．得出等差数列定义的符号语言：．这就进一步加深了学生对定义的理解，并为等差数列通项公式的推导设好铺垫．〔二〕关于等差数列通项公式的学习过程以问题3为载体，对等差数列定义的进行再拓展．首先组织学生4人小组讨论，然后进行班级交流，学生展示不同的讨论结果．课堂实况大致有以下4种．状况一：，状况二：，，，……．．各式相加，得各式相加，得，．即．状况三：，状况四：，，……，，即．即．然后教师根据学生展示中的具体情况进行评价，选用两种或三种方法对等差数列通项公式的推导方法进行归纳总结，如不完全归纳法、累加法、迭代法等．设计意图：①由于学生较易理解等差数列的定义，而且也具备这方面的根底，所以首先设计自主学习的方式对定义进行初认识，逐步引导学生用数学语言刻画等差数列的共同特征，培养学生观察、分析的能力和语言表达能力．②为了突出重点，解决难点，选择探究学习的方式，通过数学文字语言与符号语言的互译，探究得出用符号语言表示等差数列定义的一般形式．一方面加深学生对等差数列定义的理解，另一方面尽可能的把学生头脑中的问题引出来，使他们探究问题的思维过程暴露出来，以便加以指导，激发学生学习数学的兴趣，培养他们自主探索的能力．③学生根据等差数列定义所列的等式中，已蕴含等差数列通项公式的推导方法，但有的学生的列式并不完善，学生自己可能也没意识到列式中所蕴含的方法，所以有些学生单凭自行探究还不能完成等差数列通项公式的推导，为此进一步采用组织学生合作学习的方式，以到达导出等差数列的通项公式的教学目的．引导学生在进一步认识等差数列定义的过程中，建构新的数学知识．四、数学运用选择例1〔教材P37例3：等差数列的通项公式为，求和公差．〕让学生自主完成解答，感受等差数列与一次函数的关系．而后联系“思考〞，引导学生合作探究等差数列通项公式反映的一些本质特征：如是以正整数为自变量的特殊的一次函数；这个特殊函数的图像是位于轴右半平面上的一些孤立的点，而且这些点都在直线上；等差数列的公差便是图像上各点所在直线的斜率，进一步还可得出公差与数列单调性的关系．通过例2〔教材P36例2：等差数列中=10，=28，求．〕的教学，先让学生自主运用方程〔组〕的思想方法解决此类问题，再启发学生发现，然后引导学生探究推广到等差数列通项公式更一般的形式：．设计意图：①充分挖掘教材中例题的内涵，以发挥例题的示范性，实现其开展性和培养性．如例1从函数观点出发，由特殊到一般，利用数形结合，加深学生对等差数列通项公式的理解．例2通过讨论，明确推广后的等式与通项公式的关系以及该等式的作用在于：Ⅰ．等差数列的某一项与公差可求出任意指定项；Ⅱ．等差数列的任意两项可求出公差．②在例题的教学中，让学生用不同的学习方式处理数列中不同能级要求的问题，这样既加深了学生对通项公式的理解，又让学生在应用过程中进一步体验数学，促进学生观察、归纳能力以及分析问题、解决问题的能力的提高．五、回忆反思请同学们交流本节课的学习收获．设计意图：①通过回忆，学生再次体会本课所学数学知识和涉及到的数学思想方法．感受从根本定义、概念出发，运用旧知，通过探索得出一些新的结论，这是学习数学常用的方法．②通过交流表述，培养学生的语言表达能力和理性思维．六、课外作业1、必做题：教材P35练习第4、5题；教材P37练习第2、5题；教材P38习题第2、3、4、题；2、选做题：教材P38习题第5、6、7题．设计意图：①进一步强化等差数列概念和通项公式的运用．②设计选做题实施分层作业，让学生尝试应用等差数列的模型解决实际问题．一方面减轻局部学生的学业负担，另一方面也让学有余力的同学发挥更大的潜能．。
苏教版高中数学必修五学案第二章第课等差数列的概念和通项公式(2)
让学生学会学习学习札记 第3课时【学习导航】知识网络学习要求1． 体会等差数列与一次函数的关系；2．初步通过数列的下标研究数列。
【自学评价】1．}{n a 是等差数列⇔_________________. 2．已知}{n a 是等差数列，若q p n m +=+，则____________________.【精典范例】【例1】已知等差数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝２ｎ－１，求首项ａ１和公差ｄ，并画出图象。
【解】2,11==d a 等差数列的通项公式ａｎ＝２ｎ－１是关于ｎ的一次式，从图象上看，表示这个数列的各点（ｎ，ａｎ）均在直线ｙ＝２ｘ－１上。
【例2】（１）在等差数列｛ａｎ｝中，是否有211+-+=n n n a a a （ｎ≥２）？（２）在数列｛ａｎ｝中，如果对于任意的正整数ｎ（ｎ≥２），都有211+-+=n n n a a a ，那么数列｛ａｎ｝一定是等差数列吗？ 【解】【例3】如图，三个正方形的边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长组成等差数列，且ＡＤ＝21ｃｍ，这三个正方形的面积之和是179ｃｍ２． （１）求ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长；（２）以ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ的长为等差数列的前三项，以第１０项为边长的正方形的面积是多少？ 【解】【追踪训练一】：1．已知等差数列的通项公式为n a n 211-=，求它的首项和公差，并画出它的图象．2. 已知ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ，ａｎ＋１，…，ａ２ｎ是公差为ｄ的等差数列．（１）ａｎ，ａｎ－１，…，ａ２，ａ１也成等差数列吗？如果是，公差是多少？ （２）ａ２，ａ４，ａ６，…，ａ２ｎ也成等差数列吗？如果是，公差是多少？３．已知等差数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公差为ｄ．（１）将数列｛ａｎ｝中的每一项都乘以常数ａ，所得的新数列仍是等差数列吗？如果是，公差是多少？（２）由数列｛ａｎ｝中的所有奇数项按原来的顺序组成新数列｛ｃｎ｝是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？让学生学会学习听课随笔 4．某货运公司的一种计费标准是：１ｋｍ以内收费５元，以后每１ｋｍ收２.５元．如果运输某批物资８０ｋｍ，那么需支付多少元运费？【选修延伸】【例4】在等差数列｛ａｎ｝中，已知ａｐ＝ｑ，ａｑ＝ｐ（ｐ≠ｑ），求ａｐ＋ｑ 【解】【例5】如图（１）是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成４个三角形（如图（２）），再分别连结图（２）中间的小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成７个三角形（如图（３））．依此类推，第ｎ个图中原三角形被剖分为ａｎ个三角形．（１）求数列｛ａｎ｝的通项公式； （２）第100个图中原三角形被剖分为多少个三角形？【解】【追踪训练二】：1. 若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x -5=0的两根，则a 5+a 8= . 2. 若关于x 的方程20x x a -+=和20x x b -+=()a b ≠的四个根组成首项为14的等差数列，则a b += （ ） A. 38 B. 1124 C. 1324 D. 31723. 若三个数a-4,a+2,26-2a ，适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列.4. 已知31=a ，n n a n n a 23131+-=+ )1(≥n ，求n a学生质疑教师释疑。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.2.1 等差数列的概念》1
