大学物理备课笔记03

∫
2π
0
1 - cos2θ mR 2 dθ = 2 2
我们看到，如果在(1)的情形下，如果以圆心为原点，圆环所在平面为 xOy 平 面，则 R 2 = x 2 + y 2 ，则 I z = ∫ R 2 dm = ∫ x 2 dm + ∫ y 2 dm = I x + I y 。
m m m
在此，我们给出 垂直轴定理 ：如果一刚体质量分布在 xOy 平面内 ，有
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第三章 刚体定轴转动的基本定律
多个力的合力，即 F = ∑ Fi ，则沿 z 轴方向分量的合力矩： M z = ∑ M zi
i i
也就是说，合力对转轴的合力矩，等于分力对转轴分力矩的代数和。所以， 我们可以用正负号来反应力矩的方向性。 3、力 F 作用于刚体上的力矩 若力的作用点为 P， r 为转轴到 P 的位矢，则力矩为 M = r × F 若力与转动平面有一夹角，则可以只考虑力在转动平面上的分量。
0
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第三章 刚体定轴转动的基本定律
§3.3
力矩的功与转动动能定理
计划学时：1
基本概念 基本关系或规律 任务目标
1. 会计算刚体力矩的功； 2. 掌握刚体定轴转动的动能定理，并会应用其解题。
作业
二、1
一、力矩的功和功率
质点在外力的作用下发生了位移，我们说，力做了功；而刚体在力矩的作用 下发生了角位移，我们说，力矩也做了功。
M = r × F = (xi + yj + zk ) × (Fx i + F y j + Fz k ) i = ( yFz − zFy )i + (zFx − xFz ) j + (xFy − yFx )k = x Fx j y Fy k z Fz
我们一般研究力沿 z 轴方向的力矩，力矩只有沿转轴的方向的分量才会起作 用。所以，一般只用力矩沿 z 轴方向分量的标量即可，即 M z = M cos γ 。如果 F 是
我们把转动动能和平动动能相比较， E k = 转动惯量的国际单位是 kg ⋅ m 2 。
【思考】孙悟空在耍金箍棒时，一般会手持什么地
方？手持中间部位与手持一端，用同样力作用，达到 的转动速度相同吗？ 【video 4m50s】
惯性大小可以衡量一个物体的运动状态是否容易改变，对于平动，只用质量 的大小即可；但对于转动，即使质量相同的物体，如果形状不同（质量分布不同） ， 转动状态是否容易改变也是不同的。所以，转动的惯量 1)、与质量有关 2)、与质量对转轴的分布有关（即形状、转轴位置）
I=
2 mR 2 5
f)、转动惯量综合举例
1 4 (1)、 I = ml 2 + ml 2 = ml 2 3 3 1 1 5 (2)、 I = ml 2 + ml 2 = ml 2 3 12 12 1 1 1 (3)、 I = ∫ a 2 dm = a 2 ∫ dm = ma 2 m3 m 3 3
g)、不规则形状物体的转动惯量 形状不规则，则不能对物体的质量分布进行积分，我们可以通过实验测量的 方式得到其转动惯量。
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物理教研室
2
Lyon
我们定义 I = ∑ mi ri 为转动惯量，则刚体的转动动能
i
Ek =
1 2 Iω 2
1 2 mv ， v ↔ ω ， m ↔ I 。可见，在 2 平动中，我们用质量 m 来描述物体的惯性；在转动中，我们用转动惯量{moment of inertia} I 来描述转动物体的惯性。
角动量的单位是 直于 r 和 p 决定的平面；
kg ⋅ m 2 /s 。
由于 r sin θ 是位矢在垂直于动量方向上的大小，所以也把 r sin θ 称为动量臂。 则，角动量也经常被称作动量矩{moment of momentum}。 通常，我们研究 z 方向的角动量，所以 Lz = L cos γ 2、刚体定轴转动的角动量 刚体的角动量是由构成刚体的各个质点的角动量的矢量和，即
度分布，一定要领会好上述密度的概念。 3、应用举例 a)、两质点组成的体系的转动惯量 此模型属于质点系，则
I = ∑ mi ri = m1r1 + m2 r2
2 2 i 2
2
= m(l sin α ) + m(l sin α ) = ml 2 sin 2 α
2
b)、均匀细杆的转动惯量 设细杆的质量为 m ，长度为 l ，质量属 m 于连续分布，则质量线密度 λ = ，我们取 l 一 小 段 质 元 ， 质 量 为 dm ， 长 度 为 dx ， m dm = λdx = dx 。 l 我们分析如下三种情形： (1)、转轴通过细杆中心且与细杆垂直
