奇偶性知识点的归纳与提高训练

奇偶性知识点的归纳与提高训练
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)叫偶函数．如果对于f(x)函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．结论通俗而易懂，不知你是否看透了其中奥妙？
定义中，“f(－x)＝－f(x)，（或f(－x)＝f(x)）”这句话之涵义，隐含了对函数f(x)定义域M内的一切x，f(－x)也要有意义，换句话说，当x∈M时，－x也必须∈M，体现出函数的定义域M关于原点对称．从奇、偶函数图象的对称性，也体现了这一点，无此条件，函数f(x)无奇偶性可言．
一、抓住f(－x)与f(x)的关系
例1对于两个定义域关于原点对称的函数f(x)和g(ｘ)，在它们的公共定义域内，下列命题正确的是（）
Ａ．若f(x)和g(ｘ)都是奇函数，则F(x)＝f(x)·g(ｘ)是奇函数
Ｂ．若f(x)和g(ｘ)都是偶函数，则F(x)＝f(x)·g(ｘ)是偶函数
Ｃ．若f(x)是奇函数，g(ｘ)都是偶函数，则F(x)＝f(x)·g(ｘ)是偶函数
Ｄ．若f(x)和g(ｘ)都是奇函数，则F(x)＝f(x)＋g(ｘ)不一定是奇函数
分析该题的最大特点是已经告知了函数F(x)的定义域关于原点对称，因此判定F(x)的奇偶性，只要看F(－x)与F(x)的关系即可．
解若f(x)和g(ｘ)都是偶函数，则f(－x)＝f(x)，g(－x)＝g(x)，于是，F(－x)＝f(－x)g(－x)＝f(x)g(x)＝F(x)，又函数F(x)的定义域是函数f(x)和g(ｘ)的公共定义域，由题设可知其必关于原点对称，故知此时的函数F(x)是偶函数．故选项B正确．
跟踪练习一
1．定义在Ｒ上的任何奇函数f(x)对任意的实数ｘ，都有（）
A．f(x)－f(－x)＞０B．f(x)－f(－x)＜０C．f(x)·f(－x)＞０D．f(x)·f(－x)≤0
2．若F(x)＝f(x)－f(－x)（ｘ∈R），则F(x)（）
A．一定是奇函数B．一定是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．无法判断
二、扣紧定义域关于原点对称
例2判断函数f(x)＝1－x＋1－x2
1－x
具有怎样的奇偶性？
分析函数f(x)＝1－x＋1－x2
1－x
＝1－x＋1＋x（x≠1），若忽略了函数的定义域，由f(－x)＝
1＋x ＋1－x ＝f(x)，易得出函数为偶函数的错误结论．因此，判断函数的奇偶性，应从函数的定义域
入手．
解 要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ≥0
1＋x ≥0x ≠1
，即函数的定义域是[－1,1)，不关于原点对称．换句话说，f(－1)有意义，而f(1)却没有意义，所以函数f(x)是一个非奇非偶函数．
注：当函数的定义域不关于原点对称时，无须再做任何工作，则否定函数既不是偶函数，也不是奇函数．
例3 判断函数f(x)＝4－x 2
|x ＋2|－2
的奇偶性 分析：求函数的定义域乃当务之急，只有当函数的定义域关于原点对称，方可进一步考虑f(－x)与f(x)之间的关系，为实施方便，应设法将函数f(x)化简．
解 要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0即⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤x ≤2x ≠0，x ≠－4，易求得函数的定义域为[－
2,0)∪(0,2]．故知定义域关于原点对称．
由定义域的范围可知，x ＋2≥0，∴ f(x)＝4－x 2x ＋2－2
即f(x)＝4－x 2
x ． 由f(－x)＝1－x 2
－x
＝－f(x)，知该函数f(x)为奇函数． 注：利用函数奇偶性的定义判断奇偶性的步骤：
第一步：确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
第二步：确定f(－x)与f(x)的关系；
