第21章 一元二次方程 2017年秋导学案
人教版九年级数学上册(RJ)第21章 一元二次方程 导学案 一元二次方程的根与系数的关系
第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.一、知识链接1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？算一算解下列方程并完成填空：(1)x2+3x－4=0； (2)x2－5x+6=0； (3)2x2+3x+1=0.想一想方程的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜（1）一元二次方程 (x－x1)(x－x2) = 0 (x1，x2为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2与 p，q 之间的关系吗？（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？证一证：x1 + x2= x1·x2=归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x2，那么12bx xa ，12cx xa.(前提条件是b2－4ac≥0).(1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2+7x－9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2.归纳：在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判别Δ≥0，如是则代入 a、b、c的值即可.例2 已知关于x的方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.变式题已知关于的值.例3 不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.练一练设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则：(1) 12x x ， (2)12xx ，(3) 2212x x ， (4)212()x x .归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.常见的求值式子如下： 12111.x x +=22122.x x += 12213.=x xx x + 124.(1)(1)x x ++= 125.||=x x -例4 设x 1，x 2是方程 x 2－2(k －1)x + k 2 =0的两个实数根，且2212x x 4，求k 的值.方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母代入方程中，方程应该满足Δ≥0 .2b x a，1c x a.2221212()2x x x x x 2221212)()4x x x x x122121x x x x x......1.如果－1是方程2x 2－ = .2.已知一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p = ， q = .3.已知关于 的值.4.已知x 1，x 2是方程2x 2+2kx+k －1=0的两个根，且(x 1+1)(x 2+1)=4.(1)求k的值； (2)求(x1－x2)2的值.5.设x1，x2是方程3x2+4x－3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值：(1) (x 1 + 1)(x2 + 1)； (2)2112.x xx x拓展提升6. 当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根之差为1.7.已知关于-2=0(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围；(2)若方程两根x1，x2满足|x1-的值.242bb ac xa.时，方程有两个相1232课堂探究二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系 猜一猜=b a ，x 1x 2证一证：（注：b221242b b ac x x a +-+=2b b a -+-= 22ba-=.b a =- 1222b b x x a a•-+-⋅=()()22244b b ac a ---=244ac a=.ca =例1 解：（1） a=1 , b= – 6 , c= – 15. Δ = b 2– 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 = –( – 6 ) =6，x 1 x 2 = – 15 .（2）a = 3 , b =7, c = –9. Δ= b 2 - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 =73， x 1 x 2 =933.（3）方程可化为4x 2–5x +1 =0，a =4，b = – 5，c = 1.Δ = b 2- 4ac =(– 5)2 – 4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1， x 2，那么x 1 + x 2 =5544，x 1 x 2 =1.4=6.5=3.5+ x 2=2+ 35=.5k 得k=答：方程的另一个根是3,5k=－ 解：设方程的两个根分别是+ x 2=1+ x =5 .121231,.22x x x 222121122)2,x xx x x ∴22221212123113()22.224xxx x x x 121212131 3.22x x x x x练一练 （1）4 （2）1 （3）14 （4）12例4 解：由方程有两个实数根，得22221212()2x x x x x = 4(k 222x 4，得 2k +4 =4，解得k 1=0，k 2=4 . 当堂检测1. ；-3.2. 1 ； -2.1161.3c x a 116.3x 12121,.2k x k x x 1()1 4.2kk 解得k = -7；4.-则222121212)()474(4)65.x x x x x12124, 1.3b c x x x aa)+1=441()1.33122221121221212()234.9x x x x x x x x x x x x 12121,.22kx x x 22121212()()4 1.x x x x x x 22141,3,2 3.222k k k7.解：（1）方程有实数根，所以Δ=b 2-4ac=(-2m)2-4·m·（m-2=4m 2-4m 2+8m=8m ≥0.∵m≠0，∴m 的取值范围为m ＞0. 121222,.m x x x m22121212()()4 1.x x x x x x 22241.m m解得m=8.经检验，解.。
人教版数学九年级上册第二十一章一元二次方程导学案
21.1一元二次方程学习目标、重点、难点【学习目标】1、了解什么是一元二次方程及其一般形式；2、理解一元二次方程的定义.3、方程的解的定义 【重点难点】1、一元二次方程的概念及其一般形式；2、方程的解知识概览图新课导引某学校为了美化校园，准备在东西长50m 、南北宽38m 的矩形场地上铺设东西与南北方向两条宽度相等的矩形水泥路面，余下的部分作为花坛、绿地，且花坛、绿地的总面积为160m 2.求所铺设路面的宽为多少.【解析】为了便于理解，我们可以利用平移的知识将小路假设平移至场地一边，如右图所示，设路面宽为x m ，由矩形面积公式可得（50－x ）（38－x ）＝160，解这个方程即可.这个方程便是我们即将学习的一元二次方程.教材精华知识点1 一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程.概念：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，其中a ，b ，c 分别为二次项系数、一次项系数和常数项解：使方程左右两边相等的未知数的值一元二次方程例如：4x2＝19，x2＋3x＝0，3y2－5y＝7等都是一元二次方程.判定一个方程是一元二次方程需同时满足以下三个条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.只有同时满足以上三个条件的方程才是一元二次方程.知识点2 一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）. 这种形式叫做一元二次方程的一般形式. 其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项.拓展（1）一元二次方程的一般形式的特点为方程的右边为0，方程的左边是关于x的二次整式.（2）a≠0是一元二次方程定义的一部分，不可丢掉. 否则，方程中没有了二次项，就不是一元二次方程了. b，c是否为零不限制.（3）一元二次方程的项及系数是针对一元二次方程的一般形式而言的，写项或项的系数时都包括它前面的符号. 比如4x2－3x－2＝0的二次项、一次项、常数项分别为42x，－3x，－2、二次项系数、一次项系数、常数项分别为4，－3，－2.知识点3 方程的解的定义使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做这个方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根. 例如：x＝3，x＝2都是一元二次方程x2－5x＋6＝0的根.规律方法小结判断未知数的值是否为所给一元二次方程的解的方法是将这个数代入原方程，判断方程左右两边的值是否相等.探究交流（1）判断方程x（x＋10）＝x2－3是否是一元二次方程；（2）方程3x2＋2x＝1的常数项是1，方程3x2－2x＋6＝0的一次项系数是2，这种说法对吗？点拨（1）判断一元二次方程一般应先化简，再判断，因为方程x(x＋10)＝x2－3化简后为10x ＋3＝0，所以它是一元一次方程，不是一元二次方程.（2）要想正确确定方程的系数，首先要将一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，然后再确定a，b，c. 方程3x2＋2x＝1化为一般形式为3x2＋2x－1＝0，因此常数项为－1.方程3x2－2x ＋6＝0的一次项是－2x，一次项系数是－2. 所以这种说法不对，注意：项及项的系数包括它们前面的性质符号.课堂检测基本概念题1、下列关于x的方程中，哪些是一元二次方程？（1）x3-2x2＋5＝0 （2）x2＝1；（3）2160 5x x +=-；（4）2x2－x(2x＋1)＝0；（5）x3－x＋x2＝x3－1；（6）ax2＋bx＋c＝0.基础知识应用题2、把方程（3x＋2）2＝4（x－3）2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.综合应用题3、若关于x的方程（k－3）x|k|－1－x－2＝0是一元二次方程，则k的值为.4、判断下列关于x的方程是否是一元二次方程.（1）（a2＋1）x2＋3x－6＝0；（2）（a＋1）22x2＋3x－6＝0.探索创新题5、m取何值时，关于x的一元二次方程mx2＋m2x－1＝x2＋x没有一次项？体验中考1、已知整式x2－52x的值为6，则2x2－5x＋6的值为A. 9B. 12C. 18D.242、近年来，全国房价不断上涨，某县2010年4月份的房价平均每平方米3600元，比2008年同期房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年该县房价的平均增长率均为x，则关于x的方程为（）A. （1＋x2）＝2000B. 2000（1＋x）2＝3600C.（3600－2000）（1＋x）＝3600D.（3600－2000）（1＋x）2＝3600学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题考查的是一元二次方程的概念. 方程（3）不是整式方程，因此排除. 方程（1）中未知数的最高次数是3，也被排除. 化简后可知方程（4）是一元一次方程，故也排除. 方程（6）中a的取值范围未定，因此排除.解：（2）（5）是一元二次方程.【解题策略】判定一个方程是否为一元二次方程必须将其进行化简.2、分析本题考查的是一元二次方程的一般形式. 一元二次方程的一般形式是等号左边为关于未知数的降幂排列，右边为0.解：去括号得9x2＋12x＋4＝4x2－24x＋36，移项，合并同类项，得5x2＋36x－32＝0，∴这个一元二次方程的二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是－32.3、分析本题综合考查一元二次方程的概念、绝对值不等式的解法以及解不等式. 由题意可知||1230kk-=⎧⎨-⎩，≠，即±3kk=⎧⎨⎩，≠3.所以k＝－3. 故填－3.【解题策略】一元二次方程强调两点：①x的最高指数是2；②指数为2的项的系数不为零.4、分析判断是否是一元二次方程，关键是看含有字母的二次项系数是否为0.解：（1）∵a2＋1≠0，∴方程（a2＋1）x2＋3x－6＝0是一元二次方程.（2）当a＋1≠0，即a≠－1时，原方程为一元二次方程；当a＋1＝0，即a＝－1时，原方程为一元一次方程.规律·方法当一元二次方程的二次项系数是字母时，我们经常要讨论二次项系数是否为0.5、分析本题主要考查的是通过某些字母的取值探索一元二次方程成立的条件.解：将方程化为一般形式为（m－1）x2＋(m2－1)x－1＝0.根据题意得2101mm⎧-=⎨-⎩，≠0，解得m＝－1，∴当m＝－1时，原方程没有一次项.规律·方法研究一元二次方程各项系数时，应先将该方程化为一般形式，另外，必须保证二次项系数不为0.体验中考1、分析 由条件知x 2－52x ＝6，这是关于x 的一元二次方程. 但是本题不是求x 的值，而是求2x 2－5x ＋6的值，所以只需对 x 2－52x ＝6进行变形即可，x 2－52x ＝6，2x 2－5x ＝12. 所以2x 2－5x ＋6＝12＋6＝18。
21章一元二次方程导学案鲁微微
21.1、一元二次方程（1）主备人：鲁微微审核：九年级数学组时间：班级姓名学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
教学过程：一、自学引言部分，走进一元二次方程分析：设下部高x米，则可列方程：去括号得①你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？探究新知：自学课本2页问题1、问题2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题：问题1可列方程：整理得②问题2可列方程：整理得③1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义：展示反馈： 1、判断下列方程是否为一元二次方程。
【我学会了】1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： ,其中 是二次项， 是一次项， 是常数项， 是二次项系数 ， 是一次项系数。
3、一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右两边相等的_______________的值。
自主探究：1、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项,023)7(2=+-x mx x 的方程关于05)12()1()8(22=-+-++a y a y a y 的方程关于（1）8142=x （2）)2(5)1(3+=-x x x2、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解；（1）)()(1412+=+x x x ±1 ±2；（2）0822=-+x x ±2， ±4【巩固练习】教材第4页练习2归纳小结1、本节课我们学习了哪些知识？2、学习过程中用了哪些数学方法？3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？达标测评1、判断下列方程是否是一元二次方程;（1）0233122=--x x （ ）（2）0522=+-y x ( )(3) 02=++c bx ax （ ） (4)07142=+-x ( )2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x 2－x =2； （2）7x －3=2x 2;（3）(2x －1)－3x (x －2)=0 （4）2x (x －1)=3(x ＋5)－4.3、把方程p q nx mx nx mx -=++-22 ()0≠+n m 化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
新人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》导学案14
新人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》导学案14课题一元二次方程复习课型复习课课时[来源学科网Z.X.X.K]（6）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.例2：已知关于x的一元二次方程（m—1）x2 —（2m+1）x+m=0,当m取何值时：（1）它没有实数根。
（2）它有两个相等的实数根，并求出它的根。
（3）它有两个不相等的实数根。
巩固练习：1.解下列方程：[来源:学科网]（1）x2+(3+1)x=0 (2) (x+2)(x-5)=1(3) 3(x-5)2=(5-x) (4)2x2-7x+6=05.说明不论m取何值,关于x的方程(x-1)(x-2)=m2总有两个不相等的实数根.9.一元二次方程x2+3x-4=0的解是 .10.关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0有实数根,则a满足 .13.某商场销售额3月份为16万元,5月份为25万元, 该商场这两个月销售额的平均增长率是 .[来源:学科网ZXXK]14.已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根,则m2+2mn+n2的值为 .15.已知关于x的方程x2-4x-p2+2p+2=0的一个根为p,则p=16.若一元二次方程x2-(a-2)x+2a=0的两个实数根分别是3,b,则a+b= .[来源:]17.已知一元二次方程x2-(3+1)x+3-1=0的两根为x1,x2,则11x+21x= .18.如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根,则实数a的取值范围是 . 学法指导栏学习目标会用合适的方法解一元二次方程。
能用一元二次方程解决实际问题。
学习重点能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
学习难点会用一元二次方程根与系数的关系式。
教师“复备栏”或学生“笔记栏”回忆整理1．方程中只含有未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：________________ ( )其中二次项系数是、一次项系数是常数项。