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Lyon
L = ∑ Li = ∑ ri × mi v i
i i
通常我们应用刚体对角速度方向所在的 z 轴的角动量，即
L = ∑ mi ri ω = Iω
2
i
二、力矩
【思考】刚体受到外力的作用一定会发生转动吗？我们开门的时候，如果将力施
加到哪里门不会动？（施加在门轴上、或者与门轴平行）
I = ∫ x dm = ∫
2 m l +h 2 ⎛l ⎞ −⎜ − h ⎟ ⎝2 ⎠
m m 2 x dx = x 3 l ⎞ l 3l −⎛ ⎜ −h ⎟
2 ⎝2 ⎠
l
+h
=
1 ml 2 + mh 2 12
在此，给出平行轴定理：设刚体绕通过其质心的转轴的转动惯量为 I 0 ，如果 有另一条轴线与这个通过质心的轴线平行，且两轴线间的距离为 h ，则通过这个新 转轴的转动惯量 I = I 0 + mh 2 。
【解 3-4】 细棒上各点距离转轴的距离 r 各不相同， 所以， 以转轴为原点， 沿棒的方向建立坐标轴。 在 x 处取一微元 dx ，则微元所受摩擦力
df = μgdm =
μmg
l
dx ，则摩擦力矩
dM = xdf =
则 M = dM =
μmg
l
l
xdx
1 μmgl 4
∫
μmg
l
2∫ 2 xdx =
dS = 2πr ⋅ Rdθ = 2πR 2 sin θdθ ，则有环带质量 dm = σdS = 2πR 2σ sin θdθ
dI = dmr 2 = 2πR 4σ sin 3 θdθ ，因此
I = ∫ dI = 2πR 4σ ∫ sin 3 θdθ =
0
π
2 mR 2 3
(2)、球体：取半径为 r 处的球壳为微元，然后对 r 由 0 至 R 积分可得
作业
一、转动动能
刚体以角速度 ω 转动时，刚体上不同的质点的线速度并不相同。我们找任意 一个质点 i ，其质量为 mi ，定轴转动的半径为 ri ，则该质点的动能
1 1 2 2 mi vi = mi ri ω 2 2 2
则刚体的转动动能就是所有质点动能之和：
1 1⎛ 2 2⎞ E k = ∑ mi vi = ⎜ ∑ mi ri ⎟ω 2 2⎝ i i 2 ⎠
b)、 面密度 σ ： 质量分布在一个平面内， 面的线度远远大于面的厚度 （ l >> h ） 。
σ=
c)、面密度 ρ ：质量分布在三维立体内。
ρ=
m dm （若均匀分布，有 ρ = ） dV V
在今后的学习中，我们还会学习到电荷密度的概念，也会涉及到上述三种密
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第三章 刚体定轴转动的基本定律
I = ∫ R 2 dm = R 2 ∫ dm = mR 2
m m
(2)、转轴通过圆环中心且在圆环所在平面内 我们选取的质元 dm 到转轴的距离为是 R sin θ ，而 dm =
m dθ 则 2π
I = ∫ R 2 sin 2θdm = ∫ R 2 sin 2θ
m 0
2π
m mR 2 dθ = 2π 2π
二、转动惯量的计算
1、计算公式 对于质点系： I = ∑ mi ri
i
2
对于质量连续分布： I = ∫ r 2 dm
m
2、质量密度 a)、线密度 λ ：质量沿线分布，线的长度远远大于线截面的直径（ l >> D ） 。
λ=
m dm （若均匀分布，有 λ = ） dl l m dm （若均匀分布，有 σ = ） dS S
1、力 F 对 O 点的力矩 我们将力对质点的 力矩 {moment} 定 义为：
M = r×F
和角动量一样，力矩也是矢积，有方 向，遵循右手定则。 力矩的大小 M = rF sin θ ， 方向垂直于 r 和 F 决定的平面。力矩的国际单位是 N⋅m 。 不难发现， 力矩的大小等于以位矢 和力为邻边的平行四边形的面积。 如果作用在一个质点上的力 F 是多个力的合力，即 F = ∑ Fi ，则合力矩：
I = ∫ x dm = ∫
2 m l 2 l − 2
m m x dx = x 3 l 3l
2
l 2 − l 2
=
1 ml 2 12
(2)、转轴位于细杆一端且与细杆垂直
I = ∫ x 2 dm = ∫ x 2
m 0 l
m m 1 dx = x 3 = ml 2 l 3l 0 3
l
(3)、转轴通过距离细杆中心 h 处一点，且 与细杆垂直
dA = F ⋅ dr = Fτ dS = Fτ rdθ = M z dθ
所以，力矩的功 A = ∫ M z dθ ，若 M 为以恒力矩，则 A = M z (θ − θ 0 )
θ0 θ
合力矩的功，是沿 z 轴力分力矩的功的代数和。刚体内部的能力成对出现， 大小相等、方向相反，则内力矩的总功 A内 = 0 。 类似的，我们也有功率的概念: