2012年高考专题复习第9单元-直线、平面、简单几何体-数学(理科)-大纲
大纲版数学理科高考总复习9-1直线、平面、简单几何体
• 题型三 异面直线所成的角
• 典例3 如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC， 且PA＝AB＝BC，求异面直线PC与AB所 成的角．
【解】 解法一：过 C 作 CM∥AB，则∠PCM 就 是异面直线 PC 与 AB 所成的角．
取 CM＝AB，连结 AM、PM 则 AM 綊 BC
∵AB⊥BC，∴AM⊥MC ∵PA⊥平面 ABC，∴MC⊥PM 设 PA＝AB＝BC＝a，则 PM＝ 2a ∴tan∠PCM＝MPMCபைடு நூலகம் 2 ∴异面直线 PC 与 AB 所成的角为 arctan 2，
B.5
3 10
3
C. 10
D.5
解析：如图，连结 A1B，
则 A1B∥CD1 故异面直线 BE 与 CD1 所成的角即为 BE 与 A1B 所成的角．设 AB＝a，则 A1E＝a，A1B＝ 5 a，BE＝ 2a，
△A1BE 中，由余弦定理得
cos∠A1BE＝BE2＋2BAE1B·A2－1B A1E2
• 第1课时 平面和空间直线
• 1．理解平面的基本性质，会用斜二测 画法画水平放置的平面图形的直观 图．
• 掌握两条直线平行与垂直的判定定理 和性质定理．掌握两条直线所成的角 和距离的概念，对于异面直线的距离， 只要求会计算已给出公垂线时的距 离．
• 2．历年高考经常以选择题形式考查空 间两条直线位置关系的判定及性 质．而平面的基本性质一般不单独考 查，仅作为工具在论证与计算中使
• ∴直线GH⊂α，∴B∈α.
• ∴D1、E、F、B共面．
• 题型二 共点、共线问题
• 典例2 如图所示，空间四边形ABCD中， E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满 足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝ 3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连 结EH.
高三数学第九章直线、平面、简单几何体知识点课件
a
命题
// , a a //
// , a , b a // b
l
// , l l
§9.5平面与平面垂直 一、垂直关系的转化（说出相关定理）：
面面 垂直 判定
A
D
C B
AB ,AB
b a // b
二、面面平行的判定 图形 面 面 平 行 的 判 定
命题 a b l
A
a ,b ,a b=A, a// ,b// //
l, l //
*
// , // //
三、面面平行的性质 图形 面 面 平 行 的 性 质
(2) (3) (7)
线线垂直(12)(13)
(8) (12)三垂线定理 (9) (13)三垂线逆定理
线面平行 (4) (5)
线面垂直 (10) (11)
面面平行(6)
面面垂直
9.1平面的性质
公理1
作用
公理2
如果一条直线上的两点在一个平面内， 判断直线在平 那么这条直线上所有的点都在这个平面 面内的依据 内 如果两个平面有一个公共点，那么它们 两个平面相交 还有其他公共点，且所有这些公共点的 以及它们的交 点共线的依据 集合是一条过这个公共点的直线
PA
§9.4线面平行与面面平行
一,直线与平面平行的判定和性质
线 面 平 行 判 定 线 面 平 行 性 质
a
a a//
a , b , a // b a //
最新高三教案-高考复习讲义第九章直线、平面、简单多面体 精品
九、直线、平面、简单多面体1.计算异面直线所成角的关键是平移（补形）转化为两直线的夹角计算2.计算直线与平面所成的角关键是作面的垂线找射影，或向量法(直线上向量与平面法向量夹角的余角)，三余弦公式(最小角定理，12cos cos cos θθθ=)，或先运用等积法求点到直线的距离，后虚拟直角三角形求解.注：一斜线与平面上以斜足为顶点的角的两边所成角相等⇒斜线在平面上射影为角的平分线.3.计算二面角的大小主要有：定义法(先作其平面角后计算大小)、公式法(cos S S θ=影原)、向量法(两平面法向量的夹角)、等价转换法等等.二面角平面角的主要作法有：定义法(取点、作垂、构角)、三垂线法(两垂一连，关键是第一垂(过二面角一个面内一点，作另一个面的垂线))、垂面法.4.计算空间距离的主要方法有：定义法(先作垂线段后计算)、等积法、转换法(平行换点、换面)等.5.空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行，请重视线面平行关系、线面垂直关系(三垂线定理及其逆定理)的桥梁作用.注意：书写证明过程需规范.特别声明：①证明计算过程中，若有“中点”等特殊点线，则常借助于“中位线、重心”等知识转化.②在证明计算过程中常将运用转化思想，将具体问题转化 (构造) 为特殊几何体(如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等)中问题，并获得去解决.③如果根据已知条件，在几何体中有“三条直线两两垂直”，那么往往以此为基础，建立空间直角坐标系，并运用空间向量解决问题.6.直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质.如长方体中：对角线长l =4()a b c ++，全(表)面积为2()ab bc ca ++，(结合2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++可得关于他们的等量关系，结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式)，222cos cos cos 2(1)αβγ++=；如三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)⇔顶点在底上射影为底面外心，侧棱两两垂直(两对对棱垂直)⇔顶点在底上射影为底面垂心，斜高长相等(侧面与底面所成相等)且顶点在底上在底面内⇔顶点在底上射影为底面内心.如正四面体和正方体中：7.求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积(转换)法、比例(性质转换)法等.注意：补形：三棱锥⇒三棱柱⇒平行六面体 分割：三棱柱中三棱锥、四三棱锥、三棱柱的体积关系是 .8.多面体是由若干个多边形围成的几何体．棱柱和棱锥是特殊的多面体．正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，这样的多面体只有五种， 即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．9．球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合．球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面．球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长．注：“经度是‘小小半径所成角’，纬度是‘大小半径的夹角’”.球体积公式343V R π=，球表面积公式24S R π=，是两个关于球的几何度量公式．它们都是球半径及的函数．解决球的相关问题务必注意球的几何性质(尤其是“球的半径、球心截面距、小圆半径构成直角三角形”；球与多面体相切或相接时，组合体的特殊关联关系).。
高三复习九直线、平面、简单多面体
高三数学概念、方法、题型总结（九）九、直线、平面、简单多面体第一部分：数学高考基础知识详解1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
能够用斜二测法作图．．．．．．．。
2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。
3.直线与平面①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。
②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。
③直线与平面垂直的证明方法有哪些？④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900}⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.4.平面与平面(1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况）(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。
(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。
尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。
(4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→⎩⎨⎧体积法直接法 (5)二面角。
二面角的平面交的作法及求法：①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。
③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法。
5．棱柱（1）掌握棱柱的定义、分类，理解直棱柱、正棱柱的性质。
（2）掌握长方体的对角线的性质。
（3）平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别，以及它们的特有性质。
（4）S 侧＝各侧面的面积和。
思考：对于特殊的棱柱，又如何计算？（5）V=Sh 特殊的棱柱的体积如何计算？6．棱锥①棱锥的定义、正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心）,性质②相关计算：S侧＝各侧面的面积和，V=31Sh7．球的相关概念：S球=4πR2V球＝34πR3经纬度,球面距离的概念8．正多面体：掌握定义和正多面体的种数（是哪几个？）。
2012届高考数学一轮复习教案9.1平面、空间两条直线
第九章直线、平面、简单几何体●网络体系总览直线平面与简单几何体空间两条直线平 面空间两个平面空间向量简单几何体空间向量及有关概念棱 柱空间向量的运算及运算律棱 锥空间向量的坐标运算多面体和正多面体空间直线与平面平行直线线在面内线面平行线面相交平行公理定义等角定理判定所成的角、距离判定定理性质定理判定(性质)定理判定(性质)定理直交斜交直交两平面间距离二面角及平面角斜交平行相交异面直线相交直线平面的概念、性质、表示、画法线面间距离三垂线定理,线面成角判定(性质)定理,点到面的距离球、●考点目标定位1.直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.2.线线、线面、面面的平行与垂直的判定和性质，三垂线定理.3.两条异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角的平面角.4.点到平面的距离，线面距离，平行平面的距离，异面直线的距离，两点间的球面距离.5.空间向量及其加法、减法，空间向量的坐标表示，空间向量的数量积.6.直棱柱、平行六面体及正棱锥的性质，球的体积及表面积的计算.●复习方略指南1.立体几何不外乎两大问题，一类是空间位置关系的论证，这类问题应熟练掌握公理、定理、定义或用空间向量来论证，位置关系的论证要注意其间的转化.如线面平行可转化为线线平行等；另一类问题是空间量（空间角、距离、体积、侧面积）的计算，如线面角、二面角的求解.2.立体几何在高考中，选择题、填空题一般出中等难度的题，解答题中可能会有难题.3.归纳总结，理线串点，从知识上可分为：（1）平面的基本性质；（2）两个特殊的位置关系，即线线、线面、面面的平行与垂直；（3）三个角、三个距离.根据每部分内容选择典型的例题，总结出解题方法，对于空间位置关系的论证及空间角与距离的求解，还要注意把空间向量贯彻、渗透其中，通过一题多解，使学生把所学知识真正学活、会用.4.抓主线攻重点，可以针对一些重点内容进行训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离均与线面垂直密切相关.