第三步：根据定义，作出相应的结论：若f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数．
若第一步中求出的函数定义域不关于原点对称，则不需进行第二步和第三步的判断，而直接得出结论函数既不是奇函数，也不是偶函数．
跟踪练习二
1．已知f(x)=ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a]，则a ＝_____，b ＝_____．
2．判定下列函数的奇偶性
（1）f(x)＝2x ＋x 3（－1≤x ≤2） （2）f(x)＝x －1 ＋1－x
（3）f(x)＝x 2－1 ＋1－x 2 ＋2 （4）f(x)＝x 2－1 ＋1－x 2
三、用活等价变形技巧
利用f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)判定奇偶性是最基本的方法，对于比较复杂的函数，不易看出其中
的关系时，则可以借助于等式的变形形式：f(－x)±f(x)＝0或者f(－x)f(x)
＝±1来判断函数的奇偶性． 例4 设f(x)＝ax 3－bx －1，f(－5)＝11，求f(5)的值．
分析 若想通过求出a 、b 的值来求f(5)，显然条件不够，应设法寻求f(－5)与f(5)的关系．
解法一 若注意到g(x)＝ax 3－bx 是奇函数，g(x)＋g(－x)＝0对一切x 成立，
而f(x)＋1＝g(x)，即f(x)＋1为奇函数，
∴ f(x)＋1＋[f(－x)＋1]＝g(x)＋g(－x)＝0对一切x 成立，即f(x)＋f(－x)＋2＝0恒成立．
令x ＝5，可得 f(5)＋f(－5)＋2＝0，故知 f(5)＝－2－f(－5)＝－13.
解法二 直接考虑 f(x)＋f(－x)
∵ f(x)＝ax 3－bx －1,∴ f(－x)＝－ax 3＋bx －1
由此可知 f(x)＋f(－x)＝－2．∴ f(5)＋f(－5)＝－2，求得f(5)＝－13．
注：有关这一类型的函数求值，应注意到所给函数由奇、偶函数两部分组成，此时，f(x)与f(－x)相加，则奇函数部分的和为零；f(x)与f(－x)相减，则偶函数部分的差为零．
例5 判断函数f(x)＝x 2x －1 ＋x 2
的奇偶性． 分析 函数的定义域是x ≠0，只要考察f(－x)与f(x)的结果即可．
解法一（变形法）由2x －1≠0可知，函数的定义域是(－∞,0)∪(0,＋∞)，故定义域关于原点对称．
又f(－x)＝－x 2－x －1 ＋－x 2 ＝(－x)(2x 1－2x ＋12 )＝(－x)(11－2x －1＋12 ) ＝(－x)(11－2x －12 )＝f(x). ∴ 函数f(x)为偶函数。

注：在将f(－x)转化为f(x)的过程中，存在的一定的灵活性，尚若不能突破，不妨来换一换口味，首先，通过取特殊值，如f(1)、f(－1)来估计，该函数是奇函数还是偶函数？若猜测其为偶，则可将问题转化为考虑f(－x)－f(x)的结果即可。

解法二（转换法）∵ f(－x)－f(x)＝－x 2－x －1 ＋－x 2 －（x 2x －1 ＋x 2
） ＝(－x)(2x 1－2x ＋12 －11－2x ＋12
)＝0 ∴ f(－x)＝f(x)．
注：一般情况下，我们将要证的f(－x)＝f(x)转化为f(－x)－f(x)＝0来处理，比较方便运算，个别情况
下，也可以计算出f(－x)f(x)
＝1，来得到f(－x)＝f(x)． 跟踪练习三
1．若函数f(x)＝(x ＋1)(x －a)为偶函数,则a 等于（ ）
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
2．已知函数g(x)＝1＋22x －1
，则g(x)（ ） A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．既是奇函数，又是偶函数 D ．是非奇非偶函数
3．设f(x)＝ax 6－bx 4＋cx 2＋x －1，f(－5)＝11，求f(5)的值．
4．已知函数f(x)＝(m 2＋m －2)x 2＋(m ＋2)x ＋n －2是奇函数，判断函数g(x)＝x m ＋x n 的奇偶性．
四、学会欣赏函数图象的对称美
奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形．利用好函数图象的对称特点，可数形结合解题．
例6 已知f(x)和g(x)都是定义域为R 的奇函数．
（1）若F(x)＝af(x)＋bg(x)在(0,＋∞)上有最大值4，求F(x)在(－∞,0)上的最小值；
（2）若G(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0,＋∞)上有最大值4，求G(x)在(－∞,0)上的最小值．
分析 注意观察F(x)＝af(x)＋bg(x)奇、偶性，然后利用函数的图象的对称性，去观察所求函数的最值． 解 （1）∵f(x)和g(x)都是R 上奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝－g(x)，故F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＝－af(x)－bg(x)＝－F(x)，∴F(x)为奇函数．∴F(x)的图象关于原点对称．
由F(x)＝af(x)＋bg(x)在(0,＋∞)上有最大值4，可知F(x)在(－∞,0)上有最小值－4．
（2）由（1）可知G(x)－2＝af(x)＋bg(x)为奇函数，且在(0,＋∞)上有最大值2，
∴G(x)－2＝af(x)＋bg(x)在(－∞,0)有最小值－2，即G(x)－2＝af(x)＋bg(x)≥－2，
∴G(x)＝af(x)＋bg(x)＋2≥0，∴在G(x)在(－∞,0)有最小值0．
例7 设f(x)的定义域是[－5,5]上的奇函数，若当ｘ∈[0,5]时，f(x)的图象如图1.3－9所示，求x ·f(x)＜0的解集．
分析 利用奇函数的图象关于原点对称，补上区间[－5,0]的图象，将已知不等式转化后，观察求解．
解 不等式x ·f(x)＜0可转化为⎩⎨⎧x ＜0f(x)＞0 或⎩⎨⎧x ＞0f(x)＜0
，∵f(x)的定义域是[－5,5]上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称，可将函数在[0,5]上的图象补充到[－5,5]，如图1.3－10所示，由图或观察出不等式的解集为[－5,－2)∪(2,5]．
跟踪练习四
1．奇函数f(x)在区间[10,30]上是减函数，且最小值为８，则f(x)在区间[－30,－10]上是（ ）
A ．增函数，且最大值是8-
B ．增函数，且最小值是8-
C ．减函数，且最大值是8-
D ．减函数，且最小值是8-
2．函数f(x)＝1x
－x 的图象关于（ ） A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称
3．已知f (x )是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，当x ＞0时，f (x )的图象如图1.3－11所示：若x ·[f (x )－f (－x )]＜0，则x 的取值范围是__________．
4．已知函数f(x)＝ax 3＋bx ＋2在(－∞,0)上有最小值－5，a 、b 为常数，则f(x)在(0,＋∞)上的最大值为_______．
五、利用自身优势求解析式
1．由一半求得另一半
由于奇函数、偶函数图象特有的对称关系，往往可给出解析式（或图象）的一半，让你去联想或探求它的另一半．
例8 已知函数f(x)是奇函数，当x ＞0时，f(x)＝x 2－1x
，求当x ＜0时，函数f(x)的解析式． 分析 x ＞0时，有f(x)＝x 2－1x
，面对小于0的x ，法则f 并不为它服务，如何是好？注意到x ＜0时，－x ＞0，对“－x ”而言，已经取得了适用法则“f ”的资格证书．
解法一 （依定义逐步求）
当x ＜0时，－x ＞0，由已知的函数解析表达式可得f(－x)＝(－x)2－1(－x)
＝x 2＋1x ，
又f(x)是奇函数，所以有 －f(x)＝x 2＋1x
， ∴当x ＜0时，函数f(x)的解析表达式为 f(x)＝－x 2－1x
(x ＜0)． 解法二（利用图象的对称性求）
设点P(x,y)（x ＜0）是函数f(x)图象上的任意一点，因为函数y ＝f(x)的图象关于原点成中心对称，故点P 关于原点的对称点(－x,－y)必定在函数y ＝f(x)的图象上，则
－y ＝(－x)2－1(－x)
，即y ＝－x 2－1x （x ＜0），就是 f(x)＝－x 2－1x (x ＜0)． 思考：将函数f(x)改为偶函数呢？如何解答？
2．由一式引出另一式
例9 已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝x 2＋3x ＋2，求f(x)、g(x)．
分析 若视f(x)、g(x)为一个未知量，那么f(x)＋g(x)＝x 2＋3x ＋2相当于一个二元一次方程，这就需要我们再购造出一个二元一次方程．
解 ∵ f(x)＋g(x)＝x 2＋3x ＋2， (1)
将x 换为－x ，得 f(－x)＋g(－x)＝x 2－3x ＋2
又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴ －f(x)＋g(x)＝x 2－3x ＋2 (2)
将（1）和（2）联立，可解得 f(x)＝x 2＋2，g(x)＝3x ．
跟踪练习五
1．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f(x)＝2x －3，则f(－2)等于( )
A ．1
B ．14
C ．－1
D ．－114
2．设f(x)是奇函数，当x ＞0时，f(x)＝x(1－x)，则当x ＜0时，函数f(x)的解析式为（ ）
A ．x(x －1)
B ．x(x ＋1)
C ．－x(x ＋1)
D ．－x(x ＋1)
3．若函数f(x)、g(x)分别为R 上的奇函数、偶函数,且满足f(x)－g(x)＝e x ,则有( )
A ．f(2)＜f(3)＜g(0)
B ．g(0)＜f(3)＜f(2)
C ．f(2)＜g(0)＜f(3)
D ．g(0)＜f(2)＜f(3)
六、偶函数孕育了f(－x)＝f(x)＝f(|x|)
在偶函数中，f(－x)＝f(x)对于定义域内的任意一个x 都成立，这也就说明，f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，运用该结论，不但可以提高解题效率，往往还可以出奇制胜．
例10 若函数y ＝f(x)是偶函数，当x ＜0时，y 时增函数，对于x 1＜0，x 2＞0，且|x 1|＜|x 2|，则 （ ）
A ．f(－x 1)＞f(－x 2)
B ．f(－x 1)＜f(－x 2)
C ．f(－x 1)＝f(－x 2)
D ．f(－x 1)≥f(－x 2)
分析 函数y ＝f(x) 在(－∞,0)上增函数，在(0，＋∞)上是减函数，若按常规，则要在(－∞,0)上或(0，＋∞)上来考虑两个自变量的值的大小，即将|x 1|＜|x 2|转化为x 2＞－x 1＞0，得到f(x 2)＜f(－x 1)，再得出f(－x 1)＞f(－x 2)，其过程颇费周折．若运用上面结论，可谓是手到擒来．
解 ∵函数y ＝f(x)是偶函数，且当x ＜0时，y 时增函数，故函数y ＝f(x) 在(0，＋∞)上是减函数，由0＜|x 1|＜|x 2|可知，f(|x 1|)＞f(|x 2|)，而f(|x 1|)＝f(－x 1)，f(|x 2|)＝f(－x 2)，∴f(－x 1)＞f(－x 2)，故选A ．
例11 已知f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数且在[0,1)上为增函数，若f(a －2)－f(4－a 2)＜0，求实数a 的取值范围．
分析 求a 的取值范围，即要得到关于a 的不等式或不等式组．
解 由f(a －2)－f(4－a 2)＜0得，f(a －2)＜f(4－a 2)，又f(x)为偶函数，故有f(|a －2|)＜f(|4－a 2|)，由函数f(x) 在[0,1)上为增函数，依题意，得到
⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜a －2＜
1－1＜4－a 2＜1 |a －2|＜|4－a 2|，即 ⎩⎪⎨⎪⎧ 1＜a ＜33＜a 2＜5|a －2|＜|a －2|·|a ＋2|，亦即 ⎩⎪⎨⎪⎧ 1＜a ＜33＜a ＜51＜|a ＋2|且a ≠2， 解此不等式组，得3＜a ＜5且a ≠2，∴a 的取值范围是(3,2)∪(2,5)．
跟踪练习六
1．f(x)是偶函数，且在(0,＋∞)上为增函数，则a ＝f(－2)，b ＝f(π2)，c ＝f(32
)的大小关系是( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b
2．偶函数f(x)在（－∞,0）内是减函数，若f(－1)＜f(a)，则实数a 的取值范围是______
3．若f(x)是偶函数，当x ∈[0，＋∞)时，f(x)＝(x ＋1)2－4，则f(a －1)＜0的解集是__________．
4．设f(x)在R 上是偶函数，在区间(－∞,0)上递增，且有f(2a 2＋a ＋1)＜f(3a 2－2a ＋1)，求a 的取值范围．
七、奇函数或许隐含“f(0)＝0”
奇函数f(x)若在x ＝0处有意义，则有f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0．这说明，在x ＝0处有定义的奇函数
必过原点，当然，对于在x ＝0处没有定义的奇函数，那就要另当别论了，如f(x)＝1x
是奇函数，但它并不过原点，还有一点值得注意，就是过原点的函数未必是奇函数．但在可以应用“f(0)＝0”时，则会给运算带来许多便宜．
例12 若f (x )＝12x ＋1
＋a 是奇函数，则a ＝________. 分析 该题就在于怎么样应用奇函数的条件来求a ．
解 因为f (x )＝12x ＋1＋a 是奇函数，且定义域为R ，故有f(0)＝0，即120＋1
＋a ＝0，∴a ＝－12．当a ＝－12时，经检验函数f (x )是奇函数，∴a ＝－12
为所求． 注：应用f(0)＝0的大前提是奇函数必须在x ＝0有意义，若将函数换为f (x )＝12x －1
＋a ，这种便宜就不存了．这时需考虑应用f(－x)＝－f(x)恒成立来求解，也可取特殊的f(－1)＝－f(1)来求解．
例13 已知f(x)＝x ＋a x 2＋bx ＋1
是奇函数，且x ∈[－1,1]，试判断其单调性并证明你的结论． 分析 判断函数f(x)单调性，只有应用奇函数之条件来确定两个参数a 、b 后，方可顺利进行．
解 因为函数f(x)是奇函数，且x ＝0有意义，故知其图象必过坐标原点，即有f(0)＝0，从而可得 a ＝0．
又由f(－1)＝－f(1)得，－12－b ＝－12＋b
，解得 b ＝0． 此时，函数f(x)＝x x 2＋1
，易知，该函数为奇函数． 任取－1≤x 1<x 2≤1，由f(x 1)－f(x 2)＝
x 1x 12＋1 －x 2x 22＋1 ＝(x 2－x 1)(x 1x 2－1)(x 12＋1)(x 22＋1)
＜0， 得 f(x 1)＜f(x 2)，
∴ 函数f(x)在[－1,1]上单调递增．
注：x ＝0处有定义的奇函数必过原点，但过原点的函数未必是奇函数，同样奇函数f(x)必满足f(－1)＝－f(1)，但满足f(－1)＝－f(1)的函数也未必是奇函数，因此采用这种特殊值法的时候，回头检验后才能有说服力．
跟踪练习七
1． 下列说法中正确的是（ ）
A ．图象关于原点对称的函数一定是奇函数．
B ．奇函数一定是单调函数
C ．奇函数的图象一定经过原点．
D ．图象过原点的函数一定是奇函数．
2．已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x ＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为（ ）
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
