第八章习题

AR 3 AR 3 l dr = ln r 3ε 0 r 3ε 0
习题二 在点电荷 q 的电场中，取一半径为 R 的圆形平面，设 q 在垂直通过平面圆心 O 的轴线上 A 点处，求通过该平面的电通量。 解：设 OA = h ，所以
r = R +h
2
2
R
O
A
h q
以 A 为圆心。r 为半径作 一球面，由高斯定理得通过闭 合球面的电通量为
处的单位试验电荷所受的力，其方向为正 处的单位试验电荷所受的力，其方向为正电荷受 单位试验电荷所受的力 v 力方向. 力方向.
v 电场中某点处的电场强度 电场中某点处的电场强度 E 等于位于该点
v E = F q0
v E=∑
i
4πε 0 ri
qi
2
v eri
点电荷系
电荷连续分布带电体的场强 v v v 1 er E = ∫ dE = ∫ dq 2 4π ε0 r
电荷体 电荷体密度
dq ρ= dV
电荷面 电荷面密度
dq σ= ds
v 1 ρ er dV 2 4π ε0 r V v v 1 σ er E=∫ ds 2 4π ε0 r S v E=∫
电荷线 电荷线密度
dq λ= dl
v v 1 λ er E=∫ dl 2 4π ε0 r l
3、带电体在电场中受到的力 点电荷在电场中受到的力
λ v j 2πε 0 a
方向： 方向： - Y 轴
+
+
O A
（2） ）
+ dx + ′
+
a
O
+
+
+
a
B
C
a
D
X′
U 0 = U AB + U BC + U CD
求：U AB：取电荷元 dx
其在 O 的电势为 所以
B
dq = λdx
= 4πε 0 (2a − x )
dU =
a
dq 4πε 0 r
λdx
1 q φe = ⋅ 6 ε0
O
q
习题八、图为一具有球对称性分布的静电场的 关系曲线，指出该静电场是由下列哪种带电体 产生的。 （A）半径为R的均匀 E 带电球面。 （B）半径为R的均匀 带电球体。 （C）半径为R，电荷 1 E∝ 2 体密度 ρ = Ar （A为常 r 数）的非均匀球体产生。 （D）半径为R，电荷 R r O 体密度 ρ = A r（A为常 数）的非均匀球体产生。
v v ∫ E ⋅ dS =
S
∫
V
ρdV ε0
r〈R
∫ E ⋅ 2πrh =
1
r
0
Ar ⋅ 2πrhdr
ε0
2
2πAhr = 3ε 0
3
E1 = Ar
R
2ε 0
2πAhR 3 = 3ε 0
r
h
r ≥ R E2
∫ ⋅ 2πrh =
R
0
Ar ⋅ 2πrhdr
ε0
3
E2 = AR
2ε 0 r
（2）由定义： ）
习题一 一半径为 R 的“无限长”圆柱形带电 体，其电荷体密度为 ρ= A r （ r ≤ R ），式中 A 为常 数。求 （1）圆柱体内、外各点场强大小分布； （2）选距离轴线为 l （ l ＞R ）处为电势零点， 计算圆柱体内、外各点的电势分布。
R
解：（1）取高斯面，由 ：（ ） 高斯定理
r
h
v v E ⋅ dl = 0 ∫
l
v v ∇× E = 0
Wa = Aa (0 ) = ∫
(0 )
a
v v q0 E ⋅ dl
移动电荷电场力所做的功：
− (Wb − Wa ) = ∫
b
a
v v q0 E ⋅ dl
电势：电场中某点的电势，在数值上等于把 单位正的点电荷从该点沿任意路径移至电势 能零点时，电场力所做的功。 Wp (0 ) v v
r R
O
Φ=
q
ε0
h
A
被圆平面切割部分的球面积为
2πr (r − h )
即
q 2πr (r − h ) Φe = ⋅ 2 ε 0 4πrr = q 4πε 0 2π ( R
2 2
r R
O
A
h q
+h −h
2 2
R +h
)
习题三 一形状如图所示的绝缘细线，其上均 匀分布着正电荷，已知电荷的线密度为 λ ，两段直 线长均为 a ，求：（1）环心 O 点处的电场强度 （2） Y 环心 O 点的电势。
VP =
q0
电势零点的选取
{
= ∫ E ⋅ dl
P
有限体 无限体
无穷远处 视具体问题定
8、电势叠加原理
点电荷系 电荷连续分布