因此对于这部分内容复习中要强化，并要注意用空间向量去解空间位置关系及空间量的求解.5.复习中要加强数学思想方法的总结与提炼，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，如割补思想、降维转化思想即化空间问题到平面图形中去解决，又如证线面间的位置关系常需经过多次转换才能获得解决，又如可把空间位置关系及空间量的求解转化为空间向量的运算，这些无不体现着化归转化的思想.因此自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果.9.1 平面、空间两条直线●知识梳理1.平面的基本性质，即三个公理及推论.2.公理4及等角定理.3.空间两条直线的位置关系有且只有三种，即平行、相交及异面.4.两条异面直线所成的角及距离，求作异面直线所成的角时，往往取题中的特殊点. ●点击双基1.若a ，b 是异面直线，则只需具备的条件是 A.a ⊂平面α，b ⊄平面α，a 与b 不平行B.a ⊂平面α，b ⊂平面β，α∩β=l ，a 与b 无公共点C.a ∥直线c ，b ∩c =A ，b 与a 不相交D.a ⊥平面α，b 是α的一条斜线 答案：C2.如下图，直线a 、b 相交于点O O 与a 、b 都成60°角的直线有A.1条B.2条C.3条D.4条 解析：在a 、b 所确定的平面内有一条，平面外有两条. 答案：C3.（2004年北京朝阳区模拟题）如下图，正四面体S —ABC 中，D 为SC 的中点，则BD 与SA 所成角的余弦值是A.33 B.32 C.63 D.62 解析：取AC 的中点E ，连结DE 、BE ，则DE ∥SA ，∴∠BDE 就是BD 与SA 所成的角.设SA =a ，则BD =BE =23 a ，DE =21 a ，cos ∠BDE =DE BD BE DE BD ⋅-+2222= 63.答案：C4.如下图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ， 那么（1）哪些棱所在直线与直线BA 1成异面直线？______________________. （2）直线BA 1与CC 1所成角的大小为________.（3）直线BA 1与B 1C 所成角的大小为________. （4）异面直线BC 与AA 1的距离为________. （5）异面直线BA 1与CC 1的距离是________. 答案：（1）D 1C 1、D 1D 、C 1C 、C 1B 1、DC 、AD （2）45° （3）60° （4）a （5）a5.（2002年全国）正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是_____________.解析：连结FE 1、FD ，则由正六棱柱相关性质可得FE 1∥BC 1， 在△EFD 中，EF =ED =1，∠FED =120°，∴FD =o 120cos 222⋅⋅-+ED EF ED EF =3.在△EFE 1和△EE 1D 中，易得E 1F =E 1D =1)2(2+=3，∴△E 1FD 是等边三角形， ∠FE 1D =60°.而∠FE 1D 即为E 1D 与BC 1所成的角.答案：60°说明：本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成角的求法. ●典例剖析【例1】 如下图，四面体ABCD 中，E 、G 分别为BC 、AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC =2∶3，DH ∶HA =2∶3.求证：EF 、GH 、BD 交于一点.证明：连结GE 、HF ，∵E 、G 分别为BC 、AB 的中点，∴GE ∥AC .又∵DF ∶FC =2∶3，DH ∶HA =2∶3，∴HF ∥AC .∴GE ∥HF . 故G 、E 、F 、H 四点共面.又∵EF 与GH 不能平行，∴EF 与GH 相交，设交点为O .则O ∈面ABD ，O ∈面BCD ，而平面ABD ∩平面BCD =BD .∴EF 、GH 、BD 交于一点. 评述：证明线共点，常采用证两直线的交点在第三条直线上的方法，而第三条直线又往往是两平面的交线.【例2】 A 是△BCD 平面外的一点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，（1）求证：直线EF 与BD 是异面直线；（2）若AC ⊥BD ，AC =BD ，求EF 与BD 所成的角.（1）证明：用反证法.设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾.故直线EF 与BD 是异面直线.（2）解：取CD 的中点G ，连结EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的锐角或直角即为异面直线EF 与BD 所成的角.在Rt △EGF 中，求得∠FEG =45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.特别提示 ①证明两条直线是异面直线常用反证法；②求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90°；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”.注意，异面直线所成角的范围是（0，2π］. 【例3】 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB =a ，BC =b ，AA 1=c ，且a >b ，求： （1）下列异面直线之间的距离：AB 与CC 1；AB 与A 1C 1；AB 与B 1C . （2）异面直线D 1B 与AC 所成角的余弦值.（1）解：BC 为异面直线AB 与CC 1的公垂线段，故AB 与CC 1的距离为b .AA 1为异面直线AB 与A 1C 1的公垂线段，故AB 与A 1C 1的距离为c .过B 作BE ⊥B 1C ，垂足为E ，则BE 为异面直线AB 与B 1C 的公垂线，BE =C B BC BB 11⋅=22cb bc+，即AB 与B 1C 的距离为22cb bc +.（2）解法一：连结BD 交AC 于点O ，取DD 1的中点F ，连结OF 、AF ，则OF ∥D 1B ，∴∠AOF 就是异面直线D 1B 与AC 所成的角.∵AO =222b a +，OF =21 BD 1=2222c b a ++，AF =2422c b +，∴在△AOF 中，cos ∠AOF =OF AO AF OF AO ⋅-+2222=))((2222222c b a b a b a +++-.解法二：如下图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，连结BG 、D 1G ，则AC ∥BG ，∴∠D 1BG （或其补角）为D 1B 与AC 所成的角.BD 1=222c b a ++，BG =22b a +，D 1G =224c a +，在△D 1BG 中，cos ∠D 1BG =BG B D G D BG B D ⋅-+1212212=－))((2222222c b a b a b a +++-，故所求的余弦值为))((2222222c b a b a b a +++-.深化拓展利用中位线平移和利用补形平移是处理长方体中异面直线所成角的重要方法.●闯关训练夯实基础1.两条相交直线l 、m 都在平面α内且都不在平面β内.命题甲：l 和m 中至少有一条与β相交，命题乙：平面α与β相交，则甲是乙的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件解析：若l 和m 中至少有一条与β相交，不妨设l ∩β=A ，则由于l ⊂α，∴A ∈α.而A ∈β，∴α与β相交.反之，若α∩β=a ，如果l 和m 都不与β相交，由于它们都不在平面β内，∴l ∥β且m ∥β.∴l ∥a 且m ∥a ，进而得到l ∥m ，与已知l 、m 是相交直线矛盾.因此l 和m 中至少有一条与β相交.答案：C2.（2004年天津，6）如下图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于A.510B.515C.54D.32解法一：取面CC 1D 1D 的中心为H ，连结FH 、D 1H .在△FHD 1中，FD 1=25，FH =23，D 1H =22. 由余弦定理，得∠D 1FH 的余弦值为515. 解法二：取BC 的中点G .连结GC 1∥FD 1，再取GC 的中点H ，连结HE 、OH ，则∠OEH 为异面直线所成的角.在△OEH 中，OE =23，HE =45，OH =45. 由余弦定理，可得cos ∠OEH =515.答案：B3.如下图，四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD =2AB =2，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角等于_____________.解析：取AD 的中点G ，连结EG 、FG ，易知EG =1，FG =21. 由EF ⊥AB 及GF ∥AB 知EF ⊥FG .在Rt △EFG 中，求得∠GEF =30°，即为EF 与CD 所成的角. 答案：30°4.（2003年上海）在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线P A 与BC 所成角的大小等于_____________.（结果用反三角函数值表示）答案：arctan25.如下图，设不全等的△ABC 与△A 1B 1C 1不在同一平面内，且AB ∥A 1B 1，BC ∥B 1C 1，CA ∥C 1A 1.求证：AA 1、BB 1、CC 1三线共点.证明：不妨设AB ≠A 1B 1，AA 1∩BB 1=S ，∵BC ∥B 1C 1，∴BB 1面BCC 1B 1，S ∈面BBC 1B 1.同理，S ∈面ACC 1A 1.∴S ∈CC 1，即AA 1、BB 1、CC 1三线共点于S .6.在三棱锥A —BCD 中，AD =BC =2a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF =3a ，求AD 与BC 所成的角.解：取AC 的中点M ，连结ME 、MF ，则ME ∥BC ，MF ∥AD ，所以∠EMF （或其补角）是直线AD 与BC 所成的角.在△EMF 中，ME =21BC =a ，MF =21AD =a ，EF =3a ，cos ∠EMF = 222223aa a a -+=－21，∠EMF =120°，因此异面直线AD 与BC 所成的角为60°. 培养能力7.如下图，在三棱锥P —ABC 中，AB =AC ，PB =PC ，E 、F 分别是PC 和AB 上的点且PE ∶EC =AF ∶FB =3∶2.（1）求证：P A ⊥BC ；（2）设EF 与P A 、BC 所成的角分别为α、β，求证：α+β=90°. 证明：（1）取BC 的中点D ，连结AD 、PD .则BC ⊥平面ADP ，AP ⊂平面ADP ， ∴AP ⊥BC .（2）在AC 上取点G ，使AG ∶GC =3∶2，连结EG 、FG ，则EG ∥P A ，FG ∥BC ，从而∠EGF 为P A 与BC 所成的角，由（1）知∠EGF =90°，而∠GEF 、∠GFE 分别是EF 与P A 、EF 与BC 所成的角α、β，∴α+β=90°.8.如下图，设△ABC 和△A 1B 1C 1的三对对应顶点的连线AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ，且1OA AO =1OB BO =1OC CO = 32.试求111C B A ABC S S ∆∆的值.解：依题意，因为AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ，且1OA AO =1OB BO =1OC CO，所以AB ∥A 1B 1，AC ∥A 1C 1，BC ∥B 1C 1.由平移角定理得∠BAC =∠B 1A 1C 1，∠ABC =∠A 1B 1C 1，△ABC ∽ △A 1B 1C 1，所以111C B A ABC S S ∆∆=（32）2=94.说明：利用平移定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题.