卡特兰数与斯特林数
卡特兰数
卡特兰数非常经典，很多现实的问题都是卡特兰数，如合法的入栈出栈序列有多少种就是卡特兰数，为什么呢？我们可以把0看成入栈操作，1看成出栈操作，即0的累计个数不小于1的排列有多少种。
还有很多其他的问题都是卡特兰数，如二叉树的个数，有序树的个数，多边形分成三角形的个数等。
卡特兰数的通项是c(2n, n)/(n+1)。
注意组合数学中的运算：A(m, n) = m! / (m-n)!, C(m, n) = A(m, n) / n! = m! / ((m-n)!*n!),因此卡特兰数的通项：C(2n, n)/(n+1) = (2n!) / ((2n - n)! * n!) / (n + 1) = (2n!) / (n! * n!) / (n + 1)卡特兰数的问题应用：1.圆周上有标号为1，2，3，4，……，2n的共计2n个点，这2n个点配对可连成n条弦，且这些弦两两不相交的方式数为卡特兰数C n2.游乐园门票1元一张，每人限购一张。
现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友每人只有1元的钞票一张，另5个小朋友每人只有2元的钞票一张，售票员没有准备零钱。
问：有多少种排队方法，使售票员总能找的开零钱？3.甲乙两人比赛乒乓球，最后结果为20∶20，问比赛过程中甲始终领先乙的计分情形的种数。
即甲在得到1分到19分的过程中始终领先乙，其种数是卡特兰数4.饭后，姐姐洗碗，妹妹把姐姐洗过的碗一个一个放进碗橱摞成一摞。
一共有n个不同的碗，洗前也是摞成一摞的，也许因为小妹贪玩而使碗拿进碗橱不及时，姐姐则把洗过的碗摞在旁边，问：小妹摞起的碗有多少种可能的方式？答：得数是第n个卡特兰数C n。
一个汽车队在狭窄的路面上行驶，不得超车，但可以进入一个死胡同去加油，然后再插队行驶，共有n辆汽车，问共有多少种不同的方式使得车队开出城去？1.括号化问题。
一个合法的表达式由()包围，()可以嵌套和连接，如(())()也是合法表达式；现在有6 对()，它们可以组成的合法表达式的个数为2.矩阵连乘：P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)3.出栈次序问题。
卡特兰数算法实现_解释说明以及概述
卡特兰数算法实现解释说明以及概述引言部分是文章的开篇，应该对卡特兰数算法进行简要的介绍和概述。
以下是引言部分内容：1. 引言1.1 概述卡特兰数算法是组合数学中一种重要的计算方法，用来计算大量具有递归关系的问题。
它由比利时数学家欧·乌亚伊斯于19世纪中叶首次提出，并以比利时数学家欧仁·查尔斯·卡特兰的名字命名而得名。
卡特兰数算法被广泛应用于多个领域，如计算机科学、信息技术、电子工程等。
它在组合优化、动态规划、几何图形等问题求解中发挥着重要的作用。
本文将详细介绍和解释卡特兰数算法的实现原理及其应用案例分析，并通过对比不同实现方法及其优劣，总结出适用于不同场景和问题求解的最佳实践。
1.2 文章结构本文共包括五个章节，每个章节都涵盖了不同方面的内容：- 第一章：引言。
本章介绍了本文的背景与目标，并简要概括了卡特兰数算法及其应用。
- 第二章：卡特兰数算法概述。
本章对卡特兰数算法进行定义和历史背景的介绍，并探讨了其在不同领域中的应用。
- 第三章：卡特兰数算法实现步骤。
本章详细解释了卡特兰数算法的具体实现步骤，包括递推公式推导、动态规划实现以及递归实现及优化方法。
- 第四章：卡特兰数算法应用案例分析。
本章通过具体案例分析了卡特兰数算法在括号匹配问题、栈操作序列计数问题和凸多边形三角剖分方案计算中的应用。
- 第五章：结论与总结。
本章总结了卡特兰数算法的优缺点，并展望了其未来的发展前景。
1.3 目的本文旨在深入研究和探索卡特兰数算法，全面解释其实现原理及其应用领域，并提供具体案例进行分析，以期读者能够更好地理解该算法并将其运用于问题求解过程中。