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程复习导学案
一元二次方程复习学案【复习目标】1. 熟练掌握一元二次方程的概念。
2. 熟练并灵活运用配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程。
3. 能用根的判别式解决问题，培养学生的应用意识和分析问题、解决问题的能力。
【教学方法】师生互动，教师以点拨为主，学生以练习为主，在练习中学生可以集体讨论也可以分组讨论。
【教学过程】一、1：以下哪些是一元二次方程？（1）x 2 +7y-36=0 （2）-3x-54=0 （3）3x 2+5x-2=0（4）x 2 = （x+1）（x-1） （5）x 2 + (x+7) 2=112 （6）21109000x x --= 问题1：你认为一元二次方程需要满足哪几个条件一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧（设计意图：通过这一组题，回顾什么是一元一次方程）2、写出下列方程的二次项系数，一次项系数和常数项()()132)2()2(6)1(131222≠--=+--=+-k k x kx kx x x x x 的方程关于）（（设计意图：使学生明确项的系数包含前面的符号）3：选用适当的方法解下列方程（1）()212=-x （2）()0114=+-x x（2）()3-12522=++x x （4） x 2+5x-6=0问题2：你认为解方程时优先考虑哪种方法？哪些方法是万能的？问题3：在解方程的过程中，用到了哪些数学方法或思想？（设计意图：通过本题，使学生回顾复习一元一次方程的几种解法，并通过几种解法的比较得出：解一元二次方程时，一先考虑直接开平方法，然后是因式分解法，最后考虑配方法和公式法。
）4、k 为何值时，关于x 的方程0962=+-x kx ：（1）有两个不等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）无实数根？（设计意图：使学生回忆Δ与根的情况之间的关系，注意利用一元二次方程根的判别式求未知系数的值或取值范围，不能忽略二次项系数不为0这一条件）*5：已知关于x 的方程0a 2=-+x x 的一个根为2，则另一个根是________。
第21章一元二次方程导学案
22.1一元二次方程(1)编写人：周海东 审编人:程家忠 第22章第1课时【学习目标】1、理解一元二次方程的定义。
知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
2、通过学习，体会一元二次方程来源于生活，激发学习数学的热情【学习重点】一元二次方程的概念及其一般形式，认识一元二次方程的各项系数。
【学习难点】理解定义中的a ≠0的条件【自主探究】一、导引研学1.回忆：什么叫一元一次方程？“一元”是什么意思？“一次”是什么意思？12x =是不是一元一次方程？为什么？2.自学：认真阅读课本引言至P3内容，思考下列问题：⑴从引言中你知道了一种新的方程叫什么？这里的“二次”是什么意思？“方程”必须是什么方程？21210x x-+=是不是一元二次方程？为什么？⑵一元二次方程的一般形式是什么？为什么要加上限制条件a ≠0？不要这个限制条件行不行？为什么？⑶如何将一个一元二次方程化为一般形式？一元二次方程的一般形式中有哪几项？它们的系数各是什么？二、自我检测： 1、下面是一元二次方程吗？（填“是”或“否”）mx 2+nx -1=0 ( ) -5x 2=0 ( )2.完成P4练习1、2三、独学记录通过自学我又知道了新的知识：但还有疑惑：【范例精析】例1.⑴要使 是一元二次方程，则k =_______；⑵把方程mx 2-nx+mx+nx 2=q -p (m+n ≠0)化成一元二次方程的一般形式，再求出它们的各项系数和。
例2.当m 取任意实数时，判断关于x 的方程(m -1）x 2+(m +1)x -m =0的类型。
【达标测评】1．将x 2-3=-3x 化为 ax 2＋bx ＋c ＝0，a ，b ，c 的值分别为（ ）A. 0, -3, -3B. 1. -3, 3C. 1, 3, -3D. 1, -3, -32．下列方程中，无论a 取何值，总是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ． ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) B. ax 2＋1＝x 2-x C ．(a 2+1)x 2-(a 2-1)x =0 D. 213x a x =-+ 3.P34习题1(1),(3),(5)4. 6，求这两个数。
人教版九年级数学上册(RJ)第21章 一元二次方程 一元二次方程 导学案 一元二次方程
第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程学习目标：1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数；2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.重点：理解并能灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题.难点：根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.自主学习一、知识链接1.什么叫做一元一次方程，它有什么特点？2.下面式子哪些是方程？2+6=8； 2x+3； 5x+6=22；. x+3y=8； x-5<18；429x3. 在设计人体雕像时，使雕像的上部AC(腰以上)与下部BC(腰以下)的高度比，等于下部BC与全部AB(全身)的高度比，可以增加视觉美感，假设如图所示的雕像高AB为2 m，下部BC=x m，请列出方程.课堂探究二、要点探究探究点1：一元二次方程的概念问题1 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?观察与思考：上述方程有什么共同点？知识要点：一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有未知数（一元），并且未知数的最高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0).ax2是，a是；bx是，b是；c是 .想一想：为什么一般形式中ax2 + bx + c = 0要限制a ≠ 0？b、c 可以为0吗？方法总结：只要满足a ≠0即可，b 、c 可以为 .例1 下列选项中，关于x 的一元二次方程的是（ ）2222221A.0B.350C.(1)(2)0D.41(23)x x xy y xx x x x方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是则进一步化简整理再做判断.判断下列方程是否为一元二次方程？(1) x 2 + x = 36； (2) x 3 + x 2 = 36；(3)x + 3y = 36； 21240()xx；(5) x + 1 = 0；2(6)63x ；=(7)ax 2 + bx + c = 0；260.--=例2 a 为何值时，下列方程为关于x 的一元二次方程？(1)ax 2－x =2x 2；(2) (a －1)x| a | +1 －2x －7=0.方法：根据一元二次方程的定义求参数的值时，按照未知数的最高次数等于2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可得解．【变式题】方程(2a－4)x2－2bx+a=0，（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？思考：一元一次方程与一元二次方程的区别与联系：1.相同点：；2.不同点： .例3 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.注意：系数和项均包含前面的符号.探究点2：一元二次方程的根一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.试一试：下面哪些数是方程 x2–x–6 = 0的解?-4，-3， -2，-1，0，1，2，3，4例4 已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.方法：已知方程的根求字母的值，只需要把方程的根代入方程中，得到一个关于这个字母的一元一次方程，然后求解这个一元一次方程，就能得到字母的值.【变式题】已知a是方程 x2 + 2x－2=0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 的值.方法：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值.探究点3：建立一元二次方程模型问题在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，小路的宽应为多少呢？1.下列哪些是一元二次方程？3x+2=5x-2； x2=0； (x+3)(2x–4)=x2；3y2=(3y+1)(y–2)； x2=x3+x2–1； 3x2=5x–1.3.关于x的方程(k2–1)x2＋2(k–1)x＋2k＋2＝0，当k 时，是一元二次方程；当k 时，是一元一次方程.5.4.（1）已知方程5.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径x cm应满足的方程（其中π取3）；(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.拓广探索6.已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1，求a+b+c的值.