2009-2010第二学期线性代数期末A卷

解：由 AX+B=X，得（E-A）X=B，即 X= ( E − A) −1 B
( E − A ) −1
⎡ ⎢ 0 ⎢ = ⎢− 1 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣
2 3 2 3 1 − 3
1⎤ 3⎥ 1⎥ ⎥ 3⎥ 1⎥ 3⎥ ⎦
1⎤ 3 ⎥ ⎡1 − 1⎤ ⎡3 − 1⎤ 1⎥⎢ ⎥ ⎢2 0 ⎥ =⎢ 2 0⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 3⎥ ⎥ ⎢ ⎥ − 1 1 − 5 3 1⎥⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎥ 3⎦
R ( A) = R( B) = 2 ，方程组有无穷多解，解为 x = c(1,1,1) T + (−1,−2,0) T ， （c 为任意常数）
⎛1 1 1 0 ⎞ ⎛ 1 1 1 0 ⎞ r ⎟∼ ⎟ ⎜ 当 λ = 0 时，增广矩阵为 B = ⎜ 1 1 1 3 ⎟ ⎜ 0 0 0 1⎟ ⎜ ⎜1 1 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ R ( A) ≠ R ( B) , 方程组无解
2 − 1⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ 6. 设齐次线性方程组的系数矩阵 A = ⎜ − 2 − 5 3 ⎟ 此方程有可能无解吗? ⎜ −1 4 β ⎟ ⎝ ⎠
。
答案 不可能 7. 设 3 阶矩阵 A 的特征值 1，1，2，则 | 4 A 2 − A | = 。
2 2 + 5 x3 + 2tx1 x 2 − 2 x1 x3 + 4 x 2 x3 是正定的，则 t 的取值 8． 设实二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) = x12 + x 2
5．求一个正交变换把下列二次型化成标准形
2 2 f ( x1 , x 2 , x3 ) = 2 x12 + 3x 2 + 3 x3 + 4 x 2 x3
⎡2 0 0⎤ ⎥ 解： 二次型的矩阵为 A = ⎢ 得 λ1 = 1, λ 2 = 2, λ3 = 5 . ⎢0 3 2⎥ ，λI − A = (λ − 1)(λ − 2)(λ − 5) ， ⎢ ⎣0 2 3⎥ ⎦
⎡ 1 2 1 3 8 1 1 1 5 − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎢ 1 1 1 5 ⎥ r ⎢0 −3 1 −2 ⎥ r ⎢ T T T T ⎥∼⎢ ⎥ ∼ ⎢0 A = [a1 , a2 , a3 , a4 ] = ⎢ ⎢ 1 7 −1 9 ⎥ ⎢0 6 −2 4 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎣ 1 10 −2 11⎦ ⎣0 9 −3 6 ⎦ ⎢ ⎢ ⎣0 4 13 ⎤ 3 3⎥ ⎥ 1 2⎥ 1 − 3 3⎥ 0 0 0⎥ ⎥ 0 0 0⎥ ⎦ 0
。
。
答案 3x ≠ 2 y
4．设 A 是 3 阶方阵， A = −3 ，则 − 2 A = __________ 。 5．已知 b1 = a1 + a 2 , b2 = a 2 + a3 , b3 = a1 + a3 ，则向量组 b1 , b2 , b3 线性________关。
答案 线性相关
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--------------------------------------------------------------------------------------装 订 线 ------------------------------------------------------------------------------------
λ1 = 1 ,所对应的特征向量 X 1 = (0,−1,1) T ， 单位化得 γ 1 = (0, λ2 = 2 的特征向量是 X 3 = (1,0,0) T ，已单位化 γ 2 = (1,0,0) T 。
− 2 2 T , ) 。 2 2
λ3 = 5 ,所对应的特征向量 X 1 = (0,1,1) T ， 单位化得 γ 3 = (0,
2 ⎡ ⎢0 3 ⎢ 2 −1 X = ( E − A) B = ⎢− 1 3 ⎢ ⎢0 −1 ⎢ 3 ⎣
3．设 a1 = (2,1,1,1), a2 = (−1,1,7,10), a3 = (3,1,−1,−2), a4 = (8,5,9,11)
（1）求向量组的秩。 （2）求出它的一个极大线性无关组。 （3）将其余向量表成这个极大线性无关组的线性组合。 解：秩 2
1 0 0
⎤ 0 ⎥ 2⎥ ⎥ 2 ⎥ 2⎥ ⎥ 2 ⎦
⎡ y1 ⎤ ⎢y ⎥ 。 ⎢ 2⎥ ⎢ ⎦ ⎣ y3 ⎥