3．已知函数f(x)＝a ·9x －13x
－x 为奇函数，则a 的值为_______
阶段性目标测试七
1．已知f(x)＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上是（ ）
A ．增函数
B ．减函数
C ．有增有减
D ．增减性不确定
2．若y ＝f(x) (x ∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y ＝f(x)的图象上的是（ ）
A ．(m,－f(m))
B ．(－m,－f(m))
C ．(－m,－f(－m))
D ．(m,f(－m))
3．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数．其中正确的命题个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)＜f(1)，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A ．f(－1)＜f(－3)
B ．f(2)＜f(3)
C ．f(－3)＜f(5)
D ．f(0)＞f(1)
5．F(x)＝9x －13x ·f(x)是偶函数，且f(x)不恒等于0，则f(x) （ ） A ．是奇函数 B ．是偶函数 C ．既是奇函数，又是偶函数 D ．是非奇非偶函数
6．已知f(x)＝ax 7－bx ＋2且f(－5)＝17，则f(5)＝________．
7．偶函数f(x)在（－∞,0）内是减函数，若f(－1)＜f(2a －1)，则实数a 的取值范围是______．
8．已知函数y ＝f (x )(x ∈R 且x ≠0)，对任意非零实数x 1，x 2恒有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，试判断函数f (x )的奇偶性．
9．如果奇函数f(x)在区间[2,7]上是增函数，且最大值为10，最小值为6，那么f(x)在[－7，－2]上是增函数还是减函数？求函数f(x)在[－7，－2]上的最大值和最小值．
10．已知函数y ＝f(x)是奇函数，在(0,＋∞)内是减函数，且f(x)＜0．试问F(x)＝
1 f(x) 在(－∞,0)内是增函数还是减函数？并证明你的结论．
参考答案
跟踪练习一
1．D ．f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，将各个选项中的f(－x)用－f(x)去替代，可知f(x)·f(－x)＝f(x)·[－f(x)]＝－f 2(x)≤0．
2．A ．因为x ∈R ，故函数F(x)的定义域关于原点对称，又F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F(x)，故知F(x) 一定是奇函数．
跟踪练习二
1．a ＝13
，b ＝0． 由f(x)是偶函数可知，①定义域关于原点对称；②f(－x)＝f(x)恒成立．由2a ＝－(a －1)且2a ＞a －1，可知a ＝13
，由f(－x)＝f(x)恒成立，可得2bx ＝0恒成立，∴b ＝0． 2．解：（1）函数的定义域为[－1,2]，不关于原点成中心对称，故知其既不是奇函数，也不是偶函数；
（2）函数的定义域{1}，不关于原点对称，∴该函数也是非奇非偶函数；
（3）函数的定义域为{－1,1}，－1、1关于原点成中心对称，同时又有f(－x)＝f(x)，故（3）为偶函数；
（4）函数的定义域为{－1,1}，因为f(－1)＝0，f(1)＝0，函数f(x)不仅满足f(－x)＝f(x)，也满足f(－x)＝－f(x)，故知此函数既是奇函数又是偶函数．
注：函数的定义域不一定是区间的形式，也可以是一些孤立的点构成的集合，只要关于原点对称，就可由定义判断奇偶性．
跟踪练习三
1．C ．由f(x)＝(x ＋1)(x －a)＝x 2＋(1－a)x －a ，可得f(x)－f(－x)＝2(1－a)x ，因为函数f(x)为偶函数，故f(x)
－f(－x)＝0恒成立，故1－a ＝0，∴a ＝1．