思考：（1）若 a+b+c=0，你能通过观察，求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?（2）若 a–b+c=0，4a+2b+c=0，你能通过观察，写出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?参考答案自主学习 一、知识链接1.等号两边都为整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程叫做一元一次方程；一元一次方程的特点是：①只含有一个未知数；②未知数的次数是1；③是整式方程.2. 5x+6=22，x+3y=8 ，429x.3.解：列方程得x 2= 2(2－x)，整理，得x 2 + 2x －4 = 0． 课堂探究 二、要点探究探究点1：一元二次方程的概念问题1 解：设切去的正方形的边长为2，得：(100－2x)(50－2x)=3600.化简得x 2－75x +350 = 0.问题2 解：根据题意，列方程：1(1)28.2x x化简，得2560.x x观察与思考 共同点：①方程的两边都是整式； ②都只含一个未知数；③未知数的最高次数都是2.知识要点 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程. ax 2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项.想一想当a = 0时，bx＋c = 0，不符合定义；当a≠0，b = 0时，ax2＋c = 0，符合定义；当a≠0，c=0时，ax2＋bx= 0，符合定义；当a ≠ 0，b = c = 0时，ax2 = 0，符合定义．例1 C判断（1）对（2）错（3）错（4）错（5）错（6）对（7）错（8）错例2 解：(1)将方程整理，得(a－2)x2－x=0，所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由|a|+1 =2，且a－1 ≠0知，当a=－1时，原方程是一元二次方程.变式解：（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时，是一元二次方程；（2）当a=2且b ≠0时，是一元一次方程．思考：相同点：都是整式方程，且只含有一个未知数不同点：一元一次方程：未知数最高次数是 1一元二次方程：未知数最高次数是 2例3 解：去括号，得：3x2－3x=5x+10. 移项、合并同类项，得该方程的一般形式为3x2－8x－10=0.其中二次项是 3x2，系数是 3；一次项是－8x，系数是－8；常数项是－10.探究点2：一元二次方程的根问题1所以x=－2，x=3是方程 x 2–x –6 = 0的解.例4 解：由题意把x=3代入方程x 2+ax+a=0，得32+3a+a=0，9+4a=0，4a=－9，94a. 变式题 解：由题意得：a 2+2a －2=0即a 2+2a=2. ∴2a 2+4a+=2(a 2+2a )+=2×2+=.探究点3：建立一元二次方程模型建立问题 解：设小路的宽是2，纵向小路的面积是2×202.根据题意得32×20－(32x ＋2×20x)＋2x 2=570.整理得x 2－36x ＋35=0. 想一想：(20－x)(32－2x) = 570.当堂检测1.是一元二次方程的有：x 2=0；(x+3)(2x －4)=x 2；3x 2=5x －1.3. 从左至右从上至下依次为 x 2+3x －2=0，1，3，－2；3y 2－，3，－1；4x 2－5=0，4，0，－5；3x 2－2x －5=0，3，－2，－5.4. k ≠±1 k ＝－1 4.(1)372；(2)解：将2－4=0，解得m =±2.∵ m +2 ≠0，∴ m ≠－2，综上所述，m =2. 5.(1)解：设由于圆的半径为2.根据题意，得2320015032001504x ，整理得225000x .(2)解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x ，根据题意，得2751108x ，整理得22550110x x .拓广探索6.解：由题意得2110a b c，即0a b c.思考：(1)解：由题意得0a b c.∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)a b c，即2110必有一个根是1.(2)x1=－1或x2=2.。
九年级数学第21章 一元二次方程导学案1 课题：一元二次方程
第二十一章一元二次方程课题：一元二次方程【学习目标】1．使学生理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程化成一般式，正确识别二次项系数、一次项系数和常数项．2．会判断一个数是否是一元二次方程的根．3．经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．【学习重点】一元二次方程的概念及一般形式．【学习难点】在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项．【导学流程】一、情景导入感受新知情景：要设计一座高2 m的人体雕像，使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比，则雕像的下部应设计多少米高？问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？(导出审题的关键是寻找等量关系)问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？(用线段AB表示雕像的高度，雕像上部的高度表示为AC，下部的高度表示为BC，在黑板上画出示意图，把这个问题转化为数学问题)问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？(根据题意导出关系式BC2＝2AC)问题4：设雕像下部高BC＝x m，请说出你所列的方程，并化简，这个方程是一元一次方程吗？它有什么特点？这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程．(板书课题)二、自学互研生成新知【自主探究】阅读教材P1～P3思考前的内容，完成下面的内容：①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为x cm，则盒底的宽为(50－2x)cm，盒底的长为(100－2x)cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100－2x)(50－2x)＝3600，你能把它整理为课本上的方程②吗？试说明具体经过哪几步变形得到．先去括号5000－100x－200x＋4x2＝3600移项合并同类项4x2－300x＋1400＝0系数化为1(两边同除以4)x2－75x＋350＝0……①②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场．设邀请x支队参赛，则每支队与其余(x－1)支队都要赛一场．整个比赛中总比赛场数是什么？你是怎样算出来的？本题的等量关系是什么？你列出的方程是12x(x－1)＝28．你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到．去括号12x2－12x＝28系数化为1(两边同乘以2)x2－x＝56……②【合作探究】观察方程①，②，它们有什么共同特点？归纳：①结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．②一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，为什么要规定a≠0?因为a＝0时，未知数的最高次数小于2.③举例说明什么是一元二次方程的根．师生活动：①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程．②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求．③生生互助：同桌之间、小组内交流、研讨．三、典例剖析运用新知【合作探究】解答下列问题：如图是一张长9 cm、宽5 cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的正方形，可制成底面积是12 cm2的一个无盖长方体纸盒．设剪去的正方形的边长为x cm，则长方体纸盒的底面的长为(9－2x)cm，宽为(5－2x)cm，可列出关于x的方程为(9－2x)(5－2x)＝12，化简得4x2－28x＋33＝0．思考：所列方程二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项各是什么？同桌间互相说一说．师生活动：①明了学情：观察学生在回答一元二次方程各项及各项系数时，是否注意了符号．②差异指导：提醒学生一元二次方程的每一项(系数)都应包括它前面的符号．③生生互助：生生互动交流、订正错误．四、课堂小结回顾新知1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的．3．在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性．五、检测反馈落实新知1．关于x的方程ax2－3x＋3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是(B)A．a＞0B．a≠0C．a＝1D．a≥02．一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5，则这个一元二次方程是2x2＋3x－5＝0．3．小明用30厘米的铁丝围成一斜边长等于13厘米的直角三角形，设该直角三角形的一直角边长x厘米，则另一直角边长(17－x)厘米，列方程得x2＋(17－x)2＝132．4．关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为1和2，则b＝－3，c＝2．六、课后作业巩固新知(见学生用书)。