此外，本文也将为读者提供一些可行的优化方法和未来可能的发展趋势，为相关领域的研究人员和工程师提供参考和借鉴。
2. 卡特兰数算法概述2.1 定义和历史背景卡特兰数算法是一种用于计算排列组合数量的数学算法。
它以比利时数学家欧仁·查理·卡特兰（Eugène Charles Catalan）的名字命名，他首次研究并发现了这个数列。
卡特兰数详解
卡特兰数详解
哎呀呀，啥是卡特兰数呀？我一个小学生可真是一头雾水！这名字听起来就怪怪的，难道是一种神秘的魔法数字？
老师在课堂上讲卡特兰数的时候，我就感觉自己像是掉进了一个数字的迷宫里。
同学们也都皱着眉头，你看看我，我看看你，仿佛在说：“这到底是啥呀？”老师在黑板上写了一堆公式和例子，可我越看越迷糊。
我就想啊，这卡特兰数就像一只调皮的小猴子，在数字的森林里上蹿下跳，就是不让我们抓住它的尾巴，弄明白它到底是怎么回事。
比如说，计算一些排列组合的问题，卡特兰数就跑出来捣乱了，本来简单的问题变得复杂得要命！
有一次，我回家问爸爸妈妈，他们也被我问得愣住了，爸爸挠挠头说：“宝贝，这个爸爸也不太懂呢。
”妈妈在一旁笑着说：“看来得咱们一起研究研究啦！”
后来，我和小伙伴们一起讨论，大家都叽叽喳喳地发表自己的看法。
小明说：“我觉得卡特兰数就像是个隐藏的宝藏，咱们得努力找到打开它的钥匙。
”小红却摇着头说：“我看它更像是个大怪兽，老是拦住我们的路。
”
经过好一番努力，我好像有点明白了。
卡特兰数不就是在数字世界里的一种特殊规律嘛，就像我们排队做操，不同的排列方式就可能和卡特兰数有关系。
哎呀！学习卡特兰数可真是不容易，但我相信，只要我一直努力，总有一天能把它彻底搞清楚！难道不是吗？
总之，卡特兰数虽然难，但我不会轻易放弃的！。
《具体数学》——特殊的数
《具体数学》——特殊的数不论是在数论中，还是在组合数学中，都有着⼀些特殊的数列——斐波那契数、欧拉数，斯特林数、卡特兰数，这篇⽂章，笔者将带领读者去探寻历代数学家是如何从⼀些简单基本的问题中提炼出这些特殊的数列。
斯特林数：斯特林数有两类，分别基于这不同情境的问题，我们⾸先介绍第⼆类斯特林数。
第⼆类斯特林数基于这样⼀个问题模型：将含有n个元素的集合分成k个⾮空⼦集(⽤S2(n,k)表⽰)，有多少张种情况？⾸先我们从⼏个简单的例⼦开始，显然，对于任意n>0,k=1,有S2(n,k) = S2(n,n) = 1。
⽽当n = 0时呢？S2(0,1) = ?我们⽤⽂字描述⼀下这个式⼦想要表达的东西，空集分成⼀个⾮空集合的情况数，显然是不存在的，即S(0,1) = 0。
让我们进⼀步讨论k = 2的情况，对于S2(n,2)，我们可以将其看成将第n个元素加⼊到前n-1个元素构成集合的⼀个任意⼦集中，由于这种选择最终不能形成空集，因此需要排除⼀种情况，即S2(n,2) = 2^(n-1) - 1.分析了k两种特殊取值，我们尝试⽤分析k=2时的思路进⾏推⼴式的分析。
考察S2(n,k)，我们可将其看成在n-1个元素的集合上进⾏⼀系列操作。
对于第n个元素，⽆⾮有如下两种情况：1.第n个元素单独⼀组，此时出现S2(n-1，k-1)种情况。
2.第n个元素不是单独⼀组，此时出现k*S2(n-1,k)种情况。
综合起来，得到第⼆类斯特林数的递推公式S2(n,k) = S2(n-1,k-1) + k*S2(n-1,k)。
那么这⾥我们结合刚刚学到的第⼆类斯特林数，来⼀道实战的应⽤。
Q：当前有n场⽐赛以及m个桌⼦，组织每⼀场⽐赛需要⼀些桌⼦，那么现在请问，完成这n场⽐赛，有多少种不同的分配桌⼦的⽅法？(每个桌⼦⾄少要⽤⼀次。
)我们能够看到，在应⽤第⼆类斯特林数的时候，S2(n,k)中两个参量分别表⽰元素数和集合数，在具体的问题中如何恰到好处的找到这两个参量，是⽤好它的关键。
卡特兰数
卡塔兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。
由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。