2 2 把二次型 f 化成标准形 f = y12 + 2 y 2 + 5 y3 。
三、证明题（共 1 题，每题 10 分，共 10 分）请将正确答案写在题目下方。 设 A, B 都是 n 阶对称阵，证明 AB 是对称阵的充分必要条件是 AB = BA 。 证明：充分性：因为 AB = BA ， AT = A ， B T = B 得
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(1) 有唯一解？ (2) 无解？ (3) 有无穷多解？并在此时求出其通解。
1+ λ 1 1
解： A =
1 1
1+ λ 1 = (3 + λ )λ2 1 1+ λ
当 λ ≠ −3且λ ≠ 0 时，方程组有唯一解
⎛ −2 1 1 0 ⎞ ⎛ 1 1 −2 −3 ⎞ r ⎟∼ ⎟ ⎜ − 当 λ = −3 时，增广矩阵为 B = ⎜ 1 2 1 3 ⎟ ⎜ 0 1 −1 −2 ⎟ ⎜ ⎜ 1 1 −2 −3⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 3 6 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 6 12 6 ⎟ ⎜ 4 8 4⎟ ⎝ ⎠
。
3 1 −1 2 −5 1 3 −4 2． 设D = ， D 的 (i, j ) 元的代数余子式记作 Aij ， 则 A33 + A34 = 2 0 1 −1 1 −5 3 −3 答案 -88
⎛2 0 0⎞ ⎜ ⎟ 3．设三阶方阵 A = ⎜ 0 x y ⎟ 可逆，则 x, y 应满足条件 ⎜0 2 3⎟ ⎝ ⎠
二、计算题（共 5 题，其中 1,2,3 题每题 10 分，4,5 题每题 15 分，共 60 分）请将正确 答案写在题目下方。
a0 1 1 a1 0 0 1 0 a2 0 1 0 0 ，其中 ai ≠ 0, i = 1,2, an
n
1． 计算 n+1 阶行列式 Dn +1 = 1
1
,n 。
答案
a0 1 a1 Dn+1 = a1a2 an 1 a2 1 an
a1 , a2是向量组a1 , a2 , a3 , a4的一个极大线性无关组
且 a3 =
4 1 13 2 a1 − a 2 , a 4 = a1 + a 2 3 3 3 3
⎧ (1 + λ ) x1 + x 2 + x3 = 0 ⎪ 4. 讨论 λ 为何值时，方程组 ⎨ x1 + (1 + λ ) x 2 + x3 = 3 ⎪ x + x + (1 + λ ) x = λ 2 3 ⎩ 1
( AB) T = B T AT = BA = AB
所以 AB 是对称阵。 必要性： AB 是对称阵， AT = A ， B T = B 得
AB = ( AB) T = B T AT = BA
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⎡ ⎢ 0 ⎢− 2 取正交阵 T = (γ 1 , γ 2 , γ 3 ) = ⎢ ⎢ 2 ⎢ 2 ⎢ ⎣ 2
2 2 T , ) 。 2 2
1 0 0
⎤ 0 ⎥ 2⎥ ⎥ 则 T −1 AT = diag (1,2,5) 。 2 ⎥ 2⎥ ⎥ 2 ⎦
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⎡ ⎢ ⎡ x1 ⎤ ⎢ 0 ⎥ ⎢− 2 于是有正交变换 ⎢ ⎢ x2 ⎥ = ⎢ 2 ⎢ ⎦ ⎢ 2 ⎣ x3 ⎥ ⎢ ⎣ 2
范围是_____________。 5 答案 − < t < 0 4
⎛ 1 −1 1 ⎞ ⎛ 2 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 则a＝ 9． 设矩阵 A = ⎜ 2 4 − 2 ⎟ 和矩阵 B = ⎜ 0 2 0 ⎟ 相似， ⎜− 3 − 3 a ⎟ ⎜0 0 b⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
b＝
。
答案 a=5,b=6
上 海 海 事 大 学 试 卷
2009 — 2010 学年第二学期期末考试 《
班级 题 得 目 分 一 学号 二 三
线 性 代 数
》 （A 卷）
姓名 总分
阅卷人
一、填空题（共 9 题，每空 3 分，共 30 分）请将正确答案写在题目后面的横线上。 1．A＝ (3 6 4 ) ，B＝ (1 2 1) ，则 AT B ＝
1 1 0
1 0 1
1 0
r1 −
n+1
a0 − ∑
i =1
1 ai
0 1 0
0 0 1
0 0 0 = ∏ ai ( a0 − ∑
i =1 iai
i =1
1 a1 1 a2 1 an
1 ) ai
0
1
0
1
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⎡0 1 0⎤ ⎡ 1 − 1⎤ ⎢ ⎥ ⎥ 2． 设 AX + B = X , 其中A = ⎢− 1 1 1 ⎥, B = ⎢ ⎢ 2 0 ⎥ , 求X ⎢ ⎢ ⎣− 1 0 − 1⎥ ⎦ ⎣5 − 3⎥ ⎦