新人教版九年级数学第21章一元二次方程教案导学案(全章)
第21章一元二次方程教材内容1．本单元教学的主要内容．一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．3．解一元二次方程公式法的推导．课时划分本单元教学时间约需18课时，具体分配如下：21．1 一元二次方程2课时21．2 降次──解一元二次方程9课时21．3 实际问题与一元二次方程3课时教学活动、习题课、小结 4课时第1课时一元二次方程（1）第2课时一元二次方程（2）第3课时解一元二次方程——配方法（1）第4课时解一元二次方程——配方法（2）第5课时解一元二次方程——配方法（3）第6课时解一元二次方程——公式法（1）第7课时解一元二次方程——公式法（2）第8课时解一元二次方程—因式分解法（1）第9课时解一元二次方程—因式分解法（2）第10课时一元二次方程的解法复习课的数学思想。
新版人教版九年级上第21章一元二次方程导学案
师生备注
x2 1 2 x2 1 x2 1 ） -2x +1=0，•令 =y，则有 y2-2y+1=0，根据 x x x
2 上述变形数学思想 （换元法） ， 解决小明给出的问题： 在 （x2-1） + （x2-1） =0 中，求出（x2-1）2+（x2-1）=0 的根
9月
日
1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目． 4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 重点： 一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元 二次方程的概念．
二次项系数、及常数项：⑴ 5x2-1=4x 4x(x+2)=25 ⑷ (3x-2)(x+1)=8x-3
是________．
⑵ 4x2=81
⑶
(3)．关于 x 的方程（a-1）x2+3x=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围
师生后记：
九年（
课型 班级 学 习 目 标 学 习 重难点 Nhomakorabea数学
新授 九
）导学案
2 2
二、情境引入： 导 学 流 程
在检查预习的结果上，老师： “建立一元二次方程的数学模型？”
B．2，-3，18 B．p>0
C．2，-3，6
D．2，3，6
三、探究新知：
1、学生活动：请口答下面问题． （1）上面三个方程整理后含有几个未知数？ （2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？ （3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？
2017新人教版九年级上数学第二十一章一元二次方程导学案
x21.1 一元二次方程（1）学习目标：了解一元二次方程的概念；一般式ax 2+bx+c=0（a ≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重点难点：重点：一元二次方程的概念及其一般形式、和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 一、一元二次方程定义：问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？ 分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程_____________________________ 整理得_____________________________ ①问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。
如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程_____________________________ 整理得_____________________________ ②问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。
根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为___________设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。
九年级数学第21章《一元二次方程》导学案6
范县濮城镇中学导学案九年级上册数学活页导学案导学案总编号6主备人毕红军审核人毕景昌审批人授课人授课时间班级姓名小组课题因式分解法解一元二次方程课型探究课课时 1 例1、用因式分解法解下列方程（1） (2)（3）(4)例2、用因式分解法解下列方程（1）4x2-144=0 （2）(2x-1)2=(3-x)2[.Com]（3）（4）3x2-12x=-12例3、用十字相乘法解下列方程（2） x2－3x-10=0 (2) x2+2x-3=0(3)3 x2+11x+10=0 （4）2x2﹣x﹣6=0活动3：课堂小结因式分解法解一元二次方程的一般步骤（3）将方程右边化为（4）将方程左边分解成两个一次因式的（5）令每个因式分别为，得两个一元一次方程（6）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解【课堂检测】1．方程2x（x-2）=3（x-2）的解是_________2．若（2x+3y）2+2（2x+3y）-8=0，则2x+3y的值为_________．3．已知y=x2-6x+9，当x=______时，y的值为0；当x=_____时，y的值等于9．4．方程x（x+1）（x-2）=0的根是（）A．-1，2 B．1，-2 C．0，-1，2 D．0，1，25．若关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（）A．（x+5）（x-7）=0 B．（x-5）（x+7）=0C．（x+5）（x+7）=0 D．（x-5）（x-7）=06．方程（x+4）（x-5）=1的根为（）A．x=-4 B．x=5 C．x1=-4，x2=5 D．以上结论都不对7、用因式分解法解下列方程：(1) (2)(3)9x2-6x+1=0 (4)2x2-7x+3=08、已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程的一个根，求这个三角形的周长。
反思：学法指导栏[.Com]学习目标1、会用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。
新人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》导学案11
新人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》导学案11课题实际问题与一元二次方程(3)课型探究课课时1 三、课堂检测（一）、选择题1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）．A．37 B．5 C．38 D．72．有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（）．A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m;B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m;C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m;D．以上都不对3．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）．A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2（二）、综合提高题1．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为多少？．[来源:Z,xx,]2．某广告公司制作广告的收费标准是:以面积为单位,在不超过规定面积A(m2)的范围内,每张广告收费1000元,如果超过Am2,则除了要交这1000元的基本广告费以外,超过部分还要按每平方米50A元交费.下表是该公司对两家用户广告面积和收费情况的记载:单位广告面积(单位:m2) 收费金额(单位:元)烟草公司[来源:Z|xx|]6 1400食品公司 3 1000求规定面积A的值；3．在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，P、Q间距离为42厘米？学法指导栏[来源:][来源:Z#xx#]学习目标1、掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．2、利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题．学习重点根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．