卡塔兰数的一般项公式为另类递归式：h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);前几项为（OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 48 62, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 1296447 90, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343 059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...C n的另一个表达形式为所以，C n是一个自然数；这一点在先前的通项公式中并不显而易见。
这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。
(见下文的第二个证明。
)卡塔兰数满足以下递推关系它也满足这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。
卡塔兰数的渐近增长为它的含义是左式除以右式的商趋向于1当n→∞。
（这可以用n!的斯特灵公式来证明。
）所有的奇卡塔兰数C n都满足n = 2k− 1。
所有其他的卡塔兰数都是偶数。
组合数学中有非常多.的组合结构可以用卡塔兰数来计数。
在Richard P. Stanley的Enumerative Combinatorics: Volume 2一书的习题中包括了66个相异的可由卡塔兰数表达的组合结构。
以下用C n=3和C n=4举若干例：▪C n表示长度2n的dyck word的个数。
Dyck word是一个有n个X 和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。
以下为长度为6的dyck words:XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY▪将上例的X换成左括号，Y换成右括号，C n表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:((())) ()(()) ()()() (())() (()())▪C n表示有n+1个叶子的二叉树的个数。
卡特兰数公式证明
卡特兰数公式证明卡特兰数是组合数学中一个非常有趣且重要的概念。
咱们先来说说卡特兰数到底是啥。
卡特兰数是一个数列，在很多组合问题中都能碰到它。
比如说，有一个 n×n 的方格棋盘，从左下角走到右上角，只能向右或者向上走，而且不能穿过对角线，那走法的数量就跟卡特兰数有关。
要证明卡特兰数公式，咱们得先把卡特兰数的公式写出来，那就是：$C_n = \frac{1}{n + 1} {2n \choose n}$ 。
咱们来仔细琢磨琢磨这个公式。
先从组合数的角度来看，${2n \choose n}$ 表示从 2n 个东西里选出n 个的组合数。
但是为啥要除以 n + 1 呢？这就有点巧妙啦。
咱们来这么想，假设我们要把 n 个向右的步数和 n 个向上的步数排一排，总共有 2n 个位置。
那总的排列方法有 ${2n \choose n}$ 种。
但是这里面有很多是不符合要求的，比如说超过了对角线的走法。
那怎么把不符合要求的去掉呢？咱们假设一种不符合要求的走法，也就是超过对角线的。
那肯定在某个时刻，向右的步数比向上的步数多了 1 步。
咱们把第一次出现这种情况之后的所有步数都反过来，也就是把向右变成向上，向上变成向右。
这样一来，就从超过对角线的走法变成了从右上角走到左下角的走法，而且这种对应是一一对应的。
所以，不符合要求的走法正好是从右上角走到左下角的走法数量，也就是和从左下角走到右上角的走法数量一样多。
那总的走法数量减去不符合要求的走法数量，再除以 2 ，就是符合要求的走法数量啦，也就是卡特兰数。
