第十四章 第二讲 导数的应用

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第十四章
导数
四、分类讨论思想应用错误
5．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a、
b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29，若存在， 求出a、b的值；若不存在，请说明理由． 解析：由f(x)＝ax3－6ax2＋b，得f ′(x)＝3ax2－12ax＝ 3ax(x－4)．
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5．函数的最大值与最小值
在 闭 区 间 [a ， b] 上 连 续 的 函 数 f(x) 在 [a ， b] 上 必 有 最大值 与 最小值 ，但在开区间(a，b)内连续的函数f(x) 不一定 有最大值与最小值，例如f(x)＝x，x∈(－1,1)．
证明函数的单调性，仅从式子的结构特点，结合不等式证 明的常规证法——比较法、综合法、分析法很难找到证明 思路. 启示：导数的一个重要应用是解决与单调性有关的问
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题；研究函数的单调性除了用函数单调性的定义严格证明
外，用导数来研究是一个很好的工具．
导数
二、函数的极值和最值计算失误
2．函数f(x)＝x(x－m)2 在x＝2处有极大值，则常数m
的值为________． 答案：6
1 3．函数 f(x)＝x －lnx ，x∈[－e，－ e ]的最大值为
4 4
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________，最小值为________．
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第十四章
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4．已知f(x)＝2x2－lnx的增区间为____________．
2 x>0 1 4x －1 解 析 ： f′(x) ＝ 4x － x ＝ x ， 由 得 f ′(x)≥0
∞)上是单调递增函数．
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2．函数极值的定义
设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的所 有点，都有f(x) ＜ f(x0)，我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极 大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有点，都有f(x) ＞ f(x0)，就说f(x0)是f(x)的一个极小值，记作y 极小值 ＝
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当a＝0时，f ′(x)＝0，f(x)＝b不能使f(x)在[－1,2]上取
最大值3，最小值－29.当a>0，f ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4. 在区间[－1,2]上有
)
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第十四章 x f ′(x) f(x)
符合题意．
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当a<0时，f ′(x)＝0得x1＝0，x2＝4.在区间[－1,2]上有
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x
－1
(－1,0) －
0 0 极大值b
(0,2) ＋
2 ＋ －16a＋b
f ′(x) － f(x) －7a＋b
)
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π 3．函数 f(x)＝x＋2cosx 在[0，2]上取得最大值时 x 的 值为 π B.6 π C.3 ( )
π A．0 D.2 1 解析：f ′(x)＝1－2sinx，令 f ′(x)＝0 得 sinx＝2，又
π π π π π x∈[0， ]得 x＝ ，由 x∈[0， ]时 f ′(x)>0，x∈[ ， ]时 2 6 6 6 2 π f ′(x)<0.知当 x＝ 时 f(x)有最大值． 6 答案：B
，则f(x)为减函数． 常数 ．
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如果在某个区间内恰有f ′(x)＝0，则f(x)为
(
(2)(函数单调性的必要条件)设函数y＝f(x)在某个区间
内可导，如果f(x)在该区间上单调递增(或递减)，则在该区 间内 f ′(x)≥0 (或 f ′(x)≤0 )．
)
答案：e4－4 1
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三、性质应用错误 x－1 4．已知函数 f(x)＝lnx－ . x (1)判定函数 f(x)的单调性； lna 1 (2)设 a>1，证明： < . a－1 a
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x－1 解析：(1)函数 f(x)＝lnx－ 的定义域为 x>0. x x－1 x－ 2 x 2 x－x－1 －( x－1)2 1 由 f ′(x)＝ － ＝ ＝ x x 2 x· x 2x x ≤0 且只有在 x＝1 时，f ′(x)＝0. ∴f(x)在定义域(0，＋∞)上为单调递减函数．
失分警示：误区1：函数的单调区间是函数定义域的 子集或真子集，讨论函数的单调性必须在其定义域内讨论， 因此本题首先应求函数的定义域． 误区2：在判断函数的单调性时，有些同学没有用导
( )
数来解决，而是利用函数单调性的定义，使运算复杂，甚
至陷入困境．
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误区3：在证明第(2)题的不等式时，不会运用第(1)题
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6．设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求f(x)在(a，b)内的极值； (2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个
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由 a<0 得－16a＋b>－7a＋b.则 f(x)在[－1,2]上取最大值 －16a＋b， 最小值
－16a＋b＝3， b.依题意 b＝－29， a＝－2 解得 b＝－29
( )
符合题意．综上所述，存在 a＝2、b＝3 或 a＝－2、b＝－ 29 使 f(x)在[－1,2]上取得最大值 3，最小值－29.