学习难点根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程教师“复备栏”或学生“笔记栏”一、复习引入说出三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形及圆的面积公式（学生口答，老师点评）二、探索新知现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．例1．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，•上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？例2．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，•正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，•如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，•应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？思考： (1)本体中有哪些数量关系？（2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？（4）你有几种解法？解法一：设上下边衬宽均为9xcm,左右边衬宽均为7xcm,则有：解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm。
人教版九年级上册数学导学案：第21章一元二次方程探究
第21章一元二次方程一、知识梳理1．一元二次方程的概念只含有个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．[注意] 一元二次方程判定的条件是：(1)必须是整式方程；(2)二次项系数不为零；(3)未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．2．一元二次方程的解法一元二次方程有四种解法：法、法、法和法．其基本思想是.[注意] 公式法其实质是配方法，只不过省去了配方的过程，但用公式时应注意：(1)将一元二次方程化为一般形式，即先确定a、b、c的值；(2)牢记使用公式的前提是b2－4ac≥0.3．一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac(1)Δ>0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根；(2)Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有的实数根；(3)Δ<0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 实数根．[注意] (1)根的判别式是在一元二次方程的一般形式下得出的，因此使用根的判别式之前，必须把一元二次方程化成一般形式；(2)如果说一元二次方程有实根，应该包括有两个相等的实数根与两个不相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不能丢掉等号；(3)在利用根的判别式确定方程中字母系数的取值范围时，如果二次项系数含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件．4.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝，x1·x2＝.[注意] 它成立的条件：①二次项系数不能为0；②方程根的判别式大于或等于0.5.一元二次方程的主要应用类型：几何面积、增长率、商品销售等。
二、题型、技巧归纳考点一:一元二次方程及根的有关概念【主题训练1】若(a-3)2a7x－ +4x+5=0是关于x的一元二次方程,则a的值为( )A.3B.-3C.±3D.无法确定【解答】归纳：考点二：一元二次方程的解法【训练2】解方程x2-2x-1=0.【解答】归纳：考点三：根的判别式及根与系数的关系【训练3】若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是( )A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断【解答】归纳：考点四：一元二次方程的应用【训练4】某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示,甲、乙两点分别从直径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l= t2+ t(t≥0),乙以4cm/s的速度匀速运动,半圆的长度为21cm.(1)甲运动4s后的路程是多少?(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间?(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?【解答】归纳：考点五几何图形型应用题【训练5】如图所示，在长为10 cm，宽为8 cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去小正方形的边长．例5图【解答】归纳：【典例精讲】例题：某百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少？解：三、随堂检测1.下列方程中,一定是一元二次方程的是( )A.ax2+bx+c=0B. 12x2=0C.3x2+2y-12=0 D.x2+ 4x-5=02.若关于x的一元二次方程ax2+bx+5 =0(a≠0)的解是x=1,则2013-a-b的值是( )A.2 018B.2 008C.2 014D.2 0123.一元二次方程2x2-3x-2=0的二次项系数是,一次项系数是,常数项是.4.已知b<0,关于x的一元二次方程(x-1)2=b的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根，B.有两个相等的实数根，C.没有实数根，D.有两个实数根5、若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16,则m= .6.解方程:(x-3)2-9=0.7.下列一元二次方程有两个相等实数根的是( )A.x2+3=0B.x2+2x=0C.(x+1)2=0D.(x+3)(x-1)=08. 8.已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,②x2-2x-3=0,下列说法正确的是( )A.①②都有实数解B.①无实数解,②有实数解C.①有实数解,②无实数解D.①②都无实数解9.已知一元二次方程x2-6x+c=0有一个根为2,则另一根为( )A.2B.3C.4D.810. 10.若x1,x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根,则x1x2的值是( )A.-2B.-3C.2D.311. 11.关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是( )A.1B.-1C.1或-1D.212.从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条,剩下的面积是48m2,则原来这块木板的面积是( )A.100 m2B.64 m2C.121 m2D.144 m213.我国政府为解决老百姓看病难问题,决定下调药品的价格.某种药经过两次降价,由每盒60元调至48.6元,则每次降价的百分率为（）.14.为响应“美丽广西清洁乡村”的号召,某校开展“美丽广西清洁校园”的活动,该校经过精心设计,计算出需要绿化的面积为498m2,绿化150m2后,为了更快地完成该项绿化工作,将每天的工作量提高为原来的1.2倍.结果一共用20天完成了该项绿化工作.(1)该项绿化工作原计划每天完成多少m2?(2)在绿化工作中有一块面积为170m2的矩形场地,矩形的长比宽的2倍少3m,请问这块矩形场地的长和宽各是多少米?答案：1.选B.A中的二次项系数缺少不等于0的条件,C中含有两个未知数,D中的方程不是整式方程.2. 【解析】选A.∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根, ∴a·12+b·1+5=0,∴a+b=-5,∴2013-a-b=2013-(a+b)=2013-(-5)=2018.3. 答案:2 -3 -24. 选C.∵(x-1)2=b中b<0,∴没有实数根.5. 答案: 36. 【解析】移项得:(x-3)2=9,两边开平方得x-3=±3,所以x=3±3,解得:x1=6,x2=0.7. 【解析】选C.8. 【解析】选B.一元二次方程①的判别式的值为Δ= b2-4ac=4-12=-8<0,所以方程无实数根;一元二次方程②的判别式的值为Δ=b2-4ac=4+12=16>0,所以方程有两个不相等的实数根.9. 【解析】选C.由题意,把2代入原方程得:22-6×2+c=0,解得c=8,把c=8代入方程得x 2-6x+8=0,解得x 1=2,x 2=4.10. 【解析】选B. 11. 【解析】选B.12. 【解析】选B.设正方形原边长是x,根据题意可得:(x-2)x=48,解得x 1=8,x 2=-6(不合题意,舍去),所以原边长是8,面积是64m 2.13. 【解析】∵设每次降价的百分率为x,则根据题意,得60(1-x)2=48.6,解得x 1=1.9(不合题意,舍去),x 2=0.1=10%.答案:10%14.【解析】(1)设该项绿化工作原计划每天完成xm 2,则提高工作 量后每天完成1.2xm 2,根据题意,得150498150x1.2x－=20,解得x=22.经检验,x=22是原方程的根.答:该项绿化工作原计划每天完成22m 2. (2)设矩形宽为ym,则长为(2y-3)m, 根据题意,得y(2y-3)=170,解得y=10或y=-8.5(不合题意,舍去). 2y-3=17.答:这块矩形场地的长为17m,宽为10m.。
人教版九年级上册第21章 一元二次方程 第1课时 21.1 一元二次方程(1)学生版导学案
课题：21．1 一元二次方程（1） 月 日 班级： 姓名：一、教材分析： （一）学习目标：1.经历一元二次方程概念的形成过程,知道什么是一元二次方程.2.会把一元二次方程化成一般形式,并知道各项及系数的名称.3.能说出什么是一元二次方程的解（根）.（二）学习重点和难点：1.重点：一元二次方程的概念；2.难点：把一元二次方程化成一般形式.二、问题导读单：阅读21章彩页—P4页回答下列问题：1.仔细阅读本章彩页和P2页两个问题,分析(1)列出的方程在原题中画出相等关系的语句,(2)所列出的方程经过哪些整理过程?(3)整理后得到的方程都是 项,分别是 次项、 次项、 次项。
2.P3页“思考”你的答案：3.说明一元二次方程及其一般形式,举例：(1)_____________________________ (2) _____________________________,(3) __________________________________4.填表：5.按要求写出一个相应的一元一次方程。
6.完成P4页练习。
三、问题训练单：7．判断下列方程是否为一元二次方程：(1)1-x 2=0 (2)2(x 2-1)=3y (3)2x 2-3x-1=0 (4)x x 212=0 (5)(x+3)2=(x-3)2 8．将下列方程化为一元二次方程的一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x 2－x=2； （2）7x －3=2x 2;（3）(2x －1)－3x(x －2)=0 （4）2x(x －1)=3(x ＋5)－4.9.选择题 （1）在下列方程中,一元二次方程的个数是（ ）．①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x =0A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 （2）．方程2x 2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）． A ．2,3,-6 B ．2,-3,18 C ．2,-3,6 D ．2,3,6 （3）．px 2-3x+p 2-q=0是关于x 的一元二次方程,则（ ）．A ．p=1B ．p>0C ．p ≠0D ．p 为任意实数 10.填空题（1）．方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为_____,一次项系数为____,常数项为________． （2）．一元二次方程的一般形式是__________． （3）．关于x 的方程（a-1）x 2+3x=0是一元二次方程,则a 的取值范围是________．（4）在-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4这些数中,是一元二次方程x 2-x-6=0的根的是 .11*.a 满足什么条件时,关于x 的方程a （x 2+x ）3（x+1）是一元二次方程？四、问题生成单：五、谈本节课收获和体会：。
第21章 一元二次方程 导学案
课题21.1一元二次方程课时1课时课型新授课学习目标1、理解一元二次方程的概念；2、知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；3、会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
重点由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
判定一个数是否是方程的根；难点由实际问题列出一元二次方程。
准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。
考点一元二次方程的定义、一般式、系数。
导学流程【自主预习】－－－－－－不议不讲（一）温故知新问题1如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__________，宽为__________.得方程_____________________________整理得_____________________________ ②问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为___________.设应邀请x个队参赛，每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场.列方程____________________________化简整理得________________________ ③（二）探索新知请回答下面问题：（1）方程①②中未知数的个数各是多少？（2）它们最高次数分别是几次？方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____（二次）的方程.（三）、总结归纳1.一元二次方程:_____________________________________________.2.一元二次方程的一般形式：____________________________ .其中ax2是________，_____是二次项系数；bx是__________，_____是一次项系数；_____是常数项.（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉.）3.一元二次方程的解（根）：_____________________________________________.例：将方程3x(x﹣1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．【当堂检测】1.将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2－x=2 （2）7x－3=2x2; （3）(2x－1)－3x(x－2)=02．下列哪些数是方程x2+x－12=0的根？－4、－3、－2、－1、0、1、2、3、4．3．若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是_________．4.若关于x的方程（m+3）27mx +（m－5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，•并计算这个方程的各项系数之和．【作业布置】课本第4页第一题（2）（4）（6）课题用直接开平方法解一元二次方程课时1课时课型新授课学习目标会用直接开平方法解形如2x=p(p≥0)或（mx+n）2=p(p≥ 0)的方程重点用直接开平方法解一元二次方程的步骤。
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第二十一章一元二次方程（第1课）一、知识回顾你知道什么是方程吗？想一想你以前学过什么方程？它的特点是什么？一、自学指导．(10分钟)问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__ _，宽为_ __．列方程__ __，化简整理，得_．①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为__ _．设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__ __个队各赛1场，所以全部比赛共__场．列方程__ _，化简整理，得____．②探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__ 个．(2)它们最高次数分别是几次？__ 次．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__ __，只含有__ __未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__ _的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__ __ ，只含有__ __个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__ __(二次)的方程，叫做一元二次方程．请举一个例子：2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中____是二次项，____是二次项系数，____是一次项，__ __是一次项系数，__ __是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a ≠0是一个重要条件，不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？如果是请指出方程的a 、b 、c 分别是多少！ (1) x 3－2x 2＋5＝0； (2) x 2＝1； (3)5(2x －1)－3x (x －2)=0 ；(4)2(x ＋1)2＝3(x ＋1)；(5)x 2－2x ＝x 2＋1; (6)ax 2＋bx ＋c ＝0. 议一议判断一个方程是不是一元二次方程的三要素是什么？（化简后）① ② ③2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