经过这么一分析，是不是对卡特兰数公式有点感觉啦？我记得之前给学生讲这个的时候，有个小家伙一脸迷茫，我就给他举了个爬楼梯的例子。
假设你要爬 5 层楼梯，每次可以上 1 层或者 2 层。
那有多少种不同的爬法呢？咱们可以一点点分析，先从最简单的情况开始。
如果只有1 层楼梯，那只有 1 种爬法。
如果有 2 层楼梯，那就有 2 种爬法，要么一次上 2 层，要么分两次每次上 1 层。
catalan数的应用
一、关于卡特兰数卡特兰数是一种经典的组合数，经常出现在各种计算中，其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...二、卡特兰数的一般公式卡特兰数满足以下性质：令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式。
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... +h(n-1)h(0) (n>=2)。
也就是说，如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数。
当然，上面这样的递推公式太繁琐了，于是数学家们又求出了可以快速计算的通项公式。
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)。
这个公式还可以更简单得化为h(n)=C(2n,n)/(n+1)。
后一个公式都可以通过前一个公式经过几步简单的演算得来，大家可以拿起笔试试，一两分钟就可以搞定。
三、卡特兰数的应用卡特兰数经常出现在OI以及ACM中，在生活中也有广泛的应用。
下面举几个例子。
1、出栈次序：一个栈（无穷大）的进栈次序为1、2、3……n。
不同的出栈次序有几种。
我们可以这样想，假设k是最后一个出栈的数。
比k早进栈且早出栈的有k-1个数，一共有h(k-1)种方案。
比k晚进栈且早出栈的有n-k个数，一共有h(n-k)种方案。
所以一共有h(k-1)*h(n-k)种方案。
显而易见，k取不同值时，产生的出栈序列是相互独立的，所以结果可以累加。
k的取值范围为1至n，所以结果就为h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... +h(n-1)h(0)。
组合数学 —— 斯特林数(Stirling)
【第一类斯特林数】1.定理第一类斯特林数 S1(n,m) 表示的是将 n 个不同元素构成 m 个圆排列的数目。
2.递推式设人被标上1,2,.....p，则将这 p 个人排成 m 个圆有两种情况：在一个圆圈里只有标号为 p 的人自己，排法有 S1(n-1,m-1) 个。
p 至少和另一个人在一个圆圈里。
这些排法通过把 1,2....n-1 排成 m 个圆再把 n 放在 1,2....n-1 任何一人左边得到，因此第二种类型排法共有 (n-1)*S1(n-1,m) 种。
我们所做的就是把 {1,2,...,p} 划分到 k 个非空且不可区分的盒子，然后将每个盒子中的元素排成一个循环排列。
综上，可得出第一类Stirling数定理：边界条件：：有 n 个人和 n 个圆，每个圆只有一个人：如果至少有 1 个人，那么任何的安排都至少包含一个圆3.应用举例第一类斯特林数除了可以表示升阶函数和降阶函数的系数之外还可以应用到一些实际问题上，比如很经典的解锁仓库问题。
问题说明：有 n 个仓库，每个仓库有两把钥匙，共 2n 把钥匙。
同时又有 n 位官员。
求：①如何放置钥匙使得所有官员都能够打开所有仓库？（只考虑钥匙怎么放到仓库中，而不考虑官员拿哪把钥匙。
）②如果官员分成 m 个不同的部，部中的官员数量和管理的仓库数量一致。
那么有多少方案使得，同部的所有官员可以打开所有本部管理的仓库，而无法打开其他部管理的仓库？（同样只考虑钥匙的放置。