2．A ．因为g(x)的定义域为x ≠0，关于原点对称，且g(－x)＋g(x)＝1＋22－x －1 ＋(1＋22x －1)＝2＋2·2x 1－2x
＋22x －1＝2＋2·2x －21－2x
＝2－2＝0，即g(－x)＝－g(x)，∴g(x)是奇函数． 3．解：注意到函数g(x)＝ax 6－bx 4＋cx 2－1为偶函数，由g(x)－g(－x)＝0可解．
∵f(x)＝ax 6－bx 4＋cx 2＋x －1 ① ∴f(－x)＝ax 6－bx 4＋cx 2－x －1 ②
①－②，得f(x)－f(－x)＝2x ，令x ＝5，得 f(5)－f(－5)＝2×5，又f(－5)＝11，∴f(5)＝21．
4．解：由已知函数是奇函数可联想到，f(－x)＝－f(x)恒成立，即f(－x)＋f(x)＝0恒成立。

如此，有 2(m 2＋m －2)x 2＋2(n －2)＝0恒成立．
⎩⎨⎧m 2＋m －2＝0n －2＝0 ，由题设可知m ＋2≠0，解得 ⎩⎨⎧m ＝1n ＝2
． ∴ g(x)＝x ＋x 2．
此函数的定义域为x ∈R ，但g(－x)－g(x)＝－2x ，g(－x)＋g(x)＝2x 2，均不恒等于0，故g(－x)≠g(x)，g(－x)≠－g(x)，故g(x)既不是奇函数，又不是偶函数。

注：该题隐含着条件m ≠－2，若不注意，则会导至解的情况增多，同时出现错误的判断．
跟踪练习四
1．C ．由奇函数的图象关于原点对称，可以观察出．
2．C ∵x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对定义域内每一个x ，都有f(－x)＝－1x
＋x ＝－f(x)，∴该函数f(x)＝1x
－x 是奇函数，其图象关于坐标原点对称． 3．(－3,0)∪(0,3)∵f (x )为奇函数，∴x ·[f (x )－f (－x )]＝2x ·f (x )＜0．又f (x )在定义域上的图象如题图，∴取值
范围为(－3,0)∪(0,3)．
4．最大值9．注意到g(x)＝f(x)－2＝ax 3＋bx 为奇函数，且在(－∞,0)上有最小值－7，在(0,＋∞)上最大值7，故f(x)－2≤7，f(x)＝ax 3＋bx ＋2在(0,＋∞)上最大值为9．
跟踪练习五
1．C ∵f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－(22－3)＝－1.
2．B ．当x ＜0时，－x ＞0，∴f(－x)＝(－x)(1＋x)，又f(x)奇，∴－f(x)＝(－x)(1＋x)，∴f(x)＝x(1＋x)．
3．D ．用－x 代换x,得f(－x)－g(－x)＝e －x ,即f(x)＋g(x)＝－e －x
，解得f(x)＝e x －e -x 2，g(x)＝－e x ＋e -x 2，而f(x)单调递增且大于等于0，g(0)＝－1．
跟踪练习六
1．B ∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)．又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，2＜32＜π2，∴f(2)＜f(32)＜f(π2
)，即a ＜c ＜b ．
2．a ＜－1或a ＞1．因为偶函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，故f(－1)＜f(a)可化为f(1)＜f(|a|)，即1＜|a|，∴a ＜－1或a ＞1．
3．{a|0＜a ＜2}．因为f(1)＝0，故不等式f(a －1)＜0即f(a －1)＜f(1)，又f(x)是偶函数，故有f(|a －1|)＜f(1)，易看出f(x)＝(x ＋1)2－4在[0，＋∞)上单调递增，故有|a －1|＜1，∴－1＜a －1＜1，解得0＜a ＜2．
4．解：∵ f(x)在R 上是偶函数,在区间(－∞,0)上递增，∴f(x)在区间(0，＋∞)上递减．
又2a 2＋a ＋1与3a 2－2a ＋1恒为正，故知2a 2＋a ＋1＞3a 2－2a ＋1，即a 2－3a ＜0，解得0＜a ＜3为所求． 跟踪练习七