答案：a<－3或a>6
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启示：在求闭区间上连续函数的最值、极值时，通过
研究导函数的符号，列表求得该函数的单调区间、极值点 (极值)、端点值，从而求得最大值和最小值．
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●回归教材
1 1 1．(2010· 全国Ⅱ，10)若曲线 y＝x－ 在点(a，a－ )处 2 2 的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18， a＝( 则
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●基础知识
1．函数的单调性
(1)(函数单调性的充分条件)设函数y＝f(x)在某个区间 内可导，如果 f ′(x)>0 f ′(x)<0 ，则f(x)为增函数；如果
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极值点， f ′(x)＝3＋aeax＝0 有正根． f ′(x)＝3＋aeax 即 当 1 3 ＝0 成立时，显然有 a＜0，此时 x＝aln(－a)．由 x＞0 知参 数 a 的取值范围为 a＜－3. 答案：B
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2．设a∈R，若函数y＝eax ＋3x，x∈R有大于零的极
值点，则
A．a＞－3 B．a＜－3
(
)
1 1 C．a＞－3 D．a＜－3 解析：f ′(x)＝3＋aeax，若函数在 x∈R 上有大于零的
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f(x0)．极大值与极小值统称为 极值 ．
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3．判别f(x0)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， (1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么 f(x0)是 极大值 ． f ′(x)＞0 ，右侧 (2)如果在x0附近的左侧 f ′(x)＜0
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提示：当f ′(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点 处均为正(或负)时，f(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或 递减)的，例如：在(－∞，＋∞)上，f(x)＝x3，当x＝0时，f ′(x)＝0，当x≠0时，f ′(x)＞0，而f(x)＝x3，显然在(－∞，＋
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失分警示：误区1：考生常对闭区间上求函数最大值
和最小值的方法掌握不牢固，对区间端点函数值未作比
较． 误区2：导函数f ′(x)的符号受a的符号的影响，从而需 要对a进行分类讨论，有些同学在做本题时忘记对a的讨论 而默认了a>0，或在对a进行分类讨论时漏掉了a＝0的情况.
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，那么f(x0)是极小值．
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4．求可导函数f(x)的极值的步骤如下：
(1)求导数f ′(x)；
(2)求方程f ′(x)＝0的根； (3)检查f ′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负， 那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x) 在这个根处取得极小值．
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( )
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(2)由(1)知，f(x)在(0，＋∞)上为减函数， a－1 而已知 a>1>0.∴f(a)<f(1)，即 lna－ <0. a a－1 lna 1 ∴lna< .又∵a>1，∴a－1>0.∴ < . a－1 a a
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是最大值，最小的一个是最小值．
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●易错知识 一、求函数的单调区间时未顾及定义域而失误
1．函数 f(x)＝ 2x－x 的单调递增区间为________．
2
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答案：[0,1]
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x>0 2 1 1 4x －1 ，解得 x≥ ，因此 f(x)的增区间为[ ，＋∞)． 2 2 x ≥0
1 答案：[ ，＋∞) 2
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5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极
导数 －1 ＋ －7a＋b (－1,0) ＋ 0 0 极大值b (0,2) － 2 － －16a＋b
由a>0得－16a＋b<－7a＋b.则f(x)在[－1,2]上取最大 值b，最小值－16a＋b.
b＝3， 依题意 －16a＋b＝－29， a＝2 解得 b＝3
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小值，则实数a的取值范围是____________． 解析：因f(x)有极大值和极小值，故f ′(x)＝0有两根， 即3x2＋2ax＋a＋6＝0有两根，所以Δ＝(2a)2－4×3×(a＋ 6)>0，解得a<－3或a>6.
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A．64
)
B．32 C．16 D．8 1 3 1 3 解析： y′＝－2x－2， 切线的斜率 k＝－2· 2.切线方 a－ 1 1 3 程为 y－a－2＝－2a－2(x－a)．从而直线的横、纵截距分 3 1 1 3 1 9 1 别为 3a、a－2.所以三角形的面积 S＝2×3a×2a－2＝4a2， 2 9 1 由4a2＝18 得 a＝64. 答案：A