）分析：①打开仓库将钥匙放入仓库构成一个环：1号仓库放2号钥匙，2号仓库放3号钥匙……n号仓库放1号钥匙，这种情况相当于钥匙和仓库编号构成一个圆排列方案数是 (n-1)! 种。
②对应的将 n 个元素分成 m 个圆排列，方案数就是第一类斯特林数 S1(n,m)，若要考虑官员的情况，只需再乘上 n! 即可。
4.算法实现const int mod=1e9+7;//取模LL s[N][N];//存放要求的第一类Stirling数void init(){memset(s,0,sizeof(s));s[1][1]=1;for(int i=2;i<=N-1;i++){for(int j=1;j<=i;j++){s[i][j]=s[i-1][j-1]+(i-1)*s[i-1][j];if(s[i][j]>=mod)s[i][j]%=mod;}}}【第二类斯特林数】1.定理第二类斯特林数 S2(n,m) 表示的是把 n 个不同元素划分到 m 个集合的方案数。
第二类斯特林数计算
第二类斯特林数计算斯特林数（Stirling number）是组合数学中的一类重要数列，由斯特林和命名。
斯特林数分为两种类型：第一类斯特林数和第二类斯特林数。
在本文中，我将重点讨论第二类斯特林数的计算方法。
第二类斯特林数S(n,k)定义为将n个不同的物体分成k个非空的不可区分的圆排列的方法数。
换句话说，S(n,k)表示将n个物体划分成k个非空的集合的个数。
例如，当n=3，k=2时，S(3,2)表示将3个物体划分成2个非空的集合的个数，即{1,2}和{3}，所以S(3,2)=2接下来，我将介绍两种常见的计算第二类斯特林数的方法：递推关系和递归方法。
1.递推关系法：递推关系法是计算第二类斯特林数最常用的方法，该方法通过一组递推关系来计算第二类斯特林数。
递推关系：S(n,k)=k*S(n-1,k)+S(n-1,k-1)，其中n≥1，k≥1根据递推关系，我们可以得到以下递推步骤：（1）当n=0且k=0时，S(0,0)=1；（2）当n=0且k≠0时，S(0,k)=0；（3）当n≥1且k=0时，S(n,0)=0；（4）当n≥1且k≥1时，使用递推关系计算S(n,k)。
具体计算步骤如下：（1）初始化一个二维数组S[][]，用来存储计算结果；（2）当n=0且k=0时，S[0][0]=1；（3）当n=0且k≠0时，S[0][k]=0；（4）当n≥1且k=0时，S[n][0]=0；（5）当n≥1且k≥1时，使用递推关系计算S(n,k)：S[n][k]=k*S[n-1][k]+S[n-1][k-1]；（6）重复步骤（5）直到计算完所有的S(n,k)。
通过递推关系法，我们可以计算任意的第二类斯特林数。
这种方法的时间复杂度是O(nk)，其中n和k分别是需要计算的第二类斯特林数的上限。
2.递归方法：递归方法也是计算第二类斯特林数的一种常见方法，它使用递归的思想来定义和计算第二类斯特林数。
递归定义：S(n,k)=k*S(n-1,k)+S(n-1,k-1)，其中n≥1，k≥1具体计算步骤如下：（1）当k=0或k>n时，S(n,k)=0；（2）当k=n时，S(n,k)=1；（3）当k=1时，S(n,1)=1；（4）当k≥2且k<n时，使用递归定义计算S(n,k)：S(n,k)=k*S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
stirling级数
stirling级数
斯特林级数（Stirling's Series）是1730年由苏格兰数学家斯特林（James Stirling）提出的一种接近无穷级数。
它是很多重要概率论模型的基础，在数值计算中也被广泛应用。
斯特林级数的表达式为：$$\ln n!=n\ln n-n+\frac{1}{2}\ln
n+\sum_{r=1}^{\infty}\frac{B_r(-1)^r}{rr!}n^{1-r}$$其中$B_r$代表伯努利数，$B_r$的得到满足递归式 $\displaystyle B_0=1,$ $B_1=-\frac{1}{2}$,