等差数列的概念
【教学目标】
1 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；掌握等差中项的概念．
2 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题．
3 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特殊到一般的思想．
【教学重点】
等差数列的概念及其通项公式．
【教学难点】
等差数列通项公式的灵活运用．
【教学方法】
本节课主要采用自主探究式教学方法．充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的．
【教学过程】。
【配套K12】江苏省启东市高中数学 第2章 数列 课时1 数列教案 苏教版必修5
课时1 数列教学目标理解数列的概念、表示、分类、通项等基本概念，了解数列和函数之间的关系，了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；.教学过程首先我们来看一些例子.1，2，3，4，…，50① 1，2，22，23，…，263② 15，5，16，16，28③ 0，10，20，30，…，1000④ 1，0.84，0.842，0.843，… ⑤ 请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？它们均是一列数，它们是有一定次序的.1．数列定义：2．数列的通项公式：思考：（1）{a n }与a n 有何区别和联系？（2）数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？3、数列的表示法（1）解析法 （2）列表法 （3）图象法4、数列的分类（1） 按项数分（2） 按项与项的大小分有限项： 无限项： 递增数列：a n+1>a n 递减数列：a n+1<a n 摆动数列：a n+1>a n 或a n+1<a n 不确定（3）[例题分析]例1根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项：(1)a n ＝n n ＋1 ； (2)a n ＝(－1)n·n 例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7； (2) 22－12 ，32－13 ，42－14 ，52－15 (3)－11×2 ，12×3 ，－13×4 ，14×5.例3已知数列{}n a 的通项公式为n n a n -=22，问45是否是数列中的项？为什么？例4 写出下列各数列的一个通项公式使它的前几项分别是下列各数 ⑴ 515,414,313,2122222---- ⑵ 541,431,321,211⨯⨯-⨯⨯- ⑶ 3，5，9，17，33 ⑷ 5， 55，555，5555⑸225,8,29,2,21 ⑹ 63,51,43,31,23,1--- ⑺ 1337,1126,917,710,1,32--- ⑻ b, a, b, a 小结：例题5 已知下列数列的通项公式，问n 取何值时，a n 最小？（1）1)29(2+-=n a n （2）1)310(2+-=n a n （3）1)11(2+-=n a n例题6 已知数列通项公式34122-+-=n n a n（1）解不等式n 1n a a >+ （2）试问：该数列中是否存在最大的项？，若存在，是第几无界数列项，若不存在，请说明理由当堂练习1．已知数列 ,14,23,32,41,13,22,31,12,21,1，则65是此数列中的（ ） （A ） 第48项 （B ） 第49项 （C ） 第50项 （D ） 第51项2．数列{}n a 中，,654,32,1321++=+==a a a 109874+++=a ……，那么__________10=a。
高二数学新教材苏教版必修5学案：第2章 2.2 2.2.1 2.2.2 第2课时 等差数列的性质
第2课时等差数列的性质学习目标：1.理解等差中项的概念，并能利用等差中项判断一个数列是否为等差数列．(重点、难点)2.掌握等差数列的有关性质，能运用等差数列的性质解题．(重点)3.了解一次函数同等差数列通项公式间的关系．(重点)1．等差数列与一次函数(1)等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，a n是关于n的常函数；当d≠0时，a n是关于n的一次函数；点(n，a n)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．(2)等差数列通项公式的推广：在等差数列{a n}中，已知a1，d，a m，a n(m≠n)，则d＝a n－a1n－1＝a n－a mn－m，从而有a n＝a m＋(n－m)d.2．等差中项如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A＝a＋b2.我们把A＝a＋b2叫做a和b的等差中项．3．等差数列的性质(1)项的运算性质：在等差数列{a n}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.(2)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋a n＝a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝….(3)若{a n}，{b n}分别是公差为d，d′的等差数列，则有数列结论{c＋a n}公差为d的等差数列(c为任一常数){c·a n}公差为cd的等差数列(c为任一常数){a n＋a n＋k}公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*){pa n＋qb n}公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) n n n n为常数列．[基础自测]1．若{a n }是等差数列，若a 2＝3，a 8＝5，则公差d ＝________，a n ＝________.[解析] ∵d ＝a 8－a 28－2＝5－36＝13，∴a n ＝a 2＋(n －2)×13＝3＋n －23＝n ＋73. [答案] 13 n ＋732．若点(1，a n )，(2，a n ＋1)在直线y ＝x ＋3上，则a n ＋1与a n 的关系为________．[解析] 由题意可知⎩⎨⎧a n ＝1＋3，a n ＋1＝2＋3，∴a n ＋1－a n ＝1, 即a n ＋1＝a n ＋1.[答案] a n ＋1＝a n ＋13．若{a n }是等差数列，且a 2＋a 6＋a 10＝1，则a 4＋a 8＝________.[解析] ∵a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6，∴a 6＝13，∴a 4＋a 8＝23. [答案] 234．在等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12＝________.[解析] 由a 7＋a 9＝a 4＋a 12，得a 12＝a 7＋a 9－a 4＝16－1＝15.[答案] 15等差中项及其应用n 1n 且x 1，x 4，x 5成等差数列．求p ，q 的值．[思路探究] 由x 1，x 4，x 5成等差数列得出一个关于p ，q 的等式，结合x 1＝3推出2p ＋q ＝3，从而得p ，q .[解] 由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，①又x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x1＋x5＝2x4得，3＋25p＋5q＝25p＋8q，②由①②得，q＝1，p＝1.[规律方法]在等差数列{a n}中，由定义有a n＋1－a n＝a n－a n－1n≥2，n∈N*，即a n＝a n＋1＋a n－12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.[跟踪训练]1．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．[解](1)∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝－1＋72＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝－1＋32＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝3＋72＝5，∴该数列为－1,1,3,5,7.等差数列的性质及应用n1815910(2)数列{a n}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{a n}的通项公式；(3)在等差数列{a n}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．[思路探究](1)利用等差中项求解；(2)利用m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q求解；(3)利用d＝a m－a nm－n求解．[解](1)由等差数列的性质，得a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，∴a8＝24，又2a9＝a8＋a10，∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.(2)∵a2＋a8＝2a5，∴3a5＝9，∴a5＝3，∴a2＋a8＝a3＋a7＝6，①又a3a5a7＝－21，∴a3a7＝－7.②由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1.∴a3＝－1，d＝2，或a3＝7，d＝－2.由通项公式的变形公式a n＝a3＋(n－3)d，得a n＝2n－7或a n＝－2n＋13.(3)∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝20－860－15＝415，∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×415＝24.[规律方法]解决本类问题一般有两种方法一是运用等差数列{a n}的性质：若m＋n＝p＋q＝2w，则a m＋a n＝a p＋a q＝2a w m，n，p，q，w都是正整数；,二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想.提醒：递增等差数列d>0，递减等差数列d<0，解题时要注意数列的单调性对d的取值的限制.[跟踪训练]2．已知等差数列{a n}，满足a2＋a3＋a4＝18，a2a3a4＝66，求a2，a3，a4.[解]∵{a n}为等差数列，∴2a3＝a2＋a4，∴3a3＝18，∴a3＝6，设公差为d，则(6－d)×6×(6＋d)＝66，∴d2＝25，∴d＝±5，∴⎩⎨⎧ a 2＝1，a 4＝11或⎩⎨⎧ a 2＝11，a 4＝1.等差数列的设法与求解[探究问题]1．若三个数成等差数列，如何设这三个数使计算较为方便？[提示] 设等差中项为a ，公差为d ，则这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，这样计算较为方便．2．若四个数成等差数列，如何设这四个数使计算较为方便？[提示] 设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，计算较为方便．已知三个数组成等差数列，首末两项之积为中项的5倍，后两项的和为第一项的8倍，求此三个数．[思路探究] 根据这三个数成等差数列，可设这三个数为x －d ，x ，x ＋d .[解] 设此三个数分别为x －d ，x ，x ＋d ，由题意得⎩⎨⎧ (x －d )(x ＋d )＝5x ，x ＋x ＋d ＝8(x －d )，解得⎩⎨⎧ x ＝0，d ＝0或⎩⎨⎧ x ＝9，d ＝6，故此三数分别为0,0,0或3,9,15.母题探究：(变条件)本例条件改为：三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求此数列．[解] 设所求数列为a －d ，a ，a ＋d (d >0)，根据题意得到方程组⎩⎨⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18，①(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝116，②由①得a ＝6.将a ＝6代入②，得d ＝2，d ＝－2(舍)．所以所求数列为4,6,8.[规律方法] 设等差数列的三个技巧（1）对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x －d ，x ，x ＋d ，…，此时公差为d .（2）对于连续偶数项的等差数列，通常可设为：…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，此时公差为2d .（3）等差数列的通项可设为a n ＝pn ＋q .1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为________．[解析] 由等差中项的性质知a 3＝a 1＋a 52＝5，又a 4＝7，∴公差d ＝a 4－a 3＝7－5＝2.[答案] 22．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 018，则该数列的首项为________．[解析] 设数列首项为a 1，则2 018＋a 1＝1 010×2，解得a 1＝2.[答案] 23．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.[解析] 根据等差中项的性质，得a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7＝2a 5＝37，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝4a 5＝74.[答案] 744．在－1和8之间插入两个数a ，b (a <b )，使这四个数成等差数列，则a ＝________，b ＝________.[解析] 由题意，⎩⎨⎧ a ＋b ＝7，2b ＝a ＋8，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝5.[答案] 2 55．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．[解] 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得⎩⎨⎧ (a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，∴⎩⎨⎧ 4a ＝26，a 2－d 2＝40. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝132，d ＝－32，所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.由Ruize收集整理。
苏教版高中数学(必修5)2.2《等差数列》 教案5篇
2.2 .1等差数列的概念七、教学过程（一）创设情景，引入概念（设计意图：通过对实际问题的分析对比，建立等差数列模型，体验数学发现和创造的过程）情景1：把班上学生学号从小到大排成一列：如：1，2，3，4，…，63，64.问题1：请学生归纳出上一个数列的通项公式),521(,+∈≤≤=N n n n a n 。
问题2：把上面的数列各项依次记为64321,,,,a a a a ，学生填空：()()()1,,1,163642312+=+=+=a a a a a a问题3：上面的数列有什么特点，你能用数学语言（符号）描述这些特点吗？(教师引导，学生完成）11+=-n n a a （2≥n ），或者写成 11=--n n a a （2≥n ）.注：强调2≥n ，原因在于1-n 有意义。
问题4：提问学生，能用普通语言概括上面的规律吗？数列后一项等于前一项加“1”，或者 数列后一项与前一项的差为“1”. 上面的数列已找出这一特殊规律，下面再观察一些数列并也找出它们的规律。
情景2：看幻灯片上的实例（1）2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg ）： 48，53，58，63.（2）水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。
如果一个水库的水位18m ，自然放水每天水位下降2.5m ，最低降至5m 。
那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m ）：18，15.5，13，10.5，8，5.5.（3）我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。
按照单利计算本利和的公式是：本利和＝本金×（1＋利率×存期）。
如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和组成的数列是：10072， 10144， 10216， 10288， 10360.（4）全国统一鞋号中，成年女鞋的尺码最小的是21码，相邻两个鞋号间隔0.5码，最大的是25码，组成的数列：21，21.5 ,22 ,22.5 ,23 ,23.5 ,24 ,24.5 ,25.问题5：请学生写出上面的数列，观察这些数列的特点，并用数学语言（符号）描述这些特点:（1）51=--n n a a ，2≥n ，+∈N n ；（2）5.21-=--n n a a ，2≥n ，+∈N n（3）721=--n n a a ，2≥n ，+∈N n ；（4）5.01=--n n a a ，2≥n ，+∈N n 问题6：观察并归纳上面这些数列的共同特征，用数学语言（符号）描述这些特点:1n n a a d --=（d 是常数），（2≥n ，+∈N n ）满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字？）--等差数列。
江苏省启东市高中数学第2章数列课时3等差数列(2)教案苏教版必修5
课时3 等差数列（2）
教学目标
明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式
教学过程
问题：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a 、A 、b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？ 如果a 、A 、b 成等差数列，那么a 叫做a 与b 的等差中项.
1、A ＝a ＋b 2 ⇔a ，A ，b 成等差数列.
2、在一等差数列中，有下列性质
（1）d m n a a m n )(-+=（m
n a a d m n --=）；
（2）若l k n m a a a a l k n m N k l n m +=++=+∈则且,*,,,,。
[例题分析]
例1梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.
例2已知数列的通项公式为a n ＝pn ＋q ，其中p 、q 是常数，且p ≠0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？
例3已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.
例4已知数列{a n}为等差数列，a1＝2，a2＝3，若在每相邻两项之间插入三个数后，和原数列仍构成一个等差数列，试问：
（1）原数列的第12项是新数列的第几项？
（2）新数列的第29项是原数列的第几项？
例5在等差数列{a n}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28，求{}n a的通项公式.