（1）8142=x （2）)2(5)1(3+=-x x x1、要使02)1()1(1=+-+++x k xk k 是一元二次方程，则k =___ ____.2、已知关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0，求m 的值。
【能力检测】1.下列方程中，一元二次方程有（ ） （1）x 2+x +1=0 （2）ax 2+bx +c =0（3）0112=++xx （4）a －2x +1=0(a 是实数)（5）2x (3x +2)=(x +1)(6x －3) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个2. 把方程：（2x －1）(2x +1)=0 化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A 4，1; B 4，0，－1 C 4，－1 D 4，0，13.方程x 2+x －11=0=0的各项项系数乘积的为____.4.若关于x 的一元二次方程（m －2）x 2+3x + m 2－4=0的常数项为0,则m 的值为__5.关于x 的方程： (a －1)x 2 +3ax －3=0，当a 为____值时它是一元二次方程，当a 为____值时，它为一元一次方程。
21．2解一元二次方程（直接开方法）一、自学指导．(10分钟)问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为__ __dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__ __，由此可得____，根据平方根的意义，得x＝_ __，即x1＝_ _ __，x2＝__ __．可以验证__ __和都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__ __dm.自学检测：你能根据上面方法解下列方程吗？(1) 2y2＝8；（2）2 x2＝32；探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x＋9＝4?方程(2x－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为_ _，即将方程变为_ 和__ __两个一元一次方程，从而得到方程(2x－1)2＝5的两个解为x1＝_ _，x2＝__ __．方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋__ _)2＝4，进行降次，得到__ _ ，方程的根为x1＝__ __，x2＝_ _ __.在解上述方程的过程中，实质上是利用平方根的概念把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程的方法叫直接开方法．归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么就可以根据平方根的概念直接左右开方.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)解下列方程：(1)2(x －8)2＝50； (2) (2x －1)2＋4＝0;(3) y 2＋2y ＋1＝24； （4）12（2－x ）2－9＝0.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 用直接开平方法解下列方程：(1)3(x －1)2－6＝0 ; (2)x 2－4x ＋4＝5；(3)9x 2＋6x ＋1＝4; (4)36x 2－1＝0；展示质疑与小结】解下列方程（1）04)12(2=--x （2）x 2－12=0（3））2x 2－3 = 0 . （4）2（x －1）2－25＝0；21．2.1 配方法一、1、直接开方法的形式是方程能变形为： 二、仿照课本P6例题，完成填空。
怎样解方程x 2＋6x －16＝0? 解：移项，得x 2＋6x ＝16，两边都加上__9__即__(62)2__，得_ _，（加其它可以吗？）左边写成平方形式，得__ __， 左右开平方，得__ __， (降次) 即 __ __或__ __， 解一次方程，得x 1＝__ __，x 2＝__ __．归纳总结：当方程左边不是平方形式时，我们可以通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法； 练一练 ：配方.填空：（1）x 2＋6x ＋（ ）＝（x ＋ ）2； （2）x 2－8x ＋（ ）＝（x － ）2； （3）x 2＋23x ＋（ ）＝（x ＋ ）2； 从这些练习中你发现了什么特点?(1)________________________________________________ (2)________________________________________________三、【合作探究】1、用配方法解下列方程：（1）x 2－6x －7＝0； （2）x 2＋3x ＋1＝0.四、【展示质疑与小结】1、用配方法解下列方程：（1）011242=--x x （2）03232=-+x x2、归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：(1)变：把方程变为一般形式 ； (2)移：把方程的 项通过移项移到方程的 ；(3)化：把方程方程二次项系数a 化为 ； (4)配：方程两边同时加上一次项系数的 ；(5)写：把方程左边写 的形式， （6）解：直接左右开方五、【能力检测】用配方法解方程：（1）x 2＋8x －2＝0 （2）x 2－5x －6＝0. （3）2x 2－x =6六、【课外拓展】1、已知代数式x 2－5x +7,先用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？21．2.2 公式法一、1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、用配方法解方程3x 2－6x －8=0; 二、自学指导你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下. ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0). 推导公式用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0).因为a ≠0，方程两边都除以a ，得_____________________＝0.移项，得x 2＋a bx ＝_____ ___， 配方，得 x 2＋ab x ＋___ ___＝____ __－a c,即 (____________) 2＝___________因为 a ≠0，所以4 a 2＞0，当b 2－4 ac ≥0时，直接开平方，得 _____________________________.所以 x ＝_______________________ 即 x ＝_________________________由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的求根公式：1、b 2－4 ac 为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？2、方程3x 2－2x +4=0中，ac b 42 =（ ）,则该一元二次方程（ ）实数根。
三、【合作探究】探究：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac 2a就得到方程的根，当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．(2)x ＝－b±b 2－4ac 2a 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__ 个实数根，也可能有__ __个实根或者__ __实根． (5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b 2－4ac .五、【能力检测】1、应用公式法解方程：(1) x2－6x＋1＝0；(2)2x2－x＝6；(3)4x2－3x－1＝x－2；(4)3x2－23x＋1＝0六、【课外拓展】一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根2．当m为何值时，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1＝0，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？21．2.2公式法第5课一、回顾交流一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是二、【自主学习】一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）只有当系数a、b、c满足条件b2－4ac__ _0时才有实数根，观察上式我们不难发现：一元二次方程的根有三种情况：1、当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿的实数根；2、当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根x1＝x2＝＿＿＿＿3、当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.这里的b2－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根三、【合作探究】1、不解方程，判断方程根的情况。