$\displaystyle B_{r+1} = -\frac{1}{r+1}\left[\sum_{k=0}^{r}
\binom{r+1}{k}B_k\right]$。
从斯特林级数中可以看到，$\ln n!$随着n的增大而增大，所以可以用来对比
几种不同数量情况之间的可能性。
以此为基础，可以建立概率模型，用于在一定范围内计算物体的数量，例如普里普利分布，泊松分布等。
它也可以用来计算一些常见的数学函数，例如概率密度函数和概率分布函数。
斯特林级数也可以用来计算频率特征，例如傅里叶级数展开或求导等，可以帮
助我们更好地理解几何图形及数据分析。
它也有着应用于物理等其他领域，以进行更加深入的研究。
总而言之，斯特林级数是一种用来计算数量可能性，并用于建立概率模型，计
算数学函数及物理问题的数学工具。
它的应用也极其广泛，体现了它的重要性，也是迄今为止数学领域最重要的研究之一。
第二类斯特林数计算
第二类斯特林数计算
摘要：
1.斯特林数的定义和意义
2.第二类斯特林数的计算方法
3.第二类斯特林数的应用场景
4.总结
正文：
斯特林数（Stirling numbers），又称作排列数，是数学中一类具有重要意义的数。
它们用于描述将n个不同元素排列成有序序列的方法数。
第二类斯特林数是斯特林数的一种，表示将n个不同元素排列成有序序列，其中第一个元素有n种选择，第二个元素有n-1种选择，以此类推，直到最后一个元素有1种选择。
接下来，我们将介绍第二类斯特林数的计算方法及其应用场景。
第二类斯特林数的计算方法如下：
Sn = 1 * 2 * 3 * ...* n
其中，Sn表示第n类斯特林数。
例如，计算第二类斯特林数S3：
S3 = 1 * 2 * 3 = 6
因此，第二类斯特林数S3为6。
第二类斯特林数在实际应用中具有广泛的应用场景，例如：
1.组合数学：在组合数学中，斯特林数用于解决排列组合问题，如计算组合数、排列数等。
2.概率论：在概率论中，斯特林数可用于计算事件的排列概率。
3.计算机科学：在计算机科学中，斯特林数可用于计算算法的时间复杂度和空间复杂度。
4.生物学：在生物学中，斯特林数可用于研究物种的遗传多样性。
5.物理学：在物理学中，斯特林数可用于描述粒子的排列方式。
总之，第二类斯特林数在数学、物理、化学、生物学等多个领域具有广泛的应用。
通过掌握第二类斯特林数的计算方法，我们可以更好地解决实际问题。
在日常生活中，我们也可以运用斯特林数的概念来提高解决问题的能力。
第二类斯特林数计算
第二类斯特林数计算摘要：一、引言二、斯特林数的定义和性质三、第二类斯特林数的计算方法1.符号说明2.计算公式3.计算步骤四、第二类斯特林数的应用领域五、总结正文：一、引言斯特林数是组合数学中的一个重要概念，广泛应用于解决各种组合问题。
斯特林数可以分为两类，第一类斯特林数和第二类斯特林数。
本文将重点介绍第二类斯特林数的计算方法及其应用。
二、斯特林数的定义和性质斯特林数（Stirling number of the second kind）是一种用于描述组合问题的二项式系数，记为S(n, k)，其中n 和k 为非负整数，且n>=k。
第二类斯特林数具有以下性质：1.当n=0 时，S(0, k)=0，对于所有k>0；2.当k=0 时，S(n, 0)=1，对于所有n>=0；3.S(n, k)=S(n-1, k-1)+S(n-1, k)，对于所有n>=k>=0。
三、第二类斯特林数的计算方法1.符号说明令n 和k 分别为非负整数，且n>=k。
用S(n, k) 表示第二类斯特林数。
2.计算公式根据斯特林数的性质，可以得到计算第二类斯特林数的递推公式：S(n, k)=S(n-1, k-1)+S(n-1, k)3.计算步骤（1）初始化一个数组，用于存储计算过程中所需的斯特林数；（2）根据递推公式，从n=k 开始，逐个计算S(n, k) 的值，直到n=0；（3）将计算得到的S(n, k) 值填入数组中。