当堂练习
1. 在等差数列{}n a 中，39741=++a a a ，33852=++a a a ，则963a a a ++=
2．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为4
1的等差数列，则=-||n m。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 第2章 数列（通用）》1
S n 与a n 之间的关系探究江苏省淮安中学 丁军▎教材分析本节课教学内容为苏教版高中数学必修5第二章《数列》第一节《数列的通项》的探究与扩展内容，本节课内容的教学应安排在讲授完等差数列与等比数列后进行，此时学生已经对数列相关问题的常见处理方法有了一定的了解，同时对数列通项公式中的“n ”的任意性有初步的把握，本章节的内容可以起到承上启下的作用，促进对等差与等比数列的前n 项和公式的理解，同时为下面的数列求和方法提供一些操作方式上的指引。
▎教学目标分析知识与技能：理解n S 与n a 的关系，并能熟练地应用；过程与方法：通过对题目的观察、体验，培养学生的观察能力和准确利用公式的能力；情感态度与价值观：通过对具体问题的探究，激发学生的学习兴趣，强学好数学的自信心。
▎教学重难点分析重点：n S 与n a 的关系及其应用；难点：能敏锐的观察出n S 与n a 的关系，并能准确的运用关系解题。
▎教学流程设计问题1：对于数列{}n a ，前n 项和n S 的意义是？学生作答：12...n n S a a a =+++问题2：前面我们学习了等差数列与等比数列的前n 项和公式，那么如果已知数列{}n a 前n 项和n S ，如何求其所对应的通项公式n a ？设计意图：引出以下n S 与n a 关系：11,1=,2n n n a n a S S n -=⎧⎨-≥⎩ 探究1：数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足41n n S =+，求{}n a设计意图：n S 与n a 关系的直接运用，由学生自主完成，投影学生解题过程并分析其中的注意点，特别是1n =与2n ≥分开讨论的必要性，为变式1做好理论基础准备。
简析：1n =时，15a =；2n ≥时，134n n a -=⋅综上所述：15,134,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩变式1：等比数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足4n n S a =+，求a设计意图：进一步强调1n =与2n ≥分开讨论的必要性，如果不将1n =与2n ≥分开讨论，本题将会得到一个“永远成立”的等比数列，其错误原因就是1n =时所得到的1a 也必须适合2n ≥时求得的数列{}n a 的通项公式。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 第2章 数列（通用）》
高三数学小专题：等差数列等差数列自主阅读单同学们，本节课我们将一起来研究等差数列，研究提纲如下．设是等差数列，其首项为，公差为，前项和为．1．等差数列的通项公式、前项和公式〔根本量，，，，〕．结论1，结论2，结论3，结论4 ，结论5 ，2．等差数列的配对性质．结论6假设正整数满足，那么，结论7假设正整数满足，那么，结论8 ，结论9，3．等差数列前项和公式的结构特征．结论10，设，那么，当时，也可以写为，4．递推公式．结论11高三数学小专题：等差数列【学习目标】1．能使用等差数列的根本量方法求出数列指定项的值；2．能使用等差数列的配对公式优化运算；3．能利用等差数列前项和公式的结构特征研究等差数列问题；4．能在复杂情境中识别使用递推方法的特征，并利用递推方法研究等差数列；5．能在复杂的情境中建立等差数列模型解决问题．【学习重点】能在复杂的情境中建立数列模型解决问题．【学习难点】等差数列问题解决中的优化运算．【评价任务】当堂稳固1，当堂稳固2．【学习过程】自主学习案1．是等差数列，是其前项和．假设，那么的值是．2．是等差数列，是其前项和．假设，且，那么的值是．3．设数列的前项和为．假设，那么对任意的正整数，的值是．4．是等差数列，是其前项和．假设，那么的值是．5．是等差数列，是其前项和．假设，且，那么的最小值是．合作探究案1．数列，均为等差数列，其前项和分别为，．假设，那么的值是．2．设各项均为正数的数列的前项和为．假设数列是公差为的等差数列，且，那么的值是．当堂稳固案1．数列，均为等差数列，其前项和分别为，．假设，那么的值是．2．数列的首项，前项和为．假设数列是公差为的等差数列，那么的值是．自我挑战案设和是两个等差数列，记，其中，表示这个数中最大的数．〔Ⅰ〕假设，，求的值；〔Ⅱ〕假设数列的公差为正数，证明：存在正整数，使得，，，…是等差数列．升阶练习案〔课后〕1．实数，满足，假设成等差数列，那么的最大值是__________．2．是等差数列，是其前项和．假设，，那么的值是__________．。
江苏省启东中学高中数学五学案：第2章课时4等差数列的前n项和(1)
课时4 等差数列的前n项和（1）教学目标掌握等差数列前n项和公式及其获取思路，会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题；教学过程:问题：如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？设等差数列{a n｝的前n项和为S n,即S n＝a1＋a2＋…＋a n①把项的次序反过来，S n又可写成S n＝a n＋a n－1＋…＋a1 ②①＋② 2S n＝(a1＋a n）＋(a2＋a n－1）＋…＋(a n＋a1）又∵a2＋a n－1＝a3＋a n－2＝a4＋a n－3＝…＝a n＋a1∴2S n＝n(a1＋a n）即：S n＝错误!又∵a n＝a1+(n－1）d，∴S n＝错误!＝错误!＝na1＋错误!d等差数列前n项和公式:S n＝错误!或S n＝na1＋错误!d［例题分析]例1在等差数列{a n}中，（1）已知a2＋a5＋a12＋a15＝36,求S16；(2)已知a6＝20，求S11。
例2有一项数为2n＋1的等差数列,求它的奇数项之和与偶数项之和的比.例3若两个等差数列的前n项和之比是（7n＋1）：（4n＋27)，试求它们的第11项之比。
例4在a，b之间插入10个数，使它们同这两个数成等差数列，求这10个数的和.例5在凸多边形中，已知它的内角度数组成公差为5°的等差数列，且最小角是120°，试问它是几边形？当堂练习1. 在等差数列{}n a 中,24)(2)(31310753=++++a a a a a ,则此数列前13项之和为（ )(A ） 26 （B ） 13 （C ） 52 （D ） 1562．数列{}n a 中，,654,32,1321++=+==a a a 109874+++=a ……，那么__________10=a。