1．A ．若函数y ＝f(x)的图象关于原点对称，则图象上任意一点P(x,y)关于原点的对称点Q(－x,－y)也在函数的图象上，∴－y ＝f(－x)，即－f(x)＝f(－x)对定义域的一切x 成立．∴f(x)一定是奇函数．其余可举反例排除．
2．B 因为f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(0)＝0.所以f(6)＝－f(4)＝－[－f(2)]＝f(2)＝－f(0)＝0．
3．a ＝1．因为奇函数f(x)的定义域为R ，故必有f(0)＝0，易求得a ＝1．
阶段性检测试题七
1．B ．∵f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，∴m ＝0．∴f(x)＝－x 2＋3．∴在(2,5)上为减函数．
2．B ．当x ＝－m 时，y ＝f(－m)，由y ＝f(x) (x ∈R)是奇函数可知，y ＝f(－m)＝－f(m)，故(－m ，－f(m))在函数y ＝f(x)的图象上．
3．A ．函数y ＝1x 2是偶函数，但不与y 轴相交，故①错；函数y ＝1x
是奇函数，但不过原点，故②错；函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，故④错．
4．D ∵f(－3)＝f(3)，∴f(3)＜f(1)．∴函数f(x)在x ∈[0,5]上是减函数．
5．A ．令g(x)＝9x －13x ＝3x －3－x ，由g(－x)＝－g(x)可知g(x)为奇函数，又F(x)为偶函数，故f(x)为奇函数． 6．－13． 整体思想：f(－5)＝a(－5)7－b(－5)＋2＝17⇒(a·57－5b)＝－15，∴f(5)＝a·57－b·5＋2＝－15＋2＝－13．
7．a＜0或a＞1．由f(x)在(0,＋∞)上是增函数，又f(－1)＜f(2a－1)等价于f(1)＜f(|2a－1|)，∴|2a －1|＞1，故得2a－1＜－1或2a－1＞1，解得a＜0或a＞1．
8．解：令x1＝－1，x2＝x得：f(－x)＝f(－1)＋f(x)①
再令x1＝1，x2＝－1得：f(－1)＝f(1)＋f(－1)，即f(1)＝0
再取x1＝x2＝－1得：f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0．
代入①得：f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
9．解：f(x)在[－7，－2]上是增函数．证明如下：
任取x1，x2∈[－7，－2]，且x1＜x2，则2≤－x2＜－x1≤7．
因为f(x)在区间[2,7]上是增函数，所以f(－x2)＜f(－x1)．
又因为f(x)是奇函数，所以f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)，
即－f(x2)＜－f(x1)，f(x1)＜f(x2)．
所以函数f(x)在[－7，－2]上是增函数．
于是其最大值为f(－2)＝－f(2)＝－6，最小值为f(－7)＝－f(7)＝－10.
10．解：F(x)＝1
f(x)在(－∞,0)内是增函数．证明如下：
设x1，x2∈(－∞,0) 且x1＜x2，则－x1＞－x2＞0，∵f(x)在(0,＋∞)上是减函数，∴f(－x1)＜f(－x2) ①
又∵函数y＝f(x)是奇函数，∴f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)
由①式得－f(x1)＜－f(x2)，∴f(x1)＞f(x2)．
当x1＜x2＜0时，F(x2)－F(x1)＝
1
f(x2)－
1
f(x1)＝
f(x1)－f(x2)
f(x1)·f(x2)
，
又∵f(x)在(0,＋∞)上总小于0，∴f(x)在(－∞,0)上总大于0，
∴f(x1)＝－f(－x1)＞0，f(x2)＝－f(－x2)＞0，又f(x1)＞f(x2)，∴F(x2)－F(x1)＞0．
由x1＜x2 F(x1)＜F(x2)，可知，F(x)＝1
f(x)
在(－∞,0)内是增函数。