探究创新9.如下图，已知空间四边形ABCD 的对角线AC =10，BD =6，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN =7，求异面直线AC 与BD 所成的角.解：取BC 的中点E ，连结EN 、EM ，∴∠MEN 是异面直线AC 与BD 所成的角或其补角. 在△EMN 中，EN =2BD =3，EM =2AC =5，MN =7，cos ∠MEN =－21，∴∠MEN =120°. ∴异面直线AC 与BD 所成的角是60°.●思悟小结1.本节重点问题是证明三点共线、三线共点以及求异面直线所成的角.2.证明三点均在两个平面的交线上，可以推证三点共线；求异面直线所成的角，一般先取一个特殊点作它们的平行线，作出所求的角或其补角，再解三角形.●教师下载中心 教学点睛首先要使学生掌握本节的重点内容：平面的基本性质、异面直线的定义及判断、异面直线所成的角，其次结合例题讲清求异面直线所成的角的方法步骤.拓展题例【例1】 设异面直线a 与b 所成的角为50°，O 为空间一定点，试讨论，过点O 与a 、b 所成的角都是θ（0°≤θ≤90°）的直线l 有且仅有几条?解：过点O 作a 1∥a ，b 1∥b ，则相交直线a 1、b 1确定一平面α.a 1与b 1夹角为50°或130°，设直线OA 与a 1、b 1均为θ角，作AB ⊥面α于点B ，BC ⊥a 1于点C ，BD ⊥b 1于点D ，记∠AOB =θ1，∠BOC =θ2（θ2=25°或65°），则有cos θ=cos θ1·cos θ2.因为0°≤θ1≤90°，所以 0≤cos θ≤cos θ2.当θ2=25°时，由0≤cos θ≤cos25°，得25°≤θ≤90°； 当θ2=65°时，由0≤cos θ≤cos65°，得65°≤θ≤90°.故当θ<25°时，直线l 不存在；当θ=25°时，直线l 有且仅有1条； 当25°<θ<65°时，直线l 有且仅有2条； 当θ=65°时，直线l 有且仅有3条；当65°<θ<90°时，直线l 有且仅有4条； 当θ=90°时，直线l 有且仅有1条.说明：异面直线所成的角就是选点、平移后的平面角.上述解答首先将问题转化为：求过点O 与a 1、b 1均成θ角的直线的条数，进而通过讨论θ的范围去确定直线l 的条数.【例2】 已知空间四边形ABCD ，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、DC 的三等分点（如下图），求证：（1）对角线AC 、BD 是异面直线；（2）直线EF 和HG 必交于一点，且交点在AC 上. 证明：（1）假设对角线AC 、BD 在同一平面α内，则A 、B 、C 、D 都在平面α内，这与ABCD 是空间四边形矛盾，∴AC 、BD 是异面直线.（2）∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点， ∴EH 21BD . 又F 、G 分别是BC 、DC 的三等分点， ∴FG32BD .∴EH ∥FG ，且EH ＜FG . ∴FE 与GH 相交.设交点为O ，又O 在GH 上，GH 在平面ADC 内，∴O 在平面ADC 内. 同理，O 在平面ABC 内.从而O 在平面ADC 与平面ABC 的交线AC 上.。
高三数学总复习 第九章 直线、平面、简单几何体
十年高考分类解析与应试策略数学第九章直线、平面、简单几何体（A）●考点阐释高考试卷中，立体几何考查的立足点放在空间图形上，突出对空间观念和空间想象能力的考查.立体几何的基础是对点、线、面的各种位置关系的讨论和研究，进而讨论几何体，而且采用了公理化体系的方法，在中学数学教育中，通过这部分内容培养学生空间观念和公理化体系处理数学问题的思想方法，这又是考生进入高校所必须具备的一项重要的数学基础，因此高考命题时，突出空间图形的特点，侧重于直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系的考查，以便审核考生立体几何的知识水平和能力.多面体和旋转体是在空间直线与平面的理论基础上，研究以柱、锥、台、球为代表的最基本的几何体的概念、性质、各主要元素间的关系、直观图画法、侧面展开图以及表面和体积的求法等问题.它是“直线和平面”问题的延续和深化.在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题.近些年来即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解.本章主要考查平面的性质、空间两直线、直线和平面、两个平面的位置关系以及空间角和距离面积及体积.●试题类编一、选择题1.（2003京春文11，理8）如图9—1，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为图9—1（）A.90°B.60°C.45°D.0°2.（2003上海春，13）关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ，下列命题中正确的是（ ） A.若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b B.若a ∥M ，b ⊥a ，则b ⊥MC.若a M ，b M ，且l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥MD.若a ⊥M ，a ∥N ，则M ⊥N3.（2002北京春，2）已知三条直线m 、n 、l ，三个平面α、β、γ.下面四个命题中，正确的是（ ）A.⇒⎭⎬⎫⊥⊥γβγαα∥βB.⇒⎭⎬⎫⊥m l m β//l ⊥βC.⇒⎭⎬⎫γγ////n m m ∥nD.⇒⎭⎬⎫⊥⊥γγn m m ∥n 4.（2002北京文，4）在下列四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是（ ）5.（2002上海，14）已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α，m β，给出下列四个命题：（1）若α∥β，则l ⊥m （2）若l ⊥m ，则α∥β （3）若α⊥β，则l ∥m（4）若l ∥m ，则α⊥β 其中正确命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 6.（2002京皖春，7）在△ABC 中，AB =2，BC =1.5，∠ABC =120°（如图9—2），若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）A.29π B.27π C.25π D.23π 7.（2002京、皖、春，12）用一张钢板制作一个容积为4 m 3的无盖长方体水箱.可用的长方形钢板有四种不同的规格（长×宽的尺寸如选项所示，单位均为m ）若既要够用，又要所剩最少，则应选择钢板的规格是（ ）图9—2A.2×5B.2×5.5C.2×6.1D.3×58.（2002全国文8，理7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）A.43 B.54 C.53D.－53 9.（2002北京文5，理4）64个直径都为4a的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲；一个直径为a 的球，记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则（ ）A.V 甲＞V 乙且S 甲＞S 乙B.V 甲＜V 乙且S 甲＜S 乙C.V 甲=V 乙且S 甲＞S 乙D.V 甲=V 乙且S 甲=S 乙10.（2002北京理，10）设命题甲：“直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACB 1与对角面BB 1D 1D 垂直”；命题乙：“直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体”.那么，甲是乙的（ ）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件11.（2002全国理，8）正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是（ ）A.90°B.60°C.45°D.30°12.（2001上海，15）已知a 、b 为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面，且a ⊥α, b ⊥β，则下列命题中的假命题．．．是（ ） A.若a ∥b ，则α∥β B.若α⊥β，则a ⊥bC.若a 、b 相交，则α、β相交D.若α、β相交，则a 、b 相交13.（2001京皖春，11）图9—3是正方体的平面展开图．在这个正方体．．．中， ①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线图9—3③CN与BM成60°角④DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是（）A.①②③B.②④C.③④D.②③④14.（2001全国文，3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（）A.3πB.33πC.6πD.9π15.（2001全国，11）一间民房的屋顶有如图9—4三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3.图9—4若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（）A.P3＞P2＞P1B.P3＞P2＝P1C.P3＝P2＞P1D.P3＝P2＝P116.（2001全国，9）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A.60°B.90°C.105°D.75°17.（2001京皖春，9）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（）A.30°B.45°C.60°D.90°18.（2000上海，14）设有不同的直线a、b和不同的平面α、β、γ，给出下列三个命题：（1）若a∥α，b∥α，则a∥b．（2）若a∥α，a∥β，则α∥β．（3）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确的个数是（）A.0B ．1C ．2D ．319.（2000京皖春，5）一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（ ）A.1∶3B.2∶3C.1∶2D.2∶920.（2000全国，3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ）A.23B.32C.6D.621.（2000全国文，12）如图9—5，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ）A.321 B.21 C.21 D.421 22.（2000全国理，9）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A.ππ221+ B.ππ441+ C.ππ21+ D.ππ241+ 23.（1999全国，7）若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm.若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ）A.63cmB ．6 cm C.2318cmD.3312cm24.（1999全国，12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面把圆台分为上、下两个圆台，它们的侧面积的比为1∶2，那么R 等于（ ）A.10B.15C.20D.2525.（1999全国理，10）如图9—6，在多面体ABCDEF 中，已知图9—5面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF =23，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积是（ ）A.29 B.5C.6D.215 26.