江苏省启东中学高中数学必修五学案：第2章课时2等差数列(1)
课时 2 等差数列（1）教课目的明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，会解决知道a n ,a1,d, n 中的三个，求此外一个的问题；教课过程1， 2， 3，4， 5， 6；①10， 8， 6，4， 2，；②1 1 1 121， 212 ，22， 222 ， 23，232 ， 24， 242 ， 25 ③2， 2， 2，2， 2，④请同学们认真察看这些数列有什么共同的特色?能否能够写出这些数列的通项公式？1、等差数列定义：2、等差数列的通项公式：[ 例题剖析 ]例 1（ 1）求等差数列 8， 5， 2的第 20 项（2）－ 401 能否是等差数列－ 5，－ 9，－ 13的项 ?假如是，是第几项 ?例 2 在等差数列 {a n}中，已知 a 5＝ 10，a 12＝ 31，求首项a1与公差 d..例 3（ 1）在等差数列{a n}中，已知a5＝ 10， a15＝ 25，求 a25.（ 2）已知数列 {a n}为等差数列， a3＝5，a 7＝－3，求 a15的值 .4 4例 4 已知等差数列 {a n}中， a15＝ 33， a45＝ 153，试问 217 能否为此数列的项？假如说明是第几项；若不是，说明原因 .例 5 两个等差数列5， 8，11，和3， 7，11，都有100 项，那么它们共有多少相同的项？例 6 一个首项为 23，公差为整数的等差数列，假如前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？当堂练习1．等差数列 {a n}中，已知a1 1, a2 a54, a n 33,则n为（）3A． 48 B．49 C． 50 D． 512.已知等差数列a n的首项为1，从第 10 项开始比 1 大，则公差d的取值范围是（）25( A) d 18 ( B) d 318 3 8 3 ( C) d ( D) d75 25 75 75 75 25。
江苏省 必修5教案 2.2等差数列2
四、巩固深化，反馈矫正
1.教材 练习
2.在等差数列 中,若 求
五、归纳整理，整体认识
本节课学习了以下内容：
1． 成等差数列，等差中项的有关性质意义
2．在等差数列中， （ ， ， ， ）
3．等差数列性质的应用过程
一、创设情景，揭示课题
复习等差数列的定义、通项公式；
（1）等差数列定义
（2）等差数列的通项公式： ( 或 ( 是常数))
（3）公差 的求法：① - ② ③
二、研探新知
1.等差中项的概念：
如果 ， ， 成等差数列，那么 叫做 与 的等差中项。其中 ， ， 成等差数列 ．
2.一个有用的公式：
在等差数列 中， 为公差，若 且
2.2
教学
目标
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式，掌握等差数列的特殊性质及应用；掌握证明等差数列的方法；
2.明确等差中项的概念和性质；会求两个数的等差中项；
3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；
重点
难点
重点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。
难点：等差中项的概念及等差数列性质的应用。
教学反思
求证：① ②
证明：①设首项为 ，则
∵ ∴
② ∵
∴
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1（教材 例3）
例2①在等差数列 中， ，求 ．
②在等差数列 中， ，求 的值。
解：①由条件： ；
②由条件：∵ ∴ ∴ ．
例3若 求
解：∵ 6+6=11+1, 7+7=12+2…… ∴ , ……从而
江苏省启东市高中数学 第2章 数列 课时1 数列教案 苏教版必修5
课时1 数列教学目标理解数列的概念、表示、分类、通项等基本概念，了解数列和函数之间的关系，了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；. 教学过程首先我们来看一些例子. 1，2，3，4，…，50 ① 1，2，22，23，…，263② 15，5，16，16，28③ 0，10，20，30，…，1000 ④ 1，0.84，0.842，0.843，…⑤请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？ 它们均是一列数，它们是有一定次序的. 1．数列定义：2．数列的通项公式：思考：（1）{a n }与a n 有何区别和联系？（2）数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？ 3、数列的表示法（1）解析法 （2）列表法 （3）图象法 4、数列的分类 （1） 按项数分（2） 按项与项的大小分有限项： 无限项：递增数列：a n+1>a n递减数列：a n+1<a n摆动数列：a n+1>a n 或a n+1<a n 不确定（3）[例题分析]例1根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项：(1)a n ＝nn ＋1； (2)a n ＝(－1)n·n 例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7； (2) 22－12 ，32－13 ，42－14 ，52－15 (3)－11×2 ，12×3 ，－13×4 ，14×5 .例3已知数列{}n a 的通项公式为n n a n -=22，问45是否是数列中的项？为什么？例4 写出下列各数列的一个通项公式使它的前几项分别是下列各数⑴ 515,414,313,2122222---- ⑵ 541,431,321,211⨯⨯-⨯⨯- ⑶ 3，5，9，17，33 ⑷ 5， 55，555，5555⑸ 225,8,29,2,21 ⑹ 63,51,43,31,23,1--- ⑺ 1337,1126,917,710,1,32--- ⑻ b, a, b, a小结：例题5 已知下列数列的通项公式，问n 取何值时，a n 最小？ （1）1)29(2+-=n a n （2）1)310(2+-=n a n （3）1)11(2+-=n a n例题6 已知数列通项公式34122-+-=n na n（1）解不等式n 1n a a >+ （2）试问：该数列中是否存在最大的项？，若存在，是第几无界数列项，若不存在，请说明理由 当堂练习1．已知数列 ,14,23,32,41,13,22,31,12,21,1，则65是此数列中的（ ） （A ） 第48项 （B ） 第49项 （C ） 第50项 （D ） 第51项 2．数列{}n a 中，,654,32,1321++=+==a a a 109874+++=a ……，那么__________10=a。