四、第二类斯特林数的应用领域第二类斯特林数在许多组合问题中有广泛应用，例如：计算排列组合、生成函数、概率论等问题。
了解第二类斯特林数的计算方法有助于解决这些组合问题。
五、总结本文介绍了第二类斯特林数的定义、性质和计算方法，并通过实例展示了其在组合问题中的应用。
卡特兰数讲义(陈朝晖)
f (n)
1 n C2 n n 1
n 1 i 0
f (n) sum( Catalan i * Catalan n i )
n n 1 f (n) C 2 n C2 n
卡特兰数模型应用：
（1）二叉树的计数：已知二叉树有 n 个结点，求能构成多少种不同的二叉树 （2）括号化问题： 一个合法的表达式由()包围，()可以嵌套和连接，如：(())()也是合法表达式，现给出 n 对括号，求可以 组成的合法表达式的个数 （3）划分问题：将一个凸 n+2 多边形区域分成三角形区域的方法数 （4）出栈问题：一个栈的进栈序列为 1,2,3,..n，求不同的出栈序列有多少种 （5）路径问题：在 n*n 的方格地图中，从一个角到另外一个角，求不跨越对角线的路径数有多少种 （6）握手问题： 2n 个人均匀坐在一个圆桌边上，某个时刻所有人同时与另一个人握手，要求手之间不能交叉，求共有 多少种握手方法 接下来， 我们来讲讲有关卡特兰数， 也就是本题的具体处理。 首先， 我想到的是直接用计算机模拟栈的操作， 关于栈以及计算编程过程中用到递归、dfs（深度优先搜索）这些数学老师可能不太熟悉，直接跳过影响不大。
2n *(2 n 1) *(2 n 2) *......*( n 2) n!
具体证明，我采用图形化证明，如下图所示：
（这里我给的是图形化证明：总方案数-非法方案数=问题解，如上图所示） 高精度处理前分析： 先谈到答案可能的数据规模吧， 因为每一个数据均小于 105 ， 这里我每一位数据我当 105 对待， 总共 n=60000 个，因此数组我得开空间 5*60000=300000，30 万而已，好像数据也不怎么大吧！ #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <vector> #define N 3000010 using namespace std; int ans[N]={1},len=0;
三维卡特兰数
三维卡特兰数1. 引言卡特兰数是组合数学中一个重要的数列，描述了许多不同领域中的排列和组合问题。
三维卡特兰数是卡特兰数的一个扩展，用于解决三维空间中的排列和组合问题。
本文将介绍三维卡特兰数的定义、性质以及应用。
2. 定义三维卡特兰数是一种计算在三维空间中不相交路径数量的方法。
在二维平面上，我们可以使用卡特兰数来计算不相交路径的数量。
类似地，在三维空间中，我们可以使用三维卡特兰数来计算不相交路径的数量。
具体而言，对于一个立方体网格，我们可以从起点出发，在每个步骤中向前、向上或向右移动一个单位距离。
然后，在不经过已经走过的点且最后到达目标点的条件下，计算起点到目标点所有可能路径的数量。
3. 计算方法为了计算三维卡特兰数，我们可以使用递推关系式。
假设C(n)表示从起点到目标点的路径数量，则有以下递推关系：C(0) = 1 C(n) = sum(C(i) * C(n-i-1)), for i in range(0, n)其中，C(n)表示从起点到目标点的路径数量，i表示在某个位置分割路径的位置。
4. 性质三维卡特兰数具有以下性质：•三维卡特兰数是非负整数。
•三维卡特兰数满足递推关系式。
•三维卡特兰数的增长速度是指数级别的。
•三维卡特兰数可以用于解决一些与排列和组合相关的问题，如路径计数、图形组合等。
5. 应用三维卡特兰数在许多领域中都有应用，以下是其中一些常见的应用：5.1 路径计数三维卡特兰数可以用于计算在立方体网格中从起点到目标点不相交路径的数量。
这在路线规划、机器人运动等领域都有广泛应用。
5.2 图形组合三维卡特兰数可以用于计算在立方体网格中不相交图形组合的数量。
这对于设计复杂图案、拼图游戏等都有重要意义。
5.3 组合优化问题三维卡特兰数可以用于解决一些组合优化问题，如旅行商问题、货物装载问题等。
通过计算不同路径的数量，可以找到最优解。
6. 总结三维卡特兰数是一种计算在三维空间中不相交路径数量的方法。
第二类斯特林数计算
第二类斯特林数计算（原创实用版）目录一、斯特林数的概念二、第二类斯特林数的定义三、第二类斯特林数的计算方法四、第二类斯特林数的性质五、第二类斯特林数在组合数学中的应用正文一、斯特林数的概念斯特林数（Stirling number）是一种用于描述有限个不同元素进行排列的方法的计数。
它可以用来表示由 n 个不同元素构成的 m 个排列的个数。
斯特林数可以分为两类，第一类斯特林数和第二类斯特林数。
二、第二类斯特林数的定义第二类斯特林数（Stirling number of the second kind）是一种用于描述有标签的排列的计数。
它表示有 n 个元素，每个元素有 m 个可能的标签，所有标签的排列个数。
用符号 S(n, m) 表示第二类斯特林数。
三、第二类斯特林数的计算方法第二类斯特林数的计算方法可以通过递归关系得到。
递归关系式为：S(n, m) = m * S(n-1, m) + S(n-1, m-1)其中，S(n, 0) = 0，S(0, 0) = 1。
四、第二类斯特林数的性质第二类斯特林数具有以下性质：1.S(n, m) = S(n-1, m) + S(n-1, m-1).2.S(n, m) 是 m 的阶乘的倍数，即 S(n, m) = k * m!，其中 k 为整数。
3.第二类斯特林数满足递归关系，可以利用递归关系式计算。
五、第二类斯特林数在组合数学中的应用第二类斯特林数在组合数学中有广泛的应用，例如用于计算有标签的排列、有约束的排列、组合等问题。
通过第二类斯特林数，我们可以更好地理解这些计数问题，并找到解决问题的方法。
总结，第二类斯特林数是一种重要的计数工具，它在组合数学中具有广泛的应用。
第二类斯特林数计算
第二类斯特林数计算摘要：一、引言二、斯特林数的定义和性质三、第二类斯特林数的计算方法1.递推公式2.矩阵表示3.生成函数法四、计算实例及应用1.计算一个具体的第二类斯特林数2.应用第二类斯特林数解决实际问题五、总结正文：一、引言斯特林数是组合数学中的一个重要概念，可以用于解决许多组合问题。
斯特林数分为两类，第一类斯特林数和第二类斯特林数。
本文将重点介绍第二类斯特林数的计算方法及其应用。
二、斯特林数的定义和性质首先回顾一下斯特林数的定义。
设有一个有n个元素的集合，我们可以从集合中取出0个、1个、2个……直到n个元素，形成n个不同的子集。
设S(n)表示这n个不同子集的个数，则S(n)称为第n类斯特林数。
第二类斯特林数记为S2(n)，即从n个元素中取出2个元素的子集个数。
三、第二类斯特林数的计算方法1.递推公式计算第二类斯特林数的一种方法是通过递推公式。
根据递推公式S2(n) = n*(S2(n-1) + S2(n-2))，可以求得任意n值下的第二类斯特林数。
2.矩阵表示另一种计算方法是通过矩阵表示。
假设有一个n×n的矩阵A，其元素分别为a(i,j)，表示从n个元素中取出i个元素和j个元素的方案数。
根据矩阵的性质，可以得到S2(n) = |a(2,n)|。
3.生成函数法生成函数法也是一种常用的计算方法。
设f(x)为第二类斯特林数的生成函数，则f(x) = (1 + x)^n - nx(1 + x)^(n-1) - (1/2)n(n-1)x^2(1 + x)^(n-2)。
通过求解f(x)的零点，可以得到第二类斯特林数的值。
四、计算实例及应用1.计算一个具体的第二类斯特林数假设我们需要计算S2(5)，根据递推公式S2(5) = 5*(S2(4) + S2(3))，可以得到S2(5) = 5*(14 + 10) = 105。
2.应用第二类斯特林数解决实际问题斯特林数在实际问题中有着广泛的应用，例如在计算机科学中，可以用斯特林数来计算组合问题，提高计算效率。