（1998全国，7）已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）A.120°B.150°C.180°D.240°27.（1998全国，9）如果棱台的两底面积分别是S 、S ′，中截面的面积是S 0，那么（ ） A.S S S '+=02B.S S S '=0C.2S 0＝S ＋S ′D.S 02＝2S ′S28.（1998全国，13）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为（ ）A.43B.23C.2D.329.（1998上海）在下列命题中，假命题是（ ）A.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥βB.若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥βC.若平面α⊥平面β，任取直线l α，则必有l ⊥βD.若平面α∥平面β，任取直线l α，则必有l ∥β30.（1997全国，8）长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是（ ）A.202πB.252πC.50πD.200π31.（1997全国，12）圆台上、下底面积分别为π、4π，侧面积为6π，这个 圆台的体积是（ ） A.332πB.23πC.637πD.337π32.（1996全国理，14）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于（ ） A.322π B.332π C.2π D.362π 33.（1996全国文12，理9）将边长为a 的正方体ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D —ABC 的体积为（ ）A.63aB.123a C.3123a D.3122a 34.（1996全国文7，理5）如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：l ＝β∩γ，l ∥α，m ⊂α和m ⊥γ，那么必有（ ）A.α⊥γ且l ⊥mB.α⊥γ且m ∥βC.m ∥β且l ⊥mD.α∥β且α⊥γ35.（1996上海，4）在下列命题中，真命题是（ ） A.若直线m 、n 都平行于平面α，则m ∥nB.设α—l —β是直二面角，若直线m ⊥l ，则m ⊥βC.若直线m 、n 在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且m ⊥n ，则n 在α内或n 与α平行D.设m 、n 是异面直线，若m 与平面α平行，则n 与α相交36.（1996全国文，10）圆锥母线长为1，侧面展开图的圆心角为240°，该圆锥的体积等于（ ）A.8122π B.818π C.8154π D.8110π 37.（1995全国文，10）如图9—7，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A.1715 B.21 C.178 D.23 图9—738.（1995全国，4）正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ）A.32a πB.22a π C.2πa 2 D.3πa 239.（1995上海，4）设棱锥的底面面积为8 cm 2，那么这个棱锥的中截面（过棱锥高的中点且平行于底面的截面）的面积是（ ）A.4 cm 2B.22 cm 2C.2 cm 2D.2 cm 240.（1995全国理，10）已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，有下面四个命题： ①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β 其中正确的两个命题是（ ） A.①②B.③④C.②④D.①③41.（1995全国理，15）如图9—8，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱， ∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A.1030B.21 C.1530D.1015 42.（1994全国，11）对于直线m 、n 和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（ ） A.m ⊥n ，m ∥α，n ∥βB.m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂αC.m ∥n ，n ⊥β，m ⊂αD.m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β43.（1994上海，14）已知a 、b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b （ ） A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线44.（1994全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ）A.323B.283C.243D.20345.（1994全国，13）已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是（ ）图9—8A.916πB.38πC.4πD.964π二、填空题46.（2003京春理13，文14）如图9—9，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则rR= .图9—947.（2003上海春，10）若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于（结果用反三角函数值表示）.48.（2002上海春，12）如图9—10，若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比21212211ONONOMOMSSNOMNOM⋅=∆∆.若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上，分别有点P1、P2，点Q1、Q2和点R1、R2，则类似的结论为.图9—10 图9—1149.（2002京皖春，15）正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角（如图9—11所示）.M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为21，那么点M到直线EF的距离为.50.（2002北京，15）关于直角AOB在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是（注：把你认为是正确判断的序号都填上）.51.（2002上海春，10）图9—12表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有对.图9—1252.（2002上海，4）若正四棱锥的底面边长为23cm，体积为4 cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是.53.（2001京皖春，16）已知m、n是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n；③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中正确的命题序号是（注：把你认为正确的命题的序号都．填上）.54.（2001春季北京、安徽，13）已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于．55.（2001全国理，13）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是.56.（2000上海春，9）若两个长方体的长、宽、高分别为5 cm、4 cm、3 cm，把它们两个全等的面重合在一起组成大长方体，则大长方体的对角线最长为_____cm.57.（2000上海春，8）如图9—13，∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为_____.58.（2000年春季北京、安微，18）在空间，下列命题正确的是_____（注：把你认为正确的命题的序号都填上）.①如果两直线a、b分别与直线l平行，那么a∥b.②如果直线a与平面β内的一条直线b平行，那么a∥β.图9—13③如果直线a与平面β内的两条直线b、c都垂直，那么a⊥β.④如果平面β内的一条直线a垂直平面γ，那么β⊥γ.59.（2000春季北京、安徽，16）如图9—14是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长是_____.60.（2000全国，16）如图9—15（1），E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图9—15（2）的（要求：把可能的图的序号都．填上）.图9—14 图9—15（1）图9—15（2）61.（2000上海，7）命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥．命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且的三棱锥是正三棱锥．62.（1999全国，18）α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断：①m⊥n②α⊥β③n⊥β④m⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题：.63.（1998全国，18）如图9—16，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件（或任何能推导出这个条件的其他条件，例如ABCD是正方形、菱形等）时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）.64.（1998上海）棱长为2的正四面体的体积为.图9—1665.（1997全国，19）已知m 、l 是直线，α、β是平面，给出下列命题①若l 垂直于α内的两条相交直线，则l ⊥α②若l 平行于α，则l 平行于α内的所有直线③若m ⊂α，l ⊂β，且l ⊥m ，则α⊥β④若l ⊂β，且l ⊥α，则α⊥β⑤若m ⊂α，l ⊂β，且α∥β，则m ∥l其中正确的命题的序号是_____（注：把你认为正确的命题的序号都填上）.66.（1997上海）圆柱形容器的内壁底半径为5 cm ，两个直径为5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降_____ cm.67.（1996上海，18）把半径为3 cm 、中心角为32π的扇形卷成一个圆锥形容器，这个容器的容积为 cm 3（结果保留π）.68.（1996上海，18）如图9—17，在正三角形ABC 中，E 、F 依次是AB 、AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，F Ｇ⊥BC ，D 、H 、G 为垂足，若将正三角形ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥的体积为V ，则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值是 .图9—17 图9—1869.（1996全国，19）如图9—18，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面成60°的二面角，则异面直线AD 与BF 所成角的余弦值是_____.70.（1995全国，17）已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为3π，则圆台的体积与球体积之比为_____.71.（1995上海理）把圆心角为216°，半径为5分米的扇形铁皮焊成一个圆锥形容器（不计焊缝），那么容器的容积是_____.72.（1994全国，19）设圆锥底面圆周上两点A 、B 间的距离为2，圆锥顶点到直线AB 的距离为3，AB 和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为_____.73.（1994上海）有一个实心圆锥体的零部件，它的轴截面是边长为10 cm的等边三角形，现在要在其整个表面上镀一层防腐材料，已知每平方厘米的工料价为0.10元，则需要的费用为_____元（π取3.2）.三、解答题74.（2003京春文，19）如图9—19，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点.（Ⅰ）求三棱锥D1—DBC的体积；（Ⅱ）证明BD1∥平面C1DE；（Ⅲ）求面C1DE与面CDE所成二面角的正切值.75.（2003京春理，19）如图9—20，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G.（Ⅰ）求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；（Ⅱ）求点D1到平面B1EF的距离d；（Ⅲ）求三棱锥B1—EFD1的体积V.76.（2002京皖春文，19）在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=图9—21∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=55.（如图9—21）（Ⅰ）证明：SC⊥BC；（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（Ⅲ）求三棱锥的体积V S－AB C.77.（2002京皖春理，19）在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=13，SB=29.（Ⅰ）证明：SC⊥BC；（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（Ⅲ）求异面直线SC与AB所成的角的大小（用反三角函数表示）.图9—22 图9—2378.（2002全国文，19）四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD ，如图9—22所示.（Ⅰ）若面P AD 与面ABCD 所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（Ⅱ）证明无论四棱锥的高怎样变化，面P AD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°.79.（2002北京文，18）如图9—23，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b ，且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .（Ⅰ）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角的正切值；（Ⅱ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是V =6h （S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明. （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）80.（2002北京理，18）如图9—24，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E ，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b ，且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .（Ⅰ）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角的大小；（Ⅱ）证明：EF ∥面ABCD ；（Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是V =6h （S 上底面+4S 中截面+S 下底面）， 试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）81.（2002全国文，22）（Ⅰ）给出两块相同的正三角形纸片（如图（1），图（2）），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积图9—24都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图（1）、图（2），并作简要说明；（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；图9—2582.（2002全国理，18）如图9—26，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直.点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM =BN =a （0＜a ＜2）.（Ⅰ）求MN 的长；（Ⅱ）当a 为何值时，MN 的长最小；（Ⅲ）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小.图9—26 图9—2783.（2001春季北京、安徽，19）如图9—27，已知VC 是△ABC 所在平面的一条斜线，点N 是V 在平面ABC 上的射影，且在△ABC 的高CD 上.AB ＝a ，VC 与AB 之间的距离为h ，点M ∈V C.（Ⅰ）证明∠MDC 是二面角M —AB —C 的平面角；（Ⅱ）当∠MDC ＝∠CVN 时，证明VC ⊥平面AMB ；（Ⅲ）若∠MDC ＝∠CVN ＝θ（0＜θ＜2 ），求四面体MABC 的体积.84.（2001上海，19）在棱长为a 的正方体OABC —O ′A ′B ′C ′中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ．（Ⅰ）求证：A ′F ⊥C ′E ；（Ⅱ）当三棱锥B ′—BEF 的体积取得最大值时，求二面角B ′—EF —B 的大小（结果用反三角函数表示）．85.（2001全国理17，文18）如图9—28，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD＝21.（Ⅰ）求四棱锥S —ABCD 的体积；（Ⅱ）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值.86.（2000京皖春理20,文21）在直角梯形ABCD 中，如图9—29，∠D ＝∠BAD ＝90°，AD ＝21AB ＝a （如图（1）），将△ADC 沿AC 折起，使D 到D ′，记面ACD ′为α，面ABC 为β，面BCD ′为γ．图9—29（Ⅰ）若二面角α—AC —β为直二面角（如图（2）），求二面角β—BC —γ的大小； （Ⅱ）若二面角α—AB —β为60°（如图（3）），求三棱锥D ′—ABC 的体积．87.（2000全国理，18）如图9—30，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°．（Ⅰ）证明：C 1C ⊥BD ；（Ⅱ）假定CD ＝2，CC 1＝23，记面C 1BD 为α，面CBD 为β，求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；（Ⅲ）当1CC CD 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明．图9—30 图9—31图9—2888.（2000全国文，19）如图9—31，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ．（Ⅰ）证明：C 1C ⊥BD ； （Ⅱ）当1CC CD 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ?请给出证明． 89.（2000上海，18）如图9—32所示四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两互相垂直，且AB ＝BC ＝2，E 是AC 中点，异面直线AD 与BE 所成的角大小为arccos1010，求四面体ABCD 的体积．图9—32 图9—3390.（1999全国文22，理21）如图9—33，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥D 1B ，且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°，AB ＝a .（Ⅰ）求截面EAC 的面积；（Ⅱ）求异面直线A 1B 1与AC 之间的距离；（Ⅲ）求三棱锥B 1－EAC 的体积.91.（1998全国理，23）已知如图9—34，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝23，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C.（Ⅰ）求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；（Ⅱ）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小；（Ⅲ）求顶点C 到侧面A 1ABB 1的距离.图9—34图9—3592.（1998全国文，23）已知如图9—35，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝23，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C.（Ⅰ）求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小；（Ⅱ）求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小；（Ⅲ）求侧棱B 1B 和侧面A 1ACC 1的距离.93.（1997全国，23）如图9—36，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点.（Ⅰ）证明：AD ⊥D 1F ；（Ⅱ）求AE 与D 1F 所成的角；（Ⅲ）证明：面AED ⊥面A 1FD 1；（Ⅳ）（理）设AA 1＝2，求三棱锥F —A 1ED 1的体积11ED A F V -.（文）设AA 1＝2，求三棱锥E —AA 1F 的体积F AA E V 1-.图9—36 图9—37 94.（1997上海理）如图9—37在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，四边形A ′ABB ′是菱形，四边形BCC ′B ′是矩形，C ′B ′⊥A B.（1）求证：平面CA ′B ⊥平面A ′AB ；（2）若C ′B ′=3，AB =4，∠ABB ′=60°，求AC ′与平面BCC ′所成的角的大小（用反三角函数表示）.95.（1996上海，21）如图9—38，在二面角α—l —β中，A 、B ∈α，C 、D ∈l ，ABCD 为矩形，P ∈β，P A ⊥α，且P A ＝AD ，M 、N 依次是AB 、PC 的中点.（1）求二面角α—l —β的大小；（2）求证：MN ⊥AB ；（3）求异面直线P A 与MN 所成角的大小.图9—38 图9—3996.（1995全国文24，理23）如图9—39，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面的圆周上，AF ⊥DE ，F 是垂足.（Ⅰ）求证：AF ⊥DB ；（Ⅱ）（理）如果圆柱与三棱锥D —ABE 的体积比等于3π，求直线DE 与平面ABCD 所成的角.（文）求点E 到截面ABCD 的距离.97.（1995上海，23）如图9—40，四棱锥P —ABCD 中，底面是一个矩形，AB ＝3，AD ＝1，又P A ⊥AB ，P A ＝4，∠P AD ＝60°.（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积；（Ⅱ）求二面角P —BC —D 的大小（用反三角函数表示）.图9—40 图9—4198.（1994全国，23）如图9—41，已知A 1B 1C 1—ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点. （Ⅰ）证明：AB 1∥平面DBC 1；（Ⅱ）（理）假设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱的DBC 1与CBC 1为面的二面角α的度数. （文）假设AB 1⊥BC 1，BC ＝2，求线段AB 1在侧面B 1BCC 1上的射影长.99.（1994上海，23）如图9—42在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝2 ，AB ＝a ，AD ＝3a ，且∠ADC ＝arcsin 55，又P A ⊥平面ABCD ，P A =a .图9—42求（1）二面角P—CD—A的大小（用反三角函数表示）.（2）点A到平面PBC的距离.●答案解析1.答案：B解析：将三角形折成三棱锥如图9—43所示.HG与IJ为一对异面直线.过点D分别作HG与IJ的平行线，即DF与AD.所以∠ADF即为所求.因此，HG与IJ所成角为60°.评述：本题通过对折叠问题处理考查空间直线与直线的位置关系，图9—43在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键.通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向.2.答案：D解析：A选项中，若a∥M，b∥M，则有a∥b或a与b相交或a与b异面.B选项中，b可能在M内，b可能与M平行，b可能与M相交.C选项中须增加a与b相交，则l⊥M. D选项证明如下：∵a∥N，过a作平面α与N交于c，则c∥a，∴c⊥M.故M⊥N.评述：本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的基本性质.3.答案：D解析：垂直于同一平面的两直线必平行，因此选D.评述：判断元素之间的位置关系问题，也可以从元素之间所有关系分析入手，再否定若干选项.如A，因为α、β有两种位置关系，在α与β相交情况下，仍有α⊥r，β⊥r.因此，α∥β是错误的.4.答案：A解析：∵CD在平面BCD内，AB是平面BCD的斜线，由三垂线定理可得A.5.答案：B解析：（1）、（4）是正确命题.因为α∥β，l⊥α，∴l⊥β.又m β，∴l⊥m.因为l∥m，l⊥α，∴m⊥α，∴β⊥α.6.答案：D解析：如图9—44，该旋转体的体积为圆锥C—ADE与圆锥B—ADE体积之差又∵求得AB =1 ∴23133125331πππ=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=--ADEB ADEC V V V7.答案：C解析：设该长方体水箱的长、宽、高分别为x 、y 、z ，∴x ·y ·z =4 ∴原长方形中用于制作水箱的部分的长、宽应分别为x +2z ，y +2z （如图9—45中（2）所示）从而通过对各选项的考查，确定C 答案.图9—458.答案：C解析：如图9—46，作出轴截面，设公共底面圆的半径为R ，圆锥的高为h∴V 锥=31πR 2h ，V 半球=21·43πR 3 ∵V 锥=V 半球，∴h =2R ∴tan α=21∴cos θ=53411411tan 1tan 122=+-=+-αα 9.答案：C 解析：V 甲=64·34π·（4a ·21）3=61πa 3， S 甲=64·4π·（4a ·21）2=4πa 2 图9—47V 乙=34π（a ·21）3=61πa 3，S 乙=4π（a ·21）2=πa 2 ∴V 甲=V 乙，S 甲＞S 乙. 10.答案：C解析：若命题甲成立，命题乙不一定成立，如底面为菱形时. 若命题乙成立，命题甲一定成立. 11.答案：B解析：连结FE 1、FD ，则由正六棱柱相关性质得FE 1∥BC 1. 在△EFD 中，EF =ED =1，∠FED =120°，∴FD =3.在Rt △EFE 1和Rt △EE 1D 中，易得E 1F =E 1D =3.∴△E 1FD 是等边三角形.∴∠FE 1D =60°. ∴BC 1与DE 1所成的角为60°.评述：本题主要考查正六棱柱的性质及异面直线所成的角的求法. 12.答案：D解析：①∵a ∥b ，a ⊥α，∴b ⊥α，又∵b ⊥β，∴α∥β ②∵a ⊥α，α⊥β ∴a ∥β或a ∈β 又∵b ⊥β ∴b ⊥a ③若α∥β，则a ∥b④若α、β相交，则a 、b 可能相交也可能异面，显然D 不对.13.答案：C解析:展开图可以折成如图9—47的正方体,由图可知①②不正确. ∴③④正确. 14.答案：A 解析：∵S ＝21ab sin θ ∴21a 2sin60°＝3 ∴a 2＝4，a ＝2，a =2r ∴r ＝1 S 全＝2πr ＋πr 2＝2π＋π＝3π 15.答案：D图9—47解析：由S 底＝S 侧cos θ可得P 1＝P 2而P 3＝θθθcos )(2)cos sin (22121S S S S +=+ 又∵2（S 1＋S 2）＝S 底 ∴P 1＝P 2＝P 3 16.答案：B解析：如图9—48，D 1、D 分别为B 1C 1、BC 中点，连结AD 、D 1C ，设BB 1＝1，则AB ＝2，则AD 为AB 1在平面BC 1上的射影，又32cos ,22,3311====BC BC BC C BD BE∴DE 2＝BE 2＋BD 2－2BE ·BD ·cos C 1BC ＝6132223322131=⋅⋅⋅-+ 而BE 2＋DE 2＝216131=+＝BD 2 ∴∠BED ＝90° ∴AB 1与C 1B 垂直 17.答案：C解析：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，依条件则有2πr ＝πl ，如图9—49∴21=l r ，即∠ASO ＝30°，因此圆锥顶角为60°. 18.答案：A解析：（1）如果a ，b 是平面M 中的两条相交直线，面M ∥α， ∴有a ∥α，b ∥α，但a b ，所以（1）错．（2）如果α∩β＝b ，而a ∥b ，∴有a ∥α，a ∥β，但αβ，所以（2）错． （3）如果α∩β＝b ，而b ⊥γ，∴有β⊥γ，α⊥γ，但αβ，（3）错． 19.答案：C解析：设圆锥的底面半径为R ，则V 圆锥＝32πR 3，V 球＝34πR 3， ∴V 圆锥∶V 球＝1∶2．图9—48图9—4920.答案：D解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a =1，b ＝2，c ＝3，则对角线l 的长为l =6222=++c b a ．21.答案：D解析：如图9—50，由题意知，31πr 2h ＝61πR 2h ， ∴r ＝2R． 又△ABO ∽△CAO ， ∴R OA OA r =，∴OA 2＝r ·R ＝422,2R OA R =， ∴cos θ＝421=R OA ． 22.答案：A解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h =2πr . ∴S 全=2πr 2+（2πr ）2=2πr 2（1+2π）.S侧=h 2=4π2r 2，∴ππ221+=侧全S S . 评述：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识. 23.答案：B解析：设水面半径为x cm ， 则水面高度为3x cm则由已知得：π·22·6＝31πx 2·3x （3x ）3＝63，3x ＝6.评述：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力. 24.答案：D解析：由已知得中截面圆的半径r ′＝25+R . 图9—50设圆台的母线长为l ，则中截面截圆台所得上面小圆台的母线长l ′＝2l，且上面小圆台的侧面积S ′与圆台侧面积S 之比为1∶3，由圆台侧面积公式得：31)5(21)255(=+⋅++='l R R S S ππ，解得R =25 评述：本题主要考查圆台及其侧面积公式，立足课本，属送分题. 25.答案：D解析：连EB 、E C.四棱锥E —ABCD 的体积V E —ABCD =31·32·2=6.由于AB =2EF ，EF ∥AB ，所以S △EAB =2S △BEF∴V F —EBC =V C —EFB =21V C —ABE =21V E —ABC =21·21V E —ABCD =23 ∴多面体EF —ABCD 的体积V EF —ABCD =V E —ABCD +V F —EBC =6+21523=. 此题也可利用V EF —ABCD ＞V E —ABCD =6.故选D.评述：本题考查多面体体积的计算以及空间想象能力和运算能力. 26.答案：C解析：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，由已知得：πr 2＋πrl ＝3πr 221=⇒l r ， ∴θ＝lr×2π＝π. 评述：本小题考查圆锥的概念、性质及侧面积公式.侧面展开是立体问题平面化的重要手段应引起广大考生的注意. 27.答案：A解析：设该棱台为正棱台来解即可.评述：本题考查棱台的中截面问题.根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等.28.答案：B解析：设球心为O ，由题设知三棱锥O —ABC 是正四面体，且△ABC 的外接圆半径是2，设球半径为R ，则33R ＝2，∴R ＝23. 29.答案：C解析：A 中直线l ⊥β，l α，所以α⊥β，A 为真命题.B 中，在α内取两相交直线，则此二直线平行于β，则α∥β，B 为真命题.D 为两平面平行的性质，为真命题.C 为假命题，l 只有在垂直交线时才有l ⊥β，否则l 不垂直β.故选C.评述：本题考查平面与平面垂直、直线与平面平行的判定和性质. 30.答案：C解析：长方体的对角线长等于球的直径，于是（2R ）2＝32＋42＋52，R 2＝225， 则S 球＝4πR 2＝4π·225＝50π. 评述：本题考查长方体、球的有关概念和性质. 31.答案：D解析：由已知圆台的上、下底面的半径分别为1、2.由π（1＋2）l ＝6π，得母线l =2，高h ＝3122=-，其体积V ＝31·3（π＋4π＋2π）＝337π. 32.答案：D解析：设圆锥底面半径为r ，高为h ， 则2πr ＝ϕ，h ＝21r -，V ＝31πr 2h ＝31πr 221r -，于是)22(29)1(9222222222r r r r r r V-⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅=ππ2788)322(2922222⋅=-++⋅⋅≤ππr r r ， 当r 2＝2－2r 2，即r ＝32时，圆锥体积最大，此时ϕ＝2πr ＝2π36232π=. 33.答案：D解析：设AC 与BD 交点为E ，先可判断出△BDE 是直角三角形，于是V D －ABC ＝。
2012年高考专题复习第9单元-直线、平面、简单几何体(上)-数学文科-大纲版
第52讲 │ 要点探究
[点评] (1)本题实际上是证明三线共点的问题， 即把直线看做 两平面的交线，点看做是两平面的公共点，由公理 2 得证．(2) 证三线共点的方法：①证明两线交于一点，②再证明第三条直线 经过该点．
第九单元
圆锥曲线
第九单元 │ 知识框架
知识框架
第九单元 │ 考纲要求 考纲要求
【考试内容】 9(A) 平面及其基本性质．平面图形直观图的画法． 平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直 线的公垂线．异面直线的距离． 直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性 质． 点到平面的距离． 斜线在平面上的射影． 直线和平面所成的角． 三 垂线定理及其逆定理． 平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面 角．两个平面垂直的判定与性质． 多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球.
第九单元 │ 考纲要求
9(B) 平面及其基本性质．平面图形直观图的画法． 平行直线． 直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线 定理及其逆定理． 两个平面的位置关系． 空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向 量的数量积． 直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面 直线的距离． 直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线 和平面所成的角．向量在平面内的射影． 平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面 角．两个平面垂直的判定和性质． 多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球.
第52讲 │ 知识梳理
5.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用________画法来画．其规则是：(1)在已 斜二测 知图形中取水平平面， 作互相垂直的轴 Ox， Oy， 再取 Oz 轴， 使∠xOz 90° ＝______，且∠yOz＝______. 90° (2)画直观图时， 把它们画成对应的轴 O′x′、 O′y′、 O′z′， 使 ∠x′O′y′ ＝ ______( 或 ______) ， ∠x′O′z′ ＝ 135° 45° 90° ______.x′O′y′所确定的平面表示水平平面． (3)已知图形中，平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段，在直观图中分 x′轴，y′轴或 z′轴 别画成平行于____________________的线段． (4) 已 知 图 形 中 平 行 于 x 轴 和 z 轴 的 线 段 ， 在 直 观 图 中 长度为原来长度的一半 保持长度不变 ________________，平行于 y 轴的线段，________________________. (5)画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的 直观图．
2012届高考数学复习第79课时第九章直线、平面、简单几何体-平面所成的角名师精品教案
第 79 课时：第九章 直线、平面、简单几何体——平面所成的角课题：平面所成的角一．复习目标： 掌握二面角及二面角的平面角的观点；娴熟掌握作二面角平面角的一般方法．二．知识重点：1．二面角的观点：． 2．二面角的平面角：． 3．求二面角平面角大小的一般方法： ．三．课前预习：1．二面角l内有一点 P ，若 P 到平面 , 的距离分别是 5,8 ，且 P 在平面, 的内的射影的距离为 7 ，则二面角 l 的度数是（ C ）(A) 30 (B) 60 (C) 120(D) 1502．已知 E, F 分别是正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1的棱 BC, CC 1 的中点，则截面AEFD 1 与底面 ABCD 所成二面角的正弦值是（ C ）(A)2( B)2 33D 1 C 1A 1B 1F(C )5 (D)2 233DCABE3．关于平面几何中的命题： “假如两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述的命题，能够获得命题：，这个命题的真假性是．D4．在四周体 ABCD 中， AB,BC,BD 两两垂直，且AB BC 2 ， E 是 AC 中点，异面直线AD , BE 所成的B角 为 arccos10， 则 二 面 角 DACB 的大小CEA10为．四．例题剖析：例 1．如图，点 P 为斜三棱柱 ABC A B C的侧棱 BB 上一点， PMBB 交AA 于点M ，1 1 111A 1PNBB 1 交 CC 1 于点 N ，（ 1）求证： CC 1MN ；BCPMNA1（2）在随意DEF 中有余弦定理：DE2DF 2EF 22DF EF cos DFE .拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与此中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．例2．如图，已知四棱锥P ABCD的底面是直角梯形，PABC BCD 90，AB BC PB PC 2CD ，侧面PBC 底面 ABCD ．（1）PA与BD能否互相垂直，请证明你的结论；（2）求二面角P BD C的大小；（3）求证：平面PAD⊥平面PAB．D CAB解：（ 1）PA与BD互相垂直 . 证明以下：取 BC的中点 O，连接 AO，交 BD于点 E；连接 PO．∵ PB PC，∴ PO BC ．又∵平面 PBC ⊥平面 ABCD ，平面 PBC ∩平面 ABCD BC ，∴ PO ⊥平面 ABCD ．P在梯形 ABCD 中，可得 Rt ABO Rt BCD ，∴ BEO OAB DBA DBC DBA90 ，D即AO BD，∴PA BD M C．NEOA B（2）连接PE，由 PO ⊥平面 ABCD ， AO BD ，可得 PE BD ，∴ PEO为二面角 P BD C 的平面角，设AB BC PB PC2CD 2a ，则在 Rt PEO 中，PO3a, OE5 a, 5tan PEO PO15.∴二面角 P BD C 为arctan 15．EO（3）取PB的中点N，连接CN，由题意知：平面PBC⊥平面PAB，则同“（ 1）”可得CN平面PAB．取 PA的中点 M ，连接DM ,MN，则由 MN // AB// CD ，1 MNAB CD ，得四边形 MNCD 为平行四边形 . ∴ CN // DM ，2∴ DM ⊥平面 PAB ．∴平面 PAD ⊥平面 PAB ． 解答二：取 BC 的中点 O ，由侧面 PBC ⊥底面 ABCD ，PBC 是等边三角形， 得 PO ⊥底面 ABCD ．以 O 为原点，以 BC 所在直线为 x 轴，过点 O 与 AB 平行的直线为 y 轴，成立以下图的空间直角坐标系O xyz ，设 CD1ABBC2，，则在直角梯形中，在等边三角形 PBC 中， PO3 ．∴ A(1, 2,0), B(1,0,0), D ( 1, 1,0), P(0,0, 3)BD ( 2, 1,0), PA (1, 2,3).（1） PA 与 BD 互相垂直 . 证明以下：∵BDPA(2) 1 (1) (2) 0 ( 3) 0,∴ PA BD,PA BD ．（2）连接 AO ，设 AO 与 BD 订交于点 E ；连接 PE ．由 OA BD 1 ( 2) (2) (1) 0 00,得 OABD,即AO BD ．又∵ AO 为 PA 在平面 ABCD 内的射影，∴ PE BD ，PEO 为二面角 P BDC 的平面角．在 RtBEO 中， OE OB sin OBE5 ．5在 RtPEO 中， tan PEOPO 15 ．OE∴二面角 P BD C 为 arctan 15 ．（3）取 PA 的中点 M ，连接 DM ，则 M 的坐标为 (1,1, 3)．22又 DM(3,0,3)，PB(1,0, 3) ，22∴ DMPA 3 1 0( 2)3 ( 3) 022DM PB 3210032(3) 0．∴ DM PA, DM PB ,即DMPA, DM PB∴ DM⊥平面PAB ．∴平面PAD ⊥平面PAB ．小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法．五．课后作业：1．过正方形ABCD 的极点 A ，引PA ⊥平面ABCD ，若PA AB ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是（）(A) 30(B) 45(C) 60(D) 902．已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为，那么的取值范围（）(A) 60180(B)60(C)90( D )90 或603．已知正方形ABCD ，AC , BD交于点 O ，若将正方形沿BD 折成60的二面角，并给出四个结论：（ 1）AC BD ；（2）AD3，CO ；（3） AOC 为正三角形；（4）cos ADC4则此中正确命题的序号为．4．平行六面体ABCD A1B1C1 D1的底面是矩形，侧棱长为2cm ，点C1在底面 ABCD 上的射影 H 是 CD 的中点，CC1与底面 ABCD 成60的角，二面角 A CC1 D 的平面角等于 30 ，求此平行六面体的表面积．5．在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面ABCD，PD DC ，E 是 PC 中点，作 EF PB交PB于F ．平面 EFD ；（3）求二面角 C PB D 的大小．（1）证明PA //平面EDB：（ 2）证明PB6 ．在三棱锥S ABC 中，ABC 是边长为 4 的正三角形，平面SAC平面ABC ，SA SC 2 3 ， M , N 分别是 AB,SB的中点．（1）证明AC SB ；（2）求二面角 N CM B的大小；（ 3）求点B到平面CMN的距离．。
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第九单元 │ 考纲要求
【考试要求】 9(A) (1)理解平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图 形的直观图．能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的 图形．能够根据图形想象它们的位置关系． (2)掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理．掌握两条直 线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给 出公垂线时的距离． (3)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．掌握直线和平面 垂直的判定定理和性质定理．掌握斜线在平面上的射影、直线和平面 所成的角、直线和平面的距离的概念．掌握三垂线定理及其逆定理． (4)掌握两个平面平行的判定定理和性质定理．掌握二面角、二面 角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判 定定理和性质定理．
Байду номын сангаас
第九单元 │ 复习策略