qi VP = ∑VPi = ∑ i i 4π ε 0 ri
dq VP = ∫ 4π ε 0r
9、电场强度和电势的关系 (0 ) v v
VP = ∫ E ⋅ dl
P
v v E = −∇V
(r < R ) (r ≥ R )
O
R
r
（3）无限长均匀带电直线的场强
v E=
λ v er 2 π ε 0r
（4）无限大均匀带电平面的电场强度
v v E = σ 2ε 0 e r
注意补偿法在高斯定理 中的应用。
S＇
6、静电场的环路定理 环路定理的积分形式 环路定理的微分形式 7、电势能和电势 电势能：电荷在电场中某点的电势能，在数 值上等于把电荷从该点移至电势能零点时， 电场力所做的功。
v ρV v ∫ E小 ⋅ dS =
4 R 1 R E小 ⋅ 4π = ρ ⋅ π ⋅ 3 2 ε0 2
2
E大 = 0
ε0
3
P
O
O1
ρR ∴ E小 = 6ε 0
（2） O1处 ）
E小 = 0
4 R 1 R E大 ⋅ 4π = ρ ⋅ π ⋅ 3 2 ε0 2
ε0
∑q
i =1
n
i
若电荷连续分布，则
∑→ ∫
几种典型电荷分布的场强公式 （1）均匀带电球面的场强
0 v v E= q e 4πε 0 r 2 r
(r < R ) (r ≥ R )
E
O
R
r
（2）均匀带电球体的场强
qr 3 v 4πε 0 R E= q v er 2 4πε 0 r E
λdx
U AB = ∫ dU = ∫
A
0
λ = ln 2 4πε 0 (2a − x ) 4πε 0
同理有
U CD
λ = ln 2 2πε 0
求：U BC：取电荷元dl
其在 O 的电势为
πa
dq = λdx
dq
λdl dU = = 4πε 0 a 4πε 0 a
0
U BC = ∫ dU = ∫
B
C
λdl λ λ = πa = 4πε 0 A 4πε 0 A 4ε 0
所以
λ (2 ln 2 + π ) U0 = 2 4πε 0
习题四 一半径为 R 的带电细圆环，其电荷线 密度为 λ = λ0 cos φ ，式中 λ0 为一常数，φ为半 径 R 与 X 轴的夹角。求环心 O 处的电场强度。 解：在任意角φ处取电荷元 dl：
小结：
1、库仑定律和库仑力的迭加原理
r F 21 =
1 4π ε 0
v q1q 2 v e 21 = − F12 2 r21
点电荷系
v q 0 qi v F =∑ er0 i i 4πε 0 r0 i
dq1 ⋅ dq2 v F= ∫ ⋅ er 2 4πε 0 r Q1 ,Q2 1
带电体
2、电场强度和场强叠加原理
v v F = qE
电荷连续分布带电体在电场中受到的力
v v F = ∫ Edq
Q
v E 为 dq 处的场强。
电偶极子在均匀电场中受到的力矩
v v v M = p× E
4、电通量
Φe =
∫s
v v E ⋅ dS =
∫s E cos θ d S
5、高斯定理
v v 1 Φe = ∫ E ⋅ dS =
S
由对称性分析：
E x = ∫ dE x = 0
则
λdl E = E y = ∫ dE y = ∫ dE sin θ = ∫ sin θ 2 4πε 0 a
=∫
即
π
0
λa λ λ sin θ dθ = − cosθ = 2 4πε 0 a 4πε 0 a 2πε 0 a 0
π
v v E = −Ey j = −
4πε 0 R 4πε 0 d −Q Q VO2 = + 4πε 0 R 4πε 0 d VO1 = Q − Q
+Q
O1
R
−Q
R
U O1O2 = VO1 − VO2
= Q 2πε 0 R − Q 2πε 0 d
d
O2
习题七、在边长为 a 的正方形平面的中垂线上， 距中心 O 点 a 2 处，有一电量为 q 的正点电荷， 则通过平面的电通量为？
2 3
ρR ∴ E大 = 6ε 0
POO1（源自） P 处 ）v ρV v ∫ E小 ⋅ dS =
ρR E大 = 6ε 0
P
O
3
O1
ε0
4 R 1 E小 ⋅ 4πR = ρ ⋅ π ⋅ 3 2 ε0
2
ρR E小 = 24ε 0