江苏省 必修5教案 2.2等差数列1
（3）对于数列{ },若 － = (与n无关的数或字母)， ，则此数列是等差数列， 为公差。
2.等差数列的通项公式的推导： 【或 】
已知等差数列 的首项是 ，公差是 ，求
∵ 是等差数列，∴当 时，有 ， ， ……
，将上面 个等式的两边分别相加，得：
∴ ，当 时，上面的等式也成立。
3.等差数列的性质
（1） （2） = （3）等差数列的通项公式是关于 的一次函数
（4）如果通项公式是关于 的一次函数，则该数列成AP
（5）在 中 ， ， ， 四数中已知三个可以求出另一个
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1（教材 例1）例2（教材 例2）
例3（教材 例1）第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次。奥运会如因故不能进行，届数等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“ ”表示）。名称： ；首项 ；公差
注意：
（1）从第二项起，后一项减去前一项的差等于同一个常数，这个常数就是公差。
（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；
（2）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
解：（1）由题意：举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列，∴
（2）假设 则 ，得 假设 ， 无正整数解。
答：所求的通项公式是 ，2008年北京奥运会是第29届奥运会，2050年不举行奥运会。
说明：由此例说明等差数列项的判断方法。
例4（教材 例2）在等差数列 中，已知 ， ，求 ．
苏教版高中数学必修五学案第二章第课等差数列的概念和通项公式
让学生学会学习听课随笔2.2 等差数列第1课时【学习导航】知识网络学习要求1、体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等差数列的概念；2、掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法，掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；【自学评价】1．等差数列：一般地，如果一个数列从____________，每一项与它前一项的差等于_____________，这个数列就叫做等差数列（arithmetic progression），这个常数就叫做_____________（common difference），常用字母“d”表示。
⑴公差d一定是由______________，而不能用前项减后项来求；⑵对于数列{na},若na－1-na=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N+，则此数列是等差数列，d 为公差2．等差数列的通项公式_______________；3．如果a,A，b成等差数列，那么A叫做a与b的____________；且A=__________.【精典范例】【例1】根据等差数列的概念，判断下列数列是否是等差数列；（1）1，1，1，1，1，1（2）4，7，10，13，16（3）-3，-2，-1，0，1，2，3【解】思考：如果一个数列{}n a的通项公式为bknan+=，其中bk,都是常数，那么这个数列一定是等差数列吗？__________【例2】求出下列等差数列中的未知项：（１）３，ａ，５；（２）３，ｂ，ｃ，－９．【解】【例3】（1）求等差数列8，5，2…的第20项？（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？【解】【追踪训练一】：１．判断下列数列是否为等差数列：（１）－１，－１，－１，－１，－１；（２）１，１２，１３，１４；（３）１，０，１，０，１，０；（４）２，４，６，８，１０，１２；（５）７，１２，１７，２２，２７．２．目前男子举重比赛共有１０个级别，除108公斤以上级外，其余的９个级别从小到大依次为（单位：ｋｇ）54，59，64，70，76，83，91，99，108，这个数列是等差数列吗？３．已知下列数列是等差数列，试在括号内填上适当的数：（１）（），５，１０；（２）１，2，（）；（３）３１，（），（），１０．4．已知数列8,,2,,,7a b c-是等差数列，求未知项,,a b c的值。
江苏省启东中学高中数学必修五学案：第2章单元复习
单元复习【知识点】（一）等差、等比数列的性质1.等差数列 { a n } 的性质a m a k（ 1） a m=a k+（ m－ k） d， d= .m k（ 2）若数列 { a n} 是公差为 d 的等差数列，则数列{ λ a n +b}（λ、b 为常数）是公差为λd的等差数列；若 { bn} 也是公差为 d 的等差数列，则{ λ 1an+λ 2bn} （λ1、λ 2 为常数）也是等差数列且公差为λ 1d+λ 2d.（3）下标成等差数列且公差为 m 的项 a k， a k+m， a k+2 m，构成的数列仍为等差数列，公差为 md.（4）若 m、n、 l、 k∈N*，且 m+n=k+l ，则 a m+a n=a k+a l，反之不建立 .（5）设 A=a1+a2+a3+ +a n，B=a n+1 +a n+2 +a n+3+ +a2 n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+ +a3 n，则 A、B、 C 成等差数列 .（6）若数列 { a n} 的项数为 2n（n∈N*），则 S 偶－ S 奇=nd，S偶=an 1， S2n=n（ a n+a n+1）S奇a n（a n、 a n+1为中间两项）；若数列 { a n} 的项数为2n－ 1（ n∈N* S偶=n 1，S2n－1=（ 2n－ 1）a n），则 S 奇－ S 偶 =a n，S奇n（a n为中间项） .2.等比数列 { a n } 的性质（1） a m=a k· q m－k.（ 2）若数列 { a n} 是等比数列，则数列{ λ1a n} （λ1为常数）是公比为q 的等比数列；若{ b n} 也是公比为 q2的等比数列，则 { λ1a n· λ2 b n} （λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为 q· q2.（ 3）下标成等差数列且公差为m 的项 a k， a k+m， a k+2 m，构成的数列仍为等比数列，m公比为 q .（4）若 m、n、 l、 k∈N*，且 m+n=k+l ，则 a m· a n=a k·a l，反之不建立 .（5）设 A=a1+a2+a3+ +a n，B=a n+1 +a n+2 +a n+3+ +a2 n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+ +a3 n，则 A、B、 C 成等比数列，设M=a1· a2· · a n， N=a n+1· a n+2· · a2n， P=a2n+1·a2n +2· · a3 n，则 M、 N、P 也成等比数列 .（二）关于等差、等比数列注意以下想法：如三个数成等差数列，可设为a－d， a， a+d；若四个符号同样的数成等差数列，知其和，可设为 a－ 3d， a－d， a+d， a+3d.三个数成等比数列，可设为a， a，aq，若四个符号q同样的数成等比数列，知其积，可设为 a ，a， aq， aq3.q3 q（三）用函数的看法理解等差数列、等比数列1.关于等差数列，∵a n=a1+（ n－1） d=dn+（ a1－ d），当 d≠0 时， a n是 n 的一次函数，对应的点（ n， a n）是位于直线上的若干个点.当 d＞ 0 时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d=0 时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜ 0 时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.2若等差数列的前n 项和为S n，则 S n=pn +qn（ p、 q∈R） . 当 p=0 时， { a n} 为常数列；当 p≠0 时，可用二次函数的方法解决等差数列问题.2.关于等比数列：a n=a1q n－1.可用指数函数的性质来理解.当 a1＞ 0，q＞ 1 或 a1＜0， 0＜ q＜1 时，等比数列是递加数列；当 a1＞ 0，0＜ q＜ 1 或 a1＜ 0， q＞1 时，等比数列 { a n} 是递减数列 .当 q=1 时，是一个常数列 .当 q＜0 时，没法判断数列的单一性，它是一个摇动数列.【典型例题】例 1 已知数列 { a n} ，结构一个新数列 a1，（ a2－ a1），（a3－a2），，（ a n－a n－1），，此数列是首项为 1，公比为1的等比数列 .3（ 1）求数列 { a n} 的通项；（2）求数列 { a n} 的前n项和S n.例 2 在等比数列 { a n }（ n∈N*）中， a1＞ 1，公比 q＞ 0.设 b n=log 2a n，且 b1+b3+b5=6，b1b3b5=0.（1）求证：数列 { b n} 是等差数列；（ 2）求 { b n} 的前 n 项和 S n及 { a n} 的通项 a n；（3）试比较 a n与 S n的大小 .例 3 已知 { a n} 是等比数列， a1=2， a3=18； { b n} 是等差数列， b1=2， b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20.（1）求数列 { b n} 的通项公式；（ 2）求数列 { b n} 的前 n 项和 S n的公式；（3）设 P n=b1+b4+b7+ +b3n－2， Q n=b10+b12+b14+ +b2n+8，此中 n=1， 2，，试比较P n与 Q n的大小，并证明你的结论.例 4 已知等差数列 { a n} 的首项 a1=1，公差 d＞ 0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列 { b n} 的第二项、第三项、第四项 .（ 1）求数列 { a n} 与 { b n} 的通项公式；（ 2）设数列 { c n} 对随意正整数c1+c2+c3+ +c n=（n+1 ）a n +1 建立，n 均有mb2 m2 b3 m n 1b nb1此中 m 为不等于零的常数，求数列{ c n} 的前 n 项和 S n.。
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课时2 等差数列（1）
教学目标
明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，会解决知道a n ,a 1,d , n 中的三个，求另外一个的问题； 教学过程
1，2，3，4，5，6； ① 10，8，6，4，2，…；
② 21，2112 ，22，2212 ，23，2312 ，24，241
2 ，25 ③ 2，2，2，2，2，…
④
请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?是否可以写出这些数列的通项公式？ 1、等差数列定义：
2、等差数列的通项公式：
[例题分析]
例1（1）求等差数列8，5，2…的第20项
（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13…的项?如果是，是第几项?
例2在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，求首项a 1与公差d ..
例3（1）在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 15＝25，求a 25.
（2）已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54 ，a 7＝－3
4 ，求a 15的值.
例4已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 45＝153，试问217是否为此数列的项？若是说明是第几项；若不是，说明理由.
例5 两个等差数列5，8，11，……和3，7，11，……都有100项，那么它们共有多少相同的项？
例6一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？
当堂练习
1．等差数列{a n }中，已知为则n a a a a n ,33,4,3
1
521==+= （ ）
A ．48
B ．49
C ．50
D ．51
2. 已知等差数列{}n a 的首项为25
1，从第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是（ ）
25
3
)
(75
18)
(<
>
d B d A 25
3
758)
(75
37518)(≤
<<<d D d C。