高考中，立体几何主要考查空间想象能力，在推理中兼顾 考查逻辑思维能力，解决立体几何的基本方法是将空间问题转 化为平面问题．近几年高考，立体几何命题形式比较稳定，试 题以基础题和中档题为主，主要有证明空间线线、线面、面面 平行、垂直关系；求空间的角和距离；利用空间向量，将空间 中的性质及位置关系的判定与向量运算相结合，使几何问题代 数化等等；其中“线面关系”是转换枢纽，“垂直”是构建相 应结构的关键部件与核心技术．其中选择、填空题注重几何符 号语言、文字语言、图形语言三种语言的相互转化，考查学生 对图形的识别、理解和加工能力；解答题则一般将线面集中于 一个几何体中，即以一个多面体为依托，设置几个小问，设问 形式以证明或计算为主．
第54讲 │ 知识梳理
3．点、线、面的基本位置关系 图形语言 文字语言 点 A 在或不在直 A∈a 或 A∉a 线a上 直线 a 与平面 α a∩α＝∅ 无公共点 直线 a 在平面 α a⊂α 内 数学语言
第54讲 │ 知识梳理
4.平面的基本性质 名称 图示 文字表示
两点 如果一条直线上的_______在一个平面
第54讲 │ 平面的基本性质
第54讲 平面的基本性质
第54讲 │ 编读互动
编读互动
平面的基本性质是研究立体几何的最基本的公理体系 ，是立体几 何的基石．平面的基本性质一般不会单独考查 ，仅作为工具在高考中 应用．通过本讲复习，使学生掌握平面的基本性质，能进行简单的文 字、符号、图形三者之间的转化，会用平面的基本性质证明共点、共 线、共面问题，用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图 ．
第九单元 │ 使用建议
2．教学指导 该部分在高考中的考查特点是考查内容、题型、题量、难 度相对稳定，重视基础知识和基本方法，教师在引导学生复习 该部分时，要注意如下几个问题：(1)复习中从点、线、面之间 的位置关系出发，引导学生构建平行、垂直的知识网络，加强 对基本定理及应用的训练；(2)在复习中，通过让学生多观察、 多识图、多画图，对学生的空间想象能力进行培养；(3)在复习 中要特别注重对常见几何模型的研究，要善于从常见的模型中 割补出一般模型，有意识地从不同侧面、不同角度审视同一问 题，使学生熟练掌握常见的几何模型，做到心中有模型；
(1)在已知图形中取水平平面，作互相垂直的轴 Ox，Oy，再取 Oz 轴，
90° 90° 使∠xOz＝______，且∠yOz＝______.
(2)画直观图时，把它们画成对应的轴 O′x′、O′y′、O′z′，使
45° 90° 135° ∠x′O′y′＝______(或______)，∠x′O′z′＝______.x′O′y′所确
第九单元 │ 复习策略
3．加强数学思想方法的训练．转化、化归思想贯穿立体几 何始终，是处理立体几何问题的基本数学思想，复习中，应注 意培养常见的化归转化意识，如等积转化、立体几何问题向平 面问题的转化、数学符号语言、文字语言、图形语言的相互转 化等．还要注意提高识图、理解图、应用图的能力，做题时应 多画、多看、多想，训练中，还应变换图形的位置角度，克服 “标准图”带来的思维定式，真正树立空间观念．
第九单元 │ 考纲要求
(9)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图． (10)了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图． (11)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积公式、体积公 式．
第九单元 │ 复习策略
复习策略
立体几何以点、线、面、体为研究对象，主要研究它们的 位置关系．立体几何主要培养空间想象能力和逻辑推理能力， 同时也培养类比思想、辩证思想与转化和化归思想．可以说中 学阶段没有任何一门学科能够代替空间图形在培养空间想象能 力、发展空间观念所起的作用．复习时，应注意以下几点： 1．立足课本，狠抓基础，突出重点，在复习中弄清概念的 内涵与外延，明确定理的内容、作用等，把知识网络化、系统 化．对于重点内容，如线线、线面、面面的位置关系．各种空 间角及距离的计算应多学多练，弄清弄透，真正掌握．
第54讲 │ 知识梳理
名称 推论 1
图示
文字表示 经过一条直线和直线外一点， 有且只有 ________一个平面
推论 2
相交 经过两条______直线，有且只有 一个平面 平行 经过两条______直线，有且只有 一个平面
推论 3
第54讲 │ 知识梳理
5．空间几何体的直观图
斜二测 空间几何体的直观图常用________画法来画．其规则是：
(5)画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观 图．
第54讲 │ 要点探究 要点探究
► 探究点1 三线(或多线)共点问题
例1
空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，
DA 上的点，若 EH 与 FG 交于 P.求证：P 在直线 BD 上．
第54讲 │ 要点探究
第九单元 │ 知识框架 知识框架
第九单元 │ 考纲要求 考纲要求
【考试内容】 9(A) 平面及其基本性质．平面图形直观图的画法． 平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的 公垂线．异面直线的距离． 直线和平面平行的判定与性质 ．直线和平面垂直的判定与性质 ．点 到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定 理及其逆定理． 平行平面的判定与性质． 平行平面间的距离． 二面角及其平面角． 两 个平面垂直的判定与性质． 多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球.
第九单元 │ 复习策略
2．善于总结规律，重视规范训练．在立体几何解答中，常 有明显的规律性，如两异面直线所成的角转化为两相交直线的 夹角；面面平行(垂直)转化为线面平行(垂直)，再转化为线线 平行(垂直)；面面距离转化为线面距离再转化为点面距离等， 又如用几何法求角，距离，一般要分“作，证，求”三步；证 明线面平行，要指明线在面内，面外等．用向量法也应明确有 关的步骤．
第九单元 │ 复习策略
近两年的考题控制了难度，对基础的考查有所加强，向量 方法在计算与证明中的作用较为突出，预测2012年会延续这 两年考情，考题难度不会加强，对平行、垂直关系及角的计算 还会重点考查．
第九单元 │ 使用建议 使用建议
1．编写意图 近几年中高考对立体几何的考查基本稳定，大致保持在2至 3道小题、一道大题，以中档题为主，有时解答题中会出现较难 题． 在编写中注意到如下的几个问题：(1)考虑到该部分在高考 试题中的考查特点和难度，加强了对知识网络的构建和练习题 的力度，控制了选题的难度；(2)突出了化归、转化思想、数形 结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想、几何法、向量法、 等体积法、割补与还原、折叠与展开等数学思想方法训练；(3) 立体几何是高考的试验田之一，因此关注一些新题型的选择．
第54讲 │ 知识梳理 知识梳理
1．平面的概念 平面是没有厚薄的，可以无限延伸． 2．平面的画法及其表示方法 (1)常用平行四边形表示平面．通常把平行四边形的锐角画成 45° ， 横边画成邻边的两倍． (2)一般用一个希腊字母 α、β、γ 等来表示，还可用平行四边形的 相对顶点的字母来表示，如平面 AC 等．
第九单元 │ 考纲要求
(3)理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘． (4)了解空间向量的基本定理．理解空间向量坐标的概念，掌握空 间向量的坐标运算． (5)掌握空间向量的数量积的定义及其性质．掌握用直角坐标计算 空间向量数量积的公式．掌握空间两点间的距离公式． (6)理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等 概念． (7)掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的 概念．对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或坐标表示 下的距离．掌握直线和平面垂直的性质定理．掌握两个平面平行、垂 直的判定定理和性质定理． (8)了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．
第九单元 │ 考纲要求
(5)会用反证法证明简单的问题． (6)了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念． (7)了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图． (8)了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图． (9)了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积公式、体积公 式． 9(B) (1)理解平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图 形的直观图．能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的 图形，能够根据图形想象它们的位置关系． (2)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．理解直线和平面 垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理．掌握三垂线定理及其 逆定理．
公理 1 内，那么这条直线上所有的点都在这个 平面内 如果两个平面有一个公共点，那么它们 公理 2 还有其他公共点，这些公共点的集合是
一条过这个公共点的直线 ____________________________
公理 3
同一条直线 经过不在________________上的三点，
有且只有一个平面
第九单元 │ 考纲要求
9(B) 平面及其基本性质．平面图形直观图的画法． 平行直线． 直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定 理及其逆定理． 两个平面的位置关系． 空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量 的数量积． 直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直 线的距离． 直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和 平面所成的角．向量在平面内的射影． 平行平面的判定和性质． 平行平面间的距离． 二面角及其平面角． 两 个平面垂直的判定和性质． 多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球.